Leçons de niveau 14

Mécanique 1 (PCSI)/Loi de la quantité de mouvement : Principe de l'inertie et référentiels galiléens

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Loi de la quantité de mouvement : Principe de l'inertie et référentiels galiléens
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Chapitre no 8
Leçon : Mécanique 1 (PCSI)
Chap. préc. :Loi de la quantité de mouvement : Quantité de mouvement
Chap. suiv. :Loi de la quantité de mouvement : Principe fondamental de la dynamique et théorème de la résultante cinétique
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Sommaire

Système (fermé) de points matériels isolé, système (fermé) de points matériels pseudo-isolé[modifier | modifier le wikicode]

Définition d'un système (fermé) de points matériels « isolé »[modifier | modifier le wikicode]


......Remarque : en réalité seul un système « fermé » peut être « isolé » car

......Remarque : un système « ouvert » [défini comme le contenu intérieur d'une surface de contrôle fixe] « isolé » doit être tel qu'il n'y ait aucun point matériel à l'extérieur de qui puissent être en interaction avec les points situés à l'intérieur de puisqu'un point extérieur étant nécessairement en interaction gravitationnelle avec n'importe quel point intérieur [1] et cette interaction étant de portée infinie [2] la présence de point matériel à l'extérieur de aurait pour conséquence le caractère non isolé du système ouvert ;
......Remarque : une 1ère conséquence du caractère « isolé » d'un système « ouvert » est donc le fait qu'il n'y a aucun point matériel à l'extérieur de  ;

......Remarque : un système « ouvert » « isolé » doit aussi être tel qu'aucun point matériel intérieur à ne puisse se retrouver à l'extérieur puisqu'alors, ce point passé à l'extérieur étant nécessairement en interaction gravitationnelle avec n'importe quel autre point intérieur [1] et cette interaction étant de portée infinie [2] le caractère « isolé » du système « ouvert » serait mis en défaut à partir de l'instant de sortie de ce point matériel (ce qui est interdit dans la mesure où le système doit être isolé à tout instant) ;
......Remarque : une 2ème conséquence du caractère « isolé » d'un système « ouvert » est donc le fait qu'aucun point matériel ne doit traverser pour se retrouver à l'extérieur ;

......Remarque : en conclusion un tel système « ouvert » « isolé » serait en fait « fermé ».

Définition d'un système (fermé) de points matériels « pseudo-isolé »[modifier | modifier le wikicode]


......Remarque : pratiquement seul un système « fermé » peut être « pseudo-isolé » car

......Remarque : un système « ouvert » [défini comme le contenu intérieur d'une surface de contrôle fixe] « pseudo-isolé » pour lequel un point matériel à l'extérieur de traverserait cette dernière pour se retrouver à l'intérieur supprimerait, dans la résultante dynamique s'exerçant sur le système, la somme des forces d'interaction du point entrant avec tous les points initialement présents dans le système, somme qui a fort peu de chance d'être nulle quelles que soient les positions des points intérieurs à l'instant de l'entrée, ceci rendant alors la résultante dynamique restante non nulle et mettant en défaut le caractère « pseudo-isolé » du système ouvert ;
......Remarque : une 1ère conséquence pratique du caractère « pseudo-isolé » d'un système « ouvert » est qu'il ne doit y avoir pratiquement aucun point matériel à l'extérieur de  ;

......Remarque : un système « ouvert » « pseudo-isolé » doit aussi être tel qu'un point matériel intérieur à passant à l'extérieur ne modifie pas la résultante dynamique s'exerçant sur le système, or l'ajout de la somme des forces d'interaction du point sortant avec tous les points restant présents dans le système, somme ayant fort peu de chance d'être nulle quelles que soient les positions des points intérieurs à l'instant de sortie, conduit à une résultante dynamique obtenue non nulle et met en défaut le caractère « pseudo-isolé » du système ouvert ;
......Remarque : une 2ème conséquence pratique du caractère « pseudo-isolé » d'un système « ouvert » est donc la nécessité pratique qu'aucun point matériel ne traverse pour se retrouver à l'extérieur ;

......Remarque : en conclusion un tel système « ouvert » « pseudo-isolé » serait, en pratique, « fermé ».

......Commentaire : Il faut distinguer « système (fermé) pseudo-isolé » et « système (fermé) en équilibre », la résultante dynamique du 1er est nulle dans toutes circonstances alors que celle du 2nd l'est uniquement dans une position particulière du système [3].

1ère propriété des systèmes (fermés) de points matériels « isolé » ou « pseudo-isolé » en dynamique newtonienne[modifier | modifier le wikicode]

......En dynamique newtonienne [4], les forces étant invariantes par changement de référentiel, le caractère « isolé » ou « pseudo-isolé » d'un système (fermé) de points matériels reste valable dans n'importe quel référentiel [5].

Exemples de système (fermé) de points matériels « isolé » ou « pseudo-isolé »[modifier | modifier le wikicode]

......Exemple de système (fermé) de points matériels « isolé » : un astre loin de tout autre astre.

......Exemples de système (fermé) de points matériels « pseudo-isolé » : un système binaire d’étoiles [6] loin de tout autre astre,

......Exemples de système (fermé) de points matériels «~pseudo-isolé~» :un objet sur une table horizontale à coussin d'air [7].

Principe de l'inertie, théorèmes de l'inertie[modifier | modifier le wikicode]

Principe de l'inertie[modifier | modifier le wikicode]

Ce principe est connu par les anglo-saxons sous le nom de 1ère loi de Newton [8] bien qu'il fut énoncé pour la 1ère fois par Galiléo Galiléi [9] en .


......Commentaire préliminaire : si nous construisons la dynamique newtonienne des systèmes (fermés) de points matériels à partir de celle du point matériel, il suffit de trois principes de dynamique du point matériel pour démontrer celle des systèmes de points, les trois principes représentant pour les anglo-saxons les trois lois de Newton dont nous avons déjà vu la 3ème encore nommée « principe des actions réciproques », la 1ère étant celle énoncée ci-dessous c'est-à-dire le « principe de l'inertie » et la 2nde le sera au chapitre suivant connue sous le nom de « principe fondamental de la dynamique newtonienne » ;

......Commentaire préliminaire : cette construction peut être qualifiée de « minimaliste » dans la mesure où on admet un minimum de propriétés [celles de la dynamique du point matériel] et que l'on démontre les autres [celles des systèmes (fermés) de points matériels], c'est cette construction que nous adopterons [10].

Début d’un théorème


Fin du théorème

......Conséquence : le vecteur quantité de mouvement d'un point matériel isolé dans le référentiel où le principe de l'inertie s'applique est conservé que ce soit en dynamique newtonienne ou en dynamique relativiste en effet, le principe de l'inertie étant applicable dans les deux dynamiques, le mouvement du point matériel est rectiligne uniforme, son vecteur vitesse est donc constant et par suite son vecteur quantité de mouvement aussi car

  • en dynamique newtonienne avec et et
  • en dynamique relativiste avec , et .

Théorème de l'inertie (en dynamique newtonienne)[modifier | modifier le wikicode]

......Commentaire préliminaire : ayant adopté la construction « minimaliste » de la dynamique newtonienne des systèmes (fermés) de points matériels, la loi énoncée ci-dessous appliquée à un système (fermé) de points matériels isolé est appelée « théorème de l'inertie » car elle sera démontrée au chapitre suivant en appliquant le principe fondamental de la dynamique newtonienne à chaque point matériel du système et en utilisant le principe des actions réciproques ;

......Commentaire préliminaire : toutefois il existe une autre construction que l'on pourrait qualifier de « maximaliste » consistant à admettre la loi énoncée ci-dessous appliquée à un système (fermé) de points matériels isolé, cette loi devant alors être appelée « principe de l'inertie » [12].

Début d’un théorème


Fin du théorème

......Conséquence : la résultante cinétique d'un système (fermé) de points matériels isolé dans le référentiel où le théorème de l'inertie s'applique est conservée en dynamique newtonienne en effet, le théorème de l'inertie étant applicable dans cette dynamique, le mouvement du C.D.I. [13] du système (fermé) de points matériels isolé est rectiligne uniforme, son vecteur vitesse est donc constant et d'après le lien entre résultante cinétique et vecteur vitesse de en dynamique newtonienne, sa résultante cinétique aussi car avec [15] et .

Théorème de l'inertie (en dynamique relativiste)[modifier | modifier le wikicode]

......Commentaire préliminaire : ayant adopté la construction « minimaliste » de la dynamique relativiste des systèmes (fermés) de points matériels, la loi énoncée ci-dessous appliquée à un système (fermé) de points matériels isolé est appelée « théorème de l'inertie » car elle sera démontrée au chapitre suivant en appliquant le principe fondamental de la dynamique relativiste à chaque point matériel du système et en supposant l'applicabilité du principe des actions réciproques dans au moins un des référentiels possibles ;

......Commentaire préliminaire : toutefois il existe une autre construction que l'on pourrait qualifier de « maximaliste » consistant à admettre la loi énoncée ci-dessous appliquée à un système (fermé) de points matériels isolé, cette loi devant alors être appelée « principe de l'inertie » [12].

Début d’un théorème


Fin du théorème

......Conséquence : la conservation de la résultante cinétique d'un système (fermé) de points matériels isolé dans un référentiel , résultat de l'applicabilité du théorème de l'inertie de la dynamique relativiste, impliquant ou, en utilisant la définition de la quantité de mouvement en cinétique relativiste avec n'entraîne a priori pas que le C.D.I. [13] du système (fermé) de points matériels isolé est animé d'un mouvement rectiligne uniforme dans le cadre de la dynamique relativiste
......Conséquence : en effet étant a priori car la dérivée temporelle du vecteur position conduit à qui n'implique que dans la mesure où c'est-à-dire si le système (fermé) de points matériels isolé est en translation d'où,
......Conséquence : dans le cas le plus fréquent de système (fermé) de points matériels isolé non en translation on a d'une part mais d'autre part « le C.D.I. [13] du système (fermé) de points matériels isolé n'est pas animé d'un mouvement rectiligne uniforme dans le cadre de la dynamique relativiste » [17].

En complément : le principe (ou théorèmes) de l'inertie, cas particulier du théorème d'Emmy Nœther[modifier | modifier le wikicode]

Voir l'énoncé du théorème d'Emmy Nœther [18] au chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
Début d’un théorème


Fin du théorème

......Quel que soit l'endroit où le point matériel isolé se trouve dans l'espace, les lois de la physique auxquelles ce point obéit doivent être « invariantes par translation d'espace » [20] ;

......d'après le théorème d'Emmy Nœther, il y a « conservation d'une grandeur (cinétique) du point » traduisant l'« invariance des lois physiques selon le groupe des translations d'espace » [21] et le principe de l'inertie nous dit que « cette grandeur (cinétique) conservée est le vecteur quantité de mouvement du point (ou résultante cinétique du système fermé) ».

En conclusion : l'invariance du caractère isolé d'un point (ou d'un système) par translation d'espace

la conservation de la quantité de mouvement du point (ou de la résultante cinétique du système).

Référentiels galiléens[modifier | modifier le wikicode]

......Le principe de l'inertie postulant l'existence d'au moins un référentiel dans lequel le mouvement d'un point matériel isolé est rectiligne uniforme, on qualifie de « galiléen » [22], [23] ce (ou ces) référentiel(s) dans lequel le principe de l'inertie est applicable.

Mouvement relatif de deux référentiels galiléens[modifier | modifier le wikicode]

Question : Existe-t-il d'autres référentiels galiléens ?[modifier | modifier le wikicode]

......Le principe de l'inertie admettant l'existence d'un référentiel galiléen, est-il unique ou en existe-t-il d'autres ?

......La réponse est :

« dans la mesure où il en existe un (affirmation du principe de l’inertie), il en existe une infinité possédant la propriété énoncée ci-dessous » :

Propriété liant deux référentiels galiléens[modifier | modifier le wikicode]

« Tout référentiel , animé par rapport à un référentiel galiléen d'un mouvement de translation rectiligne uniforme, est lui même galiléen ».

Démonstration de la propriété énoncée au paragraphe précédent[modifier | modifier le wikicode]

......Démonstration [24] : pour définir la translation de par rapport à , il suffit de se donner le mouvement de (origine du repère associé à dans en précisant son vecteur vitesse que l'on écrira encore , ainsi que son vecteur accélération écrit encore  ; dans la mesure où est en translation rectiligne uniforme relativement à , le vecteur vitesse et le vecteur accélération  ;

......~Démonstration ~ : la loi de composition des vecteurs vitesses d'un point par changement de référentiel s'écrit (quand les référentiels sont en translation) [25]

......~Démonstration ~ : la loi de composition des vecteurs accélérations d'un point par changement de référentiel s'écrit (quand les référentiels sont en translation) [26]

......~Démonstration ~ : dans le cas où est en translation rectiligne uniforme relativement à , la loi de composition des vecteurs accélérations du point se réécrit selon soit finalement [dans ce qui précède le caractère galiléen de n'intervient pas, cela reste donc valable pour un référentiel qui ne serait pas galiléen [27]] ;

......~Démonstration ~ : considérant un point matériel isolé, on en déduit, par application du principe de l'inertie dans galiléen, que le vecteur vitesse de défini dans est constant y ayant un mouvement rectiligne uniforme] et donc que son vecteur accélération défini dans est nul soit au final  ;

......~Démonstration ~ : utilisant la relation pour en déduire le vecteur accélération de dans le référentiel lequel est en translation rectiligne uniforme relativement au référentiel galiléen [ce qui est caractérisé par on en déduit , d'où ce qui donne, par intégration, le vecteur vitesse de défini dans constant c'est-à-dire , établissant que le point matériel isolé a un mouvement rectiligne uniforme dans c'est-à-dire que le principe de l'inertie s'appliquant à dans assure la caractère galiléen à (C.Q.F.D.) [28].

1er exemple de référentiel galiléen « le référentiel de Copernic »[modifier | modifier le wikicode]

Limites de l'étude[modifier | modifier le wikicode]

......Nous limitons les études dynamiques au contenu du Système solaire, dans ces conditions l'utilisation de la « relativité générale » [29] est, en 1ère approximation, inutile [30], ce qui revient à considérer

  • la dynamique newtonienne pour des points se déplaçant à une vitesse petite par rapport à (célérité de la lumière) et
  • la dynamique relativiste (restreinte) pour des points se déplaçant à une vitesse plus grande que .

Meilleur référentiel d'application du principe de l'inertie pour un point matériel isolé dans le Système solaire[modifier | modifier le wikicode]

......Le meilleur référentiel d'application du principe d'inertie sur la durée de l'Humanité [31] [c'est-à-dire le meilleur référentiel galiléen sur la durée de l'Humanité [31]] est le « référentiel de Copernic » [32] c'est-à-dire le « référentiel lié au C.D.I. [13] du Système solaire par rapport auquel les étoiles infiniment éloignées sont fixes » ;

......on pourrait donc dire que le référentiel galiléen de référence est le « référentiel de Copernic » [32] si la durée de l'expérience reste inférieure à [33] que l'on peut définir comme l'échelle de temps de l'Humanité [34].

......Repère de Copernic associé : Repère cartésien associé au référentiel de Copernic [32] ayant pour « origine » « le C.D.I. [13] du Système solaire » et pour « axes » « trois directions fixes » [35] deux à deux orthogonales ; c'est donc le meilleur repère galiléen pour les expériences liées au Système solaire à une échelle de temps inférieure à celle de l'Humanité [34], [36].

......Remarque : le « référentiel de Copernic » [32] est à distinguer du « référentiel de Kepler » [37] lequel est le « référentiel barycentrique du Soleil » [38], [39], mais …
......Remarque : pratiquement ils sont quasiment confondus, la masse du Système solaire étant à dans le Soleil, on peut estimer la distance séparant le C.D.I. [13] du Soleil à celui du Système solaire à [40], le rayon solaire étant égal à le C.D.I. [13] du Système solaire peut être situé très grossièrement au niveau de la surface du Soleil ;
......Remarque : le repère associé au référentiel de Kepler [37] ayant pour origine le C.D.I. [13] du Soleil et étant en translation par rapport au repère de Copernic [32] qui a pour origine le C.D.I. [13] du Système solaire, le 1er est théoriquement en translation quasi circulaire par rapport au 2nd mais pratiquement la distance séparant les deux C.D.I. [13] restant petite par rapport à la dimension du Système solaire (laquelle reste très difficile à définir mais de l'ordre de , le mouvement du repère de Kepler [37] peut être, en 1ère approximation, négligé par rapport à celui du repère de Copernic [32] et par suite on peut aussi estimer le repère de Kepler [37] comme galiléen [41].

......Remarque : Pour information le symbole astronomique du Soleil est « ☉ » [42] et celui de Jupiter « ♃ » [42].

Caractère quasi galiléen du « référentiel géocentrique » si la durée de l’expérience n'excède pas trois jours (terrestres)[modifier | modifier le wikicode]

Définition du référentiel géocentrique[modifier | modifier le wikicode]

......Le référentiel géocentrique est le « référentiel lié au C.D.I. [13] de la Terre par rapport auquel les étoiles infiniment éloignées sont fixes », il est donc en mouvement de translation relativement au référentiel de Copernic [32] ;

......on peut aussi définir le référentiel géocentrique comme le référentiel barycentrique [38] de la Terre relativement au référentiel de Copernic [32] choisi comme référentiel d'étude.

Caractère « théoriquement non galiléen » du référentiel géocentrique[modifier | modifier le wikicode]

......Le référentiel géocentrique est « théoriquement non galiléen » car il est en translation « quasi circulaire » uniforme par rapport au référentiel de Copernic [32], le galiléen de référence, or pour être galiléen il devrait être en translation rectiligne uniforme par rapport à ce dernier.

Caractère « quasi galiléen » du référentiel géocentrique pour une durée d'expérience n'excédant pas trois jours (terrestres)[modifier | modifier le wikicode]

......Pour considérer le référentiel géocentrique comme « quasi galiléen » il faut pouvoir confondre son mouvement de translation quasi circulaire uniforme relativement au référentiel de Copernic [32] avec un mouvement de translation quasi rectiligne uniforme et ceci est réalisé à moins de près si le C.D.I. de la Terre décrit un arc de cercle de longueur représentant moins de du périmètre de l'orbite circulaire complète ou encore une durée représentant moins de de la période de la Terre sur son orbite autour du Soleil soit [43], [44] que l'on arrondit à «  ».

Validation du caractère « quasi galiléen » du référentiel géocentrique sur une durée d’expérience inférieure à trois jours (terrestres)[modifier | modifier le wikicode]

......Un point matériel au voisinage de la Terre étant au moins soumis à la force d'attraction gravitationnelle terrestre ne peut être isolé, toutefois s'il est suffisamment éloigné de la Terre, cette dernière n'exerce pratiquement plus de force et en absence d'autres forces il est « quasi isolé » [45] ;

......« en absence de vitesse initiale, aucun mouvement du point matériel quasi isolé ne serait perceptible pourvu que la durée d’observation reste inférieure à trois jours » [46].

Caractère quasi galiléen du « référentiel terrestre » si la durée de l’expérience n'excède pas quinze minutes (terrestres)[modifier | modifier le wikicode]

Définition du référentiel terrestre[modifier | modifier le wikicode]

......Le référentiel terrestre est le référentiel lié à la Terre, il est donc en « rotation (uniforme) relativement au référentiel géocentrique » [47].

......Repères terrestres associés : il y a autant de repères terrestres associés qu'il y a d'origines d'espace possibles c'est-à-dire une « infinité » [48], la base cartésienne étant choisie en respectant la direction locale verticale du 3ème vecteur (avec un sens ascendant ou descendant).

Caractère théoriquement « non galiléen » du référentiel terrestre[modifier | modifier le wikicode]

......Pour une expérience de durée inférieure à trois jours, le référentiel géocentrique peut être considéré comme galiléen et servir de galiléen de référence ;

......le référentiel terrestre est « théoriquement non galiléen » car il est en « rotation » uniforme par rapport au galiléen de référence c'est-à-dire le référentiel géocentrique, or pour être galiléen il devrait être en translation rectiligne uniforme par rapport à ce dernier.

Caractère « quasi galiléen » du référentiel terrestre pour une durée d'expérience n'excédant pas quinze minutes (terrestres)[modifier | modifier le wikicode]

......Pour considérer le référentiel terrestre comme « quasi galiléen » il faut pouvoir confondre son mouvement de rotation uniforme relativement au référentiel géocentrique avec un mouvement de translation quasi rectiligne uniforme et ceci est réalisé à moins de près si l'origine du repère terrestre décrit un arc de cercle de longueur représentant moins de du périmètre du parallèle décrit par l'origine ou encore une durée représentant moins de de la période de rotation synodique de la Terre soit [49] que l'on arrondit à «  ».

Validation du caractère « quasi galiléen » du référentiel terrestre sur une durée d’expérience inférieure à quinze minutes (terrestres)[modifier | modifier le wikicode]

......Un point matériel sur Terre étant au moins soumis à son poids [50] ne peut être isolé ; la seule façon de tenter de valider le caractère quasi galiléen d'un référentiel terrestre par vérification d'un mouvement rectiligne uniforme est de remplacer le caractère isolé d'un corps non réalisable sur terre par le caractère pseudo-isolé [51] ;

......on vérifie qu'« un point matériel pseudo-isolé a un mouvement rectiligne uniforme pourvu que la durée d'observation reste inférieure à un quart d'heure » [52], [53] et par suite on valide le caractère « quasi galiléen » du référentiel terrestre pour une durée inférieure à .

Notes et références[modifier | modifier le wikicode]

  1. 1,0 et 1,1 Un point matériel étant, par définition, doté d'une masse inerte (intervenant dans la définition de la quantité de mouvement), il possède aussi une masse grave (intervenant de l'interaction gravitationnelle) car ces deux masses sont mesurées par le même nombre.
  2. 2,0 et 2,1 La portée d'une interaction entre deux points étant la distance à partir de laquelle l'interaction est nulle.
  3. La résultante dynamique nulle d'un système (fermé) en équilibre est une C.N. d'équilibre, cette condition ne peut être maintenue qu'en absence de mouvement pour chaque point matériel du système.
  4. C.-à-d. utilisant un référentiel d'espace temps dans lequel les vitesses des points matériels restent petites devant la vitesse de la lumière dans le vide soit approximativement , la dynamique dans un référentiel d'espace temps ne vérifiant pas cette condition étant appelée « dynamique relativiste ».
  5. Si le caractère « isolé » d'un système (fermé) de points matériels reste valable dans n'importe quel référentiel en dynamique relativiste (car l'absence de forces est évidemment indépendant du choix d'un référentiel) il en est aussi de même du caractère « pseudo-isolé » d'un système (fermé) de points matériels en dynamique relativiste (car les forces étant invariantes par changement de référentiel dans cette dynamique, la nullité des forces y est aussi nécessairement maintenue).
  6. C.-à-d. deux étoiles en interaction entre elles.
  7. L'objet est soumis à deux forces extérieures, son poids et la réaction de la table laquelle, dans la mesure où le coussin d'air supprime pratiquement tout frottement, est perpendiculaire à la table donc verticale ascendante, l'absence de mouvement vertical correspond alors à une compensation parfaite des forces extérieures verticales d'où une résultante dynamique nulle.
  8. Isaac Newton (1643 - 1727) philosophe, mathématicien, physicien, astronome, alchimiste et théologien anglais, connu essentiellement de nos jours pour avoir fondé la mécanique classique, pour sa théorie de la gravitation et aussi pour la création du calcul infinitésimal ; en optique il a développé une théorie de la couleur et a aussi inventé un télescope composé d'un miroir primaire concave et d'un miroir secondaire plan, télescope connu de nos jours sous le nom de télescope de Newton.
  9. Galileo Galilei (1564 - 1642) mathématicien, géomètre, physicien et astronome italien (plus exactement pour l'époque florentin), à qui on doit en 1609 l'amélioration de la longue vue inventée par l'opticien hollandais Hans Lippershey (1570 - 1619) en lunette d'observation des objets célestes sans inversion de l'image par ajout d'une lentille divergente ; dès 1610 en observant les phases de Vénus, il est convaincu que le géocentrisme ne permet pas une explication simple de cette observation contrairement à l'héliocentrime [théorie physique dont l'essor est essentiellement dû à Nicolas Copernic (1473 - 1543) chanoine, médecin et astronome polonais] et défend cette thèse en poursuivant ses observations jusqu'en 1633 où il fût déclaré suspect d'hérésie par l'Inquisition romaine et dût adjurer ; il a aussi posé les bases de la mécanique en étudiant l'équilibre et le mouvement des corps solides (en particulier leur chute, leur translation rectiligne et leur inertie) ainsi que la généralisation des mesures de temps (en particulier par l'étude de l'isochronisme du pendule).
  10. La méthode de construction de la dynamique des systèmes (fermés) des points matériels n’étant pas précisée dans le programme de physique de P.C.S.I..
  11. Le principe de l'inertie a été réintroduit par Newton près de ans après Galilée et est connu par les anglo-saxons sous le nom de « 1ère loi de Newton », 1ère car cela a été son 1er « principe » (par ordre chronologique) de la dynamique du point ;
    ...malheureusement l'enseignement français de la physique s'anglicise et les programmes du secondaire parle de « lois » de Newton [ce qui est beaucoup moins précis car le mot « loi » désigne aussi bien un « principe » qu'un « théorème »] mais heureusement on voit réapparaître, dans les programmes de physique de C.P.G.E.S. (Classes Préparatoires aux Grandes Écoles Scientifiques), le mot « principe » ce qui précise que la propriété énoncée dans le principe est admise et qu'elle restera applicable tant qu'elle ne sera pas mise en défaut par l’expérience ;
    ...historiquement ce principe a été énoncé dans le cadre de la dynamique newtonienne mais il reste valable dans la dynamique relativiste.
  12. 12,0 et 12,1 Le programme de physique de P.C.S.I. parlant de principe de l'inertie appliqué à un système (fermé) de points matériels isolé, il s'agit d'un abus si les concepteurs du programme souhaitaient une construction « minimaliste » de la dynamique des systèmes (fermés) de points matériels …
  13. 13,00 13,01 13,02 13,03 13,04 13,05 13,06 13,07 13,08 13,09 13,10 et 13,11 Centre D'Inertie.
  14. Nous verrons dans le chapitre prochain que le principe fondamental de la dynamique newtonienne appliqué à un point matériel postule l'existence d'au moins un référentiel dans lequel d'où en faisant la somme sur toutes les relations écrites pour chaque point et en utilisant la conséquence du principe des actions réciproques à savoir ainsi que la définition de la résultante cinétique et son lien avec le vecteur vitesse du C.D.I. du système , on établit d'où le théorème énoncé en utilisant la définition d'un système (fermé) de points matériels isolé correspondant à l'absence de donc l'absence de
  15. Le système étant fermé.
  16. Nous verrons dans le chapitre prochain que le principe fondamental de la dynamique relativiste appliqué à un point matériel postule l'existence d'au moins un référentiel dans lequel d'où en faisant la somme sur toutes les relations écrites pour chaque point et en utilisant la conséquence du principe des actions réciproques que l'on suppose applicable dans le référentiel considéré à savoir ainsi que la définition de la résultante cinétique , on établit d'où le théorème énoncé dans un référentiel où la principe des actions réciproques est applicable dans le cadre de la dynamique relativiste en utilisant la définition d'un système (fermé) de points matériels isolé correspondant à l'absence de donc l'absence de
  17. Pour que le C.D.I. d'un système (fermé) de points matériels isolé soit animé d'un mouvement rectiligne uniforme dans le cadre de la dynamique relativiste il faut donc que le système soit en translation ce qui nécessite qu'il soit indéformable c'est-à-dire que le système (fermé) de points matériels isolé soit un solide en translation, le lien entre le vecteur vitesse et la résultante cinétique du solide en translation conservée au cours du temps du référentiel d'espace temps dans le cadre de la dynamique relativiste étant avec  ;
    ...on en tire et, en y reportant l'expression de , on a dont on tire soit et par suite soit finalement l'expression du vecteur vitesse du C.D.I. du solide en translation en dynamique relativiste en fonction de la résultante cinétique conservée.
  18. Emmy Nœther (1882 – 1935) mathématicienne allemande, spécialiste d'algèbre abstraite et de physique théorique à qui on doit, dans le domaine algébrique, de nombreuses contributions fondamentales comme celles sur la théorie des algèbres et, dans le domaine physique, le théorème portant son nom, théorème démontré en et publié en dont l'importance est considérée comme aussi grande que celle de la théorie de la relativité ;
    ...Albert Einstein (1879 - 1955) [physicien théoricien d'origine allemande, devenu apatride en puis suisse en  ; on lui doit la théorie de la relativité restreinte publiée en , la relativité générale en ainsi que bien d'autres avancées dans le domaine de la mécanique quantique et la cosmologie ; il a reçu le prix Nobel de physique en pour son explication de l'effet photoélectrique] disait qu'elle était « le génie mathématique créatif le plus considérable produit depuis que les femmes ont eu accès aux études supérieures ».
  19. On rappelle que ce théorème est un complément du programme (de physique) de P.C.S.I. …
  20. On suppose que l'espace est homogène (ses propriétés sont les mêmes en tout endroit), si aucune action extérieure ne s'exerce sur un point matériel, les lois de la physique s'appliquant à ce point matériel isolé ne découlent que des propriétés de l'espace et doivent être les mêmes si on fait une translation du point dans l'espace : on traduit cela en disant que « les lois de la physique s'appliquant à un point matériel isolé sont invariantes par translation d'espace ».
  21. L'ensemble des translations de vecteur quelconque constituant effectivement un groupe avec pour loi de composition interne « l'addition vectorielle des vecteurs translatant », loi associative, d'élément neutre « la translation de vecteur  » et associant « la translation de vecteur  » à « celle de vecteur  » comme translation « symétrique ».
  22. Construit à partir du nom de « Galilée » le physicien l'ayant énoncé pour la 1ère fois en .
  23. On parle encore de « référentiel inertiel (ou d'inertie) ».
  24. Pour faire la démonstration on utilise la loi de composition des vecteurs accélérations résultant d'un changement de référentiel, loi à résultat assez évident dans le cas d'un changement de référentiel en translation l'un par rapport à l'autre [voir la démonstration dans le paragraphe « cas d'un entraînement de translation » nécessitant de voir successivement la « loi de composition des vecteurs vitesses dans le cas où les deux référentiels sont en translation l'un par rapport à l'autre » puis la « loi de composition des vecteurs accélérations dans le cas où les deux référentiels sont en translation l'un par rapport à l'autre » dans le chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »] mais beaucoup moins évident dans le cas d'un référentiel se déduisant d'un autre en rotation autour d'un axe fixe [la démonstration pourra être vue (bien que ce ne soit pas utile ici) dans le paragraphe « cas d'un entraînement de rotation autour d'un axe fixe » nécessitant de voir successivement la « loi de composition des vecteurs vitesses dans le cas où l'un des référentiels est en rotation autour d'un axe fixe de l'autre référentiel » puis la « loi de composition des vecteurs accélérations dans le cas où l'un des référentiels est en rotation autour d'un axe fixe de l'autre référentiel » dans le chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »] [ces lois sont introduites dans le programme de physique des C.P.G.E.S. (Classes Préparatoires des Grandes Écoles Scientifiques) de 2ème année].
  25. La démonstration est donnée dans le paragraphe « loi de composition des vecteurs vitesses dans le cas où les deux référentiels sont en translation l'un par rapport à l'autre » du chapitre de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » ; cette loi s'énonce encore :
    ...le vecteur vitesse du point dans un référentiel « absolu » [c'est-à-dire le vecteur vitesse absolue de encore noté s'obtient en ajoutant au vecteur vitesse de dans un référentiel « d'entraînement » [c'est-à-dire le vecteur vitesse relative de encore noté le vecteur vitesse d’entrainement de translation de relativement à [encore appelé vecteur vitesse d'entraînement de et noté .
  26. La démonstration est donnée dans le paragraphe « loi de composition des vecteurs accélérations dans le cas où les deux référentiels sont en translation l'un par rapport à l'autre » du chapitre de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » :
    ...le vecteur accélération du point dans un référentiel « absolu » [c'est-à-dire le vecteur accélération absolue de encore noté s'obtient en ajoutant au vecteur accélération de dans un référentiel « d'entraînement » [c'est-à-dire le vecteur accélération relative de encore noté le vecteur accélération d’entrainement de translation de relativement à [encore appelé vecteur accélération d'entraînement de et noté  ;
    ...cette loi devient fausse si est en rotation relativement à autour d'un axe fixe, dans ce cas apparaît un 2ème vecteur accélération à ajouter au vecteur accélération relative (non évident) appelé vecteur accélération complémentaire ou de Coriolis  ;
    ...Gaspard-Gustave Coriolis (1792 - 1843) mathématicien et ingénieur français à qui on doit la notion d'accélération complémentaire à ajouter dans la loi de composition des accélérations lors d'un changement de référentiels en rotation l'un par rapport à l'autre ainsi que la pseudo force « dite de Coriolis » qu'il est nécessaire d'ajouter au bilan des forces appliquées pour traduire le mouvement du point par rapport à un référentiel d'étude non galiléen plus précisément en rotation autour d'un axe fixe relativement à un référentiel galiléen.
  27. Dès lors que deux référentiels se déduisent l'un de l'autre par translation rectiligne uniforme, le vecteur accélération d'un point ne dépend pas du référentiel choisi pour étudier son mouvement.
  28. Ce Qu'il Fallait Démontrer.
  29. Dans la théorie de la relativité générale on considère un espace-temps à 4 dimensions pour l'espace pour le temps) « non euclidien » alors que
    ...en « dynamique newtonienne », l'espace et le temps peuvent être dissociés, « la partie spatiale à 3 dimensions » est dite « euclidienne » car la distance entre deux points et se calcule par la norme de soit (on dit que l'on a défini une métrique) et
    ...en « dynamique relativiste (restreinte) » dans laquelle l'espace et le temps ne peuvent plus être dissociés, « l'espace-temps à 4 dimensions » est dit « pseudo-euclidien » car la distance entre deux évènements ponctuels et se calcule par la « norme du quadri-vecteur déplacement  » à 4ème composante temporelle imaginaire pure, « norme » définie selon , mais cette « norme » n'est pas définie positive (c'est-à-dire pour un quadri-vecteur non nul et nul pour le quadri-vecteur nul, ce qui est indispensable pour que l'espace soit euclidien), raison pour laquelle l'espace-temps de la relativité restreinte n'est que « pseudo-euclidien » ;
    ...en plus d'être « non euclidien », l'espace-temps de la relativité générale est « courbe » dans la mesure où les objets massiques présents dans l'espace-temps déforment ce dernier et ceci d'autant plus que la masse est élevée (la force de gravitation n'existe donc plus car elle est remplacée par la déformation de l'espace-temps), la métrique de cet espace-temps est alors définie localement car dépendant de la courbure de l'espace-temps.
  30. Dans le Système solaire, la masse la plus importante est celle du Soleil mais celle-ci restant néanmoins faible, la déformation de l'espace-temps (même quand elle est la plus grande c'est-à-dire au voisinage du Soleill) peut être en général négligée, d'où l'inutilité d'employer la relativité générale en 1ère approximation si on reste dans le Système solaire.
  31. 31,0 et 31,1 L'apparition de l'Homme est, pour l'instant, estimée à , date approximative à laquelle apparaît l'Homo rudolfensis une espèce éteinte extinction estimée à d'homonidés bipèdes devant son nom à l'endroit de sa découverte « le lac Rudolf », ancien nom du lac Turkana situé principalement au Kenya avec sa partie septentrionale en Éthiopie [on peut donc dire que l'homonidé « Homo » est apparu au début du Pléistocène la 1ère époque géologique du Quaternaire s'étendant de à avant le présent].
  32. 32,0 32,1 32,2 32,3 32,4 32,5 32,6 32,7 32,8 et 32,9 Nicolas Copernic (1473 - 1543) chanoine, médecin et astronome polonais à qui on doit essentiellement la théorie physique de l'« héliocentrime » [consistant à considérer que c'est le Soleil et non la Terre qui est au centre du Système solaire].
  33. Le Soleil effectuant une rotation autour du centre de la Voie Lactée en approximativement en restant à une distance moyenne années-lumière du centre de la Voie Lactée [lequel est composé d'une radiosource complexe Sagittaire A constitué entre autres de Sagittaire A* dont l'émission provient vraisemblablement d'un trou noir supermassif], si on considère le référentiel lactocentrique [c'est-à-dire lié à la Voie Lactée tel que le référentiel de Copernic soit en translation relativement à lui] comme le meilleur référentiel galiléen pour toute expérience s'effectuant exclusivement dans la Voie Lactée en restant suffisamment éloignée du centre de celle-ci (de façon à pouvoir négliger la courbure de l'espace-temps résultant du trou noir supermassif supposé présent en son centre), le référentiel de Copernic est alors en translation quasi circulaire relativement au référentiel lactocentrique mais sur une durée de représentant un centième de tour, on peut confondre l'arc de cercle décrit avec la corde correspondante et par suite affirmer que le référentiel de Copernic étant, pendant cette durée, en translation rectiligne uniforme relativement au référentiel lactocentrique galiléen est lui-même galiléen.
    ...Le qualificatif « lactocentrique » donné au référentiel lié au centre de la Voie Lactée tel que le référentiel de Copernic soit en translation relativement à lui n'est pas normalisé, c'est un choix personnel.
  34. 34,0 et 34,1 Durée s'étendant de l'apparition de l'homonidé Homo à nos jours, l'échelle de temps de l'Humanité est estimée à .
  35. Partant de l'origine et passant par des étoiles infiniment éloignées.
  36. Toutefois pour l'étude du mouvement d'objets restant proches de la Terre, si le référentiel de Copernic reste le meilleur galiléen il ne semble pas bien pratique pour des durées nettement plus faibles que celle de validité de son caractère galiléen …
  37. 37,0 37,1 37,2 et 37,3 Johannes Kepler (1571 - 1630) [ou Keppler] astronome allemand, surtout connu pour avoir étudié l'hypothèse héliocentrique de Nicolas Copernic (1473 - 1543) [chanoine, médecin et astronome polonais] et avoir découvert que les planètes suivent une trajectoire elliptique autour du Soleil [c'est lors de l'étude de l'orbite de Mars qu'il voit la nécessité de se pencher sur l'optique à cause de la réfraction atmosphérique].
  38. 38,0 et 38,1 Le référentiel barycentrique d'un système de points est le référentiel lié au C.D.I. du système de points, en translation relativement au référentiel d'étude , en général il est noté, quand il n'y a pas d'ambiguïté [et s'il y a ambiguïté on pourrait le noter ou, pour être encore plus précis .
  39. Ici le référentiel de Kepler est donc lié au C.D.I. du Soleil et en translation relativement au référentiel de Copernic.
  40. En effet si on considère la plus massive des planètes comme seule planète, à savoir Jupiter dont la masse représente approximativement de celle du Système solaire mais à laquelle on affecte une masse représentant la masse totale de tous les objets hors Soleil à savoir de de la masse du Système solaire, le centre de Jupiter étant approximativement situé à la distance de du centre du Soleil, le vecteur position du C.D.I. de ces deux points, la position étant définie relativement à , a la propriété suivante soit une distance en ou encore que l'on peut arrondir, compte-tenu des approximations grossières, à , distance représentant approximativement celle séparant le C.D.I. du Soleil du C.D.I. du Système solaire.
  41. Il reste néanmoins à préciser sur quelle durée le référentiel de Kepler peut être estimé « galiléen » dans le cadre galiléen du référentiel de Copernic et pour cela il faut donner un ordre de grandeur de la période de rotation du C.D.I. du Soleil autour du C.D.I. du Système solaire dans le référentiel de Copernic, ce que nous ferons avec la même approximation du Système solaire que celle utilisée précédemment à savoir composé uniquement du Soleil et de Jupiter, dans ce cas les C.D.I. du Système solaire et du Soleil étant alignés avec le C.D.I. de Jupiter, le C.D.I. du Soleil tourne, dans le référentiel de Copernic, autour du C.D.I. du Système solaire, avec une période identique à celle de Jupiter à savoir (on rappelle que cet ordre de grandeur suppose que le reste du Système solaire hors Soleil est localisé sur Jupiter ce qui, étant très éloigné de la réalité, rend cette approximation quasiment sans fondement, toutefois elle est faite pour avoir un ordre de grandeur, même si celui-ci est entaché d'une erreur d'un facteur  ;
    ...en supposant que la distance séparant le C.D.I. du Soleil de celui du Système solaire reste constante et que la période de rotation du C.D.I. du Soleil autour du C.D.I. du Système solaire est de dans le référentiel galiléen de Copernic (le mouvement du C.D.I. du Soleil étant alors circulaire uniforme), sur une durée correspondant à un centième de tour, à savoir , on peut estimer son mouvement quasiment rectiligne uniforme et par suite le référentiel de Kepler quasi galiléen sur une durée allant quelques jours à quelques dizaines de jours.
  42. 42,0 et 42,1 Voir la liste des symboles astronomiques dans l'article de Wikipédia symbole astronomique.
  43. La période de révolution de la Terre sur son orbite étant de .
  44. Le symbole astronomique de la Terre étant « ♁ » voir la liste des symboles astronomiques dans l'article de Wikipédia symbole astronomique.
  45. Voyant au chapitre prochain qu'un point matériel pseudo-isolé a un mouvement identique à un point matériel isolé, on pourrait aussi, pour valider le caractère « quasi galiléen » du référentiel géocentrique compenser la force de gravitation terrestre par l'action d'une autre force (à adapter pour que la compensation se fasse à tout instant) de façon à avoir un point matériel pseudo-isolé.
  46. En fait la validation du caractère quasi galiléen du référentiel géocentrique ne se fait pas en vérifiant l'absence de mouvement d'un point matériel quasi isolé si ce point n'a pas de vitesse initiale mais en comparant l'accélération d'un point matériel déterminée expérimentalement à celle du même point obtenue, de façon théorique, par utilisation du principe fondamental de la dynamique énoncé au chapitre suivant.
  47. On distingue la période de rotation sidérale de la Terre «  (pour faire un tour sur elle-même) » de sa période de rotation synodique «  (pour retrouver la même orientation par rapport au Soleil) », la période de rotation du référentiel terrestre relativement au référentiel géocentrique étant la période synodique.
  48. L'origine d'espace pouvant être choisie n’importe où sur la Terre.
  49. La période de rotation synodique de la Terre étant de .
  50. En 1ère approximation le poids s'identifie à la force de gravitation terrestre, mais on constate une légère différence entre les deux [cette légère différence n'est pas au programme de physique des C.P.G.E.S. (Classes Préparatoires des Grandes Écoles Scientifiques) de 1ère année, il faut donc attendre la 2ème année pour une explication détaillée, mais on peut dire dès à présent que …
    ...le poids d'un corps s'identifie à sa force de gravitation terrestre uniquement quand le corps est situé sur l'axe vertical du repère terrestre lié à un des pôles de la Terre car en ce lieu l'axe vertical du repère terrestre n'a aucun mouvement relativement au référentiel géocentrique, par contre …
    ...quand le corps est situé sur l'axe vertical du repère terrestre lié à un point équatorial de la Terre, l'axe vertical étant donc dans le plan équatorial de celle-ci, son poids est la résultante de sa force de gravitation terrestre centripète et d'une pseudo force d'inertie d'entraînement centrifuge tenant compte du caractère théoriquement non galiléen du référentiel terrestre en rotation relativement au référentiel géocentrique (voir l'introduction de la notion de « pseudo force d'inertie d'entraînement dans le cas où le référentiel d'entraînement est en rotation uniforme autour d'un axe fixe du référentiel galiléen » du chapitre de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) », on parle de pseudo force et non de force car cette grandeur n'intervenant que dans un référentiel non galiléen en rotation, elle n'est donc pas invariante par changement de référentiel comme doit l'être une force dans le cadre de la mécanique newtonienne), cette pseudo force centrifuge résulte du mouvement de rotation du référentiel, par exemple, quand une voiture tourne dans un virage, un passager endormi sans ceinture de sécurité et reposant sans frottement sur un siège se trouve réveillé brutalement par son choc avec la portière située à l'extérieur du virage, interprété dans le référentiel terrestre supposé galiléen, il a donc poursuivi un chemin en ligne droite alors que la voiture tournait d'où le choc, interprété dans le référentiel voiture non galiléen il a subi une pseudo force centrifuge dirigée vers l'extérieur du virage d'où le choc
    ...quand le corps est situé n'importe où dans un référentiel terrestre lié à un point de la surface de la Terre hors ses pôles, son poids est encore la résultante de sa force de gravitation terrestre de direction passant par le centre de la Terre et d'une pseudo force d'inertie d'entraînement de direction perpendiculaire à l'axe pôle Sud - pôle Nord de la Terre tenant compte du caractère théoriquement non galiléen du référentiel terrestre en rotation relativement au référentiel géocentrique  ;
    ...en effet, la direction du poids définit la verticale locale déterminée par la direction d'équilibre d'un fil à plomb (pendule pesant simple) et la direction de la force de gravitation terrestre correspond à la direction joignant le centre de la Terre au point où on compare poids et force de gravitation terrestre, on constate qu'à Paris par exemple la verticale en fait un angle de avec la direction joignant au centre de la Terre si on creusait verticalement un puits à partir d'un point situé à Paris on passerait à du centre de la Terre].
  51. En effet on verra au chapitre prochain qu'un point matériel pseudo-isolé a un mouvement identique à un point matériel isolé, on peut donc, pour valider le caractère « quasi galiléen » du référentiel terrestre compenser le poids du corps par l'action d'une autre force (à adapter pour que la compensation se fasse à tout instant) de façon à avoir un point matériel pseudo-isolé par exemple un corps reposant sur une table à coussin d'air horizontale, la force compensant le poids étant la réaction du coussin d'air dont on néglige les forces de frottement fluide.
  52. Ce n'est évidemment pas sur une table à coussin d'air que la durée de l'expérience peut atteindre .
  53. En fait la validation du caractère quasi galiléen du référentiel terrestre ne se fait pas en vérifiant le mouvement rectiligne uniforme d'un point matériel pseudo-isolé mais en comparant l'accélération d'un point matériel déterminée expérimentalement à celle du même point obtenue, de façon théorique, par utilisation du principe fondamental de la dynamique énoncé au chapitre suivant.