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Mécanique 1 (PCSI)/Exercices/Mouvement de particules chargées dans des champs électrique et magnétique : Cas particulier d'un champ électrostatique uniforme

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Mécanique 1 (PCSI)/Exercices/Mouvement de particules chargées dans des champs électrique et magnétique : Cas particulier d'un champ électrostatique uniforme
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Action d'un champ électrique uniforme sur une particule chargée : analyseur électrostatique[modifier | modifier le wikicode]

Schéma descriptif d'un analyseur électrostatique permettant de séparer les isotopes d'un faisceau d'ions monocinétiques de sommet par point de focalisation différent suivant la nature de l'isotope

     Une particule de masse et de charge est lancée avec un vecteur vitesse d'un point situé entre les armatures d'un condensateur plan ;

     le vecteur vitesse est situé dans un plan aux armatures et fait un angle orienté avec le vecteur unitaire de la direction aux armatures, étant dans le sens partant de l'armature reliée à la masse vers l'autre armature c.-à-d. le sens de mesure de tension entre les deux armatures, le sens de mesure des angles du plan étant dans le sens trigonométrique rétrograde sens horaire défini par un vecteur unitaire au plan s'éloignant de vous [1] non représenté ci-contre ;

     nous supposerons que la totalité de la portion de trajectoire de la particule étudiée reste située à l'intérieur du condensateur voir schéma ci-contre.

Détermination de la « portée » de la particule en fonction (entre autres) de sa vitesse initiale V0 et l'angle d'inclinaison α de son vecteur vitesse initiale[modifier | modifier le wikicode]

     La tension algébrisée imposée entre les armatures et la distance séparant ces dernières ont été choisies de manière que la trajectoire de la particule recoupe l'axe en un point situé au-delà de par analogie avec la chute d'un point matériel lancé obliquement vers le haut dans un champ de pesanteur uniforme, nous pourrons appeler « portée » la distance .

     Exprimer l'abscisse du point en fonction de , , , , et .

     Préciser les signes respectifs possibles de et pour que le point ait une abscisse positive.

Condition de focalisation d'un pinceau de particules identiques monocinétiques issu de O et de faible ouverture[modifier | modifier le wikicode]

     Montrer que pour un pinceau « bidimensionnel » de faible ouverture dans le plan , constitué de particules identiques issues du même point et lancées avec un vecteur vitesse de même norme au voisinage d'une direction particulière repérée par , les trajectoires se recoupent toutes en un même point d'abscisse .

     Calculer et exprimer en fonction de , , , et .

Séparation isotopique par focalisation distincte d'un pinceau de particules moncinétiques et isotopiques issu de O et de faible ouverture autour de la direction particulière repérée par α0[modifier | modifier le wikicode]

     Le pinceau de particules de faible ouverture lancées de , au voisinage de la direction , est constitué maintenant de deux types de particules de masses et , de même charge et de vitesses initiales de même norme .

     Calculer pour que les points de focalisation et soient séparés d'une distance de dans le cas où les particules sont des ions argon, portant tous la même charge et obtenues à partir des deux isotopes de l'argon de nombre de masse et .

     Données : , et la constante d'Avogadro vaut .

Expérience (de la gouttelette d'huile) de Millikan[modifier | modifier le wikicode]

     Voir cet exercice « Expérience (de la gouttelette d'huile) de Millikan [15] » dans la série d'exercices n° de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) ».

Notes et références[modifier | modifier le wikicode]

  1. Attention la base cartésienne orthonormée est indirecte voir le paragraphe « base directe (base indirecte) » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) », cette orientation n'ayant aucune conséquence dans la mesure où on ne définit pas de produit vectoriel.
  2. L'influence éventuelle du poids de la particule dans le cas où l'expérience se passe sur Terre étant négligeable, voir le paragraphe « comparaison de la force électrique exercée sur un proton dans un champ électrique de nrome modérée au poids du proton dans le champ de pesanteur terrestre » du chap. de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) ».
  3. Relation Fondamentale de la Dynamique Newtonienne.
  4. 4,0 4,1 4,2 et 4,3 Condition(s) Initiale(s).
  5. On rappelle que le lien entre force électrique conservative dans toutes les situations et énergie potentielle électrique est ceci entraînant que , le champ électrique étant alors qualifié de « champ à circulation conservative » dérivant d'un potentiel défini par correspondant à sans constante additive si la référence de l'énergie potentielle électrique est la même que la référence du potentiel électrique, la référence d'une grandeur définie à une constante additive près étant l'endroit où celle-ci est choisie nulle voir les paragraphes « circulation élémentaire d'un champ vectoriel de l'espace le long d'une courbe continue » du chap. ainsi que « définition équivalente d'un champ vectoriel à circulation conservative » et « détermination des potentiels scalaires dont dérive un champ vectoriel à circulation conservative » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
  6. On retiendra que dans un condensateur où le champ électrique est uniforme, la norme de ce dernier s'obtient en divisant la d.d.p. existant entre les armatures par la distance séparant ces dernières.
  7. En utilisant la formule de trigonométrie «».
  8. 8,0 et 8,1 Voir le paragraphe « infiniment petits d'ordres successifs (infiniment petit d'ordre un) » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
  9. 9,0 9,1 et 9,2 Développement Limité.
  10. Voir le paragraphe « D.L. à l'ordre un d'une fonction d'une variable au voisinage d'une de ses valeurs » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
  11. Mathématiquement le D.L. à l'ordre un en de au voisinage de s'écrirait « avec ».
  12. Voir le paragraphe « notion de D.L. à l'ordre p d'une fonction d'une variable de classe Cn au voisinage d'une de ses valeurs, l'ordre p étant < à n (cas p = 2) » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
  13. Condition Nécessaire et Suffisante.
  14. On rappelle que si est , pour que existe avec une particule de charge , « doit être aigu » et
                On rappelle que si U est > 0, pour que A existe avec une particule de charge , « doit être obtus »,
       les résultats étant inversés si est .
  15. Robert Andrews Millikan (1868 - 1953) physicien américain surtout connu pour ses mesures précises de la charge de l'électron, l'étude de l'effet photoélectrique et celle des rayons cosmiques ; il obtint le prix Nobel de physique en pour ses travaux sur la charge élémentaire de l'électricité et l'effet photoélectrique.