Leçons de niveau 14

Mécanique 1 (PCSI)/Loi de la quantité de mouvement : Quantité de mouvement

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Quantité de mouvement d'un point matériel, lien avec son vecteur vitesse[modifier | modifier le wikicode]

Bien que nous devrions parler de «~vecteur quantité de mouvement~», l'usage suggère de dire simplement «~quantité de mouvement~».

1ère grandeur d'inertie d'un point matériel, la masse du point matériel[modifier | modifier le wikicode]

......La 1ère grandeur d'inertie [1] d'un point matériel est «~sa masse~» notée , grandeur scalaire et exprimée en  ;
......cette grandeur dépend de la nature et de la quantité de matière de l'objet modélisé par le point [2].

......Signification physique : Deux points distincts qui ont le même mouvement mais des masses différentes ne doivent pas être considérés comme équivalents du point de vue de la mécanique car ils n'ont pas les mêmes «~réserves~», il est en effet «~plus difficile de dévier le point ayant la plus grande masse~» [3] ;

......Signification physique : on en déduit la nécessité d'introduire, pour caractériser ces comportements différents du point, des grandeurs «~cinétiques associées au point~» [4] et qui décrivent simultanément le «~mouvement~» [5] et l'«~inertie~» [6].

......La masse «~d'inertie~» caractérise le point et «~garde la même valeur par changement de référentiel~», on dit que «~la masse inerte est invariante par changement de référentiel~» [7].

1ère grandeur cinétique d'un point matériel, le (vecteur) quantité de mouvement du point matériel[modifier | modifier le wikicode]

......Le (vecteur) quantité de mouvement du point matériel est usuellement noté ou sans rappeler l'instant de définition ou encore quand il n'y a pas d'ambiguïté sur le point, il est défini dans le référentiel d'étude cinématique où le point possède, à l'instant , un vecteur vitesse .

Définition du (vecteur) quantité de mouvement du point matériel dans le cadre de la cinétique newtonienne[modifier | modifier le wikicode]

......En cinétique newtonienne c.-à-d. si le point étudié est de vecteur vitesse de norme petite relativement à , la vitesse de la lumière dans le vide, soit ou, en pratique et approximativement, en travaillant à près [8], le (vecteur) quantité de mouvement du point matériel de masse (inerte) et de vecteur vitesse à l'instant dans le référentiel d'étude, est la grandeur vectorielle

 ;

......En cinétique newtonienne ~ on peut donc dire que cette grandeur traduit une «~réserve de mouvement inertiel~» [9] dans la mesure où elle tient compte de l'inertie d'une part elle est à la masse d'inertie du point et du mouvement d'autre part elle est au vecteur vitesse du point c.-à-d. qu'elle à la même direction, le même sens le cœfficient de proportionnalité étant et que sa norme est à celle du vecteur vitesse du point.

......Le (vecteur) quantité de mouvement de dépend, comme son vecteur vitesse, du référentiel d'étude [10] ;
......ses composantes (et sa norme) s'expriment en  ;

......en cinétique newtonienne, cette grandeur cinétique vectorielle «~quantité de mouvement~» est liée à la grandeur cinématique vectorielle «~vitesse~» et à la grandeur d'inertie scalaire «~masse~» selon

.

Définition du (vecteur) quantité de mouvement du point matériel dans le cadre de la cinétique relativiste[modifier | modifier le wikicode]

La définition dans le cadre de la cinétique relativiste n'est pas explicitement au programme de physique de PCSI, toutefois cette notion apparaissant, sous forme d'approche documentaire, dans l'étude du mouvement d'une particule chargée dans un champ électrique ou magnétique [11], il semble utile la connaître.

......Si la cinétique newtonienne ne s'applique pas c.-à-d. si le point étudié est de vecteur vitesse de norme non petite relativement à , la vitesse de la lumière dans le vide, soit ou, en pratique et approximativement, en travaillant à près [12], on définit, dans le cadre de la cinétique relativiste, le (vecteur) quantité de mouvement du point matériel de masse (inerte) et de vecteur vitesse à l'instant dans le référentiel d'étude , comme la grandeur vectorielle

dans laquelle
est appelé «~facteur de Lorentz~» [13] du point dans son mouvement dans le référentiel  ;

......en cinétique relativiste, nous pouvons toujours considérer la grandeur cinétique vectorielle «~quantité de mouvement~» comme le produit de la grandeur cinématique vectorielle «~vitesse~» par une grandeur d'inertie scalaire nommée «~masse apparente~» qui n'est plus invariante par changement de référentiel [14] mais qui est telle que quand [15], la masse apparente devenant quand , vitesse de la lumière dans le vide [16].

......Établissement de la condition de vitesse pour que la cinétique newtonienne soit applicable [17] : si la particule est non relativiste c.-à-d. si , on peut alors définir comme infiniment petit d'ordre un et développer le facteur de Lorentz relativement à cet infiniment petit ce qui donne à l'ordre un en [18], [19] ou encore à l'ordre deux l'infiniment petit d'ordre un d'où à près si soit finalement si .
......Établissement de la condition de vitesse pour que la cinétique newtonienne soit applicable ~ : ~ En conclusion :

  • si ou si c.-à-d. la mesure de la vitesse exprimée en unité [20] est telle que , la cinétique newtonienne est applicable à moins de près d'où
    ,
  • si ou si c.-à-d. la mesure de la vitesse exprimée en unité [20] est telle que , la cinétique relativiste doit être utilisée [21] d'où
    [22] avec
    vecteur unitaire tangentiel à la trajectoire,
    la mesure de la vitesse exprimée en unité [20] et
    le facteur de Lorentz pouvant être réécrit .

......Cinétique ultra relativiste c.-à-d. quand la norme du vecteur vitesse est voisine de sa valeur maximale ou quand sa vitesse relative est voisine de  : dans ce cas, la notion de vitesse instantanée n'a plus réellement de sens car une augmentation notable de entraîne une augmentation infime de la vitesse instantanée ayant pratiquement atteint sa valeur limite ne peut augmenter que d'une quantité très petite, et par suite la notable de ne peut se manifester que par une importante de la masse apparente (c.-à-d. de l'inertie) ;

......Cinétique ultra relativiste vérifions cela quantitativement en posant [23] avec définissant un infiniment petit d'ordre un et cherchons à exprimer le facteur de Lorentz en fonction de cet infiniment petit ; d'abord [24] implique dont on déduit le facteur de Lorentz et par suite la masse apparente qui quand  ;
......Cinétique ultra relativiste on en déduit [25] soit finalement

avec ,
étant le D.L. de qui tend donc vers [26].

Résultante cinétique d'un système de points matériels, définition[modifier | modifier le wikicode]

Le programme de physique de PCSI parle de «~quantité de mouvement~» d'un système de points matériels au lieu de «~résultante cinétique~» [27].

Masse d'un système de points matériels (définie comme 1ère grandeur d'inertie associé au système)[modifier | modifier le wikicode]

......La masse d'un système de points matériels est définie comme la somme des masses des points matériels le constituant c.-à-d.

 ;

......si le système est fermé, c.-à-d. si , sa masse est constante ;

......si le système est ouvert, étant défini comme le contenu intérieur d'une surface de contrôle , pouvant varier, il en est de même de la masse du système :

  • s'il y a entrée de points matériels à l'intérieur de ,
  • s'il y a sortie de points matériels à l'intérieur de et
  • restant constante s'il y a écoulement stationnaire à travers , la masse des points entrant étant égale à la masse des points sortant pendant la même durée [28].

......Remarque : Dans le cas d'un système continu de matière limité par la surface [29], la conservation de la masse d'un système fermé reste valable mais
......Remarque : la masse d'un système ouvert peut varier selon la même loi que celle d'un système discret de points matériels ouvert (voir ci-dessus) ;

......Remarque : la masse d'un système continu de matière fermé limité par la surface est définie par avec la masse volumique au point et à l'instant [30] ;

......Remarque : si le système continu de matière fermé est indéformable (c.-à-d. si c'est un solide), la masse volumique au point ne dépend pas de et la surface limitant le système non plus, la définition de la masse du système est alors  ;

......Remarque : la masse d'un système continu de matière ouvert de surface de contrôle est définie, à l'instant par avec la masse volumique au point et à l'instant [31].

Définition de la résultante cinétique d'un système de points matériels, 1ère grandeur cinétique associée au système[modifier | modifier le wikicode]

......La résultante cinétique d'un système de points matériels en mouvement dans le référentiel , chaque point étant de quantité de mouvement à l'instant est définie, à cet instant , comme la somme des quantités de mouvement au même instant des points matériels le constituant c.-à-d.

applicable en cinétiques newtonienne ou relativiste ;
en cinétique newtonienne la résultante cinétique se réécrit [32] avec
le vecteur vitesse du point à l'instant dans  ;

......si le système est fermé, c.-à-d. si , sa résultante cinétique ne dépend que la modification du mouvement des points le constituant ;

......si le système est ouvert, étant défini comme le contenu intérieur d'une surface de contrôle , pouvant varier, sa résultante cinétique peut varier :

  • par entrée ou sortie de points matériels accompagnée d'une entrée ou sortie de leur quantité de mouvement et (ou)
  • par modification du mouvement des points initialement présents.

......Remarque : Dans le cas d'un système continu de matière limité par la surface [29], la résultante cinétique d'un système fermé ou ouvert peut varier selon les mêmes causes que celles d'un système discret de points matériels fermé ou ouvert (voir ci-dessus) ;

......Remarque : la résultante cinétique d'un système continu de matière fermé limité par la surface est définie par avec la quantité de mouvement volumique au point et à l'instant [33], [34] si le système continu de matière fermé est indéformable (c.-à-d. si c'est un solide), la surface limitant le système ne dépend pas de et la définition de la résultante cinétique du système s'écrit alors avec la quantité de mouvement volumique s'écrivant, en cinétique newtonienne, , la masse volumique au point ne dépendant pas de mais le vecteur vitesse au point et à l'instant pouvant en dépendre ;

......Remarque : la résultante cinétique d'un système continu de matière ouvert de surface de contrôle est définie, à l'instant par avec la quantité de mouvement volumique au point et à l'instant [35] en cinétique newtonienne la quantité de mouvement volumique s'écrit encore , avec la masse volumique au point devant dépendre de dans la mesure où il peut y avoir entrée ou sortie de matière.

Lien entre la résultante cinétique et le vecteur vitesse du centre d'inertie d'un système de points matériels fermé[modifier | modifier le wikicode]

Le programme de physique de PCSI n'exige la démonstration de ce lien que pour un système de deux points matériels, mais
celle-ci n'étant pas plus compliquée pour un système de points avec , nous n'utiliserons pas cette restriction.

Énoncé du lien entre résultante cinétique et vecteur vitesse du centre d'inertie d'un système de points matériels fermé[modifier | modifier le wikicode]

......Dans le cadre de la cinétique newtonienne, la résultante cinétique d'un système de points matériels fermé définie à l'instant dans le référentiel est liée au vecteur vitesse du C.D.I. [36] du système au même instant dans le même référentiel par

[37], [38].

Démonstration[modifier | modifier le wikicode]

...... étant un point fixe du référentiel d'étude , le vecteur position du C.D.I. [36] du système de points matériels fermé est tel que  ;

......dérivant cette relation par rapport à et compte-tenu de la linéarité de l'opération dérivation on obtient [39] ou, en utilisant la définition des vecteurs vitesses, , le 2ème membre définissant la résultante cinétique du système de points matériels en cinétique newtonienne, la propriété énoncée est donc démontrée.

......Remarque : si on considère un système continu de matière fermé et indéformable (c.-à-d. un solide), le vecteur position du C.D.I. [36] du système d'expansion tridimensionnelle est tel que [40] ;

......Remarque : dérivant cette relation par rapport à et compte-tenu de la linéarité de l'opération dérivation (encore applicable relativement envers les opérations d'intégration) on obtient [41] ou, en utilisant la définition des vecteurs vitesses, , le 2ème membre définissant la résultante cinétique du système continu de matière fermé et indéformable en cinétique newtonienne, d'où

la résultante cinétique du système continu de matière fermé et indéformable
s'écrit, à l'instant et dans le référentiel , selon en cinétique newtonienne.

Notes et références[modifier | modifier le wikicode]

  1. Les grandeurs d'inertie d'un point étant des grandeurs caractérisant le point dans sa possibilité de s'opposer à son mouvement, plus une grandeur d'inertie sera grande, plus le mouvement du point sera difficile à modifier.
  2. Bien que la notion de quantité de matière nécessite une certaine étendue de l'objet de façon à pouvoir dénombrer (en théorie) les entités le constituant, cela n'interdit pas que ce dernier soit modélisé par un point dans une étude particulière, en effet la modélisation est considérée comme possible si la taille de l'objet est petite relativement aux autres longueurs intervenant dans le problème, par exemple la Terre peut être assimilée à un point matériel si on étudie son déplacement dans le système solaire.
  3. La difficulté de modifier le mouvement d'un point définit son «~inertie~», plus c'est difficile pour un mouvement donné plus l'inertie du point est grande ;
    ...on peut d'ailleurs ajouter le qualificatif «~inerte~» ou «~d'inertie~» à cette grandeur «~masse~» pour la distinguer d'une autre grandeur également appelée «~masse~» mais qui caractérise le point dans ses propriétés d'attraction gravitationnelle et pour laquelle on ajoute alors le qualificatif «~grave~» ou «~de gravitation~» ;
    ...bien que la «~masse grave~» et la «~masse inerte~» caractérisent des propriétés différentes d'un point, elles ont (à l'heure actuelle) des mesures identiques à près on a en effet vérifié à près le fait que l'accélération de chute libre dans un champ de pesanteur uniforme est indépendant de la nature de l'objet, ceci entraînant que le rapport «~masse grave~» sur «~masse inerte~» est une constante pour tous les objets à près, il est alors possible, par choix d'unités, de choisir cette constante égale à et d'identifier les deux masses ;
    ...des mesures plus poussées sont prévues lancement en avril du satellite français «~Microscope~» acronyme de Micro-satellite à traînée compensée pour l'observation du principe d'équivalence pour une mission financée et pilotée par le CNES dans le but de confirmer ou d'infirmer l'identité des mesures à près en décembre de premiers résultats intermédiaires suggèrent une identité des mesures à au moins près  ;
    ...l'identité des masses «~grave~» et «~inerte~», connue sous le nom de «~principe d'équivalence~» est un des piliers de la théorie de la Relativité Générale énoncée par Albert Einstein en Albert Einstein (1879 - 1955), physicien théoricien d'origine allemande, devenu apatride en puis suisse en  ; on lui doit la théorie de la relativité restreinte publiée en , la relativité générale en ainsi que bien d'autres avancées dans le domaine de la mécanique quantique et la cosmologie ; il a reçu le prix Nobel de physique en pour son explication de l'effet photoélectrique
  4. Vous en connaissez déjà une «~l'énergie cinétique~» vue dans les chapitres concernant l'oscillateur harmonique (amorti ou non) de la leçon «~Signaux physiques (PCSI)~».
  5. Mouvement défini grâce à une grandeur cinématique comme «~le vecteur-vitesse~», sa norme intervenant effectivement dans la définition de la grandeur cinétique déjà vue l'«~énergie cinétique~».
  6. Inertie définie grâce à une grandeur d'inertie comme «~la masse (inerte)~» qui intervient effectivement dans la définition de la grandeur cinétique déjà vue l'«~énergie cinétique~».
  7. Cela reste vrai en cinétique relativiste contrairement à ce qu'on entend parfois disant que la masse avec la vitesse mais ceci est faux, la masse dépend de la quantité de matière et celle-ci reste la même quel que soit le référentiel choisi.
  8. Plus précisément pour que l'erreur commise en utilisant la cinétique newtonienne au lieu de la cinétique relativiste soit inférieure à , justification au paragraphe suivant «~définition du (vecteur) quantité de mouvement du point matériel dans le cadre de la cinétique relativiste~».
  9. C'est encore le cas en cinétique relativiste avec une dépendance au mouvement différente.
  10. La dépendance de la quantité de mouvement relativement au changement de référentiel résulte de l'indépendance de la masse inerte et de la dépendance du vecteur vitesse
  11. Voir le chap. «~mouvement de particules chargées dans des champs électrique et magnétique~» de la leçon «~Mécanique 1 (PCSI)~».
  12. Plus précisément pour que l'erreur commise en utilisant la cinétique newtonienne au lieu de la cinétique relativiste ne soit pas inférieure à , justification ci-dessous dans ce paragraphe.
  13. Hendrik Antoon Lorentz (1853 - 1928) physicien néerlandais principalement connu pour ses travaux sur l'électromagnétisme, il a laissé son nom aux «~transformations dites de Lorentz~» en fait les équations définitives des transformations de Lorentz ont été formulées en par Henri Poincaré après avoir été introduites sous forme tâtonnante par quelques physiciens dont Hendrik Lorentz dès pour ce dernier, transformations utilisées dans la théorie de la relativité restreinte élaborée par Albert Einstein en  ;
    ...Hendrik Lorentz partagea, en , le prix Nobel de physique avec Pieter Zeeman (1865 - 1943) physicien néerlandais pour leurs recherches sur l'influence du magnétisme sur les phénomènes radiatifs Pieter Zeeman ayant découvert l'effet qui porte son nom en .
    ...Henri Poincaré (1854 - 1912) mathématicien, physicien, philosophe et ingénieur français à qui on doit des résultats d'importance en calcul infinitésimal, des avancées sur le problème à trois corps qui font de lui un des fondateurs de l'étude qualitative des systèmes d'équations différentielles et de la théorie du chaos, une participation active à la théorie de la relativité restreinte ainsi qu'à la théorie des systèmes dynamiques
    ...Albert Einstein (1879 - 1955), physicien théoricien d'origine allemande, devenu apatride en puis suisse en  ; on lui doit la théorie de la relativité restreinte publiée en , la relativité générale en ainsi que bien d'autres avancées dans le domaine de la mécanique quantique et la cosmologie ; il a reçu le prix Nobel de physique en pour son explication de l'effet photoélectrique.
  14. Par contre on rappelle que la masse d'inertie est invariante par changement de référentiel.
  15. Mais notez bien que ce n'est absolument pas la masse d'un objet qui croît avec la norme du vecteur vitesse de ce dernier car sa masse d'inertie garde une valeur constante quelle que soit la vitesse de l'objet
  16. Dans toutes les situations la masse apparente d'un objet est supérieure ou égale à sa masse d'inertie.
  17. À la quantité de mouvement et à moins de près.
  18. Donc à l'ordre deux en l'infiniment petit d'ordre un .
  19. Voir «~D.L. à l'ordre un de quelques fonctions usuelles~» du chap. de la leçon «~Outils mathématiques pour la physique (PCSI)~» utilisé ici pour à l'ordre un en avec .
  20. 20,0, 20,1 et 20,2 Appelée, dans le cadre de la cinétique relativiste, «~vitesse relative~».
  21. L'utilisation de la cinétique newtonienne à mauvais escient entraînant une erreur de plus de .
  22. Pouvant encore s'écrire avec la «~masse apparente~», le vecteur vitesse, étant la vitesse instantanée et la vitesse relative c.-à-d. la mesure de la vitesse instantanée en unité .
  23. étant évidemment .
  24. Voir «~D.L. à l'ordre un de quelques fonctions usuelles~» du chap. de la leçon «~Outils mathématiques pour la physique (PCSI)~» utilisé ici pour à l'ordre un en avec et changé en son opposé.
  25. Quand on fait des développements limités, il faut toujours s'assurer que l'on n'a pas supprimé auparavant des infiniment petits de même ordre ou d'ordre inférieur à ceux qui apparaissent à cet instant ;
    ...par exemple ici et par suite ce dernier terme supprimé dans le D.L. de étant de même ordre que le 2ème terme qui apparaît dans le D.L. de , il est impératif de supprimer ce 2ème terme sous peine d'erreurs dans le D.L. final concernant cet ordre
  26. En cinétique ultra relativiste, pratiquement seule la masse apparente varie, la vitesse restant quasiment constante n'a plus aucun intérêt ; une augmentation notable de s’accompagne d'une stagnation de la vitesse et d'une augmentation importante de l'inertie.
  27. L'avantage de l'emploi du terme «~résultante cinétique~» est de rappeler qu'il s'agit d'une somme des quantités de mouvement de chaque point matériel ;
    ...toutefois, le programme rend licite l'emploi de «~quantité de mouvement d'un système de points matériels~» même si je ne partage pas ce point de vue.
  28. On peut également définir l'écoulement stationnaire comme un écoulement tel que le débit massique entrant soit égal au débit massique sortant les deux s'exprimant en .
  29. 29,0 et 29,1 Celle-ci étant la surface limitant l'expansion tridimensionnelle d'un système fermé ou la surface de contrôle dont l'intérieur définit un système ouvert.
  30. La surface limite devant aussi dépendre de si la masse volumique en dépend car la masse d'un système fermé doit rester constante,
    ...par exemple le système constitué d'un ballon de baudruche contenant de l'air et montant dans l'atmosphère a son enveloppe se dilatant simultanément à la masse volumique de l'air intérieur au ballon diminuant pendant l'ascension de ce dernier, la surface limitant son contenu devant évidemment croître de façon à assurer la constance de la masse d'air.
  31. La surface de contrôle étant fixe ne dépend pas de mais dans la mesure où il peut y avoir entrée ou sortie de matière, la masse volumique au point doit, quant à elle, dépendre de  ;
    ...s'il y a entrée de matière , s'il y a sortie de matière et en cas d'écoulement stationnaire reste constante.
  32. L'expression en cinétique relativiste est nettement moins conviviale dans laquelle est le facteur de Lorentz du point à l'instant dans le référentiel  ;
    ...toutefois cette expression n'est pratiquement jamais utilisée car, en dynamique relativiste pour un point matériel il s'agit de la dynamique faisant le lien entre cause du mouvement inertiel (ou non) et ce dernier quand la norme du vecteur vitesse est , la cinématique perd toute son importance au profit de la cinétique en particulier en cinétique newtonienne d'un point matériel le vecteur accélération est à la résultante dynamique alors qu'en cinétique relativiste le vecteur accélération est a priori à la résultante dynamique , cette dernière étant à la dérivée temporelle de la quantité de mouvement d'où la perte d'intérêt de la cinématique au profit de la cinétique.
  33. La surface limite dépendant de si le volume du système fermé varie.
  34. La quantité de mouvement volumique s'écrit encore, en cinétique newtonienne, est la masse volumique du milieu au point et à l'instant et le vecteur vitesse du point au même instant .
  35. La surface de contrôle étant fixe ne dépend pas de mais dans la mesure où il peut y avoir entrée ou sortie de matière, la quantité de mouvement volumique au point doit, quant à elle et à l'exception de cas très particuliers, dépendre de .
  36. 36,0, 36,1 et 36,2 Centre D'Inertie.
  37. C'est aussi la quantité de mouvement à l'instant et dans le référentiel du point fictif affecté du cœfficient «~masse du système ~».
  38. Pour que cette propriété soit encore applicable à un système continu de matière fermé, celui-ci doit être aussi indéformable.
  39. pour un système fermé, la dérivée temporelle de est donc que multiplie la dérivée temporelle de mais ce serait faux pour un système ouvert, c'est donc la raison pour laquelle le lien entre résultante cinétique et vecteur vitesse du C.D.I. n'est applicable que pour un système fermé.
  40. La masse volumique au point est indépendante de car le système est supposé indéformable.
  41. Le système continu de matière étant fermé sa masse est constante et le système étant indéformable sa masse volumique au point générique est indépendante de d'où l'explication de la dérivée temporelle de chaque membre.