Mécanique 1 (PCSI)/Exercices/Mouvement de particules chargées dans des champs électrique et magnétique : Cas particulier d'un champ magnétostatique uniforme

Séparation isotopique des particules chargées d'un faisceau monocinétique par l'action d'un champ magnétostatique uniforme perpendiculaire au vecteur vitesse initiale des particules

Schéma du spectrographe de Bainbridge permettant la séparation isotopique d'un faisceau monocinétique de particules de même charge par action d'un champ magnétostatique uniforme $\;{\vec {B}}$ $\;\perp \;$ à leur vitesse d'entrée $\;{\vec {V}}_{0}$

     Le spectrographe de Bainbridge accélère préalablement les isotopes ionisés de même charge «$\;_{Z}^{A}X^{+}\;$» et «$\;_{Z}^{A'}\!X^{+}\;$» d'un « même élément $\;_{Z}X\;$»
         Le spectrographe de Bainbridge accélère préalablement lesquels, après passage dans un filtre de vitesse, ressortent avec un même vecteur vitesse $\;{\vec {V}}_{0}\;$ dans le référentiel d'étude lié au filtre, référentiel supposé galiléen,
         Le spectrographe de Bainbridge accélère préalablement pour pénétrer dans une chambre de déviation où règne un champ magnétostatique uniforme $\;{\vec {B}}\;$ dont la direction est $\;\perp \;$ à la direction du vecteur vitesse initiale $\;{\vec {V}}_{0}\;$ commun aux isotopes ionisés ;

     après une trajectoire semi-circulaire dans la chambre de déviation, on mesure la « distance $\;\delta \;$ séparant les points d'impact de chaque isotope ionisé » sur une « plaque photographique » située à la sortie de la chambre de déviation $\;{\big (}$voir figure ci-contre${\big )}$ ;

     pour l'exposé de la solution nous supposerons que $\;A'\;$ représente le plus grande nombre de masse des deux isotopes c.-à-d. «$\;A'>A\;$».

Justification du mouvement de chaque isotope ionisé dans la chambre de déviation

     Justifier que le mouvement de chaque ion est plan, circulaire et uniforme en précisant les rayons $\;{\mathcal {R}}\;$ et $\;{\mathcal {R}}'\;$ des différents isotopes ionisés.

Solution

     L’application de la r.f.d.n. dans le référentiel $\;{\mathcal {R}}_{\text{lab}}\;$ galiléen à l'isotope ionisé $\;P\left(q=+e\right)\;$ soumise à la seule force magnétique de Lorentz «$\;{\vec {F}}_{\text{mag. de Lor}}(P)=q\;{\vec {V}}_{\!P}(t)\wedge {\vec {B}}\;$» , $\;{\vec {V}}_{\!P}(t)\;$ étant le vecteur vitesse de l'isotope ionisé à l'instant $\;t\;$ dans le référentiel $\;{\mathcal {R}}_{\text{lab}}$, soit «$\;{\vec {F}}_{\text{mag. de Lor}}(P)=m\;{\vec {a}}_{P}(t)\;$», conduit, sachant que le vecteur accélération de la particule à l'instant $\;t$, $\;{\vec {a}}_{P}(t)$, est la dérivée temporelle de son vecteur vitesse au même instant $\;{\dfrac {d{\vec {V}}_{\!P}}{dt}}(t)$, à l’équation différentielle vectorielle du 1^er ordre en $\;{\vec {V}}_{\!P}(t)\;$ «$\;q\;{\vec {V}}_{\!P}(t)\wedge {\vec {B}}=m\;{\dfrac {d{\vec {V}}_{\!P}}{dt}}(t)\;$» ;

     sachant que tout produit vectoriel non nul de deux vecteurs est $\;\perp \;$ à chacun de ses vecteurs , nous en déduisons que $\;q\;{\vec {V}}_{\!P}(t)\wedge {\vec {B}}\;$ est $\;\perp \;$ à $\;{\vec {B}}\;$ c.-à-d. à $\;{\vec {u}}_{z}\;$ vecteur unitaire colinéaire à $\;{\vec {B}}\;$ et de sens contraire $\;{\big [}$de façon à ce que la base cartésienne orthonormée $\;\left({\vec {u}}_{x}\,,\,{\vec {u}}_{y}\,,\,{\vec {u}}_{z}\right)\;$ soit directe${\big ]}\;$ $\Rightarrow$ $\;{\vec {B}}=-B\;{\vec {u}}_{z}\;$ avec $\;B=\Vert {\vec {B}}\Vert$ ;
     projetant l'équation différentielle sur $\;{\vec {u}}_{z}\;$ nous obtenons «$\;0=m\;{\dfrac {dV_{z,\,P}}{dt}}(t)\;$» $\Rightarrow$ $\;V_{z,\,P}(t)=cste\;$ et la C.I. $\;{\vec {V}}_{0}=V_{0}\;{\vec {u}}_{x}\;$ imposant «$\;V_{0,\,z}=0\;$» $\Rightarrow$ $\;cste=0\;$ soit «$\;V_{z,\,P}(t)=0\;\;\forall \;t\;$» et
        projetant l'équation différentielle sur uz nous obtenons «$\;0=V_{z,\,P}(t)={\dfrac {dz_{P}}{dt}}(t)\;$» $\Rightarrow$ $\;z_{P}(t)=cste'\;$ et la C.I. $\;P_{0}\;$ en $\;O\;$ imposant «$\;z_{0}=0\;$» $\Rightarrow$ $\;cste'=0\;$ soit «$\;z_{P}(t)=0\;\;\forall \;t\;$» ;

     en 1^re conclusion, le mouvement de l'isotope ionisé $\;P\;$ pénétrant dans l'espace champ magnétostatique uniforme avec un vecteur vitesse $\;{\vec {V}}_{0}=V_{0}\;{\vec {u}}_{x}$ $\;\perp \;$ à $\;{\vec {B}}\;$ est, dans le cas où la seule force s'exerçant sur $\;P\;$ est la force magnétique de Lorentz , plan, le plan du mouvement étant $\;xOy$ ;

     la force magnétique de Lorentz ne développant aucune puissance en étant la seule force appliquée à la particule, l’énergie cinétique de cette dernière reste constante par application du théorème de la puissance cinétique et par suite la norme de sa vitesse aussi soit «$\;\Vert {\vec {V}}_{\!P}(t)\Vert =cste\;$», la constante se déterminant par C.I. «$\;\Vert {\vec {V}}_{\!P}(0)\Vert =\Vert {\vec {V}}_{0}\Vert =V_{0}\;$» d’où «$\;\Vert {\vec {V}}_{\!P}(t)\Vert =V_{0}\;\;\forall \;t\;$» c.-à-d.

     en 2^ème conclusion, le mouvement de l'isotope ionisé $\;P\;$ après pénétration dans l'espace champ magnétostatique uniforme est uniforme de norme de vitesse égale à $\;V_{0}$ ;

     le mouvement de l'isotope ionisé $\;P\left(q=+e\right)\;$ étant plan, dans le plan « le plan $\;xOy\;$» et la particule entrant dans l'espace champ magnétostatique uniforme en $\;O\;$ avec un vecteur vitesse $\;{\vec {V}}_{0}=V_{0}\;{\vec {u}}_{x}$ $\;{\Big (}V_{0}=$ $\Vert {\vec {V}}_{0}\Vert \;$ étant aussi la vitesse instantanée initiale $\;v_{0}\;$ de l'isotope ionisé si on choisit le sens $\;+\;$ sur la trajectoire dans le sens du mouvement${\Big )}$, nous obtenons le schéma descriptif ci-dessus présenté dans l'énoncé, $\;q\;$ étant $\;>0$ $\;{\bigg [}$pour savoir de quel côté de $\;{\vec {V}}_{0}\;$ la courbe s’amorce il convient de déterminer la force magnétique de Lorentz initiale «$\;{\vec {F}}_{\text{mag. de Lor}}(P_{0})=q\;{\vec {V}}_{0}\wedge {\vec {B}}\;$» , de direction $\;\perp \;$ au plan $\;\left({\vec {V}}_{0}\,,\,{\vec {B}}\right)\;$ ou $\;xOz\;$ c.-à-d. portée par $\;Oy\;$ et de sens tel que $\;\left\lbrace q\;{\vec {V}}_{0}\,,\,{\vec {B}}\,,\,{\vec {F}}_{\text{mag. de Lor}}(P_{0})\right\rbrace \;$ soit direct $\Rightarrow$ «$\;{\vec {F}}_{\text{mag. de Lor}}(P_{0})\;$» de même sens que $\;{\vec {u}}_{y}{\bigg ]}$, la rotation de l'isotope ionisé se faisant dans le sens $\;+\;$ du plan $\;xOy\;$ défini par le vecteur unitaire $\;{\vec {u}}_{z}\;$ colinéaire à $\;{\vec {B}}\;$ et de sens contraire $\;{\Big [}$le sens de $\;{\vec {F}}_{\text{mag. de Lor}}(M_{0})\;$ sur $\;Oy\;$ nous indique le sens du début de rotation mais le mouvement étant uniforme la rotation se poursuit dans le même sens${\Big ]}$ ;
     pour déterminer la nature de la trajectoire nous utilisons le repérage local de Frenet de base directe «$\;\left\lbrace {\vec {T}}\,,\,{\vec {N}}\,,\,{\vec {b}}={\vec {u}}_{z}\right\rbrace \;$» et projetons l'équation différentielle «$\;q\;{\vec {V}}_{\!P}(t)\wedge {\vec {B}}=m\;{\dfrac {d{\vec {V}}_{\!P}}{dt}}(t)\;$» sur $\;{\vec {N}}$, le vecteur unitaire normal principal de la base locale de Frenet , en utilisant

     d'une part que «$\;q\;{\vec {V}}_{\!P}(t)\wedge {\vec {B}}\;$ étant $\;\perp \;$ à $\;{\vec {V}}_{\!P}(t)\;$ et $\;{\vec {B}}\;$, donc à $\;{\vec {T}}\;$ et $\;{\vec {u}}_{z}$, est porté par $\;{\vec {N}}\;$», « son sens se déterminant par $\;\left\lbrace q\;{\vec {V}}_{\!P}(t)\,,\,{\vec {B}}\,,\,q\;{\vec {V}}_{\!P}(t)\wedge {\vec {B}}\right\rbrace \;$ direct est celui de $\;{\vec {N}}\;$» et

     d'autre part que $\;{\dfrac {d{\vec {V}}_{\!P}}{dt}}(t)\;$ étant $\;={\vec {a}}_{P}(t)\;$ sa projection sur $\;{\vec {N}}\;$ définit l'accélération normale de l'isotope ionisé $\;a_{n,\,P}(t)={\dfrac {v_{P}^{\,2}}{{\mathcal {R}}_{\!P}}}(t)\;$ avec $\;v_{P}(t)\;$ la vitesse instantanée de l'isotope ionisé $\;v_{P}(t)=$ ${\vec {V}}_{\!P}(t)\cdot {\vec {T}}\;$ et $\;{\mathcal {R}}_{\!P}(t)\;$ le rayon de courbure de la trajectoire en la position de l'isotope ionisé à l'instant $\;t\;$,

     ce qui donne «$\;\Vert \,q\;{\vec {V}}_{\!P}(t)\wedge {\vec {B}}\,\Vert =m\;{\dfrac {v_{P}^{\,2}}{{\mathcal {R}}_{\!P}}}(t)\;$» avec «$\;\Vert \,q\;{\vec {V}}_{\!P}(t)\wedge {\vec {B}}\,\Vert =\vert q\vert \,\Vert {\vec {V}}_{\!P}(t)\Vert \,\Vert {\vec {B}}\vert \,{\bigg \vert }\sin \!{\widehat {\left[q\;{\vec {V}}_{\!P}(t)\,,\,{\vec {B}}\right]}}{\bigg \vert }\;$» dans laquelle $\;{\bigg \vert }\sin \!{\widehat {\left[q\;{\vec {V}}_{\!P}(t)\,,\,{\vec {B}}\right]}}{\bigg \vert }=1$ $\;{\Big [}$le mouvement se faisant dans le plan passant par $\;O\;$ et $\;\perp \;$ à $\;{\vec {B}}{\Big ]}\;$ et $\;\Vert {\vec {V}}_{\!P}(t)\Vert =v_{P}(t)$ $\;{\big [}$le sens $\;+\;$ étant choisi dans le sens du mouvement${\big ]}\;$ soit encore, $\;q\;$ étant $\;>0\;$ et $\;\Vert {\vec {B}}\Vert \;$ étant notée $\;B$, «$\;q\;v_{P}(t)\;B=m\;{\dfrac {v_{P}^{\,2}}{{\mathcal {R}}_{\!P}}}(t)\;$» $\Rightarrow$ «$\;{\mathcal {R}}_{\!P}(t)={\dfrac {m\;v_{P}(t)}{q\;B}}\;$» ;

     le mouvement de la particule étant uniforme $\;v_{p}(t)=v_{0},\;\;\forall \;t$, le rayon de courbure de la trajectoire à l'instant $\;t\;$ se réécrit «$\;{\mathcal {R}}_{\!P}(t)={\dfrac {m\;v_{0}}{q\;B}},\;\;\forall \;t\;$» c.-à-d. une constante et

     le mouvement de la particule étant plan, la trajectoire suivie par l'isotope ionisé est circulaire $\;{\big (}$la seule courbe plane à rayon de courbure constant étant un cercle${\big )}$, le rayon du cercle étant «$\;{\mathcal {R}}_{c}={\dfrac {m\;v_{0}}{q\;B}}\;$».

     En conclusion le rayon du cercle décrit par l'isotope ionisé «$\;_{Z}^{A}X^{+}\;$ de masse $\;m\;$» est «$\;{\mathcal {R}}={\dfrac {m\;v_{0}}{e\;B}}\;$» et celui du cercle décrit par l'isotope ionisé «$\;_{Z}^{A'}\!X^{+}\;$ de masse $\;m'\;$» est «$\;{\mathcal {R}}'={\dfrac {m'\;v_{0}}{e\;B}}\;$».

 

Établissement de l'expression de la distance séparant les deux points d'impact des isotopes ionisés sur la plaque photographique de la sortie de la chambre de déviation

     Exprimer la « distance $\;\delta \;$ séparant les points d'impact de chaque isotope ionisé » sur la « plaque photographique » située à la sortie de la chambre de déviation
     Exprimer la distance « δ » en fonction de la constante d'Avogadro $\;{\mathcal {N}}$, la charge élémentaire $\;e$, la norme du champ magnétostatique $\;B=\Vert {\vec {B}}\Vert$, la norme du vecteur vitesse d'entrée dans la chambre de déviation $\;V_{0}=\Vert {\vec {V}}_{0}\Vert$, les masses molaires atomiques $\;M\;$ et $\;M'\;$ des isotopes de nombre de masse $\;A\;$ et $\;A'$.

Solution

Schéma du spectrographe de Bainbridge permettant la séparation isotopique d'un faisceau monocinétique de deux isotopes ionisés de même charge par action d'un champ magnétostatique uniforme $\;{\vec {B}}$ $\;\perp \;$ à leur vitesse d'entrée $\;{\vec {V}}_{0}$

     Le rayon du cercle décrit par l'isotope ionisé «$\;_{Z}^{A}X^{+}\;$ de masse $\;m\;$» valant «$\;{\mathcal {R}}={\dfrac {m\;v_{0}}{e\;B}}\;$» et celui du cercle décrit par l'isotope ionisé «$\;_{Z}^{A'}\!X^{+}\;$ de masse $\;m'\;$» «$\;{\mathcal {R}}'$ $={\dfrac {m'\;v_{0}}{e\;B}}\;$», transformons l'expression du rayon de chaque cercle en explicitant la masse «$\;m\;$» et «$\;m'\;$» de chaque isotope ionisé en fonction de leur masse molaire atomique «$\;M\;$» et «$\;M'\;$» ainsi que de la « constante d'Avogadro $\;{\mathcal {N}}\;$» selon «$\;m={\dfrac {M}{\mathcal {N}}}\;$» et «$\;m'={\dfrac {M'}{\mathcal {N}}}\;$» $\Rightarrow$ «$\;{\mathcal {R}}={\dfrac {M\;v_{0}}{{\mathcal {N}}\;e\;B}}\;$» et «$\;{\mathcal {R}}'={\dfrac {M'\;v_{0}}{{\mathcal {N}}\;e\;B}}\;$» ;

     le rayon du cercle décrit par chaque isotope ionisé étant $\;\propto \;$ à sa masse molaire atomique, c'est l'isotope ionisé ayant la plus grande masse molaire atomique $\;{\big (}$c.-à-d. correspondant au plus grand nombre de masse soit $\;A'{\big )}\;$ qui décrit le demi-cercle le plus extérieur, c'est donc celui-là dont l'impact sur la plaque photographique est le plus éloigné de son point d'entrée dans la chambre de déviation ;

     les impacts sur la plaque photographique des isotopes ionisés «$\;_{Z}^{A}X^{+}\;$» et «$\;_{Z}^{A'}\!X^{+}\;$» étant situés respectivement à la distance $\;2\;{\mathcal {R}}\;$ et $\;2\;{\mathcal {R}}'\;$ de leur point d'entrée dans la chambre de déviation $\;{\big (}$chaque distance correspondant au diamètre de chaque demi-cercle${\big )}$ $\;{\big [}$voir figure ci-contre${\big ]}$, la distance séparant les deux impacts s'écrit «$\;\delta =2\;{\mathcal {R}}'-2\;{\mathcal {R}}\;$»
ou encore «$\;\delta ={\dfrac {2\,\left(M'-M\right)\,v_{0}}{{\mathcal {N}}\;e\;B}}\;$».

 

Application numérique

     À partir de «$\;B=0,30\;T\;$», «$\;e\simeq 1,60\;10^{-19}\;C\;$», «$\;V_{0}=600\;km\cdot s^{-1}\;$» et «$\;{\mathcal {N}}\simeq 6,02\;10^{23}\;mol^{-1}\;$», déduire, de la mesure de «$\;\delta \simeq 4,15\;cm\;$», la nature de l'autre isotope de carbone sachant que l'un des deux est l'isotope le plus fréquent le «$\;_{\;6}^{12}C\;$».

Solution

     De la relation «$\;\delta ={\dfrac {2\,\left(M'-M\right)\,v_{0}}{{\mathcal {N}}\;e\;B}}\;$» établie précédemment nous déduisons «$\;M'-M={\dfrac {{\mathcal {N}}\;e\;B\;\delta }{2\;v_{0}}}={\dfrac {{\mathcal {N}}\;e\;B\;\delta }{2\;V_{0}}}\;$» $\;{\big (}$le sens $\;+\;$ sur les trajectoires ayant été choisi dans le sens du mouvement la vitesse instantanée s'identifie à la norme du vecteur vitesse${\big )}\;$ soit numériquement «$\;M'-M\simeq {\dfrac {6,02\;10^{23}\times 1,60\;10^{-19}\times 0,30\times 4,15\;10^{-2}}{2\times 6,00\;10^{5}}}\simeq 9,99\;10^{-4}\;kg\cdot mol^{-1}\;$» ou «$\;M'-M\simeq 1,00\;g\cdot mol^{-1}\;$» ce qui correspond à une différence de nombres de masse des isotopes de $\;1\;$ soit «$\;A'-A=1\;$» ;

   l'un des isotopes étant le «$\;_{\;6}^{12}C\;$» $\Rightarrow$ $\;A\;$ ou $\;A'\;$ vaut $\;12\;$ et par suite

• si $\;A=12$, $\;A'\;$ vaut $\;A+\left(A'-A\right)=13\;$ correspondant à l'isotope «$\;_{\;6}^{13}C\;$» peu fréquent mais existant alors que
• si $\;A'=12$, $\;A\;$ vaut $\;A'-\left(A'-A\right)=11\;$ lequel correspond à un isotope «$\;_{\;6}^{11}C\;$» n'existant pas à l'état naturel. Les isotopes du carbone déterminés par séparation isotopique sont le «$\;_{\;6}^{12}C\;$» et le «$\;_{\;6}^{13}C\;$».

 

Actions simultanées d'un champ électrostatique et d'un champ magnétostatique perpendiculaires entre eux sur une particule chargée pénétrant perpendiculaire aux deux champs, mouvement cycloïdal, filtre de vitesse

Description d'un champ électromagnétique uniforme à composantes électrostatique et magnétostatique respectivement $\;\perp \;$ avec choix des axes cartésiens tel que $\;{\vec {E}}=E\;{\vec {u}}_{y}\;$ et $\;{\vec {B}}=B\;{\vec {u}}_{z}$

     À l'instant pris pour origine des temps, une particule de masse $\;m\;$ et de charge $\;q>0\;$ est d'abord considérée immobile dans le vide en un point représentant l'origine $\;O\;$ des espaces ;

     nous établissons à cet instant un champ magnétostatique $\;{\vec {B}}\;$ uniforme et un champ électrostatique $\;{\vec {E}}\;$ également uniforme, de direction perpendiculaire à celle du champ magnétique et

     nous choisissons un repérage cartésien de base orthonormée directe $\;\left\lbrace {\vec {u}}_{x}\,,\,{\vec {u}}_{y}\,,\,{\vec {u}}_{z}\right\rbrace \;$ tel que $\;\left\lbrace {\begin{array}{c}{\vec {B}}=B\;{\vec {u}}_{z}\\{\vec {E}}=E\;{\vec {u}}_{y}\end{array}}\right\rbrace \;$ avec $\;\left\lbrace {\begin{array}{c}B=\Vert {\vec {B}}\Vert \\E=\Vert {\vec {E}}\Vert \end{array}}\right\rbrace$, le vecteur unitaire $\;{\vec {u}}_{x}\;$ permettant l'orientation des angles du plan $\;yOz$ $\;{\big (}$voir figure ci-contre${\big )}$.

     Le référentiel d'étude $\;{\mathcal {R}}_{\text{lab}}\;$ lié au champ électromagnétique est supposé galiléen.

Explicitation des équations différentielles cartésiennes régissant le mouvement de la particule soumis au champ électromagnétique uniforme

     Après application de la r.f.d.n. à la particule chargée $\;M\left(q\right)\;$ de masse $\;m\;$ dans le référentiel d'étude $\;{\mathcal {R}}_{\text{lab}}$, déduire les trois équations différentielles en composantes cartésiennes du vecteur vitesse de cette particule dans l'espace champ électromagnétique uniforme, puis

     simplifier ces équations en introduisant la pulsation cyclotron de la particule $\;\omega _{c}={\dfrac {\vert q\vert \;B}{m}}\;$ soit, pour une particule de charge positive «$\;\omega _{c}={\dfrac {q\;B}{m}}\;$».

Solution

     L'application de la r.f.d.n. , dans le référentiel d'étude $\;{\mathcal {R}}_{\text{lab}}\;$ galiléen, à la particule chargée $\;M\left(q\right)\;$ de masse $\;m\;$ soumis à la seule force de Lorentz «$\;{\vec {F}}_{\text{Lor}}(M_{t})=q\,\left({\vec {E}}+{\vec {V}}_{\!M}(t)\wedge {\vec {B}}\right)\;$» dans laquelle $\;{\vec {V}}_{\!M}(t)\;$ est le vecteur vitesse de la particule à l'instant $\;t\;$ dans $\;{\mathcal {R}}_{\text{lab}}\;$ donne «$\;{\vec {F}}_{\text{Lor}}(M_{t})=m\;{\vec {a}}_{M}(t)\;$ avec $\;{\vec {a}}_{M}(t)={\dfrac {d{\vec {V}}_{\!M}}{dt}}(t)\;$ le vecteur accélération de la particule au même instant $\;t\;$ dans $\;{\mathcal {R}}_{\text{lab}}\;$» soit encore l'équation différentielle vectorielle du mouvement de la particule en son vecteur vitesse «$\;q\,\left({\vec {E}}+{\vec {V}}_{\!M}(t)\wedge {\vec {B}}\right)=m\;{\dfrac {d{\vec {V}}_{\!M}}{dt}}(t)\;$» ;

     sachant que «$\;{\vec {E}}=E\;{\vec {u}}_{y}\;$», «$\;{\vec {B}}=B\;{\vec {u}}_{z}\;$» et définissant les composantes cartésiennes du vecteur vitesse de la particule selon «$\;{\vec {V}}_{\!M}(t)=V_{M,\,x}(t)\;{\vec {u}}_{x}+V_{M,\,y}(t)\;{\vec {u}}_{y}+V_{M,\,z}(t)\;{\vec {u}}_{z}\;$» nous en déduisons les composantes cartésiennes «$\;{\vec {V}}_{\!M}(t)\wedge {\vec {B}}\;$» en effectuant les calculs suivants  :
     $\;\left\lbrace {\begin{array}{l c c c c c c c}&&q\;{\vec {V}}_{\!M}(t)&\wedge &{\vec {B}}&=&q\;{\vec {V}}_{\!M}(t)\wedge {\vec {B}}&{\scriptstyle {\text{♣}}}&q\;{\vec {V}}_{\!M}(t)\wedge {\vec {B}}\\{\vec {u}}_{x}&|&q\;V_{M,\,x}(t)&&0&&q\;V_{M,\,y}(t)\times B-q\;V_{M,\,z}(t)\times 0&=&q\;B\;V_{M,\,y}(t)\\{\vec {u}}_{y}&|&q\;V_{M,\,y}(t)&^{+}{\searrow }&0&&&&\\{\vec {u}}_{z}&|&q\;V_{M,\,z}(t)&_{-}{\nearrow }&B&&&&\end{array}}\right\rbrace$, $\;\left\lbrace {\begin{array}{l c c c c c c c}&&q\;{\vec {V}}_{\!M}(t)&\wedge &{\vec {B}}&=&q\;{\vec {V}}_{\!M}(t)\wedge {\vec {B}}&{\scriptstyle {\text{♣}}}&q\;{\vec {V}}_{\!M}(t)\wedge {\vec {B}}\\{\vec {u}}_{x}&|&q\;V_{M,\,x}(t)&&0&&&&\\{\vec {u}}_{y}&|&q\;V_{M,\,y}(t)&&0&&q\;V_{M,\,z}(t)\times 0-q\;V_{M,\,x}(t)\times 0&=&-q\;B\;V_{M,\,x}(t)\\{\vec {u}}_{z}&|&q\;V_{M,\,z}(t)&^{+}{\searrow }&B&&&&\\{\vec {u}}_{x}&|&q\;V_{M,\,x}(t)&_{-}{\nearrow }&0&&&&\end{array}}\right\rbrace \;$ et $\;\left\lbrace {\begin{array}{l c c c c c c c}&&q\;{\vec {V}}_{\!M}(t)&\wedge &{\vec {B}}&=&q\;{\vec {V}}_{\!M}(t)\wedge {\vec {B}}&{\scriptstyle {\text{♣}}}&q\;{\vec {V}}_{\!M}(t)\wedge {\vec {B}}\\{\vec {u}}_{x}&|&q\;V_{M,\,x}(t)&^{+}{\searrow }&0&&&&\\{\vec {u}}_{y}&|&q\;V_{M,\,y}(t)&_{-}{\nearrow }&0&&&&\\{\vec {u}}_{z}&|&q\;V_{M,\,z}(t)&&B&&q\;V_{M,\,x}(t)\times 0-q\;V_{M,\,y}(t)\times 0&=&0\end{array}}\right\rbrace \;$ $\Rightarrow$ «$\;q\;{\vec {V}}_{\!M}(t)\wedge {\vec {B}}=q\;B\;V_{M,\,y}(t)\;{\vec {u}}_{x}-q\;B\;V_{M,\,x}(t)\;{\vec {u}}_{y}\;$» et par suite

     les équations différentielle scalaires du mouvement de la particule en les composantes cartésiennes du vecteur vitesse de celle-ci en projetant l'équation différentielle vectorielle du mouvement de cette dernière sur chacun des axes du repère cartésien soit «$\;\left\lbrace {\begin{array}{r}q\;B\;V_{M,\,y}(t)=m\;{\dfrac {dV_{M,\,x}}{dt}}(t)\\q\;E\;-q\;B\;V_{M,\,x}(t)=m\;{\dfrac {dV_{M,\,y}}{dt}}(t)\\0=m\;{\dfrac {dV_{M,\,z}}{dt}}(t)\end{array}}\right\rbrace \;$» ou, en normalisant, «$\;\left\lbrace {\begin{array}{l}{\dfrac {dV_{M,\,x}}{dt}}(t)=\;\;{\dfrac {q\;B}{m}}\;V_{M,\,y}(t)\\{\dfrac {dV_{M,\,y}}{dt}}(t)=-{\dfrac {q\;B}{m}}\;V_{M,\,x}(t)+{\dfrac {q}{m}}\;E\\{\dfrac {dV_{M,\,z}}{dt}}(t)=\qquad 0\end{array}}\right\rbrace \;$» et enfin, en introduisant la pulsation cyclotron de la particule «$\;\omega _{c}={\dfrac {\vert q\vert \;B}{m}}\;$» c.-à-d., pour une particule de charge positive, «$\;\omega _{c}={\dfrac {q\;B}{m}}\;$» «$\;\left\lbrace {\begin{array}{l}{\dfrac {dV_{M,\,x}}{dt}}(t)=\;\;\omega _{c}\;V_{M,\,y}(t)\qquad \qquad \;{\text{:}}\;\;\left({\mathfrak {1}}\right)\\{\dfrac {dV_{M,\,y}}{dt}}(t)=-\omega _{c}\;V_{M,\,x}(t)+{\dfrac {q}{m}}\;E\;\;{\text{:}}\;\;\left({\mathfrak {2}}\right)\\{\dfrac {dV_{M,\,z}}{dt}}(t)=\qquad 0\qquad \qquad \qquad \quad {\text{:}}\;\;\left({\mathfrak {3}}\right)\end{array}}\right\rbrace \;$».

 

Détermination des équations paramétriques de la trajectoire de la particule soumis au champ électromagnétique uniforme

     Déterminer les équations paramétriques de la trajectoire de la particule $\;M\;$ dans le champ électromagnétique uniforme en résolvant le système d'équations différentielles trouvées à la question précédente et

     présenter ces équations paramétriques en utilisant, entre autres, la grandeur homogène à une longueur «$\;{\dfrac {E}{B\;\omega _{c}}}=R\;$».

Solution

     L'équation différentielle «$\;\left({\mathfrak {3}}\right)\;{\text{:}}\;\;{\dfrac {dV_{M,\,z}}{dt}}(t)=0\;$» s'intègre en «$\;V_{M,\,z}(t)=cste_{z}\;$», la valeur de la constante se déterminant à l'aide de la C.I. «$\;{\vec {V}}_{\!M}(0)=0\;$ $\Rightarrow$ $\;{\vec {V}}_{M,\,z}(0)=0\;$» d'où $\;cste_{z}=0\;$ $\Rightarrow$ «$\;V_{M,\,z}(t)$ $=0\;\;\forall \;t\;$» puis, intégrant «$\;V_{M,\,z}(t)={\dfrac {dz_{M}}{dt}}(t)=0\;$» en «$\;z_{M}(t)={cste'}_{z}\;$», la valeur de la constante se déterminant à l'aide de la C.I. «$\;M(0)=O\;$ $\Rightarrow$ $\;z_{M}(0)=0\;$» d'où $\;{cste'}_{z}=0\;$ $\Rightarrow$ «$\;z_{M}(t)=0\;\;\forall \;t\;$» d'où la nature plane du mouvement de la particule $\;M\;$ dans le « plan $\;xOy\;$».

     Les équations différentielles «$\;\left\lbrace {\begin{array}{l}\left({\mathfrak {1}}\right)\;{\text{:}}\;\;{\dfrac {dV_{M,\,x}}{dt}}(t)=\;\;\omega _{c}\;V_{M,\,y}(t)\\\left({\mathfrak {2}}\right)\;{\text{:}}\;\;{\dfrac {dV_{M,\,y}}{dt}}(t)=-\omega _{c}\;V_{M,\,x}(t)+{\dfrac {q}{m}}\;E\end{array}}\right\rbrace \;$» étant « couplées par produit vectoriel », nous les découplons en introduisant la vitesse complexe «$\;{\underline {\mathcal {V}}}(t)=V_{M,\,x}(t)+i\;V_{M,\,y}(t)\;$» et en formant la C.L. «$\;\left({\mathfrak {1}}\right)+i\,\left({\mathfrak {2}}\right)\;$» $\Rightarrow$ «$\;{\dfrac {dV_{M,\,x}}{dt}}(t)+i\;{\dfrac {dV_{M,\,y}}{dt}}(t)=\omega _{c}\;V_{M,\,y}(t)-i\;\omega _{c}\;V_{M,\,x}(t)+i\;{\dfrac {q}{m}}\;E\;$» $\Leftrightarrow$ «$\;{\dfrac {d\!\left[V_{M,\,x}+i\;V_{M,\,y}\right]}{dt}}(t)=-i\;\omega _{c}\,\left[V_{M,\,x}(t)+i\;V_{M,\,y}(t)\right]+i\;{\dfrac {q}{m}}\;E\;$» soit finalement l'équation différentielle linéaire à cœfficients complexes constants du 1^er ordre en « vitesse complexe $\;{\underline {\mathcal {V}}}(t)=V_{M,\,x}(t)+i\;V_{M,\,y}(t)\;$» hétérogène «$\;{\dfrac {d{\underline {\mathcal {V}}}}{dt}}(t)+i\;\omega _{c}\;{\underline {\mathcal {V}}}(t)=i\;{\dfrac {q}{m}}\;E\;$» ;      la solution de cette équation différentielle linéaire à cœfficients complexes constants du 1^er ordre en «$\;{\underline {\mathcal {V}}}(t)\;$» hétérogène s'écrit «$\;{\underline {\mathcal {V}}}(t)={\underline {\mathcal {V}}}_{l}(t)+{\underline {\mathcal {V}}}_{f}\;$» dans laquelle «$\;{\underline {\mathcal {V}}}_{l}(t)\;$ est la solution libre » $\;{\Bigg [}$c.-à-d. la « solution générale de l'équation différentielle homogène $\;{\dfrac {d{\underline {\mathcal {V}}}_{l}}{dt}}(t)+i\;\omega _{c}\;{\underline {\mathcal {V}}}_{l}(t)=0\;$»${\Bigg ]}\;$ et «$\;{\underline {\mathcal {V}}}_{f}\;$ la solution forcée » $\;{\Bigg [}$c.-à-d. la « solution particulière de l'équation différentielle hétérogène de même forme $\;{\big (}$si elle existe${\big )}\;$ que l'excitation $\;{\big (}$constante${\big )}\;$ de cette dernière $\;{\cancel {{\dfrac {d{\underline {\mathcal {V}}}_{f}}{dt}}(t)\;+}}\;i\;\omega _{c}\;{\underline {\mathcal {V}}}_{f}(t)=i\;{\dfrac {q}{m}}\;E\;$»${\Bigg ]}\;$ d'où «$\;{\underline {\mathcal {V}}}_{l}(t)={\underline {A}}\;\exp \!\left(-i\;\omega _{c}\;t\right)\;$» avec $\;{\underline {A}}\;$ constante complexe d'intégration et «$\;{\underline {\mathcal {V}}}_{f}={\dfrac {i\;{\dfrac {q}{m}}\;E}{i\;\omega _{c}}}={\dfrac {q}{m}}\;{\dfrac {E}{\omega _{c}}}\;$» d'où «$\;{\underline {\mathcal {V}}}(t)=$ ${\underline {A}}\;\exp \!\left(-i\;\omega _{c}\;t\right)+{\dfrac {q}{m}}\;{\dfrac {E}{\omega _{c}}}\;$», $\;{\underline {A}}\;$ se déterminant à l'aide de la C.I. «$\;{\underline {\mathcal {V}}}(0)=0\;$» $\;{\big (}$la particule étant initialement immobile${\big )}\;$ $\Rightarrow$ «$\;{\underline {A}}+{\dfrac {q}{m}}\;{\dfrac {E}{\omega _{c}}}=0\;$» d'où finalement la loi horaire de vitesse complexe «$\;{\underline {\mathcal {V}}}(t)={\dfrac {q}{m}}\;{\dfrac {E}{\omega _{c}}}\,\left[1-\exp \!\left(-i\;\omega _{c}\;t\right)\right]={\dfrac {E}{B}}\,\left[1-\exp \!\left(-i\;\omega _{c}\;t\right)\right]\;$»  ;

     prenant la partie réelle de $\;{\underline {\mathcal {V}}}(t)\;$ nous en déduisons la loi horaire de vitesse de la particule selon $\;x'x\;$ «$\;V_{M,\,x}(t)=\Re \!\left[{\underline {\mathcal {V}}}(t)\right]=\Re \!\left\lbrace {\dfrac {E}{B}}\,\left[1-\exp \!\left(-i\;\omega _{c}\;t\right)\right]\right\rbrace ={\dfrac {E}{B}}\,\left[1-\cos \!\left(\omega _{c}\;t\right)\right]\;$» ou encore, «$\;{\dfrac {E}{B}}\;$ étant homogène à une vitesse » et «$\;\omega _{c}\;$ à une vitesse angulaire », « le rapport $\;{\dfrac {\dfrac {E}{B}}{\omega _{c}}}={\dfrac {E}{B\;\omega _{c}}}\;$ est homogène à une longueur notée $\;R\;$» $\Rightarrow$ «$\;V_{M,\,x}(t)=R\;\omega _{c}\,\left[1-\cos \!\left(\omega _{c}\;t\right)\right]\;$» et

     prenant la partie imaginaire de $\;{\underline {\mathcal {V}}}(t)\;$ nous en déduisons la loi horaire de vitesse de la particule selon $\;y'y\;$ «$\;V_{M,\,y}(t)=\Im \!\left[{\underline {\mathcal {V}}}(t)\right]=\Im \!\left\lbrace {\dfrac {E}{B}}\,\left[1-\exp \!\left(-i\;\omega _{c}\;t\right)\right]\right\rbrace ={\dfrac {E}{B}}\;\sin \!\left(\omega _{c}\;t\right)=R\;\omega _{c}\;\sin \!\left(\omega _{c}\;t\right)\;$» $\;{\big (}$voir justification ci-dessus${\big )}$ ; les lois horaires de vitesse de la particule dans le plan $\;xOy\;$ sont «$\;\left\lbrace {\begin{array}{l}V_{M,\,x}(t)=R\;\omega _{c}\,\left[1-\cos \!\left(\omega _{c}\;t\right)\right]\\V_{M,\,y}(t)=R\;\omega _{c}\;\sin \!\left(\omega _{c}\;t\right)\end{array}}\right\rbrace \;$».      La vitesse complexe «$\;{\underline {\mathcal {V}}}(t)=V_{\!M,\,x}(t)+i\;V_{\!M,\,y}(t)\;$» étant la dérivée temporelle de la position complexe «$\;{\underline {\mathcal {X}}}(t)=x_{M}(t)+i\;y_{M}(t)\;$» $\Rightarrow$ «$\;{\dfrac {d{\underline {\mathcal {X}}}}{dt}}(t)={\dfrac {q}{m}}\;{\dfrac {E}{\omega _{c}}}\,\left[1-\exp \!\left(-i\;\omega _{c}\;t\right)\right]={\dfrac {E}{B}}\,\left[1-\exp \!\left(-i\;\omega _{c}\;t\right)\right]\;$» qui s'intègre selon «$\;{\underline {\mathcal {X}}}(t)={\dfrac {E}{B}}\,\left[t-{\dfrac {\exp \!\left(-i\;\omega _{c}\;t\right)}{-i\;\omega _{c}}}\right]+{\underline {cste}}={\dfrac {E}{B\;\omega _{c}}}\,\left[\omega _{c}\;t-i\;\exp \!\left(-i\;\omega _{c}\;t\right)\right]+{\underline {cste}}\;$», $\;{\underline {cste}}\;$ se déterminant à l'aide de la C.I. «$\;{\underline {\mathcal {X}}}(0)=0\;$» $\;{\big (}$la particule étant initialement en $\;O{\big )}\;$ $\Rightarrow$ $\;-i\;{\dfrac {E}{B\;\omega _{c}}}+{\underline {cste}}=0\;$ d'où «$\;{\underline {cste}}=i\;{\dfrac {E}{B\;\omega _{c}}}\;$» et nous déduisons finalement la loi horaire de position complexe «$\;{\underline {\mathcal {X}}}(t)={\dfrac {E}{B\;\omega _{c}}}\,\left\lbrace \omega _{c}\;t+i\,\left[1-\exp \!\left(-i\;\omega _{c}\;t\right)\right]\right\rbrace \;$» ou
        avec «$\;R={\dfrac {E}{B\;\omega _{c}}}\;$», «$\;{\underline {\mathcal {X}}}(t)=R\,\left\lbrace \omega _{c}\;t+i\,\left[1-\exp \!\left(-i\;\omega _{c}\;t\right)\right]\right\rbrace \;$» ;

     prenant la partie réelle de $\;{\underline {\mathcal {X}}}(t)\;$ nous en déduisons la loi horaire de position de la particule selon $\;x'x\;$ «$\;x_{M}(t)=\Re \!\left[{\underline {\mathcal {X}}}(t)\right]=\Re \!\left\lbrace R\;\omega _{c}\;t+i\;R\,\left[1-\exp \!\left(-i\;\omega _{c}\;t\right)\right]\right\rbrace =R\;\omega _{c}\;t+i\;R\,\left[+i\;\sin \!\left(\omega _{c}\;t\right)\right]\;$» ou encore, «$\;x_{M}(t)=R\,\left[\omega _{c}\;t-\sin \!\left(\omega _{c}\;t\right)\right]\;$» et

     prenant la partie imaginaire de $\;{\underline {\mathcal {X}}}(t)\;$ nous en déduisons la loi horaire de position de la particule selon $\;y'y\;$ «$\;y_{M}(t)=\Im \!\left[{\underline {\mathcal {X}}}(t)\right]=\Im \!\left\lbrace R\;\omega _{c}\;t+i\;R\,\left[1-\exp \!\left(-i\;\omega _{c}\;t\right)\right]\right\rbrace =R\,\left[1-\cos \!\left(\omega _{c}\;t\right)\right]\;$» ; les lois horaires de position de la particule dans le plan $\;xOy\;$ sont «$\;\left\lbrace {\begin{array}{l}x_{M}(t)=R\,\left[\omega _{c}\;t-\sin \!\left(\omega _{c}\;t\right)\right]\\y_{M}(t)=R\,\left[1-\cos \!\left(\omega _{c}\;t\right)\right]\end{array}}\right\rbrace \;$».

 

Allure de la trajectoire de la particule ainsi que de l'hodographe de pôle O du mouvement de cette dernière

     Préciser l'allure de la trajectoire de la particule soumis au champ électromagnétique uniforme.

     Établir les équations paramétriques de l'hodographe de pôle $\;O\;$ du mouvement de la particule $\;M\;$ soumis au champ électromagnétique uniforme puis

     préciser son allure.

Solution

Cycloïde droite $\;{\big (}$ou roulette de Pascal ${\big )}\;$ engendrée par le mouvement d'un point d'un cercle de rayon $\;R\;$ roulant sans glisser sur l'axe $\;x'x$, à la vitesse angulaire $\;\omega _{c}\;$ en étant du côté $\;y>0$

La courbe fixe sur laquelle roule sans glisser le cercle appelé « roulante » étant la droite $\;x'x$ et le point mobile un point du cercle, la courbe que ce point engendre de la famille des « roulettes » est la cycloïde droite $\;{\big (}$ou roulette de Pascal ${\big )}\;$ de directrice $\;x'x$

     Les lois horaires de position de la particule $\;M\;$ dans le plan $\;xOy\;$ «$\;\left\lbrace {\begin{array}{l}x_{M}(t)=R\,\left[\omega _{c}\;t-\sin \!\left(\omega _{c}\;t\right)\right]\\y_{M}(t)=R\,\left[1-\cos \!\left(\omega _{c}\;t\right)\right]\end{array}}\right\rbrace \;$» étant aussi les équations paramétriques de la trajectoire de cette dernière dans le référentiel d'étude $\;{\mathcal {R}}_{\text{lab}}$, les « coordonnées de la particule $\;\left(x_{M}\,,\,y_{M}\right)\;$» et le «paramètre $\;\theta =\omega _{c}\;t\;$ lié à sa position » sont liés entre eux par «$\;\left(y_{M}-R\right)^{2}+\left(x_{M}-R\;\theta \right)^{2}=R^{2}\;$» c.-à-d.      l'équation cartésienne d'un « cercle du plan $\;xOy\;$ de rayon $\;R\;$ dont le centre $\;C\left(x_{C}=R\;\theta \,,\,y_{C}=R\right)\;$ se déplace sur la droite $\;\parallel \;$ à l'axe $\;x'x\;$ d'équation $\;y=R\;$» $\;{\big (}$en rouge sur le tracé ci-contre${\big )}$, ce cercle roulant sans glisser sur l'axe $\;x'x\;$ car

• d'une part il y est toujours tangent et
• d'autre part le point $\;A\;$ lié au cercle en contact avec l'axe $\;x'x\;$ à l'instant $\;t=0\;$ $\Leftrightarrow$ $\;\theta =0\;$ étant confondu avec $\;O$, il a tourné sur le cercle à l'instant $\;t\;$ de $\;\Delta \theta =\theta -0=\omega _{c}\;t\;$ dans le sens horaire soit, en notant $\;I\;$ la position du point de contact du cercle sur l'axe $\;x'x$, une longueur d'arc «$\;{\overset {\curvearrowright }{IA}}=R\;\theta \;$» décrit sur le cercle égale à la distance de déplacement du point de contact sur l'axe $\;x'x\;$ «$\;{\overline {OI}}=x_{C}(\theta )-0=R\;\theta \;$», «$\;{\overset {\curvearrowright }{IA}}={\overline {OI}}\;$» caractérisant le roulement sans glissement du cercle « la roulante »
  sur l'axe « la courbe fixe » sur laquelle « la roulante » roule sans glisser,
  la courbe engendrée « la roulette » étant une « cycloïde droite de directrice l'axe $\;x'x\;$» ;

     la trajectoire de la particule $\;M\;$ dans le référentiel d'étude $\;{\mathcal {R}}_{\text{lab}}\;$ est donc une cycloïde droite de directrice $\;x'x$ $\;{\big (}$voir tracé ci-dessus à droite${\big )}$, elle est périodique de « période spatiale $\;X\;$» correspondant à la « période temporelle commune de $\;y_{M}(t)\;$ et de la partie périodique de $\;x_{M}(t)\;$ égale à $\;T_{y}={\dfrac {2\;\pi }{\omega _{c}}}\;$» pendant laquelle «$\;y_{M}\;$ reprend sa valeur de début d'intervalle » et «$\;x_{M}\nearrow \;$ de $\;X=R\;\omega _{c}\;T_{y}=2\;\pi \;R\;$» ou encore, avec «$\;R=$ ${\dfrac {E}{B\;\omega _{c}}}\;$», la période spatiale de la trajectoire de $\;M\;$ «$\;X={\dfrac {2\;\pi \;E}{B\;\omega _{c}}}={\dfrac {E}{B}}\;T_{y}\;$» avec «$\;T_{y}={\dfrac {2\;\pi }{\omega _{c}}}\;$».

Tracé de l'hodographe de pôle $\;O\;$ du mouvement cycloïdal d'une particule initialement immobile dans un champ électromagnétique à composantes électrique et magnétique $\;\perp$

     Les équations cartésiennes paramétriques de l'hodographe $\;\left({\mathcal {H}}\right)\;$ de pôle $\;O\;$ du mouvement de $\;M\;$ dans le plan $\;xOy\;$ du référentiel $\;{\mathcal {R}}_{\text{lab}}\;$ défini comme l'ensemble des positions $\;P\;$ dans le plan $\;xOy\;$ du $\;{\mathcal {R}}_{\text{lab}}\;$ tel que «$\;{\overrightarrow {OP}}(t)\;{\widehat {=}}\;{\vec {V}}_{M}(t)\;$» sont aussi

     les lois horaires de vitesse de $\;M\;$ dans le plan $\;xOy$, elles s'écrivent donc «$\;\left\lbrace {\begin{array}{l}X_{P}(t)\;{\widehat {=}}\;V_{\!M,\,x}(t)=R\;\omega _{c}\,\left[1-\cos \!\left(\omega _{c}\,t\right)\right]\\Y_{P}(t)\;{\widehat {=}}\;V_{\!M,\,y}(t)=R\;\omega _{c}\;\sin \!\left(\omega _{c}\,t\right)\end{array}}\right\rbrace \;$ », ses dernières établissant que l'hodographe $\;\left({\mathcal {H}}\right)\;$ de pôle $\;O\;$ du mouvement de $\;M\;$ dans le plan $\;xOy\;$ du référentiel $\;{\mathcal {R}}_{\text{lab}}\;$ est

     le cercle du plan $\;xOy\;$ de « centre $\;C_{P}\left(X_{C_{P}}\,{\widehat {=}}\,R\;\omega _{c}\,,\,Y_{C_{P}}\,{\widehat {=}}\,0\right)\;$ », de « rayon $\;R_{P}\,{\widehat {=}}\,R\;\omega _{c}\;$ » passant par $\;O$,

     le cercle décrit d'un mouvement uniforme à la « vitesse angulaire de valeur absolue $\;\vert \Omega _{P}\vert =\omega _{c}\;$» dans le sens horaire $\;{\big [}$car le point $\;P\;$ générique de $\;\left({\mathcal {H}}\right)\;$ partant de $\;O\;$ à l'instant $\;t=0\;$ poursuit avec $\;Y_{P}\nearrow \;$ jusqu'à $\;R_{P}\;$ pendant que $\;X_{P}\nearrow \;$ jusqu'à $\;R_{P}\;$ puis $\;Y_{P}\searrow \;$ jusqu'à $\;0\;$ pendant que $\;X_{P}\nearrow \;$ jusqu'à $\;2\;R_{P}\;$ suivi de $\;Y_{P}\searrow \;$ jusqu'à $\;-R_{P}\;$ pendant que $\;X_{P}\searrow \;$ jusqu'à $\;R_{P}\;$ et enfin $\;Y_{P}\nearrow \;$ jusqu'à $\;0\;$ pendant que $\;X_{P}\searrow \;$ jusqu'à $\;0\;$ $\Rightarrow$ rotation dans le sens horaire${\big ]}$ d'où

     le cercle décrit d'un mouvement uniforme une vitesse angulaire négative «$\;\Omega _{P}=-\omega _{c}\;$» correspondant à une «période $\;T_{P}={\dfrac {2\;\pi }{\vert \Omega _{P}\vert }}={\dfrac {2\;\pi }{\omega _{c}}}\;$» $\;{\big [}$laquelle est aussi la période de variation de $\;y_{M}(t)\;$ ainsi que celle de la partie périodique de $\;x_{M}(t){\big ]}$.

     Remarque : Les points de contact d'une cycloïde droite avec sa directrice sont des points de rebroussement de 1^re espèce $\;{\bigg [}$en effet ces points sont effectivement singuliers car ils correspondent au passage par $\;O\;$ du point $\;P\;$ de l'hodographe de pôle $\;O\;$ du mouvement du point $\;M\;$ sur la cycloïde droite et les dérivées 2^ndes des coordonnées de $\;M\;$ par rapport au paramètre $\;t\;$ étant aussi les dérivées 1^ères des coordonnées de $\;P\;$ par rapport au même paramètre $\;t$ $\;{\big (}$au choix de l'échelle des vitesses près${\big )}\;$ ces points sont de rebroussement de 1^re espèce si, $\;t_{0}\;$ étant la valeur du paramètre les définissant, «$\;{\dfrac {{Y_{P}}'}{{X_{P}}'}}(t_{0}^{+})=-{\dfrac {{Y_{P}}'}{{X_{P}}'}}(t_{0}^{-})\;$» ce qui est réalisé car l'hodographe $\;\left({\mathcal {H}}\right)\;$ de pôle $\;O\;$ du mouvement du point $\;M\;$ sur la cycloïde droite est symétrique relativement à l'axe $\;X'X\;$${\bigg ]}$ ;

     Remarque : dans le cas présent les pentes des demi-tangentes à $\;\left({\mathcal {H}}\right)\;$ en $\;O\;$ $\;{\big [}$ou celles des demi-tangentes à la trajectoire cycloïdale de $\;M\;$ en ses points de contact avec la directrice de la cycloïde droite${\big ]}\;$ sont infinies avec, $\;t_{0}\;$ étant la valeur du paramètre définissant ces points de contact, $\;p(t_{0}^{+})=+\infty \;$ et $\;p(t_{0}^{-})=-\infty \;$ $\Rightarrow$ une même demi-droite tangente à la trajectoire de $\;M\;$ en ces points de contact $\;\parallel \;$ à $\;Oy\;$ assurant que ces derniers sont effectivement des points rebroussement de 1^re espèce pour la trajectoire .

 

Explicitation de la norme du vecteur vitesse de la particule à l'instant t

     Déduire de ce qui précède la norme du vecteur vitesse de la particule $\;M\;$ à l'instant $\;t\;$ en fonction de $\;E$, $\;B$, $\;\omega _{c}\;$ et $\;t\;$ puis,

     calculer la valeur de celle-ci pour «$\;t_{1}={\dfrac {\pi }{\omega _{c}}}\;$».

Solution

     La norme du vecteur vitesse de la particule $\;M\;$ se déduit des équations cartésiennes paramétriques de l'hodographe $\;\left({\mathcal {H}}\right)\;$ de pôle $\;O\;$ du mouvement de $\;M\;$ selon «$\;\Vert {\vec {V}}_{\!M}(t)\Vert \;{\widehat {=}}\;{\sqrt {X_{P}^{2}(t)+Y_{P}^{2}(t)}}\;$» soit ici $\;\Vert {\vec {V}}_{\!M}(t)\Vert =R\;\omega _{c}\;{\sqrt {\left[1-\cos(\omega _{c}\;t)\right]^{\,2}+\sin ^{2}(\omega _{c}\;t)}}\;$ ou, après développement et simplification sous le radical, $\;\Vert {\vec {V}}_{\!M}(t)\Vert =R\;\omega _{c}\;{\sqrt {2\,\left[1-\cos(\omega _{c}\;t)\right]}}\;$ puis, en utilisant la relation trigonométrique «$\;1-\cos(\xi )=$ $2\;\sin ^{2}\!\left({\dfrac {\xi }{2}}\right)\;$», l'expression finale de la norme du vecteur vitesse de la particule $\;M\;$ «$\;\Vert {\vec {V}}_{\!M}(t)\Vert =2\;R\;\omega _{c}\;{\bigg \vert }\sin \!\left({\dfrac {\omega _{c}\;t}{2}}\right)\!{\bigg \vert }=2\;{\dfrac {E}{B}}\;\;{\bigg \vert }\sin \!\left({\dfrac {\omega _{c}\;t}{2}}\right)\!{\bigg \vert }\;$» car $\;R={\dfrac {E}{B\;\omega _{c}}}$ ;

     la norme du vecteur vitesse de $\;M\;$ prend donc pour $\;t_{1}={\dfrac {\pi }{\omega _{c}}}={\dfrac {T_{P}}{2}}={\dfrac {T_{y}}{2}}\;$ sa valeur maximale «$\;\Vert {\vec {V}}_{\!M}(t_{1})=v_{1}=2\;{\dfrac {E}{B}}\;$», cette vitesse correspondant au point $\;M_{1}\;$ de la trajectoire $\;{\big (}$représentée dans la solution de la question précédente${\big )}\;$ ou aux points qui se déduisent de $\;M_{1}\;$ par translation de $\;n\;X\;{\vec {u}}_{x}\;$ avec $\;n\in \mathbb {N} ^{*}\;$ et $\;X={\dfrac {E}{B}}\;T_{y}\;$ la période spatiale de la trajectoire $\;{\Big [}$le point $\;M_{1}$ $\;{\big (}$ainsi que tous les points se déduisant de $\;M_{1}\;$ par translation de $\;n\;X\;{\vec {u}}_{x}{\big )}\;$ correspond au point $\;P_{1}\neq O\;$ de $\;\left({\mathcal {H}}\right)\;$ sur l'axe $\,X'X{\Big ]}$.

 

Détermination de la norme du vecteur vitesse de la particule à l'instant t par utilisation du théorème de l'énergie cinétique appliqué à cette dernière

     Retrouver les résultats de la question précédente en utilisant le théorème de l'énergie cinétique appliqué à la particule soumis au champ électromagnétique uniforme.

Solution

     En appliquant, entre les instants initial et quelconque, le théorème de l'énergie cinétique à la particule $\;M\;$ dans l'espace champ électromagnétique uniforme à composantes électrostatique et magnétostatique $\;\perp$, nous obtenons, compte tenu du fait que « la composante magnétique de Lorentz $\;{\vec {F}}_{\text{mag. de Lor}}(t)=q\;{\vec {V}}_{\!M}(t)\wedge {\vec {B}}\;$ ne travaille pas $\;{\Big [}$seule la composante électrique $\;{\vec {F}}_{\text{élec}}=q\;{\vec {E}}\;$ travaillant${\Big ]}\;$» et que « les C.I. de la particule sont $\;M(0)\;$ en $\;O\;$ et $\;{\vec {V}}_{\!M}(0)={\vec {0}}\;$», «$\;{\dfrac {1}{2}}\;m\;{\vec {V}}_{\!M}^{\,2}(t)-0=W_{\left[0\,,\,t\right]}\!\left({\vec {F}}_{\text{élec}}\right)=q\;{\vec {E}}\cdot {\overrightarrow {OM}}(t)\;$» $\;{\big [}$la force électrique étant constante${\big ]}\;$ soit, avec $\;{\vec {E}}=E\;{\vec {u}}_{y}$, «$\;{\dfrac {1}{2}}\;m\;{\vec {V}}_{\!M}^{\,2}(t)=q\;E\;y_{M}(t)\;$» ou, la loi horaire de la position de la particule sur l'axe $\;y'y\;$ étant $\;y_{M}(t)=R\,\left[1-\cos(\omega _{c}\;t)\right]$, «$\;{\dfrac {1}{2}}\;m\;{\vec {V}}_{\!M}^{\,2}(t)=q\;E\;R\,\left[1-\cos(\omega _{c}\;t)\right]\;$» $\Rightarrow$ «$\;\Vert {\vec {V}}_{\!M}(t)\Vert ={\sqrt {2\;{\dfrac {q}{m}}\;E\;R\,\left[1-\cos(\omega _{c}\;t)\right]}}=2\;{\sqrt {{\dfrac {q}{m}}\;E\;R}}\;{\bigg \vert }\sin \!\left({\dfrac {\omega _{c}\;t}{2}}\right)\!{\bigg \vert }\;$» en utilisant la formule de trigonométrie «$\;1-\cos(\xi )=$ $2\;\sin ^{2}\!\left({\dfrac {\xi }{2}}\right)\;$» ou encore, avec «$\;{\dfrac {q\;B}{m}}=\omega _{c}\;$» $\Rightarrow$ $\;{\dfrac {q}{m}}={\dfrac {\omega _{c}}{B}}\;$ $\Rightarrow$ $\;{\dfrac {q}{m}}\;E\;R={\dfrac {E}{B}}\;R\;\omega _{c}\;$ et, avec «$\;{\dfrac {E}{B\;\omega _{c}}}=R\;$» $\Rightarrow$ $\;{\dfrac {E}{B}}=R\;\omega _{c}$, «$\;{\dfrac {q}{m}}\;E\;R=\left(R\;\omega _{c}\right)^{2}\;$» soit finalement «$\;\Vert {\vec {V}}_{\!M}(t)\Vert =2\;R\;\omega _{c}\;{\bigg \vert }\sin \!\left({\dfrac {\omega _{c}\;t}{2}}\right)\!{\bigg \vert }=2\;{\dfrac {E}{B}}\;\;{\bigg \vert }\sin \!\left({\dfrac {\omega _{c}\;t}{2}}\right)\!{\bigg \vert }\;$» car $\;R={\dfrac {E}{B\;\omega _{c}}}$ ;      nous en déduisons la valeur de la norme du vecteur vitesse de la particule $\;M\;$ à l'instant $\;t_{1}={\dfrac {\pi }{\omega _{c}}}$, sachant que $\;\sin \!\left({\dfrac {\omega _{c}\;t_{1}}{2}}\right)=\sin \!\left({\dfrac {\pi }{2}}\right)=1$, «$\;\Vert {\vec {V}}_{\!M}(t_{1})=v_{1}=2\;{\dfrac {E}{B}}\;$».

 

Cas d'une particule pénétrant dans l'espace champ électromagnétique uniforme avec un vecteur vitesse respectivement perpendiculaire aux deux composantes électrostatique et magnétostatique du champ, notion de filtre de vitesse

     Une autre particule, identique à la précédente, pénètre, à un instant pris comme nouvelle origine des temps, avec un vecteur vitesse initiale $\;{\vec {V_{0}}}=V_{0}\;{\vec {u}}_{x}\;$ avec $\;V_{0}=\Vert {\vec {V}}_{0}\Vert$ $\;{\Big [}$donc $\;\perp \;$ aux deux composantes électrostatique $\;{\vec {E}}=E\;{\vec {u}}_{y}\;$ et magnétostatique $\;{\vec {B}}=B\;{\vec {u}}_{z}\;$ du champ et tel que le trièdre $\;\left({\vec {V}}_{0}\,,\,{\vec {E}}\,,\,{\vec {B}}\right)\;$ soit direct${\Big ]}$.

     Déterminer les nouvelles équations paramétriques de la trajectoire et

     montrer que « les particules ayant une vitesse initiale à préciser en fonction de $\;E\;$ et $\;B\;$ ne sont pas déviées » $\;{\big [}$c.-à-d. que, parmi toutes les valeurs de vitesse initiale, il en existe une $\;{\big (}$et une seule${\big )}\;$ pour laquelle le mouvement de la particule est rectiligne uniforme lui permettant de ressortir par un diaphragme judicieusement positionné sur l'axe $\;Ox$, toutes les autres particules à vitesses initiales différentes ne pouvant pas traverser ce diaphragme sont absentes dans le faisceau de sortie situé au-delà du diaphragme, nous avons donc un filtre de vitesse connu sous le nom de « filtre de Wien » ${\big ]}$.

Solution

     Comme la seule modification relativement à la question « explicitation des équations différentielles cartésiennes régissant le mouvement de la particule soumis au champ électromagnétique uniforme » de cet exercice concerne les C.I. et que celles-ci n'interviennent pas dans les équations différentielles du mouvement de la particule nous pouvons affirmer que ces dernières sont rigoureusement identiques à celles qui ont été établies dans la solution de la question précitée à savoir «$\;\left\lbrace {\begin{array}{l}{\dfrac {dV_{M,\,x}}{dt}}(t)=\;\;{\dfrac {q\;B}{m}}\;V_{M,\,y}(t)\\{\dfrac {dV_{M,\,y}}{dt}}(t)=-{\dfrac {q\;B}{m}}\;V_{M,\,x}(t)+{\dfrac {q}{m}}\;E\\{\dfrac {dV_{M,\,z}}{dt}}(t)=\qquad 0\end{array}}\right\rbrace \;$» ou, en introduisant la pulsation cyclotron de la particule «$\;\omega _{c}={\dfrac {\vert q\vert \;B}{m}}={\dfrac {q\;B}{m}}\;$» pour une particule de charge positive, «$\;\left\lbrace {\begin{array}{l}{\dfrac {dV_{M,\,x}}{dt}}(t)=\;\;\omega _{c}\;V_{M,\,y}(t)\qquad \qquad \;{\text{:}}\;\;\left({\mathfrak {1}}\right)\\{\dfrac {dV_{M,\,y}}{dt}}(t)=-\omega _{c}\;V_{M,\,x}(t)+{\dfrac {q}{m}}\;E\;\;{\text{:}}\;\;\left({\mathfrak {2}}\right)\\{\dfrac {dV_{M,\,z}}{dt}}(t)=\qquad 0\qquad \qquad \qquad \quad {\text{:}}\;\;\left({\mathfrak {3}}\right)\end{array}}\right\rbrace \;$».

     Les C.I. de la particule $\;M\;$ dans cette question étant «$\;M(0)=O\;$ et $\;{\vec {V}}_{\!M}(0)={\vec {V}}_{0}=V_{0}\;{\vec {u}}_{x}\;$» conduisant aux mêmes C.I. pour le mouvement de $\;M\;$ sur l'axe $\;z'z\;$ que celles de la question « détermination des équations paramétriques de la trajectoire de la particule soumis au champ électromagnétique uniforme (mouvement le long de z'z) » de cet exercice, nous en déduisons la même conclusion à savoir, la nature plane du mouvement de $\;M\;$ dans le plan $\;xOy$.

     Les équations différentielles «$\;\left\lbrace {\begin{array}{l}\left({\mathfrak {1}}\right)\;{\text{:}}\;\;{\dfrac {dV_{M,\,x}}{dt}}(t)=\;\;\omega _{c}\;V_{M,\,y}(t)\\\left({\mathfrak {2}}\right)\;{\text{:}}\;\;{\dfrac {dV_{M,\,y}}{dt}}(t)=-\omega _{c}\;V_{M,\,x}(t)+{\dfrac {q}{m}}\;E\end{array}}\right\rbrace \;$» étant « couplées par produit vectoriel », nous les découplons en introduisant la vitesse complexe «$\;{\underline {\mathcal {V}}}(t)=V_{M,\,x}(t)+i\;V_{M,\,y}(t)\;$» comme cela a été fait dans la question « détermination des équations paramétriques de la trajectoire de la particule soumis au champ électromagnétique uniforme (mouvement dans le plan xOy) » de cet exercice, ce qui nous donne l'équation différentielle linéaire à cœfficients complexes constants du 1^er ordre en « vitesse complexe $\;{\underline {\mathcal {V}}}(t)=V_{M,\,x}(t)+i\;V_{M,\,y}(t)\;$» hétérogène «$\;{\dfrac {d{\underline {\mathcal {V}}}}{dt}}(t)+i\;\omega _{c}\;{\underline {\mathcal {V}}}(t)=i\;{\dfrac {q}{m}}\;E\;$» ;      la solution de cette même équation différentielle linéaire à cœfficients complexes constants du 1^er ordre en «$\;{\underline {\mathcal {V}}}(t)\;$» hétérogène est de même forme que celle de la solution de la question précitée à savoir, «$\;{\underline {\mathcal {V}}}(t)=$ ${\underline {A'}}\;\exp \!\left(-i\;\omega _{c}\;t\right)+{\dfrac {q}{m}}\;{\dfrac {E}{\omega _{c}}}\;$», $\;{\underline {A'}}\;$ se déterminant à l'aide de la C.I. «$\;{\underline {\mathcal {V}}}(0)=V_{0}\;$» $\;{\big (}$le vecteur vitesse initiale de la particule étant $V_{0}\;{\vec {u}}_{x}{\big )}\;$ $\Rightarrow$ $\;{\underline {A'}}+{\dfrac {q}{m}}\;{\dfrac {E}{\omega _{c}}}=V_{0}\;$ soit «$\;{\underline {A'}}=V_{0}-{\dfrac {q}{m}}\;{\dfrac {E}{\omega _{c}}}\;$» d'où finalement la loi horaire de vitesse complexe «$\;{\underline {\mathcal {V}}}(t)=\left(V_{0}-{\dfrac {q}{m}}\;{\dfrac {E}{\omega _{c}}}\right)\,\exp \!\left(-i\;\omega _{c}\;t\right)+{\dfrac {q}{m}}\;{\dfrac {E}{\omega _{c}}}=\left(V_{0}-{\dfrac {E}{B}}\right)\,\exp \!\left(-i\;\omega _{c}\;t\right)+{\dfrac {E}{B}}\;$»  ;

     prenant la partie réelle de $\;{\underline {\mathcal {V}}}(t)\;$ nous en déduisons la loi horaire de vitesse de la particule selon $\;x'x\;$ «$\;V_{M,\,x}(t)=\Re \!\left[{\underline {\mathcal {V}}}(t)\right]=\Re \!\left\lbrace \left(V_{0}-{\dfrac {E}{B}}\right)\,\exp \!\left(-i\;\omega _{c}\;t\right)+{\dfrac {E}{B}}\right\rbrace =\left(V_{0}-{\dfrac {E}{B}}\right)\,\cos \!\left(\omega _{c}\;t\right)+{\dfrac {E}{B}}\;$» ou encore, «$\;{\dfrac {E}{B}}\;$ étant homogène à une vitesse » et «$\;\omega _{c}\;$ à une vitesse angulaire », « le rapport $\;{\dfrac {\dfrac {E}{B}}{\omega _{c}}}={\dfrac {E}{B\;\omega _{c}}}\;$ est homogène à une longueur notée $\;R\;$» $\Rightarrow$ «$\;V_{M,\,x}(t)=\left(V_{0}-R\;\omega _{c}\right)\,\cos \!\left(\omega _{c}\;t\right)+R\;\omega _{c}\;$» et

     prenant la partie imaginaire de $\;{\underline {\mathcal {V}}}(t)\;$ nous en déduisons la loi horaire de vitesse de la particule selon $\;y'y\;$ «$\;V_{M,\,y}(t)=\Im \!\left[{\underline {\mathcal {V}}}(t)\right]=\Im \!\left\lbrace \left(V_{0}-{\dfrac {E}{B}}\right)\,\exp \!\left(-i\;\omega _{c}\;t\right)+{\dfrac {E}{B}}\right\rbrace =-\left(V_{0}-{\dfrac {E}{B}}\right)\,\sin \!\left(\omega _{c}\;t\right)=-\left(V_{0}-R\;\omega _{c}\right)\,\sin \!\left(\omega _{c}\;t\right)\;$» $\;{\big (}$voir justification ci-dessus${\big )}$ ; les lois horaires de vitesse de la particule dans le plan $\;xOy\;$ sont «${\displaystyle \;\left\lbrace {\begin{array}{l}V_{M,\,x}(t)=\left(V_{0}-R\;\omega _{c}\$