Leçons de niveau 14

Mécanique 1 (PCSI)/Loi de la quantité de mouvement : Mouvement dans le champ de pesanteur uniforme

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Loi de la quantité de mouvement : Mouvement dans le champ de pesanteur uniforme
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Chapitre no 10
Leçon : Mécanique 1 (PCSI)
Chap. préc. :Loi de la quantité de mouvement : Principe fondamental de la dynamique et théorème de la résultante cinétique
Chap. suiv. :Loi de la quantité de mouvement : Influence de la résistance de l'air
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Dans tout ce chapitre on se place dans le cadre de la dynamique newtonienne.

Sommaire

Définition et condition de réalisation de la chute libre d'un système fermé de points matériels dans un champ de pesanteur uniforme[modifier | modifier le wikicode]

Définition[modifier | modifier le wikicode]

......Un système fermé de points matériels au voisinage de la Terre est « en chute libre » si la seule force extérieure s'appliquant sur lui est « son poids  » étant le champ de pesanteur terrestre au lieu considéré [1]).

Conditions de réalisation[modifier | modifier le wikicode]

Condition de réalisation du caractère uniforme du champ de pesanteur terrestre[modifier | modifier le wikicode]

......Préliminaire : On rappelle que la verticale en un lieu de la surface terrestre ne passe pas rigoureusement par le centre de la Terre sauf aux pôles et à l'équateur [2], le poids dont la direction définit la verticale en un lieu [3] ne s'identifiant pas rigoureusement à la force de gravitation terrestre de direction passant par le centre de la Terre ;

......Préliminaire : le poids est en fait la somme de

  • de la force de gravitation terrestre dans laquelle est la distance séparant le C.D.I. [4] du système fermé de points matériels du centre de la Terre et le 1er vecteur de base sphérique liée à , de pôle et d'axe « pôle Sud - pôle Nord » de rotation propre de la Terre et
  • de la « pseudo force d'inertie d'entraînement » de rotation de la Terre relativement au référentiel géocentrique définie au lieu considéré [5] dans laquelle est la vitesse angulaire de rotation de la Terre autour de son axe égale à , la distance séparant le point de l'axe de rotation « pôle Sud – pôle Nord » avec la latitude du lieu, le 1er vecteur de base cylindro-polaire d'axe « pôle Sud – pôle Nord » lié à se décomposant, dans la base sphérique de pôle lié à selon avec le 2ème vecteur de base sphérique liée à , de pôle et d'axe « pôle Sud - pôle Nord » de rotation propre de la Terre ;

......Préliminaire : on en déduit la composante de sur égale à , composante qui est à l'origine de l'écart de la direction de la verticale par rapport à la direction de c'est-à-dire de la direction passant par le centre de la Terre, écart non nul sauf aux pôles et à l'équateur pour lesquels  ;

......Préliminaire : toutefois nous ne tiendrons pas compte de la différence entre le poids et la force de gravitation terrestre car le terme correctif sur à savoir ne représente, à Paris et au niveau du sol, que en norme et l'écart de d'angle au même endroit entre la verticale et la direction passant par le centre de la Terre ne représente que en direction [6], aussi considérons nous, dans ce paragraphe, que

.

......Condition d'expansion tridimensionnelle pour que le champ de pesanteur terrestre soit quasi uniforme : du préliminaire précédent on déduit la variation du champ de pesanteur terrestre avec la position considérée au voisinage de la Terre soit

............dans laquelle étant le 1er vecteur de base sphérique liée à , de pôle et d'axe « pôle Sud - pôle Nord » de rotation propre de la Terre, est aussi, localement, le vecteur unitaire vertical ascendant noté en la position considérée et la 1ère coordonnée sphérique de , encore égale à dans laquelle est le rayon de la Terre et l'altitude locale de , les deux autres coordonnées sphériques de étant avec sa latitude et avec sa longitude ;

......Condition d'expansion tridimensionnelle pour que le champ de pesanteur terrestre soit quasi uniforme : pour que soit uniforme à près, il faut donc que sa norme (dépendant de l'altitude) ainsi que sa direction (dépendant de la latitude et de la longitude [7]) varient de moins de , ce qui donne les conditions suivantes :

  • quand est déplacé verticalement, reste constant à près si le déplacement vertical est inférieur à tel que ou, avec permettant de réécrire «   » [8] soit encore, en considérant comme un infiniment petit d'ordre un et en faisant un D.L. d'ordre un de [9] d'où, comme , on en déduit le déplacement vertical maximal toléré pour que la variation de la norme du champ de pesanteur terrestre soit inférieure à , soit ou
    [10] ;
  • quand est déplacé horizontalement, la direction de reste la même à près si le point décrit moins de de grand cercle de circonférence c'est-à-dire si le déplacement horizontal [11] est soit
     ;

......Condition d'expansion tridimensionnelle pour que le champ de pesanteur terrestre soit quasi uniforme : en conclusion le champ de pesanteur terrestre pourra être considéré « uniforme » à près dans un parallélépipède rectangle haut de et dont la base est un carré de de côté.

Condition de réalisation du caractère libre de la chute[modifier | modifier le wikicode]

......Pour qu'un objet puisse être considéré « en chute libre » il faut que chaque force (autres que le poids de l'objet) réellement appliquée soit de norme négligeable devant celle du poids de l'objet c'est-à-dire, en travaillant à près, que leur norme soit [12], en particulier, si l'objet se déplace dans l'air, les deux forces de contact de l'objet avec l'air doivent pouvoir être négligées à savoir :

  • la poussée d'Archimède [13], celle-ci étant considérée comme négligeable si la masse volumique de l'air est est la masse volumique moyenne de l'objet [14] soit, avec [15] dans des conditions usuelles de température et de pression, la nécessité d'utiliser un objet de masse volumique moyenne [16] ou de densité moyenne [17], [18] et
  • la résistance de l'air [19], celle-ci dépendant de la forme plus ou moins aérodynamique de l'objet (ceci n'étant pas réellement un obstacle si on sélectionne une forme aérodynamique « pointue en amont et convexe en aval » ou même un peu moins aérodynamique comme une « boule ») et
    ~la résistance de l'air ~, celle-ci dépendant de la vitesse de ce dernier, le caractère négligeable de la résistance de l'air dépendant surtout de la limitation de la vitesse, on pourra être amené à envisager uniquement un début de chute sans vitesse initiale pour pouvoir considérer la chute comme « libre » mais, même avec cette restriction, cela constituera toujours une mauvaise approximation …

......Remarque : La seule façon d'obtenir une bonne approximation est de réaliser une chute dans le vide, par exemple en utilisant un tube à vide de Newton [20].

Application du théorème du mouvement du C.D.I. dans le référentiel terrestre galiléen[modifier | modifier le wikicode]

Conditions de « lancement » du système fermé (indéformable) de points matériels et choix du repère cartésien associé au référentiel terrestre supposé galiléen[modifier | modifier le wikicode]

......Le système fermé de points matériels [21], de C.D.I. [4] , est lancé « à un instant choisi comme origine des temps », « d'un endroit fixe du référentiel terrestre [le C.D.I. [4] de étant en la position fixe de notée avec un vecteur vitesse initiale du C.D.I. [4] de égal à [22] ».

Choix du repère cartésien associé au référentiel terrestre dans le cas où le vecteur vitesse initial de l'objet en chute libre n'est pas vertical

......Choix du repère cartésien associé au référentiel terrestre : on choisit l'origine du repère confondu avec , l'axe vertical étant choisi ascendant, est le plan horizontal passant par et les axes horizontaux et y sont choisis de façon que le trièdre soit orthogonal direct d'une part et d'autre part selon la règle suivante :

  • si n'est pas vertical, l'axe horizontal est choisi dans le plan vertical de lancement initial (c'est-à-dire le plan vertical passant par et contenant tel que soit et on notera [23], angle de valeur absolue aigüe (voir schéma ci-contre) ;
  • si est vertical, les axes horizontaux et sont choisis quelconques [24].

Équations différentielles (scalaires) du mouvement du C.D.I. du système fermé (indéformable) de points matériels[modifier | modifier le wikicode]

......Le référentiel terrestre étant supposé galiléen, l'application du théorème du mouvement du C.D.I. [4] nous conduit à soit finalement, la masse inerte étant identifiée à la masse grave d'après le principe d'équivalence [25], dont nous pouvons déduire que le mouvement du C.D.I. [4] du système lors de sa chute libre est un mouvement à vecteur accélération constant [26] ;

......compte-tenu de d'une part et d'autre part, nous pouvons

  • trouver les équations vectorielles horaires de vitesse et de position de par deux intégrations successives puis projeter ces équations vectorielles horaires sur les trois axes pour en déduire les trois équations scalaires horaires de vitesse ainsi que les trois de position de [27] ou
  • projeter cette équation différentielle vectorielle en sur les trois axes pour en déduire les trois équations différentielles scalaires en , et puis, par deux intégrations successives chacune, déterminer les trois équations scalaires horaires de vitesse ainsi que les trois de position de [28] ;

......projetons l'équation différentielle vectorielle sur les trois axes pour obtenir les trois équations différentielles scalaires du mouvement de soit

[29].

Cas particulier de mouvement à vecteur accélération constant, lois horaires de vitesse et de position du C.D.I. du système fermé (indéformable) de points matériels[modifier | modifier le wikicode]

Conséquence de l'expression de l'équation différentielle vectorielle du mouvement du C.D.I. du système fermé (indéformable) de points matériels[modifier | modifier le wikicode]

......Le mouvement du C.D.I. [4] du système fermé de points matériels étant un cas particulier de mouvement à vecteur accélération constant, nous pouvons dès à présent affirmer la nature plane (ou rectiligne) du mouvement de , la « trajectoire de ce dernier, dans le cas d'un mouvement plan, étant une parabole » [30].

Lois horaires de vitesse du C.D.I. du système fermé (indéformable) de points matériels[modifier | modifier le wikicode]

......Intégrant les équations différentielles par rapport à , on trouve , les constantes se déterminant à l'aide de la C.I. [31] , d'où les lois horaires de vitesse de

.

Lois horaires de position du C.D.I. du système fermé (indéformable) de points matériels[modifier | modifier le wikicode]

......Intégrant par rapport à , on trouve , les constantes se déterminant à l'aide de la C.I. [31] , d'où les lois horaires de position de

,
ces dernières constituant aussi les équations paramétriques de la trajectoire de .

Trajectoire du C.D.I. du système fermé (indéformable) de points matériels et quelques propriétés de la trajectoire[modifier | modifier le wikicode]

Cas de lancement vertical[modifier | modifier le wikicode]

Correspondant à .

......Les équations scalaires horaires de position du C.D.I. [4] du système sont donc , lesquelles représentant aussi les équations paramétriques scalaires de la trajectoire de , nous obtenons aisément les deux équations scalaires cartésiennes de la trajectoire de par élimination évidente du paramètre , ce qui donne c'est-à-dire l'équation de la droite correspondant à

une trajectoire suivie par verticale passant par  ;
  • dans le cas d'un lancement vers le haut c'est-à-dire , l'équation horaire de position de sur sa trajectoire étant et celle de vitesse on observe
......une 1ère phase de mouvement retardé vers le haut l'accélération est et la vitesse en restant pour tout puis
......une 2ème phase de mouvement accéléré vers le bas l'accélération est et la vitesse devenue pour tout est en valeur absolue ;
  • dans le cas d'un lancement vers le bas c'est-à-dire , l'équation horaire de position de sur sa trajectoire étant et celle de vitesse on n'observe qu'une seule phase de mouvement accéléré vers le bas l'accélération est et la vitesse est aussi pour tout en étant en valeur absolue.

......Cas particulier de chute libre sans vitesse initiale : la trajectoire de est verticale passant par , les équations horaires de position et de vitesse de sur sa trajectoire étant et , on n'observe qu'une seule phase de mouvement accéléré vers le bas …

Cas de lancement oblique[modifier | modifier le wikicode]

Correspondant à .

......Les équations scalaires horaires de position du C.D.I. [4] du système sont donc , lesquelles représentant aussi les équations paramétriques scalaires de la trajectoire de , nous obtenons aisément que

la trajectoire de est plane [32], dans le plan (vertical) de lancement d'équation  ;

......le mouvement de sur sa trajectoire résulte alors de la composition de deux mouvements rectilignes

  • celui de , projeté de sur , uniforme le long de et
  • celui de , projeté de sur , uniformément varié le long de .

Nature de la trajectoire[modifier | modifier le wikicode]

Représentation de la trajectoire du C.D.I. [4] d'un système fermé de points matériels en chute libre dans le cas où le C.D.I. [4] est lancé obliquement vers le haut, sommet de la trajectoire et portée du tir

......Les équations paramétriques de la trajectoire étant et l'une des deux équations scalaires cartésiennes étant , on détermine l'autre en éliminant le paramètre entre les deux autres équations paramétriques par reporté dans l'équation paramétrique non utilisée soit donnant finalement

c'est-à-dire
l'équation cartésienne d'un cylindre parabolique de génératrices à  ;

......les deux équations cartésiennes de la trajectoire de étant , celle-ci est l'intersection d'un cylindre parabolique de génératrices à avec le plan aux génératrices c'est-à-dire que

la trajectoire de est une parabole du plan , d'axe à et de concavité vers les (voir schéma ci-dessus).

Définition du sommet de la trajectoire[modifier | modifier le wikicode]

......Le sommet de la trajectoire peut être déterminé comme le point d'altitude maximale atteint à l'instant tel que ou donnant finalement  ;

  • si le lancement oblique est dirigé vers le haut c'est-à-dire si est , l'instant est et le sommet est atteint car d'instant postérieur à celui du lancement d'où ou ou encore
    [33] ;
  • si le lancement oblique est dirigé vers le bas c'est-à-dire si est , l'instant est et le sommet n'est pas accessible car d'instant antérieur à celui du lancement …

Définition de la portée[modifier | modifier le wikicode]

......La portée est la distance horizontale séparant les points de lancement et de retombée à la même altitude du C.D.I. [4] du système c'est-à-dire la distance est le point de la trajectoire de de cote et d'abscisse  ;

......de on déduit l'équation algébrique avec soit, après simplification par , la nouvelle équation algébrique d'où et finalement une portée

[33], [34].

......Le temps mis par pour atteindre est avec déterminé par ou dont on déduit soit finalement [33], [35].

Vitesse de retombée au point correspondant à la portée[modifier | modifier le wikicode]

......On cherche donc le vecteur vitesse au point de retombée à la même altitude que le point de lancement et pour cela il suffit

  • d'évaluer les composantes cartésiennes du vecteur vitesse de à l'instant soit dans lequel d'où
    ou
  • d'utiliser le fait que étant le symétrique de sur la trajectoire parabolique de , la pente de la tangente à la trajectoire en est opposée à celle de la tangente à la trajectoire en c'est-à-dire que et comme on en déduit établissant ainsi soit finalement
    c'est-à-dire
    antisymétrique [36] de relativement à l'axe de symétrie de la trajectoire parabolique.

Hodographe de pôle O du mouvement du C.D.I. du système fermé (indéformable) de points matériels[modifier | modifier le wikicode]

Revoir la « définition de l'hodographe de pôle du mouvement d'un point » dans le chap. de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » [37].

......Ainsi l'hodographe de pôle [38] du mouvement du C.D.I. [4] du système fermé de points matériels dans le référentiel terrestre est l'ensemble des positions [39] dans tel que [40], [41].

Équations paramétriques de l'hodographe de pôle O du mouvement du C.D.I. du système fermé (indéformable) de points matériels[modifier | modifier le wikicode]

......De la définition de l'hodographe de pôle [38] du mouvement du C.D.I. [4] du système fermé de points matériels dans le référentiel terrestre , nous en déduisons les équations paramétriques de l'hodographe du mouvement de de pôle

[41], [42].

Nature de l'hodographe du mouvement de G de pôle O[modifier | modifier le wikicode]

Représentation de l'hodographe de pôle du mouvement du C.D.I. [4] d'un système fermé de points matériels en chute libre dans le cas où le C.D.I. [4] est lancé obliquement vers le haut,
...repérage des points de l'hodographe représentatif du point de lancement, du sommet de la trajectoire et du point de celle-ci définissant la portée du tir

......La nature de pouvant être obtenue en précisant les deux équations cartésiennes le définissant, équations nécessitant d'éliminer le paramètre et observant que, parmi les trois équations paramétriques, deux ne dépendent par du paramètre nous en déduisons

les deux équations cartésiennes de et

......concluons que l'hodographe est une droite intersection du plan d'équation et du plan à d'équation  ;

il s'agit donc d'une droite contenue dans le plan et à l'axe d'abscisse
(voir graphe ci-contre dans le cas d'un lancement oblique vers le haut).

Description de l'hodographe du mouvement de G de pôle O[modifier | modifier le wikicode]

  • À , est en de cote ,
  • à , est en de cote et
  • à , est en de cote symétrique de relativement à l'axe .

......La partie ascendante de la trajectoire correspond à de l'hodographe et
......la partie descendante de la trajectoire correspond à la partie de l'hodographe située au dessous de .

......Sur l'hodographe de pôle du mouvement de on peut en déduire la variation

  • de la vitesse de en suivant celle de et
  • de l'angle que fait le vecteur vitesse de avec la direction horizontale du plan de lancement en suivant celle de

Notes et références[modifier | modifier le wikicode]

  1. Pour que le poids s'écrive , avec est le centre de gravité du système (lequel s'identifie au centre d'inertie, les masses grave et inerte étant mesurées par le même nombre d'après le principe d'équivalence), il est nécessaire de supposer que, sur toute l'expansion tridimensionnelle du système fermé de points matériels, le champ de pesanteur est quasi uniforme .
  2. Par exemple à Paris l'écart entre les deux directions est de d'angle, ce qui revient à dire que la verticale à Paris passe à du centre de la Terre.
  3. On rappelle que la verticale en un lieu est la direction d'un « fil à plomb » en équilibre, c'est-à-dire la direction du fil soutenant le solide en équilibre, lequel n'étant soumis qu'à son poids et la tension du fil est en équilibre si .
  4. 4,00 4,01 4,02 4,03 4,04 4,05 4,06 4,07 4,08 4,09 4,10 4,11 4,12 4,13 4,14 et 4,15 Centre D'Inertie.
  5. La notion de « pseudo force d'inertie » n'est pas au programme de physique de P.C.S.I. mais elle a été introduite en complément dans le paragraphe intitulé « cas où le référentiel d'entraînement est en rotation uniforme autour d'un axe fixe du référentiel galiléen » du chapitre de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » ;
    ...dans le cas du référentiel géocentrique quasi galiléen, le référentiel terrestre étant en rotation uniforme de vecteur rotation instantanée autour de l'axe « pôle Sud - pôle Nord » dans le référentiel géocentrique, la « pseudo force d'inertie d'entraînement » de rotation de la Terre relativement au référentiel géocentrique définie au point s'écrit dans laquelle est le projeté orthogonal de sur l'axe « pôle Sud - pôle Nord ».
  6. Car .
  7. En effet (identifié localement à dépend de et de .
  8. Obtenu en divisant haut et bas par d'où
  9. Voir le paragraphe « D.L. à l'ordre un de quelques fonctions usuelles » du chapitre de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » dans lequel, au voisinage de zéro, si , ici valant .
  10. Avec on trouve que l'on arrondit à .
  11. Déplacement le long d'un grand cercle.
  12. Il serait même préférable de travailler à près, sous cette condition une force sera négligeable si sa norme est .
  13. Force ascendante qu'un fluide exerce sur un objet totalement immergé, de norme égale au poids de « fluide déplacé » [c'est-à-dire le fluide (hypothétique) qu'il faudrait mettre à la place de l'objet sans que le champ de pression dans le fluide sans trouve modifié, et pour cela la quantité de fluide extérieur à l'objet (ou extérieur au fluide remplaçant l'objet) doit rester la même].
  14. Ou, si on travaille à près,
  15. Valeur sous pression de et à la température de .
  16. Ou, si on travaille à près,
  17. La densité d'un objet solide ou liquide est définie relativement à l'eau liquide selon est la masse volumique de l'eau liquide, celle-ci étant prise dans les mêmes conditions de température et de pression que l'objet solide ou liquide …
  18. Ou, si on travaille à près,
  19. Voir le paragraphe « forces de frottement fluide exercées sur un système de points matériels fermé indéformable en mouvement de translation relativement au fluide immobile, le système ayant un axe de symétrie et son vecteur vitesse étant porté par l'axe » du chapitre de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) ».
  20. Isaac Newton (1643 - 1727) philosophe, mathématicien, physicien, astronome, alchimiste et théologien anglais, connu essentiellement de nos jours pour avoir fondé la mécanique classique, pour sa théorie de la gravitation et aussi pour la création du calcul infinitésimal ; en optique il a développé une théorie de la couleur et a aussi inventé un télescope composé d'un miroir primaire concave et d'un miroir secondaire plan, télescope connu de nos jours sous le nom de télescope de Newton.
  21. Bien que, dans la pratique, le système soit indéformable, ce caractère n'est pas nécessaire quand il s'agit de déterminer le mouvement de son centre d'inertie …
  22. Lequel étant quelconque (dans la limite d'utilisation de la dynamique newtonienne) peut aussi être nul.
  23. Attention, comme on a choisi la base cartésienne directe et qu'on définit un angle orienté du plan , la convention usuelle consisterait à ce que les angles de ce plan soient orientés par le vecteur correspondant à un angle positif de vers c'est-à-dire dans le sens rétrograde ; pour éviter cela et obtenir des angles orientés positifs dans le sens direct, on oriente les angles du plan par le vecteur
  24. Avec toutefois le trièdre orthogonal direct …
  25. Revoir aussi la note « 3 » du chapitre de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) ».
  26. Voir chap. « Description et paramétrage d'un point : mouvement de vecteur accélération constant » de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) ».
  27. C'est cette façon qui a été adoptée au chap. de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » puis précisément aux paragraphes « expression du vecteur vitesse du point », « expression du vecteur position du point » et « déduction des composantes cartésiennes dans le cas où le vecteur vitesse initiale n'est pas colinéaire au vecteur accélération » (attention l'angle n'y a pas la même définition que celle adoptée dans ce chapitre).
  28. C'est cette façon que nous adopterons pour que les deux méthodes soient, au final, exposées dans la leçon (même si l'intégration vectorielle avant projection me semble plus rapide).
  29. La grandeur étant appelé « intensité de la pesanteur terrestre » au lieu considéré.
  30. Voir les paragraphes « mouvement de vecteur accélération constant dans le cas où le vecteur vitesse initiale n'est pas colinéaire au vecteur accélération conduisant à un mouvement plan et à une trajectoire parabolique » et « dans le cas où le vecteur vitesse initiale est colinéaire au vecteur accélération conduisant à un mouvement rectiligne » du chapitre de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) ».
  31. 31,0 et 31,1 Condition Initiale.
  32. En effet une des deux équations cartésiennes de la trajectoire étant c'est-à-dire l'équation du plan .
  33. 33,0 33,1 et 33,2 En utilisant .
  34. Dans le plan , le point étant le symétrique du point sur la trajectoire parabolique dont l'axe de symétrie a pour équation , les abscisses des deux points et sont reliées par ou soit encore .
  35. On remarque que est égal à établissant que la durée de la montée du point de lancement jusqu'au sommet est égale à la durée de la descente du sommet jusqu'au point de retombée à la même altitude que le point de lancement.
  36. Deux vecteurs coplanaires sont symétriques relativement à un axe du plan s'ils ont même composante le long de l'axe et des composantes opposées perpendiculairement à l'axe et
    ...Deux vecteurs coplanaires sont antisymétriques relativement à un axe du plan s'ils ont même composante perpendiculairement à l'axe et des composantes opposées le long de l'axe (on peut aussi dire qu'un vecteur est l'antisymétrique d'un autre s'il est opposé au symétrique de cet autre).
  37. La notion d'hodographe de pôle du mouvement d'un point n'est pas explicite dans le programme de physique de P.C.S.I., elle est à considérer comme un complément.
  38. 38,0 et 38,1 Point fixe du référentiel qui n'est pas nécessairement l'origine du vecteur position du point repéré, nous adoptons la même notation pour simplifier l'exposé.
  39. Usuellement on utilise mais ici étant réservé pour définir la position de retombée à la même altitude que la position de lancement …
  40. Le symbole signifiant « est représenté par » ou « représentant » suivant contexte, nécessitant de préciser l'échelle de représentation (ici des vitesses) en cas d'utilisation pratique …
  41. 41,0 et 41,1 Par abus d'écriture on écrira au lieu de sans oublier que ceci n'a de sens qu'avec le choix d'une échelle des vitesses.
  42. On note les coordonnées de en majuscule pour souligner que ce ne sont pas des grandeurs exprimées avec la même unité que les coordonnées ordinaires repérant .