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Mécanique 1 (PCSI)/Mouvement de particules chargées dans des champs électrique et magnétique : Cas particulier d'un champ électrostatique uniforme

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Mouvement de particules chargées dans des champs électrique et magnétique : Cas particulier d'un champ électrostatique uniforme
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Chapitre no 23
Leçon : Mécanique 1 (PCSI)
Chap. préc. :Mouvement de particules chargées dans des champs électrique et magnétique : Puissance de la force de Lorentz
Chap. suiv. :Mouvement de particules chargées dans des champs électrique et magnétique : Cas particulier d'un champ magnétostatique uniforme
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Les notions de ce chapitre sont introduites dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste.

Mouvement d’une particule chargée dans un champ électrostatique uniforme, mise en équation par application de la r.f.d.n. : mouvement à vecteur accélération constant[modifier | modifier le wikicode]

     Une particule chargée placée dans un espace champ électrostatique uniforme de vecteur champ étant soumis à une force électrique « constante » a un mouvement de vecteur accélération constante en absence d'autre force en particulier l'influence éventuelle du poids de la particule dans le cas où l'expérience se passe sur Terre est négligeable, voir le paragraphe « comparaison de la force électrique exercée sur un proton dans un champ électrique de nrome modérée au poids du proton dans le champ de pesanteur terrestre » du chap. de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) », en effet

     l'application de la r.f.d.n. [1] à la particule chargée de masse dans le référentiel liée à la source du champ électrostatique, référentiel supposé galiléen nous conduisant à avec le vecteur accélération de la particule chargée à l'instant , nous en déduisons « constant » voir l'étude générale d'un tel mouvement dans le chap. « description et paramétrage du mouvement d'un point : mouvement de vecteur accélération constant » de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) ».

Exemple de l’oscilloscope cathodique, détermination de la déflexion électrique[modifier | modifier le wikicode]

Schéma expliquant la déviation électronique entre les plaques horizontales d'un tube cathodique

     Déjà traité au paragraphe « déviation électronique dans l'interface entre les plaques longitudinales de déviation » du chap. de la leçon « Signaux physiques (PCSI) » dans l'exemple d'un électron [2] de masse entrant dans l’espace champ électrostatique uniforme de vecteur champ existant entre plaques parallèles de déviation d'un oscilloscope cathodique, avec une « vitesse initiale au champ électrostatique », les principaux résultats étant rappelés ci-dessous voir le choix du repère associé au référentiel lié aux plaques de déviation sur le schéma ci-contre :

  • le vecteur accélération de déduit de la r.f.d.n. [1] «» projeté sur les axes ,
  • son vecteur vitesse obtenu par intégration avec C.I. [3] «» loi horaire vectorielle de vitesse de projeté sur les axes les trois lois horaires scalaires de vitesse de et
  • son vecteur position obtenu par nouvelle intégration avec C.I. [3] «» loi horaire vectorielle de position de projeté sur les axes les trois lois horaires scalaires de position de  ;

     entre les deux plaques de déviation de l'oscilloscope cathodique la cinématique de l'électron est donc tel que

  • son mouvement est plan, le plan aux plaques de déviation donc à passant par la position initiale de l'électron et contenant le vecteur vitesse initiale de ce dernier, le plan du schéma,
  • le mouvement de son projeté sur l'axe , aux plaques de déviation, est uniforme de vitesse et
  • le mouvement de son projeté sur l'axe , aux plaques de déviation, est uniformément varié d'accélération et de vitesse initiale nulle ;

     les trois lois horaires scalaires de position de étant aussi les trois équations paramétriques de sa trajectoire, nous obtenons les deux équations cartésiennes de celle-ci en éliminant le paramètre , soit

«» équations d'une parabole de sommet , de tangente au sommet et de direction asymptotique  ;

           l'équation de la parabole dans le plan peut être réécrite en fonction de la tension imposée aux bornes des deux plaques de déviation distantes de selon «» en effet, si « est , est » le champ électrique étant dans le sens des potentiels «» voir le paragraphe « énergie potentielle électrostatique d'un point matériel de charge q dans un champ électrique uniforme (parallèlement …) » du chap. de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » ;

     à la sortie de l’espace champ, l’électron n’est plus soumis à « aucune force » [4] et par suite a un mouvement rectiligne uniforme de direction tangente à la parabole et de vitesse égale à celle en point de sortie de l’espace ; il a alors un impact d’ordonnée sur un écran situé à du centre de l’espace champ ;

           la trajectoire de l'électron dans l'interface entre les plaques de déviation étant une parabole et celle à la sortie de l’espace champ étant la tangente à cette parabole au point de sortie, nous en déduisons que la trajectoire à la sortie de l'espace champ passe par le centre de l’espace champ [5] d'où dont on tire  ;

           la détermination de peut se faire de la même façon en utilisant d'où que l'on reporte dans pour obtenir

«» c.-à-d. une déflexion électrique à la tension imposée,
sa mesure permettant de déterminer la valeur de principe de l'oscilloscope analogique.

Intégrale 1ère du mouvement : conservation de l’énergie mécanique de la particule chargée dans le champ électrostatique[modifier | modifier le wikicode]

     La particule chargée de masse dans l’espace champ électrostatique de vecteur champ en la position «[6] » étant soumise à la seule force électrostatique conservative « » laquelle « dérive » de l’énergie potentielle électrostatique «» avec «» le potentiel électrostatique en la position dont « dérive » le champ électrostatique [6] la référence de l’énergie potentielle [7] étant la même que celle du potentiel [8] [9],

     l’énergie mécanique de la particule dans le champ électrostatique définie dans le référentiel lié à ce dernier «» dans laquelle est l'énergie cinétique de la particule dans le référentiel , est conservée, ce qui se réécrit, dans le cadre de la dynamique classique, selon

«»
avec le vecteur vitesse de dans le référentiel à l'instant ,
étant le potentiel électrostatique quand est lancé de vecteur vitesse dans ,
cette équation constituant l’intégrale 1ère énergétique de la particule.

     Cas particulier de vitesse initiale nulle : Si , l'intégrale 1ère énergétique de la particule se réécrit «» avec « la tension ou d.d.p. [10] définie par rapport au position initiale de la particule » et le mouvement de la particule chargée démarre tangentiellement aux lignes de champ ;

                        Cas particulier de vitesse initiale nulle : , dans le cas où le champ électrostatique est uniforme, les lignes de champ étant des droites parallèles, le mouvement de la particule chargée se poursuit rectilignement en suivant la ligne de champ passant par la position initiale de la particule [11] ;

                        Cas particulier de vitesse initiale nulle : , dans le cas où le champ électrostatique n’est pas uniforme, le mouvement ne peut pas se poursuivre en suivant les lignes de champ car celles-ci n’étant pas des droites possèdent un rayon de courbure fini en chacun de leurs points usuellement « réguliers » [12] et par suite, si la particule poursuivait son mouvement en suivant la ligne de champ passant par sa position initiale, elle aurait une « accélération normale » non nulle, incompatible avec le fait que la force électrostatique s’exerçant sur elle étant tangente à cette ligne de champ, le vecteur accélération de la particule au même instant lui est aussi tangent par application de la r.f.d.n. [1] à la particule, donc sans accélération normale

Exemple du canon à électrons[modifier | modifier le wikicode]

Schéma expliquant le fonctionnement d'un canon à électrons

     Déjà traité au paragraphe « canon à électrons » du chap. de la leçon « Signaux physiques (PCSI) », le principe de fonctionnement étant rappelé ci-dessous ;

     dans un canon à électrons, des électrons sont émis par « effet thermoélectronique » [13] provenant d'une électrode dans le voisinage d'un filament métallique chauffé, l'énergie cinétique d'éjection des électrons de restant très faible, ils ne quittent pas spontanément son voisinage et forme autour d'elle une charge d'espace négative qui s'oppose à la poursuite de l'effet thermoélectronique ;

     le but poursuivi étant de créer un faisceau d'électrons, on accélère les électrons arrachés en imposant une d.d.p. entre cette électrode et l'électrode de sortie du canon à électrons, étant positive, est appelée « cathode » et « anode » ;

     souhaitant créer un faisceau d'électrons quasi homocinétiques à la sortie du canon, on accélère ces derniers à l'aide d'un champ électrique imposé entre la cathode et l'anode , de sens de vers dans l'interface l'électron n'est soumis qu'à la force électrique de sens de vers , donc l'accélérant effectivement, la force électrique conservative « dérivant » de l'énergie potentielle électrique «», avec le potentiel électrique de l'espace champ électrique dans l'interface du canon à électrons en la position , la référence de l'énergie potentielle de l'électron [7] étant la même que celle du potentiel électrique [8], on peut donc appliquer l'intégrale 1ère énergétique à l'électron entre et selon «» et, dans la mesure où l'énergie cinétique de l'électron lors de son extraction de est considérée comme négligeable , étant , on en déduit soit «» ;

     A.N. : , et dont on tire ou encore soit de la vitesse de la lumière justifiant le caractère non relativiste.

En complément, 1ères notion d’optique électronique[modifier | modifier le wikicode]

Réfraction électronique créée par un déplacement d’électrons entre deux grilles parallèles à des potentiels différents respectivement V1 et V2, la référence des potentiels étant choisies à l’entrée du canon à électrons[modifier | modifier le wikicode]

     Considérons un canon à électrons accélérant les électrons avant la 1ère grille de façon à leur communiquer, au niveau de cette grille, un vecteur vitesse de norme notée à partir d’une cathode de potentiel nul où leur énergie cinétique est supposée nulle « [14] » avec la charge d'un électron, sa masse et le potentiel de l'anode du canon qui est aussi celui de la 1ère grille ou encore «» «».

Cas où V2 est supérieur à V1[modifier | modifier le wikicode]

Schéma présentant une réfraction électronique d'un milieu moins réfringent à un milieu plus réfringent, le dioptre plan faisant passer le « rayon » électronique d'une région de potentiel à une région de potentiel

     Considérons d'abord que l'espace champ électrostatique uniforme entre les grilles planes et est tel que le potentiel électrique de la grille d'entrée vers la grille de sortie c.-à-d. la référence des potentiels [8] étant toujours la cathode du canon à électrons voir schéma ci-contre :

     chaque électron sortant du canon à électrons avec un vecteur vitesse de norme et faisant l'angle d'incidence avec le vecteur unitaire normal à la grille d'entrée au point d'injection les angles du plan d'incidence c.-à-d. du plan à la grille d'entrée contenant le faisceau d'électrons sortant du canon à électrons étant compté positivement dans le sens horaire uniquement soumis à une force électrostatique constante, de sens contraire à celui du champ électrostatique existant entre les deux grilles, c.-à-.d dans le sens des potentiels,
         chaque électron M suit une trajectoire parabolique inscrite dans le plan d'incidence et tangente à la trajectoire rectiligne qu'il avait avant de traverser la grille tel que son angle d'émergence étant le vecteur unitaire normal à la grille de sortie au point d'éjection et le vecteur vitesse de sortie de l'électron est à son angle d'incidence  ;

         chaque électron M le mouvement du projeté de sur les grilles et étant uniforme la force électrostatique étant aux grilles, il en est de même du vecteur accélération de , nous en déduisons en notant l'axe aux grilles, orienté vers la droite, dans le plan d'incidence de chaque électron et par suite, en explicitant sur chacune des grilles «» avec  ;

         chaque électron M comme il y a aussi conservation de l’énergie mécanique, nous pouvons écrire « [14] » soit «» et

         chaque électron M le report des expressions de et en fonction des potentiels dans la relation nous conduit, après simplification évidente, à

«».

     Commentaires : Cette relation est analogue à la 2ème loi de réfraction optique de Snell-Descartes [15], [16] «» lors de la traversée d'un dioptre d'un milieu d'indice vers un milieu d'indice voir le paragraphe « 2ème loi de Snell-Descartes de la réfraction » du chap. de la leçon « Signaux physiques (PCSI) », l'indice des milieux optiques devant être remplacé par la racine carré du potentiel électrostatique des milieux avant et après la réfraction électronique ;

     Commentaires : de cette relation nous concluons qu’une réfraction électronique vers une zone à plus haut potentiel est l’analogue du passage d’un milieu moins réfringent à un milieu plus réfringent, c.-à-d. que le « rayon » électronique se rapproche de la normale.

     Remarque : Une différence fondamentale avec l’optique géométrique est que, dans cette dernière, le changement de direction se fait sur une surface « le dioptre » alors qu’en optique électronique il se fait entre l’entrée et la sortie du volume « compris entre les deux grilles »

Cas où V2 positif est inférieur à V1[modifier | modifier le wikicode]

Schéma présentant une réfraction électronique d'un milieu plus réfringent à un milieu moins réfringent, le dioptre plan faisant passer le « rayon » électronique d'une région de potentiel à une région de potentiel mais à

     Considérons ensuite que l'espace champ électrostatique uniforme entre les grilles planes et est tel que le potentiel électrique de la grille d'entrée vers la grille de sortie en restant c.-à-d. la référence des potentiels [8] étant toujours la cathode du canon à électrons voir schéma ci-contre :

     chaque électron sortant du canon à électrons avec un même vecteur vitesse que précédemment, de norme et faisant l'angle d'incidence avec les mêmes définitions que dans le paragraphe précédent, uniquement soumis à une force électrostatique constante, de sens contraire à celui du champ électrostatique existant entre les deux grilles, c.-à-.d dans le sens des potentiels,
         chaque électron M suit une trajectoire parabolique inscrite dans le plan d'incidence et tangente à la trajectoire rectiligne qu'il avait avant de traverser la grille tel que, dans la mesure où l'électron atteint la grille de sortie, son angle d'émergence avec les mêmes définitions que dans le paragraphe précédent est à son angle d'incidence  ;

         chaque électron M le mouvement du projeté de sur les grilles et étant uniforme la force électrostatique étant aux grilles, il en est de même du vecteur accélération de , nous en déduisons avec les mêmes définitions que dans le paragraphe précédent et par suite, en explicitant sur chacune des grilles «» avec  ;

         chaque électron M comme il y a toujours conservation de l’énergie mécanique, nous pouvons écrire « [14] » soit «» et

         chaque électron M le report des expressions de et en fonction des potentiels dans la relation nous conduit, après simplification évidente, à

«».

     Commentaires : C'est la même relation que celle du paragraphe précédent, analogue à la 2ème loi de réfraction optique de Snell-Descartes [15], [16] «» lors de la traversée d'un dioptre d'un milieu d'indice vers un milieu d'indice voir le paragraphe « 2ème loi de Snell-Descartes de la réfraction » du chap. de la leçon « Signaux physiques (PCSI) », l'indice des milieux optiques devant être remplacé par la racine carré du potentiel électrostatique des milieux avant et après la réfraction électronique ;

     Commentaires : de cette relation nous concluons qu’une réfraction électronique vers une zone à plus bas potentiel est l’analogue du passage d’un milieu plus réfringent à un milieu moins réfringent, c.-à-d. que le « rayon » électronique s'éloigne de la normale et que, dans la mesure où l'angle d'incidence n'est pas trop grand, le « rayon » électronique émerge par la grille de sortie c.-à-d. qu'il y a réfraction effective et pour cela il faut que soit à soit .

     Remarque : Nous constatons évidemment la même différence fondamentale avec l’optique géométrique et l'optique électronique, le changement de direction dans la 1ère se faisant sur une surface « le dioptre » alors que, dans la 2ème il se fait entre l’entrée et la sortie du volume « compris entre les deux grilles »

Cas où V2 positif est inférieur à V1 avec un angle d'incidence d'injection tel qu'il y ait réflexion totale[modifier | modifier le wikicode]

Schéma présentant une réflexion électronique totale d'un milieu plus réfringent à un milieu moins réfringent, le dioptre plan reliant une région de potentiel à une région de potentiel mais à , avec un angle d'incidence à l'angle limite

     Considérons enfin que l'espace champ électrostatique uniforme entre les grilles planes et est toujours tel que le potentiel électrique de la grille d'entrée vers la grille de sortie en restant c.-à-d. la référence des potentiels [8] étant toujours la cathode du canon à électrons mais avec une inclinaison du faisceau électronique suffisante pour que ce dernier n'atteigne pas la grille de sortie voir schéma ci-contre :

     chaque électron sortant du canon à électrons avec un même vecteur vitesse que précédemment, de norme et faisant l'angle d'incidence avec les mêmes définitions que dans les deux paragraphes précédents, uniquement soumis à une force électrostatique constante, de sens contraire à celui du champ électrostatique existant entre les deux grilles, c.-à-.d dans le sens des potentiels,
         chaque électron M suit une trajectoire parabolique inscrite dans le plan d'incidence et tangente à la trajectoire rectiligne qu'il avait avant de traverser la grille avec, dans la mesure où l'angle d'incidence ne vérifie pas la condition pour que le faisceau d'électrons atteigne la grille de sortie voir le paragraphe « cas où V2 positif est inférieur à V1 (commentaires 2) » plus haut dans ce chapitre, un sommet se situant avant la grille de sortie ;

         chaque électron M le mouvement du projeté de sur les grilles et étant uniforme la force électrostatique étant aux grilles, il en est de même du vecteur accélération de , nous en déduisons avec les mêmes définitions que dans les deux paragraphes précédents et par suite, en explicitant sur la grille et au somment «» avec  ;

         chaque électron M comme il y a toujours conservation de l’énergie mécanique, nous pouvons écrire « [14] » soit «» et

         chaque électron M le report des expressions de et en fonction des potentiels dans la relation nous conduit, après simplification évidente, à

«» dont nous déduisons le plan équipotentiel contenant
par le potentiel de l'espace champ entre les deux grilles où l'électron fait demi-tour.

         chaque électron M le mouvement de l'électron étant antisymétrique relativement à l'axe de la parabole, nous en déduisons, d'une part, que le point de sortie de à travers la grille est le symétrique de son point d'entrée à travers la même grille , d'autre part, que le vecteur vitesse de sortie à travers la grille est l'antisymétrique du vecteur vitesse d'entrée à travers la même grille et par suite que l'angle d'émergence étant le vecteur unitaire normal à la grille d'entrée au point d'éjection orienté dans le sens retour c.-à-d. est l'opposé de l'angle d'incidence soit «».

     Commentaires : Cette relation est analogue à la 2ème loi de réflexion optique de Snell-Descartes [15], [16] «» lors de la réflexion totale sur un dioptre séparant un milieu d'entrée plus réfringent d'indice d'un milieu moins réfringent d'indice avec un angle d'incidence de valeur absolue plus grande que l'angle limite voir les paragraphes « 2ème loi de Snell-Descartes de la réflexion » et « cône limite d'incidence pour qu'il y ait réfraction dans le cas d'un milieu plus réfringent à un milieu moins réfringent (remarque) » du chap. de la leçon « Signaux physiques (PCSI) », l'indice des milieux optiques devant être, pour définir l'angle limite, remplacé par la racine carré du potentiel électrostatique des milieux précédant la grille et suivant la grille  ;

     Commentaires : de cette relation nous concluons qu’une réflexion totale électronique sur une zone à potentiel décroissant lorsque l'angle d'incidence est tel que est l’analogue d’une réflexion totale sur un dioptre d'un milieu plus réfringent à un milieu moins réfringent quand l'angle d'incidence est tel que .

     Remarque : Nous constatons évidemment la même différence fondamentale avec l’optique géométrique et l'optique électronique, la réflexion totale dans la 1ère se faisant sur une surface « le dioptre » alors que, dans la 2ème elle se fait entre l’entrée et la sortie du volume « compris entre les deux grilles »

Évocation des prolongements possibles : dioptre et lentille sphérique[modifier | modifier le wikicode]

     Nous avons vu précédemment l'analogie existant entre la réfraction et la réflexion en optique géométrique et celle en optique électronique, le dioptre plan séparant deux milieux d'indices différents étant remplacé par l'espace champ électrostatique uniforme entre deux grilles planes parallèles à des potentiels électrostatiques différents, la référence des potentiels [8] étant choisie à la cathode du canon à électrons ;

     nous pouvons, sans difficulté insurmontable, prolonger cette analogie en introduisant, en optique électronique, les notions analogues à celle de dioptre sphérique et de lentille sphérique

     Pour obtenir l'analogue en optique électronique du dioptre sphérique séparant deux milieux d'indices différents de l'optique géométrique [17], on considère l'espace champ électrostatique entre deux grilles sphériques concentriques à des potentiels électrostatiques différents, la référence des potentiels étant toujours choisie à la cathode du canon à électrons, le champ électrostatique entre les deux grilles en un point à la distance de étant radial, isotrope et de norme à , l'indice étant toujours remplacé par la racine carré des potentiels

     Pour obtenir l'analogue en optique électronique d'une lentille sphérique plongée dans un même milieu de l'optique géométrique [18], on considère la succession de deux espaces champs électrostatiques entre des grilles sphériques concentriques, le 1er espace champ étant entre deux grilles sphériques de même centre à des potentiels électrostatiques différents et , la référence des potentiels étant toujours choisie à la cathode du canon à électrons, le 2ème espace champ étant entre deux autres grilles sphériques de même centre aux potentiels électrostatiques et  ; comme en optique géométrique le stigmatisme et l'aplanétisme du système étudié ne sont, dans le cas général, qu'approchés [19] et les conditions pour qu'ils soient réalisés sont analogues aux conditions de Gauss [20], [21]

Rappel de la r.f.d.r. (relation fondamentale de la dynamique relativiste) et application à l’exemple de l’oscilloscope cathodique[modifier | modifier le wikicode]

Rappel de la r.f.d.r. (relation fondamentale de la dynamique relativiste)[modifier | modifier le wikicode]

Début d’un théorème
Fin du théorème

     Remarque : Un problème de dynamique relativiste du point place la quantité de mouvement de ce dernier au centre de la résolution, son explication en fonction du vecteur vitesse n'étant quasiment jamais réalisée sauf bien sûr si la nécessité s'en fait sentir.

Application à l’« exemple de l’oscilloscope cathodique »[modifier | modifier le wikicode]

Schéma expliquant la déviation électronique entre les plaques horizontales d'un tube cathodique dans le cadre de la dynamique relativiste

     La différence fondamentale par rapport au traitement du paragraphe « exemple de l'oscilloscope cathodique, détermination de la déflexion électrique » plus haut dans ce chapitre est que l'électron injecté dans l'espace champ électrostatique créé entre les plaques parallèles de déviation d'un oscilloscope cathodique l'étant avec une vitesse initiale de norme , le traitement doit être fait dans le cadre de la dynamique relativiste c.-à-d. en introduisant, à la place de la vitesse initiale d'injection de l'électron, sa quantité de mouvement initiale d'injection avec le facteur de Lorentz [24] initial voir schéma ci-contre :

     L'application à l'électron , de charge [2], de la r.f.d.r. [25] dans le référentiel supposé galiléen lié à la source du champ électrostatique existant entre les plaques de déviation de l'oscilloscope cathodique, le vecteur champ électrostatique y étant uniforme, nous conduit, sachant que l'électron n'est soumis qu'à la force électrostatique «» l'influence éventuelle du poids de l'électron dans le cas où l'expérience se passe sur Terre étant négligeable, voir le paragraphe « comparaison de la force électrique exercée sur un proton dans un champ électrique de nrome modérée au poids du proton dans le champ de pesanteur terrestre » du chap. de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) », à

«» dans laquelle « est la quantité de mouvement de l'électron à l'instant » ;
Diagramme horaire de vitesse d'un électron selon Ox après pénétration dans un espace champ électrostatique de vecteur champ uniforme de direction Oy avec une vitesse initiale relativiste de direction Ox
Diagramme horaire de vitesse d'un électron selon Oy après pénétration dans un espace champ électrostatique de vecteur champ uniforme de direction Oy avec une vitesse initiale relativiste de direction Ox

     loi(s) horaire(s) de quantité de mouvement de l'électron : intégrant cette équation avec l'utilisation de la « C.I. [3] », nous obtenons la loi horaire vectorielle de la quantité de mouvement de l'électron «» ce qui donne, en projetant sur chacun des axes du schéma ci-dessus, les trois lois horaires scalaires de quantité de mouvement de l'électron «» ou, avec [26] et [2], «» ;

     expression instantanée de l'énergie totale de l'électron : l'énergie totale de l'électron à l'instant «» c.-à-d. la somme de son énergie cinétique «» et de son énergie de masse « »[27] étant liée à sa quantité de mouvement au même instant selon «» [28], nous obtenons ici «» soit, en développant et en tenant compte que est à , «» ou, en introduisant l'« énergie totale initiale de l'électron », « » soit enfin, avec [26] et [2], « » [29] ;

     loi(s) horaire(s) de vitesse de l'électron : le vecteur vitesse de l'électron étant lié à son vecteur quantité de mouvement et à son énergie totale par «» [30] nous en déduisons ici la loi horaire vectorielle de vitesse de l'électron « » ce qui donne, en projetant sur chacun des axes du schéma de début de paragraphe, les trois lois horaires scalaires de vitesse de l'électron «» ou «» avec [26] et [2] soit, en mettant l'énergie totale initiale en facteur dans le dénominateur des deux 1ères composantes de façon à faire apparaître des fractions sans dimension ou homogène à une vitesse, «» ;
     ci-dessus à droite les diagrammes horaires de vitesse de l'électron selon et , l'électron pénétrant en dans l'espace champ électrostatique de vecteur champ uniforme et de sens contraire à sa norme valant avec un vecteur vitesse à tel qu'il soit relativiste sa norme étant égale à  ;
     ci-dessus à droite on constate que , la composante de vitesse de l'électron parallèlement au champ électrique , à partir de en s'approchant asymptotiquement de la vitesse limite après la composante vaut donc mais à moins de près, avec pour conséquence
     ci-dessus à droite on constate que , la composante de vitesse de l'électron parallèlement à sa vitesse initiale , à partir de en s'approchant asymptotiquement de après la composante vaut donc a déjà été divisée par , la s'accélérant par la suite
     ci-dessus à droite on constatela raison étant que ne pouvant dépasser alors que la dynamique de l'électron fait jusqu'à , doit jusqu'à [31] ;

Diagramme horaire de position d'un électron selon Ox après pénétration dans un espace champ électrostatique de vecteur champ uniforme de direction Oy avec une vitesse initiale relativiste de direction Ox
Diagramme horaire de position d'un électron selon Oy après pénétration dans un espace champ électrostatique de vecteur champ uniforme de direction Oy avec une vitesse initiale relativiste de direction Ox

     loi(s) horaire(s) de position de l'électron : le vecteur position de l'électron étant lié à son vecteur vitesse par « », on obtiendra le 1er en intégrant l'expression du 2nd «» par rapport à c.-à-d. «»,
     loi(s) horaire(s) de position de l'électron : le 1er terme du 2ème membre ayant pour primitive « » [32] et
     loi(s) horaire(s) de position de l'électron : le 2nd terme du 2ème membre ayant pour primitive « » [33]
     loi(s) horaire(s) de position de l'électron : en tenant compte de la position initiale de l'électron choisie pour origine du repérage , « » soit la loi horaire vectorielle de position de l'électron « » ce qui donne, en projetant sur chacun des axes du schéma de début de paragraphe, «» c.-à-d. les trois lois horaires scalaires de position de l'électron ou, avec [26] et [2], «» ;
     ci-dessus à droite les diagrammes horaires de position de l'électron selon et , l'électron pénétrant en dans l'espace champ électrostatique de vecteur champ uniforme et de sens contraire à sa norme valant avec un vecteur vitesse à tel qu'il soit relativiste sa norme étant égale à un facteur de Lorentz [24] correspondant à une « énergie totale initiale » [34] avec l'énergie de masse de l'électron d'où et une « norme de quantité de mouvement initiale » [35] ou «» soit numériquement en ou  ;
     ci-dessus à droite on constate que , la coordonnée de l'électron parallèlement au champ électrique , à partir de selon une branche hyperbolique après la variation temporelle de est quasiment linéaire, ceci correspondant à la confusion de la branche hyperbolique avec son asymptote quand [36],
     ci-dessus à droite on constate que , la coordonnée de l'électron perpendiculairement au champ électrique , à partir de selon un sinus hyperbolique inverse à l'instant , « » donne « ;

Trajectoire d'un électron après pénétration dans un espace champ électrostatique de vecteur champ uniforme de direction Oy avec une vitesse initiale relativiste de direction Ox

     trajectoire de l'électron : le mouvement de l'électron étant plan, dans le plan aux plaques de déviation contenant le vecteur quantité de mouvement initial c.-à-d. le plan , les deux équations paramétriques de sa trajectoire dans le plan étant aussi les deux lois horaires scalaires de position «» nous obtenons son équation cartésienne dans ce plan en éliminant le paramètre entre les deux équations paramétriques selon «» d'où, par report de «» dans «» « » soit finalement « [37] » ;
     ci-dessus à droite la trajectoire de l'électron dans l'interface entre les plaques de déviation, l'électron pénétrant en dans l'espace champ électrostatique de vecteur champ uniforme et de sens contraire à sa norme valant avec un vecteur vitesse à tel qu'il soit relativiste sa norme étant égale à un facteur de Lorentz [24] correspondant à une « énergie totale initiale » [34] avec l'énergie de masse de l'électron d'où et une « norme de quantité de mouvement initiale » [35] soit numériquement  ;
     ci-dessus à droite on constate que la trajectoire de l'électron relativiste dans l'interface entre les plaques de déviation est une « chaînette » alors que celle d'un électron classique dans la même situation est une parabole si les plaques de déviation sont longues de , distantes de et soumises à une tension , l'électron sort de l'interface en en frôlant la plaque supérieure, ses coordonnées sont [38], au début de la trajectoire jusqu'à l'abscisse l'électron est un peu plus proche de l'axe que le traitement en dynamique classique dans les mêmes conditions ne l'aurait positionné alors qu'en fin de trajectoire à partir de l'abscisse il en est plus éloigné et d'autant plus qu'il se rapproche de  ;

     angle de déflexion électrique à la sortie de l'interface entre les plaques de déviation  : l'angle de déflexion du mouvement de l'électron se détermine par «» avec d'où «» ou, avec [26] et [2], le lien entre la pente de l'angle de déflexion électrique à la sortie de l'interface entre les plaques de déviation et la tension imposée aux bornes de ces dernières « non à