Leçons de niveau 14

Mécanique 1 (PCSI)/Loi de la quantité de mouvement : Principe fondamental de la dynamique et théorème de la résultante cinétique

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Loi de la quantité de mouvement : Principe fondamental de la dynamique et théorème de la résultante cinétique
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Chapitre no 9
Leçon : Mécanique 1 (PCSI)
Chap. préc. :Loi de la quantité de mouvement : Principe de l'inertie et référentiels galiléens
Chap. suiv. :Loi de la quantité de mouvement : Mouvement dans le champ de pesanteur uniforme
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Sommaire

Principe fondamental de la dynamique du point matériel[modifier | modifier le wikicode]

Le principe fondamental de la dynamique du point matériel ne se limite pas à sa relation fondamentale (ou loi de la quantité de mouvement) mais
postule qu'il existe un référentiel galiléen où cette dernière s'applique.

Causes de modification de la grandeur cinétique « quantité de mouvement » d'un point matériel[modifier | modifier le wikicode]

......Le point matériel subit l'«~action du reste de l'Univers~» et «~c'est sous cette action qu'il peut y avoir modification de son mouvement~», mais, en pratique, «~seuls quelques systèmes ont une influence non négligeable~» ;

......on décrit l'«~action du système sur ~» par le «~vecteur force noté ou plus simplement ~» et appelé «~force que exerce sur ~» ; ses diverses composantes et sa norme s'expriment en Newton  ; cette force dépend «~des natures respectives de et ~», «~des positions et parfois des vitesses de et des éléments constitutifs de dans le référentiel d'étude ~» [1].

......En conclusion, les causes de modification de la grandeur cinétique «~quantité de mouvement ~» d'un point matériel sont «~les forces notées plus simplement appliquées au point ~», de norme exprimée en .

......Propriétés : On postule, en «~dynamique newtonienne~» [2], que «~ est invariant par changement de référentiel~» [3] ;
......Propriétés : une conséquence est que «~ dépend de la position relative de par rapport aux éléments constitutifs de ~» [4] et,
......Propriétés : une conséquence est ~ si «~ dépend des vitesses de et de celles des éléments constitutifs de ~», il s'agit en fait de la «~vitesse relative de par rapport aux éléments constitutifs de ~».

......Propriétés : On admet l'«~additivité des vecteurs forces~» dans la mesure où «~les auteurs de ces derniers sont «~disjoints~» [5] ;
......Propriétés : ainsi pour faire le «~bilan des forces agissant sur ~», on recherche les «~différents systèmes disjoints~» et
......Propriétés : ainsi «~si chaque système , pris isolément, exerce une force sur ~», on postule que
......Propriétés : ainsi l'«~action simultanée de l'ensemble des systèmes est modélisée le vecteur force ~».

......Rappel : Parmi les systèmes ayant une action sur , il y a :

  • ceux en contact avec qui exercent des forces de contact et
  • ceux séparés de par de l'espace qui exercent des forces à distance [6], [7].

Principe fondamental de la dynamique ou « p.f.d. »[modifier | modifier le wikicode]

Énoncé du « p.f.d. »[modifier | modifier le wikicode]

Le principe fondamental de la dynamique (ou «~p.f.d.~») a été énoncé pour la 1ère fois en par Newton [8],
les anglo-saxons le connaissent sous le nom de 2ème loi de Newton [8], [9].
Début d’un théorème


Fin du théorème

Commentaires sur le « p.f.d. »[modifier | modifier le wikicode]

......Un point matériel modélise un solide dont la position est repérée à l'aide de trois paramètres (les coordonnées du point) ;
......Un point matériel modélise un solide se confondra avec un point matériel si on peut négliger ses dimensions propres par rapport aux autres dimensions intervenant dans le repérage (exemple : la Terre dans son repérage par rapport au système solaire est un point matériel, mais la Terre par rapport à un satellite artificiel ne l'est, bien sûr, pas).

......Symboliquement la relation fondamentale de la dynamique ou «~r.f.d.~» peut s'écrire, dans tout référentiel galiléen, selon

.

Autre forme de la relation fondamentale spécifique à la dynamique newtonienne, la « r.f.d.n. »[modifier | modifier le wikicode]

......Préliminaire : Pour obtenir un lien entre forces appliquées et cinématique du point matériel , il convient de remplacer le vecteur quantité de mouvement du point à l'instant par son expression en fonction de son inertie c.-à-d. la masse (inerte) de ce dernier et de sa vitesse au même instant , expression s'écrivant

  • en cinétique newtonienne et
  • en cinétique relativiste avec le facteur de Lorentz [11] associé ;

......Préliminaire : si la dérivée temporelle du vecteur quantité de mouvement ne pose aucun problème en cinétique newtonienne, la masse (inerte) du point étant constante, il n'en est pas de même en cinétique relativiste car la masse apparente ne l'est a priori pas [12]

......En cinétique newtonienne, avec le vecteur accélération du point à l'instant .

Début d’un théorème


Fin du théorème

Commentaires sur la « r.f.d.n. »[modifier | modifier le wikicode]

......Symboliquement la relation fondamentale de la dynamique newtonienne ou «~r.f.d.n.~» peut être écrite, dans tout référentiel galiléen, selon

.

Nécessité d'utiliser la cinétique en dynamique relativiste, la cinématique rendant la « r.f.d. » inutilisable en pratique à l'exception du cas des mouvements uniformes[modifier | modifier le wikicode]

......En dynamique relativiste si on tente de chercher le lien entre forces appliquées et cinématique du point matériel , il faut dériver temporellement l'expression du vecteur quantité de mouvement du point à l'instant soit dans laquelle est le facteur de Lorentz [11] associé égal à d'où dont le dernier terme avec la masse apparente du point à l'instant et son vecteur accélération ; ainsi on obtient a priori non identiquement nul sauf dans le cas particulier où serait constant c.-à-d. dans le cas d'un mouvement uniforme sur la trajectoire suivie par le point

......Réécriture (inutilisable pratiquement) de la r.f.d. en dynamique relativiste : Dans un référentiel galiléen la somme des forces appliquées à un point matériel à l'instant est liée à la cinématique de ce dernier par la relation dans laquelle

  • est la masse apparente du point à l'instant et
  • que l'on peut encore écrire, en utilisant le repérage de Frenet [13], [14], est la vitesse instantanée à l'instant du point sur sa trajectoire [15] et l'accélération tangentielle de ce dernier [16] ;

......Réécriture (inutilisable pratiquement) de la r.f.d. en dynamique relativiste : finalement la relation fondamentale de la dynamique relativiste en terme cinématique s'écrirait [17] établissant que le vecteur accélération est, en dynamique relativiste, a priori non colinéaire à la somme des forces appliquées, ceci rendant la cinématique relativiste inintéressante relativement à la cinétique relativiste dans la mesure la dérivée temporelle du vecteur quantité de mouvement est, quant à elle, colinéaire à la somme des forces appliquées

......Réécriture de la r.f.d. en dynamique relativiste dans le cas d'un mouvement uniforme : Dans un référentiel galiléen la somme des forces appliquées à un point matériel à l'instant dont le mouvement est uniforme est liée à la cinématique de ce dernier par la relation

,
la masse apparente étant, dans le cas d'un mouvement uniforme, une constante.

......Réécriture de la r.f.d. en dynamique relativiste dans le cas d'un mouvement uniforme : Symboliquement la relation fondamentale de la dynamique relativiste ou «~r.f.d.r.~» du point matériel en mouvement uniforme de vitesse et de masse apparente peut être écrite, dans tout référentiel galiléen, selon

.

Utilisation de la « r.f.d.n. »[modifier | modifier le wikicode]

......Le problème le plus fréquent est la recherche du mouvement du point matériel connaissant les forces s'exerçant sur lui ;

......comme , l'application de la r.f.d.n. nous fournit [18] c.-à-d. une «~équation différentielle (en général non linéaire) du 2ème ordre en ~».

......Nous admettrons que «~si on se donne la position et la vitesse initiales respectivement et ~», la solution de l'équation différentielle du 2ème ordre en existe et est unique.

Retour sur la recherche de référentiels galiléens[modifier | modifier le wikicode]

......Le p.f.d. postule l'«~existence d'un référentiel galiléen où la r.f.d. s'applique~» ; il s’agit donc de «~trouver le référentiel galiléen pour un problème posé~» et en pratique cela dépend du problème ;

......nous avons déjà passé en revue quelques référentiels galiléens dans lesquels le principe de l'inertie peut être appliqué, en sachant que tout référentiel en translation rectiligne uniforme par rapport à un galiléen est lui-même galiléen et la conclusion a été :

  • le meilleur est le «~référentiel de Copernic~», restant galiléen sur une échelle de temps inférieure à celle de l'Humanité [19], [20],
  • pour une durée d'expérience ne dépassant pas trois jours, le «~référentiel géocentrique~» est estimé meilleur galiléen [21] car son mouvement de translation circulaire quasi uniforme relativement au référentiel de Copernic peut être assimilé à un mouvement de translation rectiligne uniforme à près [22],
  • pour une durée d'expérience ne dépassant pas , le «~référentiel terrestre~» est estimé meilleur galiléen [21] car son mouvement de rotation uniforme relativement au référentiel géocentrique peut être assimilé à un mouvement local de translation rectiligne uniforme à près [23].

Théorème de la résultante cinétique d'un système fermé de points matériels[modifier | modifier le wikicode]

......Commentaire préliminaire : avec une construction «~minimaliste~» de la dynamique des systèmes fermés de points matériels, la loi énoncée dans le sous-paragraphe suivant et s'appliquant à un système fermé de points matériels est appelée «~théorème de la résultante cinétique~» car elle sera démontrée en appliquant le principe fondamental de la dynamique à chaque point matériel du système et en utilisant le principe des actions réciproques ;

......Commentaire préliminaire : toutefois il existe une autre construction que l'on pourrait qualifier de «~maximaliste~» consistant à admettre la loi énoncée dans le sous-paragraphe suivant et s'appliquant à un système fermé de points matériels, cette loi devant alors être appelée «~principe fondamental de la dynamique des systèmes fermés de points matériels~» [24].

Énoncé[modifier | modifier le wikicode]

Début d’un théorème


Fin du théorème

......Commentaires : ce théorème peut s'appliquer, en dynamique newtonienne ou relativiste, à un système fermé (déformable ou non) de points matériels mais
......Commentaires : il n'est pas applicable, en dynamique newtonienne ou relativiste, à un système ouvert de points matériels défini à l'instant comme le contenu intérieur à la surface de contrôle [25] car, si la résultante cinétique à l'instant du système ouvert intérieur à est effectivement la somme des quantités de mouvement des points matériels qui sont présents dans à cet instant , la grandeur ne traduit que la variation entre et de la somme des quantités de mouvement des points matériels présents dans à l'instant sans tenir compte des points matériels entrant ou sortant sur l'intervalle  ;
......Commentaires : la variation entre et de la résultante cinétique du système ouvert devant être traduite selon dans laquelle d'où , ces deux derniers termes définissant les débits de quantités de mouvement entrant et sortant , on en déduit que le taux horaire de variation de la résultante cinétique du système ouvert défini à l'instant est égal à

Démonstration[modifier | modifier le wikicode]

......Le référentiel d'étude étant galiléen, on peut appliquer à chaque point matériel du système fermé de points matériels la r.f.d. soit

[26] et

......Le référentiel d'étude étant galiléen, on peut faire la somme de ces relations ce qui donne

ou ,
  • le 1er terme du 1er membre étant la résultante dynamique s'exerçant sur le système fermé de points matériels,
  • le 2ème terme du 1er membre, la résultante des forces intérieures exercées sur tout le système, résultante nulle en toute circonstance soit et
  • le 2nd membre, la dérivée temporelle de la résultante cinétique du système fermé de points matériels soit d'où
pour un système fermé de points matériels dans un référentiel galiléen,
ou (C.Q.F.D.) [27],
applicable sous cette forme en dynamique newtonienne ou relativiste.

En complément, inapplicabilité du théorème de la résultante cinétique à un système ouvert de points matériels[modifier | modifier le wikicode]

......Le référentiel d'étude étant galiléen, on peut appliquer à chaque point matériel du système ouvert de points matériels défini, à l'instant , comme le contenu intérieur de la surface de contrôle , la r.f.d. soit

[26] et

......Le référentiel d'étude étant galiléen, on peut faire la somme de ces relations ce qui donne

ou ,
  • le 1er terme du 1er membre étant la résultante dynamique s'exerçant sur le système ouvert de points matériels défini à l'instant ,
  • le 2ème terme du 1er membre, la résultante des forces intérieures exercées sur tout le système ouvert de points matériels défini à l'instant , résultante dont on a établi la nullité au chap. de la leçon «~Mécanique 1 (PCSI)~» [28] soit et
  • le 2nd membre, la dérivée temporelle de la résultante cinétique du système constitué des points matériels initialement présents à l'instant soit dont on a établi la différence avec le taux horaire de variation de la résultante cinétique du système ouvert défini à l'instant qui est égal à [29] et que l'on notera d'où
    ou [30].

......En conclusion, dans un référentiel galiléen, le taux horaire de variation de la résultante cinétique d'un système ouvert défini à l'instant comme le contenu intérieur à la surface de contrôle c.-à-d. n'est pas égal à la résultante dynamique exercée sur le système ouvert soit ce qui se traduit par l'inapplicabilité du théorème de la résultante cinétique à un système ouvert en dynamique newtonienne ou relativiste ;

......En conclusion, en réalité, la relation à appliquer doit être dans laquelle et sont respectivement le débit de quantités de mouvement des points matériels entrant et sortant à l'instant , relation applicable sous cette forme en dynamique newtonienne ou relativiste.

Conséquence sur les systèmes fermés de points matériels « pseudo-isolés » : conservation de leur résultante cinétique[modifier | modifier le wikicode]

......Si le système fermé de points matériels est «~pseudo isolé~» c.-à-d. si la résultante dynamique appliquée au système est telle que , l'application du théorème de la résultante cinétique au système fermé dans un référentiel galiléen implique, après intégration par rapport au temps ,

«~la conservation de la résultante cinétique du système~» [31] soit  ;
cette conclusion est applicable en dynamique newtonienne ou relativiste.

......Remarque (en complément) : Et si le système «~pseudo isolé~» de points matériels défini comme le contenu intérieur, à l'instant , de la surface de contrôle , était un système «~ouvert~» [32] de la dynamique newtonienne ou relativiste ?
......Remarque (en complément) : Si un tel système «~pseudo isolé ouvert~» pouvait exister nous en déduirions que le taux horaire de variation de sa résultante cinétique c.-à-d. suit la relation c.-à-d. que la seule cause de variation de résultante cinétique du système ouvert pseudo-isolé serait l'apport (et le retrait) de quantités de mouvement des points matériels entrant dans le système ouvert (et en sortant) mais on rappelle qu'en pratique un système pseudo-isolé ne peut qu'être fermé !

Théorème du mouvement du centre d'inertie d'un système fermé de points matériels[modifier | modifier le wikicode]

......Commentaire préliminaire : que l'on adopte une construction «~minimaliste~» ou «~maximaliste~» de la dynamique des systèmes fermés de points matériels [24], la loi énoncée dans le sous-paragraphe suivant applicable à un système fermé de points matériels est appelée «~théorème du mouvement du centre d'inertie~» car elle sera démontrée à partir du «~théorème de la résultante cinétique~» si on a adopté précédemment une construction «~minimaliste~» comme on l'a fait ou à partir du «~principe fondamental de la dynamique des systèmes fermés de points matériels~» si on a adopté précédemment une construction «~maximaliste~» comme il était possible de le faire mais, en étant une conséquence démontrée d'un théorème ou d'un principe, elle sera effectivement un théorème.

Énoncé du théorème (dynamique newtonienne)[modifier | modifier le wikicode]

Début d’un théorème


Fin du théorème

......Commentaires : ce théorème s'applique exclusivement, en dynamique newtonienne, à un système fermé (déformable ou non) de points matériels
......Commentaires : il n'est pas applicable, en dynamique newtonienne, à un système ouvert de points matériels défini à l'instant comme le contenu intérieur à la surface de contrôle [25] car, le théorème de la résultante cinétique dont il découle ne s'applique pas à un système ouvert

Démonstration[modifier | modifier le wikicode]

......Cela découle de l'application, dans le référentiel galiléen , du théorème de la résultante cinétique au système fermé de points matériels soumis, à l'instant , à la résultante dynamique soit dans lequel est la résultante cinétique du système au même instant ,
......Cela découle de la propriété liant, dans le cadre de la cinétique newtonienne, la résultante cinétique , la masse (inerte) et le vecteur vitesse du C.D.I. [33] du système à savoir dont on déduit,
......Cela découle la masse de tout système fermé étant constante, soit,
......Cela découle par report dans l'expression du théorème de la résultante cinétique, (C.Q.F.D.) [27].

En complément, inapplicabilité du théorème du mouvement du centre d'inertie à un système fermé de points matériels dans le cadre de la dynamique relativiste[modifier | modifier le wikicode]

......Le référentiel d'étude étant galiléen, on peut appliquer au système fermé de points matériels soumis, à l'instant , à la résultante dynamique , le théorème de la résultante cinétique dans lequel est la résultante cinétique du système au même instant , mais

......nous avons établi que, dans le cadre de la cinétique relativiste, dans lequel est le facteur de Lorentz [11] du point matériel , la résultante cinétique du système fermé est, en général, telle que

[34],
le C.D.I. [33] du système, ayant pour  ;

......en 1ère conséquence, une C.N. [35] mais ce ne sera pas une C.S. [36] pour envisager l'applicabilité du théorème du mouvement du C.D.I. [33] d'un système fermé de points matériels en dynamique relativiste est que le système soit en translation ce qui permet d'écrire avec mais, si la masse apparente à l'instant dépend effectivement de , la dérivée temporelle de la résistance cinétique du système en translation s'écrivant selon est, en général, telle que [37] d'où l'inapplicabilité du théorème du mouvement du C.D.I. [33] s'étend, dans le cadre de la dynamique relativiste, aux systèmes fermés de points matériels en translation non uniforme [37] ;

......en 2ème conséquence, si le système fermé de points matériels est en translation uniforme, la masse apparente du système à l'instant étant une constante , on en déduit et par suite
......en 2ème conclusion l'applicabilité du théorème du mouvement du C.D.I. [33], dans le cadre de la dynamique relativiste, aux systèmes fermés de points matériels en translation uniforme dans un référentiel galiléen sous la forme

dans laquelle
est la masse apparente (constante) du système en translation uniforme.

......En conclusion, le théorème du mouvement du C.D.I. [33] d'un système fermé de points matériels dans un référentiel galiléen est inapplicable en dynamique relativiste à l'exception du cas très particulier où le système fermé est en translation uniforme, l'application du théorème nécessite alors de remplacer la masse du système par sa masse apparente dans le mouvement de translation uniforme à la vitesse constante .

Conséquence sur les systèmes fermés de points matériels « pseudo-isolés » dans le cadre de la dynamique newtonienne : mouvement rectiligne uniforme de leur C.D.I.[modifier | modifier le wikicode]

......Si le système fermé de points matériels est «~pseudo isolé~» c.-à-d. si la résultante dynamique appliquée au système est telle que , l'application du théorème du mouvement du C.D.I. [33] au système fermé dans un référentiel galiléen implique, après intégration par rapport au temps ,

«~la conservation du vecteur vitesse du C.D.I. [33] du système~» [38] soit  ;
cette conclusion n'étant, a priori, applicable qu'en dynamique newtonienne.

......Remarque (en complément) : Et si le système fermé «~pseudo isolé~» de points matériels est étudié dans le cadre de la dynamique relativiste, nous avons vu au paragraphe «~conséquence sur les systèmes fermés de points matériels pseudo-isolé : conservation de leur résultante cinétique~» plus haut dans ce chapitre, que restait valable en toutes circonstances mais
......Remarque (en complément) : dans le cas général étant a priori avec le facteur de Lorentz [11] du C.D.I. [33] du système, on ne peut rien déduire sur le mouvement de sauf

......Remarque (en complément) : si le système fermé est en translation, mouvement pour lequel , on déduit de , que

  • gardant une direction constante le mouvement de est rectiligne et
  • ou c.-à-d. un caractère uniforme du mouvement de  ;

......Remarque (en complément) : en conclusion, si le système fermé «~pseudo isolé~» de points matériels, étudié dans le cadre de la dynamique relativiste, est en translation dans un référentiel galiléen, le mouvement de son C.D.I. [33] est rectiligne uniforme correspondant à .

Plan d'étude pour déterminer les équations du mouvement d'un point matériel ou celles du mouvement du centre d'inertie d'un système fermé de points matériels[modifier | modifier le wikicode]

......Nous restreignons l'étude en restant dans le cadre de la dynamique newtonienne [39], seule dynamique où le théorème du mouvement du C.D.I. [33] d'un système fermé de points matériels est applicable sans aucune restriction

......Le plan d'étude proposé est le suivant :

  • Préciser nettement le point matériel ou le système fermé de points matériels étudié ainsi que le référentiel d'étude en vérifiant son caractère galiléen [40], [41],
  • faire ensuite (avec schéma à l'appui) le bilan des forces appliquées au point matériel ou le bilan des forces extérieures [42] appliquées au système fermé de points matériels,
  • choisir le système de repérage [43] du point matériel ou du C.D.I. du système fermé de points matériels (en précisant les vecteurs de base sur le schéma précédent),
  • projeter la r.f.d.n. ou le théorème du mouvement du C.D.I. sur les trois vecteurs de base en explicitant les composantes du vecteur accélération dans le repérage choisi, on obtient alors un système de trois équations différentielles du 2ème ordre (couplées ou non) du mouvement du point ou du C.D.I. du système de points matériels,
  • intégrer ces équations [44], [45] et utiliser les C.I. pour obtenir les équations uniques du mouvement du point matériel ou du C.D.I. du système de points matériels.

En complément : quelques expériences mettant en défaut le caractère galiléen des référentiels géocentrique ou terrestre[modifier | modifier le wikicode]

Les expériences envisagées sont traitées dans le cadre exclusif de la dynamique newtonienne,
les vitesses des objets considérés sont donc ,
le temps est considéré «~absolu~» et l'espace dans lequel ils se déplacent «~euclidien~» [46]

Préliminaire : nécessité d'introduire des « pseudo forces d'inertie » pour obtenir, en dynamique newtonienne du point matériel (ou d'un système fermé de points matériels), une relation fondamentale de la dynamique (ou un théorème du mouvement du centre d'inertie) en référentiel non galiléen[modifier | modifier le wikicode]

......Remarque préliminaire : On parle de «~pseudo forces d'inertie~» et non de «~forces d'inertie~» car une force doit exister dans tous les référentiels et par construction les «~pseudo forces d'inertie~» ne sont introduites que dans les référentiels non galiléens [47].

......Considérons un référentiel «~quasi galiléen~» sur la durée car l'entraînement de relativement à un référentiel galiléen peut être assimilé, pendant cette durée, à une translation rectiligne uniforme, et qui devient
............~Considérons un référentiel~«~non galiléen~» sur toute durée excédant et ceci uniquement dans l'un des deux cas ci-dessous [48]

  • un entraînement de translation curviligne uniforme de relativement à correspondant au cas du référentiel géocentrique relativement au référentiel galiléen de Copernic [49] avec une translation quasi circulaire uniforme et
  • un entraînement de rotation uniforme de autour d'un axe fixe dans correspondant au cas du référentiel terrestre relativement au référentiel quasi galiléen géocentrique quasi galiléen dans la mesure où la durée d'expérience ne dépasse pas trois jours.

Cas où le référentiel d'entraînement est en translation curviligne uniforme relativement au référentiel galiléen[modifier | modifier le wikicode]

......Soit le référentiel en translation curviligne uniforme relativement au référentiel galiléen et considérons un point matériel soumis, dans l'un ou l'autre des référentiels, aux forces [50], le seul référentiel où la r.f.d.n. appliqué à est valide étant le référentiel galiléen , nous en déduisons est le vecteur accélération du point dans le référentiel galiléen  ;

......or nous avons établi, en complément, la «~loi de composition des vecteurs accélérations dans le cas où les deux référentiels sont en translation l'un par rapport à l'autre~» au chap. de la leçon «~Outils mathématiques pour la physique (PCSI)~» soit est un point lié à en général l'origine du repère cartésien associé à s'écrivant encore [51] ;

......le report de la relation dans la relation donnant et souhaitant, pour obtenir une forme de r.f.d.n. applicable dans un référentiel non galiléen, ne conserver que dans le membre de droite, on bascule donc l'autre terme dans le membre de gauche (en le changeant bien sûr de signe) d'où

,
, homogène à une force, étant appelée «~pseudo force d'inertie d'entraînement~» et notée ,
d'où la r.f.d.n. en référentiel non galiléen (par entraînement de translation) .

Cas où le référentiel d'entraînement est en rotation uniforme autour d'un axe fixe du référentiel galiléen[modifier | modifier le wikicode]

......Soit le référentiel en rotation uniforme autour de l'axe fixe du référentiel galiléen avec le vecteur rotation instantanée et considérons un point matériel soumis, dans l'un ou l'autre des référentiels, aux forces [50], le seul référentiel où la r.f.d.n. appliqué à est valide étant le référentiel galiléen , nous en déduisons est le vecteur accélération du point dans le référentiel galiléen  ;

......or nous avons établi, en complément, «~la loi de composition des vecteurs accélérations dans le cas particulier très fréquent d'un entraînement de rotation uniforme du référentiel d'entraînement autour d'un axe fixe du référentiel absolu~» au chap. de la leçon «~Outils mathématiques pour la physique (PCSI)~» soit

avec
le vecteur accélération d'entraînement de à l'instant dans lequel est le projeté de sur et
le vecteur accélération complémentaire ou de Coriolis [52] au même instant du point  ;

......le report de la relation dans la relation donnant et souhaitant, pour obtenir une forme de r.f.d.n. applicable dans un référentiel non galiléen, ne conserver que dans le membre de droite, on bascule donc les deux autres termes dans le membre de gauche (en les changeant bien sûr de signe) d'où

ou encore,
,
, homogène à une force, étant appelée «~pseudo force d'inertie d'entraînement~» et notée ,
, homogène à une force, étant appelée «~pseudo force d'inertie de Coriolis [52]~» et notée ,
d'où la r.f.d.n. en référentiel non galiléen (par entraînement de rotation uniforme) .

Mouvement d'une sonde dans le Système solaire[modifier | modifier le wikicode]

......Le mouvement d'une sonde localisée dans le Système solaire étant de durée évidemment très inférieure à l'échelle de temps de l'Humanité [53] durée maximale sur laquelle le référentiel de Copernic [49] est estimé galiléen [54] on en déduit que le meilleur référentiel galiléen [55] pour toute sonde se déplaçant exclusivement dans le Système solaire est le «~référentiel de Copernic [49]~».

Mouvement d'un satellite autour de la Terre[modifier | modifier le wikicode]

......Le mouvement d'un satellite autour de la Terre sur une durée durée maximale sur laquelle le référentiel géocentrique est estimé galiléen [56] pouvant être étudié sans erreur notable dans le référentiel géocentrique, on en déduit que le meilleur référentiel galiléen [55] pour tout satellite autour de la Terre sur une durée maximale de 3 jours [57] est le «~référentiel géocentrique~».

......Dans le référentiel géocentrique considéré comme galiléen, le satellite est soumis, en 1ère approximation, seulement à la force de gravitation terrestre et il décrit une «~ellipse dont le centre de la Terre est l'un des foyers~» [58], [59] mais

......Dans le référentiel géocentrique considéré comme galiléen, on observe, au-delà de trois jours, un écart grandissant avec la durée d’observation, écart qui est dû

  • principalement à l'«~attraction gravitationnelle lunaire~» et dans une moindre mesure à l'«~attraction gravitationnelle solaire~»
  • mais aussi au caractère «~non galiléen~» du référentiel géocentrique pour traduire ce caractère «~non galiléen~» on ajoute au bilan des (vraies) forces une «~pseudo force d'inertie d'entraînement~» [57] tenant compte de l'écart entre le mouvement de translation rectiligne uniforme supposé et celui de translation circulaire uniforme réel [60] du référentiel géocentrique relativement au référentiel galiléen de Copernic [49] ;

......Dans le référentiel géocentrique considéré comme galiléen, on démontre que la correction tenant compte de toutes ces influences ajoute à la force de gravitation terrestre, la pseudo force dite «~des marées~» [61]

Mouvement d'une chute libre sans vitesse initiale relativement à la Terre[modifier | modifier le wikicode]

......Le mouvement de chute libre [62], [63] d'un corps sans vitesse initiale relativement à la Terre dans le champ de pesanteur uniforme se faisant sur une durée évidemment très durée maximale sur laquelle le référentiel terrestre est estimé galiléen [64] pouvant être étudié sans erreur notable dans le référentiel terrestre, on en déduit que le meilleur référentiel galiléen [55] pour tout corps en chute libre sans vitesse initiale dans le champ de pesanteur uniforme [65] est le «~référentiel terrestre~».

......Dans le référentiel terrestre considéré comme galiléen, l'objet en chute libre est soumis, en 1ère approximation, seulement à son poids et il décrit une chute «~verticale~» [66] d'un mouvement uniformément accéléré d'«~accélération indépendante de l'objet chutant~» [67] et ceci avec une bonne précision mais

......Dans le référentiel terrestre considéré comme galiléen, si on cherche à vérifier avec une très bonne précision on observe une très légère déviation vers l'Est relativement à la verticale lorsque l'expérience est réalisée dans l'hémisphère Nord historiquement, l'expérience a été réalisée par Reich [68] en à Freiburg dans un puits de mine de profondeur à la «~latitude ~» avec observation d'une déviation de soit un écart de  ;

......Dans le référentiel terrestre considéré comme galiléen, on démontre que la correction tenant compte de la «~pseudo force d'inertie de Coriolis [52]~» correspond effectivement à une déviation vers l'Est quand la chute libre sans vitesse initiale dans un champ de pesanteur uniforme est réalisée dans l'hémisphère Nord [69]

......Dans le référentiel terrestre considéré comme galiléen, on peut également démontrer l'existence d'une déviation vers l'Est de la chute d'un objet sans vitesse initiale relativement à la Terre dans le champ de pesanteur uniforme sans travailler dans le référentiel terrestre supposé théoriquement non galiléen mais en revenant au référentiel géocentrique supposé galiléen en effet :

......un objet en chute libre sans vitesse initiale relativement à la Terre et positionné initialement à la distance du centre de la Terre c.-à-d. à la surface de celle-ci à la «~latitude ~» possède initialement, dans le référentiel géocentrique, la vitesse dans laquelle est le 1er vecteur de base cartésienne du repère associé au référentiel géocentrique, vecteur horizontal dirigé vers l'Est les deux autres vecteurs de base étant horizontal dirigé vers le Sud et vertical descendant [70], la vitesse angulaire de rotation de la Terre sur elle-même et le rayon du parallèle passant par le lieu de lancement, lieu de lancement choisi comme origine du repère associé au référentiel géocentrique ;
......l'objet étant soumis, dans le référentiel géocentrique galiléen, à son seul poids [71], l'application de la r.f.d.n. [72] à nous fournit son vecteur accélération dans le référentiel géocentrique d'où,
......en intégrant avec utilisation des C.I.
......en intégrant avec utilisation des C.I.  ;
......on constate donc que possède, à l'instant , une composante de vitesse horizontale dirigée vers l'Est par rapport à l'axe vertical de lancement du repère lié au référentiel géocentrique alors que
......on constate donc que le point lié à la Terre situé à la même profondeur que possède, au même instant , une vitesse horizontale dirigée vers l'Est [73] par rapport au même axe vertical de lancement du repère lié au référentiel géocentrique,
......on en déduit que la composante horizontale dirigée vers l'Est de la vitesse de à l'instant étant plus grande que la vitesse horizontale dirigée vers l'Est du point lié à la Terre situé à la même profondeur que au même instant soit ou, en utilisant la loi de composition des vitesses sur l'axe avec dont on tire soit une déviation vers l'Est effective dans le référentiel terrestre de la chute d'un objet sans vitesse initiale relativement à la Terre dans le champ de pesanteur uniforme.

Mouvement d'oscillations d'un pendule pesant écarté de sa position d'équilibre stable et lâché sans vitesse initiale relativement à la Terre[modifier | modifier le wikicode]

......Le mouvement d'oscillations d'un pendule pesant [74], [75] écarté de sa position d'équilibre stable et lâché sans vitesse initiale relativement à la Terre dans le champ de pesanteur uniforme sur une durée durée maximale sur laquelle le référentiel terrestre est estimé galiléen [64] pouvant être étudié sans erreur notable dans le référentiel terrestre, on en déduit que le meilleur référentiel galiléen [55] pour toutes oscillations de durée inférieure à quinze minutes d'un pendule pesant écarté de sa position d'équilibre stable et lâché sans vitesse initiale relativement à la Terre dans le champ de pesanteur uniforme est le «~référentiel terrestre~».

......Dans le référentiel terrestre considéré comme galiléen, le pendule pesant que nous considérerons «~simple~» [74] pour se limiter à l'utilisation de la r.f.d.n. est tel que l'objet massique ponctuel est soumis à deux forces «~son poids ~» et «~la tension de la tige rigide sans masse ~» le point fixe à partir duquel la tige est reliée étant noté , ces deux forces étant, à l'instant dans le plan vertical passant par et contenant la tige rigide ;

......Dans le référentiel terrestre considéré comme galiléen, appliquant la r.f.d.n. à à l'instant dans le référentiel terrestre galiléen, on détermine le vecteur accélération de au même instant , vecteur accélération contenu dans le plan vertical passant par et contenant la tige rigide ; on démontrera au chap. de la leçon «~Mécanique 1 (PCSI)~» que l'absence de composante d'accélération au plan vertical ainsi que l'absence de vitesse initiale donc l'absence de composante de vitesse initiale au plan vertical entraîne la nature plane du mouvement de dans le plan vertical passant par et contenant la tige rigide dans sa position initiale, plan que nous appellerons «~plan de lancement~» ;

......Dans le référentiel terrestre considéré comme galiléen, on établira aussi dans le chap. de la leçon «~Mécanique 1 (PCSI)~» que suit des oscillations circulaires de centre dans le «~plan de lancement~» [76], le mouvement restant plan tant que la durée des oscillations ne dépasse pas

......Si «~la durée dépasse ~» [77] le référentiel terrestre n'étant plus quasi galiléen sur cette durée, on observe alors que la nature plane des oscillations est mise en défaut, plus précisément si le mouvement s'effectue dans le «~plan de lancement~» sur une durée , au-delà de cette durée, si on peut modéliser les oscillations du pendule pesant comme s'effectuant dans un plan vertical d'oscillations, ce dernier n'est plus le «~plan de lancement~» mais un plan vertical résultant d'une lente rotation par rapport au «~plan de lancement~» dans le sens rétrograde [78] dans l'hémisphère Nord [79] historiquement le pendule de Foucault [80], modélisable en pendule pesant simple [74], installé au Panthéon de Paris avait une longueur de , une masse de correspondant à une boule de de rayon, une élongation angulaire le déplacement horizontal allant de la position verticale d'équilibre stable à une des deux positions extrêmes était alors de , il battait avec une période de et le «~plan d'oscillations~» avait une période de rotation de le pendule pouvait osciller pendant une fois lancé et son plan d'oscillations déviait de par heure,

............Si la durée dépasse quinze minutesL'explication de la lente rotation du plan d'oscillations nécessite de considérer le «~référentiel géocentrique~» comme «~meilleur galiléen~» dans ce cas le plan d'oscillations est quasi fixe dans le référentiel géocentrique [81], mais le référentiel terrestre tournant de l'Ouest vers l'Est relativement au référentiel géocentrique, on en déduit que le plan d'oscillations tourne de l'Est vers l'Ouest relativement au référentiel terrestre [82] ou
...........Si la durée dépasse quinze minutes L'explication de la lente rotation du plan d'oscillations nécessite de maintenir l'étude dans le «~référentiel terrestre~» en considérant son caractère «~non galiléen~» dans ce cas c'est donc la «~pseudo force d'inertie de Coriolis~» [52] qui explique la très lente rotation du plan d'oscillations [83].

Notes et références[modifier | modifier le wikicode]

  1. La force peut dépendre aussi «~explicitement du temps ~», mais ceci étant très rare, nous supposerons par la suite (sauf exception) que cela n'est pas le cas.
  2. Mais cela reste valable en «~dynamique relativiste~».
  3. C.-à-d. que les vecteurs forces sont indépendants du référentiel.
  4. Et non des positions absolues de et de celles des éléments constitutifs de .
  5. C.-à-d. sans parties communes.
  6. Encore appelées forces de champ.
  7. Dans le cadre de la dynamique newtonienne, nous négligeons la durée de propagation entre la source du champ et le point matériel , ce qui revient à considérer un établissement instantané de la force de champ en accord avec  ;
    ...en dynamique relativiste, si , il pourrait y avoir un retard entre l'instant d'application de la force de champ sur le point par rapport à celui de création de la force de champ à la source, mais ceci ne se manifeste pas si la source crée un champ stationnaire d'une part et si la distance entre la source et le point ne varie pas rapidement d'autre part.
  8. 8,0 et 8,1 Isaac Newton (1643 - 1727) philosophe, mathématicien, physicien, astronome, alchimiste et théologien anglais, connu essentiellement de nos jours pour avoir fondé la mécanique classique, pour sa théorie de la gravitation et aussi pour la création du calcul infinitésimal ; en optique il a développé une théorie de la couleur et a aussi inventé un télescope composé d'un miroir primaire concave et d'un miroir secondaire plan, télescope connu de nos jours sous le nom de télescope de Newton.
  9. En fait c'est plus précisément la relation fondamentale de la dynamique (ou «~r.f.d.~») incluse dans le «~p.f.d.~» qui est appelée 2ème loi de Newton.
  10. C'est donc cette relation fondamentale de la dynamique qui constitue, pour les anglo-saxons, la 2ème loi de Newton.
  11. 11,0 11,1 11,2 et 11,3 Hendrik Antoon Lorentz (1853 - 1928) physicien néerlandais principalement connu pour ses travaux sur l'électromagnétisme, il a laissé son nom aux «~transformations dites de Lorentz~» en fait les équations définitives des transformations de Lorentz ont été formulées en par Henri Poincaré après avoir été introduites sous forme tâtonnante par quelques physiciens dont Hendrik Lorentz dès pour ce dernier, transformations utilisées dans la théorie de la relativité restreinte élaborée par Albert Einstein en  ;
    ...Hendrik Lorentz partagea, en , le prix Nobel de physique avec Pieter Zeeman (1865 - 1943) physicien néerlandais pour leurs recherches sur l'influence du magnétisme sur les phénomènes radiatifs Pieter Zeeman ayant découvert l'effet qui porte son nom en .
    ...Henri Poincaré (1854 - 1912) mathématicien, physicien, philosophe et ingénieur français à qui on doit des résultats d'importance en calcul infinitésimal, des avancées sur le problème à trois corps qui font de lui un des fondateurs de l'étude qualitative des systèmes d'équations différentielles et de la théorie du chaos, une participation active à la théorie de la relativité restreinte ainsi qu'à la théorie des systèmes dynamiques
    ...Albert Einstein (1879 - 1955), physicien théoricien d'origine allemande, devenu apatride en puis suisse en  ; on lui doit la théorie de la relativité restreinte publiée en , la relativité générale en ainsi que bien d'autres avancées dans le domaine de la mécanique quantique et la cosmologie ; il a reçu le prix Nobel de physique en pour son explication de l'effet photoélectrique.
  12. En fait la masse apparente n'est constante que si le facteur de Lorentz l'est, ce qui n'est réalisé que pour un mouvement à norme de vecteur vitesse constante c.-à-d. un mouvement uniforme à trajectoire quelconque.
  13. Jean Frédéric Frenet (1816 - 1900) est un mathématicien, astronome et météorologue français à qui on doit six des neuf formules de géométrie différentielle associées au trièdre (ou base) de Serret-Frenet [Joseph-Alfred Serret (1819 - 1885) mathématicien et astronome français ayant trouvé indépendamment ces formules].
  14. Voir le paragraphe «~compléments : composantes locales de Frenet du vecteur vitesse et du vecteur accélération du point repéré sur sa trajectoire dans le référentiel d'étude~» du chap. de la leçon «~Mécanique 1 (PCSI)~».
  15. C.-à-d. la composante du vecteur vitesse sur le vecteur unitaire tangentiel de Frenet .
  16. C.-à-d. la composante du vecteur accélération sur le vecteur unitaire tangentiel de Frenet , composante égale à la dérivée temporelle de la vitesse instantanée.
  17. En effet le terme à ajouter à s'écrit d'où l'expression utilisant
  18. On rappelle que peut être indépendante de ou en dépendre ou encore dépendre de ou même dépendre explicitement de
  19. Durée s'étendant de l'apparition de l'homonidé Homo à nos jours, l'échelle de temps de l'Humanité est estimée à .
  20. Voir le paragraphe «~Meilleur référentiel d'application du principe de l'inertie pour un point matériel isolé dans le Système solaire~» du chap. de la leçon «~Mécanique 1 (PCSI)~».
  21. 21,0 et 21,1 Le meilleur galiléen est le galiléen pour lequel le mouvement du point étudié est le plus simple, (par exemple le mouvement d'un satellite terrestre est plus simple à décrire dans le référentiel géocentrique que dans le référentiel de Copernic ou encore le mouvement d'un homme se déplaçant sur Terre est plus simple à décrire dans le référentiel terrestre que dans le référentiel géocentrique).
  22. Voir le paragraphe «~caractère quasi-galiléen du référentiel géocentrique pour une durée d'expérience n'excédant pas trois jours (terrestres)~» du chap. de la leçon «~Mécanique 1 (PCSI)~».
  23. Voir le paragraphe «~caractère quasi-galiléen du référentiel terrestre pour une durée d'expérience n'excédant pas quinze minutes (terrestres)~» du chap. de la leçon «~Mécanique 1 (PCSI)~».
  24. 24,0 et 24,1 En fait le programme de physique de P.C.S.I. parle simplement de «~loi de la quantité de mouvement~» pour un système fermé de points matériels utilisant le fait qu'une loi peut être indifféremment un principe ou un théorème et ayant auparavant nommé «~quantité de mouvement~» ce qu'on appelle usuellement «~résultante cinétique~», ce qui laisse libre de faire une construction «~minimaliste~» ou «~maximaliste~» mais
    ...en ce qui concerne les systèmes fermés isolés le programme de physique de P.C.S.I. parlant de principe de l'inertie et non de théorème de l'inertie, une construction «~maximaliste~» semblerait privilégiée et par suite, si les concepteurs du programme souhaitaient une construction «~minimaliste~» de la dynamique des systèmes fermés de points matériels (ce que j'ai supposé), ce serait un abus
  25. 25,0 et 25,1 Notation maintenue pour la surface de contrôle, à ne pas confondre avec les systèmes extérieurs exerçant une action sur le système ouvert de points matériels
  26. 26,0 et 26,1 S'il y a plusieurs systèmes extérieurs ayant une action sur , la somme des forces modélisant toutes ces actions extérieures est notée pour simplifier.
  27. 27,0 et 27,1 Ce Qu'il Fallait Démontrer.
  28. Voir la remarque du paragraphe «~1ère conséquence du principe des actions réciproques ... nullité de la résultante des forces intérieures s'exerçant sur un système de points matériels ...~» concernant les systèmes ouverts et applicable indifféremment en dynamique newtonienne ou relativiste.
  29. Voir le 2ème commentaire du paragraphe «~énoncé du théorème de la résultante cinétique~» plus haut dans le chapitre.
  30. Obtenu en ajoutant dans chaque membre le débit de quantités de mouvement des points matériels entrant à l'instant et en retranchant celui des points matériels sortant au même instant.
  31. C'est la même conclusion que celle que l'on obtient avec un système fermé de points matériels isolé pour lequel le théorème de l'inertie s'applique, alors que, pour un système fermé de points matériels pseudo-isolé, il ne s'applique pas, il est alors nécessaire d'utiliser le théorème de la résultante cinétique (même si l'équation ainsi que la solution obtenues sont identiques).
  32. Nous envisageons ce cas bien que nous ayons vu dans la remarque du paragraphe «~définition d'un système (fermé) de points matériels pseudo-isolé~» du chap. de la leçon «~Mécanique 1 (PCSI)~» qu'un système pseudo-isolé ne pouvait, en pratique, qu'être fermé
  33. 33,00 33,01 33,02 33,03 33,04 33,05 33,06 33,07 33,08 33,09 33,10 et 33,11 Centre D'Inertie.
  34. Voir le paragraphe «~théorème de l'inertie (en dynamique relativiste), conséquence~» du chap. de la leçon «~Mécanique 1 (PCSI)~» dans lequel on établit qu'il est nécessaire que le système fermé de points matériels soit en translation pour pouvoir écrire ou, en introduisant la masse apparente du système en translation à l'instant à savoir , la réécriture de la résultante cinétique selon mais avec une masse apparente à l'instant qui dépend de dans la mesure où en dépend sauf si la translation envisagée est uniforme.
  35. Condition Nécessaire.
  36. Condition Suffisante.
  37. 37,0 et 37,1 Le seul cas où est celui où le système fermé est en translation uniforme.
  38. C'est la même conclusion que celle que l'on obtient avec un système fermé de points matériels isolé pour lequel le théorème de l'inertie s'applique, alors que, pour un système fermé de points matériels pseudo-isolé, il ne s'applique pas, il est alors nécessaire d'utiliser le théorème du mouvement du C.D.I. du système (même si l'équation ainsi que la solution obtenues sont identiques).
  39. Ce qui est d'ailleurs, pour cette question, le cadre du programme de physique de P.C.S.I.
  40. Dans le cadre du programme de physique de P.C.S.I., le référentiel d'étude doit être galiléen car la dynamique newtonienne dans un référentiel non galiléen n'est étudiée qu'en 2ème année de C.P.G.E.S. (Classes Préparatoires des Grandes Écoles Scientifiques).
  41. À ce stade il n'est pas encore nécessaire de préciser le repère associé au référentiel choisi.
  42. Tant qu'on se limite au théorème de la résultante cinétique ou du mouvement du C.D.I. il est inutile d’introduire les forces intérieures puisqu'elles se compensent.
  43. Le repérage va en général de soi, pour un point ou un système de points glissant sur un plan, choix du repérage cartésien dont un vecteur de base cartésienne est au plan, les deux autres vecteurs de base étant choisis dans le plan avec, si le mouvement supposé est rectiligne, un vecteur suivant cette direction,
    ...Le repérage va en général de soi, pour un point ou un système de points glissant sur un cylindre ou tel que le mouvement supposé soit circulaire, choix du repérage cylindro-polaire d'axe confondu avec l'axe du cylindre ou avec l'axe du cercle trajectoire supposée du point ou du C.D.I.,
    ...Le repérage va en général de soi, pour un point ou un système de points glissant sur un sphère, le choix du repérage sphérique serait malvenu car l'accélération en coordonnées sphériques est compliquée et n'est pas à retenir on se ramène donc au repérage le plus proche c.-à-d. le repé