Mécanique 1 (PCSI)/Loi de la quantité de mouvement : Pendule pesant simple

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Dans tout ce chapitre on se place dans le cadre de la dynamique newtonienne.

Pendule pesant, description et cas limite du pendule pesant simple (P.P.S.), conditions initiales induisant un mouvement à un degré de liberté avec établissement de la nature plane du mouvement

Définitions du pendule pesant (P.P.) et de son cas limite « le pendule pesant simple (P.P.S.) »

Définition d'un pendule pesant (P.P.)

     Un pendule pesant $\;{\big (}$P.P.${\big )}\;$ est un solide $\;({\mathcal {S}})\;$ placé dans un champ de pesanteur $\;{\vec {g}}\;$ uniforme dont un point $\;O\;$ autre que son centre d'inertie $\;G\;$ est fixe dans le référentiel d'étude $\;{\mathcal {R}}\;$ lié à la source du champ de pesanteur  ;

     le P.P. est caractérisé par la masse $\;m\;$ du solide $\;({\mathcal {S}})\;$ et
         le P.P. est caractérisé par la distance $\;a\;$ entre le C.D.I. $\;G\;$ de $\;({\mathcal {S}})\;$ et son point fixe $\;O\;$ c.-à-d. $\;a=OG$.

Définition d'un pendule pesant simple (P.P.S.)

     Un P.P. est qualifié de « simple » si son solide $\;({\mathcal {S}})\;$ se réduit à l'« association d'une tige inextensible sans masse et d'un point matériel $\;M\;$»  ;

     le P.P.S. est caractérisé par sa masse $\;m\;$ ${\big (}$c.-à-d. la masse de son point matériel $\;M\;$${\big )}\;$ et sa longueur $\;l\;$ ${\big (}$c.-à-d. la longueur de la tige sans masse ${\big )}\;$ à savoir $\;l=OM\;$.

Conditions initiales (C.I.) de lancement « 1a » ou « 1b » induisant un mouvement du P.P.S. à un degré de liberté

     Les C.I. de lancement du P.P.S. notées «$\;1a\;$» sont les suivantes :

• on écarte le P.P.S. de $\;\theta _{0}\;$ de sa position d'« équilibre stable » et
• on le lâche sans « vitesse initiale » dans le référentiel d'étude.

     On pourra aussi utiliser les C.I. de lancement du P.P.S. notées «$\;1b\;$» suivantes :

• on écarte le P.P.S. de $\;\theta _{0}\;$ de sa position d'« équilibre stable » et
• on lui communique une « vitesse initiale » de vecteur situé dans le plan vertical de lancement du référentiel d'étude.

Établissement de la nature plane du mouvement du P.P.S. lancé dans les C.I. « 1a » ou « 1b »

     Nous considérons dans un 1^er temps les C.I. de lancement «$\;1a\;$» $\;{\big (}$les conditions les plus usuelles${\big )}\;$ et nous étudions son mouvement ultérieur dans le référentiel terrestre supposé galiléen, puis

     nous préciserons les modifications de l'étude dans les C.I. de lancement «$\;1b\;$».

Bilan des forces agissant sur le P.P.S.

Schéma d'un pendule pesant simple avec repérage sphérique de pôle $\;O\;$ et d'axe $\;{\overrightarrow {Oz}}\;$ et représentation des deux forces s'appliquant sur le point $\;M\;$ du P.P.S.

     Le point $\;M$, repéré par ses coordonnées sphériques de pôle $\;O\;$ et d'axe $\;{\overrightarrow {Oz}}\;$ vertical descendant, à savoir $\;\left(r=l\,,\,\theta \,,\,\varphi \right)\;$ de base sphérique associée $\;\left({\vec {u}}_{r}\,,\,{\vec {u}}_{\theta }\,,\,{\vec {u}}_{\varphi }\right)$, est soumis à deux forces $\;{\big (}$voir schéma ci-contre${\big )}$ :

• une force à distance, le poids de $\;M$, $\;m\;{\vec {g}}\;$ et
• une force de contact, le vecteur tension de la tige $\;{\vec {T}}(t)\;$ « central » dans la mesure où la tige est sans masse .

Démonstration de la nature plane du mouvement de M dans les C.I. de lancement « 1a » (ou « 1b »)

Schéma en perspective d'un pendule pesant simple avec repérage cylindro-polaire d'axe $\;{\overrightarrow {Oz}}\;$ et représentation des deux forces s'appliquant sur le point $\;M\;$ du P.P.S.

     Préliminaire : La courbe décrite par $\;M\;$ s'inscrivant sur la sphère de centre $\;O\;$ et de rayon $\;l$, le meilleur système de coordonnées est effectivement le système sphérique de pôle $\;O\;$ et d'axe $\;{\overrightarrow {Oz}}\;$ mais $\;\ldots$

     Préliminaire : l'utilisation de la r.f.d.n. appliquée à $\;M\;$ dans le référentiel terrestre galiléen nécessitant de connaître les composantes sphériques de $\;{\vec {a}}_{M}(t)\;$ et celles-ci étant beaucoup trop complexes $\;{\big (}$de plus hors programme de physique de P.C.S.I.${\big )}$, on va se rabattre sur le système de coordonnées cylindro-polaires le plus proche du système sphérique à savoir le système de coordonnées cylindro-polaires d'axe $\;{\overrightarrow {Oz}}\;$ ;

     Préliminaire : avec le système de coordonnées cylindro-polaires d'axe $\;{\overrightarrow {Oz}}\;$ le point $\;M\;$ a pour coordonnées cylindro-polaires $\;\left\lbrace \rho =l\;\sin(\theta ),\,\varphi \,,\,z=l\;\cos(\theta )\right\rbrace \;$ de base cylindro-polaire associée $\;\left\lbrace {\vec {u}}_{\rho }=\sin(\theta )\;{\vec {u}}_{r}+\cos(\theta )\;{\vec {u}}_{\theta }\,,\,{\vec {u}}_{\varphi }\,,\,{\vec {u}}_{z}=\cos(\theta )\;{\vec {u}}_{r}-\sin(\theta )\;{\vec {u}}_{\theta }\right\rbrace \;$,

     Préliminaire : voir schéma refait en perspective ci-contre à gauche.

     La r.f.d.n. appliquée à $\;M\;$ dans le référentiel terrestre galiléen «$\;m\;{\vec {g}}+{\vec {T}}(t)=m\;{\vec {a}}_{M}(t)\;$» projetée sur $\;{\vec {u}}_{\varphi }\;$ nous conduit à «$\;m\;g_{\varphi }+T_{\varphi }(t)=m\;a_{\varphi ,\,M}(t)\;$» ou,
           La r.f.d.n. appliquée à $\;\color {transparent}{M}\;$ dans le référentiel terrestre galiléen «$\;\color {transparent}{m\;{\vec {g}}+{\vec {T}}(t)=m\;{\vec {a}}_{M}(t)}\;$» projetée sur $\;\color {transparent}{{\vec {u}}_{\varphi }}\;$ les composantes de $\;{\vec {g}}\;$ et de $\;{\vec {T}}(t)\;$ sur $\;{\vec {u}}_{\varphi }\;$ étant nulles on obtient,
           La r.f.d.n. appliquée à $\;\color {transparent}{M}\;$ dans le référentiel terrestre galiléen «$\;\color {transparent}{m\;{\vec {g}}+{\vec {T}}(t)=m\;{\vec {a}}_{M}(t)}\;$» projetée sur $\;\color {transparent}{{\vec {u}}_{\varphi }}\;$ après simplification par $\;m$, «$\;a_{\varphi ,\,M}(t)=0\;\;\forall \;t\in \mathbb {R} ^{+}\;$» ou encore,

           La r.f.d.n. appliquée à $\;\color {transparent}{M}\;$ dans le référentiel terrestre galiléen «$\;\color {transparent}{m\;{\vec {g}}+{\vec {T}}(t)=m\;{\vec {a}}_{M}(t)}\;$» projetée sur $\;\color {transparent}{{\vec {u}}_{\varphi }}\;$ pour les valeurs de $\;t\;$ telles que $\;\rho (t)\neq 0\;$ et avec utilisation de la forme « semi intégrée » de l'accélération orthoradiale «$\;a_{\varphi ,\,M}(t)={\dfrac {1}{\rho (t)}}\;{\dfrac {d\!\left[\rho ^{2}\,{\dot {\varphi }}\right]}{dt}}(t)\;$» et après simplification par $\;{\dfrac {1}{\rho (t)}}\neq 0\;\;\forall \;t$, l'équation différentielle suivante
           La r.f.d.n. appliquée à $\;\color {transparent}{M}\;$ dans le référentiel terrestre galiléen «$\;\color {transparent}{m\;{\vec {g}}+{\vec {T}}(t)=m\;{\vec {a}}_{M}(t)}\;$» projetée sur $\;\color {transparent}{{\vec {u}}_{\varphi }}\;$ «$\;{\dfrac {d\!\left[\rho ^{2}\,{\dot {\varphi }}\right]}{dt}}(t)=0\;$» pour $\;t\in \mathbb {R} ^{+}\setminus \left\lbrace t_{\text{éq stable}}\right\rbrace \;$
           La r.f.d.n. appliquée à $\;\color {transparent}{M}\;$ dans le référentiel terrestre galiléen «$\;\color {transparent}{m\;{\vec {g}}+{\vec {T}}(t)=m\;{\vec {a}}_{M}(t)}\;$» projetée sur $\;\color {transparent}{{\vec {u}}_{\varphi }}\;$ qui s'intègre, sur chaque intervalle continu de temps $\;\not \ni \;$ une des valeurs $\;t_{\text{éq stable}}$,
           La r.f.d.n. appliquée à $\;\color {transparent}{M}\;$ dans le référentiel terrestre galiléen «$\;\color {transparent}{m\;{\vec {g}}+{\vec {T}}(t)=m\;{\vec {a}}_{M}(t)}\;$» projetée sur $\;\color {transparent}{{\vec {u}}_{\varphi }}\;$ qui s'intègre, en «$\;\rho ^{2}(t)\,{\dot {\varphi }}(t)=cste\;$» et dont on peut prolonger le résultat aux valeurs discrètes $\;t_{\text{éq stable}}$ compte-tenu de la continuité des grandeurs $\;\rho (t)\;$ et $\;{\dot {\varphi }}(t)\;$ pour tout $\;t\in \mathbb {R}$, ce qui entraîne la continuité de $\;\rho ^{2}(t)\,{\dot {\varphi }}(t)\;$ soit finalement
           La r.f.d.n. appliquée à $\;\color {transparent}{M}\;$ dans le référentiel terrestre galiléen «$\;\color {transparent}{m\;{\vec {g}}+{\vec {T}}(t)=m\;{\vec {a}}_{M}(t)}\;$» projetée sur $\;\color {transparent}{{\vec {u}}_{\varphi }}\;$ qui s'intègre, en «$\;\rho ^{2}(t)\,{\dot {\varphi }}(t)=cste\;\;\forall \;t\in \mathbb {R} ^{+}\;$» ;

           La r.f.d.n. appliquée à $\;\color {transparent}{M}\;$ dans le référentiel terrestre galiléen «$\;\color {transparent}{m\;{\vec {g}}+{\vec {T}}(t)=m\;{\vec {a}}_{M}(t)}\;$» projetée sur $\;\color {transparent}{{\vec {u}}_{\varphi }}\;$ on détermine la constante d'intégration par utilisation partielle des C.I. à savoir $\;\left\lbrace {\begin{array}{l c r}\theta (0)=\theta _{0}\!\!&{\text{et }}&\!\!\varphi (0)=0\\{\dot {\theta }}(0)=0\!\!&{\text{et }}&\!\!{\dot {\varphi }}(0)=0\end{array}}\right\rbrace \;$ soit, avec «$\;\rho (t)=l\;\sin \!\left[\theta (t)\right]\;$», la réécriture de la C.I. selon «$\;l^{2}\;\sin ^{2}(\theta _{0})\;{\dot {\varphi }}(0)=cste\;$» ou «$\;0=cste\;$» et par suite
           La r.f.d.n. appliquée à $\;\color {transparent}{M}\;$ dans le référentiel terrestre galiléen «$\;\color {transparent}{m\;{\vec {g}}+{\vec {T}}(t)=m\;{\vec {a}}_{M}(t)}\;$» projetée sur $\;\color {transparent}{{\vec {u}}_{\varphi }}\;$ qui s'intègre, en «$\;\rho ^{2}(t)\,{\dot {\varphi }}(t)=0\;\;\forall \;t\in \mathbb {R} ^{+}\;$» ou,

           La r.f.d.n. appliquée à $\;\color {transparent}{M}\;$ dans le référentiel terrestre galiléen «$\;\color {transparent}{m\;{\vec {g}}+{\vec {T}}(t)=m\;{\vec {a}}_{M}(t)}\;$» projetée sur $\;\color {transparent}{{\vec {u}}_{\varphi }}\;$ en simplifiant par $\;\rho ^{2}(t)\;$ non identiquement nul,
           La r.f.d.n. appliquée à $\;\color {transparent}{M}\;$ dans le référentiel terrestre galiléen «$\;\color {transparent}{m\;{\vec {g}}+{\vec {T}}(t)=m\;{\vec {a}}_{M}(t)}\;$» projetée sur $\;\color {transparent}{{\vec {u}}_{\varphi }}\;$ qui s'intègre, en «$\;{\dot {\varphi }}(t)=0\;\;\forall \;t\in \mathbb {R} ^{+}\;$» ou enfin,

           La r.f.d.n. appliquée à $\;\color {transparent}{M}\;$ dans le référentiel terrestre galiléen «$\;\color {transparent}{m\;{\vec {g}}+{\vec {T}}(t)=m\;{\vec {a}}_{M}(t)}\;$» projetée sur $\;\color {transparent}{{\vec {u}}_{\varphi }}\;$ après intégration «$\;\varphi (t)=cste'\;\;\forall \;t\in \mathbb {R} ^{+}\;$»,
           La r.f.d.n. appliquée à $\;\color {transparent}{M}\;$ dans le référentiel terrestre galiléen «$\;\color {transparent}{m\;{\vec {g}}+{\vec {T}}(t)=m\;{\vec {a}}_{M}(t)}\;$» projetée sur $\;\color {transparent}{{\vec {u}}_{\varphi }}\;$ valeur de $\;cste'\;$ déterminée par C.I. $\;\varphi (0)=0\;$ $\Rightarrow$ $\;cste'=0$, soit finalement
           La r.f.d.n. appliquée à $\;\color {transparent}{M}\;$ dans le référentiel terrestre galiléen «$\;\color {transparent}{m\;{\vec {g}}+{\vec {T}}(t)=m\;{\vec {a}}_{M}(t)}\;$» projetée sur $\;\color {transparent}{{\vec {u}}_{\varphi }}\;$ qui s'intègre, en «$\;\varphi (t)=0\;\;\forall \;t\in \mathbb {R} ^{+}\;$», c.-à-d.
           La r.f.d.n. appliquée à $\;\color {transparent}{M}\;$ dans le référentiel terrestre galiléen «$\;\color {transparent}{m\;{\vec {g}}+{\vec {T}}(t)=m\;{\vec {a}}_{M}(t)}\;$» projetée sur $\;\color {transparent}{{\vec {u}}_{\varphi }}\;$ la nature plane du mouvement de $\;M\;$ dans le plan de lancement.

     Modifications avec les C.I. de lancement$\;(1b)$ : aucune modification avant l'intervention des C.I. c.-à-d. qu'on établit «$\;\rho ^{2}(t)\,{\dot {\varphi }}(t)=cste\;\;\forall \;t\in \mathbb {R} ^{+}\;$» par une 1^ère intégration par rapport au temps de la projection de la r.f.d.n. sur $\;{\vec {u}}_{\varphi }$, la constante d'intégration se déterminant par utilisation partielle des C.I. $\;\left\lbrace {\begin{array}{l}\theta (0)=\theta _{0}\;&{\text{et }}&\varphi (0)=0\\{\dot {\theta }}(0)={\dfrac {V_{0}}{l}}\;&{\text{et }}&{\dot {\varphi }}(0)=0\end{array}}\right\rbrace \;$ soit, avec «$\;\rho (t)=l\;\sin \!\left[\theta (t)\right]\;$», la réécriture de la C.I. selon «$\;l^{2}\;\sin ^{2}(\theta _{0})\;{\dot {\varphi }}(0)=cste\;$» ou «$\;0=cste\;$» et par suite «$\;\rho ^{2}(t)\,{\dot {\varphi }}(t)=0\;\;\forall \;t\in \mathbb {R} ^{+}\;$» ou, en simplifiant par $\;\rho ^{2}(t)\;$ non identiquement nul,
           Modifications avec les C.I. de lancement$\;\color {transparent}{(1b)}$ : aucune modification avant l'intervention des C.I. c.-à-d. qu'on établit «$\;{\dot {\varphi }}(t)=0\;\;\forall \;t\in \mathbb {R} ^{+}\;$» ou enfin,

           Modifications avec les C.I. de lancement$\;\color {transparent}{(1b)}$ : aucune modification avant l'intervention des C.I. c.-à-d. après intégration «$\;\varphi (t)=cste'\;\;\forall \;t\in \mathbb {R} ^{+}\;$»,
           Modifications avec les C.I. de lancement$\;\color {transparent}{(1b)}$ : aucune modification avant l'intervention des C.I. c.-à-d. valeur de $\;cste'\;$ déterminée par C.I. $\;\varphi (0)=0\;$ $\Rightarrow$ $\;cste'=0$, soit finalement
           Modifications avec les C.I. de lancement$\;\color {transparent}{(1b)}$ : aucune modification avant l'intervention des C.I. c.-à-d. qu'on établit «$\;\varphi (t)=0\;\;\forall \;t\in \mathbb {R} ^{+}\;$»,
           Modifications avec les C.I. de lancement$\;\color {transparent}{(1b)}$ : aucune modification avant l'intervention des C.I. c.-à-d. la nature plane du mouvement de $\;M\;$ dans le plan de lancement.

En complément, établissement de la nature plane du mouvement du P.P.S.A. lancé dans les C.I. « 1a » ou « 1b »

     Si le P.P.S. se déplace dans un fluide suffisamment visqueux pour que la force de résistance à l'avancement soit linéaire,
     Si le P.P.S. est qualifié d'« amorti » $\;{\big (}$P.P.S.A.${\big )}\;$ c.-à-d. qu'aux forces précédentes s'exerçant sur un P.P.S. à savoir $\;m\;{\vec {g}}\;$ le poids de $\;M\;$ et $\;{\vec {T}}(t)\;$ le vecteur tension de la tige sans masse,
              Si le P.P.S. est qualifié d'« amorti » $\;\color {transparent}{\big (}$P.P.S.A.$\color {transparent}{\big )}\;$ c.-à-d. qu'aux forces précédentes s'ajoute une force de frottement fluide linéaire$\;{\overrightarrow {{\mathcal {R}}_{\text{flu}}}}(t)=-h\;{\vec {V}}_{M}(t)\;$ avec
              Si le P.P.S. est qualifié d'« amorti » $\;\color {transparent}{\big (}$P.P.S.A.$\color {transparent}{\big )}\;$ c.-à-d. qu'aux forces précédentes s'ajoute une force de frottement fluide linéaire $\;h>0\;$ constante dépendant du fluide enveloppant le P.P.S.A.  ;

              Si le P.P.S. est qualifié d'« amorti » $\;\color {transparent}{\big (}$P.P.S.A.$\color {transparent}{\big )}\;$ lancé dans les C.I. de lancement «$\;1a\;$» ou «$\;1b\;$», le P.P.S.A. a encore un mouvement plan dans le plan vertical de lancement, en effet :

              Si le P.P.S. est qualifié d'« amorti » $\;\color {transparent}{\big (}$P.P.S.A.$\color {transparent}{\big )}\;$ la r.f.d.n. appliquée à $\;M\;$ dans le référentiel terrestre galiléen «$\;m\;{\vec {g}}+{\vec {T}}(t)+{\overrightarrow {{\mathcal {R}}_{\text{flu}}}}(t)=m\;{\vec {a}}_{M}(t)\;$»
                    Si le P.P.S. est qualifié d'« amorti » $\;\color {transparent}{\big (}$P.P.S.A.$\color {transparent}{\big )}\;$ la r.f.d.n. projetée sur $\;{\vec {u}}_{\varphi }\;$ $\Rightarrow$ «$\;-h\;V_{\varphi ,\,M}(t)=m\;a_{\varphi ,\,M}(t)\;$» ou, avec le repérage cylindro-polaire d'axe $\;{\overrightarrow {Oz}}\;$ ainsi que
                                 Si le P.P.S. est qualifié d'« amorti » $\;\color {transparent}{\big (}$P.P.S.A.$\color {transparent}{\big )}\;$ la r.f.d.n. projetée sur $\;\color {transparent}{{\vec {u}}_{\varphi }}\;$ $\color {transparent}{\Rightarrow }$ «$\;\color {transparent}{-h\;V_{\varphi ,\,M}(t)=m\;a_{\varphi ,\,M}(t)}\;$» ou, avec l'expression de la vitesse orthoradiale $\;V_{\varphi ,\,M}(t)=\rho (t)\;{\dot {\varphi }}(t)\;$ et
                                 Si le P.P.S. est qualifié d'« amorti » $\;\color {transparent}{\big (}$P.P.S.A.$\color {transparent}{\big )}\;$ la r.f.d.n. projetée sur $\;\color {transparent}{{\vec {u}}_{\varphi }}\;$ $\color {transparent}{\Rightarrow }$ «$\;\color {transparent}{-h\;V_{\varphi ,\,M}(t)=m\;a_{\varphi ,\,M}(t)}\;$» ou, avec la forme « semi intégrée » de l'accélération orthoradiale
                                 Si le P.P.S. est qualifié d'« amorti » $\;\color {transparent}{\big (}$P.P.S.A.$\color {transparent}{\big )}\;$ la r.f.d.n. projetée sur $\;\color {transparent}{{\vec {u}}_{\varphi }}\;$ $\color {transparent}{\Rightarrow }$ «$\;\color {transparent}{-h\;V_{\varphi ,\,M}(t)=m\;a_{\varphi ,\,M}(t)}\;$» ou, avec la forme « semi intégrée » $a_{\varphi ,\,M}(t)={\dfrac {1}{\rho (t)}}\,{\dfrac {d\!\left[\rho ^{2}\,{\dot {\varphi }}\right]}{dt}}(t)\;$ ,
                    Si le P.P.S. est qualifié d'« amorti » $\;\color {transparent}{\big (}$P.P.S.A.$\color {transparent}{\big )}\;$ la r.f.d.n. projetée sur $\;\color {transparent}{{\vec {u}}_{\varphi }}\;$ $\color {transparent}{\Rightarrow }$ «$\;-h\;\rho (t)\;{\dot {\varphi }}(t)=m\;{\dfrac {1}{\rho (t)}}\;{\dfrac {d\!\left[\rho ^{2}\,{\dot {\varphi }}\right]}{dt}}(t)\;$» soit, en multipliant par $\;\rho (t)\;$ et en normalisant,
                    Si le P.P.S. est qualifié d'« amorti » $\;\color {transparent}{\big (}$P.P.S.A.$\color {transparent}{\big )}\;$ la r.f.d.n. projetée sur $\;\color {transparent}{{\vec {u}}_{\varphi }}\;$ $\color {transparent}{\Rightarrow }$ l'équation différentielle linéaire à cœfficients réels constants du 1^er ordre en $\;\left[\rho ^{2}\,{\dot {\varphi }}\right]\!(t)\;$ homogène suivante
                    Si le P.P.S. est qualifié d'« amorti » $\;\color {transparent}{\big (}$P.P.S.A.$\color {transparent}{\big )}\;$ la r.f.d.n. projetée sur $\;\color {transparent}{{\vec {u}}_{\varphi }}\;$ $\color {transparent}{\Rightarrow }$ «$\;{\dfrac {d\!\left[\rho ^{2}\,{\dot {\varphi }}\right]}{dt}}(t)+{\dfrac {h}{m}}\,\left[\rho ^{2}\,{\dot {\varphi }}\right]\!(t)=0,\;\;\forall \;t\in \mathbb {R} ^{+}\setminus \left\lbrace t_{\text{éq stable}}\right\rbrace \;$» ;

                    Si le P.P.S. est qualifié d'« amorti » $\;\color {transparent}{\big (}$P.P.S.A.$\color {transparent}{\big )}\;$ la r.f.d.n. projetée sur $\;\color {transparent}{{\vec {u}}_{\varphi }}\;$ $\color {transparent}{\Rightarrow }$ on intègre cette équation différentielle sur l'intervalle de temps continu $\;\left[0\,,\,t_{{\text{éq stable}},\,1}\right[\;$ où $\;t_{{\text{éq stable}},\,1}\;$ est le 1^er instant correspondant au passage du P.P.S.A. par sa position d'équilibre stable et on obtient
                    Si le P.P.S. est qualifié d'« amorti » $\;\color {transparent}{\big (}$P.P.S.A.$\color {transparent}{\big )}\;$ la r.f.d.n. projetée sur $\;\color {transparent}{{\vec {u}}_{\varphi }}\;$ $\color {transparent}{\Rightarrow }$ «$\;\left[\rho ^{2}\,{\dot {\varphi }}\right]\!(t)=A_{1}\;\exp \!\left(-{\dfrac {t}{\tau }}\right)\;$» où $\;A_{1}\;$ est une constante réelle d'intégration et
                          Si le P.P.S. est qualifié d'« amorti » $\;\color {transparent}{\big (}$P.P.S.A.$\color {transparent}{\big )}\;$ la r.f.d.n. projetée sur $\;\color {transparent}{{\vec {u}}_{\varphi }}\;$ $\color {transparent}{\Rightarrow }$ «$\;\color {transparent}{\left[\rho ^{2}\,{\dot {\varphi }}\right]\!(t)=A_{1}\;\exp \!\left(-{\dfrac {t}{\tau }}\right)}\;$» où $\;\tau ={\dfrac {m}{h}}\;$ la constante de temps d'amortissement de la solution, avec
                    Si le P.P.S. est qualifié d'« amorti » $\;\color {transparent}{\big (}$P.P.S.A.$\color {transparent}{\big )}\;$ la r.f.d.n. projetée sur $\;\color {transparent}{{\vec {u}}_{\varphi }}\;$ $\color {transparent}{\Rightarrow }$ $\;A_{1}\;$ déterminée par utilisation partielle des C.I. $\;\left\lbrace {\begin{array}{l c r}\theta (0)=\theta _{0}\!\!&\!\!{\text{et }}\!\!&\!\!\varphi (0)=0\\{\dot {\theta }}(0)=\left\lbrace {\begin{array}{c}0\;\;\;{\text{pour C.I. }}\,1a\\{\dfrac {V_{0}}{l}}\;\;{\text{pour C.I. }}\,1b\end{array}}\right\rbrace \!\!&\!\!{\text{et }}\!\!&\!\!{\dot {\varphi }}(0)=0\end{array}}\right\rbrace \;$ soit, avec «$\;\rho (t)=l\;\sin \!\left[\theta (t)\right]\;$», la réécriture de la C.I. selon «$\;l^{2}\;\sin ^{2}(\theta _{0})\;{\dot {\varphi }}(0)=A_{1}\;$» ou «$\;0=A_{1}\;$» et par suite «$\;\rho ^{2}(t)\,{\dot {\varphi }}(t)=0,\;\;\forall \;t\in \left[0\,,\,t_{{\text{éq stable}},\,1}\right[\;$» ;

                    Si le P.P.S. est qualifié d'« amorti » $\;\color {transparent}{\big (}$P.P.S.A.$\color {transparent}{\big )}\;$ la r.f.d.n. projetée sur $\;\color {transparent}{{\vec {u}}_{\varphi }}\;$ $\color {transparent}{\Rightarrow }$ de la continuité des grandeurs $\;\rho (t)\;$ et $\;{\dot {\varphi }}(t)\;$ pour tout $\;t\in \mathbb {R}$, on en déduit celle de $\;\rho ^{2}(t)\,{\dot {\varphi }}(t)\;$ en particulier pour $\;t_{{\text{éq stable}},\,1}\;$ d'où le prolongement de la définition de $\;\rho ^{2}(t)\,{\dot {\varphi }}(t)\;$ selon «$\;\rho ^{2}(t)\,{\dot {\varphi }}(t)=0,\;\;\forall \;t\in \left[0\,,\,t_{{\text{éq stable}},\,1}\right]\;$» ;

                    Si le P.P.S. est qualifié d'« amorti » $\;\color {transparent}{\big (}$P.P.S.A.$\color {transparent}{\big )}\;$ la r.f.d.n. projetée sur $\;\color {transparent}{{\vec {u}}_{\varphi }}\;$ $\color {transparent}{\Rightarrow }$ on poursuit l'intégration de l'équation différentielle sur l'intervalle de temps continu suivant $\;\left[t_{{\text{éq stable}},\,1}\,,\,t_{{\text{éq stable}},\,2}\right[\;$ où $\;t_{{\text{éq stable}},\,2}\;$ est l'instant suivant qui correspond au passage du P.P.S.A. par sa position d'équilibre stable et on obtient
                    Si le P.P.S. est qualifié d'« amorti » $\;\color {transparent}{\big (}$P.P.S.A.$\color {transparent}{\big )}\;$ la r.f.d.n. projetée sur $\;\color {transparent}{{\vec {u}}_{\varphi }}\;$ $\color {transparent}{\Rightarrow }$ «$\;\left[\rho ^{2}\,{\dot {\varphi }}\right]\!(t)=A_{2}\;\exp \!\left(-{\dfrac {t}{\tau }}\right)\;$» où $\;A_{2}\;$ est une constante réelle d'intégration et
                          Si le P.P.S. est qualifié d'« amorti » $\;\color {transparent}{\big (}$P.P.S.A.$\color {transparent}{\big )}\;$ la r.f.d.n. projetée sur $\;\color {transparent}{{\vec {u}}_{\varphi }}\;$ $\color {transparent}{\Rightarrow }$ «$\;\color {transparent}{\left[\rho ^{2}\,{\dot {\varphi }}\right]\!(t)=A_{2}\;\exp \!\left(-{\dfrac {t}{\tau }}\right)}\;$» où $\;\tau ={\dfrac {m}{h}}\;$ la constante de temps d'amortissement de la solution, avec
                    Si le P.P.S. est qualifié d'« amorti » $\;\color {transparent}{\big (}$P.P.S.A.$\color {transparent}{\big )}\;$ la r.f.d.n. projetée sur $\;\color {transparent}{{\vec {u}}_{\varphi }}\;$ $\color {transparent}{\Rightarrow }$ $\;A_{2}\;$ déterminée par utilisation de la continuité de $\;\left[\rho ^{2}\,{\dot {\varphi }}\right]\!(t)\;$ à l'instant $\;t_{{\text{éq stable}},\,1}\;$ soit, avec «$\;\left[\rho ^{2}\,{\dot {\varphi }}\right]\!(t_{{\text{éq stable}},\,1}^{\,-})$ $=0\;$» et «$\;\left[\rho ^{2}\,{\dot {\varphi }}\right]\!(t_{{\text{éq stable}},\,1}^{\,+})=A_{2}\;\exp \!\left(-{\dfrac {t_{{\text{éq stable}},\,1}^{\,+}}{\tau }}\right)\;$», «$\;A_{2}=0\;$» et par suite «$\;\rho ^{2}(t)\,{\dot {\varphi }}(t)=0,\;\;\forall \;t\in \left[0\,,\,t_{{\text{éq stable}},\,2}\right[\;$» puis,
                    Si le P.P.S. est qualifié d'« amorti » $\;\color {transparent}{\big (}$P.P.S.A.$\color {transparent}{\big )}\;$ la r.f.d.n. projetée sur $\;\color {transparent}{{\vec {u}}_{\varphi }}\;$ $\color {transparent}{\Rightarrow }$ par continuité en $\;t_{{\text{éq stable}},\,2}$, «$\;\rho ^{2}(t)\,{\dot {\varphi }}(t)=0,\;\;\forall \;t\in \left[0\,,\,t_{{\text{éq stable}},\,2}\right]\;$» ;

                    Si le P.P.S. est qualifié d'« amorti » $\;\color {transparent}{\big (}$P.P.S.A.$\color {transparent}{\big )}\;$ la r.f.d.n. projetée sur $\;\color {transparent}{{\vec {u}}_{\varphi }}\;$ $\color {transparent}{\Rightarrow }$ poursuivant l'intégration sur l'intervalle de temps continu suivant $\;\left[t_{{\text{éq stable}},\,2}\,,\,t_{{\text{éq stable}},\,3}\right[\;$ et déterminant la constante d'intégration par utilisation de la continuité en $\;t_{{\text{éq stable}},\,2}$, on obtient la « nullité de $\;\rho ^{2}(t)\,{\dot {\varphi }}(t)\;$ sur $\;\left[0\,,\,t_{{\text{éq stable}},\,3}\right[\;$», « nullité que l'on prolonge sur $\;\left[0\,,\,t_{{\text{éq stable}},\,3}\right]\;$» par continuité $\;\ldots$

                    Si le P.P.S. est qualifié d'« amorti » $\;\color {transparent}{\big (}$P.P.S.A.$\color {transparent}{\big )}\;$ la r.f.d.n. projetée sur $\;\color {transparent}{{\vec {u}}_{\varphi }}\;$ $\color {transparent}{\Rightarrow }$ Après un nombre suffisant d'intégrations sur les intervalles de temps continus $\;\left[t_{{\text{éq stable}},\,i}\,,\,t_{{\text{éq stable}},\,i+1}\right[\;$ et
                    Si le P.P.S. est qualifié d'« amorti » $\;\color {transparent}{\big (}$P.P.S.A.$\color {transparent}{\big )}\;$ la r.f.d.n. projetée sur $\;\color {transparent}{{\vec {u}}_{\varphi }}\;$ $\color {transparent}{\Rightarrow }$ Après utilisation de la continuité aux deux bornes de l'intervalle on en déduit
                    Si le P.P.S. est qualifié d'« amorti » $\;\color {transparent}{\big (}$P.P.S.A.$\color {transparent}{\big )}\;$ la r.f.d.n. projetée sur $\;\color {transparent}{{\vec {u}}_{\varphi }}\;$ $\color {transparent}{\Rightarrow }$ «$\;\rho ^{2}(t)\,{\dot {\varphi }}(t)=0,\;\;\forall \;t\in \mathbb {R} ^{+}\;$» ou, en simplifiant par $\;\rho ^{2}(t)\;$ non identiquement nul,
                    Si le P.P.S. est qualifié d'« amorti » $\;\color {transparent}{\big (}$P.P.S.A.$\color {transparent}{\big )}\;$ la r.f.d.n. projetée sur $\;\color {transparent}{{\vec {u}}_{\varphi }}\;$ $\color {transparent}{\Rightarrow }$ «$\;{\dot {\varphi }}(t)=0,\;\;\forall \;t\in \mathbb {R} ^{+}\;$» ou enfin, après une dernière intégration temporelle «$\;\varphi (t)=cste',\;\;\forall \;t\in \mathbb {R} ^{+}\;$», la valeur $\;cste'\;$ étant déterminée par C.I. «$\;\varphi (0)=0\;$» $\Rightarrow$ «$\;cste'=0\;$», soit finalement
                    Si le P.P.S. est qualifié d'« amorti » $\;\color {transparent}{\big (}$P.P.S.A.$\color {transparent}{\big )}\;$ la r.f.d.n. projetée sur $\;\color {transparent}{{\vec {u}}_{\varphi }}\;$ $\color {transparent}{\Rightarrow }$ «$\;\varphi (t)=0,\;\;\forall \;t\in \mathbb {R} ^{+}\;$», c.-à-d. la nature plane du mouvement de $\;M\;$ dans le plan de lancement.

Conséquence de la nature plane du mouvement du P.P.S. dans les C.I. de lancement « 1a » ou « 1b »

     Le mouvement du P.P.S. $\;{\big [}$et en complément celui du P.P.S.A. ${\big ]}\;$ étant plan si ses C.I. de lancement sont «$\;1a\;$» ou «$\;1b\;$», le point $\;M\;$ associé au P.P.S. $\;{\big [}$ou en complément au P.P.S.A. ${\big ]}\;$ décrit un mouvement circulaire de centre $\;O\;$ compte-tenu de la rigidité de la tige $\;{\big [}$ou du caractère inextensible du fil tendu${\big ]}$, c'est donc un mouvement à un degré de liberté .

Choix, pour un P.P.S. à un degré de liberté, du repérage polaire de pôle « le centre du mouvement circulaire du P.P.S. »

Schéma d'un P.P.S. à mouvement circulaire d'axe $\;\Delta \;$ passant par $\;O\;$ avec repérage polaire de pôle $\;O\;$ ${\big (}$et d'axe $\;\Delta {\big )}\;$ du point $\;M\;$ du P.P.S. et représentation des deux forces s'appliquant sur $\;M$

     Le mouvement est plan, dans le plan vertical contenant initialement la tige, plus exactement, en notant $\;\Delta \;$ l'axe passant par $\;O\;$ et $\;\perp \;$ au plan vertical initial, le mouvement de $\;M\;$ est circulaire d'axe $\;\Delta$ ;

     il devient alors intéressant de reprendre le repérage du point $\;M\;$ par ses coordonnées sphériques $\;\left(l\,,\,\theta \,,\,\varphi \right)\;$ ou, puisque $\;\varphi \;$ reste constant et que $\;{\vec {u}}_{\varphi }\;$ l'est aussi s'identifiant à $\;{\vec {u}}_{\Delta }$, par les deux 1^ères coordonnées sphériques $\left(l\,,\,\theta \right)\;$ de $\;M\;$ s'identifiant alors à ses coordonnées polaires de pôle $\;O\;$ ${\big (}$et d'axe $\;\Delta {\big )}\;$ du plan vertical initial, la base polaire de ce plan liée au point $\;M\;$ étant $\;\left({\vec {u}}_{r}\,,\,{\vec {u}}_{\theta }\right)\,$ et l'angle polaire $\;\theta \;$ de $\;M\;$ étant orienté par $\;{\vec {u}}_{\Delta }$, voir ci-contre.

     Le mouvement du point $\;M\;$ est alors entièrement décrit par la connaissance de la loi horaire $\;\theta =\theta (t)\;$ où $\;\theta \;$ l'abscisse angulaire du point $\;M\;$ est le « paramètre de position de ce dernier ».

Mise en équation d'un P.P.S. à un degré de liberté par application de la r.f.d.n., équation différentielle non linéaire du 2^ème ordre, absence de solution analytique (d'où nécessité de résolution numérique dans le cas général)

Mise en équation du P.P.S. par application de la r.f.d.n.

     La r.f.d.n. appliquée à $\;M\;$ dans le référentiel terrestre galiléen s'écrivant «$\;{\vec {T}}(t)+m\;{\vec {g}}=m\;{\vec {a}}_{M}(t)\;$», nous la projetons sur $\;{\vec {u}}_{\theta }\;$ pour éliminer $\;{\vec {T}}(t)\perp \;$ à $\;{\vec {u}}_{\theta }$ $\;{\big (}$voir schéma ci-contre${\big )}\;$ d'où «$\;0-m\;g\;\sin \!\left[\theta (t)\right]=m\;a_{\theta ,\,M}(t)\;$» avec l'accélération orthoradiale en repérage polaire «$\;a_{\theta }(t)=r(t)\;{\ddot {\theta }}(t)+2\;{\dot {r}}(t)\;{\dot {\theta }}(t)\;$» ou, en utilisant $\;r=l=cste$, «$\;a_{\theta ,\,M}(t)=l\;{\ddot {\theta }}(t)\;$» soit encore «$\;m\;l\;{\ddot {\theta }}(t)+m\;g\;\sin \!\left[\theta (t)\right]=0\;$» ou finalement, sous forme normalisée,

«$\;{\ddot {\theta }}(t)+{\dfrac {g}{l}}\;\sin \!\left[\theta (t)\right]=0\;$» c.-à-d.
une équation différentielle non linéaire du 2^ème ordre en $\;\theta (t)\;$ sans terme du 1^er ordre.

     Remarque : La projection sur $\;{\vec {u}}_{r}\;$ de la r.f.d.n. appliquée à $\;M\;$ dans le référentiel terrestre galiléen nous permettrait de déterminer la « tension » $\;T(t)\;$ de la tige
           Remarque : La projection sur $\;\color {transparent}{{\vec {u}}_{r}}\;$ de la r.f.d.n. selon «$\;-T(t)+m\;g\;\cos \!\left[\theta (t)\right]=m\;a_{r,\,M}(t)\;$» avec l'accélération radiale en repérage polaire «$\;a_{r}(t)={\ddot {r}}(t)-r(t)\;{\dot {\theta }}^{2}(t)\;$» ou, en utilisant $\;r=l$ $=cste$, «$\;a_{r,\,M}(t)=-l\;{\dot {\theta }}^{2}(t)\;$» soit encore «$\;-T(t)+m\;g\;\cos \!\left[\theta (t)\right]=-m\;l\;{\dot {\theta }}^{2}(t)\;$» donnant l'expression de la « tension » de la tige suivante
           Remarque : La projection sur $\;\color {transparent}{{\vec {u}}_{r}}\;$ de la r.f.d.n. selon «$\;T(t)=m\left\lbrace g\;\cos \!\left[\theta (t)\right]+l\;{\dot {\theta }}^{2}(t)\right\rbrace \;$» ;

     Remarque : usuellement $\;T(t)\;$ étant $\;>0\;$ s'identifie à la norme $\;\Vert {\vec {T}}(t)\Vert \;$ du vecteur tension, il n'y a alors aucun changement si on remplace la tige par un fil idéal, celui-ci restant tendu, mais $\;\ldots$

     Remarque : usuellement si $\;\cos \!\left[\theta (t)\right]\;$ devient $\;<0\;$ correspondant à une abscisse angulaire de valeur absolue $\;>\;$ à $\;90\,{\text{°}}$, $\;T(t)\;$ correspondant pourrait peut être prendre des valeurs négatives
     Remarque : usuellement si $\;\color {transparent}{\cos \!\left[\theta (t)\right]}\;$ devient $\;\color {transparent}{<0}\;$ correspondant à une abscisse angulaire de valeur absolue $\;\color {transparent}{>}\;$ à $\;\color {transparent}{90\,{\text{°}}}$, ${\big (}$la tige empêchant alors le point $\;M\;$ de se rapprocher de l'axe${\big )}$ ;
     Remarque : usuellement si $\;\color {transparent}{\cos \!\left[\theta (t)\right]}\;$ devient $\;\color {transparent}{<0}\;$ si $\;T(t)\;$ peut devenir $\;<0$, la valeur de $\;\vert \theta \vert \;$ pour laquelle $\;T(t)\;$ s'annule en changeant de signe
     Remarque : usuellement si $\;\color {transparent}{\cos \!\left[\theta (t)\right]}\;$ devient $\;\color {transparent}{<0}\;$ si $\;\color {transparent}{T(t)}\;$ peut devenir $\;\color {transparent}{<0}$, la valeur de $\;\color {transparent}{\vert \theta \vert }\;$ correspondra, dans le cas où on remplace la tige rigide sans masse par un fil idéal,
     Remarque : usuellement si $\;\color {transparent}{\cos \!\left[\theta (t)\right]}\;$ devient $\;\color {transparent}{<0}\;$ si $\;\color {transparent}{T(t)}\;$ peut devenir $\;\color {transparent}{<0}$, la valeur de $\;\color {transparent}{\vert \theta \vert }\;$ correspondra, à une position pour laquelle le fil cessera d'être tendu,
     Remarque : usuellement si $\;\color {transparent}{\cos \!\left[\theta (t)\right]}\;$ devient $\;\color {transparent}{<0}\;$ si $\;\color {transparent}{T(t)}\;$ peut devenir $\;\color {transparent}{<0}$, la valeur de $\;\color {transparent}{\vert \theta \vert }\;$ correspondra, à une position pour laquelle le mouvement ultérieur n'étant alors plus circulaire.

Absence de solution analytique de l'équation différentielle du P.P.S.

     Cette équation différentielle du 2^ème ordre en $\;\theta (t)\;$ «$\;{\ddot {\theta }}(t)+{\dfrac {g}{l}}\;\sin \!\left[\theta (t)\right]=0\;$» n'étant pas linéaire, sa résolution est, a priori, nettement plus compliquée et est même,
     Cette équation différentielle du 2^ème ordre en $\;\color {transparent}{\theta (t)}\;$ «$\;\color {transparent}{{\ddot {\theta }}(t)+{\dfrac {g}{l}}\;\sin \!\left[\theta (t)\right]=0}\;$» n'étant pas linéaire, sa résolution est, a postériori, impossible avec les fonctions usuelles connues à ce jour, en effet

             l'équation différentielle non linéaire du 2^ème ordre en $\;f(x)\;$ sans terme du 1^er ordre, «$\;{\dfrac {d^{2}f}{dx^{2}}}(x)+k\;\sin \!\left[f(x)\right]=0\;$» n'a pas de solution analytique d'où la nécessité d'une résolution numérique qui est alors la seule façon possible d'obtenir une solution.

En complément, mise en équation du « P.P.S.A. »

     Nous considérons maintenant un P.P.S.A. c.-à-d. qu'il se déplace dans un fluide exerçant sur lui, en plus des deux autres forces agissant sur un P.P.S.N.A. ,
           Nous considérons maintenant un P.P.S.A. c.-à-d. qu'il se déplace dans un fluide exerçant sur lui, une « force de résistance à l'avancement linéaire $\;{\overrightarrow {{\mathcal {R}}_{\text{flu}}}}(t)=-h\;{\vec {V}}_{M}(t)\;$» avec
           Nous considérons maintenant un P.P.S.A. c.-à-d. qu'il se déplace dans un fluide exerçant sur lui, une «$\;h>0\;$ constante dépendant, entre autres, du fluide dans lequel se déplace le P.P.S.A.  » ;

     nous avons vu que le P.P.S.A. lancé dans les C.I. de lancement «$\;1a\;$» ou «$\;1b\;$» conserve un mouvement plan dans le plan vertical de lancement , ce qui permet de choisir comme système de repérage du point $\;M\;$ associé au P.P.S.A. dans ce plan, le repérage polaire de pôle $\;O\;$ lié à $\;M$, « les coordonnées polaires de ce dernier, de même que les vecteurs de base associés, étant les mêmes que celles et ceux précédemment introduit(e)s dans un P.P.S.N.A.  »  ;

     appliquant la r.f.d.n. à $\;M\;$ dans le référentiel terrestre galiléen on obtient «$\;m\;{\vec {g}}+{\vec {T}}(t)+{\overrightarrow {{\mathcal {R}}_{\text{flu}}}}(t)=m\;{\vec {a}}_{M}(t)\;$» soit, en projetant sur $\;{\vec {u}}_{\theta }\;$ dans le but d'éliminer $\;{\vec {T}}(t)$,
           appliquant la r.f.d.n. à $\;\color {transparent}{M}\;$ dans le référentiel terrestre galiléen on obtient «$\;-m\;g\;\sin \!\left[\theta (t)\right]+0-h\;V_{\theta ,\,M}(t)=m\;a_{\theta ,\,M}(t)\;$» avec la vitesse et l'accélération orthoradiales en polaire s'écrivant
           appliquant la r.f.d.n. à $\;\color {transparent}{M}\;$ dans le référentiel terrestre galiléen on obtient «$\;\color {transparent}{-m\;g\;\sin \!\left[\theta (t)\right]+0-h\;V_{\theta ,\,M}(t)=m\;a_{\theta ,\,M}(t)}\;$» avec $\;V_{\theta }(t)=r(t)\;{\dot {\theta }}(t)\;$ et $\;a_{\theta }(t)=r(t)\;{\ddot {\theta }}(t)+2\;{\dot {r}}(t)\;{\dot {\theta }}(t)\;$ ou, en utilisant $\;r=l=cste$, «$\;V_{\theta }(t)=l\;{\dot {\theta }}(t)\;$» et «$\;a_{\theta ,\,M}(t)=l\;{\ddot {\theta }}(t)\;$» soit encore «$\;m\;l\;{\ddot {\theta }}(t)+h\;l\;{\dot {\theta }}(t)+m\;g\;\sin \!\left[\theta (t)\right]=0\;$» ou finalement, sous forme normalisée,
           appliquant la r.f.d.n. à $\;\color {transparent}{M}\;$ dans le référentiel terrestre galiléen on obtient «$\;{\ddot {\theta }}(t)+{\dfrac {h}{m}}\;{\dot {\theta }}(t)+{\dfrac {g}{l}}\;\sin \!\left[\theta (t)\right]=0\;$» c.-à-d.
           appliquant la r.f.d.n. à $\;\color {transparent}{M}\;$ dans le référentiel terrestre galiléen on obtient une équation différentielle non linéaire du 2^ème ordre en $\;\theta (t)\;$ avec terme du 1^er ordre.

     L'équation différentielle non linéaire du 2^ème ordre en $\;\theta (t)\;$ sans terme du 1^er ordre n'ayant pas de solution analytique , il en est de même de « l'équation différentielle non linéaire du 2^ème ordre en $\;\theta (t)\;$ avec terme du 1^er ordre $\;{\big (}$linéaire${\big )}\;$ » qui est donc sans solution analytique et nécessite une résolution numérique $\;\ldots$

Approximation linéaire, dans le cadre des « petites élongations angulaires », du mouvement d'un P.P.S. à un degré de liberté, analogie avec l'oscillateur harmonique, période des « petites élongations angulaires »

Cadre des « petites élongations angulaires »

     Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » est de lancer le P.P.S. avec les C.I. «$\;1a\;$» soit sans vitesse angulaire initiale «$\;{\dot {\theta }}_{0}=0\;$» et
               Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » est de lancer le P.P.S. avec les C.I. «$\;\color {transparent}{1a}\;$» soit l'abscisse angulaire initiale $\;\theta _{0}\;$ de valeur absolue petite «$\;\vert \theta _{0}\vert \ll 1\;$»  ;

           Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » l'absence de vitesse angulaire initiale $\Rightarrow$ « la valeur absolue de l'élongation angulaire ne dépasse pas $\;\vert \theta _{0}\vert \;$» et
           Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » l'absence de vitesse angulaire initiale $\color {transparent}{\Rightarrow }$ « la valeur absolue de l'élongation angulaire reste petite soit $\;\vert \theta (t)\vert \ll 1,\;\;\forall \;t\;$.

Approximation linéaire du P.P.S. dans le cadre des « petites élongations angulaires »

     Dans le cadre des « petites élongations angulaires » on a $\;\vert \theta (t)\vert \ll 1,\;\;\forall \;t\;$ permettant d'effectuer un D.L. à l'ordre un en $\;\theta \;$ de $\;\sin(\theta )\;$ au voisinage de $\;0\;$ selon
                    Dans le cadre des « petites élongations angulaires » on a $\;\color {transparent}{\vert \theta (t)\vert \ll 1,\;\;\forall \;t}\;$ permettant d'effectuer un D.L. à l'ordre un en $\;\color {transparent}{\theta }\;$ de «$\;\sin(\theta )\simeq \theta \;$ à l'ordre un en $\;\theta \;$» et par suite
          Dans le cadre des « petites élongations angulaires » l'équation différentielle suivie par le P.P.S. devient linéaire selon «$\;{\ddot {\theta }}(t)+{\dfrac {g}{l}}\;\theta (t)\simeq 0\;$» c.-à-d.
    Dans le cadre des « petites élongations angulaires » une équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 2^ème ordre en $\;\theta (t)\;$ sans terme d'amortissement et homogène.

Approximation linéaire du P.P.S. dans le cadre des « petites élongations angulaires » et oscillateur harmonique

     Le P.P.S.N.A. est donc linéarisable dans l'hypothèse des « petites élongations angulaires » et
          Le P.P.S.N.A. est donc linéarisable dans cette hypothèse il devient un « oscillateur harmonique$\;{\big (}$non amorti${\big )}\;$» de pulsation propre $\;\omega _{0}={\sqrt {\dfrac {g}{l}}}\;$ appelée
         Le P.P.S.N.A. est donc linéarisable dans cette hypothèse il devient un « oscillateur harmonique$\;\color {transparent}{\big (}$non amorti$\color {transparent}{\big )}\;$» de pulsation$\;{\big (}$propre${\big )}\;$des petites élongations angulaires .

Période des « petites élongations angulaires » du P.P.S.

     On en déduit la « période propre des petites élongations angulaires du P.P.S.N.A. à un degré de liberté $\;{\mathcal {T}}_{0}={\dfrac {2\;\pi }{\omega _{0}}}=2\;\pi \;{\sqrt {\dfrac {l}{g}}}\;$»  ;

     on constate qu'en un lieu fixé, le P.P.S. « bat plus vite » pour une longueur de pendule $\;l\;$ plus courte et
     on constate qu'un même P.P.S. « bat plus vite » pour une intensité de pesanteur $\;g\;$ plus grande $\;{\big [}$ainsi le P.P.S. sur Terre « bat un peu plus rapidement » aux pôles qu'à l'équateur et
                  on constate qu'un même P.P.S. bat plus vite » pour une intensité de pesanteur $\;\color {transparent}{g}\;$ plus grande $\;\color {transparent}{\big [}$ainsi le même P.P.S. « bat nettement plus vite » sur Terre (♁) que sur la Lune (☽) ${\big ]}$.

En complément, P.P.S.A. dans le cadre des « petites élongations angulaires »

     Dans le cadre des « petites élongations angulaires » on a toujours $\;\vert \theta (t)\vert \ll 1,\;\;\forall \;t\;$ permettant d'effectuer un D.L. à l'ordre un en $\;\theta \;$ de $\;\sin(\theta )\;$ au voisinage de $\;0\;$ selon
                           Dans le cadre des « petites élongations angulaires » on a toujours $\;\color {transparent}{\vert \theta (t)\vert \ll 1,\;\;\forall \;t}\;$ permettant d'effectuer un D.L. à l'ordre un en $\;\color {transparent}{\theta }\;$ de «$\;\sin(\theta )\simeq \theta \;$ à l'ordre un en $\;\theta \;$» et par suite
          Dans le cadre des « petites élongations angulaires » l'équation différentielle suivie par le P.P.S.A. devient linéaire selon «$\;{\ddot {\theta }}(t)+{\dfrac {h}{m}}\;{\dot {\theta }}(t)+{\dfrac {g}{l}}\;\theta (t)\simeq 0\;$» c.-à-d.
    Dans le cadre des « petites élongations angulaires » une équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 2^ème ordre en $\;\theta (t)\;$ avec terme d'amortissement et homogène.

     Le P.P.S.A. est donc linéarisable dans l'hypothèse des « petites élongations angulaires » et
          Le P.P.S.A. est donc linéarisable dans cette hypothèse il devient un « oscillateur harmonique amorti » de pulsation propre $\;\omega _{0}={\sqrt {\dfrac {g}{l}}}\;$ appelée
          Le P.P.S.A. est donc linéarisable dans cette hypothèse il devient un « oscillateur harmonique amorti » de pulsation$\;{\big (}$propre${\big )}\;$des petites élongations angulaires et
          Le P.P.S.A. est donc linéarisable dans cette hypothèse il devient un « oscillateur harmonique amorti » dont le mouvement est « apériodique », « apériodique critique » ou « pseudo périodique »
          Le P.P.S.A. est donc linéarisable dans cette hypothèse il devient un « oscillateur harmonique amorti » dont le mouvement est suivant la valeur du cœfficient d'amortissement $\;\sigma ={\dfrac {h}{2\;m\;\omega _{0}}}\;$  ;

          Le P.P.S.A. est donc linéarisable dans le cas le plus fréquent $\;\sigma <1$, le mouvement est pseudo périodique de « pseudo pulsation des petites élongations angulaires $\;\omega =\omega _{0}\;{\sqrt {1-\sigma ^{2}}}<\omega _{0}\;$» et
          Le P.P.S.A. est donc linéarisable dans le cas le plus fréquent $\;\color {transparent}{\sigma <1}$, le mouvement est pseudo périodique de « pseudo période associée $\;{\mathcal {T}}={\dfrac {2\;\pi }{\omega }}={\dfrac {{\mathcal {T}}_{0}}{\sqrt {1-\sigma ^{2}}}}>{\mathcal {T}}_{0}\;$» avec
          Le P.P.S.A. est donc linéarisable dans le cas le plus fréquent $\;\color {transparent}{\sigma <1}$, le mouvement est pseudo périodique de «$\;{\mathcal {T}}_{0}={\dfrac {2\;\pi }{\omega _{0}}}=2\;\pi \;{\sqrt {\dfrac {l}{g}}}\;$ la période $\;{\big (}$propre${\big )}\;$ des petites élongations angulaires du P.P.S.N.A.  », $\;{\big [}$la pseudo période $\;{\mathcal {T}}\;$ des petites élongations angulaires du P.P.S.A. pour une même période propre $\;{\mathcal {T}}_{0}\;$ étant d'autant plus grande que son cœfficient d'amortissement $\;\sigma \;$ l'est${\big ]}$.

Détermination de l'équation du portrait de phase (« intégrale 1^ère du mouvement ») dans le cas général du P.P.S. à un degré de liberté

     Compte-tenu de la « définition du portrait de phase d'un système dynamique à un degré de liberté » du chap.$22$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) », on peut obtenir
   Compte-tenu de la « l'équation du portrait de phase, dans le cas présent, en cherchant un lien entre $\;{\dot {\theta }}\;$ et $\;\theta \;$ au même instant $\;t\;$ sans que ce dernier n'intervienne c.-à-d.
   Compte-tenu de la « l'équation du portrait de phase, dans le cas présent, en intégrant une 1^ère fois l'équation différentielle du 2^ème ordre en $\;\theta (t)\;$ sans terme du 1^er ordre , l'intégration une 1^ère fois
   Compte-tenu de la « l'équation du portrait de phase, par rapport à $\;t\;$ $\blacktriangleright \;$de $\;\sin \!\left[\theta (t)\right]\;$ nécessitant de multiplier les deux membres de l'équation différentielle du 2^ème ordre en $\;\theta (t)\;$ par $\;{\dot {\theta }}(t)\;$ et
   Compte-tenu de la « l'équation du portrait de phase, par rapport à $\;\color {transparent}{t}\;$ $\blacktriangleright \;$de $\;{\ddot {\theta }}(t)\;$ devenu $\;{\ddot {\theta }}(t)\;{\dot {\theta }}(t)\;$ après avoir multiplié les deux membres de l'équation différentielle du 2^ème ordre en $\;\theta (t)\;$ par $\;{\dot {\theta }}(t)\;$
   Compte-tenu de la « l'équation du portrait de phase, par rapport à $\;\color {transparent}{t}\;$ $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$de $\;\color {transparent}{{\ddot {\theta }}(t)}\;$ devenu $\;\color {transparent}{{\ddot {\theta }}(t)\;{\dot {\theta }}(t)}\;$ n'introduisant aucune difficulté .

   Compte-tenu de la « l'équation du portrait de phase, Remarque : par contre s'il y avait un terme du 1^er ordre dans l'équation différentielle du 2^ème ordre en $\;\theta (t)\;$ comme c'est le cas pour un P.P.S.A. ,
   Compte-tenu de la « l'équation du portrait de phase, Remarque : par contre multiplier les deux membres de l'équation différentielle du 2^ème ordre en $\;\theta (t)\;$ par $\;{\dot {\theta }}(t)\;$
   Compte-tenu de la « l'équation du portrait de phase, Remarque : par contre multiplier les deux membres conduirait à une impossibilité d'intégrer une 1^ère fois par rapport à $\;t\;$ car
   Compte-tenu de la « l'équation du portrait de phase, Remarque : par contre multiplier les deux membres$\;{\dot {\theta }}(t)\;$ devenu $\;\left[{\dot {\theta }}(t)\right]^{2}\;$ après avoir multiplié les deux membres de l'équation différentielle par $\;{\dot {\theta }}(t)\;$
   Compte-tenu de la « l'équation du portrait de phase, Remarque : par contre multiplier les deux membres$\;\color {transparent}{{\dot {\theta }}(t)}\;$ devenu $\;\color {transparent}{\left[{\dot {\theta }}(t)\right]^{2}}\;$ n'admet pas de primitive relativement à $\;t\;$ pour $\;{\dot {\theta }}(t)\;$ a priori inconnue.

     En conclusion on obtient l'équation du portrait de phase d'un P.P.S.N.A. en intégrant une fois par rapport au temps son équation différentielle non linéaire du 2^ème ordre en $\;\theta (t)\;$ sans terme du 1^er ordre,
     En conclusion on obtient le résultat étant alors une équation différentielle du 1^er ordre en $\;\theta (t)\;$ dépendant des C.I. de lancement,
     En conclusion on obtient le résultat étant alors une équation que l'on appelle « intégrale 1^ère du mouvement » du P.P.S.N.A. mais

conclusion on n'obtient pas d'équation du portrait de phase d'un P.P.S.A. en intégrant une fois par rapport à $\;t\;$ son équation différentielle non linéaire du 2^ème ordre en $\;\theta (t)\;$ avec terme du 1^er ordre
      conclusion on n'obtient pas d'équation du portrait de phase d'un P.P.S.A. la détermination de l'équation du portrait de phase suivant C.I. de lancement ne pouvant se faire que numériquement $\;\ldots$

C.I. de lancement pour un P.P.S. à un degré de liberté

     Le plus simple pour être dans le cas général d'un P.P.S.N.A. à un degré de liberté
     Le plus simple est de lancer le P.P.S.N.A. avec les C.I. «$\;1b\cup 1a\;$» c.-à-d. $\blacktriangleright \;$« on écarte le P.P.S. de $\;\theta _{0}\;\neq 0\;$ de sa position d'équilibre stable » et
                 Le plus simple est de lancer le P.P.S.N.A. avec les C.I. «$\;\color {transparent}{1b\cup 1a}\;$» c.-à-d. $\blacktriangleright \;$on le lâche avec un « vecteur vitesse initial dans le plan de lancement » correspondant à
                 Le plus simple est de lancer le P.P.S.N.A. avec les C.I. «$\;\color {transparent}{1b\cup 1a}\;$» c.-à-d. $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$on le lâche avec une vitesse angulaire initiale $\;{\dot {\theta }}(0)={\dot {\theta }}_{0}\;\left\lbrace {\begin{array}{l}\neq 0\;\;{\text{si C.I. }}\;1b\\=0\;\;{\text{si C.I. }}\;1a\end{array}}\right\rbrace \;$».

Intégrale 1^ère du mouvement d'un P.P.S. à un degré de liberté

     Partant de l'équation différentielle non linéaire du 2^ème ordre en $\;\theta (t)\;$ sans terme du 1^er ordre du mouvement du P.P.S.N.A. «$\;{\ddot {\theta }}(t)+{\dfrac {g}{l}}\;\sin \!\left[\theta (t)\right]=0\;$» ,
     Partant de l'équation différentielle non linéaire on multiplie de part et d'autre par $\;{\dot {\theta }}(t)\;$ pour intégrer une fois par rapport à $\;t\;$ soit «$\;{\ddot {\theta }}(t)\;{\dot {\theta }}(t)+{\dfrac {g}{l}}\;\sin \!\left[\theta (t)\right]\,{\dot {\theta }}(t)=0\;$»,
     Partant de l'équation différentielle non linéaire on multiplie de part et d'autre par $\;\color {transparent}{{\dot {\theta }}(t)}\;$ le membre de gauche étant « la dérivée temporelle de $\;{\dfrac {{\dot {\theta }}^{2}\!(t)}{2}}-{\dfrac {g}{l}}\;\cos \!\left[\theta (t)\right]\;$», d'où
     Partant de l'équation différentielle non linéaire on multiplie de part et d'autre par $\;\color {transparent}{{\dot {\theta }}(t)}\;$ l'intégrale 1^ère du mouvement cherchée «$\;{\dfrac {{\dot {\theta }}^{2}\!(t)}{2}}-{\dfrac {g}{l}}\;\cos \!\left[\theta (t)\right]=cste\;$»,
     Partant de l'équation différentielle non linéaire on multiplie de part et d'autre par $\;\color {transparent}{{\dot {\theta }}(t)}\;$ la constante d'intégration se déterminant par C.I. soit «$\;cste={\dfrac {{\dot {\theta }}_{0}^{2}}{2}}-{\dfrac {g}{l}}\;\cos \!\left[\theta _{0}\right]\;$» et par suite
     Partant de l'équation différentielle non linéaire on multiplie de part et d'autre par $\;\color {transparent}{{\dot {\theta }}(t)}\;$ la réécriture de l'intégrale 1^ère du mouvement du P.P.S.N.A. «$\;{\dot {\theta }}^{2}\!(t)={\dot {\theta }}_{0}^{2}+2\;{\dfrac {g}{l}}\,\left\lbrace \cos \!\left[\theta (t)\right]-\cos \!\left[\theta _{0}\right]\right\rbrace \;$» .

Équation du portrait de phase d'un P.P.S.(N.A.) à un degré de liberté lancé dans les C.I. « 1b U 1a »

     L'équation, sous forme implicite, du portrait de phase du P.P.S.N.A. à un degré de liberté lancé dans les C.I. «$\;1b\cup 1a\;$» correspondant à l'intégrale 1^ère du mouvement de ce dernier ,
                 L'équation, sous forme implicite, du portrait de phase du P.P.S.N.A. à un degré de liberté lancé dans les C.I. «$\;\color {transparent}{1b\cup 1a}\;$» s'écrit donc «$\;{\dot {\theta }}^{2}\!(t)={\dot {\theta }}_{0}^{2}+2\;{\dfrac {g}{l}}\,\left\lbrace \cos \!\left[\theta (t)\right]-\cos \!\left[\theta _{0}\right]\right\rbrace \;$» .

Cas particulier des « petites élongations angulaires » du P.P.S.(N.A.) dans les C.I. de lancement « 1a »

     Les « petites élongations angulaires » du P.P.S.N.A. sont assurées dans les C.I. de lancement «$\;1a\;$» d'où l'intégrale 1^ère de son mouvement selon «$\;{\dot {\theta }}^{2}\!(t)=2\;{\dfrac {g}{l}}\,\left\lbrace \cos \!\left[\theta (t)\right]-\cos \!\left[\theta _{0}\right]\right\rbrace \;$»
                            Les « petites élongations angulaires » du P.P.S.N.A. sont assurées dans les C.I. de lancement «$\;\color {transparent}{1a}\;$» d'où avec $\;\vert \theta _{0}\vert \ll 1\;$ et $\;\vert \theta (t)\vert \ll 1\;$ conséquence de $\;\vert \theta (t)\vert \leqslant \vert \theta _{0}\vert \;$ ;

           Les « petites élongations angulaires » nous pouvons alors faire un D.L. de $\;\cos \!\left[\theta (t)\right]\;$ et $\;\cos \!\left[\theta _{0}\right]\;$ à l'ordre deux respectivement en $\;\theta (t)\;$ et $\;\theta _{0}\;$ au voisinage de $\;0\;$ soit
               Les « petites élongations angulaires » nous pouvons alors faire un D.L. de «$\;\cos \!\left[\theta (t)\right]\simeq 1-{\dfrac {\theta ^{2}\!(t)}{2}}\;$ à l'ordre deux en $\;\theta (t)\;$» et «$\;\cos(\theta _{0})\simeq 1-{\dfrac {\theta _{0}^{2}}{2}}\;$ à l'ordre deux en $\;\theta _{0}\;$»,

               Les « petites élongations angulaires » nous pouvons alors faire un D.L. de dont on tire, par report dans l'intégrale 1^ère du mouvement du P.P.S.N.A. étudié,
               Les « petites élongations angulaires » nous pouvons alors faire un D.L. de «$\;{\dot {\theta }}^{2}\!(t)\simeq 2\;{\dfrac {g}{l}}\,\left\lbrace \left[1-{\dfrac {\theta ^{2}\!(t)}{2}}\right]-\left[1-{\dfrac {\theta _{0}^{2}}{2}}\right]\right\rbrace ={\dfrac {g}{l}}\,\left[\theta _{0}^{2}-\theta ^{2}\!(t)\right]\;$» que l'on peut réécrire selon
               Les « petites élongations angulaires » nous pouvons alors faire un D.L. de «$\;{\dot {\theta }}^{2}\!(t)+{\dfrac {g}{l}}\;\theta ^{2}\!(t)\simeq {\dfrac {g}{l}}\;\theta _{0}^{2}\;$» ou encore «$\;{\dfrac {{\dot {\theta }}^{2}\!(t)}{{\dfrac {g}{l}}\;\theta _{0}^{2}}}+{\dfrac {\theta ^{2}\!(t)}{\theta _{0}^{2}}}\simeq 1\;$» et au final,
               Les « petites élongations angulaires » nous pouvons alors faire un D.L. de en introduisant la pulsation des « petites élongations angulaires $\;\omega _{0}={\sqrt {\dfrac {g}{l}}}\;$», «$\;{\dfrac {{\dot {\theta }}^{2}\!(t)}{\omega _{0}^{2}\;\theta _{0}^{2}}}+{\dfrac {\theta ^{2}\!(t)}{\theta _{0}^{2}}}=1\;$» .

Portraits de phase dans le cas général « d'oscillations ou de mouvement révolutif » d'un P.P.S. à un degré de liberté et dans le cas particulier des petites élongations angulaires

Propriétés des portraits de phase dans le cas général « d'oscillations ou de mouvement révolutif » d'un P.P.S. lancé dans les C.I. « 1b U 1a »

     Rappelant l'équation, sous forme implicite, du portrait de phase d'un P.P.S.N.A. lancé dans les C.I. $\;1b\cup 1a\;$ «$\;{\dot {\theta }}^{2}\!(t)={\dot {\theta }}_{0}^{2}+2\;{\dfrac {g}{l}}\left\lbrace \cos \!\left[\theta (t)\right]-\cos(\theta _{0})\right\rbrace \;$» et

     constatant que «$\;{\dot {\theta }}^{2}\;$ est une fonction $\;\searrow \;$ de $\;\vert \theta \vert \;$ sur $\;\left[0\,,\,\pi \right]\;$», on en déduit deux tracés possibles suivant que cette fonction peut ou non s'annuler, plus précisément :

• « si le 2^nd membre est $\;>0,\;\;\forall \;\vert \theta \vert \in \left[0\,,\,\pi \right]\;$» , «$\;{\dot {\theta }}^{2}(t)\;$ ne s'annule jamais » et « comme $\;{\dot {\theta }}(t)\;$ est une fonction continue, elle gardera le signe de $\;{\dot {\theta }}_{0}\;$» c.-à-d. que
        « si le 2^nd membre est $\;\color {transparent}{>0,\;\;\forall \;\vert \theta \vert \in \left[0\,,\,\pi \right]}\;$», « nous aurons un mouvement continu dans un même sens, celui du lancement » ;
• « si le 2^nd membre s'annule pour une valeur particulière $\;\theta _{m}\;$ de $\;\vert \theta \vert \in \left[0\,,\,\pi \right]\;$» , «$\;{\dot {\theta }}^{2}(t)\;$ s'annulant pour cette valeur, il en est de même de $\;{\dot {\theta }}(t)\;$ ce qui correspond à un extremum de $\;\theta (t)\;$ ou
        « si le 2^nd membre s'annule pour une valeur particulière $\;\color {transparent}{\theta _{m}}\;$ de $\;\color {transparent}{\vert \theta \vert \in \left[0\,,\,\pi \right]}\;$», «$\;\color {transparent}{{\dot {\theta }}^{2}(t)}\;$ s'annulant pour cette valeur, il en est de même de $\;\color {transparent}{{\dot {\theta }}(t)}\;$ ce qui correspond à une valeur de stationnarité  »,
        « si le 2^nd membre s'annule pour une valeur particulière $\;\color {transparent}{\theta _{m}}\;$ de $\;\color {transparent}{\vert \theta \vert \in \left[0\,,\,\pi \right]}\;$», mais, comme il est impossible que $\;\vert \theta (t)\vert \;$ continue de $\;\nearrow \;$ au-delà de $\;\theta _{m}\;$, on en déduit que
        « si le 2^nd membre s'annule pour une valeur particulière $\;\color {transparent}{\theta _{m}}\;$ de $\;\color {transparent}{\vert \theta \vert \in \left[0\,,\,\pi \right]}\;$», mais, «$\;\theta _{m}\;$ est un extremum de $\;\theta (t)\;$» $\;{\big [}$et non une valeur de stationnarité ${\big ]}$, c.-à-d. qu'arrivé en $\;\theta =\theta _{m}\;$ où la vitesse angulaire est nulle, le seul mouvement possible est la $\;\searrow \;$ de $\;\theta (t)\;$ dans le sens négatif jusqu'à $\;\theta =-\theta _{m}\;$ où la vitesse angulaire est de nouveau nulle, le seul mouvement possible étant alors la $\;\nearrow \;$ de $\;\theta (t)\;$ dans le sens positif $\;\ldots$

2^ème C.I. de lancement pour que le P.P.S. ait un mouvement révolutif et propriétés du portrait de phase correspondant

     Pour que le « 2^nd membre de l'équation du portrait de phase d'un P.P.S.N.A. lancé dans les C.I. $\;1b\;$, soit strictement positif $\;\forall \;\vert \theta (t)\vert \in \left[0\,,\,\pi \right]\;$» c.-à-d. pour avoir
     Pour que le « 2^nd membre de l'équation du portrait de phase «$\;{\dot {\theta }}_{0}^{2}+2\;{\dfrac {g}{l}}\left\lbrace \cos \!\left[\theta (t)\right]-\cos(\theta _{0})\right\rbrace >0,\;\;\forall \;\vert \theta (t)\vert \in \left[0\,,\,\pi \right]\;$» laquelle est une fonction $\;\searrow \;$ de $\;\vert \theta (t)\vert \;$ sur $\;\left[0\,,\,\pi \right]$, il suffit que
     Pour que le « 2^nd membre de l'équation du portrait de phase le minimum de cette fonction de variable $\;\vert \theta (t)\vert \;$ sur $\;\left[0\,,\,\pi \right]\;$soit strictement positif c.-à-d. $\;\min \limits _{\vert \theta \vert \,\in \,\left[0\,,\,\pi \right]}\left\lbrace {\dot {\theta }}_{0}^{2}+2\;{\dfrac {g}{l}}\left[\cos(\theta )-\cos(\theta _{0})\right]\right\rbrace >0\;$ ou,
     Pour que le « 2^nd membre de l'équation du portrait de phase comme le minimum est atteint pour $\;\vert \theta \vert =\pi$, il suffit que la condition$\;{\dot {\theta }}_{0}^{2}-2\;{\dfrac {g}{l}}\,\left[1+\cos(\theta _{0})\right]>0\;$soit réalisée c.-à-d.
     Pour que le « 2^nd membre de l'équation du portrait de phase comme le minimum est atteint pour $\;\color {transparent}{\vert \theta \vert =\pi }$, il suffit d'avoir pour 2^ème C.I. de lancement «$\;\vert {\dot {\theta }}_{0}\vert >{\sqrt {2\;{\dfrac {g}{l}}\,\left[1+\cos(\theta _{0})\right]}}\;$» ;

     Pour que le « 2^nd membre de l'équation du portrait de phase comme le minimum est atteint pour $\;\color {transparent}{\vert \theta \vert =\pi }$, «$\;{\dot {\theta }}^{2}(t)\;$ ne s'annulant jamais $\Rightarrow$ $\;{\dot {\theta }}(t)$ toujours $\;\neq 0\;$ laquelle, étant une fonction continue de $\;t$,
     Pour que le « 2^nd membre de l'équation du portrait de phase comme le minimum est atteint pour $\;\color {transparent}{\vert \theta \vert =\pi }$, «$\;\color {transparent}{{\dot {\theta }}^{2}(t)}\;$ ne s'annulant jamais $\color {transparent}{\Rightarrow }$ $\;\color {transparent}{{\dot {\theta }}(t)}$ gardera le signe de $\;{\dot {\theta }}_{0}\;$» c.-à-d. que
     Pour que le « 2^nd membre de l'équation du portrait de phase comme le minimum est atteint pour $\;\color {transparent}{\vert \theta \vert =\pi }$, nous aurons un « mouvement révolutif dans le sens du lancement » :
     Pour que le « 2^nd membre de l'équation du portrait de phase comme le minimum est atteint pour $\;\color {transparent}{\vert \theta \vert =\pi }$, $\blacktriangleright \;$« si $\;{\dot {\theta }}_{0}\;$ est $\;>0\;$ avec $\;{\dot {\theta }}_{0}>{\sqrt {2\;{\dfrac {g}{l}}\,\left[1+\cos(\theta _{0})\right]}}\;$», la forme explicite de l'équation du portrait de phase du P.P.S.N.A. en « mouvement révolutif dans le sens positif » est «$\;{\dot {\theta }}={\sqrt {{\dot {\theta }}_{0}^{2}+2\;{\dfrac {g}{l}}\left[\cos(\theta )-\cos(\theta _{0})\right]}}\;$», avec les propriétés suivantes :
     Pour que le « 2^nd membre de l'équation du portrait de phase comme le minimum est atteint pour $\;\color {transparent}{\vert \theta \vert =\pi }$, $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$« si ${\di$