Leçons de niveau 14

Mécanique 1 (PCSI)/Exercices/Mouvement de particules chargées dans des champs électrique et magnétique : Cas particulier d'un champ magnétostatique uniforme

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Mouvement de particules chargées dans des champs électrique et magnétique : Cas particulier d'un champ magnétostatique uniforme
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Exercices no23
Leçon : Mécanique 1 (PCSI)
Chapitre du cours : Mouvement de particules chargées dans des champs électrique et magnétique : Cas particulier d'un champ magnétostatique uniforme

Exercices de niveau 14.

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Mécanique 1 (PCSI)/Exercices/Mouvement de particules chargées dans des champs électrique et magnétique : Cas particulier d'un champ magnétostatique uniforme
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Séparation isotopique des particules chargées d'un faisceau monocinétique par l'action d'un champ magnétostatique uniforme perpendiculaire au vecteur vitesse initiale des particules[modifier | modifier le wikicode]

Schéma du spectrographe de Bainbridge [1] permettant la séparation isotopique d'un faisceau monocinétique de particules de même charge par action d'un champ magnétostatique uniforme à leur vitesse d'entrée

     Le spectrographe de Bainbridge [1] accélère préalablement les isotopes ionisés de même charge «» et «» d'un « même élément »
         Le spectrographe de Bainbridge accélère préalablement lesquels, après passage dans un filtre de vitesse, ressortent avec un même vecteur vitesse dans le référentiel d'étude lié au filtre, référentiel supposé galiléen,
         Le spectrographe de Bainbridge accélère préalablement pour pénétrer dans une chambre de déviation où règne un champ magnétostatique uniforme dont la direction est à la direction du vecteur vitesse initiale commun aux isotopes ionisés ;

     après une trajectoire semi-circulaire dans la chambre de déviation, on mesure la « distance séparant les points d'impact de chaque isotope ionisé » sur une « plaque photographique » située à la sortie de la chambre de déviation voir figure ci-contre ;

     pour l'exposé de la solution nous supposerons que représente le plus grande nombre de masse des deux isotopes c.-à-d. «».

Justification du mouvement de chaque isotope ionisé dans la chambre de déviation[modifier | modifier le wikicode]

     Justifier que le mouvement de chaque ion est plan, circulaire et uniforme en précisant les rayons et des différents isotopes ionisés.

Établissement de l'expression de la distance séparant les deux points d'impact des isotopes ionisés sur la plaque photographique de la sortie de la chambre de déviation[modifier | modifier le wikicode]

     Exprimer la « distance séparant les points d'impact de chaque isotope ionisé » sur la « plaque photographique » située à la sortie de la chambre de déviation
     Exprimer la distance « δ » en fonction de la constante d'Avogadro [15] , la charge élémentaire , la norme du champ magnétostatique , la norme du vecteur vitesse d'entrée dans la chambre de déviation , les masses molaires atomiques et des isotopes de nombre de masse et .

Application numérique[modifier | modifier le wikicode]

     À partir de «», «», «» et «», déduire, de la mesure de «», la nature de l'autre isotope de carbone sachant que l'un des deux est l'isotope le plus fréquent le «».

Actions simultanées d'un champ électrostatique et d'un champ magnétostatique perpendiculaires entre eux sur une particule chargée pénétrant perpendiculaire aux deux champs, mouvement cycloïdal, filtre de vitesse[modifier | modifier le wikicode]

Description d'un champ électromagnétique uniforme à composantes électrostatique et magnétostatique respectivement avec choix des axes cartésiens tel que et

     À l'instant pris pour origine des temps, une particule de masse et de charge est d'abord considérée immobile dans le vide en un point représentant l'origine des espaces ;

     nous établissons à cet instant un champ magnétostatique uniforme et un champ électrostatique également uniforme, de direction perpendiculaire à celle du champ magnétique et

     nous choisissons un repérage cartésien de base orthonormée directe tel que avec , le vecteur unitaire permettant l'orientation des angles du plan voir figure ci-contre.

     Le référentiel d'étude lié au champ électromagnétique est supposé galiléen.

Explicitation des équations différentielles cartésiennes régissant le mouvement de la particule soumis au champ électromagnétique uniforme[modifier | modifier le wikicode]

     Après application de la r.f.d.n. [2] à la particule chargée de masse dans le référentiel d'étude , déduire les trois équations différentielles en composantes cartésiennes du vecteur vitesse de cette particule dans l'espace champ électromagnétique uniforme, puis

     simplifier ces équations en introduisant la pulsation cyclotron de la particule soit, pour une particule de charge positive «».

Détermination des équations paramétriques de la trajectoire de la particule soumis au champ électromagnétique uniforme[modifier | modifier le wikicode]

     Déterminer les équations paramétriques de la trajectoire de la particule dans le champ électromagnétique uniforme en résolvant le système d'équations différentielles trouvées à la question précédente et

     présenter ces équations paramétriques en utilisant, entre autres, la grandeur homogène à une longueur «».

Allure de la trajectoire de la particule ainsi que de l'hodographe de pôle O du mouvement de cette dernière[modifier | modifier le wikicode]

     Préciser l'allure de la trajectoire de la particule soumis au champ électromagnétique uniforme.

     Établir les équations paramétriques de l'hodographe de pôle du mouvement de la particule [24] soumis au champ électromagnétique uniforme puis

     préciser son allure.

Explicitation de la norme du vecteur vitesse de la particule à l'instant t[modifier | modifier le wikicode]

     Déduire de ce qui précède la norme du vecteur vitesse de la particule à l'instant en fonction de , , et puis,

     calculer la valeur de celle-ci pour «».

Détermination de la norme du vecteur vitesse de la particule à l'instant t par utilisation du théorème de l'énergie cinétique appliqué à cette dernière[modifier | modifier le wikicode]

     Retrouver les résultats de la question précédente en utilisant le théorème de l'énergie cinétique appliqué à la particule soumis au champ électromagnétique uniforme.

Cas d'une particule pénétrant dans l'espace champ électromagnétique uniforme avec un vecteur vitesse respectivement perpendiculaire aux deux composantes électrostatique et magnétostatique du champ, notion de filtre de vitesse[modifier | modifier le wikicode]

     Une autre particule, identique à la précédente, pénètre, à un instant pris comme nouvelle origine des temps, avec un vecteur vitesse initiale avec donc aux deux composantes électrostatique et magnétostatique du champ et tel que le trièdre soit direct.

     Déterminer les nouvelles équations paramétriques de la trajectoire et

     montrer que « les particules ayant une vitesse initiale à préciser en fonction de et ne sont pas déviées » c.-à-d. que, parmi toutes les valeurs de vitesse initiale, il en existe une et une seule pour laquelle le mouvement de la particule est rectiligne uniforme lui permettant de ressortir par un diaphragme judicieusement positionné sur l'axe , toutes les autres particules à vitesses initiales différentes ne pouvant pas traverser ce diaphragme sont absentes dans le faisceau de sortie situé au-delà du diaphragme, nous avons donc un filtre de vitesse connu sous le nom de « filtre de Wien » [32].