Leçons de niveau 14

Mécanique 2 (PCSI)/Exercices/Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Lois scalaires de l'énergie cinétique

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Chute d'un arbre[modifier | modifier le wikicode]

     On assimile un arbre à une tige longue et homogène de « longueur » et de « masse » ;

     un bûcheron le coupe à sa base et l'arbre bascule dans le référentiel terrestre galiléen en tournant autour de son point d'appui au sol on suppose que son point d'appui reste fixe, ne glissant donc pas ; le champ de pesanteur terrestre étant uniforme d'intensité , on repère alors la position de l'arbre par l'« angle qu'il fait avec la verticale ascendante » ;

     à « l'arbre fait un angle avec la verticale et est immobile » ;

     on rappelle le moment d'inertie d'une tige homogène, de longueur , de masse , par rapport à un axe à la tige et passant par une de ses extrémités «».

Détermination de l'équation différentielle du 2ème ordre en θ(t) du mouvement de basculement de l'arbre[modifier | modifier le wikicode]

     En appliquant le théorème du moment cinétique scalaire à l'arbre relativement à son axe de basculement dans le référentiel terrestre galiléen,

     déterminer l'équation différentielle en du mouvement de chute de l'arbre et

     vérifier que cette équation n'admet pas de solutions analytiques [1].

Détermination d'une intégrale 1ère du mouvement de basculement de l'arbre[modifier | modifier le wikicode]

     À partir de l'équation différentielle du 2ème ordre en du mouvement de chute de l'arbre, intégrer une fois par rapport à pour en déduire une intégrale 1ère du mouvement de basculement de l'arbre on explicitera en fonction de entre autres ;

     retrouver cette intégrale 1ère du mouvement de basculement de l'arbre en utilisant le théorème de la variation de l'énergie mécanique de l'arbre dans le champ de pesanteur terrestre.

Détermination de la durée de chute de l'arbre[modifier | modifier le wikicode]

     En intégrant une nouvelle fois l'intégrale 1ère du mouvement de basculement de l'arbre, déterminer la durée de chute «» d'un arbre de ce type sous forme intégrale de l'inclinaison initiale jusqu'au sol puis

     la calculer numériquement pour une hauteur d'arbre «», sachant que «» et «» [8].

Roulement sans glissement d'un demi-disque sur un plan, aspect cinématique puis énergétique[modifier | modifier le wikicode]

Schéma descriptif d'un demi-disque roulant sans glisser sur un plan horizontal [10]

     Soit un demi-disque homogène, de masse surfacique , de centre [11], de centre de masse ou C.D.I. [2] , de rayon et de masse voir schéma ci-contre ;

     ce demi-disque disposé verticalement sur un plan horizontal est en contact avec ce dernier par l'intermédiaire de sa tranche circulaire un dispositif non représenté forçant le demi-disque à rester dans le plan vertical initial sans faire intervenir un quelconque frottement solide, peut ainsi rouler sans glisser sur ce plan horizontal [10] ;

     le référentiel terrestre dans lequel est étudié le mouvement de est supposé galiléen pour son étude dynamique, il lui est associé un repère cartésien orthonormé direct, orientant la direction verticale dans le sens ascendant, la direction horizontale le long de laquelle le demi-disque roule sans glisser [10] et la direction horizontale au plan vertical contenant orientant les angles algébrisés de ce dernier dans le sens trigonométrique direct ;

     le champ de pesanteur terrestre est uniforme égal à avec intensité de la pesanteur ;

     désignant par le point de contact entre le sol et à l'instant , on repère la position du demi-disque par l'ordonnée «» de son centre [11] et par l'angle algébrisé «».

     À l'instant initial, on lâche le demi-disque sans vitesse initiale dans la position repérée par , l'ordonnée du point de contact correspondant valant .

     Nous supposerons connus la distance séparant le centre [11] du demi-disque de son C.D.I. [2] « notée » ainsi que
     Nous supposerons connus le moment d'inertie de par rapport à un axe passant par et au plan contenant «».

Étude cinématique du roulement sans glissement du demi-disque sur le plan horizontal[modifier | modifier le wikicode]

     Remarque : cette question étant la 1ère de l'exercice « Roulement sans glissement d'un demi-disque sur un plan, aspect cinématique puis dynamique » de la série d'exer. de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » est rappelée pour mémoire, la différence entre ces deux exercices portant sur l'aspect utilisé pour résoudre le roulement sans glissement du demi-disque résolution par théorèmes de la dynamique de translation et rotation pour la 2ème question de l'exercice précité, résolution par théorème énergétique pour la 2ème question de l'exercice présent.

     Établir le lien traduisant le roulement sans glissement du demi-disque sur le plan horizontal [10] entre
     Établir le lien la composante horizontale du vecteur vitesse du centre [11] du demi-disque dans le référentiel d'étude «» et
     Établir le lien sa vitesse angulaire «» de rotation autour de l'axe horizontal dans le référentiel lié à en translation relativement à .

     En déduire les composantes cartésiennes des vecteurs vitesse et accélération du centre de masse ou C.D.I. [2] dans le référentiel d'étude en fonction de «», de «» et de « ses dérivées temporelles d'ordre un et deux ».

Étude énergétique du roulement sans glissement du demi-disque sur le plan horizontal[modifier | modifier le wikicode]

     En admettant le théorème de Kœnig [18] relatif à l'énergie cinétique ou 2ème théorème de Kœnig [18] appliqué à un système continu de matière d'expansions tridimensionnelle, surfacique ou linéique [19] à savoir, dans le cas d'une expansion tridimensionnelle où est la masse volumique locale en ,

          En admettant le théorème de Kœnig l'énergie cinétique du système continu d'expansion tridimensionnelle «» évaluée à l'instant dans le référentiel d'étude «» est la somme

  • de l'énergie cinétique barycentrique [20] du système «» évaluée à l'instant et
  • de l'énergie cinétique du C.D.I. [2] du système évaluée au même instant dans le référentiel d'étude en attribuant au point fictif la masse «»

          En admettant le théorème de Kœnig soit, mathématiquement «»,

          En admettant le théorème de Kœnig évaluer, dans le référentiel d'étude et à l'instant , l'énergie cinétique du demi-disque roulant sans glisser [10] sur le plan horizontal en fonction de «, , et » pour résoudre cette question il est nécessaire de déterminer le moment d'inertie de relativement à et pour cela on utilisera le théorème de Huygens [21], [22] liant les moments d'inertie d'un solide relativement à deux axes dont l'un passe par le C.D.I. [2] du solide « avec la distance séparant les deux axes » ;

     exprimer l'énergie potentielle de pesanteur «» du demi-disque roulant sans glisser [10] sur le plan horizontal en fonction de «, , et » puis en déduire

     exprimer l'énergie mécanique dans le champ de pesanteur terrestre «» du demi-disque roulant sans glisser [10] sur le plan horizontal dans le référentiel terrestre en fonction de «, , , et ».

     Rappeler la loi empirique de Coulomb du frottement de glissement [23] pour un « cœfficient de frottement entre le sol et le demi-disque égal à » on notera et les composantes tangentielle et normale de la réaction du plan horizontal sur le demi-disque puis,

     Rappeler l'expression de la puissance instantanée développée par la réaction du plan horizontal sur le demi-disque dans le cas où ce dernier roule sans glisser [10] sur le 1er dans le référentiel , enfin

     déterminer une intégrale 1ère énergétique du demi-disque roulant sans glisser [10] sur le plan horizontal dans le référentiel terrestre  ;

     justifier cette affirmation « cette intégrale 1ère énergétique est celle d'un oscillateur non harmonique» on rappellera succinctement la méthode d'étude par diagramme d'énergies potentielle et mécanique permettant d'aboutir à cette conclusion.

     Bien que ce ne soit pas en général simplificateur dans le cas d'un oscillateur non harmonique, déduire de l'intégrale 1ère énergétique, l'équation différentielle du 2ème ordre en du mouvement de rotation de dans le référentiel d'étude .

Étude des petites oscillations rotatives du demi-disque dans son mouvement de roulement sans glissement sur le plan horizontal[modifier | modifier le wikicode]

     Remarque : cette question étant la 3ème de l'exercice « Roulement sans glissement d'un demi-disque sur un plan, aspect cinématique puis dynamique » de la série d'exer. de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » est rappelée pour mémoire, la différence entre ces deux exercices portant sur l'aspect utilisé pour résoudre le roulement sans glissement du demi-disque résolution par théorèmes de la dynamique de translation et rotation pour la 2ème question de l'exercice précité, résolution par théorème énergétique pour la 2ème question de l'exercice présent.

     Considérant petit, montrer que l'équation différentielle en du mouvement de rotation de dans le référentiel d'étude peut être linéarisée et

          Considérant α0 petit, exprimer le résultat de cette linéarisation ;

          Considérant α0 petit, en déduire la loi horaire des petites élongations angulaires [27] de dans son mouvement de rotation autour de ainsi que

          Considérant α0 petit, en déduire sa période des petites élongations angulaires [27] en fonction de , et puis

                  Considérant α0 petit, en déduire sa période des petites élongations angulaires T en fonction de et .

Mouvement d'une barre appuyée contre un mur[modifier | modifier le wikicode]

Schéma descriptif d'une barre appuyée sans frottement solide contre un mur et reposant également sans frottement solide sur un sol horizontal

     Une barre , homogène, de longueur et de C.D.I. [2] , milieu de , est posée sur le sol horizontal par son extrémité et repose, par son autre extrémité , contre un mur vertical, le plan initial contenant la barre étant vertical au mur ; les contacts sur le sol en et sur le mur en sont supposés sans frottement solide.

     Nous nous intéressons au mouvement de la barre dans le référentiel terrestre galiléen et pour cela nous choisissons un repère cartésien associé à ce référentiel avec le point d'intersection du mur, du sol et du plan vertical contenant initialement la barre, le vecteur unitaire horizontal au plan vertical et pointant vers le lecteur, son sens orientant les angles algébrisés du plan dans le sens anti-horaire, le vecteur unitaire horizontal du plan orientant le sol de ce plan en s'éloignant du mur et le vecteur unitaire vertical ascendant, la base cartésienne étant directe voir schéma ci-contre.

     En supposant que la barre, en absence de vitesse initiale, a un mouvement restant localisé dans le plan vertical contenant initialement la barre, nous repérons la position de celle-ci par l'angle algébrisé «».

Justification de la nature plane du mouvement de la barre[modifier | modifier le wikicode]

     Établir que le mouvement de la barre s'effectue dans le plan vertical contenant initialement la barre dans la mesure où la barre est lâchée sans vitesse initiale.