Leçons de niveau 14

Mécanique 2 (PCSI)/Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Lois scalaires de l'énergie cinétique

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Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Lois scalaires de l'énergie cinétique
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Chapitre no 10
Leçon : Mécanique 2 (PCSI)
Chap. préc. :Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Énergie cinétique du solide en rotation
Chap. suiv. :Lois de l'énergie cinétique pour un système déformable de points matériels
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Ce chapitre est traité dans le cadre de la dynamique newtonienne avec ajout de quelques éléments de dynamique relativiste.

Sommaire

Puissance d’une force dans le cas où M décrit un mouvement circulaire d’axe Δ de vitesse angulaire instantanée Ω(t)[modifier | modifier le wikicode]

Rappel de la définition de la puissance développée par une force appliquée à un point M en mouvement « quelconque »[modifier | modifier le wikicode]

     La puissance développée par la force appliquée au point en mouvement « quelconque » [1] dans le référentiel d'étude a été définie au paragraphe « puissance d'une force » du chap. de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » et s'écrit, à l'instant , selon

«» [2] dans laquelle
est le vecteur vitesse du point à l'instant dans le référentiel .

Cas particulier où M est en mouvement circulaire d’axe Δ et de vitesse angulaire instantanée Ω(t)[modifier | modifier le wikicode]

     Dans le cadre de la dynamique newtonienne, partant de la définition de la puissance développée, à l'instant , par la force appliquée au point en mouvement « quelconque » [1] dans le référentiel d'étude «» [2], on remplace le vecteur vitesse du point en mouvement circulaire d'axe et de vecteur rotation instantanée par sa forme intrinsèque «» dans laquelle est un point fixe quelconque de l’axe [3] soit « » ;

     Dans le cadre de la dynamique newtonienne, on réalise alors une « permutation circulaire du produit mixte » ce qui laisse ce dernier invariant [4] soit « » [5] et on reconnaît alors, dans le 2ème facteur du produit scalaire, le vecteur moment de la force par rapport soit « » [6] d’où la réécriture de la puissance développée, à l'instant , par la force appliquée au point en mouvement circulaire d'axe et de vecteur rotation instantanée selon

«» [7] dans laquelle
est un point quelconque de l'axe de rotation du point  ;

     Dans le cadre de la dynamique newtonienne, en notant le vecteur unitaire orientant , la puissance développée par appliquée au point en mouvement circulaire d'axe et de vecteur rotation instantanée étant la vitesse angulaire instantanée du point , se réécrit selon « » soit, en reconnaissant dans le 1er terme entre accolades le moment scalaire de la force par rapport à l’axe soit «» [8] l'expression suivante

«» [9].

Analogie formelle entre l’expression de la puissance développée par une force à point d’application M en « mouvement quelconque » et celle à point d’application en mouvement circulaire[modifier | modifier le wikicode]

     On constate une analogie formelle entre l’expression de la puissance développée par la force à point d’application en « mouvement quelconque » [1] « » et celle à point d’application en « mouvement circulaire de centre » «» [7] toutes deux correspondant à la forme symbolique suivante

«» [10] ;

     dans le cas où le point a un mouvement « circulaire d'axe » [11], l'expression symbolique de la puissance développée par la force permettant ce mouvement circulaire peut se réécrire selon

«»,
traduction symbolique de «» [12].

« Expression énergétique » du théorème du moment cinétique vectoriel dans le cas où M a un mouvement circulaire de centre fixe C[modifier | modifier le wikicode]

Rappel du théorème du moment cinétique vectoriel dans le cas où M décrit un mouvement circulaire de centre fixe C[modifier | modifier le wikicode]

     Le point matériel décrivant un mouvement circulaire d’axe autour du centre , fixes dans le référentiel d’étude galiléen, on peut lui appliquer le théorème du moment cinétique vectoriel s'énonçant, dans le cadre de la dynamique newtonienne, selon [13] :
     “ la somme des vecteurs moments des forces appliquées à calculés, à l'instant , par rapport au centre du cercle décrit par dans le référentiel galiléen «», est égal au produit du moment d’inertie de relativement à son axe de rotation «» étant la masse de et le rayon du cercle décrit par et de la dérivée temporelle du vecteur rotation instantanée «» au même instant ” soit mathématiquement

«».

« Expression énergétique » du théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à M en mouvement circulaire de centre fixe C dans le référentiel d’étude galiléen[modifier | modifier le wikicode]

     On multiplie scalairement les deux membres de la « relation » par «» soit «» dans le but de faire apparaître, après utilisation, dans le 1er membre, de la distributivité de la multiplication scalaire relativement à l'addition vectorielle [14], la puissance instantanée développée par chaque force appliquée selon « » [15] ;

     on vérifie ensuite que le 2nd membre «» représente la puissance cinétique du point à l'instant lors de son mouvement circulaire d'axe dans le référentiel «» en effet, «» «», « étant une constante caractérisant la trajectoire de » soit « » d'après l'une des « formes particulières de l'énergie cinétique newtonienne d'un point matériel M en mouvement circulaire de centre C, de rayon R et de vecteur rotation instantanée connu » établie dans le chap. de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » ;

     dans le cadre de la dynamique newtonienne, l’expression énergétique du théorème du moment cinétique vectoriel appliqué au point matériel en mouvement circulaire autour d’un axe fixe dans le référentiel galiléen s'écrivant sous la forme « » nous retrouvons le « théorème de la puissance cinétique appliqué à dans son mouvement circulaire » [16] lequel se réécrivant selon «» vérifie que la cause de modification de l’« énergie cinétique » grandeur cinétique énergétique est la somme des « puissances développées par les forces appliquées »

Réécriture du théorème de la puissance cinétique dans le cas où M a un mouvement circulaire de centre C fixe[modifier | modifier le wikicode]

Rappel du théorème de la puissance cinétique appliqué à M en mouvement quelconque[modifier | modifier le wikicode]

     Revoir le paragraphe « énoncé du théorème de la puissance cinétique » du chap. de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) », le théorème étant rappelé sous sa forme newtonienne ci-dessous :

     « Dans un référentiel galiléen, la puissance cinétique d’un point matériel est égale à la somme des puissances développées par les forces qui lui sont appliquées » soit mathématiquement « avec et ».

Cas particulier où M est en mouvement circulaire d’axe Δ et de vitesse angulaire instantanée Ω(t)[modifier | modifier le wikicode]

     Quand le point matériel a un mouvement circulaire d’axe , fixe dans un référentiel galiléen, de vitesse angulaire instantanée dans ce même référentiel, le théorème de la puissance cinétique appliqué à prend la forme ci-dessous :

     « Dans un référentiel galiléen , la puissance cinétique d’un point matériel en mouvement circulaire d’axe , fixe dans un référentiel et de vitesse angulaire instantanée dans ce même référentiel, est égale à la somme des puissances développées par les forces qui lui sont appliquées » soit mathématiquement « avec [17] est le moment d'inertie de relativement à dans son mouvement circulaire de rayon [18] et » [19].

Puissance du système de forces extérieures et du système de forces intérieures appliquées à un système de matière relativement à un référentiel d'étude, cas particulier d’un solide[modifier | modifier le wikicode]

Puissance (du système) des forces extérieures appliquées à un « système de matière » relativement à un référentiel d'étude[modifier | modifier le wikicode]

     Cette notion est présentée en considérant un système discret fermé de points matériels « avec » [20] mais elle reste applicable à un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique.

Définition[modifier | modifier le wikicode]

     Le « système des forces extérieures s'exerçant sur un système de points matériels fermé » défini dans le chap. de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » comme « l'ensemble des forces que chaque système , extérieur au système de points matériels , exerce sur chaque point de », on définit

     la puissance développée, à l'instant , par ce système de forces extérieures s'exerçant sur dans le référentiel d'étude comme la somme des puissances développées, à l'instant , par chaque force extérieure dans ce même référentiel soit mathématiquement

«[21], [22]
soit encore [22] dans laquelle est
le vecteur vitesse du point matériel à l'instant dans le référentiel d'étude ».

Cas d’un « système de matière en translation »[modifier | modifier le wikicode]

     Dans le cas d'un « système discret fermé de points matériels avec [20] en translation » [23], tous les points matériels ont le même vecteur vitesse à l'instant égal à celui du C.D.I. [24] du système soit «», ce qui permet de factoriser « scalairement » [25] le 2nd membre de la « relation » par «», l’autre facteur étant alors la résultante dynamique « à l'instant » [26] d’où l'expression finale de la puissance développée, à l'instant , par le système des forces extérieures s'exerçant sur en translation dans le référentiel d'étude ,

«» ou encore «» ;

     dans cette 2ème expression « est aussi « la puissance qui serait développée, à l'instant et dans le référentiel , par la résultante dynamique appliquée au point fictif C.D.I. [24] du système en translation dans » [27].

Cas d’un « système de matière (indéformable) en rotation »[modifier | modifier le wikicode]

     Préliminaire : Un « système en rotation autour d'un axe » peut, a priori, se déformer [28] et ce n'est que dans le cas où il est indéformable qu'il peut être qualifié de « solide » au sens de la mécanique et il est nécessairement fermé, c'est pratiquement le seul cas envisageable.

     Dans le cas d'un « système discret fermé de points matériels avec [20] en rotation autour d'un axe [29] dans le référentiel d'étude avec, à l'instant , la même vitesse angulaire instantanée « pour tous les points », la puissance de la résultante des forces extérieures s’appliquant sur , à savoir «», s'écrivant selon «» [19] avec un 2nd facteur indépendant du point , ce qui permet de factoriser par ce facteur la « relation » réécrite en remplaçant par [19] soit « » dans laquelle on constate que le 1er facteur est le moment scalaire résultant dynamique « » [30] s'exerçant sur le système en rotation soit finalement la réécriture de la puissance des forces extérieures s’exerçant sur le système en rotation selon

«» [31] c.-à-d.
le produit du moment scalaire résultant dynamique du système en rotation par rapport et de sa vitesse angulaire instantanée.

En complément, « cas d’un solide en mouvement quelconque »[modifier | modifier le wikicode]

     On admet qu'on peut toujours considérer le mouvement d’un point quelconque d'un solide avec » dans un référentiel d'étude comme la « composition d’une translation instantanée de vecteur vitesse étant le C.D.I. [24] du solide et d’une rotation instantanée autour d’un axe passant par de vecteur rotation instantanée ces deux grandeurs cinématiques étant définies au même instant dans le référentiel » [32] soit «» ;

     on en déduit alors que la puissance instantanée développée par la résultante des forces extérieures s’appliquant sur , à savoir «», s'écrit selon « » ou, après utilisation de la distributivité de la multiplication scalaire par rapport à l'addition vectorielle [14] « », le 2ème terme étant transformé par utilisation de l'invariance d'un produit mixte par permutation circulaire [4] de façon à reconnaître « dans » soit finalement «» ;

     en utilisant la « relation » [22] réécrite en remplaçant par dans laquelle les deux termes ont chacun un 2ème facteur indépendant de puis, en regroupant les termes de selon «» enfin, en factorisant « scalairement » [25] le 1er terme par le 1er facteur à l'issue de la factorisation « scalaire » [25] étant alors « c.-à-d. la résultante dynamique exercée sur le solide » [26] et le 2nd par le 1er facteur à l'issue de la factorisation « scalaire » [25] étant « c.-à-d. le moment résultant dynamique vectoriel exercée sur le solide relativement au C.D.I. [24] de ce dernier » [33], la puissance des forces extérieures s’exerçant sur le solide en mouvement quelconque dans le référentiel d'étude se réécrit, à l'instant , selon

«» ;

     en notant le vecteur unitaire orientant , le vecteur rotation instantanée se réécrit étant la vitesse angulaire instantanée du solide autour de l'axe passant par le C.D.I. [24] du solide, le 2ème terme de se réécrit selon «» soit, en reconnaissant dans le 1er terme entre accolades le moment résultant dynamique scalaire exercé sur le solide par rapport à l’axe passant par le C.D.I. [24] du solide soit «» [34], la puissance des forces extérieures s’exerçant sur le solide en mouvement quelconque dans le référentiel d'étude se réécrit, à l'instant , selon

«» [35] soit
un 1er terme «» définissant la puissance développée par translation instantanée des forces extérieures et
un 2ème terme «» la puissance développée par rotation instantanée des forces extérieures autour du C.D.I. [24] du solide.

Puissance (du système) des forces intérieures appliquées à un « système de matière » relativement à un référentiel d'étude[modifier | modifier le wikicode]

     Cette notion est aussi présentée en considérant un système discret fermé de points matériels « avec » [36] mais elle reste applicable à un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique.

Définition[modifier | modifier le wikicode]

     Le « système des forces intérieures s'exerçant sur un système de points matériels fermé » défini dans le chap. de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » comme « l'ensemble des forces que chaque point du système de points matériels , exerce sur chaque point de », on définit

     la puissance développée, à l'instant , par ce système de forces intérieures s'exerçant sur dans le référentiel d'étude comme la somme des puissances développées, à l'instant , par chaque force intérieure dans ce même référentiel soit mathématiquement

«[37] ou encore
[38] dans laquelle
est le vecteur vitesse du point matériel à l'instant dans le référentiel d'étude ».

Autres expressions équivalentes[modifier | modifier le wikicode]

     On peut associer les forces par couple dans la relation explicitant la puissance développée, à l'instant , par le système de forces intérieures s'exerçant sur dans le référentiel d'étude , à savoir «», puis
           On peut utiliser la 1ère relation introduite dans le principe des actions réciproques [39] à savoir «» pour factoriser scalairement [25] le terme entre crochets par «», ce qui donne «» ou,

           en évaluant dans le référentiel d'étude la grandeur vectorielle «» on obtient «» cette dernière expression résultant de l'utilisation de la relation de Chasles [40], c.-à-d. la dérivée temporelle, dans , du « vecteur position relative de relativement à à l'instant » ou,
           en définissant le « référentiel lié à en translation par rapport à », la grandeur vectorielle « est encore égale à » c.-à-d. le « vecteur vitesse relative à l'instant de dans » [41] et par suite

           la puissance développée, à l'instant , par le système de forces intérieures s'exerçant sur dans le référentiel d'étude , se réécrit selon

«».

     Si on remplace la double somme discrète sur et variant dans avec la contrainte «» par une double somme discrète sur et variant dans avec la contrainte «», on compte deux fois chaque terme de la 1ère double somme [42] d'où la réécriture de la puissance développée, à l'instant , par le système de forces intérieures s'exerçant sur dans le référentiel d'étude , selon

«» [43] ou encore
«» [44] c.-à-d.
la demi-somme des puissances instantanées définies dans chaque référentiel
des forces que exerce sur tous les autres points [45].

Conséquences diverses[modifier | modifier le wikicode]

     La puissance développée, à l'instant , par le système de forces intérieures s'exerçant sur dans le référentiel d'étude est non nulle dans le cas général soit

« dans le cas général » [46],

           la raison étant que les relations «» [43] faisant intervenir les vecteurs vitesses relatives des points les uns par rapport aux autres , lesquels sont, en général, individuellement non nuls même si le système de matière est indéformable d'où « la non nullité de » sauf cas particuliers à préciser.
     En repérant le point « dans le référentiel » par ses « coordonnées sphériques de pôle soit » avec « pour base sphérique liée à » [47],
           la « force que exerce sur » s'écrit, dans la « base sphérique de liée à » selon «» se déduit de la 2ème relation du principe des actions réciproques [39] à savoir avec «» [48] définissant « l'intensité de l’interaction entre et » et simplement notée «» [49] d’où la réécriture « », de même,
           le « vecteur vitesse relative de par rapport à », à savoir «», s’écrit, dans la « base sphérique de liée à » selon l'expression établie précédemment « » [50] et on en déduit
           l'expression, en sphérique, de la puissance développée par la force que exerce sur dans le référentiel , à savoir, «» [49], la base étant orthonormée d'où finalement

«» [49], [51].

     Par l'une ou l'autre relation précédente on constate que si la distance séparant deux points quelconques du système reste constante c.-à-d. si le système « ne se déforme pas » [52], on a « » [53] et on en déduit que la puissance développée, à l'instant , par le système de forces intérieures s'exerçant sur dans le référentiel d'étude est nulle soit

« pour un système indéformable » [52], [54].

Théorème de la puissance cinétique d’un système de matière, cas d’un solide en rotation autour d’un axe fixe[modifier | modifier le wikicode]

Théorème de la puissance cinétique appliqué à un « système de matière quelconque » dans un référentiel d'étude galiléen[modifier | modifier le wikicode]

     Préliminaire : Par « système de matière quelconque » il faut entendre « système fermé discret de points matériels ou continu de matière » « déformable ou non ».

Énoncé[modifier | modifier le wikicode]

Début d’un théorème
Fin du théorème

     Remarque : Sous cette forme le théorème de la puissance cinétique appliqué à un système de matière quelconque [55] est applicable dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste.

Démonstration[modifier | modifier le wikicode]

     La démonstration du théorème de la puissance cinétique appliqué à un « système de matière quelconque » est faite dans le cadre d'un système discret fermé de points matériels « avec » [20] mais elle est semblable bien qu'un peu plus lourde d'exposition dans le cadre d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique.

     Dans le référentiel d'étude galiléen , on applique le théorème de la puissance cinétique à chaque point matériel [56], soit «» [57], [58] et
       Dans le référentiel d'étude galiléen Rgal, on fait la somme, membre à membre, des relations ainsi définies «» [59] ou encore « » [59]

  • le 1er membre «» se réécrivant «» après permutation de la dérivation temporelle et de l'addition [60] est égale à la dérivée temporelle de l’énergie cinétique du système « » [61] à l'instant c.-à-d. à la puissance cinétique du système «» au même instant ,
  • le 1er terme du 2nd membre «» définit la puissance développée, à l'instant , par les forces extérieures appliquées au système «» [62] et
  • le 2ème terme du 2nd membre «» la puissance développée, à l'instant , par les forces intérieures appliquées au système « » [63],

     d’où la démonstration du théorème de la puissance cinétique appliqué à un système discret fermé de points matériels [64].

Théorème de la puissance cinétique appliqué à un « solide » dans un référentiel d'étude galiléen[modifier | modifier le wikicode]

Début d’un théorème
Fin du théorème

     Justification : Cela découle de la propriété établie au paragraphe « conséquences diverses (3ème conséquence » plus haut dans ce chapitre, à savoir « la puissance développée, à l'instant , par le système de forces intérieures s'exerçant sur le système indéformable dans le référentiel d'étude est nulle c.-à-d. », utilisée dans le théorème de la puissance cinétique appliqué à un système de matière quelconque voir le paragraphe « énoncé » plus haut dans ce chapitre.

Théorème de la puissance cinétique appliqué à un « système de matière en translation » dans un référentiel d'étude galiléen[modifier | modifier le wikicode]

     Dans un « système de matière [65] en translation » [23], tous les points ont le même vecteur vitesse à l'instant égal à celui du C.D.I. [24] du système d’où les expressions

  • de la puissance développée, à l'instant , par le système des forces extérieures s'exerçant sur en translation dans le référentiel d'étude , « » dans laquelle « est la résultante dynamique s'exerçant sur à l'instant » [66] voir le paragraphe « puissance développée par le système des forces extérieures dans le cas d'un système de matière en translation » plus haut dans ce chapitre et
  • de l'énergie cinétique [67], à l'instant , du système en translation dans le référentiel d'étude dans le cadre de la cinétique newtonienne, « » [68] voir le paragraphe « énergie cinétique dans le cas d'un système en translation » du chap. de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » ;

     un « système de matière en translation » se comportant comme un solide au sens de la mécanique, on peut lui appliquer le « théorème de la puissance cinétique appliqué à un solide dans un référentiel galiléen » établi au paragraphe précédent, d'où :

Début d’un théorème
Fin du théorème

     Remarque : Ce théorème n'est pas explicité dans le programme de physique de P.C.S.I. mais il doit bien sûr être connu selon moi ce n’est pas fait parce qu’on considère usuellement un système de matière en translation comme un point matériel le C.D.I. [24] du système sur lequel s'exerce la résultante dynamique du système et, selon ce point de vue, le théorème de la puissance cinétique appliqué à un système de matière en translation n'est rien d'autre que le théorème de la puissance cinétique appliqué à un point matériel, lequel est, quant à lui, au programme.

Théorème de la puissance cinétique appliqué à un « système de matière (indéformable) en rotation autour d'un axe Δ fixe » dans un référentiel d'étude galiléen[modifier | modifier le wikicode]

     Préliminaire : Un « système en rotation autour d'un axe » peut, a priori, se déformer [28] mais pratiquement, seul le cas où il est indéformable et fermé, est envisageable, il peut alors être qualifié de « solide » au sens de la mécanique.

     Dans un « système de matière [65] indéformable, en rotation [28] autour d'un axe , fixe dans le référentiel d'étude galiléen », tous les points ont le même vecteur rotation instantanée à l'instant , étant le vecteur unitaire orientant l'axe et la vitesse angulaire instantanée de à l'instant d’où les expressions

  • de la puissance développée, à l'instant , par le système des forces extérieures s'exerçant sur en rotation autour de dans le référentiel d'étude , «» [69] dans laquelle « est le moment résultant dynamique scalaire s'exerçant sur à l'instant , le moment scalaire étant évalué par rapport à » voir le paragraphe « puissance développée par le système des forces extérieures dans le cas d'un système de matière (indéformable) en rotation » plus haut dans ce chapitre et
  • de l'énergie cinétique [67], à l'instant , du système en rotation autour de dans le référentiel d'étude dans le cadre de la cinétique newtonienne, «» dans laquelle « est le moment d'inertie de relativement à » [70] voir le paragraphe « énergie cinétique newtonienne d'un système de points en rotation autour d'un axe Δ fixe, de vecteur rotation instantanée connu » du chap. de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » ;

     un « système de matière en rotation autour d'un axe » étant pratiquement indéformable se comporte pratiquement comme un solide au sens de la mécanique seul cas considéré et par suite, on peut lui appliquer le « théorème de la puissance cinétique appliqué à un solide dans un référentiel galiléen » établi dans un paragraphe précédent, d'où :

Début d’un théorème