Leçons de niveau 14

Mécanique 1 (PCSI)/Loi de la quantité de mouvement : Pendule pesant simple

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Loi de la quantité de mouvement : Pendule pesant simple
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Chapitre no 12
Leçon : Mécanique 1 (PCSI)
Chap. préc. :Loi de la quantité de mouvement : Influence de la résistance de l'air
Chap. suiv. :Loi de la quantité de mouvement : Frottement de glissement
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Mécanique 1 (PCSI)/Loi de la quantité de mouvement : Pendule pesant simple
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Dans tout ce chapitre on se place dans le cadre de la dynamique newtonienne.

Sommaire

Pendule pesant, description et cas limite du pendule pesant simple (P.P.S.), conditions initiales induisant un mouvement à un degré de liberté avec établissement de la nature plane du mouvement[modifier | modifier le wikicode]

Définitions du pendule pesant (P.P.) et de son cas limite « le pendule pesant simple (P.P.S.) »[modifier | modifier le wikicode]




Conditions initiales (C.I.) de lancement « 1a » ou « 1b » induisant un mouvement du P.P.S. à un degré de liberté[modifier | modifier le wikicode]

......Les C.I. [8] de lancement du P.P.S. notées «» [9] sont les suivantes :

  • on écarte le P.P.S. de de sa position d'«~équilibre stable~» [10] et
  • on le lâche sans «~vitesse initiale~» dans le référentiel d'étude.

......On pourra aussi utiliser les C.I. [8] de lancement du P.P.S. notées «» [9] suivantes :

  • on écarte le P.P.S. de de sa position d'«~équilibre stable~» [10] et
  • on lui communique une «~vitesse initiale~» de vecteur situé dans le plan vertical de lancement du référentiel d'étude.

Établissement de la nature plane du mouvement du P.P.S. lancé dans les C.I. « 1a » ou « 1b »[modifier | modifier le wikicode]

......Nous considérons dans un 1er temps les C.I. [8] de lancement «» (les conditions les plus usuelles) et nous étudions son mouvement ultérieur dans le référentiel terrestre supposé galiléen, puis

......nous préciserons les modifications de l'étude dans les C.I. [8] de lancement «».

Bilan des forces agissant sur le P.P.S.[modifier | modifier le wikicode]

Schéma d'un pendule pesant simple avec repérage sphérique de pôle et d'axe [11] et représentation des deux forces s'appliquant sur le point du pendule pesant simple (P.P.S.)
Schéma en perspective d'un pendule pesant simple avec repérage cylindro-polaire d'axe [12] et représentation des deux forces s'appliquant sur le point M du pendule pesant simple (P.P.S.)

......Le point , repéré par ses coordonnées sphériques de pôle et d'axe [11] vertical descendant, à savoir de base sphérique associée , est soumis à deux forces (voir schéma ci-contre) :

  • une force à distance, le poids de , et
  • une force de contact, le vecteur tension de la tige «~central~» [13] dans la mesure où la tige est sans masse [14].

Démonstration de la nature plane du mouvement de M dans les C.I. de lancement « 1a » (ou « 1b »)[modifier | modifier le wikicode]

......Préliminaire : La courbe décrite par s'inscrivant sur la sphère de centre et de rayon , le meilleur système de coordonnées est effectivement le système sphérique de pôle et d'axe [11] mais

......Préliminaire : l'utilisation de la r.f.d.n. [15] appliquée à dans le référentiel terrestre galiléen nécessitant de connaître les composantes sphériques de et celles-ci étant beaucoup trop complexes de plus hors programme de physique de P.C.S.I., on va se rabattre sur le système de coordonnées cylindro-polaires le plus proche du système sphérique à savoir le système de coordonnées cylindro-polaires d'axe [12] et avec ce dernier,

......Préliminaire : le point a pour coordonnées cylindro-polaires [16] de base cylindro-polaire associée [17],

......Préliminaire : voir schéma refait en perspective ci-dessous.

......La r.f.d.n. [15] appliquée à dans le référentiel terrestre galiléen projetée sur nous conduit à ou, les composantes de et de sur étant nulles car est au plan vertical contenant donc à et à on obtient, après simplification par ,

ou,

......pour les valeurs de telles que c.-à-d. instants de passage par la position verticale d'équilibre stable du P.P.S. [10] pour lesquels et donc , en utilisant la forme «~semi intégrée~» de l'accélération orthoradiale [18] et après simplification par , l'équation différentielle suivante

pour ,

......qui s'intègre, sur chaque intervalle continu de temps ne contenant pas de valeurs , en [19] et

......dont on peut prolonger le résultat aux valeurs discrètes compte-tenu de la continuité des grandeurs [20] et [21] pour tout , ce qui entraîne la continuité de [22] soit finalement

 ;

......on détermine la constante d'intégration par utilisation partielle des C.I. [8] [23], [24] soit, avec , la réécriture de la C.I. [8] selon ou et par suite

ou,

......en simplifiant par non identiquement nul,

ou enfin,

......après intégration , valeur de déterminée par C.I. [8] , soit finalement

,
c.-à-d. la nature plane du mouvement de dans le plan de lancement.

......Modifications avec les C.I. de lancement  : aucune modification avant l'intervention des C.I. [8] c.-à-d. qu'on établit comme précédemment, la constante d'intégration se déterminant par utilisation partielle des C.I. [8] [23], [25] soit, avec , la réécriture de la C.I. [8] selon ou et par suite

ou,

......Modifications avec les C.I. de lancement ~(1b)~ :en simplifiant par non identiquement nul,

ou enfin,

......Modifications avec les C.I. de lancement ~(1b)~ :après intégration , valeur de déterminée par C.I. [8] , soit

,
c.-à-d. la nature plane du mouvement de dans le plan de lancement.

En complément, établissement de la nature plane du mouvement du P.P.S.A. lancé dans les C.I. « 1a » ou « 1b »[modifier | modifier le wikicode]

......Si le pendule pesant simple se déplace dans un fluide suffisamment visqueux pour que la force de résistance à l'avancement soit linéaire, le pendule pesant simple est qualifié d'«~amorti~» (P.P.S.A.) c.-à-d. qu'aux deux forces précédentes s'exerçant sur un P.P.S. à savoir le poids de et le vecteur tension de la tige sans masse, s'ajoute, dans le cas d'un P.P.S.A., une force de frottement fluide linéaire avec constante dépendant entre autres du fluide dans lequel se déplace le P.P.S.A. ;

......lancé dans les C.I. [8] de lancement «» ou «», le P.P.S.A. conserve un mouvement plan dans le plan vertical de lancement, en effet :

......la r.f.d.n. [15] appliquée à dans le référentiel terrestre galiléen projetée sur nous donne [26], [27] ou, en utilisant le repérage cylindro-polaire d'axe ainsi que les expressions de la vitesse orthoradiale et de la forme «~semi intégrée~» de l'accélération orthoradiale [18] applicable pour tout instants de passage par la position verticale d'équilibre stable du P.P.S.A. [10] pour lesquels et donc , soit, en multipliant par [28] et en normalisant, l'équation différentielle linéaire à cœfficients réels constants du 1er ordre en homogène suivante

 ;

......on intègre cette équation différentielle sur l'intervalle de temps continu est le 1er instant correspondant au passage du P.P.S.A. par sa position d'équilibre stable et on obtient [29] avec constante d'intégration et constante de temps d'amortissement de la solution, étant déterminée par utilisation partielle des C.I. [8] [23], [30] soit, avec , la réécriture de la C.I. [8] selon ou et par suite

 ;

......de la continuité des grandeurs [20] et [21] pour tout , on en déduit celle de en particulier pour d'où

 ;

......on poursuit l'intégration de l'équation différentielle sur l'intervalle de temps continu suivant est l'instant suivant qui correspond au passage du P.P.S.A. par sa position d'équilibre stable et on obtient [29] avec constante d'intégration et la même constante de temps d'amortissement de la solution, étant déterminée par utilisation de la continuité de à l'instant soit, avec et , et par suite

puis,
par continuité en ,
 ;

......poursuivant l'intégration sur l'intervalle de temps continu suivant et déterminant la constante d'intégration par utilisation de la continuité en , on obtient la nullité de sur , nullité que l'on prolonge sur par continuité

......Finalement, après un nombre suffisant d'intégrations sur les intervalles continus de temps successifs et
......Finalement, après utilisation de la continuité aux deux bornes de l'intervalle on en déduit

ou,

......en simplifiant par non identiquement nul,

ou enfin,

......après intégration , valeur de déterminée par C.I. [8] , soit finalement

,
c.-à-d. la nature plane du mouvement de dans le plan de lancement.

Conséquence de la nature plane du mouvement du P.P.S. dans les C.I. de lancement « 1a » ou « 1b »[modifier | modifier le wikicode]

......Le mouvement du P.P.S. et en complément celui du P.P.S.A. étant plan si ses C.I. [8] de lancement sont «» ou «», le point associé au P.P.S. ou en complément au P.P.S.A. décrit un mouvement circulaire de centre compte-tenu de la rigidité de la tige ou du caractère inextensible du fil tendu, c'est donc un mouvement à un degré de liberté [31].

Choix, pour un P.P.S. à un degré de liberté, du repérage polaire de pôle « le centre du mouvement circulaire du P.P.S. »[modifier | modifier le wikicode]

Schéma d'un pendule pesant simple à mouvement circulaire d'axe Δ passant par O avec repérage polaire de pôle O (et d'axe Δ) du point M du pendule pesant simple (P.P.S.) et représentation des deux forces s'appliquant sur M

......Le mouvement est plan, dans le plan vertical contenant initialement la tige, plus exactement, en notant l'axe passant par et au plan vertical initial, le mouvement de est circulaire d'axe  ;

......il devient alors intéressant de reprendre le repérage du point par ses coordonnées sphériques ou, puisque reste constant et que l'est aussi s'identifiant à , par les deux 1ères coordonnées sphériques de s'identifiant alors à ses coordonnées polaires de pôle et d'axe du plan vertical initial, la base polaire de ce plan liée au point étant et l'angle polaire de étant orienté par , voir ci-contre.

......Le mouvement du point est alors entièrement décrit par la connaissance de la loi horaire l'abscisse angulaire du point est le «~paramètre de position de ce dernier~».

Mise en équation d'un P.P.S. à un degré de liberté par application de la r.f.d.n., équation différentielle non linéaire du 2ème ordre, absence de solution analytique (d'où nécessité de résolution numérique dans le cas général)[modifier | modifier le wikicode]

Mise en équation du P.P.S. par application de la r.f.d.n.[modifier | modifier le wikicode]

......La r.f.d.n. [15] appliquée à dans le référentiel terrestre galiléen s'écrivant , nous la projetons sur pour éliminer à (voir schéma ci-contre) d'où avec l'accélération orthoradiale en repérage polaire [32] ou, en utilisant , soit encore ou finalement, sous forme normalisée,

c.-à-d.
une équation différentielle non linéaire du 2ème ordre en sans terme du 1er ordre.

......Remarque : La projection sur de la r.f.d.n. [15] appliquée à dans le référentiel terrestre galiléen nous permettrait de déterminer la «~tension~» de la tige [33] selon avec l'accélération radiale en repérage polaire [32] ou, en utilisant , soit encore donnant l'expression de la «~tension~» de la tige [33] suivante

 ;

......Remarque : usuellement étant s'identifie à la norme du vecteur tension, il n'y a alors aucun changement si on remplace la tige par un fil idéal, celui-ci restant tendu, mais

......Remarque : si devient correspondant à une abscisse angulaire de valeur absolue à , correspondant pourrait peut être prendre des valeurs négatives, la tige empêchant alors le point de se rapprocher de l'axe ; si peut devenir , la valeur absolue de l'abscisse angulaire pour laquelle s'annule en changeant de signe correspondra, dans le cas où on remplace la tige rigide sans masse par un fil idéal, à une position pour laquelle le fil cessera d'être tendu, le mouvement ultérieur n'étant alors plus circulaire.

Absence de solution analytique de l'équation différentielle du P.P.S.[modifier | modifier le wikicode]

......Cette équation différentielle du 2ème ordre en n'étant pas linéaire, sa résolution est, a priori, nettement plus compliquée et peut même, a postériori, ne pas être possible avec les fonctions usuelles connues à ce jour, ce qui est effectivement le cas avec cette équation différentielle car

......l'équation différentielle du 2ème ordre en sans terme du 1er ordre, n'a pas de solution analytique [34], [35] d'où la nécessité d'une résolution numérique [36] qui est alors la seule façon possible d'obtenir une solution.

En complément, mise en équation du « P.P.S.A. »[modifier | modifier le wikicode]

......Nous considérons maintenant un pendule pesant simple amorti (P.P.S.A.) c.-à-d. qu'il se déplace dans un fluide exerçant sur lui, en plus des deux autres forces agissant sur un pendule pesant simple non amorti (P.P.S.N.A.), une force de résistance à l'avancement linéaire avec constante dépendant entre autres du fluide dans lequel se déplace le P.P.S.A. ;

......nous avons vu précédemment que le P.P.S.A. lancé dans les C.I. [8] de lancement «» ou «» conserve un mouvement plan dans le plan vertical de lancement, ce qui permet de choisir comme système de repérage du point associé au P.P.S.A. dans ce plan, le repérage polaire de pôle lié à , les coordonnées polaires de ce dernier, de même que les vecteurs de base associés, étant les mêmes que celles et ceux précédemment introduit(e)s dans un P.P.S.N.A. ;

......appliquant la r.f.d.n. [15] à dans le référentiel terrestre galiléen on a soit, en projetant sur dans le but d'éliminer , on obtient dans laquelle la vitesse et l'accélération orthoradiales en repérage polaire s'écrivent [37] et [32] ou, en utilisant , et soit encore ou finalement, sous forme normalisée,

c.-à-d.
une équation différentielle non linéaire du 2ème ordre en avec terme du 1er ordre.

......L'équation différentielle non linéaire du 2ème ordre en sans terme du 1er ordre n'ayant pas de solution analytique [34], il en est de même de l'équation différentielle non linéaire du 2ème ordre en avec terme du 1er ordre (linéaire) [38] qui est donc sans solution analytique [34] et nécessite une résolution numérique [39]

Approximation linéaire, dans le cadre des « petites élongations angulaires », du mouvement d'un P.P.S. à un degré de liberté, analogie avec l'oscillateur harmonique, période des « petites élongations angulaires »[modifier | modifier le wikicode]

Cadre des « petites élongations angulaires »[modifier | modifier le wikicode]

......Le plus simple pour être dans le cadre des «~petites élongations angulaires~» [40] est de lancer le P.P.S. avec les C.I. «» en supposant l’abscisse angulaire initiale de valeur absolue petite c.-à-d. [41], l'absence de vitesse angulaire initiale c.-à-d. assurant que

«~la valeur absolue de l'élongation angulaire ne dépassera pas » [42] et restera petite soit [41].

Approximation linéaire du P.P.S. dans le cadre des « petites élongations angulaires »[modifier | modifier le wikicode]

......Dans le cadre des «~petites élongations angulaires~» [40] on a [41] permettant d'effectuer un D.L. [43] à l'ordre un en de au voisinage de [44] selon [41] à l'ordre un en et par suite

l'équation différentielle suivie par le P.P.S. devient linéaire selon c.-à-d.
une équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 2ème ordre en sans terme d'amortissement et homogène.

Approximation linéaire du P.P.S. dans le cadre des « petites élongations angulaires » et oscillateur harmonique[modifier | modifier le wikicode]

......Le P.P.S.(N.A.) est donc linéarisable dans l'hypothèse des «~petites élongations angulaires~» [40] et dans cette hypothèse il devient un «~oscillateur harmonique (non amorti)~» de pulsation propre appelée «~pulsation (propre) des petites élongations angulaires~» [40].

Période des « petites élongations angulaires » du P.P.S.[modifier | modifier le wikicode]

......On en déduit la «~période propre des petites élongations angulaires [40] du P.P.S.(N.A.) à un degré de liberté~» [45] ;

......on constate qu'en un lieu fixé, le P.P.S. «~bat plus vite~» [46] pour une longueur de pendule plus courte et
......on constate qu'un même P.P.S. «~bat plus vite~» [46] pour une intensité de pesanteur plus grande ainsi le P.P.S. sur Terre «~bat un peu plus vite~» [46] aux pôles qu'à l'équateur [47] et le même P.P.S. «~bat nettement plus rapidement~» [46] sur la Terre (♁) que sur la Lune (☽) [48], [49].

En complément, P.P.S.A. dans le cadre des « petites élongations angulaires »[modifier | modifier le wikicode]

......Dans le cadre des «~petites élongations angulaires~» [40] on a toujours [41], [50] permettant d'effectuer un D.L. [43] à l'ordre un en de au voisinage de [44] selon [41] à l'ordre un en et par suite

l'équation différentielle suivie par le P.P.S.A. devient linéaire selon c.-à-d.
une équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 2ème ordre en avec terme d'amortissement et homogène.

......Le P.P.S.A. est donc linéarisable dans l'hypothèse des «~petites élongations angulaires~» [40] et dans cette hypothèse il devient un «~oscillateur harmonique amorti~» de pulsation propre appelée «~pulsation (propre) des petites élongations angulaires~» [40] et dont le mouvement est «~apériodique~», «~apériodique critique~» ou «~pseudo périodique~» suivant la valeur du cœfficient d'amortissement tel que  ;

......dans le cas le plus fréquent , le mouvement est pseudo périodique avec une pseudo pulsation des petites élongations angulaires [40] [51] et donc une pseudo période associée avec la période (propre) des petites élongations angulaires [40] du P.P.S.N.A., la pseudo période des petites élongations angulaires [40] du P.P.S.A. pour une même période propre étant d'autant plus grande que son cœfficient d'amortissement l'est.

Détermination de l'équation du portrait de phase (« intégrale 1ère du mouvement ») dans le cas général du P.P.S. à un degré de liberté[modifier | modifier le wikicode]

......Compte-tenu de la «~définition du portrait de phase d'un système dynamique à un degré de liberté~» donnée au chap. de la leçon «~Outils mathématiques pour la physique (PCSI)~», on peut obtenir l'équation du portrait de phase, dans le cas présent, en cherchant un lien entre et au même instant sans que ce dernier n'intervienne c.-à-d.
......en intégrant une 1ère fois l'équation différentielle du 2ème ordre en sans terme du 1er ordre comme cela a été exposé dans le paragraphe «~exemple d'une équation différentielle non linéaire du 2ème ordre sans terme du 1er ordre~» du chap. de la leçon «~Outils mathématiques pour la physique (PCSI)~», l'intégration une 1ère fois de

  • par rapport à nécessitant de multiplier les deux membres de l'équation différentielle du 2ème ordre en par ,
  • cette opération ne nuisant pas à l'intégration une 1ère fois de qui devient alors l'intégration une 1ère fois de mais
  • qui ne serait pas possible s'il y avait un terme du 1er ordre dans l'équation différentielle du 2ème ordre en car on obtiendrait la nécessité d'intégrer une 1ère fois par rapport à ce qui n'est pas possible en absence de connaissance de la fonction

......En conclusion on peut obtenir l'équation du portrait de phase d'un P.P.S.N.A. en intégrant une fois par rapport au temps son équation différentielle non linéaire du 2ème ordre en sans terme du 1er ordre, le résultat étant alors une équation différentielle du 1er ordre en dépendant des C.I. [8] de lancement, équation que l'on appelle «~intégrale 1ère du mouvement~» du P.P.S.N.A. mais

......En conclusion il ne sera pas possible d'obtenir l'équation du portrait de phase d'un P.P.S.A. sous forme analytique par impossibilité d'intégrer une fois par rapport au temps son équation différentielle non linéaire du 2ème ordre en avec terme du 1er ordre, la détermination de l'équation du portrait de phase suivant C.I. [8] de lancement ne pouvant se faire que numériquement

C.I. de lancement pour un P.P.S. à un degré de liberté[modifier | modifier le wikicode]

......Le plus simple pour être dans le cas général d'un P.P.S.(N.A.) à un degré de liberté est de lancer le P.P.S.(N.A.) avec les C.I. [8] «» c.-à-d.

  • «~on écarte le P.P.S. de de sa position d'équilibre stable~» [10] et
  • on le lâche avec un «~vecteur vitesse initial dans le plan de lancement~» correspondant à une vitesse angulaire initiale ».

Intégrale 1ère du mouvement d'un P.P.S. à un degré de liberté[modifier | modifier le wikicode]

......Partant de l'équation différentielle non linéaire du 2ème ordre en sans terme du 1er ordre du mouvement du P.P.S.(N.A.) précédemment établie, à savoir , on multiplie de part et d'autre par pour intégrer une fois par rapport à soit , le membre de gauche étant la dérivée temporelle de , d'où l'intégrale 1ère du mouvement cherchée , la constante d'intégration se déterminant par C.I. [8] soit et par suite la réécriture de l'intégrale 1ère du mouvement du P.P.S.(N.A.)

[52].

Équation du portrait de phase d'un P.P.S.(N.A.) à un degré de liberté lancé dans les C.I. « 1b U 1a »[modifier | modifier le wikicode]

......L'équation, sous forme implicite, du portrait de phase du P.P.S.(N.A.) à un degré de liberté lancé dans les C.I. [8] «» correspond à l'intégrale 1ère du mouvement de ce dernier précédemment établie, elle s'écrit donc

[52].

Cas particulier des « petites élongations angulaires » du P.P.S.(N.A.) dans les C.I. de lancement « 1a »[modifier | modifier le wikicode]

......Pour assurer les «~petites élongations angulaires~» [40] du P.P.S.(N.A.) nous nous plaçons dans les C.I. [8] de lancement «» [53] permettant de réécrire l'intégrale 1ère de son mouvement selon avec [41] et [41] conséquence de [50] ;

......nous pouvons alors faire un D.L. [43] de et à l'ordre deux respectivement en et au voisinage de [54] soit

et ,

......dont on tire, par report dans l'intégrale 1ère du mouvement que l'on peut réécrire selon ou et au final, en introduisant la pulsation des «~petites élongations angulaires [40] »,

[55].

Portraits de phase dans le cas général d'« oscillations ou de mouvement révolutif » d'un P.P.S. à un degré de liberté et dans le cas particulier des petites élongations angulaires[modifier | modifier le wikicode]

Propriétés des portraits de phase dans le cas général d'« oscillations ou de mouvement révolutif » d'un P.P.S. lancé dans les C.I. « 1b U 1a »[modifier | modifier le wikicode]

......Rappelant l'équation, sous forme implicite, du portrait de phase d'un P.P.S.(N.A.) lancé dans les C.I. [8]

et

......constatant que est une fonction de sur , on en déduit deux tracés possibles suivant que cette fonction peut ou non s'annuler [56].

2ème C.I. de lancement pour que le P.P.S. ait un mouvement révolutif et propriétés du portrait de phase correspondant[modifier | modifier le wikicode]

......Pour que le 2nd membre de l'équation du portrait de phase d'un P.P.S.(N.A.) lancé dans les C.I. [8] soit strictement positif à savoir le 2nd membre de fonction de sur , il suffit que le minimum de cette fonction de sur soit strictement positif c.-à-d. ou, comme le minimum est atteint pour , il suffit que la condition soit réalisée c.-à-d. avoir pour 2ème C.I. [8] de lancement

une vitesse angulaire initiale de valeur absolue  ;

...... ne s'annulant jamais, il en est de même de et comme cette dernière est une fonction continue du temps, elle gardera le signe de c.-à-d. que nous aurons un «~mouvement révolutif~» dans le sens du lancement :

  • si est avec , on en déduit la forme explicite de l'équation du portrait de phase du P.P.S.(N.A.) en «~mouvement révolutif dans le sens positif~», , avec les propriétés suivantes :
    ...... à partir de jusqu'à ,
    ......le portrait de phase est ouvert,
    ............le minimum de vitesse angulaire étant obtenue pour et valant et
    ............le maximum de vitesse angulaire obtenue pour et valant ,
    ......le portrait de phase est constitué du motif de l'intervalle et de la répétition infinie dans le sens des du motif de l'intervalle  ;
  • si est avec , on en déduit la forme explicite de l'équation du portrait de phase du P.P.S.(N.A.) en «~mouvement révolutif dans le sens négatif~», , avec les propriétés suivantes :
    ...... à partir de jusqu'à ,
    ......le portrait de phase est ouvert,
    ............le minimum de valeur absolue de vitesse angulaire étant obtenue pour et valant soit une valeur maximale pour la vitesse angulaire et
    ............le maximum de valeur absolue de vitesse angulaire obtenue pour et valant soit une valeur minimale pour la vitesse angulaire ,
    ......le portrait de phase est constitué du motif de l'intervalle et de la répétition infinie dans le sens des du motif de l'intervalle  ;
  • les portraits de phase associés respectivement aux couples et sont symétriques l'un de l'autre relativement au point origine en effet
    ......d'une part il y a invariance de la forme implicite de l'équation du portrait de phase en changeant les C.I. [8] en leurs opposés et
    ......d'autre part, en changeant simultanément en et en , ce changement associé à celui de C.I. [8] précédemment évoqué fait passer le 2nd membre de la forme explicite de l'équation de phase en son opposé, ce qui a aussi pour conséquence le caractère symétrique par rapport au point origine des sens de description des portraits de phase [57]

2ème C.I. de lancement pour que le P.P.S. ait un mouvement oscillatoire et propriétés du portrait de phase correspondant[modifier | modifier le wikicode]

......Pour que le 2nd membre de l'équation du portrait de phase d'un P.P.S.(N.A.) lancé dans les C.I. [8] soit strictement négatif , avec valeur de annulant ce 2nd membre à savoir celui de fonction de sur , il suffit que le minimum de cette fonction de sur soit strictement négatif et le maximum de cette même fonction de sur strictement positif soit simultanément ou, comme le minimum est atteint pour et le maximum pour , il suffit que les conditions soient simultanément réalisées et comme, par définition avec l'un au moins des termes non nul, il suffit que soit réalisé c.-à-d. avoir pour 2ème C.I. [8] de lancement

une vitesse angulaire initiale de valeur absolue  ;

...... s'annulant pour une valeur particulière de , il en est de même de ce qui correspond à un extremum de ou à une valeur de stationnarité [58] mais, comme il est impossible que continue de au-delà de car cela entraînant la stricte négativité du 2nd membre conduirait à la stricte négativité de , on en déduit que est un extremum de , c.-à-d.

  • si est avec , on en déduit que jusqu'à où la vitesse angulaire est nulle puis jusqu'à où la vitesse angulaire est de nouveau nulle et de nouveau jusqu'à où la vitesse angulaire est encore nulle, etc correspondant à un «~mouvement oscillatoire (non amorti)~» du P.P.S.(N.A.),
  • si est avec , on en déduit que jusqu'à où la vitesse angulaire est nulle puis jusqu'à où la vitesse angulaire est de nouveau nulle et de nouveau jusqu'à où la vitesse angulaire est encore nulle, etc et
  • si est [59], [60] les variations successives de sont les suivantes :
    ......dans la mesure où est il y a d'abord de jusqu'à où la vitesse angulaire est nulle [60] puis jusqu'à où la vitesse angulaire est de nouveau nulle [60] et de nouveau jusqu'à où la vitesse angulaire est encore nulle [60], etc
    ......dans la mesure où est il y a d'abord de jusqu'à où la vitesse angulaire est nulle [60] puis jusqu'à où la vitesse angulaire est de nouveau nulle [60] et de nouveau jusqu'à où la vitesse angulaire est encore nulle [60], etc

......De ce qui précède on conclut que le P.P.S.(N.A.) lancé dans les C.I. [8] avec décrit un «~mouvement oscillatoire (non amorti)~» d'amplitude , solution de l'équation plus précisément de sur l'intervalle dont on tire soit [61] ;

......dans le cas d'un mouvement oscillatoire du P.P.S.(N.A.), il n'est pas judicieux de tirer l'équation de son portrait de phase sous forme explicite car celle-ci serait conditionnelle [62], on se contente donc de la forme implicite de celle-ci avec les propriétés suivantes :

......chaque portrait de phase est fermé, il est décrit par son point générique dans le sens horaire [63],

......chaque portrait de phase est symétrique relativement au point origine en effet
..................d'une part l'équation, sous forme implicite, d'un portrait de phase associé à un mouvement oscillatoire est invariante par changement simultané de en et de en et
..................d'autre part les sens de description du portrait de phase en deux points génériques symétriques par rapport au point origine sont eux-mêmes symétriques l'un de l'autre [64], [65].

2ème C.I. de lancement pour que le P.P.S. s'arrête en sa position d'équilibre instable et propriétés du portrait de phase correspondant[modifier | modifier le wikicode]

......La 2ème C.I. [8] de lancement d'un P.P.S.(N.A.) lancé dans les C.I. [8] , complémentaire des 2èmes C.I. [8] de lancement précédentes est

une vitesse angulaire initiale de valeur absolue ,

......cette condition assurant que le 2ème membre de l'équation du portrait de phase du P.P.S.(N.A.) nécessairement lancé dans les C.I. [8] s'annule pour c.-à-d. à la position d'équilibre instable du P.P.S.(N.A.) [66] et par suite de la nullité de la vitesse angulaire en cette position, assurant une position d'arrêt en la position d'équilibre instable [66] ;

  • si est , plus exactement si , l'équation, sous forme explicite, du portrait de phase du P.P.S.(N.A.) lancé dans les C.I. [8] précitées s'écrit selon , l'élongation angulaire de jusqu'à correspondant à la position d'équilibre instable [66] du P.P.S.(N.A.) où il s'arrête, y ayant une vitesse angulaire nulle [67] ;
  • si est , plus exactement si , l'équation, sous forme explicite, du portrait de phase du P.P.S.(N.A.) lancé dans les C.I. [8] précitées s'écrit selon , l'élongation angulaire de jusqu'à correspondant à la position d'équilibre instable [66] du P.P.S.(N.A.) où il s'arrête, y ayant une vitesse angulaire nulle [67].

Tracé des portraits de phase dans le cas général d'« oscillations ou de mouvement révolutif » d'un P.P.S. lancé dans les C.I. « 1b U 1a »[modifier | modifier le wikicode]

Tracé superposé de deux portraits de phase d'un P.P.S.(N.A.) dans le cas de mouvements oscillatoires avec les C.I. [8] suivantes : absence de vitesse angulaire initiale pour les deux, écart initial de pour l'un et de pour l'autre
Tracé superposé de portraits de phase d'un P.P.S.(N.A.) dans le cas d'un mouvement oscillatoire, de mouvements avec arrêt en position d'équilibre instable [66] et d'un mouvement révolutif, les C.I. [8] étant diverses
Tracé superposé de deux portraits de phase d'un P.P.S.(N.A.) dans le cas de mouvements révolutifs avec les C.I. [8] suivantes : écart initial de pour les deux, vitesse angulaire initiale de pour l'un et de pour l'autre, comparaison avec un portrait de phase dans le cas d'un mouvement oscillatoire avec le même écart initial et absence de vitesse angulaire initiale
  • Ci-dessus à gauche deux portraits de phase d'un P.P.S.(N.A.) lancé dans les C.I. [8] correspondant donc à un mouvement oscillatoire d'élongation angulaire initiale respective pour l'un et pour l'autre ;
  • ci-dessus au centre deux portraits de phase d'un P.P.S.(N.A.) lancé dans les C.I. [8] telles que le mouvement obtenu soit révolutif à savoir une même élongation angulaire initiale de et une vitesse angulaire initiale positive de pour l'un et pour l'autre ;
    ...figure aussi, pour comparaison, le portrait de phase du même P.P.S.(N.A.) lancé dans les C.I. [8] correspondant donc à un mouvement oscillatoire et de même élongation angulaire initiale que les deux autres ;
  • ci-dessus à droite le portrait de phase d'un P.P.S.(N.A.) lancé dans les C.I. [8] telles que son mouvement s'arrête en sa position d'équilibre instable [66] à savoir une vitesse angulaire initiale estimée à pour une élongation angulaire initiale de il s'agit du tracé correspondant à pour une variation de partant de et s'arrêtant à , mais on a aussi représenté, en traits pleins [68], l'amorce de la suite de ce portrait de phase si une perturbation extérieure faisait sortir le P.P.S.(N.A.) de cette position d'équilibre instable [66] avec une vitesse angulaire [69] négative à partir de en s'arrêtant à nouvelle position d'équilibre instable [66] ou positive à partir de en passant par la position d'équilibre stable et en s'arrêtant à nouvelle position d'équilibre instable [66] ;
    ...figure aussi, pour comparaison, le portrait de phase du même P.P.S.(N.A.) lancé dans les C.I. [8] correspondant donc à un mouvement oscillatoire et de même élongation angulaire initiale que le précédent ainsi que celui du même P.P.S.(N.A.) lancé dans les C.I. [8] telles que son mouvement soit révolutif à savoir une élongation angulaire initiale de et une vitesse angulaire initiale de .

......Savoir décrire le mouvement d'un système à partir du portrait de phase de ce dernier : Nous allons le faire sur l'exemple du portrait de phase du P.P.S.(N.A.) lancé dans les C.I. [8] avec une élongation angulaire initiale de (voir par exemple ci-dessus à droite) :

  • partant de et , point de l'axe des élongations angulaires le plus à gauche du portrait de phase, correspondant à la position du P.P.S. la plus déviée dans le sens négatif, le point du portrait de phase remonte vers et , point de l'axe des vitesses angulaires le plus haut du portrait de phase, correspondant au passage par la position d'équilibre stable avec une vitesse angulaire positive,
  • puis le point du portrait de phase redescend vers et , point de l'axe des élongations angulaires le plus à droite du portrait de phase, correspondant à la position du P.P.S. la plus déviée dans le sens positif,
  • ensuite le point du portrait de phase redescend vers et , point de l'axe des vitesses angulaires le plus bas du portrait de phase, correspondant au passage par la position d'équilibre stable avec une vitesse angulaire négative,
  • enfin le point du portrait de phase remonte vers et , point de l'axe des élongations angulaires le plus à gauche du portrait de phase, correspondant à la position du P.P.S. la plus déviée dans le sens négatif
  • et ainsi de suite

Nature des portraits de phase dans le cas particulier des « petites élongations angulaires » d’un P.P.S. lancé dans les C.I. « 1a »[modifier | modifier le wikicode]

......Rappelant l'équation, sous forme implicite, d'un portrait de phase d'un P.P.S.(N.A.) lancé dans les C.I. [8] telles que ce dernier soit dans le cas particulier des «~petites élongations angulaires~» [40] déterminée précédemment voir le paragraphe «~cas particulier des petites élongations angulaires du P.P.S.(N.A.) dans les C.I. de lancement 1a~» plus haut dans ce chapitre

avec
la pulsation des «~petites élongations angulaires [40],

......on en déduit la nature du portrait de phase d'un P.P.S.(N.A.) dans les C.I. [8] telles qu'il soit dans le cas des «~petites élongations angulaires~» [40], [70] :

  • une ellipse centrée au point origine et d'axes confondus avec l'axe des élongations angulaires et celui des vitesses angulaires,
  • le demi axe sur le 1er [71] étant de valeur et sur le 2nd [71] de valeur ,
  • l'ellipse étant décrite dans le sens horaire [63].

Tracé des portraits de phase dans le cas particulier des « petites élongations angulaires » d’un P.P.S. lancé dans les C.I. « 1a »[modifier | modifier le wikicode]

Tracé du portrait de phase d'un P.P.S.(N.A.) dans le cadre des petites élongations angulaires [40], le P.P.S.(N.A.) étant lancé sans vitesse angulaire initiale d'une position d'abscisse angulaire θ0

......Chaque portrait de phase d'un P.P.S.(N.A.) lancé dans les C.I. [8] telles que ce dernier oscille dans le cadre des petites élongations angulaires [40] est une ellipse centrée au point origine , dont les axes de symétrie sont les axes du repère dans lequel il est tracé, de demi axes [71] sur l'axe des élongations angulaires étant l'élongation angulaire initiale et sur l'axe des vitesses angulaires étant la pulsation (propre) des petites élongations angulaires [40], l'ellipse étant décrite dans le sens horaire [63] (voir ci-contre, y étant positive) ;

......nous allons, une nouvelle fois, faire le lien entre le portrait de phase et le mouvement de l'oscillateur sur l'exemple du P.P.S.(N.A.) dont le portrait de phase est représenté ci-contre :

  • et correspond au passage du P.P.S.(N.A.) par sa position d'équilibre (stable) [10] dans le sens positif, puis
  • et ...... correspond à la position extrême du P.P.S.(N.A.) dans le sens positif est donc l'amplitude d'oscillations du P.P.S.(N.A.), ensuite
  • et ...corresp au retour du P.P.S.(N.A.) par sa position d'équilibre (stable) [10] dans le sens négatif, enfin
  • et ...correspond à la position extrême du P.P.S.(N.A.) dans le sens négatif on retrouve ainsi que est bien l'amplitude d'oscillations du P.P.S.(N.A.) etc

En complément, allure des portraits de phase d'un P.P.S.A. lancé dans les C.I. « 1b U 1a »[modifier | modifier le wikicode]

......Les équations des portraits de phase d'un P.P.S.A. ne pouvant pas être déterminées analytiquement l'ont été numériquement à l'aide d'un logiciel de calcul ;

......la résistance à l'avancement exercée par le fluide dans lequel peut se déplacer le P.P.S. est linéaire et suffisamment modérée pour observer

  • des pseudo oscillations du P.P.S.A. lancé dans les C.I. [8] autour de la position d'équilibre stable [10] de ce dernier d'élongation angulaire ou,
  • pour un P.P.S.A. lancé dans les C.I. [8] , un mouvement révolutif amorti sur un ou plusieurs tours dans le sens positif ou négatif [72] suivi de pseudo oscillations autour de la position d'équilibre stable [10] d'élongation angulaire avec représentant le nombre de tours effectués dans le mouvement révolutif amorti précédant les pseudo oscillations.
Tracé d'un portrait de phase d'un P.P.S.A. lâché sans vitesse angulaire initiale avec un écart angulaire initiale θ0 relativement à sa position d'équilibre stable [10]
Tracé de deux portraits de phase d'un P.P.S.A. lancé d'une même position initiale mais avec une vitesse angulaire différente telle que l'un ait un mouvement oscillatoire amorti et l'autre un mouvement révolutif amorti avant d'être oscillatoire amorti
  • Ci-dessus à gauche le portrait de phase d'un P.P.S.A. lancé dans les C.I. [8] avec une élongation angulaire initiale , la longueur du P.P.S.A. et le cœfficient de frottement fluide ainsi que la masse du P.P.S. tels que , le 1er étant la racine carrée du cœfficient de et le 2nd le cœfficient de de l'équation différentielle non linéaire du 2ème ordre en du P.P.S.A. ;
    ...on y observe des «~pseudo-oscillations autour de la position d'équilibre stable~» [10] d'élongation angulaire c.-à-d. un portrait de phase «~ouvert~», «~spiralant autour du point origine~» , point asymptotique du portrait de phase représentant la position d'arrêt du mouvement à l'équilibre stable [10], le portrait de phase étant décrit dans le sens horaire [63] ;
  • Ci-dessus à droite deux portraits de phase du même P.P.S.A. lancé dans les C.I. [8] avec une élongation angulaire initiale ,
    ...la vitesse angulaire initiale du 1er étant [73] ne conduisant qu'à des pseudo oscillations du P.P.S.A. autour de sa position d'équilibre stable [10] avec les élongations angulaires extrêmes de la 1ère pseudo oscillation ou en degrés , portrait de phase «~ouvert~», «~spiralant autour du point origine~»