En raison de limitations techniques, la typographie souhaitable du titre, «
Exercice : Approche énergétique du mouvement d'un point matériel : Mouvement conservatif
Mécanique 1 (PCSI)/Exercices/Approche énergétique du mouvement d'un point matériel : Mouvement conservatif », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.
......On considère un pendule élastique reposant sur un plan incliné d'un angle
par rapport au plan horizontal tel que le ressort dont il est partiellement composé, supposé idéal [1] et à spires non jointives est disposé de façon à ce que son axe reste toujours parallèle à la ligne de plus grande pente du plan incliné [2] avec son extrémité supérieure
fixe par rapport au plan incliné et son extrémité inférieure supportant un solide supposé ponctuel
de masse
constituant la 2èmepartie du pendule élastique, le contact du solide sur le plan incliné se faisant sans frottement solide ; le ressort est de longueur à vide
et de raideur
;
......l'expérience est réalisée sur Terre dans un champ de pesanteur
supposé uniforme et le solide subit de la part de l'air environnant (air supposé immobile par rapport au plan incliné) une force de frottement fluide linéaire
où
est la vitesse de
par rapport au plan incliné,
une constante positive caractéristique de l'air ainsi que des dimensions et de la forme du solide modélisé en point matériel ;
......on repère le point matériel
par son abscisse
comptée par rapport à sa position d'équilibre choisie comme origine
sur l'axe
du ressort, orienté dans le sens descendant, l'axe
étant
au plan incliné orienté dans le sens ascendant.
Étude énergétique du pendule élastique incliné supposé non amorti (P.E.I.N.A.)[modifier | modifier le wikicode]
......Dans un 1er temps on néglige l'influence de la résistance de l'air sur le pendule.
Détermination de l'énergie potentielle d'oscillation du P.E.I.N.A.[modifier | modifier le wikicode]
......Faire un bilan des forces agissant sur le point matériel
du P.E.I.N.A. en distinguant les deux forces conservatives des autres forces non conservatives puis
......définir les deux énergies potentielles dont dérivent les deux forces conservatives en explicitant chacune en fonction, entre autres, de l'abscisse
du point
, la référence de chacune étant choisie en la position d'équilibre
de
;
......appelant « énergie potentielle d'oscillation de
» notée
, la somme des deux énergies potentielles précédemment définies, expliciter cette dernière en fonction de
et de la raideur
du ressort.
Solution
Pendule élastique non amorti sur plan incliné d'un angle α par rapport au plan horizontal constitué d'un ressort idéal
[1] à axe parallèle à la ligne de plus grande pente supportant un solide assimilé à un point matériel M avec représentation des forces appliquées à ce dernier (3 schémas de description, ressort à vide, pendule à l'équilibre et à un instant quelconque)
......Ci-contre les trois schémas descriptifs habituels représentant le P.E.I.N.A. ainsi que, sur les deux derniers, le bilan des forces appliquées à
:
- schéma inférieur avec ressort à vide de longueur
,
- schéma intermédiaire avec pendule à l'équilibre [la longueur du ressort y est
, la différence
définissant l'allongement à l'équilibre, les forces appliquées à
étant son poids
, la tension du ressort à l'équilibre
et la réaction du plan incliné
car
à l'axe
par absence de frottement solide avec
et
- schéma supérieur avec pendule à un instant
quelconque
[3] définissant l'allongement total à l'instant
avec
l'allongement supplémentaire relativement à la position à l'équilibre, les forces appliquées à
étant son poids
toujours égal à
, la tension du ressort à l'instant
quelconque
et la réaction du plan incliné
car
à l'axe
par absence de frottement solide avec
[4]] ;
......parmi les forces appliquées à
les deux forces conservatives sont
- son poids
dérivant de l'énergie potentielle de pesanteur
où
représente l'altitude de
par rapport à sa position d'équilibre choisie comme référence de
ou, en introduisant l'abscisse
de
avec
,
et
- la tension du ressort
dérivant de l'énergie potentielle élastique
ou, en choisissant comme référence de
la position d'équilibre de
c'est-à-dire
,
[5] ou
après simplifications évidentes ;
......on en déduit l'énergie potentielle d'oscillation du P.E.I.N.A.
ou, après factorisation,
;
......il reste à évaluer
en écrivant la C.N. d'équilibre
soit, après projection sur
,
c'est-à-dire la réécriture de la C.N. d'équilibre selon
;
......reportant l'expression de

dans celle définissant l'énergie potentielle d'oscillation du P.E.I.N.A. on obtient,
avec référence en la position d'équilibre,
[6].
Détermination de l'intégrale 1re énergétique du P.E.I.N.A.[modifier | modifier le wikicode]
......Définir l'énergie mécanique
du point matériel
du P.E.I.N.A. à l'instant
, le point étant en la position d'abscisse
avec la vitesse
puis,
......après avoir vérifié que le mouvement de
est bien « conservatif »,
......expliciter l'intégrale 1re énergétique du point sachant que ce dernier est lâché avec les C.I. [7]
et
.
Solution
......L'énergie mécanique

du point matériel

du P.E.I.N.A. à l'instant

étant définie par
![{\displaystyle \;E_{m}(t)=K(t)+U_{\text{oscill}}\!\left[x(t)\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f7b1fb25c1e8363b0b2728afdaa7c0cab3b0f317)
avec

l'énergie cinétique du point à l'instant

, se réécrit selon
;
......la seule force non conservative étant la réaction

du plan incliné et celle-ci ne travaillant pas car le déplacement élémentaire

du point étant

à la ligne de plus grande pente du plan incliné est

à

d'où
![{\displaystyle \;\delta W\!\left[{\vec {R}}(t)\right]={\vec {R}}(t)\cdot {\overrightarrow {dM}}=0\;\;\forall \;t}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ad7b79fd788791f6d94dee08f27f7a46798ec798)
, on en déduit que le « mouvement du point

est effectivement conservatif » et par suite, qu'on peut lui appliquer l'intégrale
1re énergétique correspondant à la conservation de l'énergie mécanique

dans laquelle

est l'énergie mécanique initiale

laquelle s'écrit encore, l'abscisse et la vitesse étant deux grandeurs continues en absence de force de collision
[8],

d'où la réécriture de l'intégrale
1re énergétique du P.E.I.N.A. selon
.
Étude du mouvement de M associé au P.E.I.N.A. par diagramme d'énergies potentielle et mécanique[modifier | modifier le wikicode]
......Tracer le diagramme d'énergies potentielle et mécanique du point matériel
associé au P.E.I.N.A. puis
......montrer la nature oscillatoire de son mouvement ainsi que
......montrer sa nature périodique ;
......on explicitera la période propre
du P.E.I.N.A. sous forme intégrale et
......on l'évaluera en fonction de la raideur
du ressort et de la masse
du point matériel
.
Solution
Diagramme d'énergies potentielle et mécanique d'un pendule élastique incliné non amorti écarté de a de sa position d'équilibre et lâché sans vitesse initiale avec précision des deux murs d'énergie potentielle
......Ci-contre, dans un même système d'axes, paramètre de position en abscisse et énergie en ordonnée, on trace le diagramme d'énergies potentielle et mécanique du P.E.I.N.A. c'est-à-dire. les deux courbes
- d'énergie potentielle
en bleu ci-contre c'est-à-dire l'ensemble des points
d'abscisse
et d'ordonnée
étant une parabole de concavité positive, de sommet
et d'axe
et
- d'énergie mécanique
en rouge ci-contre c'est-à-dire l'ensemble des points
d'abscisse
et d'ordonnée
étant une droite
à l'axe des
d'ordonnée
;
......on y observe deux murs d'énergie potentielle délimitant les domaines d'abscisses interdites tels que
[9],
- l'un correspondant à
position commune initiale des points génériques
et
d'abscisse
et
- l'autre .correspond à
position symétrique de
par rapport à l'axe des énergies, d'abscisse
;
......ces deux murs d'énergie potentielle interdisent les domaines
et
pour la variation de l'abscisse du point matériel
c'est-à-dire que
est dans un état lié [ceci correspondant à un déplacement possible des points génériques
et
des courbes
et
dans une cuvette (ou puits) d'énergie potentielle].
......Établissement de la nature oscillatoire du mouvement du P.E.I.N.A. :
......
les C.I. [7] étant telles que
et
sont initialement confondus en
sur le mur d'énergie potentielle de droite
, la présence du mur interdisant la croissance de
, nous en déduisons que «
reste constant ou
» ;
......sucor
qui correspond à une position d'arrêt « n'étant pas une position d’équilibre » [10],
ne peut rester constant et par suite
strictement, les points génériques
et
du diagramme d'énergies potentielle et mécanique se déplaçant en s'éloignant du mur d'énergie potentielle de droite (c'est-à-dire vers la gauche) …
......
ces déplacements simultanés engendrant d'abord une croissance continue de
[11] jusqu'au passage de
par
puis une décroissance continue jusqu'à atteindre la valeur nulle lorsque
et
se rejoignent en
point commun du mur d'énergie potentielle de gauche
, la présence de ce mur interdisant la décroissance de
, nous en déduisons que «
reste constant ou
» ;
......sucor
qui correspond à une position d'arrêt « n'étant pas une position d’équilibre » [10],
ne peut rester constant et par suite
strictement, les points génériques
et
du diagramme d'énergies potentielle et mécanique se déplaçant en s'éloignant du mur d'énergie potentielle de gauche (c'est-à-dire vers la droite) …
......
ces déplacements simultanés engendrant d'abord une croissance continue de
[11] jusqu'au nouveau passage de
par
puis une décroissance continue jusqu'à atteindre la valeur nulle lorsque
et
se rejoignent en
point commun du mur d'énergie potentielle de droite
, la présence de ce mur interdisant la croissance de
, nous en déduisons que «
reste constant ou
», ce qui, correspondant exactement à la situation initiale, permet de déduire que ces déplacements simultanés de
et
se poursuivent indéfiniment (en absence d'amortissements) de façon identique …
d'où, en conséquence, la nature oscillatoire du mouvement du P.E.I.N.A..
......Établissement de la nature périodique du mouvement du P.E.I.N.A. :
......Pour déterminer la nature périodique du mouvement du P.E.I.N.A. par utilisation simultanée de son intégrale 1re énergétique et de son diagramme d'énergies potentielle et mécanique, il faut montrer que la durée correspondant au nème aller-retour des points
et
sur
et
de
est indépendant du numéro
de l'aller-retour :
......on utilise d'abord l'intégrale
1re énergétique du mouvement du P.E.I.N.A.

avec

avec les mêmes C.I.
[7] que précédemment et

d'où
[12] et par suite on peut exprimer
la durée élémentaire
correspondant à une variation élémentaire
de l'abscisse
du point
selon
[13], [12] ;
......dans un 2ème temps on utilise le diagramme d'énergies potentielle et mécanique pour faire le choix entre
et
suivant le sens de déplacement des points
et
dans la cuvette (ou puits) d'énergie potentielle soit :
......
pour le nème aller des points
et
de
à
,
d'où
correspondant à
est
[13], la durée totale du nème aller s'obtenant alors par intégration selon
[14] ;
......
pour le nème retour des mêmes points de
à
,
d'où
correspondant à
est
[13], la durée totale du nème retour s'obtenant aussi par intégration selon
[14] ;
......on déduit de ce qui précède la durée de la n
ème oscillation du point

,

soit finalement
[14] indépendante de
(la fonction à intégrer ainsi que les bornes d'intégration en étant indépendantes),
ce qui établit la nature périodique du mouvement d'oscillations de
.
......Expression de la période du P.E.I.N.A. sous forme intégrale et son évaluation : La période

du mouvement d'oscillations de

étant la durée d'un aller-retour des points

et

de

à

en passant par

, elle s'écrit
[14], [15].
......Expression de la période du P.E.I.N.A. sous forme intégrale et son évaluation : Pour évaluer la période
[14], on met
en facteur dans le dénominateur de la fonction à intégrer soit
[14] d'où, en posant
, la réécriture de la période sous forme intégrale utilisant la nouvelle variable
[14] ;
......Expression de la période du P.E.I.N.A. sous forme intégrale et son évaluation : le calcul de l'intégrale généralisée
[14] peut être achevé car
admet pour primitive
[16] d'où
et par suite
[17].
Propriété du mouvement de M associé au P.E.I.N.A. au passage par la position d'équilibre[modifier | modifier le wikicode]
......Vérifier que la vitesse du point
associé au P.E.I.N.A. est de valeur absolue maximale au passage par la position d'équilibre et
......l'évaluer en fonction de la raideur
du ressort, de la masse
du point matériel
et de l'abscisse initiale
de ce dernier.
Solution
......Sur le diagramme d'énergies potentielle et mécanique du P.E.I.N.A. on observe que l'énergie cinétique de ce dernier est maximale lors de ses passages par la position d'équilibre car
[11] y est effectivement maximal et par suite la valeur absolue de sa vitesse y est aussi maximale en prenant pour valeur
;
......on détermine cette dernière par conservation de l'énergie mécanique avec

soit

dont on déduit la valeur absolue de la vitesse du P.E.I.N.A. lors de ses passages par la position d'équilibre
[18].
Étude énergétique du pendule élastique incliné amorti (P.E.I.A.)[modifier | modifier le wikicode]
......Dans un 2ème temps on tient compte de la résistance de l'air sur le pendule tout en considérant son influence comme faible
on définit la pulsation propre du P.E.I.A.
et son cœfficient d'amortissement
faible soit
.
Conséquence énergétique de la nature non conservative du mouvement de M associé au P.E.I.A.[modifier | modifier le wikicode]
......après avoir vérifié que le mouvement de
est bien « non conservatif »,
......appliquer le théorème de la puissance mécanique au point matériel
associé au P.E.I.A. et
......en déduire l'évolution de l'énergie mécanique
de
en fonction du temps
à partir des mêmes C.I. [7]
et
[on ne demande qu'une étude qualitative et non quantitative].
Solution
Pendule élastique amorti sur plan incliné d'un angle α par rapport au plan horizontal constitué d'un ressort idéal
[1] à axe parallèle à la ligne de plus grande pente supportant un solide assimilé à un point matériel M avec représentation des forces appliquées à ce dernier [3 schémas de description, ressort à vide, pendule à l'équilibre et à un instant quelconque avec précision (à part) du sens de la vitesse pour ce dernier
......Ci-contre les trois schémas descriptifs habituels représentant le P.E.I.A. ainsi que, sur les deux derniers, le bilan des forces appliquées à
[seul le schéma supérieur diffère relativement à ceux précédemment réalisés pour le P.E.I.N.A., en effet s'y ajoute la résistance de l'air
représentée en supposant
;
......parmi ces quatre forces agissant sur
, deux sont toujours conservatives (poids de
et tension du ressort sur le point) et deux sont non conservatives (réaction du plan incliné sur
et résistance de l'air agissant sur le point) ; toutefois la réaction du plan incliné sur le point ne développant aucun travail, le caractère « non conservatif » du mouvement du P.E.I.A. est dû au fait que la résistance de l'air développe une puissance généralement non nulle
[19] ;
......l'introduction des frottements de l'air ne modifiant pas les forces conservatives agissant sur le P.E.I., ni la condition d'équilibre de ce dernier
, on définit toujours, pour le P.E.I.A.,
- une énergie potentielle d'oscillation
en choisissant pour référence de cette dernière « la position d'équilibre du P.E.I.A. » ainsi que
- une énergie mécanique
;
......le mouvement du P.E.I.A. étant non conservatif, l'intégrale 1re énergétique n'existe pas, elle est remplacée par une équation résultant de l'application à
et à l'instant
du théorème de la puissance mécanique dans le référentiel galiléen lié au plan incliné
ou encore
;
......de cette équation
on en déduit que l'énergie mécanique est une fonction
au sens large de
:
- à
sa valeur étant
avec
[la vitesse (et aussi l'abscisse) étant une grandeur continue en absence de force de collision [20]] n'est pas maintenue, cette position initiale n'étant pas la position d'équilibre donc
strictement jusqu'à ce que la vitesse du P.E.I.A. redevienne nulle [21] mais ceci se produisant en une position différente de la position d'équilibre, le mouvement reprend dans l'autre sens avec une énergie mécanique instantanée plus faible donc une abscisse de valeur absolue
puis
continue de
strictement jusqu'à ce que la vitesse du P.E.I.A. soit de nouveau nulle [21] mais ceci se produisant en une position différente de la position d'équilibre, le mouvement reprend dans le sens initial avec une énergie mécanique instantanée plus faible donc une abscisse de valeur absolue
…
- cette décroissance stricte de
se poursuivant en théorie indéfiniment mais en pratique jusqu'à ce que les oscillations d'amplitude de plus en plus faible ne soient plus détectables.
Étude du mouvement de M associé au P.E.I.A. par diagramme d'énergies potentielle et mécanique[modifier | modifier le wikicode]
......Tracer l'allure du diagramme d'énergies potentielle et mécanique du point matériel
associé au P.E.I.A.
pour justifier le tracé de la courbe d'énergie mécanique
on explicitera
en fonction de
et
et on précisera la variation de sa valeur absolue en fonction de l'abscisse commune des points génériques
et
des courbes d'énergies potentielle
et mécanique
puis,
......commenter ce diagramme pour en déduire qualitativement le mouvement du point matériel
associé au P.E.I.A..
Solution
Diagramme d'énergies potentielle et mécanique d'un pendule élastique incliné amorti écarté de a de sa position d'équilibre et lâché sans vitesse initiale avec précision des murs d'énergie potentielle successifs en regard
......Ci-contre, dans un même système d'axes, paramètre de position en abscisse et énergie en ordonnée, on trace le diagramme d'énergies potentielle et mécanique du P.E.I.A. c'est-à-dire. les deux courbes
- d'énergie potentielle
en bleu ci-contre identique à celle tracée dans le diagramme d'énergies potentielle et mécanique du P.E.I.N.A. et
- d'énergie mécanique
en rouge ci-contre c'est-à-dire l'ensemble des points
d'abscisse
et d'ordonnée
étant une courbe
au sens large, que
soit
ou
, à partir du point
; pour tracer cette courbe il convient d'évaluer sa pente en son point générique
d'abscisse
et d'ordonnée
, soit
; nous en déduisons les propriétés suivantes de la tangente à
au point générique
:
......
elle est
à l'axe des
aux points
et
correspondant à
à l'arrêt [22], ces points
et
étant respectivement les points d'intersection d'abscisse positive et négative des courbes d'énergie potentielle
et d'énergie mécanique
,
......
en tout autre point
la pente de la tangente à
y est
,
......~succ en tout autre point Pm elle est positive quand le paramètre de position
c'est-à-dire quand
se déplace vers la gauche et
......~succ en tout autre point Pm elle est négative quand le paramètre de position
c'est-à-dire quand
se déplace vers la droite, enfin
......
la pente de la tangente à
est extrémale aux points
associés aux instants où la vitesse de
est de valeur absolue
maximale c'est-à-dire là où l'énergie cinétique du P.E.I.A.
est maximale [23] [cela correspond aussi aux instants tels que
[11] est maximal [24]] ;
......on y observe successivement un couple de murs d'énergie potentielle en regard délimitant les domaines d'abscisses interdites tels que
[9], ces composantes du couple étant d'autant plus rapprochées que
est grand.
......Finalement on en déduit que le mouvement du P.E.I.A. est pseudo-oscillatoire mais, si l'étude par diagramme d'énergies potentielle et mécanique est « très concrète qualitativement », elle ne permet d'obtenir les résultats quantitatifs obtenus par résolution de l'équation différentielle du 2ème ordre [25].
Schéma d'un pendule cycloïdal constitué d'un point matériel M en liaison bilatérale sans frottement sur une cycloïde droite inversée
[26] lâché de M
0 sans vitesse initiale dans un champ de pesanteur uniforme
......Un point matériel
de masse
est assujetti à se déplacer dans le plan vertical
sur la portion de cycloïde dont les équations paramétriques sont :
avec
[27] (voir ci-contre).
......À la date
, on lâche
de
, de paramètre angulaire
sans vitesse initiale ; il est soumis au champ de pesanteur
uniforme et se déplace en liaison bilatérale sans frottement sur la portion de cycloïde.
Intégrale 1re énergétique du mouvement du point matériel M[modifier | modifier le wikicode]
......Après avoir vérifié que le point matériel
est bien « à mouvement conservatif » expliciter l'intégrale 1re énergétique du mouvement de ce point en fonction, entre autres, de
et de sa dérivée temporelle.
Solution
Schéma d'un pendule cycloïdal constitué d'un point matériel M en liaison bilatérale sans frottement sur une cycloïde droite inversée
[26] lâché de M
0 sans vitesse initiale dans un champ de pesanteur uniforme avec représentation des forces appliquées
......Les forces appliquées à
étant
- son poids
, force conservative dérivant de l'énergie potentielle de pesanteur
, la constante dépendant du choix de la référence et
- la réaction
de la cycloïde sur le point
, force non conservative ne développant aucun travail en absence de frottement car
est
au vecteur déplacement élémentaire
le long de la cycloïde,
......on vérifie effectivement que le mouvement du point
est « conservatif » ;
......on peut alors appliquer, comme intégrale 1re énergétique, la conservation de l'énergie mécanique du point
en définissant celle-ci à l'instant
par
avec
en prenant comme référence
[28] soit encore, en y reportant
et après simplification,
et
soit, après simplification évidente,
d'où
soit finalement
,
......l'énergie mécanique initiale valant
![{\displaystyle \;E_{m,\,0}={\cancel {K_{M}(0^{+})\;+}}\;U_{\text{pes}}(\theta _{0}^{+})=m\;g\;R\,\left[1+\cos(\theta _{0})\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b9ab3414412ac5907dcd49dc53dfb8365b848d4c)
, l'intégrale
1re énergétique du pendule cycloïdal

se réécrit
ou
.
Établissement, par diagramme d'énergies potentielle et mécanique du point matériel M, de la nature oscillatoire puis périodique du mouvement de ce dernier et évaluation de sa période ainsi que de la longueur du pendule pesant simple synchrone[modifier | modifier le wikicode]
......Tracer le diagramme d'énergies potentielle et mécanique du point matériel
et en déduire :
- la nature oscillatoire du mouvement de ce dernier ainsi que
- sa nature périodique ;
......expliciter la période
du mouvement du pendule cycloïdal sous forme intégrale puis
......la calculer et
......vérifier qu'il y a « isochronisme des oscillations » du pendule cycloïdal.
......Préciser la longueur du pendule pesant simple à « petites oscillations » [29] qui lui est synchrone.
Solution
Diagramme d'énergies potentielle et mécanique d'un pendule cycloïdal constitué d'un point matériel M en liaison bilatérale sans frottement sur une cycloïde droite inversée
[26] et lâché, sans vitesse initiale, de la position M
0 repérée par θ
0, avec représentation des deux murs d'énergie potentielle
......Tracé du diagramme d'énergies potentielle et mécanique : voir ci-contre
la courbe d'énergie potentielle
est en noir, c'est une portion de sinusoïde définie sur
[30] et celle d'énergie mécanique
en rouge, c'est un segment de droite
à l'axe des
d'ordonnée
.
......Établissement de la nature oscillatoire du mouvement du pendule cycloïdal : la nature oscillatoire du mouvement de
découle de l'existence d'un puits d'énergie potentielle [c'est-à-dire deux murs d'énergie potentielle en regard] dans lequel les points génériques
et
de
et
ne peuvent sortir [31], [32] :
- tout d'abord les points
et
sont sur l'intersection de
et
c'est-à-dire le mur d'énergie potentielle de gauche d'abscisse
, l'énergie cinétique y étant nulle, le point
est en situation de repos mais n'y reste pas car ce n'est pas une position d'équilibre,
et
se déplacent vers la droite [seule possibilité en accord avec
[11]] et ceci jusqu'à l'autre intersection de
et
c'est-à-dire le mur d'énergie potentielle de droite d'abscisse
[symétrique du mur d'énergie potentielle de gauche par rapport à l'axe de symétrie de la portion de cycloïde à savoir
où l'énergie cinétique est redevenue nulle, mais
- le point
temporairement en situation de repos n'y reste pas car ce n'est pas une position d'équilibre,
et
se déplacent vers la gauche [seule possibilité en accord avec
[11]] et ceci jusqu'à la 1re intersection de
et
c'est-à-dire le mur d'énergie potentielle de gauche d'abscisse
où l'énergie cinétique est de nouveau nulle, …
- nous avons donc une succession de déplacements de
et
vers la droite puis vers la gauche correspondant à des oscillations de
autour de la position repérée par
, cette position étant en fait la position (unique) d'équilibre
car c'est le seul endroit où le poids de
étant
à la cycloïde peut être compensé par la réaction
de celle-ci sur
.
......Établissement de la nature périodique du mouvement du pendule cycloïdal : pour cela on évalue la durée du nème aller-retour de
et
dans la cuvette d'énergie potentielle et on montre qu'elle ne dépend pas de
[33] soit :
- durée du nème aller :
avec
obtenu par intégrale 1re énergétique d'où,
étant
dans cette phase,
[34] et par suite
[14],
- durée du nème retour :
avec la même expression de
d'où,
étant
dans cette phase,
[34] et par suite
[14] égale à la durée du nème aller
[35],
- finalement la durée du nème aller-retour
est effectivement indépendante de n ce qui montre la nature périodique du mouvement du pendule cycloïdal.
......Expression de la période du mouvement du pendule cycloïdal sous forme intégrale : la période

étant la durée d'un aller-retour nous en déduisons
[36]
......Évaluation de la période du mouvement du pendule cycloïdal : il est intéressant de passer en angle moitié pour calculer cette intégrale en utilisant
[37] d'une part, et d'autre part,
![{\displaystyle \;{\sqrt {\cos(\theta _{0})-\cos(\theta )}}={\sqrt {\left[1+\cos(\theta _{0})\right]-\left[1+\cos(\theta )\right]}}={\sqrt {2\,\left[\cos ^{2}\!\left({\dfrac {\theta _{0}}{2}}\right)-\cos ^{2}\!\left({\dfrac {\theta }{2}}\right)\right]}}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8a9556a9944f6a7bfb25405dbc42d0ae9a5ae289)
soit finalement
![{\displaystyle \;{\sqrt {\dfrac {1-\cos(\theta )}{\cos(\theta _{0})-\cos(\theta )}}}\;d\theta =2\;{\dfrac {\sin \!\left({\dfrac {\theta }{2}}\right)\,d\!\left({\dfrac {\theta }{2}}\right)}{\sqrt {\cos ^{2}\!\left({\dfrac {\theta _{0}}{2}}\right)-\cos ^{2}\!\left({\dfrac {\theta }{2}}\right)}}}=-2\;{\dfrac {d\!\left[\cos \!\left({\dfrac {\theta }{2}}\right)\right]}{\sqrt {\cos ^{2}\!\left({\dfrac {\theta _{0}}{2}}\right)-\cos ^{2}\!\left({\dfrac {\theta }{2}}\right)}}}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/281a6c6ea6defeb930df237fae34581d7dfe4222)
et par suite, en reportant dans l'expression de

sous forme intégrale,
![{\displaystyle \;{\mathcal {T}}=-8\;{\sqrt {\dfrac {R}{g}}}\;\displaystyle \int _{\theta =\theta _{0}}^{\theta =\pi }{\dfrac {d\!\left[\cos \!\left({\dfrac {\theta }{2}}\right)\right]}{\sqrt {\cos ^{2}\!\left({\dfrac {\theta _{0}}{2}}\right)-\cos ^{2}\!\left({\dfrac {\theta }{2}}\right)}}}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d977c3452b848caa5c5a5b588009e816fc4f385a)
soit, avec la nouvelle variable

variant de

à

, la réécriture de la période sous
[38] et encore
![{\displaystyle \;{\mathcal {T}}=8\;{\sqrt {\dfrac {R}{g}}}\,\left[\arcsin(1)\;{\cancel {-\arcsin(0)}}\right]=8\;{\sqrt {\dfrac {R}{g}}}\;{\dfrac {\pi }{2}}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/61fc9a88d53bf1f1fb0b53f59adf4a2b99169457)
soit finalement
indépendant de
d'où « isochronisme des oscillations ».
......La période des petites oscillations
[29] d'un pendule pesant simple (P.P.S.) de longueur

dans un champ de pesanteur terrestre uniforme d'intensité de la pesanteur

valant

et la période du pendule cycloïdal pouvant s'écrire

, nous en déduisons
la longueur du P.P.S. à « petites oscillations » [29] synchrone du pendule cycloïdal :
.
Mouvement conservatif d'un point matériel sur le demi-axe Ox à profil d'énergie potentielle fixé[modifier | modifier le wikicode]
......Soit un point matériel
, de masse
, en mouvement conservatif sur le demi-axe
, d'abscisse
et soumis à une résultante de force dérivant de l'énergie potentielle
,
et
étant des constantes
.
Détermination de la nature du mouvement du point matériel par étude de son diagramme d'énergies potentielle et mécanique[modifier | modifier le wikicode]
......Initialement le point matériel
étant lâché de
d'abscisse
avec la vitesse initiale
, tracer les diagrammes d'énergies potentielle et mécanique de
suivant la valeur de son énergie mécanique initiale
,
......déterminer la position d'équilibre de
en explicitant l'abscisse
de cette dernière en fonction de
et de
puis
......préciser à quelle condition sur
le mouvement de
est oscillatoire autour de cette position d'équilibre.
Solution
Tracé du diagramme d'énergies potentielle et mécanique d'un point matériel se déplaçant sur le demi-axe Ox en étant soumis à la force conservative dérivant de l'énergie potentielle U(x) = -k/x + A/(2x
2), exemples d'état lié et d'état de diffusion
......Pour tracer la courbe d'énergie potentielle
il faut connaître d'abord la variation de
en fonction de
et pour cela calculer sa dérivée dans le but d'étudier le signe de cette dernière
, ce qui représente l'opposé de la composante sur
de la force conservative
dérivant de l'énergie potentielle
soit
[39] d'où :
s'annule pour
, cette abscisse étant celle de la position d'équilibre du point
,
- pour
la dérivée
est
ce qui, correspondant à
, est associé à une force répulsive par rapport au point
, l'énergie potentielle
y étant une fonction
de
à
et
- pour
la dérivée
est
ce qui, correspondant à
, est associé à une force attractive par rapport au point
, l'énergie potentielle
y étant une fonction
de
à
;
......le mouvement du point matériel

étant conservatif
[40], on peut lui appliquer l'intégrale
1re énergétique correspondant à la conservation de son énergie mécanique
![{\displaystyle K_{M}(t)+U\!\left[x(t)\right]={\dfrac {1}{2}}\;m\;{\dot {x}}^{2}\!(t)-{\dfrac {k}{x(t)}}+{\dfrac {A}{2\;x^{2}\!(t)}}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2a76e8f70fe1edfafec9a46d242a7bc7af58f4b3)
soit, les C.I.
[7] du point matériel

étant

et

pour une énergie mécanique initiale

ou encore

, l'intégrale
1re énergétique suivante
avec
et
;
......des exemples de courbes d'énergie mécanique
sont représentés en rouge sur le diagramme ci-dessus à droite, ce sont des droites
à l'axe des
d'ordonnée
soit
cette dernière valeur étant
.
......L'abscisse
de la position d'équilibre
du point matériel
a été préalablement établie, elle vaut
et correspond à un équilibre stable selon les critères de force [41] ou d'énergie potentielle dont la force dérive [42] ;
......pour que
soit un oscillateur autour de
, il est nécessaire que les points courants du diagramme d'énergies potentielle et mécanique rencontrent deux murs d'énergie potentielle :
- celui de gauche est inconditionnel puisque
et
est de valeur finie
d'où, le théorème des valeurs intermédiaires [43] avec
continue
sur
,
tel que
et
- celui de droite n'existe que dans la mesure où
car
est continue et
sur
avec
d'une part et
d'autre part d'où l'affirmation d'après le théorème des valeurs intermédiaires [43] ;
la condition pour que
oscille autour de
est donc
et par suite, si
est
,
est dans un état lié
alors que, si
est
,
est dans un état de diffusion.
Allure des portraits de phase possibles du point matériel[modifier | modifier le wikicode]
......Pour faciliter le tracé des portraits de phase du point matériel en correspondance avec celui de ses diagrammes d'énergies potentielle et mécanique, on introduit les grandeurs réduites suivantes :
- l'abscisse réduite du point matériel
,
- son énergie mécanique initiale réduite
et
- sa vitesse réduite
;
......déduire, des diagrammes d'énergies potentielle et mécanique de
, les portraits de phase correspondant de
sous leur forme réduite [c'est-à-dire avec
en abscisse et
en ordonnée] pour les valeurs de
correspondant à des mouvements de
différents puis,
......à l'aide d'un calculateur numérique [44], les tracer sur un même graphique [on pourra faire les tracés pour
,
,
,
et
.
Solution
......Tracé des portraits de phase en grandeurs réduites pour différentes valeurs d'énergie mécanique initiale réduite : de l'intégrale 1re énergétique
ou
on tire l'équation implicite d'un portrait de phase
ou, en introduisant les grandeurs réduites suivantes :
- l'abscisse réduite du point matériel
,
- son énergie mécanique initiale réduite
et
- sa vitesse réduite
,
......l'équation implicite d'un portrait de phase se réécrit

soit, après simplification,
;
......le logiciel de calcul numérique utilisé pour tracer les portraits de phase en grandeurs réduites pour différentes valeurs d'énergie mécanique initiale réduite du point matériel étudié est l'un de ceux proposés par le programme à savoir « Scilab » [45], le programme utilisé [46] est donné ci-dessous ainsi que le tracé obtenu [on vérifie que les portraits de phase pour
et
correspondants à un état lié de
sont fermés alors que ceux pour
,
et
correspondants à un état de diffusion de
sont ouverts] …
Tracé des portraits de phase associés au profil d'énergie potentielle U(x) = -k/x + A/(2x
2) suivant la valeur de l'énergie mécanique initiale E
m, 0, exemples d'état lié et d'état de diffusion
%xi = 0.001:0.02:5.001;
%varpi = -2:0.02:+2;
for i = 1:length(%xi)
......for j = 1:length(%varpi)
............fonction_f = (%varpi(j))^2;
............fonction_g = 2/(%xi(i)) - 1/((%xi(i))^2);
............z(i,j) = fonction_f - fonction_g;
......end
end
contour(x,y,z,[-0.9 -0.5 0 1 2]);
......Commentaire (partiel) des lignes de programme : les portraits de phase étant définis par une équation implicite, on définit trois fonctions :
- la 1re notée « fonction_f » correspond à
,
- la 2nde notée « fonction_g » correspond à
et
- la 3ème notée
est la différence des deux, plus précisément
considérée comme l'équation d'une surface dans l'espace à trois dimensions
puis
......Commentaire (partiel) des lignes de programme : on trace les lignes de niveaux correspondants à
, ce qui est obtenu avec la fonction « contour() », les lignes de niveaux étant précisées entre crochets …
- ↑ 1,0 1,1 et 1,2 C'est-à-dire parfaitement élastique et sans masse.
- ↑ Pour cela on dispose d'un guide empêchant toute déviation de l'axe, l'action entre le guide et le ressort se faisant en absence de tout frottement solide.
- ↑ Sur le schéma
est représenté
mais il pourrait être
;
...il est rappelé qu'il est fortement conseillé de toujours représenter, sur un schéma, les grandeurs algébriques sous leur aspect positif de façon à éviter des erreurs de signe (toujours très fréquentes) consécutives à leur représentation sous leur aspect négatif.
- ↑ Nous devons supposer, a priori, que
pourrait être
de
même si finalement ces composantes sont égales.
- ↑ En effet
.
- ↑ C'est-à-dire la même expression que le pendule élastique soit horizontal, vertical ou incliné pourvu que
soit l'abscisse, sur l'axe du ressort, du point
par rapport à sa position d'équilibre et que cette dernière soit la référence de l'énergie potentielle totale.
- ↑ 7,0 7,1 7,2 7,3 et 7,4 Conditions Initiales.
- ↑ D'où
et
.
- ↑ 9,0 et 9,1 La justification de ces zones interdites étant que
doit être
[on rappelle la signification de
: « est représenté par (ou représente) »].
- ↑ 10,0 et 10,1 Les positions d'équilibre d'un point matériel à un degré de liberté soumis à force motrice conservative étant telles qu'elles correspondent à une énergie potentielle stationnaire relativement à la variation de leur variable de position (c'est-à-dire à dérivée nulle par rapport à cette variable) voir le paragraphe « généralisation de la définition de positions d'équilibre d'un P.P.S. à partir de son diagramme d'énergie potentielle à celle de positions d'équilibre d'un point matériel à un degré de liberté … » du chapitre
de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) ».
- ↑ 11,0 11,1 11,2 11,3 11,4 et 11,5 ...La signification de
étant « est représenté par (ou représente) » (l'échelle de représentation devant être précisée si une utilisation quantitative est faite, ici ce serait une échelle d'énergie identique à celle utilisée pour les ordonnées du diagramme énergétique).
- ↑ 12,0 et 12,1 Le choix entre
et
dépend du sens de variation de la variable de position [ou, ce qui revient au même, du sens de déplacement de
et
sur
et
.
- ↑ 13,0 13,1 et 13,2 Cette expression n'étant définie que si
, dans le cas où
est égale à
la nullité du dénominateur nécessite un numérateur également nul pour assurer une forme indéterminée permettant une valeur de
non infinie,
correspondant alors à un état stationnaire de
(plus précisément l'une ou l'autre des bornes de l'intervalle de variation de
pour laquelle la vitesse est effectivement nulle), la levée de la forme indéterminée
conduisant à une valeur infiniment petite proportionnelle à
.
- ↑ 14,0 14,1 14,2 14,3 14,4 14,5 14,6 14,7 14,8 et 14,9 Voir le paragraphe « intégrale généralisée d'une fonction continue par morceaux sur un intervalle fermé à l'exception d'au moins une des bornes pour laquelle la fonction diverge » du chapitre
de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
- ↑ La fonction à intégrer étant paire on a
.
- ↑ Voir le paragraphe « fonction inverse de la fonction sinus : fonction arcsinus » du chapitre
de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
- ↑ La détermination de l'équation différentielle du 2ème ordre du P.E.I.N.A. pouvant être obtenue en dérivant l'intégrale 1re énergétique
par rapport au temps avec
et
, donnant finalement
après simplification par
non identiquement nulle, ou, en normalisant,
soit l'équation différentielle d'un oscillateur harmonique non amorti de pulsation propre
et de période propre
correspondant effectivement à l'évaluation de la période sous forme intégrale.
- ↑ Ou encore
avec
pulsation propre du P.E.I.N.A. …
- ↑ La puissance développée par
est non nulle sauf temporairement aux endroits où le point a une vitesse nulle c'est-à-dire change de sens de mouvement.
- ↑ D'où
[et aussi
.
- ↑ 21,0 et 21,1 Voir le diagramme d'énergies potentielle et mécanique du P.E.I.A. à la question suivante.
- ↑ En effet la vitesse de
y est nulle d'où
.
- ↑ Ces points étant des points d'inflexion pour la courbe d'énergie mécanique
.
- ↑ Comme on peut le vérifier sur le diagramme ce n'est pas au passage par la position d'équilibre.
- ↑ Voir le paragraphe « réponses transitoires en élongation du P.E.V.A. suivant le cœfficient d'amortissement σ » du chapitre
de la leçon « Signaux physiques (PCSI) »
le fait que, dans le paragraphe précité, le pendule soit vertical et non incliné n'ayant aucune influence sur le résultat comme on peut le vérifier en déterminant l'équation différentielle du P.E.I.A. à partir de
puisque l'énergie mécanique de ce dernier a la même expression que celle du P.E.V.A. du chapitre précité
.
- ↑ 26,0 26,1 et 26,2 Une cycloïde droite, aussi appelée roue d'Aristote ou roulette de Pascal, est la courbe plane, trajectoire d'un point fixé sur un cercle qui roule sans glisser sur une droite (appelée directrice de la cycloïde droite) ; ici la cycloïde droite est dite inversée car sa directrice se trouve au-dessus de la cycloïde.
Schéma explicatif du paradoxe de la roue d'Aristote : si le cercle bleu roulait sur une droite (violette) il roulerait en glissant
...Appeler « roue d'Aristote » une cycloïde est en fait un abus de langage faisant référence
- d'une part à la construction de cette dernière comme trajectoire d'un point
fixé sur un disque
de centre
,
étant
,
roulant sans glisser sur une droite (la cycloïde étant « droite » si
est choisi sur la circonférence du disque) et
- d'autre part au paradoxe de la « roue d'Aristote » c'est-à-dire une roue de rayon
(représentée ci-contre par le cercle rouge) roulant sans glisser sur une route (représentée ci-contre par la droite marron) parcourant une longueur
par tour et son moyeu de rayon
(représenté ci-contre par le cercle bleu), évidemment solidaire de la roue, parcourant la même longueur
par tour soit
pourquoi n'a-t-on pas
? Réponse : si le cercle bleu roulait sur une droite (violette), il roulerait en y glissant …
...Aristote (384 av J.C. - 322 av J.C.) philosophe grec de l'Antiquité, il est l'un des rares à avoir abordé presque tous les domaines de connaissance de son temps : la biologie, la physique, la métaphysique, la logique, la poétique, la politique, la rhétorique et même l'économie …
...Une cycloïde est encore appelée « roulette de Pascal » par référence au titre de l'ouvrage que Blaise Pascal lui consacra en
à savoir le traité de la roulette (signé avec son nom de plume Amos Dettonville) ;
...Blaise Pascal (1623 - 1662) mathématicien, physicien, inventeur, philosophe, moraliste et théologien français ; ses premiers travaux contribuèrent à clarifier la notion de pression et de vide mais il est aussi l'inventeur de la 1re machine à calculer ainsi qu'un mathématicien de premier ordre (il a publié à