En raison de limitations techniques, la typographie souhaitable du titre, «
Exercice : Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Énergie cinétique du solide en rotationMécanique 2 (PCSI)/Exercices/Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Énergie cinétique du solide en rotation », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.
Énergie cinétique d'un ensemble particulier de trois tiges sans masse coplanaires et de quatre points matériels [ modifier | modifier le wikicode ]
Ensemble de trois tiges sans masse
(
A
B
,
C
D
,
E
F
)
{\displaystyle \;\left(AB\,,\,CD\,,\,EF\right)\;}
coplanaires et de quatre points matériels
(
C
,
D
,
E
,
F
)
{\displaystyle \;\left(C\,,\,D\,,\,E\,,\,F\right)}
, la tige centrale
A
B
{\displaystyle \;AB\;}
étant mobile autour de son milieu
O
{\displaystyle \;O}
, les tiges extérieures
(
C
D
,
E
F
)
{\displaystyle \;\left(CD\,,\,EF\right)\;}
tournant autour de leur milieu respectif
(
A
,
B
)
{\displaystyle \;\left(A\,,\,B\right)\;}
avec les points matériels
(
C
,
D
,
E
,
F
)
{\displaystyle \;\left(C\,,\,D\,,\,E\,,\,F\right)\;}
fixés aux extrémités des tiges extérieures
(
C
D
,
E
F
)
{\displaystyle \;\left(CD\,,\,EF\right)}
suite de l'exercice « Moment cinétique vectoriel d'un ensemble particulier de trois tiges sans masse coplanaires et de quatre points matériels » de la série d'exer.
2
{\displaystyle 2}
de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ».
Une tige
A
B
{\displaystyle \;AB}
, de masse négligeable, de longueur
4
a
{\displaystyle \;4\;a}
, est suspendue en son milieu
O
{\displaystyle \;O\;}
fixe dans le référentiel terrestre
R
terr
{\displaystyle \;{\mathcal {R}}_{\text{terr}}}
;
en
A
{\displaystyle \;A\;}
et
B
{\displaystyle \;B\;}
sont articulées deux tiges identiques
C
D
{\displaystyle \;CD\;}
et
E
F
{\displaystyle \;EF}
, de masses négligeables, de longueur
2
a
{\displaystyle \;2\;a}
,
(
A
{\displaystyle \;{\big (}A\;}
milieu de
C
D
{\displaystyle \;CD}
,
B
{\displaystyle \;B\;}
milieu de
E
F
)
{\displaystyle \;EF{\big )}\;}
et les articulations sont telles que les trois tiges
A
B
{\displaystyle \;AB}
,
C
D
{\displaystyle \;CD\;}
et
E
F
{\displaystyle \;EF\;}
restent dans un même plan dans lequel sont choisis les deux 1ers vecteurs de la base cartésienne orthonormée directe
(
u
→
x
,
u
→
y
)
{\displaystyle \;\left({\vec {u}}_{x}\,,\,{\vec {u}}_{y}\right)}
, le 3ème vecteur de cette base
u
→
z
=
u
→
x
∧
u
→
y
{\displaystyle \;{\vec {u}}_{z}={\vec {u}}_{x}\wedge {\vec {u}}_{y}\;}
étant
⊥
{\displaystyle \;\perp \;}
au plan contenant les trois tiges en pointant vers le lecteur, son sens définissant le sens
+
{\displaystyle \;+\;}
des angles algébrisés de ce plan dans le sens antihoraire ;
aux extrémités
(
C
,
D
,
E
,
F
)
{\displaystyle \;\left(C\,,\,D\,,\,E\,,\,F\right)\;}
sont fixés quatre points matériels identiques de masse
m
{\displaystyle \;m}
;
la position angulaire des tiges dans le plan
x
O
y
{\displaystyle \;xOy\;}
est définie relativement à l'axe passant par le milieu des tiges et orienté par
u
→
x
{\displaystyle \;{\vec {u}}_{x}\;}
selon :
l'angle algébrisé
φ
(
t
)
=
{
O
x
→
,
O
A
→
(
t
)
}
^
{\displaystyle \;\varphi (t)={\widehat {\left\lbrace {\overrightarrow {Ox}}\,,\,{\overrightarrow {OA}}(t)\right\rbrace }}\;}
pour repérer la tige
A
B
{\displaystyle \;AB}
,
l'angle algébrisé
α
(
t
)
=
{
A
x
→
,
A
C
→
(
t
)
}
^
{\displaystyle \;\alpha (t)={\widehat {\left\lbrace {\overrightarrow {Ax}}\,,\,{\overrightarrow {AC}}(t)\right\rbrace }}\;}
pour repérer la tige
C
D
{\displaystyle \;CD\;}
et
l'angle algébrisé
β
(
t
)
=
{
B
x
→
,
B
E
→
(
t
)
}
^
{\displaystyle \;\beta (t)={\widehat {\left\lbrace {\overrightarrow {Bx}}\,,\,{\overrightarrow {BE}}(t)\right\rbrace }}\;}
pour repérer la tige
E
F
{\displaystyle \;EF}
.
En admettant le théorème de Kœnig[1] relatif à l'énergie cinétique
(
{\displaystyle \;{\big (}}
ou 2ème théorème de Kœnig[1]
)
{\displaystyle {\big )}\;}
appliqué à un système de deux points matériels[2] à savoir
En admettant le théorème de Kœnig l'énergie cinétique du système de deux points matériels «
{
M
i
(
m
i
)
}
i
∈
[
[
1
,
2
]
]
{\displaystyle \;\left\lbrace M_{i}\;\left(m_{i}\right)\right\rbrace _{i\,\in \,\left[\left[1\,,\,2\right]\right]}\;}
» évaluée à l'instant
t
{\displaystyle \;t\;}
dans le référentiel d'étude
R
{\displaystyle \;{\mathcal {R}}\;}
«
K
(
syst
,
t
)
{\displaystyle \;K({\text{syst}},\,t)\;}
» est la somme
de l'énergie cinétique barycentrique[3] du système «
K
∗
(
syst
,
t
)
{\displaystyle \;K^{\,*}\!({\text{syst}},\,t)\;}
» évaluée à l'instant
t
{\displaystyle \;t\;}
et
de l'énergie cinétique du C.D.I[4] .
G
{\displaystyle \;G\;}
du système évaluée au même instant
t
{\displaystyle \;t\;}
dans le référentiel d'étude
R
{\displaystyle \;{\mathcal {R}}\;}
[
{\displaystyle \;{\big [}}
en attribuant au point fictif
G
{\displaystyle \;G\;}
la masse
m
syst
]
{\displaystyle \;m_{\text{syst}}{\big ]}\;}
«
K
(
G
,
t
)
=
1
2
m
syst
V
→
G
2
(
t
)
{\displaystyle \;K\!(G,\,t)={\dfrac {1}{2}}\;m_{\text{syst}}\;{\vec {V}}_{G}^{\,2}(t)\;}
»
En admettant le théorème de Kœnig soit, mathématiquement «
K
(
syst
,
t
)
=
K
∗
(
syst
,
t
)
+
K
(
G
,
t
)
=
K
∗
(
syst
,
t
)
+
1
2
m
syst
V
→
G
2
(
t
)
{\displaystyle \;K({\text{syst}},\,t)=K^{\,*}\!({\text{syst}},\,t)+K\!(G,\,t)=K^{\,*}\!({\text{syst}},\,t)+{\dfrac {1}{2}}\;m_{\text{syst}}\;{\vec {V}}_{G}^{\,2}(t)\;}
»,
évaluer, dans le référentiel terrestre
R
terr
{\displaystyle \;{\mathcal {R}}_{\text{terr}}\;}
et à l'instant
t
{\displaystyle \;t}
, l'énergie cinétique du système
(
S
)
{\displaystyle \;\left({\mathcal {S}}\right)\;}
constitué des trois tiges et des quatre points matériels «
K
(
S
,
t
)
{\displaystyle \;K\!\left({\mathcal {S}},\,t\right)\;}
» en fonction des données et des dérivées temporelles
{
φ
˙
(
t
)
,
α
˙
(
t
)
,
β
˙
(
t
)
}
{\displaystyle \;\left\lbrace {\dot {\varphi }}(t)\,,\,{\dot {\alpha }}(t)\,,\,{\dot {\beta }}(t)\right\rbrace }
.
Solution
Dans le référentiel terrestre
R
terr
{\displaystyle \;{\mathcal {R}}_{\text{terr}}\;}
et à l'instant
t
{\displaystyle \;t}
, l'énergie cinétique du système
(
S
)
{\displaystyle \;\left({\mathcal {S}}\right)\;}
«
K
(
S
,
t
)
{\displaystyle \;K\!\left({\mathcal {S}},\,t\right)\;}
» est la somme des énergies cinétiques au même instant
t
{\displaystyle \;t\;}
des trois tiges chargées de leurs points matériels
«
K
(
A
B
,
t
)
{\displaystyle \;K\!\left(AB,\,t\right)}
,
K
(
C
D
alourdie
,
t
)
{\displaystyle \;K\!\left(CD_{\text{alourdie}},\,t\right)\;}
et
K
(
E
F
alourdie
,
t
)
{\displaystyle \;K\!\left(EF_{\text{alourdie}},\,t\right)\;}
» soit
«
K
(
S
,
t
)
=
K
(
A
B
,
t
)
+
K
(
C
D
alourdie
,
t
)
+
K
(
E
F
alourdie
,
t
)
{\displaystyle \;K\!\left({\mathcal {S}},\,t\right)=K\!\left(AB,\,t\right)+K\!\left(CD_{\text{alourdie}},\,t\right)+K\!\left(EF_{\text{alourdie}},\,t\right)\;}
» avec
«
K
(
A
B
,
t
)
=
1
2
J
O
z
(
A
B
)
Ω
→
A
B
2
(
t
)
{\displaystyle \;K\!\left(AB,\,t\right)={\dfrac {1}{2}}\;J_{Oz}(AB)\;{\vec {\Omega }}_{AB}^{\,2}(t)\;}
» avec «
Ω
→
A
B
(
t
)
=
φ
˙
(
t
)
u
→
z
{\displaystyle \;{\vec {\Omega }}_{AB}(t)={\dot {\varphi }}(t)\;{\vec {u}}_{z}\;}
le vecteur rotation instantanée de la tige
A
B
{\displaystyle \;AB\;}
» et «
J
O
z
(
A
B
)
{\displaystyle \;J_{Oz}(AB)\;}
son moment d'inertie relativement à la médiatrice
O
z
{\displaystyle \;Oz\;}
lequel est nul pour une tige sans masse » d'où «
K
(
A
B
,
t
)
=
0
∀
t
{\displaystyle \;K\!\left(AB,\,t\right)=0\;\;\forall \;t\;}
»,
«
K
(
C
D
alourdie
,
t
)
=
K
∗
(
C
D
alourdie
,
t
)
+
1
2
(
2
m
)
V
→
A
2
(
t
)
{\displaystyle \;K\!\left(CD_{\text{alourdie}},\,t\right)=K^{\,*}\!\left(CD_{\text{alourdie}},\,t\right)+{\dfrac {1}{2}}\,\left(2\;m\right)\,{\vec {V}}_{A}^{\,2}(t)\;}
» par application du 2ème théorème de Kœnig[1] à l'ensemble de la tige
C
D
{\displaystyle \;CD\;}
alourdie à ses extrémités par les points matériels de masse
m
{\displaystyle \;m}
, «
K
∗
(
C
D
alourdie
,
t
)
{\displaystyle \;K^{\,*}\!\left(CD_{\text{alourdie}},\,t\right)\;}
étant l'énergie cinétique barycentrique[3] de la tige
C
D
{\displaystyle \;CD\;}
alourdie » et «
A
{\displaystyle \;A\;}
le C.D.I[4] . de cette tige alourdie de masse
2
m
{\displaystyle \;2\;m\;}
»
(
{\displaystyle \;{\big (}}
la tige étant sans masse
)
{\displaystyle {\big )}\;}
avec «
K
∗
(
C
D
alourdie
,
t
)
=
1
2
J
A
z
(
C
D
alourdie
)
Ω
→
tige
C
D
2
(
t
)
{\displaystyle \;K^{\,*}\!\left(CD_{\text{alourdie}},\,t\right)={\dfrac {1}{2}}\;J_{Az}(CD_{\text{alourdie}})\;{\vec {\Omega }}_{{\text{tige }}CD}^{\,2}(t)\;}
» dans lequel «
Ω
→
tige
C
D
(
t
)
=
α
˙
(
t
)
u
→
z
{\displaystyle \;{\vec {\Omega }}_{{\text{tige }}CD}(t)={\dot {\alpha }}(t)\;{\vec {u}}_{z}\;}
est le vecteur rotation instantanée de la tige
C
D
{\displaystyle \;CD\;}
» et «
J
A
z
(
C
D
alourdie
)
{\displaystyle \;J_{Az}(CD_{\text{alourdie}})\;}
le moment d'inertie de la tige
C
D
{\displaystyle \;CD\;}
alourdie à ses extrémités relativement à la médiatrice
A
z
{\displaystyle \;Az\;}
encore égal à
J
A
z
(
C
D
alourdie
)
=
2
m
a
2
{\displaystyle \;J_{Az}(CD_{\text{alourdie}})=2\;m\;a^{2}}
(
{\displaystyle \;{\big (}}
la tige
C
D
{\displaystyle \;CD\;}
étant sans masse, il ne reste que le moment d'inertie de chaque point matériel
)
{\displaystyle {\big )}\;}
» d'où «
K
∗
(
C
D
alourdie
,
t
)
=
1
2
(
2
m
a
2
)
α
˙
2
(
t
)
=
m
a
2
α
˙
2
(
t
)
{\displaystyle \;K^{\,*}\!\left(CD_{\text{alourdie}},\,t\right)={\dfrac {1}{2}}\,\left(2\;m\;a^{2}\right)\,{\dot {\alpha }}^{\,2}(t)=m\;a^{2}\;{\dot {\alpha }}^{\,2}(t)\;}
» et «
1
2
(
2
m
)
V
→
A
2
(
t
)
=
m
[
Ω
→
A
B
(
t
)
∧
2
a
u
→
r
(
A
,
t
)
]
2
=
4
m
a
2
φ
˙
2
(
t
)
[
u
→
z
∧
u
→
r
(
A
,
t
)
]
2
=
4
m
a
2
φ
˙
2
(
t
)
{\displaystyle \;{\dfrac {1}{2}}\,\left(2\;m\right)\,{\vec {V}}_{A}^{\,2}(t)=m\,\left[{\vec {\Omega }}_{AB}(t)\wedge 2\;a\;{\vec {u}}_{r}(A,\,t)\right]^{2}=4\;m\;a^{2}\;{\dot {\varphi }}^{\,2}(t)\,\left[{\vec {u}}_{z}\wedge {\vec {u}}_{r}(A,\,t)\right]^{2}=4\;m\;a^{2}\;{\dot {\varphi }}^{\,2}(t)\;}
[5] » d'où «
K
(
C
D
alourdie
,
t
)
=
m
a
2
α
˙
2
(
t
)
+
4
m
a
2
φ
˙
2
(
t
)
=
m
a
2
[
4
φ
˙
2
(
t
)
+
α
˙
2
(
t
)
]
{\displaystyle \;K\!\left(CD_{\text{alourdie}},\,t\right)=m\;a^{2}\;{\dot {\alpha }}^{\,2}(t)+4\;m\;a^{2}\;{\dot {\varphi }}^{\,2}(t)=m\;a^{2}\,\left[4\;{\dot {\varphi }}^{\,2}(t)+{\dot {\alpha }}^{\,2}(t)\right]\;}
»,
«
K
(
E
F
alourdie
,
t
)
=
K
∗
(
E
F
alourdie
,
t
)
+
1
2
(
2
m
)
V
→
B
2
(
t
)
{\displaystyle \;K\!\left(EF_{\text{alourdie}},\,t\right)=K^{\,*}\!\left(EF_{\text{alourdie}},\,t\right)+{\dfrac {1}{2}}\,\left(2\;m\right)\,{\vec {V}}_{B}^{\,2}(t)\;}
» par application du 2ème théorème de Kœnig[1] à l'ensemble de la tige
E
F
{\displaystyle \;EF\;}
alourdie à ses extrémités par les points matériels de masse
m
{\displaystyle \;m}
, «
K
∗
(
E
F
alourdie
,
t
)
{\displaystyle \;K^{\,*}\!\left(EF_{\text{alourdie}},\,t\right)\;}
étant l'énergie cinétique barycentrique[3] de la tige
E
F
{\displaystyle \;EF\;}
alourdie » et «
B
{\displaystyle \;B\;}
le C.D.I[4] . de cette tige alourdie de masse
2
m
{\displaystyle \;2\;m\;}
»
(
{\displaystyle \;{\big (}}
la tige étant sans masse
)
{\displaystyle {\big )}\;}
avec «
K
∗
(
E
F
alourdie
,
t
)
=
1
2
J
B
z
(
E
F
alourdie
)
Ω
→
tige
E
F
2
(
t
)
{\displaystyle \;K^{\,*}\!\left(EF_{\text{alourdie}},\,t\right)={\dfrac {1}{2}}\;J_{Bz}(EF_{\text{alourdie}})\;{\vec {\Omega }}_{{\text{tige }}EF}^{\,2}(t)\;}
» dans lequel «
Ω
→
tige
E
F
(
t
)
=
β
˙
(
t
)
u
→
z
{\displaystyle \;{\vec {\Omega }}_{{\text{tige }}EF}(t)={\dot {\beta }}(t)\;{\vec {u}}_{z}\;}
est le vecteur rotation instantanée de la tige
E
F
{\displaystyle \;EF\;}
» et «
J
B
z
(
E
F
alourdie
)
{\displaystyle \;J_{Bz}(EF_{\text{alourdie}})\;}
le moment d'inertie de la tige
E
F
{\displaystyle \;EF\;}
alourdie à ses extrémités relativement à la médiatrice
B
z
{\displaystyle \;Bz\;}
encore égal à
J
B
z
(
E
F
alourdie
)
=
2
m
a
2
{\displaystyle \;J_{Bz}(EF_{\text{alourdie}})=2\;m\;a^{2}}
(
{\displaystyle \;{\big (}}
la tige
E
F
{\displaystyle \;EF\;}
étant sans masse, il ne reste que le moment d'inertie de chaque point matériel
)
{\displaystyle {\big )}\;}
» d'où «
K
∗
(
E
F
alourdie
,
t
)
=
1
2
(
2
m
a
2
)
β
˙
2
(
t
)
=
m
a
2
β
˙
2
(
t
)
{\displaystyle \;K^{\,*}\!\left(EF_{\text{alourdie}},\,t\right)={\dfrac {1}{2}}\,\left(2\;m\;a^{2}\right)\,{\dot {\beta }}^{\,2}(t)=m\;a^{2}\;{\dot {\beta }}^{\,2}(t)\;}
» et «
1
2
(
2
m
)
V
→
B
2
(
t
)
=
m
[
Ω
→
A
B
(
t
)
∧
2
a
u
→
r
(
B
,
t
)
]
2
=
4
m
a
2
φ
˙
2
(
t
)
[
u
→
z
∧
u
→
r
(
B
,
t
)
]
2
=
4
m
a
2
φ
˙
2
(
t
)
{\displaystyle \;{\dfrac {1}{2}}\,\left(2\;m\right)\,{\vec {V}}_{B}^{\,2}(t)=m\,\left[{\vec {\Omega }}_{AB}(t)\wedge 2\;a\;{\vec {u}}_{r}(B,\,t)\right]^{2}=4\;m\;a^{2}\;{\dot {\varphi }}^{\,2}(t)\,\left[{\vec {u}}_{z}\wedge {\vec {u}}_{r}(B,\,t)\right]^{2}=4\;m\;a^{2}\;{\dot {\varphi }}^{\,2}(t)\;}
[6] » d'où «
K
(
E
F
alourdie
,
t
)
=
m
a
2
β
˙
2
(
t
)
+
4
m
a
2
φ
˙
2
(
t
)
=
m
a
2
[
4
φ
˙
2
(
t
)
+
β
˙
2
(
t
)
]
{\displaystyle \;K\!\left(EF_{\text{alourdie}},\,t\right)=m\;a^{2}\;{\dot {\beta }}^{\,2}(t)+4\;m\;a^{2}\;{\dot {\varphi }}^{\,2}(t)=m\;a^{2}\,\left[4\;{\dot {\varphi }}^{\,2}(t)+{\dot {\beta }}^{\,2}(t)\right]\;}
» ;
ajoutant les trois composantes de l'énergie cinétique du système
(
S
)
{\displaystyle \;\left({\mathcal {S}}\right)\;}
selon «
K
(
S
,
t
)
=
K
(
A
B
,
t
)
+
K
(
C
D
alourdie
,
t
)
+
K
(
E
F
alourdie
,
t
)
{\displaystyle \;K\!\left({\mathcal {S}},\,t\right)=K\!\left(AB,\,t\right)+K\!\left(CD_{\text{alourdie}},\,t\right)+K\!\left(EF_{\text{alourdie}},\,t\right)\;}
» nous obtenons
«
K
(
S
,
t
)
=
m
a
2
[
8
φ
˙
2
(
t
)
+
α
˙
2
(
t
)
+
β
˙
2
(
t
)
]
{\displaystyle \;K\!\left({\mathcal {S}},\,t\right)=m\;a^{2}\,\left[8\;{\dot {\varphi }}^{\,2}(t)+{\dot {\alpha }}^{\,2}(t)+{\dot {\beta }}^{\,2}(t)\right]\;}
».
Additif, démonstration du 2ème théorème de Kœnig[1]
(
{\displaystyle \;{\big (}}
non demandé
)
{\displaystyle {\big )}}
: voir le paragraphe « démonstration (du théorème de Kœnig relatif à l'énergie cinétique - ou 2ème théorème de Kœnig - appliqué à un système de deux points matériels) » du chap.
1
{\displaystyle 1}
de la leçon « Mécanique des systèmes de points »
…
{\displaystyle \;\ldots }
Quart de disque homogène de centre C limité par l'arc de cercle AB tournant autour de l'axe CA de son plan (2ème suite) [ modifier | modifier le wikicode ]
Schéma d'un quart de disque homogène limité par l'arc de cercle AB et par les deux rayons perpendiculaires CA et CB, C étant le centre de l'arc de cercle de rayon R
suite de l'exercice « Quart de disque homogène de centre C limité par l'arc de cercle AB tournant autour de l'axe CA de son plan » de la série d'exer.
5
{\displaystyle 5}
de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » et de l'exercice « Quart de disque homogène de centre C limité par l'arc de cercle AB tournant autour de l'axe CA de son plan (1re suite) » de la série d'exer.
3
{\displaystyle 3}
de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ».
On considère le quart de disque homogène
D
{\displaystyle \;{\mathcal {D}}\;}
limité par le quart de cercle
A
B
⌢
{\displaystyle \;{\overset {\;\frown }{\!AB}}\;}
et les deux rayons
C
A
{\displaystyle \;CA\;}
et
C
B
{\displaystyle \;CB\;}
respectivement perpendiculaires, avec
C
{\displaystyle \;C\;}
centre du quart de cercle et
R
{\displaystyle \;R\;}
le rayon de ce dernier
(
{\displaystyle \;{\big (}}
voir schéma ci-contre
)
{\displaystyle {\big )}}
;
appelant
σ
0
{\displaystyle \;\sigma _{0}\;}
la masse surfacique constante du quart de disque, on se propose
{
{\displaystyle \;{\Big \{}}
en utilisant éventuellement les résultats de l'exercice précité en préambule à savoir la position du C.D.I[7] .
G
{\displaystyle \;G\;}
du quart de disque
D
{\displaystyle \;{\mathcal {D}}\;}
ainsi que le vecteur vitesse
V
→
G
(
t
)
{\displaystyle \;{\vec {V}}_{G}(t)\;}
de
G
{\displaystyle \;G\;}
dans le référentiel du laboratoire
R
lab
{\displaystyle \;{\mathcal {R}}_{\text{lab}}\;}
en fonction, entre autres, du vecteur rotation instantanée
Ω
→
=
ω
0
u
→
(
C
A
)
{\displaystyle \;{\vec {\Omega }}=\omega _{0}\;{\vec {u}}_{(CA)}\;}
de
D
{\displaystyle \;{\mathcal {D}}\;}
dans
R
lab
{\displaystyle \;{\mathcal {R}}_{\text{lab}}\;}
[
u
→
(
C
A
)
{\displaystyle \;{\big [}{\vec {u}}_{(CA)}\;}
étant le vecteur unitaire orientant l'axe de rotation
]
{\displaystyle {\big ]}\;}
ou de sa 1re suite précitée en préambule à savoir le vecteur moment cinétique
L
→
C
(
D
,
t
)
{\displaystyle \;{\vec {L}}_{C}({\mathcal {D}},\,t)\;}
[8] du quart de disque
D
{\displaystyle \;{\mathcal {D}}\;}
relativement à
C
{\displaystyle \;C\;}
dans
R
lab
}
{\displaystyle \;{\mathcal {R}}_{\text{lab}}{\Big \}}\;}
de déterminer l'énergie cinétique du quart de disque
D
{\displaystyle \;{\mathcal {D}}\;}
relativement au référentiel du laboratoire
R
lab
{\displaystyle \;{\mathcal {R}}_{\text{lab}}}
.
Détermination de l'énergie cinétique du quart de disque en rotation autour de l'axe CA avec un vecteur rotation instantanée connu dans le référentiel du laboratoire [ modifier | modifier le wikicode ]
Considérant la rotation du quart de disque limité par le quart de cercle
A
B
⌢
{\displaystyle \;{\overset {\;\frown }{\!AB}}\;}
et les deux rayons respectivement perpendiculaires autour de l'axe
(
C
A
)
{\displaystyle \;(CA)\;}
avec
C
{\displaystyle \;C\;}
centre de l'arc de cercle, à la vitesse angulaire constante
ω
0
{\displaystyle \;\omega _{0}\;}
dans le référentiel du laboratoire
R
lab
{\displaystyle \;{\mathcal {R}}_{\text{lab}}}
,
exprimer, sous forme d'une intégrale surfacique[9] , l'énergie cinétique
K
(
D
,
t
)
{\displaystyle \;K({\mathcal {D}},\,t)\;}
du quart de disque
D
{\displaystyle \;{\mathcal {D}}\;}
dans le référentiel du laboratoire
R
lab
{\displaystyle \;{\mathcal {R}}_{\text{lab}}}
[
{\displaystyle \;{\big [}}
on pourra introduire le vecteur rotation instantanée
Ω
→
=
ω
0
u
→
z
{\displaystyle \;{\vec {\Omega }}=\omega _{0}\;{\vec {u}}_{z}\;}
avec
u
→
z
=
u
→
(
C
A
)
{\displaystyle \;{\vec {u}}_{z}={\vec {u}}_{(CA)}\;}
le vecteur unitaire orientant l'axe de rotation
]
{\displaystyle {\big ]}\;}
puis
vérifier que l'énergie cinétique
K
(
D
,
t
)
{\displaystyle \;K({\mathcal {D}},\,t)\;}
du quart de disque
D
{\displaystyle \;{\mathcal {D}}\;}
dans
R
lab
{\displaystyle \;{\mathcal {R}}_{\text{lab}}\;}
suit la formule classique en fonction des vecteurs moment cinétique
L
→
C
(
D
,
t
)
{\displaystyle \;{\vec {L}}_{C}({\mathcal {D}},\,t)\;}
[8] et rotation instantanée
Ω
→
=
ω
0
u
→
z
{\displaystyle \;{\vec {\Omega }}=\omega _{0}\;{\vec {u}}_{z}\;}
d'un solide en rotation autour d'un axe fixe et
évaluer l'énergie cinétique en fonction des données.
Solution
Schéma de situation d'un quart de disque homogène limité par l'arc de cercle AB et par les deux rayons perpendiculaires CA et CB, C étant le centre de l'arc de cercle de rayon R, le quart de disque étant en rotation uniforme autour de l'axe CA à la vitesse angulaire ω0
Le quart de disque homogène
D
{\displaystyle \;{\mathcal {D}}\;}
limité par le quart de cercle
A
B
⌢
{\displaystyle \;{\overset {\;\frown }{\!AB}}\;}
et les deux rayons
C
A
{\displaystyle \;CA\;}
et
C
B
{\displaystyle \;CB\;}
respectivement
⊥
{\displaystyle \;\perp }
(
C
{\displaystyle \;{\big (}C\;}
étant le centre du quart de cercle et
R
{\displaystyle \;R\;}
le rayon de ce dernier
)
{\displaystyle {\big )}}
, est en rotation uniforme autour de l'axe
C
A
{\displaystyle \;CA\;}
de vecteur rotation instantanée
Ω
→
=
ω
0
u
→
(
C
A
)
=
ω
0
u
→
z
{\displaystyle \;{\vec {\Omega }}=\omega _{0}\;{\vec {u}}_{(CA)}=\omega _{0}\;{\vec {u}}_{z}\;}
[
{\displaystyle {\Big [}}
on choisit de repérer le point générique
M
{\displaystyle \;M\;}
de
D
{\displaystyle \;{\mathcal {D}}\;}
par le système de coordonnées cylindro-polaires d'axe
C
A
{\displaystyle \;CA\;}
appelé
C
z
→
{\displaystyle \;{\overrightarrow {Cz}}\;}
par la suite, la base cylindro-polaire liée à
M
{\displaystyle \;M\;}
étant notée «
{
u
→
ρ
(
M
)
,
u
→
θ
(
M
)
,
u
→
z
}
{\displaystyle \;\left\lbrace {\vec {u}}_{\rho }(M)\,,\,{\vec {u}}_{\theta }(M)\,,\,{\vec {u}}_{z}\right\rbrace \;}
» et les coordonnées cylindro-polaires de
M
{\displaystyle \;M\;}
«
{
ρ
M
,
θ
M
=
ω
0
t
+
θ
(
M
,
0
)
,
z
M
}
{\displaystyle \;\left\lbrace \rho _{M}\,,\,\theta _{M}=\omega _{0}\;t+\theta _{(M,\,0)}\,,\,z_{M}\right\rbrace \;}
»
(
{\displaystyle \;{\big (}}
voir ci-contre le repérage cylindro-polaire du C.D.I[7] .
G
{\displaystyle \;G\;}
du quart de disque
D
{\displaystyle \;{\mathcal {D}}}
, celui du point générique
M
{\displaystyle \;M\;}
s'imaginant aisément
)
]
{\displaystyle {\big )}{\Big ]}}
;
l'énergie cinétique
K
(
D
,
t
)
{\displaystyle \;K({\mathcal {D}},\,t)\;}
du quart de disque
D
{\displaystyle \;{\mathcal {D}}\;}
dans le référentiel du laboratoire
R
lab
{\displaystyle \;{\mathcal {R}}_{\text{lab}}\;}
étant défini selon
«
K
(
D
,
t
)
=
∬
M
∈
D
1
2
σ
0
V
→
M
2
(
t
)
d
S
M
{\displaystyle \;K({\mathcal {D}},\,t)=\displaystyle \iint \limits _{M\,\in \,{\mathcal {D}}}{\dfrac {1}{2}}\;\sigma _{0}\;{\vec {V}}_{\!M}^{\,2}(t)\;dS_{M}\;}
»[9] avec
d
S
M
{\displaystyle \;dS_{M}\;}
l'aire de la surface élémentaire entourant le point générique
M
∈
D
{\displaystyle \;M\in {\mathcal {D}}}
,
se réécrit, dans le cas de
D
{\displaystyle \;{\mathcal {D}}\;}
en rotation autour de l'axe
C
z
{\displaystyle \;Cz\;}
de vecteur rotation instantanée
Ω
→
=
ω
0
u
→
z
{\displaystyle \;{\vec {\Omega }}=\omega _{0}\;{\vec {u}}_{z}\;}
dont on déduit «
V
→
M
(
t
)
=
Ω
→
∧
C
M
→
(
t
)
{\displaystyle \;{\vec {V}}_{\!M}(t)={\vec {\Omega }}\wedge {\overrightarrow {CM}}(t)\;}
» et par suite «
V
→
M
2
(
t
)
=
{\displaystyle \;{\vec {V}}_{\!M}^{\,2}(t)=}
V
→
M
(
t
)
⋅
[
Ω
→
∧
C
M
→
(
t
)
]
=
Ω
→
⋅
[
C
M
→
(
t
)
∧
C
M
→
(
t
)
]
{\displaystyle {\vec {V}}_{\!M}(t)\cdot \left[{\vec {\Omega }}\wedge {\overrightarrow {CM}}(t)\right]={\vec {\Omega }}\cdot \left[{\overrightarrow {CM}}(t)\wedge {\overrightarrow {CM}}(t)\right]\;}
» en utilisant l'invariance d'un produit mixte par permutation circulaire
[10] , selon l'intégrale surfacique
«
K
(
D
,
t
)
=
1
2
Ω
→
⋅
∬
M
∈
D
C
M
→
(
t
)
∧
σ
0
V
→
M
(
t
)
d
S
M
{\displaystyle \;K({\mathcal {D}},\,t)={\dfrac {1}{2}}\;{\vec {\Omega }}\cdot \displaystyle \iint \limits _{M\,\in \,{\mathcal {D}}}{\overrightarrow {CM}}(t)\wedge \sigma _{0}\;{\vec {V}}_{\!M}(t)\;dS_{M}\;}
[9]
=
1
2
Ω
→
⋅
L
→
C
(
D
,
t
)
{\displaystyle ={\dfrac {1}{2}}\;{\vec {\Omega }}\cdot {\vec {L}}_{C}({\mathcal {D}},\,t)\;}
»[8] car «
∬
M
∈
D
C
M
→
(
t
)
∧
σ
0
V
→
M
(
t
)
d
S
M
=
L
→
C
(
D
,
t
)
{\displaystyle \;\displaystyle \iint \limits _{M\,\in \,{\mathcal {D}}}{\overrightarrow {CM}}(t)\wedge \sigma _{0}\;{\vec {V}}_{\!M}(t)\;dS_{M}={\vec {L}}_{C}({\mathcal {D}},\,t)\;}
»[8] par définition ;
or, en utilisant le repérage cylindro-polaire du point
M
{\displaystyle \;M\;}
nous avions établi, dans la
1re suite de l'exercice précité en préambule, «
L
→
C
(
D
,
t
)
=
σ
0
ω
0
[
π
R
4
16
u
→
z
−
R
4
8
u
→
ρ
]
{\displaystyle \;{\vec {L}}_{C}({\mathcal {D}},\,t)=\sigma _{0}\;\omega _{0}\left[{\dfrac {\pi \;R^{\,4}}{16}}\;{\vec {u}}_{z}-{\dfrac {R^{\,4}}{8}}\;{\vec {u}}_{\rho }\right]\;}
»
[11] d'où «
K
(
D
,
t
)
=
1
2
Ω
→
⋅
L
→
C
(
D
,
t
)
{\displaystyle \;K({\mathcal {D}},\,t)={\dfrac {1}{2}}\;{\vec {\Omega }}\cdot {\vec {L}}_{C}({\mathcal {D}},\,t)}
=
1
2
ω
0
u
→
z
⋅
{
σ
0
ω
0
[
π
R
4
16
u
→
z
−
R
4
8
u
→
ρ
]
}
{\displaystyle ={\dfrac {1}{2}}\;\omega _{0}\;{\vec {u}}_{z}\cdot \left\lbrace \sigma _{0}\;\omega _{0}\left[{\dfrac {\pi \;R^{\,4}}{16}}\;{\vec {u}}_{z}-{\dfrac {R^{\,4}}{8}}\;{\vec {u}}_{\rho }\right]\right\rbrace \;}
» soit finalement
«
K
(
D
,
t
)
=
σ
0
ω
0
2
π
R
4
32
{\displaystyle \;K({\mathcal {D}},\,t)=\sigma _{0}\;\omega _{0}^{\,2}\;{\dfrac {\pi \;R^{\,4}}{32}}\;}
» ou encore,
en introduisant la masse du quart de disque «
m
D
=
σ
0
π
R
2
4
{\displaystyle \;m_{\mathcal {D}}={\dfrac {\sigma _{0}\;\pi \;R^{\,2}}{4}}\;}
» et réintroduisant le vecteur rotation instantanée «
Ω
→
=
ω
0
u
→
z
{\displaystyle \;{\vec {\Omega }}=\omega _{0}\;{\vec {u}}_{z}\;}
»,
«
K
(
D
,
t
)
=
m
D
R
2
8
Ω
→
2
=
1
2
J
C
z
(
D
)
Ω
→
2
{\displaystyle \;K({\mathcal {D}},\,t)={\dfrac {m_{\mathcal {D}}\;R^{\,2}}{8}}\;{\vec {\Omega }}^{\,2}={\dfrac {1}{2}}\;J_{Cz}({\mathcal {D}})\;{\vec {\Omega }}^{\,2}\;}
» avec «
J
C
z
(
D
)
=
∬
M
∈
D
σ
0
ρ
M
2
d
S
M
{\displaystyle \;J_{Cz}({\mathcal {D}})=\displaystyle \iint \limits _{M\,\in \,{\mathcal {D}}}\sigma _{0}\;\rho _{M}^{\,2}\;dS_{M}\;}
le moment d'inertie de
D
{\displaystyle \;{\mathcal {D}}\;}
par rapport à l'axe »[9] soit «
J
C
z
(
D
)
=
m
D
R
2
4
{\displaystyle \;J_{Cz}({\mathcal {D}})={\dfrac {m_{\mathcal {D}}\;R^{\,2}}{4}}\;}
»[12] .
Roulement à billes entre les couronnes coaxiales, l'une intérieure fixe de rayon R1 et l'autre extérieure de rayon R2 tournant à la vitesse angulaire Ω autour de l'axe Δ commun aux deux couronnes et au roulement
Un roulement à billes est constitué de
n
{\displaystyle \;n\;}
billes sphériques homogènes de masse
m
{\displaystyle \;m}
(
n
∈
N
∗
∖
{
1
,
2
,
3
}
)
{\displaystyle \;{\big (}n\,\in \,\mathbb {N} ^{*}\,\backslash \left\lbrace 1\,,\,2\,,\,3\right\rbrace {\big )}}
;
dans le référentiel d'étude
R
lab
{\displaystyle \;{\mathcal {R}}_{\text{lab}}}
, la couronne intérieure de surface latérale cylindrique de rayon
R
1
{\displaystyle \;R_{1}\;}
est fixe et dans le référentiel d'étude la couronne extérieure
(
{\displaystyle \;{\big (}}
assimilable à un tuyau cylindrique dont la masse
M
{\displaystyle \;M\;}
est répartie uniformément sur sa surface
)
{\displaystyle {\big )}}
, de rayon
R
2
{\displaystyle \;R_{2}\;}
tourne à la vitesse angulaire
Ω
{\displaystyle \;\Omega \;}
autour de l'axe
Δ
{\displaystyle \;\Delta \;}
commun aux deux couronnes et au roulement à billes dont
O
{\displaystyle \;O\;}
est le centre de symétrie.
Nous supposons que les billes, n'ayant pas de contact entre elles, roulent sans glisser[13] à la fois sur la couronne intérieure et sur la couronne extérieure.
Nous admettons les expressions des moments d'inertie des solides suivants relativement à leur axe de révolution
une boule
(
B
)
{\displaystyle \;\left({\mathcal {B}}\right)}
, homogène, de masse
m
(
B
)
{\displaystyle \;m_{\left({\mathcal {B}}\right)}}
, de rayon
r
(
B
)
{\displaystyle \;r_{\left({\mathcal {B}}\right)}\;}
autour d'un diamètre quelconque
Δ
{\displaystyle \;\Delta \;}
«
J
Δ
(
B
)
=
2
5
m
(
B
)
r
(
B
)
2
{\displaystyle \;J_{\Delta }\!\left({\mathcal {B}}\right)={\dfrac {2}{5}}\;m_{\left({\mathcal {B}}\right)}\;r_{\left({\mathcal {B}}\right)}^{\,2}\;}
»,
un tuyau cylindrique
(
T
c
)
{\displaystyle \;\left({\mathcal {T}}c\right)}
, homogène, de masse
m
(
T
c
)
{\displaystyle \;m_{\left({\mathcal {T}}c\right)}}
, de rayon
r
(
T
c
)
{\displaystyle \;r_{\left({\mathcal {T}}c\right)}\;}
autour de son axe de révolution
Δ
{\displaystyle \;\Delta \;}
«
J
Δ
(
T
c
)
=
m
(
T
c
)
r
(
T
c
)
2
{\displaystyle \;J_{\Delta }\!\left({\mathcal {T}}c\right)=m_{\left({\mathcal {T}}c\right)}\;r_{\left({\mathcal {T}}c\right)}^{\,2}\;}
».
En admettant le théorème de Kœnig[1] relatif à l'énergie cinétique
(
{\displaystyle \;{\big (}}
ou 2ème théorème de Kœnig[1]
)
{\displaystyle {\big )}\;}
appliqué à un système continu de matière d'expansions tridimensionnelle, surfacique ou linéique[14] à savoir, dans le cas d'une expansion tridimensionnelle,
En admettant le théorème de Kœnig l'énergie cinétique du système continu d'expansion tridimensionnelle
(
V
)
{\displaystyle \;\left({\mathcal {V}}\right)\;}
«
{
M
(
d
m
=
μ
(
M
)
d
V
)
}
M
∈
(
V
)
{\displaystyle \;\left\lbrace M\;\left(dm=\mu (M)\;d{\mathcal {V}}\right)\right\rbrace _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}\;}
» évaluée à l'instant
t
{\displaystyle \;t\;}
dans le référentiel d'étude
R
{\displaystyle \;{\mathcal {R}}\;}
«
K
(
syst
,
t
)
{\displaystyle \;K({\text{syst}},\,t)\;}
» est la somme
de l'énergie cinétique barycentrique[3] du système «
K
∗
(
syst
,
t
)
{\displaystyle \;K^{\,*}\!({\text{syst}},\,t)\;}
» évaluée à l'instant
t
{\displaystyle \;t\;}
et
de l'énergie cinétique du C.D.I[4] .
G
{\displaystyle \;G\;}
du système évaluée au même instant
t
{\displaystyle \;t\;}
dans le référentiel d'étude
R
{\displaystyle \;{\mathcal {R}}\;}
[
{\displaystyle \;{\big [}}
en attribuant au point fictif
G
{\displaystyle \;G\;}
la masse
m
syst
]
{\displaystyle \;m_{\text{syst}}{\big ]}\;}
«
K
(
G
,
t
)
=
1
2
m
syst
V
→
G
2
(
t
)
{\displaystyle \;K\!(G,\,t)={\dfrac {1}{2}}\;m_{\text{syst}}\;{\vec {V}}_{G}^{\,2}(t)\;}
»
En admettant le théorème de Kœnig soit, mathématiquement «
K
(
syst
,
t
)
=
K
∗
(
syst
,
t
)
+
K
(
G
,
t
)
=
K
∗
(
syst
,
t
)
+
1
2
m
syst
V
→
G
2
(
t
)
{\displaystyle \;K({\text{syst}},\,t)=K^{\,*}\!({\text{syst}},\,t)+K\!(G,\,t)=K^{\,*}\!({\text{syst}},\,t)+{\dfrac {1}{2}}\;m_{\text{syst}}\;{\vec {V}}_{G}^{\,2}(t)\;}
»,
évaluer, dans le référentiel d'étude
R
lab
{\displaystyle \;{\mathcal {R}}_{\text{lab}}\;}
et à l'instant
t
{\displaystyle \;t}
, l'énergie cinétique du système
(
S
)
{\displaystyle \;\left({\mathcal {S}}\right)\;}
constitué des couronnes intérieure et extérieure ainsi que du roulement à billes «
K
(
S
,
t
)
{\displaystyle \;K\!\left({\mathcal {S}},\,t\right)\;}
» en fonction de «
M
{\displaystyle \;M}
,
m
{\displaystyle \;m}
,
R
2
{\displaystyle \;R_{2}}
,
n
{\displaystyle \;n\;}
et
Ω
{\displaystyle \;\Omega \;}
».
Solution
Schéma descriptif du roulement de billes entre couronnes coaxiales, la 1re intérieure fixe de rayon R1 et la 2nde extérieure de rayon R2 tournant à la vitesse angulaire Ω autour de l'axe Δ commun aux deux couronnes et au roulement à billes
Un roulement de
n
{\displaystyle \;n\;}
billes sphériques homogènes de masse
m
{\displaystyle \;m}
,
(
n
∈
N
∗
∖
{
1
,
2
,
3
}
)
{\displaystyle \;{\big (}n\,\in \,\mathbb {N} ^{*}\,\backslash \left\lbrace 1\,,\,2\,,\,3\right\rbrace {\big )}}
, sans contact entre elles, roule sans glisser[13]
sur la couronne intérieure
(
C
int
)
{\displaystyle \;\left({\mathcal {C}}_{\text{int}}\right)\;}
de surface latérale cylindrique de rayon
R
1
{\displaystyle \;R_{1}\;}
fixe dans le référentiel d'étude
R
lab
{\displaystyle \;{\mathcal {R}}_{\text{lab}}\;}
ainsi que sur
sur la couronne extérieure
(
C
ext
)
{\displaystyle \;\left({\mathcal {C}}_{\text{ext}}\right)}
(
{\displaystyle \;{\big (}}
assimilable à un tuyau cylindrique de masse
M
{\displaystyle \;M\;}
répartie uniformément sur sa surface
)
{\displaystyle {\big )}}
, de rayon
R
2
{\displaystyle \;R_{2}\;}
tournant, dans
R
lab
{\displaystyle \;{\mathcal {R}}_{\text{lab}}}
, à la vitesse angulaire
Ω
{\displaystyle \;\Omega \;}
autour de l'axe
Δ
{\displaystyle \;\Delta \;}
commun aux deux couronnes et au roulement à billes avec le point
O
{\displaystyle \;O\;}
pour centre de symétrie de l'ensemble,
le roulement sans glissement[13] d'une bille quelconque
(
B
)
{\displaystyle \;\left({\mathcal {B}}\right)}
, de rayon
r
=
R
2
−
R
1
2
{\displaystyle \;r={\dfrac {R_{2}-R_{1}}{2}}}
, de centre
C
{\displaystyle \;C\;}
se faisant avec un vecteur rotation instantanée
ω
→
{\displaystyle \;{\vec {\omega }}}
(
{\displaystyle \;{\big (}}
à déterminer
)
{\displaystyle {\big )}\;}
dans
R
lab
{\displaystyle \;{\mathcal {R}}_{\text{lab}}}
,
I
1
{\displaystyle \;I_{1}\;}
étant le point de contact de la bille
(
B
)
{\displaystyle \;\left({\mathcal {B}}\right)\;}
avec la couronne intérieure
(
C
int
)
{\displaystyle \;\left({\mathcal {C}}_{\text{int}}\right)\;}
et
I
2
{\displaystyle \;I_{2}\;}
celui avec la couronne extérieure
(
C
ext
)
{\displaystyle \;\left({\mathcal {C}}_{\text{ext}}\right)}
,
nous repérons la position de
C
{\displaystyle \;C\;}
dans le plan passant par
O
{\displaystyle \;O\;}
et
⊥
{\displaystyle \;\perp \;}
à
Δ
{\displaystyle \;\Delta }
{
{\displaystyle \;{\big \{}}
axe orienté par
u
→
z
{\displaystyle \;{\vec {u}}_{z}\;}
dont le sens est choisi de façon à ce que le mouvement de la couronne extérieure
(
C
ext
)
{\displaystyle \;\left({\mathcal {C}}_{\text{ext}}\right)\;}
se fasse dans le sens
+
}
{\displaystyle \;+{\big \}}\;}
par repérage polaire de pôle
O
{\displaystyle \;O\;}
avec
{
u
→
r
,
u
→
θ
}
{\displaystyle \;\left\lbrace {\vec {u}}_{r}\,,\,{\vec {u}}_{\theta }\right\rbrace \;}
la base polaire liée au centre
C
{\displaystyle \;C\;}
de coordonnées polaires
{
r
C
=
R
1
+
R
2
2
,
θ
C
=
Ω
C
t
+
θ
0
}
{\displaystyle \;\left\lbrace r_{C}={\dfrac {R_{1}+R_{2}}{2}}\,,\,\theta _{C}=\Omega _{C}\;t+\theta _{0}\right\rbrace }
,
Ω
C
{\displaystyle \;\Omega _{C}\;}
étant la vitesse angulaire
(
{\displaystyle \;{\big (}}
à déterminer
)
{\displaystyle {\big )}\;}
du point
C
{\displaystyle \;C\;}
autour de
Δ
{\displaystyle \;\Delta \;}
dans
R
lab
{\displaystyle \;{\mathcal {R}}_{\text{lab}}}
(
{\displaystyle \;{\big (}}
voir, ci-contre, la représentation d'une bille quelconque entre les deux couronnes
)
{\displaystyle {\big )}}
;
le roulement sans glissement[13] de la bille
(
B
)
{\displaystyle \;\left({\mathcal {B}}\right)\;}
de centre
C
{\displaystyle \;C}
, sur la couronne intérieure
(
C
int
)
{\displaystyle \;\left({\mathcal {C}}_{\text{int}}\right)\;}
fixe dans
R
lab
{\displaystyle \;{\mathcal {R}}_{\text{lab}}\;}
se traduit par «
V
→
I
1
∈
(
B
)
(
t
)
=
V
→
I
1
∈
(
C
int
)
(
t
)
{\displaystyle \;{\vec {V}}_{I_{1}\,\in \,\left({\mathcal {B}}\right)}(t)={\vec {V}}_{I_{1}\,\in \,\left({\mathcal {C}}_{\text{int}}\right)}(t)\;}
» avec «
V
→
I
1
∈
(
C
int
)
(
t
)
=
0
→
{\displaystyle \;{\vec {V}}_{I_{1}\,\in \,\left({\mathcal {C}}_{\text{int}}\right)}(t)={\vec {0}}\;}
» et «
V
→
I
1
∈
(
B
)
(
t
)
=
V
→
C
(
t
)
+
ω
→
∧
C
I
1
→
(
t
)
{\displaystyle \;{\vec {V}}_{I_{1}\,\in \,\left({\mathcal {B}}\right)}(t)={\vec {V}}_{C}(t)+{\vec {\omega }}\wedge {\overrightarrow {CI_{1}}}(t)\;}
»
{
{\displaystyle {\Big \{}}
le mouvement de
I
1
∈
B
{\displaystyle \;I_{1}\;\in \;{\mathcal {B}}\;}
dans
R
lab
{\displaystyle \;{\mathcal {R}}_{\text{lab}}\;}
résultant de la composition d'une translation de vecteur vitesse de translation
V
→
C
(
t
)
{\displaystyle \;{\vec {V}}_{C}(t)\;}
dans
R
lab
{\displaystyle \;{\mathcal {R}}_{\text{lab}}\;}
et d'une rotation de vecteur rotation instantanée
ω
→
{\displaystyle \;{\vec {\omega }}\;}
autour de
C
z
→
{\displaystyle \;{\overrightarrow {Cz}}\;}
dans
R
C
{\displaystyle \;{\mathcal {R}}_{C}}
(
{\displaystyle \;{\big (}}
le référentiel lié à
C
{\displaystyle \;C\;}
en translation relativement à
R
lab
)
}
{\displaystyle \;{\mathcal {R}}_{\text{lab}}{\big )}{\Big \}}\;}
dans lequel «
V
→
C
(
t
)
=
Ω
C
u
→
z
∧
O
C
→
(
t
)
=
Ω
C
u
→
z
∧
r
C
u
→
r
=
r
C
Ω
C
u
→
θ
{\displaystyle \;{\vec {V}}_{C}(t)=\Omega _{C}\;{\vec {u}}_{z}\wedge {\overrightarrow {OC}}(t)=\Omega _{C}\;{\vec {u}}_{z}\wedge r_{C}\;{\vec {u}}_{r}=r_{C}\;\Omega _{C}\;{\vec {u}}_{\theta }\;}
» et «
ω
→
∧
C
I
1
→
(
t
)
=
ω
u
→
z
∧
(
−
r
u
→
r
)
=
−
r
ω
u
→
θ
{\displaystyle \;{\vec {\omega }}\wedge {\overrightarrow {CI_{1}}}(t)=\omega \;{\vec {u}}_{z}\wedge \left(-r\;{\vec {u}}_{r}\right)=-r\;\omega \;{\vec {u}}_{\theta }\;}
» d'où la réécriture de la condition de non glissement de la bille
(
B
)
{\displaystyle \;\left({\mathcal {B}}\right)\;}
sur la couronne intérieure
(
C
int
)
{\displaystyle \;\left({\mathcal {C}}_{\text{int}}\right)\;}
«
r
C
Ω
C
−
r
ω
=
0
{\displaystyle \;r_{C}\;\Omega _{C}-r\;\omega =0\;}
» ou «
R
2
+
R
1
2
Ω
C
−
R
2
−
R
1
2
ω
=
0
{\displaystyle \;{\dfrac {R_{2}+R_{1}}{2}}\;\Omega _{C}-{\dfrac {R_{2}-R_{1}}{2}}\;\omega =0\;}
» soit finalement «
(
R
2
+
R
1
)
Ω
C
−
(
R
2
−
R
1
)
ω
=
0
:
(
1
)
{\displaystyle \;\left(R_{2}+R_{1}\right)\,\Omega _{C}-\left(R_{2}-R_{1}\right)\,\omega =0\;\;{\text{:}}\;\left({\mathfrak {1}}\right)\;}
» ;
le roulement sans glissement[13] de la bille
(
B
)
{\displaystyle \;\left({\mathcal {B}}\right)\;}
de centre
C
{\displaystyle \;C}
, sur la couronne extérieure
(
C
ext
)
{\displaystyle \;\left({\mathcal {C}}_{\text{ext}}\right)\;}
tournant à la vitesse angulaire
Ω
{\displaystyle \;\Omega \;}
autour de
Δ
{\displaystyle \;\Delta \;}
dans
R
lab
{\displaystyle \;{\mathcal {R}}_{\text{lab}}\;}
se traduit par «
V
→
I
2
∈
(
B
)
(
t
)
=
V
→
I
2
∈
(
C
ext
)
(
t
)
{\displaystyle \;{\vec {V}}_{I_{2}\,\in \,\left({\mathcal {B}}\right)}(t)={\vec {V}}_{I_{2}\,\in \,\left({\mathcal {C}}_{\text{ext}}\right)}(t)\;}
» avec «
V
→
I
1
∈
(
C
ext
)
(
t
)
=
Ω
u
→
z
∧
O
I
2
→
(
t
)
=
Ω
u
→
z
∧
R
2
u
→
r
=
R
2
Ω
u
→
θ
{\displaystyle \;{\vec {V}}_{I_{1}\,\in \,\left({\mathcal {C}}_{\text{ext}}\right)}(t)=\Omega \;{\vec {u}}_{z}\wedge {\overrightarrow {OI_{2}}}(t)=\Omega \;{\vec {u}}_{z}\wedge R_{2}\;{\vec {u}}_{r}=R_{2}\;\Omega \;{\vec {u}}_{\theta }\;}
» et «
V
→
I
2
∈
(
B
)
(
t
)
=
V
→
C
(
t
)
+
ω
→
∧
C
I
2
→
(
t
)
{\displaystyle \;{\vec {V}}_{I_{2}\,\in \,\left({\mathcal {B}}\right)}(t)={\vec {V}}_{C}(t)+{\vec {\omega }}\wedge {\overrightarrow {CI_{2}}}(t)\;}
»
{
{\displaystyle {\Big \{}}
le mouvement de
I
2
∈
B
{\displaystyle \;I_{2}\;\in \;{\mathcal {B}}\;}
dans
R
lab
{\displaystyle \;{\mathcal {R}}_{\text{lab}}\;}
résultant de la composition d'une translation de vecteur vitesse de translation
V
→
C
(
t
)
{\displaystyle \;{\vec {V}}_{C}(t)\;}
dans
R
lab
{\displaystyle \;{\mathcal {R}}_{\text{lab}}\;}
et d'une rotation de vecteur rotation instantanée
ω
→
{\displaystyle \;{\vec {\omega }}\;}
autour de
C
z
→
{\displaystyle \;{\overrightarrow {Cz}}\;}
dans
R
C
{\displaystyle \;{\mathcal {R}}_{C}}
(
{\displaystyle \;{\big (}}
le référentiel lié à
C
{\displaystyle \;C\;}
en translation relativement à
R
lab
)
}
{\displaystyle \;{\mathcal {R}}_{\text{lab}}{\big )}{\Big \}}\;}
dans lequel «
V
→
C
(
t
)
=
r
C
Ω
C
u
→
θ
{\displaystyle \;{\vec {V}}_{C}(t)=r_{C}\;\Omega _{C}\;{\vec {u}}_{\theta }\;}
» et «
ω
→
∧
C
I
2
→
(
t
)
=
ω
u
→
z
∧
r
u
→
r
=
r
ω
u
→
θ
{\displaystyle \;{\vec {\omega }}\wedge {\overrightarrow {CI_{2}}}(t)=\omega \;{\vec {u}}_{z}\wedge r\;{\vec {u}}_{r}=r\;\omega \;{\vec {u}}_{\theta }\;}
» d'où la réécriture de la condition de non glissement de la bille
(
B
)
{\displaystyle \;\left({\mathcal {B}}\right)\;}
sur la couronne extérieure
(
C
ext
)
{\displaystyle \;\left({\mathcal {C}}_{\text{ext}}\right)\;}
«
r
C
Ω
C
+
r
ω
=
{\displaystyle \;r_{C}\;\Omega _{C}+r\;\omega =}
R
2
Ω
{\displaystyle R_{2}\;\Omega \;}
» ou «
R
2
+
R
1
2
Ω
C
+
R
2
−
R
1
2
ω
=
R
2
Ω
{\displaystyle \;{\dfrac {R_{2}+R_{1}}{2}}\;\Omega _{C}+{\dfrac {R_{2}-R_{1}}{2}}\;\omega =R_{2}\;\Omega \;}
» soit finalement «
(
R
2
+
R
1
)
Ω
C
+
(
R
2
−
R
1
)
ω
=
2
R
2
Ω
:
(
2
)
{\displaystyle \;\left(R_{2}+R_{1}\right)\,\Omega _{C}+\left(R_{2}-R_{1}\right)\,\omega =2\;R_{2}\;\Omega \;\;{\text{:}}\;\left({\mathfrak {2}}\right)\;}
» ;
éliminant
Ω
C
{\displaystyle \;\Omega _{C}\;}
en formant «
(
2
)
−
(
1
)
{\displaystyle \;\left({\mathfrak {2}}\right)-\left({\mathfrak {1}}\right)\;}
» nous obtenons «
2
(
R
2
−
R
1
)
ω
=
2
R
2
Ω
{\displaystyle \;2\,\left(R_{2}-R_{1}\right)\,\omega =2\;R_{2}\;\Omega \;}
» soit la vitesse angulaire de rotation de la bille autour de son centre
C
{\displaystyle \;C\;}
dans
R
lab
{\displaystyle \;{\mathcal {R}}_{\text{lab}}\;}
«
ω
=
R
2
R
2
−
R
1
Ω
{\displaystyle \;\omega ={\dfrac {R_{2}}{R_{2}-R_{1}}}\;\Omega \;}
» et
éliminant
ω
{\displaystyle \;\omega \;}
en formant «
(
2
)
+
(
1
)
{\displaystyle \;\left({\mathfrak {2}}\right)+\left({\mathfrak {1}}\right)\;}
» nous obtenons «
2
(
R
2
+
R
1
)
Ω
C
=
2
R
2
Ω
{\displaystyle \;2\,\left(R_{2}+R_{1}\right)\,\Omega _{C}=2\;R_{2}\;\Omega \;}
» soit la vitesse angulaire de rotation du centre
C
{\displaystyle \;C\;}
de la bille autour de
O
{\displaystyle \;O\;}
dans
R
lab
{\displaystyle \;{\mathcal {R}}_{\text{lab}}\;}
«
Ω
C
=
R
2
R
2
+
R
1
Ω
{\displaystyle \;\Omega _{C}={\dfrac {R_{2}}{R_{2}+R_{1}}}\;\Omega \;}
».
L'énergie cinétique «
K
(
S
,
t
)
{\displaystyle \;K\!\left({\mathcal {S}},\,t\right)\;}
» du « système
(
S
)
{\displaystyle \;\left({\mathcal {S}}\right)\;}
constitué des couronnes intérieure et extérieure ainsi que du roulement à billes » dans le référentiel d'étude
R
lab
{\displaystyle \;{\mathcal {R}}_{\text{lab}}\;}
à l'instant
t
{\displaystyle \;t}
, étant la somme des énergies cinétiques de ses constituants au même instant et dans le même référentiel, s'évalue selon «
K
(
S
,
t
)
=
K
(
C
int
,
t
)
+
K
(
C
ext
,
t
)
+
n
K
(
B
,
t
)
{\displaystyle \;K\!\left({\mathcal {S}},\,t\right)=K\!\left({\mathcal {C}}_{\text{int}},\,t\right)+K\!\left({\mathcal {C}}_{\text{ext}},\,t\right)+n\;K\!\left({\mathcal {B}},\,t\right)\;}
» avec
«
K
(
C
int
,
t
)
=
0
{\displaystyle \;K\!\left({\mathcal {C}}_{\text{int}},\,t\right)=0\;}
», la couronne intérieure étant fixe dans le référentiel
R
lab
{\displaystyle \;{\mathcal {R}}_{\text{lab}}}
,
«
K
(
C
ext
,
t
)
=
1
2
J
O
z
(
C
ext
)
Ω
2
=
1
2
M
R
2
2
Ω
2
{\displaystyle \;K\!\left({\mathcal {C}}_{\text{ext}},\,t\right)={\dfrac {1}{2}}\;J_{Oz}\!\left({\mathcal {C}}_{\text{ext}}\right)\;\Omega ^{\,2}={\dfrac {1}{2}}\;M\;R_{2}^{\,2}\;\Omega ^{\,2}\;}
», la couronne extérieure tournant à la vitesse angulaire
Ω
{\displaystyle \;\Omega \;}
autour de son axe
(
O
z
)
{\displaystyle \;\left(Oz\right)\;}
dans le référentiel
R
lab
{\displaystyle \;{\mathcal {R}}_{\text{lab}}}
avec un moment d'inertie
J
O
z
(
C
ext
)
=
M
R
2
2
{\displaystyle \;J_{Oz}\!\left({\mathcal {C}}_{\text{ext}}\right)=M\;R_{2}^{\,2}\;}
et
«
K
(
B
,
t
)
{\displaystyle \;K\!\left({\mathcal {B}},\,t\right)\;}
» se déterminant par application du 2ème théorème de Kœnig[1]
(
{\displaystyle \;{\big (}}
ou théorème de Kœnig[1] relatif à l'énergie cinétique
)
{\displaystyle {\big )}\;}
dans le cadre d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle[14] soit «
K
(
B
,
t
)
=
K
∗
(
B
,
t
)
+
K
(
C
,
t
)
=
K
∗
(
B
,
t
)
+
1
2
m
V
→
C
2
(
t
)
{\displaystyle \;K\!\left({\mathcal {B}},\,t\right)=K^{\,*}\!({\mathcal {B}},\,t)+K\!(C,\,t)=K^{\,*}\!({\mathcal {B}},\,t)+{\dfrac {1}{2}}\;m\;{\vec {V}}_{C}^{\,2}(t)\;}
», «
C
{\displaystyle \;C\;}
étant le C.D.I[4] . de la bille
(
B
)
{\displaystyle \;\left({\mathcal {B}}\right)}
(
{\displaystyle \;{\bigg (}}
lequel décrit, dans le référentiel
R
lab
{\displaystyle \;{\mathcal {R}}_{\text{lab}}}
, un cercle d'axe
O
z
{\displaystyle \;Oz}
, de rayon
r
C
=
R
1
+
R
2
2
{\displaystyle \;r_{C}={\dfrac {R_{1}+R_{2}}{2}}}
, à la vitesse angulaire
Ω
C
=
R
2
R
2
+
R
1
Ω
)
{\displaystyle \;\Omega _{C}={\dfrac {R_{2}}{R_{2}+R_{1}}}\;\Omega {\bigg )}\;}
⇒
{\displaystyle \Rightarrow }
V
C
(
t
)
=
r
C
Ω
C
=
R
1
+
R
2
2
R
2
R
2
+
R
1
Ω
=
R
2
2
Ω
{\displaystyle \;V_{C}(t)=r_{C}\;\Omega _{C}={\dfrac {R_{1}+R_{2}}{2}}\;{\dfrac {R_{2}}{R_{2}+R_{1}}}\;\Omega ={\dfrac {R_{2}}{2}}\;\Omega \;}
⇒
{\displaystyle \Rightarrow }
K
(
C
,
t
)
=
1
2
m
V
→
C
2
(
t
)
=
1
2
m
(
R
2
2
Ω
)
2
=
1
8
m
R
2
2
Ω
2
{\displaystyle \;K\!(C,\,t)={\dfrac {1}{2}}\;m\;{\vec {V}}_{C}^{\,2}(t)={\dfrac {1}{2}}\;m\,\left({\dfrac {R_{2}}{2}}\;\Omega \right)^{\!2}={\dfrac {1}{8}}\;m\;R_{2}^{\,2}\;\Omega ^{\,2}\;}
» et «
K
∗
(
B
,
t
)
{\displaystyle \;K^{\,*}\!({\mathcal {B}},\,t)\;}
l'énergie cinétique barycentrique de la bille
(
B
)
{\displaystyle \;\left({\mathcal {B}}\right)\;}
[3]
{
{\displaystyle \;{\bigg \{}}
le mouvement de
(
B
)
{\displaystyle \;\left({\mathcal {B}}\right)}
dans le référentiel barycentrique
R
∗
{\displaystyle \;{\mathcal {R}}^{\,*}\;}
de celle-ci[3] étant une rotation autour de l'axe
C
z
{\displaystyle \;Cz}
, fixe dans
R
∗
{\displaystyle \;{\mathcal {R}}^{\,*}}
, à la vitesse angulaire
ω
=
R
2
R
2
−
R
1
Ω
}
{\displaystyle \;\omega ={\dfrac {R_{2}}{R_{2}-R_{1}}}\;\Omega {\bigg \}}\;}
⇒
{\displaystyle \Rightarrow }
K
∗
(
B
,
t
)
=
{\displaystyle \;K^{\,*}\!({\mathcal {B}},\,t)=}
1
2
J
C
z
(
B
)
ω
2
=
1
2
2
5
m
r
2
ω
2
{\displaystyle {\dfrac {1}{2}}\;J_{Cz}\!\left({\mathcal {B}}\right)\;\omega ^{\,2}={\dfrac {1}{2}}\;{\dfrac {2}{5}}\;m\;r^{\,2}\;\omega ^{\,2}\;}
avec
J
C
z
(
B
)
=
2
5
m
r
2
{\displaystyle \;J_{Cz}\!\left({\mathcal {B}}\right)={\dfrac {2}{5}}\;m\;r^{\,2}\;}
pour moment d'inertie de
(
B
)
{\displaystyle \;\left({\mathcal {B}}\right)\;}
relativement à son axe
(
C
z
)
{\displaystyle \;\left(Cz\right)\;}
ou encore
K
∗
(
B
,
t
)
=
1
5
m
r
2
ω
2
=
m
5
(
R
2
−
R
1
2
)
2
(
R
2
R
2
−
R
1
Ω
)
2
=
{\displaystyle \;K^{\,*}\!({\mathcal {B}},\,t)={\dfrac {1}{5}}\;m\;r^{\,2}\;\omega ^{\,2}={\dfrac {m}{5}}\,\left({\dfrac {R_{2}-R_{1}}{2}}\right)^{\!2}\,\left({\dfrac {R_{2}}{R_{2}-R_{1}}}\;\Omega \right)^{\!2}=}
1
20
m
R
2
2
Ω
2
{\displaystyle {\dfrac {1}{20}}\;m\;R_{2}^{\,2}\;\Omega ^{\,2}\;}
» soit finalement «
K
(
B
,
t
)
=
K
∗
(
B
,
t
)
+
K
(
C
,
t
)
=
1
20
m
R
2
2
Ω
2
+
1
8
m
R
2
2
Ω
2
=
7
40
m
R
2
2
Ω
2
{\displaystyle \;K\!\left({\mathcal {B}},\,t\right)=K^{\,*}\!({\mathcal {B}},\,t)+K\!(C,\,t)={\dfrac {1}{20}}\;m\;R_{2}^{\,2}\;\Omega ^{\,2}+{\dfrac {1}{8}}\;m\;R_{2}^{\,2}\;\Omega ^{\,2}={\dfrac {7}{40}}\;m\;R_{2}^{\,2}\;\Omega ^{\,2}\;}
»,
soit enfin, en faisant la somme de ces trois contributions, l'expression de l'énergie cinétique «
K
(
S
,
t
)
{\displaystyle \;K\!\left({\mathcal {S}},\,t\right)\;}
» du « système
(
S
)
{\displaystyle \;\left({\mathcal {S}}\right)\;}
constitué des couronnes intérieure et extérieure ainsi que du roulement à billes » dans le référentiel d'étude
R
lab
{\displaystyle \;{\mathcal {R}}_{\text{lab}}\;}
à l'instant
t
{\displaystyle \;t}
,
«
K
(
S
,
t
)
=
K
(
C
int
,
t
)
+
K
(
C
ext
,
t
)
+
n
K
(
B
,
t
)
=
0
+
1
2
M
R
2
2
Ω
2
+
n
7
40
m
R
2
2
Ω
2
{\displaystyle \;K\!\left({\mathcal {S}},\,t\right)=K\!\left({\mathcal {C}}_{\text{int}},\,t\right)+K\!\left({\mathcal {C}}_{\text{ext}},\,t\right)+n\;K\!\left({\mathcal {B}},\,t\right)=0+{\dfrac {1}{2}}\;M\;R_{2}^{\,2}\;\Omega ^{\,2}+n\;{\dfrac {7}{40}}\;m\;R_{2}^{\,2}\;\Omega ^{\,2}\;}
», ou encore «
K
(
S
,
t
)
=
1
2
(
M
+
7
n
20
m
)
R
2
2
Ω
2
=
1
2
M
R
2
2
Ω
2
×
(
1
+
7
n
m
20
M
)
{\displaystyle \;K\!\left({\mathcal {S}},\,t\right)={\dfrac {1}{2}}\left(M+{\dfrac {7\;n}{20}}\;m\right)R_{2}^{\,2}\;\Omega ^{\,2}={\dfrac {1}{2}}\;M\;R_{2}^{\,2}\;\Omega ^{\,2}\times \left(1+{\dfrac {7\;n\;m}{20\;M}}\right)\;}
»[15] .
Additif, démonstration du 2ème théorème de Kœnig[1]
(
{\displaystyle \;{\big (}}
non demandé
)
{\displaystyle {\big )}}
: voir le paragraphe « démonstration (du théorème de Kœnig relatif à l'énergie cinétique - ou 2ème théorème de Kœnig - appliqué à un système continu de matière) » du chap.
4
{\displaystyle 4}
de la leçon « Mécanique des systèmes de points »
…
{\displaystyle \;\ldots }
Additifs : détermination du moment d'inertie d'un tuyau cylindrique
(
T
c
)
_
{\displaystyle {\underline {\;\left({\mathcal {T}}c\right)\;}}}
relativement à son axe de révolution
(
O
z
)
_
{\displaystyle {\underline {\;\left(Oz\right)}}\;}
[16] : soit le tuyau cylindrique
(
T
c
)
{\displaystyle \;\left({\mathcal {T}}c\right)\;}
homogène, de masse surfacique
σ
0
{\displaystyle \;\sigma _{0}}
, d'axe de révolution
(
O
z
)
{\displaystyle \;\left(Oz\right)}
, de rayon
r
(
T
c
)
{\displaystyle \;r_{\left({\mathcal {T}}c\right)}}
, de masse
m
(
T
c
)
{\displaystyle \;m_{\left({\mathcal {T}}c\right)}\;}
et de moment d'inertie
J
(
O
z
)
(
T
c
)
{\displaystyle \;J_{\left(Oz\right)}\!\left({\mathcal {T}}c\right)\;}
par rapport à l'axe
(
O
z
)
{\displaystyle \;\left(Oz\right)}
[
{\displaystyle \;{\big [}}
moment d'inertie à évaluer
]
{\displaystyle {\big ]}}
, son moment d'inertie
J
(
O
z
)
(
T
c
)
{\displaystyle \;J_{\left(Oz\right)}\!\left({\mathcal {T}}c\right)\;}
relativement à l'axe
(
O
z
)
{\displaystyle \;\left(Oz\right)\;}
est défini par «
J
(
O
z
)
(
T
c
)
=
{\displaystyle \;J_{\left(Oz\right)}\!\left({\mathcal {T}}c\right)=}
∬
(
T
c
)
σ
0
r
(
T
c
)
2
d
S
M
{\displaystyle \displaystyle \iint _{\left({\mathcal {T}}c\right)}\sigma _{0}\;r_{\left({\mathcal {T}}c\right)}^{\,2}\;dS_{M}\;}
»[9] , [17] soit «
J
(
O
z
)
(
T
c
)
=
σ
0
r
(
T
c
)
3
∫
z
=
−
h
2
z
=
+
h
2
[
∫
θ
=
−
π
θ
=
π
d
θ
]
d
z
=
σ
0
r
(
T
c
)
3
2
π
h
{\displaystyle \;J_{\left(Oz\right)}\!\left({\mathcal {T}}c\right)=\sigma _{0}\;r_{\left({\mathcal {T}}c\right)}^{\,3}\;\displaystyle \int _{z\,=\,-{\frac {h}{2}}}^{z\,=\,+{\frac {h}{2}}}\left[\displaystyle \int _{\theta \,=\,-\pi }^{\theta \,=\,\pi }d\theta \right]\,dz=\sigma _{0}\;r_{\left({\mathcal {T}}c\right)}^{\,3}\;2\;\pi \;h\;}
» et finalement, la masse de
(
T
c
)
{\displaystyle \;\left({\mathcal {T}}c\right)\;}
étant égale à
m
(
T
c
)
=
{\displaystyle \;m_{\left({\mathcal {T}}c\right)}=}
σ
0
2
π
r
(
T
c
)
h
{\displaystyle \sigma _{0}\;2\;\pi \;r_{\left({\mathcal {T}}c\right)}\;h}
, «
J
(
O
z
)
(
T
c
)
=
m
(
T
c
)
r
(
T
c
)
2
{\displaystyle \;J_{\left(Oz\right)}\!\left({\mathcal {T}}c\right)=m_{\left({\mathcal {T}}c\right)}\;r_{\left({\mathcal {T}}c\right)}^{\,2}\;}
» C.Q.F.V[18] . ;
additifs : détermination du moment d'inertie d'une boule
(
B
)
_
{\displaystyle {\underline {\;\left({\mathcal {B}}\right)\;}}}
relativement à un de ses axes de symétrie
(
C
z
)
_
{\displaystyle {\underline {\;\left(Cz\right)}}\;}
[16] : soit la boule
(
B
)
{\displaystyle \;\left({\mathcal {B}}\right)\;}
homogène, de masse volumique
μ
0
{\displaystyle \;\mu _{0}}
, ayant
(
C
z
)
{\displaystyle \;\left(Cz\right)\;}
pour axe de symétrie, de rayon
r
(
B
)
{\displaystyle \;r_{\left({\mathcal {B}}\right)}}
, de masse
m
(
B
)
{\displaystyle \;m_{\left({\mathcal {B}}\right)}\;}
et de moment d'inertie
J
(
C
z
)
(
B
)
{\displaystyle \;J_{\left(Cz\right)}\!\left({\mathcal {B}}\right)\;}
par rapport à l'axe
(
C
z
)
{\displaystyle \;\left(Cz\right)}
[
{\displaystyle \;{\big [}}
grandeur à évaluer
]
{\displaystyle {\big ]}}
, son moment d'inertie
J
(
C
z
)
(
B
)
{\displaystyle \;J_{\left(Cz\right)}\!\left({\mathcal {B}}\right)\;}
par rapport à
(
C
z
)
{\displaystyle \;\left(Cz\right)\;}
est défini par «
J
(
C
z
)
(
B
)
=
∭
(
B
)
μ
0
ρ
2
d
V
M
{\displaystyle \;J_{\left(Cz\right)}\!\left({\mathcal {B}}\right)=\displaystyle \iiint _{\left({\mathcal {B}}\right)}\mu _{0}\;\rho ^{2}\;d{\mathcal {V}}_{M}\;}
»[19] , [20] soit, avec «
ρ
=
r
sin
(
θ
)
{\displaystyle \;\rho =r\;\sin(\theta )\;}
»
[
ρ
{\displaystyle \;{\Big [}\rho \;}
étant la coordonnée radiale du repérage cylindro-polaire d'axe
C
z
→
{\displaystyle \;{\overrightarrow {Cz}}\;}
exprimée en fonction des coordonnées sphériques[21]
]
{\displaystyle {\Big ]}}
, en utilisant la méthode de calcul d'une intégrale volumique[22] «
J
(
C
z
)
(
B
)
{\displaystyle \;J_{\left(Cz\right)}\!\left({\mathcal {B}}\right)}
=
μ
0
∫
r
=
0
r
=
r
(
B
)
r
4
[
∫
θ
=
0
θ
=
π
sin
3
(
θ
)
(
∫
φ
=
0
φ
=
2
π
d
φ
)
d
θ
]
d
r
=
μ
0
2
π
[
r
5
5
]
r
=
0
r
=
r
(
B
)
∫
θ
=
0
θ
=
π
sin
3
(
θ
)
d
θ
=
2
π
μ
0
r
(
B
)
5
5
∫
cos
(
θ
)
=
1
cos
(
θ
)
=
−
1
[
cos
2
(
θ
)
−
1
]
d
[
cos
(
θ
)
]
{\displaystyle =\mu _{0}\;\displaystyle \int _{r\,=\,0}^{r\,=\,r_{\left({\mathcal {B}}\right)}}r^{4}\left[\displaystyle \int _{\theta \,=\,0}^{\theta \,=\,\pi }\sin ^{3}(\theta )\,\left(\displaystyle \int _{\varphi \,=\,0}^{\varphi \,=\,2\;\pi }d\varphi \right)\,d\theta \right]dr=\mu _{0}\;2\;\pi \left[{\dfrac {r^{5}}{5}}\right]_{r\,=\,0}^{r\,=\,r_{\left({\mathcal {B}}\right)}}\displaystyle \int _{\theta \,=\,0}^{\theta \,=\,\pi }\sin ^{3}(\theta )\;d\theta ={\dfrac {2\;\pi \;\mu _{0}\;r_{\left({\mathcal {B}}\right)}^{\,5}}{5}}\;\displaystyle \int _{\cos(\theta )\,=\,1}^{\cos(\theta )\,=\,-1}\left[\cos ^{2}(\theta )-1\right]\,d\!\left[\cos(\theta )\right]\;}
»
{
{\displaystyle {\big \{}}
ce dernier facteur étant une intégrale de la variable
cos
(
θ
)
{\displaystyle \;\cos(\theta )\;}
aisément calculable
}
{\displaystyle {\big \}}\;}
⇒
{\displaystyle \Rightarrow }
«
J
(
C
z
)
(
B
)
=
2
π
μ
0
r
(
B
)
5
5
[
cos
3
(
θ
)
3
−
cos
(
θ
)
]
cos
(
θ
)
=
1
cos
(
θ
)
=
−
1
=
2
π
μ
0
r
(
B
)
5
5
{
2
[
−
1
3
−
(
−
1
)
]
}
=
8
π
μ
0
r
(
B
)
5
15
{\displaystyle \;J_{\left(Cz\right)}\!\left({\mathcal {B}}\right)={\dfrac {2\;\pi \;\mu _{0}\;r_{\left({\mathcal {B}}\right)}^{\,5}}{5}}\left[{\dfrac {\cos ^{3}(\theta )}{3}}-\cos(\theta )\right]_{\cos(\theta )\,=\,1}^{\cos(\theta )\,=\,-1}={\dfrac {2\;\pi \;\mu _{0}\;r_{\left({\mathcal {B}}\right)}^{\,5}}{5}}\,\left\lbrace 2\left[{\dfrac {-1}{3}}-\left(-1\right)\right]\right\rbrace ={\dfrac {8\;\pi \;\mu _{0}\;r_{\left({\mathcal {B}}\right)}^{\,5}}{15}}\;}
» soit finalement, la masse de
(
B
)
{\displaystyle \;\left({\mathcal {B}}\right)\;}
étant égale à
m
(
B
)
{\displaystyle \;m_{\left({\mathcal {B}}\right)}}
=
μ
0
4
π
3
r
(
B
c
)
3
{\displaystyle =\mu _{0}\;{\dfrac {4\;\pi }{3}}\;r_{\left({\mathcal {B}}c\right)}^{\,3}}
, «
J
(
C
z
)
(
B
)
=
2
5
m
(
B
)
r
(
B
)
2
{\displaystyle \;J_{\left(Cz\right)}\!\left({\mathcal {B}}\right)={\dfrac {2}{5}}\;m_{\left({\mathcal {B}}\right)}\;r_{\left({\mathcal {B}}\right)}^{\,2}\;}
» C.Q.F.V[18] ..
↑ 1,00 1,01 1,02 1,03 1,04 1,05 1,06 1,07 1,08 et 1,09 Johann Samuel König (1712 - 1757) mathématicien allemand à qui on doit dans le domaine de la mécanique les théorèmes de Kœnig ainsi que dans celui des statistiques et des probabilités le théorème de König-Huygens liant la variance et la moyenne ; Christian Huygens (1629 – 1695)
[
{\displaystyle \;{\big [}}
ou Huyghens
]
{\displaystyle {\big ]}\;}
est un mathématicien, astronome et physicien néerlandais essentiellement connu pour sa théorie ondulatoire de la lumière.
↑ Voir le paragraphe « théorème de Kœnig relatif à l'énergie cinétique (ou 2ème théorème de Kœnig) (appliqué à un système de deux points matériels) » du chap.
1
{\displaystyle 1}
de la leçon « Mécanique des systèmes de points ».
↑ 3,0 3,1 3,2 3,3 3,4 et 3,5 Une grandeur cinétique barycentrique d'un système est définie dans le référentiel barycentrique du système c'est-à-dire le référentiel lié au centre d'inertie du système en translation par rapport au référentiel d'étude.
↑ 4,0 4,1 4,2 4,3 et 4,4 Centre D'Inertie.
↑ En effet «
u
→
z
∧
u
→
r
(
A
,
t
)
=
u
→
φ
(
A
,
t
)
{\displaystyle \;{\vec {u}}_{z}\wedge {\vec {u}}_{r}(A,\,t)={\vec {u}}_{\varphi }(A,\,t)\;}
» et «
[
u
→
z
∧
u
→
r
(
A
,
t
)
]
2
=
u
→
φ
2
(
A
,
t
)
=
1
{\displaystyle \;\left[{\vec {u}}_{z}\wedge {\vec {u}}_{r}(A,\,t)\right]^{2}={\vec {u}}_{\varphi }^{\,2}(A,\,t)=1\;}
».
↑ En effet «
u
→
z
∧
u
→
r
(
B
,
t
)
=
u
→
φ
(
B
,
t
)
{\displaystyle \;{\vec {u}}_{z}\wedge {\vec {u}}_{r}(B,\,t)={\vec {u}}_{\varphi }(B,\,t)\;}
» et «
[
u
→
z
∧
u
→
r
(
B
,
t
)
]
2
=
u
→
φ
2
(
B
,
t
)
=
1
{\displaystyle \;\left[{\vec {u}}_{z}\wedge {\vec {u}}_{r}(B,\,t)\right]^{2}={\vec {u}}_{\varphi }^{\,2}(B,\,t)=1\;}
».
↑ 7,0 et 7,1 Centre D'Inertie.
↑ 8,0 8,1 8,2 et 8,3 La masse surfacique utilisant la « notation
σ
{\displaystyle \;\sigma \;}
» nous notons les moments cinétiques vectoriel ou scalaire «
L
→
{\displaystyle \;{\vec {L}}\;}
ou
L
{\displaystyle \;L\;}
» et non la « notation usuelle
σ
→
{\displaystyle \;{\vec {\sigma }}\;}
ou
σ
{\displaystyle \;\sigma \;}
» par précaution pour éviter toute confusion qui pourrait en découler.
↑ 9,0 9,1 9,2 9,3 et 9,4 Voir le paragraphe « les deux types d'intégrale surfacique et les grandes lignes de la méthode d'évaluation » du chap.
17
{\displaystyle 17}
de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
↑ Voir le paragraphe « propriétés (d'un produit mixte de trois vecteurs, remarque) » du chap.
7
{\displaystyle 7}
de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
↑ Voir la solution de la question « détermination du moment cinétique vectoriel en C du quart de disque en rotation autour de l'axe CA avec un vecteur rotation instantanée connu dans le référentiel du laboratoire » de l'exercice précité de la série d'exer.
3
{\displaystyle 3}
de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ».
↑ En utilisant le repérage cylindro-polaire d'axe
C
z
→
{\displaystyle \;{\overrightarrow {Cz}}\;}
du point générique
M
{
ρ
M
,
θ
M
=
ω
0
t
+
θ
(
M
,
0
)
,
z
M
}
{\displaystyle \;M\,\left\lbrace \rho _{M}\,,\,\theta _{M}=\omega _{0}\;t+\theta _{(M,\,0)}\,,\,z_{M}\right\rbrace \;}
du quart de disque
D
{\displaystyle \;{\mathcal {D}}}
,
d
S
M
=
d
z
M
d
ρ
M
{\displaystyle \;dS_{M}=dz_{M}\;d\rho _{M}\;}
⇒
{\displaystyle \Rightarrow }
«
J
C
z
(
D
)
=
∬
M
∈
D
σ
0
ρ
M
2
d
S
M
=
{\displaystyle \;J_{Cz}({\mathcal {D}})=\displaystyle \iint \limits _{M\,\in \,{\mathcal {D}}}\sigma _{0}\;\rho _{M}^{\,2}\;dS_{M}=}
σ
0
∫
z
M
=
0
z
M
=
R
{
∫
ρ
M
=
0
ρ
M
=
R
2
−
z
M
2
ρ
M
2
d
ρ
M
}
d
z
M
{\displaystyle \sigma _{0}\;\displaystyle \int _{z_{M}=0}^{z_{M}=R}\left\lbrace \displaystyle \int _{\rho _{M}=0}^{\rho _{M}={\sqrt {R^{2}-z_{M}^{\,2}}}}\rho _{M}^{\,2}\;d\rho _{M}\right\rbrace dz_{M}\;}
»
[
{\displaystyle \;{\Big [}}
application de la méthode de calcul d'une intégrale surfacique : on fige
z
M
{\displaystyle \;z_{M}\;}
et on intègre sur
ρ
M
{\displaystyle \;\rho _{M}\;}
de
0
{\displaystyle \;0\;}
à
ρ
M
,
max
(
z
M
)
=
R
2
−
z
M
2
{\displaystyle \;\rho _{M,\,{\text{max}}}(z_{M})={\sqrt {R^{2}-z_{M}^{\,2}}}\;}
puis on intègre sur
z
M
{\displaystyle \;z_{M}\;}
de
0
{\displaystyle \;0\;}
à
R
]
{\displaystyle \;R{\Big ]}\;}
d'où «
J
C
z
(
D
)
=
σ
0
∫
z
M
=
0
z
M
=
R
[
ρ
M
3
3
]
ρ
M
=
0
ρ
M
=
R
2
−
z
M
2
d
z
M
=
σ
0
∫
z
M
=
0
z
M
=
R
(
R
2
−
z
M
2
)
3
2
3
d
z
M
{\displaystyle \;J_{Cz}({\mathcal {D}})=\sigma _{0}\;\displaystyle \int _{z_{M}=0}^{z_{M}=R}\left[{\dfrac {\rho _{M}^{\,3}}{3}}\right]_{\rho _{M}=0}^{\rho _{M}={\sqrt {R^{2}-z_{M}^{\,2}}}}\;dz_{M}=\sigma _{0}\;\displaystyle \int _{z_{M}=0}^{z_{M}=R}{\dfrac {\left(R^{2}-z_{M}^{\,2}\right)^{\frac {3}{2}}}{3}}\;dz_{M}\;}
», cette intégrale se calculant en faisant le changement de variable «
z
M
=
{\displaystyle \;z_{M}=}
R
sin
(
χ
)
{\displaystyle R\;\sin(\chi )\;}
»
(
χ
{\displaystyle \;{\bigg (}\chi \;}
variant de
0
{\displaystyle \;0\;}
à
π
2
)
{\displaystyle \;{\dfrac {\pi }{2}}{\bigg )}\;}
⇒
{\displaystyle \Rightarrow }
«
d
z
M
=
R
cos
(
χ
)
d
χ
{\displaystyle \;dz_{M}=R\;\cos(\chi )\;d\chi \;}
» et «
R
2
−
z
M
2
=
R
2
cos
2
(
χ
)
{\displaystyle \;R^{2}-z_{M}^{\,2}=R^{2}\,\cos ^{2}(\chi )\;}
» d'où «
J
C
z
(
D
)
=
σ
0
∫
χ
=
0
χ
=
π
2
R
4
cos
4
(
χ
)
3
d
χ
=
σ
0
R
4
3
∫
χ
=
0
χ
=
π
2
[
1
+
cos
(
2
χ
)
2
]
2
d
χ
=
{\displaystyle \;J_{Cz}({\mathcal {D}})=\sigma _{0}\;\displaystyle \int _{\chi =0}^{\chi ={\frac {\pi }{2}}}{\dfrac {R^{4}\,\cos ^{4}(\chi )}{3}}\;d\chi ={\dfrac {\sigma _{0}\;R^{4}}{3}}\;\displaystyle \int _{\chi =0}^{\chi ={\frac {\pi }{2}}}\left[{\dfrac {1+\cos(2\;\chi )}{2}}\right]^{2}\;d\chi =}
σ
0
R
4
3
∫
χ
=
0
χ
=
π
2
{
1
4
+
cos
(
2
χ
)
2
+
cos
2
(
2
χ
)
4
}
d
χ
=
σ
0
R
4
3
∫
χ
=
0
χ
=
π
2
{
1
4
+
cos
(
2
χ
)
2
+
1
+
cos
(
4
χ
)
8
}
d
χ
=
σ
0
R
4
3
∫
χ
=
0
χ
=
π
2
{
3
8
+
cos
(
2
χ
)
2
+
cos
(
4
χ
)
8
}
d
χ
{\displaystyle {\dfrac {\sigma _{0}\;R^{4}}{3}}\;\displaystyle \int _{\chi =0}^{\chi ={\frac {\pi }{2}}}\left\lbrace {\dfrac {1}{4}}+{\dfrac {\cos(2\;\chi )}{2}}+{\dfrac {\cos ^{2}(2\;\chi )}{4}}\right\rbrace \;d\chi ={\dfrac {\sigma _{0}\;R^{4}}{3}}\;\displaystyle \int _{\chi =0}^{\chi ={\frac {\pi }{2}}}\left\lbrace {\dfrac {1}{4}}+{\dfrac {\cos(2\;\chi )}{2}}+{\dfrac {1+\cos(4\;\chi )}{8}}\right\rbrace \;d\chi ={\dfrac {\sigma _{0}\;R^{4}}{3}}\;\displaystyle \int _{\chi =0}^{\chi ={\frac {\pi }{2}}}\left\lbrace {\dfrac {3}{8}}+{\dfrac {\cos(2\;\chi )}{2}}+{\dfrac {\cos(4\;\chi )}{8}}\right\rbrace \;d\chi \;}
» donnant finalement «
J
C
z
(
D
)
{\displaystyle \;J_{Cz}({\mathcal {D}})}
=
σ
0
R
4
8
π
2
+
σ
0
R
4
3
[
sin
(
2
χ
)
4
]
χ
=
0
χ
=
π
2
+
σ
0
R
4
3
[
sin
(
4
χ
)
32
]
χ
=
0
χ
=
π
2
=
π
σ
0
R
4
16
=
m
D
R
2
4
{\displaystyle ={\dfrac {\sigma _{0}\;R^{4}}{8}}\;{\dfrac {\pi }{2}}\;{\cancel {+\;{\dfrac {\sigma _{0}\;R^{4}}{3}}\;\left[{\dfrac {\sin(2\;\chi )}{4}}\right]_{\chi =0}^{\chi ={\frac {\pi }{2}}}}}\;{\cancel {+\;{\dfrac {\sigma _{0}\;R^{4}}{3}}\;\left[{\dfrac {\sin(4\;\chi )}{32}}\right]_{\chi =0}^{\chi ={\frac {\pi }{2}}}}}={\dfrac {\pi \;\sigma _{0}\;R^{4}}{16}}={\dfrac {m_{\mathcal {D}}\;R^{\,2}}{4}}\;}
compte-tenu de
m
D
=
σ
0
π
R
2
4
{\displaystyle \;m_{\mathcal {D}}={\dfrac {\sigma _{0}\;\pi \;R^{\,2}}{4}}\;}
». L'intégration aurait été nettement plus aisée en utilisant le repérage polaire du plan de
D
{\displaystyle \;{\mathcal {D}}\;}
de pôle
C
{\displaystyle \;C\;}
et d'axe polaire
C
B
x
→
{\displaystyle \;{\overrightarrow {CBx}}\;}
de vecteur unitaire
u
→
ρ
(
M
)
{\displaystyle \;{\vec {u}}_{\rho }(M)}
, les coordonnées polaires de
M
{\displaystyle \;M\;}
étant
r
M
=
{\displaystyle \;r_{M}=}
z
M
2
+
ρ
M
2
{\displaystyle {\sqrt {z_{M}^{\,2}+\rho _{M}^{\,2}}}\;}
et
φ
M
=
{
u
→
ρ
(
M
)
,
C
M
→
}
^
{\displaystyle \;\varphi _{M}={\widehat {\left\lbrace {\vec {u}}_{\rho }(M)\,,\,{\overrightarrow {CM}}\right\rbrace }}\;}
d'où «
J
C
z
(
D
)
=
∬
M
∈
D
σ
0
ρ
M
2
d
S
M
=
σ
0
∬
M
∈
D
[
r
M
2
cos
2
(
φ
M
)
]
[
d
r
M
r
M
d
φ
M
]
=
σ
0
∫
r
M
=
0
r
M
=
R
r
M
3
{
∫
φ
M
=
0
φ
M
=
π
2
cos
2
(
φ
M
)
d
φ
M
}
d
r
M
{\displaystyle \;J_{Cz}({\mathcal {D}})=\displaystyle \iint \limits _{M\,\in \,{\mathcal {D}}}\sigma _{0}\;\rho _{M}^{\,2}\;dS_{M}=\sigma _{0}\;\displaystyle \iint \limits _{M\,\in \,{\mathcal {D}}}\left[r_{M}^{\,2}\;\cos ^{2}(\varphi _{M})\right]\,\left[dr_{M}\;r_{M}\;d\varphi _{M}\right]=\sigma _{0}\;\displaystyle \int _{r_{M}=0}^{r_{M}=R}r_{M}^{\,3}\,\left\lbrace \displaystyle \int _{\varphi _{M}=0}^{\varphi _{M}={\frac {\pi }{2}}}\cos ^{2}(\varphi _{M})\;d\varphi _{M}\right\rbrace dr_{M}\;}
»
[
{\displaystyle \;{\bigg [}}
rappel de la méthode de calcul d'une intégrale surfacique dans le cas présent : on fige
r
M
{\displaystyle \;r_{M}\;}
et on intègre sur
φ
M
{\displaystyle \;\varphi _{M}\;}
de
0
{\displaystyle \;0\;}
à
π
2
{\displaystyle \;{\dfrac {\pi }{2}}\;}
puis on intègre sur
r
M
{\displaystyle \;r_{M}\;}
de
0
{\displaystyle \;0\;}
à
R
]
{\displaystyle \;R{\bigg ]}\;}
ou, en linéarisant l'intégrale sur
φ
M
{\displaystyle \;\varphi _{M}}
, «
J
C
z
(
D
)
{\displaystyle \;J_{Cz}({\mathcal {D}})}
=
σ
0
∫
r
M
=
0
r
M
=
R
r
M
3
{
∫
φ
M
=
0
φ
M
=
π
2
1
+
cos
(
2
φ
M
)
2
d
φ
M
}
d
r
M
=
σ
0
∫
r
M
=
0
r
M
=
R
r
M
3
[
φ
M
2
+
sin
(
2
φ
M
)
4
]
φ
M
=
0
φ
M
=
π
2
d
r
M
=
σ
0
π
4
[
r
M
4
4
]
r
M
=
0
r
M
=
R
=
π
σ
0
R
4
16
=
m
D
R
2
4
{\displaystyle =\sigma _{0}\;\displaystyle \int _{r_{M}=0}^{r_{M}=R}r_{M}^{\,3}\,\left\lbrace \displaystyle \int _{\varphi _{M}=0}^{\varphi _{M}={\frac {\pi }{2}}}{\dfrac {1+\cos(2\;\varphi _{M})}{2}}\;d\varphi _{M}\right\rbrace dr_{M}=\sigma _{0}\;\displaystyle \int _{r_{M}=0}^{r_{M}=R}r_{M}^{\,3}\;\left[{\dfrac {\varphi _{M}}{2}}+{\dfrac {\sin(2\;\varphi _{M})}{4}}\right]_{\varphi _{M}=0}^{\varphi _{M}={\frac {\pi }{2}}}\;dr_{M}=\sigma _{0}\;{\dfrac {\pi }{4}}\;\left[{\dfrac {r_{M}^{\,4}}{4}}\right]_{r_{M}=0}^{r_{M}=R}={\dfrac {\pi \;\sigma _{0}\;R^{4}}{16}}={\dfrac {m_{\mathcal {D}}\;R^{\,2}}{4}}\;}
» compte-tenu de
m
D
=
σ
0
π
R
2
4
{\displaystyle \;m_{\mathcal {D}}={\dfrac {\sigma _{0}\;\pi \;R^{\,2}}{4}}\;}
».
↑ 13,0 13,1 13,2 13,3 et 13,4 Un objet
S
1
{\displaystyle \;{\mathcal {S}}_{1}\;}
ne glisse pas sur un objet
S
2
{\displaystyle \;{\mathcal {S}}_{2}\;}
si leur point de contact
I
{\displaystyle \;I\;}
est tel que, dans le référentiel d'étude, «
V
→
I
∈
S
1
(
t
)
=
V
→
I
∈
S
2
(
t
)
∀
t
{\displaystyle \;{\vec {V}}_{I\,\in \,{\mathcal {S}}_{1}}(t)={\vec {V}}_{I\,\in \,{\mathcal {S}}_{2}}(t)\;\;\forall \;t\;}
».
↑ 14,0 et 14,1 Voir le paragraphe « 2ème théorème de Kœnig (ou théorème de Kœnig relatif à l'énergie cinétique) (appliqué à un système continu de matière) » du chap.
4
{\displaystyle 4}
de la leçon « Mécanique des systèmes de points ».
↑ «
1
2
M
R
2
2
Ω
2
{\displaystyle \;{\dfrac {1}{2}}\;M\;R_{2}^{\,2}\;\Omega ^{\,2}\;}
» étant l'énergie cinétique de la couronne extérieure et celle du roulement à billes étant «
7
n
m
20
M
{\displaystyle \;{\dfrac {7\;n\;m}{20\;M}}\;}
fois » la précédente.
↑ 16,0 et 16,1 Non demandé.
↑
d
S
M
{\displaystyle \;dS_{M}\;}
étant l'aire de la surface élémentaire centrée en
M
(
r
(
T
c
)
,
θ
,
z
)
{\displaystyle \;M\,\left(r_{\left({\mathcal {T}}c\right)}\,,\,\theta \,,\,z\right)\;}
s'écrit, en repérage cylindro-polaire d'axe
O
z
{\displaystyle \;Oz\;}
d
S
M
=
r
(
T
c
)
d
θ
d
z
{\displaystyle \;dS_{M}=r_{\left({\mathcal {T}}c\right)}\;d\theta \;dz\;}
revoir le paragraphe « expressions en paramétrage cylindro-polaire du vecteur surface élémentaire (plus précisément dans le cas de la surface latérale d'un tuyau cylindrique d'axe Oz) » du chap.
17
{\displaystyle 17}
de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
↑ 18,0 et 18,1 Ce Qu'il Fallait Vérifier.
↑ Voir le paragraphe « les deux types d'intégrale volumique » du chap.
17
{\displaystyle 17}
de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
↑
d
V
M
{\displaystyle \;d{\mathcal {V}}_{M}\;}
étant le volume de l'expansion tridimensionnelle élémentaire centrée en
M
(
r
,
θ
,
φ
)
{\displaystyle \;M\,\left(r\,,\,\theta \,,\,\varphi \right)}
(
{\displaystyle \;{\big (}}
coordonnées sphériques de pôle
O
)
{\displaystyle \;O{\big )}\;}
s'écrit, en repérage sphérique de pôle
O
{\displaystyle \;O\;}
et d'axe
O
z
{\displaystyle \;Oz\;}
d
V
M
=
r
2
sin
(
θ
)
d
r
d
θ
d
φ
{\displaystyle \;d{\mathcal {V}}_{M}=r^{\,2}\,\sin(\theta )\;dr\;d\theta \;d\varphi \;}
revoir le paragraphe « expressions en paramétrage sphérique du volume élémentaire » du chap.
17
{\displaystyle 17}
de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
↑ Voir le paragraphe « repérage cylindro-polaire en fonction du repérage sphérique » du chap.
16
{\displaystyle 16}
de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
↑ Voir le paragraphe « méthode se ramenant au calcul de trois intégrales sur un intervalle » du chap.
17
{\displaystyle 17}
de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».