Mécanique 1 (PCSI)/Exercices/Approche énergétique du mouvement d'un point matériel : Mouvement conservatif

Pendule élastique sur un plan incliné

......On considère un pendule élastique reposant sur un plan incliné d'un angle $\;\alpha \;$ par rapport au plan horizontal tel que le ressort dont il est partiellement composé, supposé idéal et à spires non jointives est disposé de façon à ce que son axe reste toujours parallèle à la ligne de plus grande pente du plan incliné avec son extrémité supérieure $\;A\;$ fixe par rapport au plan incliné et son extrémité inférieure supportant un solide supposé ponctuel $\;M\;$ de masse $\;m\;$ constituant la 2^èmepartie du pendule élastique, le contact du solide sur le plan incliné se faisant sans frottement solide ; le ressort est de longueur à vide $\;l_{0}\;$ et de raideur $\;k$ ;

......l'expérience est réalisée sur Terre dans un champ de pesanteur $\;{\vec {g}}\;$ supposé uniforme et le solide subit de la part de l'air environnant (air supposé immobile par rapport au plan incliné) une force de frottement fluide linéaire $\;{\overrightarrow {{\mathcal {R}}_{\text{air}}}}(M)=-h\;{\vec {V}}_{M}\;$ où $\;{\vec {V}}_{M}\;$ est la vitesse de $\;M\;$ par rapport au plan incliné, $\;h\;$ une constante positive caractéristique de l'air ainsi que des dimensions et de la forme du solide modélisé en point matériel ;

......on repère le point matériel $\;M\;$ par son abscisse $\;x\;$ comptée par rapport à sa position d'équilibre choisie comme origine $\;O\;$ sur l'axe $\;{\overrightarrow {x'x}}\;$ du ressort, orienté dans le sens descendant, l'axe $\;{\overrightarrow {y'y}}\;$ étant $\;\perp \;$ au plan incliné orienté dans le sens ascendant.

Étude énergétique du pendule élastique incliné supposé non amorti (P.E.I.N.A.)

......Dans un 1^er temps on néglige l'influence de la résistance de l'air sur le pendule.

Détermination de l'énergie potentielle d'oscillation du P.E.I.N.A.

......Faire un bilan des forces agissant sur le point matériel $\;M\;$ du P.E.I.N.A. en distinguant les deux forces conservatives des autres forces non conservatives puis

......définir les deux énergies potentielles dont dérivent les deux forces conservatives en explicitant chacune en fonction, entre autres, de l'abscisse $\;x\;$ du point $\;M$, la référence de chacune étant choisie en la position d'équilibre $\;O\;$ de $\;M$ ;

......appelant « énergie potentielle d'oscillation de $\;M\;$» notée $\;U_{\text{oscill}}(x)$, la somme des deux énergies potentielles précédemment définies, expliciter cette dernière en fonction de $\;x\;$ et de la raideur $\;k\;$ du ressort.

Solution

Pendule élastique non amorti sur plan incliné d'un angle α par rapport au plan horizontal constitué d'un ressort idéal à axe parallèle à la ligne de plus grande pente supportant un solide assimilé à un point matériel M avec représentation des forces appliquées à ce dernier (3 schémas de description, ressort à vide, pendule à l'équilibre et à un instant quelconque)

......Ci-contre les trois schémas descriptifs habituels représentant le P.E.I.N.A. ainsi que, sur les deux derniers, le bilan des forces appliquées à $\;M$ :

• schéma inférieur avec ressort à vide de longueur $\;l_{0}$,
• schéma intermédiaire avec pendule à l'équilibre [la longueur du ressort y est $\;l_{\text{éq}}>l_{0}$, la différence $\;\Delta l_{\text{éq}}=l_{\text{éq}}-l_{0}>0\;$ définissant l'allongement à l'équilibre, les forces appliquées à $\;M\;$ étant son poids $\;m\;{\vec {g}}=m\;g\;\sin(\alpha )\;{\vec {u}}_{x}-m\;g\;\cos(\alpha )\;{\vec {u}}_{y}$, la tension du ressort à l'équilibre $\;{\vec {T}}_{\text{éq}}=-k\;\Delta l_{\text{éq}}\;{\vec {u}}_{x}\;$ et la réaction du plan incliné $\;{\vec {R}}_{\text{éq}}=R_{\text{éq}}\;{\vec {u}}_{y}\;$ car $\;\perp \;$ à l'axe $\;x'x\;$ par absence de frottement solide avec $\;R_{\text{éq}}>0{\big ]}\;$ et
• schéma supérieur avec pendule à un instant $\;t\;$ quelconque $\;{\big [}\Delta l_{t}=\Delta l_{\text{éq}}+x(t)\;$ définissant l'allongement total à l'instant $\;t\;$ avec $\;x(t)\;$ l'allongement supplémentaire relativement à la position à l'équilibre, les forces appliquées à $\;M\;$ étant son poids $\;m\;{\vec {g}}\;$ toujours égal à $\;m\;g\;\sin(\alpha )\;{\vec {u}}_{x}-m\;g\;\cos(\alpha )\;{\vec {u}}_{y}$, la tension du ressort à l'instant $\;t\;$ quelconque $\;{\vec {T}}(t)=-k\;\Delta l_{t}\;{\vec {u}}_{x}=$ $-k\,\left[\Delta l_{\text{éq}}+x(t)\right]\,{\vec {u}}_{x}\;$ et la réaction du plan incliné $\;{\vec {R}}(t)=R(t)\;{\vec {u}}_{y}\;$ car $\;\perp \;$ à l'axe $\;x'x\;$ par absence de frottement solide avec $\;R(t)>0\;$] ;

......parmi les forces appliquées à $\;M\;$ les deux forces conservatives sont

• son poids $\;m\;{\vec {g}}\;$ dérivant de l'énergie potentielle de pesanteur $\;U_{\text{pes}}(M)=m\;g\;z\;$ où $\;z\;$ représente l'altitude de $\;M\;$ par rapport à sa position d'équilibre choisie comme référence de $\;U_{\text{pes}}(M)\;$ ou, en introduisant l'abscisse $\;x\;$ de $\;M\;$ avec $\;z=-x\;\sin(\alpha )$, $\;U_{\text{pes}}(M)=-m\;g\;\sin(\alpha )\;x\;$ et
• la tension du ressort $\;{\vec {T}}(t)\;$ dérivant de l'énergie potentielle élastique $\;U_{\text{élast}}(M)={\dfrac {1}{2}}\;k\,\left[\Delta l_{\text{éq}}+x\right]^{2}+cste\;$ ou, en choisissant comme référence de $\;U_{\text{élast}}(M)\;$ la position d'équilibre de $\;M\;$ c'est-à-dire $\;x=0$, $\;U_{\text{élast}}(M)={\dfrac {1}{2}}\;k\,\left[\Delta l_{\text{éq}}+x\right]^{2}-{\dfrac {1}{2}}\;k\,\left[\Delta l_{\text{éq}}\right]^{2}\;$ ou $\;U_{\text{élast}}(M)={\dfrac {1}{2}}\;k\;x^{2}+k\;\Delta l_{\text{éq}}\;x\;$ après simplifications évidentes ;

......on en déduit l'énergie potentielle d'oscillation du P.E.I.N.A. $\;U_{\text{oscill}}(M)=U_{\text{pes}}(M)+U_{\text{élast}}(M)=-m\;g\;\sin(\alpha )\;x+\left[{\dfrac {1}{2}}\;k\;x^{2}+k\;\Delta l_{\text{éq}}\;x\right]\;$ ou, après factorisation, $\;U_{\text{oscill}}(M)={\dfrac {1}{2}}\;k\;x^{2}+\left[k\;\Delta l_{\text{éq}}-m\;g\;\sin(\alpha )\right]\,x$ ;

......il reste à évaluer $\;\Delta l_{\text{éq}}\;$ en écrivant la C.N. d'équilibre $\;m\;{\vec {g}}+{\vec {T}}_{\text{éq}}+{\vec {R}}_{\text{éq}}={\vec {0}}\;$ soit, après projection sur $\;{\vec {u}}_{x}$, $\;m\;g\;\sin(\alpha )-k\;\Delta l_{\text{éq}}=0\;$ c'est-à-dire la réécriture de la C.N. d'équilibre selon $\;k\;\Delta l_{\text{éq}}=m\;g\;\sin(\alpha )\;$ $\Leftrightarrow$ $\;\Delta l_{\text{éq}}={\dfrac {m\;g\;\sin(\alpha )}{k}}$ ;

......reportant l'expression de $\;\Delta l_{\text{éq}}\;$ dans celle définissant l'énergie potentielle d'oscillation du P.E.I.N.A. on obtient, avec référence en la position d'équilibre, $\;U_{\text{oscill}}(M)={\dfrac {1}{2}}\;k\;x^{2}\;$.

 

Détermination de l'intégrale 1^ère énergétique du P.E.I.N.A.

......Définir l'énergie mécanique $\;E_{m}(t)\;$ du point matériel $\;M\;$ du P.E.I.N.A. à l'instant $\;t$, le point étant en la position d'abscisse $\;x(t)\;$ avec la vitesse $\;{\dot {x}}(t)\;$ puis,

......après avoir vérifié que le mouvement de $\;M\;$ est bien « conservatif »,

......expliciter l'intégrale 1^ère énergétique du point sachant que ce dernier est lâché avec les C.I. $\;x(0^{-})=a>0\;$ et $\;{\dot {x}}(0^{-})=0$.

Solution

......L'énergie mécanique $\;E_{m}(t)\;$ du point matériel $\;M\;$ du P.E.I.N.A. à l'instant $\;t\;$ étant définie par $\;E_{m}(t)=K(t)+U_{\text{oscill}}\!\left[x(t)\right]\;$ avec $\;K(t)={\dfrac {1}{2}}\;m\;{\dot {x}}^{2}(t)\;$ l'énergie cinétique du point à l'instant $\;t$, se réécrit selon $\;E_{m}(t)={\dfrac {1}{2}}\;m\;{\dot {x}}^{2}(t)+{\dfrac {1}{2}}\;k\;x^{2}(t)$ ; ......la seule force non conservative étant la réaction $\;{\vec {R}}(t)\;$ du plan incliné et celle-ci ne travaillant pas car le déplacement élémentaire $\;{\overrightarrow {dM}}\;$ du point étant $\;\parallel \;$ à la ligne de plus grande pente du plan incliné est $\;\perp \;$ à $\;{\vec {R}}(t)\;$ d'où $\;\delta W\!\left[{\vec {R}}(t)\right]={\vec {R}}(t)\cdot {\overrightarrow {dM}}=0\;\;\forall \;t$, on en déduit que le « mouvement du point $\;M\;$ est effectivement conservatif » et par suite, qu'on peut lui appliquer l'intégrale 1^ère énergétique correspondant à la conservation de l'énergie mécanique $\;E_{m}(t)=E_{m,\,0}\;$ dans laquelle $\;E_{m,\,0}\;$ est l'énergie mécanique initiale $\;{\dfrac {1}{2}}\;m\;{\dot {x}}^{2}(0^{+})+{\dfrac {1}{2}}\;k\;x^{2}(0^{+})\;$ laquelle s'écrit encore, l'abscisse et la vitesse étant deux grandeurs continues en absence de force de collision , $\;E_{m,\,0}={\dfrac {1}{2}}\;k\;a^{2}\;$ d'où la réécriture de l'intégrale 1^ère énergétique du P.E.I.N.A. selon $\;{\dfrac {1}{2}}\;m\;{\dot {x}}^{2}(t)+{\dfrac {1}{2}}\;k\;x^{2}(t)={\dfrac {1}{2}}\;k\;a^{2}\;\;\forall \;t$.

 

Étude du mouvement de M associé au P.E.I.N.A. par diagramme d'énergies potentielle et mécanique

......Tracer le diagramme d'énergies potentielle et mécanique du point matériel $\;M\;$ associé au P.E.I.N.A. puis

......montrer la nature oscillatoire de son mouvement ainsi que

......montrer sa nature périodique ;

......on explicitera la période propre $\;{\mathcal {T}}_{0}\;$ du P.E.I.N.A. sous forme intégrale et

......on l'évaluera en fonction de la raideur $\;k\;$ du ressort et de la masse $\;m\;$ du point matériel $\;M$.

Solution

Diagramme d'énergies potentielle et mécanique d'un pendule élastique incliné non amorti écarté de a de sa position d'équilibre et lâché sans vitesse initiale avec précision des deux murs d'énergie potentielle

......Ci-contre, dans un même système d'axes, paramètre de position en abscisse et énergie en ordonnée, on trace le diagramme d'énergies potentielle et mécanique du P.E.I.N.A. c'est-à-dire. les deux courbes

• d'énergie potentielle $\;(\Gamma _{u})\;$ en bleu ci-contre c'est-à-dire l'ensemble des points $\;P_{u}\;$ d'abscisse $\;x\;$ et d'ordonnée $\;U_{\text{oscill}}(x)=$ ${\dfrac {1}{2}}\;k\;x^{2}$ $\;{\big [}(\Gamma _{u})\;$ étant une parabole de concavité positive, de sommet $\;(0\,,\,0)\;$ et d'axe $\;x=0{\big ]}\;$ et
• d'énergie mécanique $\;(\Gamma _{m})\;$ en rouge ci-contre c'est-à-dire l'ensemble des points $\;P_{m}\;$ d'abscisse $\;x\;$ et d'ordonnée $\;E_{m}(x)=E_{m,\,0}$ $={\dfrac {1}{2}}\;k\;a^{2}$ $\;{\big [}(\Gamma _{m})\;$ étant une droite $\;\parallel \;$ à l'axe des $\;x\;$ d'ordonnée $\;E_{m,\,0}{\big ]}$ ;

......on y observe deux murs d'énergie potentielle délimitant les domaines d'abscisses interdites tels que $\;U_{\text{oscill}}\ngtr E_{m,\,0}\;$,

• l'un correspondant à $\;P_{0}\;$ position commune initiale des points génériques $\;P_{u}\;$ et $\;P_{m}\;$ d'abscisse $\;x_{P_{0}}=a\;$ et
• l'autre .correspond à $\;{P'}_{0}\;$ position symétrique de $\;P_{0}\;$ par rapport à l'axe des énergies, d'abscisse $\;x_{{P'}_{0}}=-a$ ;

......ces deux murs d'énergie potentielle interdisent les domaines $\;x<x_{{P'}_{0}}=-a\;$ et $\;x>x_{P_{0}}=a\;$ pour la variation de l'abscisse du point matériel $\;M\;$ c'est-à-dire que $\;M\;$ est dans un état lié [ceci correspondant à un déplacement possible des points génériques $\;P_{u}\;$ et $\;P_{m}\;$ des courbes $\;(\Gamma _{u})\;$ et $\;(\Gamma _{m})\;$ dans une cuvette (ou puits) d'énergie potentielle].

......Établissement de la nature oscillatoire du mouvement du P.E.I.N.A. :

......$\;\succ \;$les C.I. étant telles que $\;P_{u}\;$ et $\;P_{m}\;$ sont initialement confondus en $\;P_{0}\;$ sur le mur d'énergie potentielle de droite $\;x=a$, la présence du mur interdisant la croissance de $\;x$, nous en déduisons que «$\;x\;$ reste constant ou $\;\searrow \;$» ;

......sucor $\;x=a\;$ qui correspond à une position d'arrêt « n'étant pas une position d’équilibre » , $\;x\;$ ne peut rester constant et par suite $\;\searrow \;$ strictement, les points génériques $\;P_{u}\;$ et $\;P_{m}\;$ du diagramme d'énergies potentielle et mécanique se déplaçant en s'éloignant du mur d'énergie potentielle de droite (c'est-à-dire vers la gauche) …

......$\;\succ \;$ces déplacements simultanés engendrant d'abord une croissance continue de $\;{\overline {P_{u}P_{m}}}\;{\widehat {=}}\;K(M)\;$ jusqu'au passage de $\;P_{m}\;$ par $\;P_{\text{éq}}\;$ puis une décroissance continue jusqu'à atteindre la valeur nulle lorsque $\;P_{u}\;$ et $\;P_{m}\;$ se rejoignent en $\;{P'}_{0}\;$ point commun du mur d'énergie potentielle de gauche $\;x=-a$, la présence de ce mur interdisant la décroissance de $\;x$, nous en déduisons que «$\;x\;$ reste constant ou $\;\nearrow \;$» ;

......sucor $\;x=-a\;$ qui correspond à une position d'arrêt « n'étant pas une position d’équilibre » , $\;x\;$ ne peut rester constant et par suite $\;\nearrow \;$ strictement, les points génériques $\;P_{u}\;$ et $\;P_{m}\;$ du diagramme d'énergies potentielle et mécanique se déplaçant en s'éloignant du mur d'énergie potentielle de gauche (c'est-à-dire vers la droite) …

......$\;\succ \;$ces déplacements simultanés engendrant d'abord une croissance continue de $\;{\overline {P_{u}P_{m}}}\;{\widehat {=}}\;K(M)\;$ jusqu'au nouveau passage de $\;P_{m}\;$ par $\;P_{\text{éq}}\;$ puis une décroissance continue jusqu'à atteindre la valeur nulle lorsque $\;P_{u}\;$ et $\;P_{m}\;$ se rejoignent en $\;P_{0}\;$ point commun du mur d'énergie potentielle de droite $\;x=a$, la présence de ce mur interdisant la croissance de $\;x$, nous en déduisons que «$\;x\;$ reste constant ou $\;\searrow \;$», ce qui, correspondant exactement à la situation initiale, permet de déduire que ces déplacements simultanés de $\;P_{u}\;$ et $\;P_{m}\;$ se poursuivent indéfiniment (en absence d'amortissements) de façon identique …

d'où, en conséquence, la nature oscillatoire du mouvement du P.E.I.N.A..

......Établissement de la nature périodique du mouvement du P.E.I.N.A. :

......Pour déterminer la nature périodique du mouvement du P.E.I.N.A. par utilisation simultanée de son intégrale 1^ère énergétique et de son diagramme d'énergies potentielle et mécanique, il faut montrer que la durée correspondant au n^ème aller-retour des points $\;P_{u}\;$ et $\;P_{m}\;$ sur $\;(\Gamma _{u})\;$ et $\;(\Gamma _{m})\;$ de $\;P_{0}\rightarrow {P'}_{0}\rightarrow P_{0}\;$ est indépendant du numéro $\;n\in \mathbb {N} ^{*}\;$ de l'aller-retour :

......on utilise d'abord l'intégrale 1^ère énergétique du mouvement du P.E.I.N.A. $\;E_{m}(t)=E_{m,\,0}\;$ avec $\;E_{m,\,0}={\dfrac {1}{2}}\;k\;a^{2}\;$ avec les mêmes C.I. que précédemment et $\;E_{m}(t)={\dfrac {1}{2}}\;m\;{\dot {x}}^{2}\!(t)+{\dfrac {1}{2}}\;k\;x^{2}\!(t)\;$ d'où $\;{\dfrac {1}{2}}\;m\;{\dot {x}}^{2}\!(t)+{\dfrac {1}{2}}\;k\;x^{2}\!(t)={\dfrac {1}{2}}\;k\;a^{2}\;$ $\Rightarrow$ $\;{\dfrac {1}{2}}\;m\;{\dot {x}}^{2}\!(t)={\dfrac {1}{2}}\;k\,\left[a^{2}-x^{2}\!(t)\right]\;$ $\Rightarrow$ $\;{\dot {x}}(t)={\dfrac {dx}{dt}}(t)=$ $\pm {\sqrt {{\dfrac {k}{m}}\,\left[a^{2}-x^{2}\!(t)\right]}}\;$ et par suite on peut exprimer la durée élémentaire $\;dt\;$ correspondant à une variation élémentaire $\;dx\;$ de l'abscisse $\;x\;$ du point $\;M\;$ selon
$\;dt=\pm {\dfrac {dx}{\sqrt {{\dfrac {k}{m}}\,\left[a^{2}-x^{2}\right]}}}\;$  ;

......dans un 2^ème temps on utilise le diagramme d'énergies potentielle et mécanique pour faire le choix entre $\;+\;$ et $\;-\;$ suivant le sens de déplacement des points $\;P_{u}\;$ et $\;P_{m}\;$ dans la cuvette (ou puits) d'énergie potentielle soit :

......$\;\succ \;$pour le n^ème aller des points $\;P_{u}\;$ et $\;P_{m}\;$ de $\;P_{0}\;$ à $\;{P'}_{0}$, $\;x\searrow \;$ d'où $\;dx\;$ correspondant à $\;dt>0\;$ est $\;<0\;$ $\Rightarrow$ $\;dt=-{\dfrac {dx}{\sqrt {{\dfrac {k}{m}}\,\left[a^{2}-x^{2}\!(t)\right]}}}\;$, la durée totale du n^ème aller s'obtenant alors par intégration selon $\;\Delta t_{P_{0}\,{\overset {n}{\rightarrow }}\,{P'}_{0}}=\displaystyle \int _{a}^{-a}-{\dfrac {dx}{\sqrt {{\dfrac {k}{m}}\,\left[a^{2}-x^{2}\right]}}}=\displaystyle \int _{-a}^{a}{\dfrac {dx}{\sqrt {{\dfrac {k}{m}}\,\left[a^{2}-x^{2}\right]}}}\;$ ;

......$\;\succ \;$pour le n^ème retour des mêmes points de $\;{P'}_{0}\;$ à $\;P_{0}$, $\;x\nearrow \;$ d'où $\;dx\;$ correspondant à $\;dt>0\;$ est $\;>0\;$ $\Rightarrow$ $\;dt={\dfrac {dx}{\sqrt {{\dfrac {k}{m}}\,\left[a^{2}-x^{2}\!(t)\right]}}}\;$, la durée totale du n^ème retour s'obtenant aussi par intégration selon $\;\Delta t_{{P'}_{0}\,{\overset {n}{\rightarrow }}\,P_{0}}=\displaystyle \int _{-a}^{a}{\dfrac {dx}{\sqrt {{\dfrac {k}{m}}\,\left[a^{2}-x^{2}\right]}}}=\Delta t_{P_{0}\,{\overset {n}{\rightarrow }}\,{P'}_{0}}\;$ ;

......on déduit de ce qui précède la durée de la n^ème oscillation du point $\;M$, $\;\Delta t_{P_{0}\,{\overset {n}{\rightarrow }}\,{P'}_{0}\,{\overset {n}{\rightarrow }}\,P_{0}}=\Delta t_{P_{0}\,{\overset {n}{\rightarrow }}\,{P'}_{0}}+\Delta t_{{P'}_{0}\,{\overset {n}{\rightarrow }}\,P_{0}}=2\;\Delta t_{P_{0}\,{\overset {n}{\rightarrow }}\,{P'}_{0}}\;$ soit finalement $\;\Delta t_{P_{0}\,{\overset {n}{\rightarrow }}\,{P'}_{0}\,{\overset {n}{\rightarrow }}\,P_{0}}=2\;\displaystyle \int _{-a}^{a}{\dfrac {dx}{\sqrt {{\dfrac {k}{m}}\,\left[a^{2}-x^{2}\right]}}}\;$ indépendante de $\;n$ (la fonction à intégrer ainsi que les bornes d'intégration en étant indépendantes),
ce qui établit la nature périodique du mouvement d'oscillations de $\;M$. ......Expression de la période du P.E.I.N.A. sous forme intégrale et son évaluation : La période $\;{\mathcal {T}}\;$ du mouvement d'oscillations de $\;M\;$ étant la durée d'un aller-retour des points $\;P_{u}\;$ et $\;P_{m}\;$ de $\;P_{0}\;$ à $\;P_{0}\;$ en passant par $\;{P'}_{0}$, elle s'écrit $\;{\mathcal {T}}=\Delta t_{P_{0}\,\rightarrow \,{P'}_{0}\,\rightarrow \,P_{0}}=2\;\displaystyle \int _{-a}^{a}{\dfrac {dx}{\sqrt {{\dfrac {k}{m}}\,\left[a^{2}-x^{2}\right]}}}=4\;\displaystyle \int _{0}^{a}{\dfrac {dx}{\sqrt {{\dfrac {k}{m}}\,\left[a^{2}-x^{2}\right]}}}\;$ .

......Expression de la période du P.E.I.N.A. sous forme intégrale et son évaluation : Pour évaluer la période $\;{\mathcal {T}}=4\;{\sqrt {\dfrac {m}{k}}}\;\displaystyle \int _{0}^{a}{\dfrac {dx}{\sqrt {a^{2}-x^{2}}}}\;$, on met $\;a\;$ en facteur dans le dénominateur de la fonction à intégrer soit $\;\displaystyle \int _{0}^{a}{\dfrac {dx}{a\;{\sqrt {1-\left({\dfrac {x}{a}}\right)^{\!\!2}}}}}=\displaystyle \int _{x=0}^{x=a}{\dfrac {d\!\left({\dfrac {x}{a}}\right)}{\sqrt {1-\left({\dfrac {x}{a}}\right)^{\!\!2}}}}\;$ d'où, en posant $\;u={\dfrac {x}{a}}$, la réécriture de la période sous forme intégrale utilisant la nouvelle variable $\;{\mathcal {T}}=4\;{\sqrt {\dfrac {m}{k}}}\;\displaystyle \int _{0}^{1}{\dfrac {du}{\sqrt {1-u^{2}}}}\;$ ;

......Expression de la période du P.E.I.N.A. sous forme intégrale et son évaluation : le calcul de l'intégrale généralisée $\;\displaystyle \int _{0}^{1}{\dfrac {du}{\sqrt {1-u^{2}}}}\;$ peut être achevé car $\;{\dfrac {1}{\sqrt {1-u^{2}}}}\;$ admet pour primitive $\;\arcsin(u)\;$ d'où $\;\displaystyle \int _{0}^{1}{\dfrac {du}{\sqrt {1-u^{2}}}}=$ $\left[\arcsin(u)\right]_{0}^{1}=\arcsin(1)-\arcsin(0)={\dfrac {\pi }{2}}\;$ et par suite $\;{\mathcal {T}}=4\;{\sqrt {\dfrac {m}{k}}}\;{\dfrac {\pi }{2}}=2\;\pi \;{\sqrt {\dfrac {m}{k}}}\;$.

 

Propriété du mouvement de M associé au P.E.I.N.A. au passage par la position d'équilibre

......Vérifier que la vitesse du point $\;M\;$ associé au P.E.I.N.A. est de valeur absolue maximale au passage par la position d'équilibre et

......l'évaluer en fonction de la raideur $\;k\;$ du ressort, de la masse $\;m\;$ du point matériel $\;M\;$ et de l'abscisse initiale $\;a\;$ de ce dernier.

Solution

......Sur le diagramme d'énergies potentielle et mécanique du P.E.I.N.A. on observe que l'énergie cinétique de ce dernier est maximale lors de ses passages par la position d'équilibre car $\;{\overline {P_{u}P_{m}}}\;{\widehat {=}}\;K(M)\;$ y est effectivement maximal et par suite la valeur absolue de sa vitesse y est aussi maximale en prenant pour valeur $\;\vert {\dot {x}}(t_{\text{éq}})\vert$ ;

......on détermine cette dernière par conservation de l'énergie mécanique avec $\;E_{m}(t_{\text{éq}})=K(t_{\text{éq}})\;{\cancel {+\,U_{\text{oscill}}(t_{\text{éq}})}}=E_{m,\,0}\;$ soit $\;{\dfrac {1}{2}}\;m\;{\dot {x}}^{2}\!(t_{\text{éq}})={\dfrac {1}{2}}\;k\;a^{2}\;$ dont on déduit la valeur absolue de la vitesse du P.E.I.N.A. lors de ses passages par la position d'équilibre $\;\vert {\dot {x}}(t_{\text{éq}})\vert ={\sqrt {\dfrac {k}{m}}}\;a\;$.

 

Étude énergétique du pendule élastique incliné amorti (P.E.I.A.)

......Dans un 2^ème temps on tient compte de la résistance de l'air sur le pendule tout en considérant son influence comme faible $\;{\bigg [}$on définit la pulsation propre du P.E.I.A. $\;\omega _{0}={\sqrt {\dfrac {k}{m}}}\;$ et son cœfficient d'amortissement $\;\sigma ={\dfrac {h}{2\;m\;\omega _{0}}}\;$ faible soit $\;\sigma <1{\bigg ]}$.

Conséquence énergétique de la nature non conservative du mouvement de M associé au P.E.I.A.

......après avoir vérifié que le mouvement de $\;M\;$ est bien « non conservatif »,

......appliquer le théorème de la puissance mécanique au point matériel $\;M\;$ associé au P.E.I.A. et

......en déduire l'évolution de l'énergie mécanique $\;E_{m}(t)\;$ de $\;M\;$ en fonction du temps $\;t\;$ à partir des mêmes C.I. $\;x(0^{-})=a>0\;$ et $\;{\dot {x}}(0^{-})=0$ [on ne demande qu'une étude qualitative et non quantitative].

Solution

Pendule élastique amorti sur plan incliné d'un angle α par rapport au plan horizontal constitué d'un ressort idéal à axe parallèle à la ligne de plus grande pente supportant un solide assimilé à un point matériel M avec représentation des forces appliquées à ce dernier [3 schémas de description, ressort à vide, pendule à l'équilibre et à un instant quelconque avec précision (à part) du sens de la vitesse pour ce dernier

......Ci-contre les trois schémas descriptifs habituels représentant le P.E.I.A. ainsi que, sur les deux derniers, le bilan des forces appliquées à $\;M$ [seul le schéma supérieur diffère relativement à ceux précédemment réalisés pour le P.E.I.N.A., en effet s'y ajoute la résistance de l'air $\;{\overrightarrow {{\mathcal {R}}_{\text{air}}}}(t)=-h\;{\dot {x}}(t)\;{\vec {u}}_{x}\;$ représentée en supposant $\;{\dot {x}}(t)>0{\big ]}$ ;

......parmi ces quatre forces agissant sur $\;M$, deux sont toujours conservatives (poids de $\;M\;$ et tension du ressort sur le point) et deux sont non conservatives (réaction du plan incliné sur $\;M\;$ et résistance de l'air agissant sur le point) ; toutefois la réaction du plan incliné sur le point ne développant aucun travail, le caractère « non conservatif » du mouvement du P.E.I.A. est dû au fait que la résistance de l'air développe une puissance généralement non nulle $\;{\mathcal {P}}\!\left[{\overrightarrow {{\mathcal {R}}_{\text{air}}}}(t)\right]={\overrightarrow {{\mathcal {R}}_{\text{air}}}}(t)\cdot {\vec {V}}_{M}(t)=-h\;{\dot {x}}^{2}\!(t)\;$ ;

......l'introduction des frottements de l'air ne modifiant pas les forces conservatives agissant sur le P.E.I., ni la condition d'équilibre de ce dernier $\;k\;\Delta l_{\text{éq}}=m\;g\;\sin(\alpha )$, on définit toujours, pour le P.E.I.A.,

• une énergie potentielle d'oscillation $\;U_{\text{oscill}}(M)={\dfrac {1}{2}}\;k\;x^{2}\;$ en choisissant pour référence de cette dernière « la position d'équilibre du P.E.I.A. » ainsi que
• une énergie mécanique $\;E_{m}(t)=K(M)+U_{\text{oscill}}(M)={\dfrac {1}{2}}\;m\;{\dot {x}}^{2}\!(t)+{\dfrac {1}{2}}\;k\;x^{2}\!(t)$ ;

......le mouvement du P.E.I.A. étant non conservatif, l'intégrale 1^ère énergétique n'existe pas, elle est remplacée par une équation résultant de l'application à $\;M\;$ et à l'instant $\;t\;$ du théorème de la puissance mécanique dans le référentiel galiléen lié au plan incliné $\;{\dfrac {dE_{m}}{dt}}(t)$ $={\cancel {{\mathcal {P}}\!\left[{\vec {R}}\right]+}}\;{\mathcal {P}}\!\left[{\overrightarrow {{\mathcal {R}}_{\text{air}}}}(t)\right]\;$ ou encore $\;{\dfrac {dE_{m}}{dt}}(t)=-h\;{\dot {x}}^{2}\!(t)$ ;

......de cette équation $\;{\dfrac {dE_{m}}{dt}}(t)=-h\;{\dot {x}}^{2}\!(t)\leqslant 0\;$ on en déduit que l'énergie mécanique est une fonction $\;\searrow \;$ au sens large de $\;t$ :

• à $\;t=0^{+}\;$ sa valeur étant $\;E_{m,\,0}={\dfrac {1}{2}}\;k\;a^{2}\;$ avec $\;{\dfrac {dE_{m}}{dt}}(0^{+})=-h\;{\dot {x}}^{2}\!(0^{+})=0$ [la vitesse (et aussi l'abscisse) étant une grandeur continue en absence de force de collision ] n'est pas maintenue, cette position initiale n'étant pas la position d'équilibre donc
• $\;E_{m}(t)\searrow \;$ strictement jusqu'à ce que la vitesse du P.E.I.A. redevienne nulle mais ceci se produisant en une position différente de la position d'équilibre, le mouvement reprend dans l'autre sens avec une énergie mécanique instantanée plus faible donc une abscisse de valeur absolue $\;a_{1}<a\;$ puis
• $\;E_{m}(t)\;$ continue de $\;\searrow \;$ strictement jusqu'à ce que la vitesse du P.E.I.A. soit de nouveau nulle mais ceci se produisant en une position différente de la position d'équilibre, le mouvement reprend dans le sens initial avec une énergie mécanique instantanée plus faible donc une abscisse de valeur absolue $\;a_{2}<a_{1}<a$ …
• cette décroissance stricte de $\;E_{m}(t)\;$ se poursuivant en théorie indéfiniment mais en pratique jusqu'à ce que les oscillations d'amplitude de plus en plus faible ne soient plus détectables.

 

Étude du mouvement de M associé au P.E.I.A. par diagramme d'énergies potentielle et mécanique

......Tracer l'allure du diagramme d'énergies potentielle et mécanique du point matériel $\;M\;$ associé au P.E.I.A. $\;{\bigg [}$pour justifier le tracé de la courbe d'énergie mécanique $\;(\Gamma _{m})\;$ on explicitera $\;{\dfrac {dE_{m}}{dx}}(t)\;$ en fonction de $\;h\;$ et $\;{\dot {x}}(t)\;$ et on précisera la variation de sa valeur absolue en fonction de l'abscisse commune des points génériques $\;P_{u}\;$ et $\;P_{m}\;$ des courbes d'énergies potentielle $\;(\Gamma _{u})\;$ et mécanique $\;(\Gamma _{m}){\bigg ]}\;$ puis,

......commenter ce diagramme pour en déduire qualitativement le mouvement du point matériel $\;M\;$ associé au P.E.I.A..

Solution

Diagramme d'énergies potentielle et mécanique d'un pendule élastique incliné amorti écarté de a de sa position d'équilibre et lâché sans vitesse initiale avec précision des murs d'énergie potentielle successifs en regard

......Ci-contre, dans un même système d'axes, paramètre de position en abscisse et énergie en ordonnée, on trace le diagramme d'énergies potentielle et mécanique du P.E.I.A. c'est-à-dire. les deux courbes

• d'énergie potentielle $\;(\Gamma _{u})\;$ en bleu ci-contre identique à celle tracée dans le diagramme d'énergies potentielle et mécanique du P.E.I.N.A. et
• d'énergie mécanique $\;(\Gamma _{m})\;$ en rouge ci-contre c'est-à-dire l'ensemble des points $\;P_{m}\;$ d'abscisse $\;x=x(t)\;$ et d'ordonnée $\;E_{m}=$ $E_{m}\!\left[x(t)\right]$ $\;{\big [}(\Gamma _{m})\;$ étant une courbe $\;\searrow \;$ au sens large, que $\;x\;$ soit $\;\searrow \;$ ou $\;\nearrow$, à partir du point $\;P_{1}\;\left(a\,,\,E_{m,\,0}\right){\big ]}$ ; pour tracer cette courbe il convient d'évaluer sa pente en son point générique $\;P_{m}\;$ d'abscisse $\;x=x(t)\;$ et d'ordonnée $\;E_{m}=E_{m}\!\left[x(t)\right]$, soit $\;{\dfrac {dE_{m}}{dx}}={\dfrac {dE_{m}}{dt}}\;{\dfrac {dt}{dx}}={\dfrac {1}{{\dot {x}}(t)}}\;{\dfrac {dE_{m}}{dt}}(t)=-h\;{\dot {x}}(t)$ ; nous en déduisons les propriétés suivantes de la tangente à $\;(\Gamma _{m})\;$ au point générique $\;P_{m}$ :
  ......$\;\succ \;$ elle est $\;\parallel \;$ à l'axe des $\;x\;$ aux points $\;P_{1}^{(n)}\;$ et $\;P_{2}^{(n)}\;$ correspondant à $\;M\;$ à l'arrêt , ces points $\;P_{1}^{(n)}\;$ et $\;P_{2}^{(n)}\;$ étant respectivement les points d'intersection d'abscisse positive et négative des courbes d'énergie potentielle $\;(\Gamma _{u})$ et d'énergie mécanique $\;(\Gamma _{m})$,
  ......$\;\succ \;$ en tout autre point $\;P_{m}\;$ la pente de la tangente à $\;(\Gamma _{m})\;$ y est $\;\neq 0$,
  ......~succ en tout autre point Pm elle est positive quand le paramètre de position $\;x\searrow \;$ c'est-à-dire quand $\;P_{m}\;$ se déplace vers la gauche et
  ......~succ en tout autre point Pm elle est négative quand le paramètre de position $\;x\nearrow \;$ c'est-à-dire quand $\;P_{m}\;$ se déplace vers la droite, enfin
  ......$\;\succ \;$ la pente de la tangente à $\;(\Gamma _{m})\;$ est extrémale aux points $\;P_{m}\;$ associés aux instants où la vitesse de $\;M\;$ est de valeur absolue $\;\vert {\dot {x}}(t)\vert \;$ maximale c'est-à-dire là où l'énergie cinétique du P.E.I.A. $\;K_{M}(t)\;$ est maximale [cela correspond aussi aux instants tels que $\;{\overline {P_{u}P_{m}}}(t)\;{\widehat {=}}\;K_{M}(t)\;$ est maximal ] ;

......on y observe successivement un couple de murs d'énergie potentielle en regard délimitant les domaines d'abscisses interdites tels que $\;U_{\text{oscill}}\ngtr E_{m,\,0}\;$, ces composantes du couple étant d'autant plus rapprochées que $\;t\;$ est grand.

......Finalement on en déduit que le mouvement du P.E.I.A. est pseudo-oscillatoire mais, si l'étude par diagramme d'énergies potentielle et mécanique est « très concrète qualitativement », elle ne permet d'obtenir les résultats quantitatifs obtenus par résolution de l'équation différentielle du 2^ème ordre .

 

Pendule cycloïdal par traitement énergétique

Schéma d'un pendule cycloïdal constitué d'un point matériel M en liaison bilatérale sans frottement sur une cycloïde droite inversée lâché de M₀ sans vitesse initiale dans un champ de pesanteur uniforme

......Un point matériel $\;M\;$ de masse $\;m\;$ est assujetti à se déplacer dans le plan vertical $\;xOy\;$ sur la portion de cycloïde dont les équations paramétriques sont : $\;\left\lbrace {\begin{array}{l}x&=&R\,\left[\theta -\sin(\theta )\right]\\y&=&-R\,\left[1-\cos(\theta )\right]\end{array}}\right\rbrace \;$ avec $\;\theta \in \left[0\,,\,2\,\pi \right]\;$ (voir ci-contre).

......À la date $\;t=0$, on lâche $\;M\;$ de $\;M_{0}$, de paramètre angulaire $\;\theta _{0}\in \left]0\,,\,+\pi \right[\;$ sans vitesse initiale ; il est soumis au champ de pesanteur $\;{\vec {g}}\;$ uniforme et se déplace en liaison bilatérale sans frottement sur la portion de cycloïde.

Intégrale 1^ère énergétique du mouvement du point matériel M

......Après avoir vérifié que le point matériel $\;M\;$ est bien « à mouvement conservatif » expliciter l'intégrale 1^ère énergétique du mouvement de ce point en fonction, entre autres, de $\;\theta (t)\;$ et de sa dérivée temporelle.

Solution

Schéma d'un pendule cycloïdal constitué d'un point matériel M en liaison bilatérale sans frottement sur une cycloïde droite inversée lâché de M₀ sans vitesse initiale dans un champ de pesanteur uniforme avec représentation des forces appliquées

......Les forces appliquées à $\;M\;$ étant

• son poids $\;m\;{\vec {g}}$, force conservative dérivant de l'énergie potentielle de pesanteur $\;U_{\text{pes}}(M)=m\;g\;y+cste$, la constante dépendant du choix de la référence et
• la réaction $\;{\vec {R}}(t)\;$ de la cycloïde sur le point $\;M$, force non conservative ne développant aucun travail en absence de frottement car $\;{\vec {R}}(t)\;$ est $\;\perp \;$ au vecteur déplacement élémentaire $\;{\overrightarrow {dM}}\;$ le long de la cycloïde,

......on vérifie effectivement que le mouvement du point $\;M\;$ est « conservatif » ;

......on peut alors appliquer, comme intégrale 1^ère énergétique, la conservation de l'énergie mécanique du point $\;M\;$ en définissant celle-ci à l'instant $\;t\;$ par $\;E_{m}(t)=K_{M}(t)+U_{{\text{pes}},\,M}(t)={\dfrac {1}{2}}\;m\;{\vec {V}}_{M}^{\,2}(t)+U_{{\text{pes}},\,M}(t)\;$ avec

• $\;U_{{\text{pes}},\,M}(t)=m\;g\,\left\lbrace y\!\left[\theta (t)\right]+2\;R\right\rbrace \;$ en prenant comme référence $\;y_{\text{min}}=-2\;R\;$ soit encore, en y reportant $\;y(\theta )=$ $-R\,\left[1-\cos(\theta )\right]\;$ et après simplification, $\;U_{{\text{pes}},\,M}(t)=m\;g\;R\,\left\lbrace 1+\cos \!\left[\theta (t)\right]\right\rbrace \;$ et
• $\;{\vec {V}}_{M}(t)={\dfrac {d{\overrightarrow {OM}}}{dt}}(t)\;{\text{:}}\left\lbrace {\begin{array}{l}{\dot {x}}(t)=R\,\left\lbrace 1-\cos \!\left[\theta (t)\right]\right\rbrace \,{\dot {\theta }}(t)\\{\dot {y}}(t)=-R\,\sin \!\left[\theta (t)\right]\,{\dot {\theta }}(t)\end{array}}\right\rbrace \;$ $\Rightarrow$ $\;{\vec {V}}_{M}^{\,2}(t)={\dot {x}}^{2}(t)+{\dot {y}}^{2}(t)=R^{2}\;{\dot {\theta }}^{2}(t)\,\left[\left\lbrace 1-\cos \!\left[\theta (t)\right]\right\rbrace ^{2}+\sin ^{2}\!\left[\theta (t)\right]\right]\;$ soit, après simplification évidente, $\;{\vec {V}}_{M}^{\,2}(t)=2\;R^{2}\;{\dot {\theta }}^{2}(t)\,\left\lbrace 1-\cos \!\left[\theta (t)\right]\right\rbrace \;$ d'où $\;K_{M}(t)={\dfrac {1}{2}}\;m\;{\vec {V}}_{M}^{\,2}(t)=m\;R^{2}\;{\dot {\theta }}^{2}(t)\,\left\lbrace 1-\cos \!\left[\theta (t)\right]\right\rbrace \;$ soit finalement

$\;E_{m}(t)=m\;R^{2}\;{\dot {\theta }}^{2}(t)\,\left\lbrace 1-\cos \!\left[\theta (t)\right]\right\rbrace +m\;g\;R\,\left\lbrace 1+\cos \!\left[\theta (t)\right]\right\rbrace \!$, ......l'énergie mécanique initiale valant $\;E_{m,\,0}={\cancel {K_{M}(0^{+})\;+}}\;U_{\text{pes}}(\theta _{0}^{+})=m\;g\;R\,\left[1+\cos(\theta _{0})\right]$, l'intégrale 1^ère énergétique du pendule cycloïdal $\;E_{m}(t)=E_{m,\,0}\;$ se réécrit $\;m\;R^{2}\;{\dot {\theta }}^{2}(t)\,\left\lbrace 1-\cos \!\left[\theta (t)\right]\right\rbrace +m\;g\;R\,\left\lbrace 1+\cos \!\left[\theta (t)\right]\right\rbrace =m\;g\;R\,\left[1+\cos(\theta _{0})\right]\;$ ou
$\;{\dot {\theta }}^{2}(t)\,\left\lbrace 1-\cos \!\left[\theta (t)\right]\right\rbrace ={\dfrac {g}{R}}\,\left\lbrace \cos(\theta _{0})-\cos \!\left[\theta (t)\right]\right\rbrace$.

 

Établissement, par diagramme d'énergies potentielle et mécanique du point matériel M, de la nature oscillatoire puis périodique du mouvement de ce dernier et évaluation de sa période ainsi que de la longueur du pendule pesant simple synchrone

......Tracer le diagramme d'énergies potentielle et mécanique du point matériel $\;M\;$ et en déduire :

• la nature oscillatoire du mouvement de ce dernier ainsi que
• sa nature périodique ;

......expliciter la période $\;{\mathcal {T}}\;$ du mouvement du pendule cycloïdal sous forme intégrale puis

......la calculer et

......vérifier qu'il y a « isochronisme des oscillations » du pendule cycloïdal.

......Préciser la longueur du pendule pesant simple à « petites oscillations » qui lui est synchrone.

Solution

Diagramme d'énergies potentielle et mécanique d'un pendule cycloïdal constitué d'un point matériel M en liaison bilatérale sans frottement sur une cycloïde droite inversée et lâché, sans vitesse initiale, de la position M₀ repérée par θ₀, avec représentation des deux murs d'énergie potentielle

......Tracé du diagramme d'énergies potentielle et mécanique : voir ci-contre $\;{\big \{}$la courbe d'énergie potentielle $\;(\Gamma _{u})\;$ est en noir, c'est une portion de sinusoïde définie sur $\;\left[0\,,\,2\;\pi \right]\;$ et celle d'énergie mécanique $\;(\Gamma _{m})\;$ en rouge, c'est un segment de droite $\;\parallel \;$ à l'axe des $\;\theta \;$ d'ordonnée $\;E_{m,\,0}{\big \}}$.

......Établissement de la nature oscillatoire du mouvement du pendule cycloïdal : la nature oscillatoire du mouvement de $\;M\;$ découle de l'existence d'un puits d'énergie potentielle [c'est-à-dire deux murs d'énergie potentielle en regard] dans lequel les points génériques $\;P_{u}\;$ et $\;P_{m}\;$ de $\;(\Gamma _{u})\;$ et $\;(\Gamma _{m})\;$ ne peuvent sortir  :

• tout d'abord les points $\;P_{u}\;$ et $\;P_{m}\;$ sont sur l'intersection de $\;(\Gamma _{u})\;$ et $\;(\Gamma _{m})\;$ c'est-à-dire le mur d'énergie potentielle de gauche d'abscisse $\;\theta _{0}$, l'énergie cinétique y étant nulle, le point $\;M\;$ est en situation de repos mais n'y reste pas car ce n'est pas une position d'équilibre, $\;P_{u}\;$ et $\;P_{m}\;$ se déplacent vers la droite [seule possibilité en accord avec $\;{\overline {P_{u}P_{m}}}\;{\widehat {=}}\;K(M)>0\;$] et ceci jusqu'à l'autre intersection de $\;(\Gamma _{u})\;$ et $\;(\Gamma _{m})\;$ c'est-à-dire le mur d'énergie potentielle de droite d'abscisse $\;2\;\pi -\theta _{0}$ [symétrique du mur d'énergie potentielle de gauche par rapport à l'axe de symétrie de la portion de cycloïde à savoir $\;\theta =\pi {\big ]}\;$ où l'énergie cinétique est redevenue nulle, mais
• le point $\;M\;$ temporairement en situation de repos n'y reste pas car ce n'est pas une position d'équilibre, $\;P_{u}\;$ et $\;P_{m}\;$ se déplacent vers la gauche [seule possibilité en accord avec $\;{\overline {P_{u}P_{m}}}\;{\widehat {=}}\;K(M)>0\;$] et ceci jusqu'à la 1^ère intersection de $\;(\Gamma _{u})\;$ et $\;(\Gamma _{m})\;$ c'est-à-dire le mur d'énergie potentielle de gauche d'abscisse $\;\theta _{0}\;$ où l'énergie cinétique est de nouveau nulle, …
• nous avons donc une succession de déplacements de $\;P_{u}\;$ et $\;P_{m}\;$ vers la droite puis vers la gauche correspondant à des oscillations de $\;M\;$ autour de la position repérée par $\;\theta _{\text{éq}}=\pi$, cette position étant en fait la position (unique) d'équilibre $\;M_{\text{éq}}\;$ car c'est le seul endroit où le poids de $\;M\;$ étant $\;\perp \;$ à la cycloïde peut être compensé par la réaction $\;{\vec {R}}\;$ de celle-ci sur $\;M$.

......Établissement de la nature périodique du mouvement du pendule cycloïdal : pour cela on évalue la durée du n^ème aller-retour de $\;P_{u}\;$ et $\;P_{m}\;$ dans la cuvette d'énergie potentielle et on montre qu'elle ne dépend pas de $\;n\;$ soit :

• durée du n^ème aller : $\;\Delta t_{\theta _{0}\,{\overset {n}{\rightarrow }}\,2\,\pi -\theta _{0}}=\displaystyle \int _{\theta _{0}}^{2\,\pi -\theta _{0}}dt(\theta )\;$ avec $\;{\bigg \vert }{\dfrac {d\theta }{dt}}(t){\bigg \vert }={\sqrt {\dfrac {g\,\left\lbrace \cos(\theta _{0})-\cos \!\left[\theta (t)\right]\right\rbrace }{R\,\left\lbrace 1-\cos \!\left[\theta (t)\right]\right\rbrace }}}\;$ obtenu par intégrale 1^ère énergétique d'où, $\;{\dot {\theta }}(t)\;$ étant $\;\geqslant 0\;$ dans cette phase, $\;dt={\sqrt {\dfrac {R\,\left[1-\cos(\theta )\right]}{g\,\left[\cos(\theta _{0})-\cos(\theta )\right]}}}\;d\theta \;$ et par suite $\;\Delta t_{\theta _{0}\,{\overset {n}{\rightarrow }}\,2\,\pi -\theta _{0}}=\displaystyle \int _{\theta _{0}}^{2\,\pi -\theta _{0}}{\sqrt {\dfrac {R\,\left[1-\cos(\theta )\right]}{g\,\left[\cos(\theta _{0})-\cos(\theta )\right]}}}\;d\theta \;$,
• durée du n^ème retour : $\;\Delta t_{2\,\pi -\theta _{0}\,{\overset {n}{\rightarrow }}\,\theta _{0}}=\displaystyle \int _{2\,\pi -\theta _{0}}^{\theta _{0}}dt(\theta )\;$ avec la même expression de $\;{\bigg \vert }{\dfrac {d\theta }{dt}}(t){\bigg \vert }={\sqrt {\dfrac {g\,\left\lbrace \cos(\theta _{0})-\cos \!\left[\theta (t)\right]\right\rbrace }{R\,\left\lbrace 1-\cos \!\left[\theta (t)\right]\right\rbrace }}}\;$ d'où, $\;{\dot {\theta }}(t)\;$ étant $\;\leqslant 0\;$ dans cette phase, $\;dt=-{\sqrt {\dfrac {R\,\left[1-\cos(\theta )\right]}{g\,\left[\cos(\theta _{0})-\cos(\theta )\right]}}}\;d\theta \;$ et par suite $\;\Delta t_{2\,\pi -\theta _{0}\,{\overset {n}{\rightarrow }}\,\theta _{0}}=\displaystyle \int _{2\,\pi -\theta _{0}}^{\theta _{0}}-{\sqrt {\dfrac {R\,\left[1-\cos(\theta )\right]}{g\,\left[\cos(\theta _{0})-\cos(\theta )\right]}}}\;d\theta \;$ égale à la durée du n^ème aller $\;\Delta t_{\theta _{0}\,{\overset {n}{\rightarrow }}\,2\,\pi -\theta _{0}}\;$,
• finalement la durée du n^ème aller-retour $\;\Delta t_{n}=\Delta t_{\theta _{0}\,{\overset {n}{\rightarrow }}\,2\,\pi -\theta _{0}}+\Delta t_{2\,\pi -\theta _{0}\,{\overset {n}{\rightarrow }}\,\theta _{0}}=2\;\displaystyle \int _{\theta _{0}}^{2\,\pi -\theta _{0}}{\sqrt {\dfrac {R\,\left[1-\cos(\theta )\right]}{g\,\left[\cos(\theta _{0})-\cos(\theta )\right]}}}\;d\theta \;$ est effectivement indépendante de n ce qui montre la nature périodique du mouvement du pendule cycloïdal.

......Expression de la période du mouvement du pendule cycloïdal sous forme intégrale : la période $\;{\mathcal {T}}\;$ étant la durée d'un aller-retour nous en déduisons $\;{\mathcal {T}}=2\;\displaystyle \int _{\theta _{0}}^{2\,\pi -\theta _{0}}{\sqrt {\dfrac {R\,\left[1-\cos(\theta )\right]}{g\,\left[\cos(\theta _{0})-\cos(\theta )\right]}}}\;d\theta =4\;\displaystyle \int _{\theta _{0}}^{\pi }{\sqrt {\dfrac {R\,\left[1-\cos(\theta )\right]}{g\,\left[\cos(\theta _{0})-\cos(\theta )\right]}}}\;d\theta \;$ ......Évaluation de la période du mouvement du pendule cycloïdal : il est intéressant de passer en angle moitié pour calculer cette intégrale en utilisant $\;{\sqrt {1-\cos(\theta )}}=$ ${\sqrt {2\;\sin ^{2}\!\left({\dfrac {\theta }{2}}\right)}}={\sqrt {2}}\;\sin \!\left({\dfrac {\theta }{2}}\right)\;$ d'une part, et d'autre part, $\;{\sqrt {\cos(\theta _{0})-\cos(\theta )}}={\sqrt {\left[1+\cos(\theta _{0})\right]-\left[1+\cos(\theta )\right]}}={\sqrt {2\,\left[\cos ^{2}\!\left({\dfrac {\theta _{0}}{2}}\right)-\cos ^{2}\!\left({\dfrac {\theta }{2}}\right)\right]}}\;$ soit finalement $\;{\sqrt {\dfrac {1-\cos(\theta )}{\cos(\theta _{0})-\cos(\theta )}}}\;d\theta =2\;{\dfrac {\sin \!\left({\dfrac {\theta }{2}}\right)\,d\!\left({\dfrac {\theta }{2}}\right)}{\sqrt {\cos ^{2}\!\left({\dfrac {\theta _{0}}{2}}\right)-\cos ^{2}\!\left({\dfrac {\theta }{2}}\right)}}}=-2\;{\dfrac {d\!\left[\cos \!\left({\dfrac {\theta }{2}}\right)\right]}{\sqrt {\cos ^{2}\!\left({\dfrac {\theta _{0}}{2}}\right)-\cos ^{2}\!\left({\dfrac {\theta }{2}}\right)}}}\;$ et par suite, en reportant dans l'expression de $\;{\mathcal {T}}\;$ sous forme intégrale, $\;{\mathcal {T}}=-8\;{\sqrt {\dfrac {R}{g}}}\;\displaystyle \int _{\theta =\theta _{0}}^{\theta =\pi }{\dfrac {d\!\left[\cos \!\left({\dfrac {\theta }{2}}\right)\right]}{\sqrt {\cos ^{2}\!\left({\dfrac {\theta _{0}}{2}}\right)-\cos ^{2}\!\left({\dfrac {\theta }{2}}\right)}}}\;$ soit, avec la nouvelle variable $\;u=\cos \!\left({\dfrac {\theta }{2}}\right)\;$ variant de $\;\cos \!\left({\dfrac {\theta _{0}}{2}}\right)=u_{0}\;$ à $\;\cos \!\left({\dfrac {\pi }{2}}\right)=0$, la réécriture de la période sous $\;{\mathcal {T}}=-8\;{\sqrt {\dfrac {R}{g}}}\;\displaystyle \int _{u_{0}}^{0}{\dfrac {du}{\sqrt {u_{0}^{2}-u^{2}}}}=8\;{\sqrt {\dfrac {R}{g}}}\;\displaystyle \int _{0}^{u_{0}}{\dfrac {du}{\sqrt {u_{0}^{2}-u^{2}}}}=8\;{\sqrt {\dfrac {R}{g}}}\;\displaystyle \int _{{\frac {u}{u_{0}}}=0}^{{\frac {u}{u_{0}}}=1}{\dfrac {d\!\left({\dfrac {u}{u_{0}}}\right)}{\sqrt {1-\left({\dfrac {u}{u_{0}}}\right)^{\!\!2}}}}=8\;{\sqrt {\dfrac {R}{g}}}\;\left[\arcsin \!\left({\dfrac {u}{u_{0}}}\right)\right]_{{\frac {u}{u_{0}}}=0}^{{\frac {u}{u_{0}}}=1}\;$ et encore $\;{\mathcal {T}}=8\;{\sqrt {\dfrac {R}{g}}}\,\left[\arcsin(1)\;{\cancel {-\arcsin(0)}}\right]=8\;{\sqrt {\dfrac {R}{g}}}\;{\dfrac {\pi }{2}}\;$ soit finalement $\;{\mathcal {T}}=4\;\pi \;{\sqrt {\dfrac {R}{g}}}\;$ indépendant de $\;\theta _{0}\;$ d'où « isochronisme des oscillations ». ......La période des petites oscillations d'un pendule pesant simple (P.P.S.) de longueur $\;l\;$ dans un champ de pesanteur terrestre uniforme d'intensité de la pesanteur $\;g\;$ valant $\;{\mathcal {T}}_{P.P.S.}=2\;\pi \;{\sqrt {\dfrac {l}{g}}}\;$ et la période du pendule cycloïdal pouvant s'écrire $\;{\mathcal {T}}=2\;\pi \;{\sqrt {\dfrac {4\;R}{g}}}$, nous en déduisons la longueur du P.P.S. à « petites oscillations » synchrone du pendule cycloïdal : $\;l_{\text{synch. du P.Cycl.}}=4\;R$.

 

Mouvement conservatif d'un point matériel sur le demi-axe Ox à profil d'énergie potentielle fixé

......Soit un point matériel $\;M$, de masse $\;m$, en mouvement conservatif sur le demi-axe $\;{\overrightarrow {Ox}}$, d'abscisse $\;x>0\;$ et soumis à une résultante de force dérivant de l'énergie potentielle $\;U(x)=-{\dfrac {k}{x}}+{\dfrac {A}{2\;x^{2}}}$, $\;k\;$ et $\;A\;$ étant des constantes $\;>0$.

Détermination de la nature du mouvement du point matériel par étude de son diagramme d'énergies potentielle et mécanique

......Initialement le point matériel $\;M\;$ étant lâché de $\;M_{0}\;$ d'abscisse $\;x_{0}\;$ avec la vitesse initiale $\;{\dot {x}}_{0}$, tracer les diagrammes d'énergies potentielle et mécanique de $\;M\;$ suivant la valeur de son énergie mécanique initiale $\;E_{m,\,0}$,

......déterminer la position d'équilibre de $\;M\;$ en explicitant l'abscisse $\;x_{\text{éq}}\;$ de cette dernière en fonction de $\;k\;$ et de $\;A\;$ puis

......préciser à quelle condition sur $\;E_{m,\,0}\;$ le mouvement de $\;M\;$ est oscillatoire autour de cette position d'équilibre.

Solution

Tracé du diagramme d'énergies potentielle et mécanique d'un point matériel se déplaçant sur le demi-axe Ox en étant soumis à la force conservative dérivant de l'énergie potentielle U(x) = -k/x + A/(2x²), exemples d'état lié et d'état de diffusion

......Pour tracer la courbe d'énergie potentielle $\;(\Gamma _{u})\;$ il faut connaître d'abord la variation de $\;U(x)=-{\dfrac {k}{x}}+{\dfrac {A}{2\;x^{2}}}\;$ en fonction de $\;x\;$ et pour cela calculer sa dérivée dans le but d'étudier le signe de cette dernière $\;{\dfrac {dU}{dx}}(x)={\dfrac {k}{x^{2}}}-2\;{\dfrac {A}{2\;x^{3}}}={\dfrac {k\;x-A}{x^{3}}}$, ce qui représente l'opposé de la composante sur $\;{\vec {u}}_{x}\;$ de la force conservative $\;{\vec {F}}(x)=F_{x}(x)\;{\vec {u}}_{x}\;$ dérivant de l'énergie potentielle $\;U(x)\;$ soit $\;{\dfrac {dU}{dx}}(x)=-F_{x}(x)\;$ d'où :

• $\;{\dfrac {dU}{dx}}(x)=-F_{x}(x)\;$ s'annule pour $\;x_{\text{éq}}={\dfrac {A}{k}}$, cette abscisse étant celle de la position d'équilibre du point $\;M$,
• pour $\;x\in \left]0\,,\,x_{\text{éq}}\right[\;$ la dérivée $\;{\dfrac {dU}{dx}}(x)=-F_{x}(x)\;$ est $\;<0\;$ ce qui, correspondant à $\;F_{x}(x)>0$, est associé à une force répulsive par rapport au point $\;O$, l'énergie potentielle $\;U(x)\;$ y étant une fonction $\;\searrow \;$ de $\;\lim \limits _{x\,\rightarrow \,0}\left[U(x)\sim {\dfrac {k}{x}}\right]=+\infty \;$ à $\;U(x_{\text{éq}})$ $=-{\dfrac {k}{\dfrac {A}{k}}}+{\dfrac {A}{2\,\left({\dfrac {A}{k}}\right)^{\!2}}}=-{\dfrac {k^{2}}{2\;A}}<0\;$ et
• pour $\;x\in \left]x_{\text{éq}}\,,\,+\infty \right[\;$ la dérivée $\;{\dfrac {dU}{dx}}(x)=-F_{x}(x)\;$ est $\;>0\;$ ce qui, correspondant à $\;F_{x}(x)<0$, est associé à une force attractive par rapport au point $\;O$, l'énergie potentielle $\;U(x)\;$ y étant une fonction $\;\nearrow \;$ de $\;U(x_{\text{éq}})=-{\dfrac {k^{2}}{2\;A}}<0\;$ à $\;\lim \limits _{x\,\rightarrow \,+\infty }\left[U(x)\sim -{\dfrac {A}{2\;x^{2}}}\right]=0^{-}$ ;

......le mouvement du point matériel $\;M\;$ étant conservatif , on peut lui appliquer l'intégrale 1^ère énergétique correspondant à la conservation de son énergie mécanique $\;E_{m}(t)=$ $K_{M}(t)+U\!\left[x(t)\right]={\dfrac {1}{2}}\;m\;{\dot {x}}^{2}\!(t)-{\dfrac {k}{x(t)}}+{\dfrac {A}{2\;x^{2}\!(t)}}\;$ soit, les C.I. du point matériel $\;M\;$ étant $\;x(0)=x_{0}\;$ et $\;{\dot {x}}(0)={\dot {x}}_{0}\;$ pour une énergie mécanique initiale $\;E_{m,\,0}=$ $K_{M}(0)+U(x_{0})\geqslant U(x_{0})\;$ ou encore $\;E_{m,\,0}={\dfrac {1}{2}}\;m\;{\dot {x}}_{0}^{2}-{\dfrac {k}{x_{0}}}+{\dfrac {A}{2\;x_{0}^{2}}}$, l'intégrale 1^ère énergétique suivante $\;E_{m}(t)=E_{m,\,0}\;$ avec $\;E_{m,\,0}\geqslant U(x_{0})\;$ et $\;E_{m}(t)={\dfrac {1}{2}}\;m\;{\dot {x}}^{2}\!(t)-{\dfrac {k}{x(t)}}+{\dfrac {A}{2\;x^{2}\!(t)}}$ ;

......des exemples de courbes d'énergie mécanique $\;(\Gamma _{m})\;$ sont représentés en rouge sur le diagramme ci-dessus à droite, ce sont des droites $\;\parallel \;$ à l'axe des $\;x\;$ d'ordonnée $\;E_{m,\,0}\geqslant \min \limits _{x\,>\,0}U(x)\;$ soit $\;E_{m,\,0}\geqslant U(x_{\text{éq}})=-{\dfrac {k^{2}}{2\;A}}\;$ cette dernière valeur étant $\;<0$.

......L'abscisse $\;x_{\text{éq}}\;$ de la position d'équilibre $\;M_{\text{éq}}\;$ du point matériel $\;M\;$ a été préalablement établie, elle vaut $\;x_{\text{éq}}={\dfrac {A}{k}}\;$ et correspond à un équilibre stable selon les critères de force ou d'énergie potentielle dont la force dérive  ;

......pour que $\;M\;$ soit un oscillateur autour de $\;M_{\text{éq}}$, il est nécessaire que les points courants du diagramme d'énergies potentielle et mécanique rencontrent deux murs d'énergie potentielle :

• celui de gauche est inconditionnel puisque $\;\lim \limits _{x\,\rightarrow \,0^{+}}U(x)=+\infty \;$ et $\;E_{m,\,0}\;$ est de valeur finie $\;\geqslant U(x_{\text{éq}})\;$ d'où, le théorème des valeurs intermédiaires avec $\;U(x)\;$ continue $\;\searrow \;$ sur $\;\left]0\,,\,x_{\text{éq}}\right]$, $\;\exists \,!\;x_{\text{mur de gauche}}\,\in \,\left]0\,,\,x_{\text{éq}}\right]\;$ tel que $\;U(x_{\text{mur de gauche}})=E_{m,\,0}\;\;\forall \;E_{m,\,0}\geqslant U(x_{\text{éq}})\;$ et
• celui de droite n'existe que dans la mesure où $\;E_{m,\,0}\,\in \,\left[U(x_{\text{éq}})\,,\,0\right[\;$ car $\;U(x)\;$ est continue et $\;\nearrow \;$ sur $\;\left[x_{\text{éq}}\,,\,+\infty \right[\;$ avec $\;U(x_{\text{éq}})=-{\dfrac {k^{2}}{2\;A}}<0\;$ d'une part et $\;\lim \limits _{x\,\rightarrow \,+\infty }U(x)=0^{-}\;$ d'autre part d'où l'affirmation d'après le théorème des valeurs intermédiaires  ;

la condition pour que $\;M\;$ oscille autour de $\;M_{\text{éq}}\;$ est donc $\;E_{m,\,0}\,\in \,\left[-{\dfrac {k^{2}}{2\;A}}\,,\,0\right[\;$
et par suite, si $\;E_{m,\,0}\;$ est $\;<0$, $\;M\;$ est dans un état lié
alors que, si $\;E_{m,\,0}\;$ est $\;\geqslant 0$, $\;M\;$ est dans un état de diffusion.

 

Allure des portraits de phase possibles du point matériel

......Pour faciliter le tracé des portraits de phase du point matériel en correspondance avec celui de ses diagrammes d'énergies potentielle et mécanique, on introduit les grandeurs réduites suivantes :

• l'abscisse réduite du point matériel $\;\xi ={\dfrac {x}{x_{\text{éq}}}}$,
• son énergie mécanique initiale réduite $\;\mu _{0}={\dfrac {E_{m,\,0}}{\vert U(x_{\text{éq}})\vert }}\;$ et
• sa vitesse réduite $\;\varpi ={\dfrac {\dot {x}}{\sqrt {\dfrac {2\;\vert U(x_{\text{éq}})\vert }{m}}}}$ ;

......déduire, des diagrammes d'énergies potentielle et mécanique de $\;M$, les portraits de phase correspondant de $\;M\;$ sous leur forme réduite [c'est-à-dire avec $\;\xi \;$ en abscisse et $\;\varpi \;$ en ordonnée] pour les valeurs de $\;\mu _{0}\;$ correspondant à des mouvements de $\;M\;$ différents puis,

......à l'aide d'un calculateur numérique , les tracer sur un même graphique [on pourra faire les tracés pour $\;\mu _{0}=-0,9$, $\;\mu _{0}=-0,5$, $\;\mu _{0}=0$, $\;\mu _{0}=1\;$ et $\;\mu _{0}=2{\big ]}$.

Solution

......Tracé des portraits de phase en grandeurs réduites pour différentes valeurs d'énergie mécanique initiale réduite : de l'intégrale 1^ère énergétique $\;E_{m}(t)=E_{m,\,0}\;$ ou $\;{\dfrac {1}{2}}\;m\;{\dot {x}}^{2}\!(t)-{\dfrac {k}{x(t)}}+{\dfrac {A}{2\;x^{2}\!(t)}}=E_{m,\,0}\;$ on tire l'équation implicite d'un portrait de phase $\;{\dot {x}}^{2}={\dfrac {2\;E_{m,\,0}}{m}}+{\dfrac {2\;k}{m\;x}}-{\dfrac {A}{m\;x^{2}}}$ ou, en introduisant les grandeurs réduites suivantes :

• l'abscisse réduite du point matériel $\;\xi ={\dfrac {x}{x_{\text{éq}}}}={\dfrac {k\;x}{A}}$,
• son énergie mécanique initiale réduite $\;\mu _{0}={\dfrac {E_{m,\,0}}{\vert U(x_{\text{éq}})\vert }}={\dfrac {2\;A\;E_{m,\,0}}{k^{2}}}\;$ et
• sa vitesse réduite $\;\varpi ={\dfrac {\dot {x}}{\sqrt {\dfrac {2\;\vert U(x_{\text{éq}})\vert }{m}}}}={\dfrac {{\sqrt {A\;m}}\;{\dot {x}}}{k}}$,

......l'équation implicite d'un portrait de phase se réécrit $\;{\dfrac {k^{2}}{A\;m}}\;\varpi ^{2}={\dfrac {k^{2}}{A\;m}}\;\mu _{0}+{\dfrac {k^{2}}{A\;m}}\;{\dfrac {2}{\xi }}-{\dfrac {k^{2}}{A\;m}}\;{\dfrac {1}{\xi ^{2}}}\;$ soit, après simplification, $\;\varpi ^{2}=\mu _{0}+{\dfrac {2}{\xi }}-{\dfrac {1}{\xi ^{2}}}$ ;

......le logiciel de calcul numérique utilisé pour tracer les portraits de phase en grandeurs réduites pour différentes valeurs d'énergie mécanique initiale réduite du point matériel étudié est l'un de ceux proposés par le programme à savoir « Scilab » , le programme utilisé est donné ci-dessous ainsi que le tracé obtenu [on vérifie que les portraits de phase pour $\;\mu _{0}=-0,9\;$ et $\;\mu _{0}=-0,5\;$ correspondants à un état lié de $\;M\;$ sont fermés alors que ceux pour $\;\mu _{0}=0$, $\;\mu _{0}=1\;$ et $\;\mu _{0}=2\;$ correspondants à un état de diffusion de $\;M\;$ sont ouverts] …

Tracé des portraits de phase associés au profil d'énergie potentielle U(x) = -k/x + A/(2x²) suivant la valeur de l'énergie mécanique initiale E_{m, 0}, exemples d'état lié et d'état de diffusion

%xi = 0.001:0.02:5.001;

%varpi = -2:0.02:+2;

for i = 1:length(%xi)

......for j = 1:length(%varpi)

............fonction_f = (%varpi(j))^2;

............fonction_g = 2/(%xi(i)) - 1/((%xi(i))^2);

............z(i,j) = fonction_f - fonction_g;

......end

end

contour(x,y,z,[-0.9 -0.5 0 1 2]);

......Commentaire (partiel) des lignes de programme : les portraits de phase étant définis par une équation implicite, on définit trois fonctions :

• la 1^ère notée « fonction_f » correspond à $\;\varpi ^{2}$,
• la 2^nde notée « fonction_g » correspond à $\;{\dfrac {2}{\xi }}-{\dfrac {1}{\xi ^{2}}}\;$ et
• la 3^ème notée $\;z\;$ est la différence des deux, plus précisément $\;z(\xi \,,\,\varpi )=\varpi ^{2}-\left({\dfrac {2}{\xi }}-{\dfrac {1}{\xi ^{2}}}\right)\;$ considérée comme l'équation d'une surface dans l'espace à trois dimensions $\;\left(\xi \,,\,\varpi \,,\,z\right)\;$ puis

......Commentaire (partiel) des lignes de programme : on trace les lignes de niveaux correspondants à $\;z(\xi \,,\,\varpi )=\mu _{0}$, ce qui est obtenu avec la fonction « contour() », les lignes de niveaux étant précisées entre crochets …