Mécanique 1 (PCSI)/Loi de la quantité de mouvement : Frottement de glissement

Leçons de niveau 14
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Loi de la quantité de mouvement : Frottement de glissement
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Chapitre no 13
Leçon : Mécanique 1 (PCSI)
Chap. préc. :Loi de la quantité de mouvement : Pendule pesant simple
Chap. suiv. :Approche énergétique du mouvement d'un point matériel : Puissance et travail d'une force
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Mécanique 1 (PCSI)/Loi de la quantité de mouvement : Frottement de glissement
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Dans tout ce chapitre on se place dans le cadre de la dynamique newtonienne.

Contact d’un solide sur un autre dans le cas de « liaisons unilatérale ou bilatérale avec frottement »[modifier | modifier le wikicode]

     Introduit une 1ère fois dans le paragraphe « 3ème exemple de forces de contact, force résultant du contact avec un solide, liaisons unilatérale ou bilatérale, idéale (c.-à-d. sans frottement) ou non idéale (c.-à-d. avec frottement) » du chap. de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) ».

Rappel : liaisons unilatérale ou bilatérale d’un solide sur un autre[modifier | modifier le wikicode]

     Introduit une 1ère fois dans le paragraphe « notions de liaisons unilatérale et bilatérale » du chap. de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) ».

Liaison unilatérale[modifier | modifier le wikicode]

Voir aussi « liaison unilatérale » du chap. de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) ».

     Le solide en contact éventuel avec le solide support peut être

  • en contact effectif, dans ce cas exerce des forces de contact sur de résultante appelée « réaction desur» [1], cette dernière étant dirigée devers ou
  • « au-dessus de» [2] sans point de contact avec lui, dans ce cas « la réaction desur» [1] est nulle.

Liaison bilatérale[modifier | modifier le wikicode]

Voir aussi « liaison bilatérale » du chap. de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) ».

     Le solideest toujours en contact avec le solide support plus précisément constitué de deux solides supports « et » guidant le solide , l'un ou l'autre des solides supports de part et d'autre de exerçant sur lui des forces de contact de résultante appelée « réaction desur» [1] pouvant avoir n'importe quelle directionet même être nulle.

Rappel : composantes normale et tangentielle de la réaction du support solide sur le système indéformable étudié[modifier | modifier le wikicode]

Voir aussi « composante normale de réaction et force de frottement solide » du chap. de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) ».

     Définissant un vecteur unitaire normal au(x) support(s) solide(s) défini au « point d'application de la réaction de sur » [3], point que nous appellerons par la suite « point de contact » [4], le sens de étant choisi usuellement « vers l'extérieur du support solide en cas de liaison unilatérale » et dans un « sens arbitraire en cas de liaison bilatérale », nous notons :

  • la projection de sur la normale, soit «» où «» est appelée « composante normale de la réaction » et
  • la projection de sur le plan tangent à au point de contact, soit «» [5], où «» [5] est appelée « composante tangentielle de la réaction » ou encore « force de frottement solide » ;
on peut alors écrire «» avec
« en liaison unilatérale » et
« de signe quelconque [6] en liaison bilatérale ».

Rappel : « liaison avec frottement solide »[modifier | modifier le wikicode]

Voir aussi « notions de liaisons idéale (ou sans frottement) et non idéale (ou avec frottement) » [7] du chap. de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) ».

     La puissance développée par la réaction que exerce sur dans un référentiel lié à s'écrit, avec point d'application de , « » [8] ;

     La puissance développée par la réaction que exerce sur or car, en cas de non glissement de sur , et,
     La puissance développée par la réaction que exerce sur or car, en cas de glissement, dans le plan tangent à en donc à d'où au final

     la puissance développée par la réaction que exerce sur dans un référentiel lié à se réécrit, avec point d'application de , selon «» [9].

     On dit que la liaison est « avec frottement » ou « non idéale » ou encore « non parfaite » si en envisageant diverses situations de repos de , on en trouve au moins une où est et
     On dit que la liaison est « avec frottement » ou « non idéale » ou encore « non parfaite » si dans tous les états de translation de , est toujours  ;

      On dit que la liaison est « avec frottement » ou « non idéale » ou ce qui est équivalent si il existe des cas de repos de est au plan tangent de en [10] et
      On dit que la liaison est « avec frottement » ou « non idéale » ou ce qui est équivalent si dans l'hypothèse de translation de , est toujours au plan tangent de en .

     Il est équivalent de définir une liaison « avec frottement » ou « non idéale » ou encore « non parfaite » comme une liaison telle queen cas de mouvement de translation desur.

Énoncé des lois empiriques de « Coulomb » du frottement de glissement d’un solide en translation sur un autre solide dans le cas d’équilibre et dans celui de glissement, cœfficients de frottement statique et dynamique caractérisant le contact[modifier | modifier le wikicode]

Rappel : loi empirique de Coulomb du frottement de glissement d’un solide en translation sur un autre solide dans le cas d’équilibre[modifier | modifier le wikicode]

Voir aussi « loi de frottement solide sans glissement de Coulomb [11] » du chap. de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) ».

     Le solide est donc au repos sur le support solide avec, a priori, « présence d'une force de frottement solide » [12] et absence de glissement ;

     si une force tend à faire glisser sur tangentiellement à ce dernier suivant [13],
     si une force tend à faire glisser sur le support solide réagit en exerçant sur une force de frottement solide s’opposant à la mise en mouvement, c.-à-d.
     si une force tend à faire glisser sur le support solide réagit en exerçant sur une force de frottement solide de même direction mais de sens contraire à  ;
     si une force tend à faire glisser sur le support solide réagit en exerçant sur comme il n'y a pas glissement, soit
     si une force tend à faire glisser sur en choisissant le vecteur unitaire tangentiel du plan tangent à au point de contact suivant la direction et le sens de[14],
     si une force tend à faire glisser sur c.-à-d. tel que avec et est la valeur algébrique de la « force de frottement solide » [15],
     si une force tend à faire glisser sur le support solide réagit en exerçant sur on déduit, de la condition de non glissement, «» ;

     si une force tend à faire glisser sur le support solide réagit en exerçant sur si on fait , telle que mais
     si une force tend à faire glisser sur le support solide réagit en exerçant sur si on fait , ne peut indéfiniment,
     si une force tend à faire glisser sur le support solide réagit en exerçant sur si on fait , il existe une valeur de à partir de laquelle le glissement s'amorcera,
     si une force tend à faire glisser sur le support solide réagit en exerçant sur si on fait , il existe cette force seuil définissant le « seuil d'adhérence de sur » ;

     si une force tend à faire glisser sur parallèlement la composante normale de la réaction s’oppose à la pénétration de dans [16],
     si une force tend à faire glisser sur parallèlement la force tendant à la pénétration étant appelée « force pressante de sur » et notée [17] ;
     si une force tend à faire glisser sur parallèlement la force tendant à la pénétration comme il n'y a pas pénétration, soit
     si une force tend à faire glisser sur en choisissant le vecteur unitaire normal au plan tangent à au point de contact en sens contraire de si le sens de ne varie pas ou
     si une force tend à faire glisser sur en choisissant le vecteur unitaire normal au plan tangent à au point de contact de sens a priori arbitraire si le sens de peut varier [18] et,
     si une force tend à faire glisser sur en posant quel que soit le sens choisi pour [19] ainsi que est la « réaction normale au support »,
     si une force tend à faire glisser sur parallèlement la force tendant à la pénétration on déduit, de la condition de non pénétration, «» avec,
     si une force tend à faire glisser sur parallèlement la force tendant à la pénétration si le sens deest choisi de sens contraire à quand le sens de ne varie pas, «» ou,
     si une force tend à faire glisser sur parallèlement la force tendant à la pénétration si le sens deest arbitraire, « si le sens de [20] est contraire au sens de » et
     si une force tend à faire glisser sur parallèlement la force tendant à la pénétration si le sens deest arbitraire, « si le sens de [20] est dans le sens de » ;

     supposant que la forcetendant à faire glisser sur tangentiellement à ce dernier ne modifie pas la force pressante de sur [21],
     Supposant que la « de à constant » [22] entraîne une « de à constant » [23] et
           Supposant que la « de à constant » entraîne un « démarrage du glissement pour une valeur critique de à constant »,
           Supposant que la « de à constant » entraîne « le rapport de cette valeur critique sur » définissant le « cœfficient de frottement statique » noté soit
           Supposant que la « de à constant » entraîne « sans unité et dépendant de l'adhérence de sur » encore égal à «» [24].

Début d’un théorème
Fin du théorème

Rappel : loi empirique de Coulomb du frottement de glissement d’un solide en translation sur un autre solide dans le cas effectif de glissement[modifier | modifier le wikicode]

Voir aussi « loi de frottement solide avec glissement de Coulomb [11] » du chap. de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) ».

     Le solide a donc été « mis en mouvement sur le support solide par l'action d'une force tangentielle suffisante pour faire glisser sur suivant » [25], il s'en suit que

     Le solide a donc été « mis en mouvement sur le support solide le support solide réagit en exerçant sur en plus de la composante normale de la réaction [26]
     Le solide a donc été « mis en mouvement sur le support solide le support solide réagit en exerçant sur une « force de frottement solides'opposant au mouvement »
     Le solide a donc été « mis en mouvement sur le support solide le support solide réagit en exerçant sur une « c.-à-d. de même direction et de sens contraire à ;

     Le solide a donc été « mis en mouvement lors du glissement « le rapport reste constant » [27], constante positive définissant le « cœfficient de frottement dynamique » noté
             Le solide a donc été « mis en mouvement lors du glissement « le rapport reste constant », constante positive toujours au cœfficient de frottement statique c.-à-d. «»,
     Le solide a donc été « mis en mouvement ainsi, quand il y a glissement «» sans unité et dépendant de la nature des deux solides en présence
     Le solide a donc été « mis en mouvement ainsi, quand il y a glissement avec «» sans unité et dépendant de l'adhérence de sur « encore égal à » [28].

     Remarque : pour que le glissement démarre il est nécessaire de soit à ,
     Remarque : mais une fois le glissement amorcé peut devenir à sans que le glissement cesse ;
     Remarque : par contre si ce dernier s'arrête, il faudra de nouveau que soit à pour qu'il redémarre.

Début d’un théorème
Fin du théorème

Approximation usuelle sur les cœfficients de frottement statique et dynamique[modifier | modifier le wikicode]

     Comme on l'a affirmé précédemment le cœfficient de frottement dynamique est toujours inférieur au cœfficient de frottement statique soit

mais,

     dans les cas les plus fréquents, ces cœfficients restant proches, on peut alors « les confondre » [29], [30] et, dans ce cas, usuellement on pose

.

Étude du démarrage du glissement d'un système indéformable sur un support solide dans le cas où les cœfficients de frottement statique et dynamique sont suffisamment distincts[modifier | modifier le wikicode]

     Supposons le solide reposant initialement sur le plan support horizontal et
     supposons qu'on cherche à faire glisser le long d'un axe horizontal du plan support dans le sens de cet axe
     supposons qu'on cherche à faire glisser en exerçant sur une force horizontale dirigée dans le sens de l'axe  ;

     sur s'exercent trois forces [31] : le poids de comme cette force est à elle s'identifie à la force pressante tendant à la pénétration de dans soit
            sur s'exercent trois forces : le poids de vertical descendant on choisit alors , le vecteur unitaire normal à , dans le sens vertical ascendant
              sur s'exercent trois forces : le poids de vertical descendant pour que le sens de soit dans le sens contraire de la force pressante et par suite
                sur s'exercent trois forces : le poids de vertical descendant «» se réécrit «» avec «»,

            sur s'exercent trois forces : la force s'exerçant tangentiellement à , plus exactement le long de l'axe horizontal dans le sens
            sur s'exercent trois forces : la force s'exerçant tangentiellement à , on choisit alors , le vecteur unitaire tangentiel à , dans le sens de
            sur s'exercent trois forces : la force s'exerçant tangentiellement à , pour que le sens de soit dans le sens de l'éventuel glissement et par suite
              sur s'exercent trois forces : la force s'exerçant tangentiellement à , «» avec «» et

            sur s'exercent trois forces : la réaction de sur de composantes normale «» et tangentielle «» encore appelée force de frottement solide ;

     la composante normale de la réaction compensant le poids nous en déduisons «» et,

     tant que la force n'a pas atteint la valeur critique correspondant au seuil d'adhérence, il n'y a pas glissement, la composante tangentielle de la réaction compense alors d'où
     tant que la force n'a pas atteint la valeur critique correspondant au seuil d'adhérence, il n'y a pas glissement, «» la force de frottement solide dans le sens contraire
     tant que la force n'a pas atteint la valeur critique correspondant au seuil d'adhérence, il n'y a pas glissement, «» la force de frottement solide du glissement possible ;
     tant que la force n'a pas atteint la valeur critique correspondant au seuil d'adhérence, l'absence de glissement selon la loi empirique de Coulomb [11] de frottement solide sans glissement,
     tant que la force n'a pas atteint la valeur critique correspondant au seuil d'adhérence, l'absence de glissement «» [32], [33] soit encore «» d'où
     tant que la force n'a pas atteint la valeur critique correspondant au seuil d'adhérence, la force motrice critique permettant la mise en mouvement de est de norme «» ;

     notant l'instant où atteint sa valeur critique , le glissement de sur le plan support horizontal commence alors à
      notant l'instant où atteint sa valeur critique , avec la composante normale de la réaction compensant toujours le poids de soit «» [34] et
      notant l'instant où atteint sa valeur critique , avec la composante tangentielle de la réaction déterminée par la loi empirique de Coulomb [11] de frottement solide avec glissement
      notant l'instant où atteint sa valeur critique , avec «» [35], [33] ou encore «» avec «»
                   notant l'instant où atteint sa valeur critique , avec «» la force de frottement solide étant toujours dans le sens contraire du glissement effectif,
     la projection sur du théorème du mouvement du C.D.I. [36] appliquée à «» [37] ou, avec ,
     on obtient l'équation différentielle du mouvement de glissement de selon «» soit finalement,
     on obtient une accélération horizontale constante pour égale à «» ;

     ainsi, bien que l'on ait imposé la force minimale pour la mise en mouvement, le solide a acquis une accélération non nulle dès , d'autant plus grande que l'est [38]
     ainsi, bien que l'on ait imposé la force minimale pour la mise en mouvement, le solide subit donc une accélération possédant une discontinuité de 1ère espèce [39] à l'instant du démarrage.

Angles limites de frottement statique et dynamique, autres énoncés des lois empiriques de Coulomb du frottement de glissement d’un solide en translation sur un autre solide dans le cas d’équilibre et dans celui de glissement[modifier | modifier le wikicode]

Voir aussi « expressions empiriques des lois de frottement solide de Coulomb [11] » du chap. de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) ».

Inclinaison de la réaction que le support solide exerce sur le système indéformable étudié relativement à la normale au support solide au point d’application de la réaction[modifier | modifier le wikicode]

Voir aussi « loi de frottement solide sans glissement de Coulomb [11] » du chap. de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) ».

     Notant [40] l'inclinaison de la réaction de sur relativement au vecteur unitaire normal à au point de contact de ce dernier avec [18], on en déduit «» ;

     si on cherche à faire glisser sur à l'aide d’une force tangentielle dont on fait la norme à partir de la valeur nulle et
     si on cherche à faire glisser sur tant que reste en équilibre, il y a compensation entre la composante tangentielle de la réaction avec et
     si on cherche à faire glisser sur tant que reste en équilibre, il y a compensation entre la composante normale de la réaction avec la force pressante
     si on cherche à faire glisser sur tant que reste en équilibre, il y a compensation entre la composante normale de la réaction avec étant très souvent due au poids de  ;

     si on cherche à faire glisser sur tant que reste en équilibre, si reste constante réalisé si ne varie pas, l'angle simultanément avec la de , c.-à-d. que
     si on cherche à faire glisser sur tant que reste en équilibre, si reste constante réalisé si ne varie pas, l'inclinaison de la réaction
     si on cherche à faire glisser sur tant que reste en équilibre, si reste constante réalisé si ne varie pas, l'inclinaison par rapport à la normale à au point de contact
     si on cherche à faire glisser sur tant que reste en équilibre, si reste constante réalisé si ne varie pas, l'angle simultanément à la de [41].

Angle limite de frottement statique et angle limite de frottement dynamique[modifier | modifier le wikicode]

Voir aussi « loi de frottement solide sans glissement de Coulomb [11] » et « loi de frottement solide avec glissement de Coulomb [11] » du chap. de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) ».

     Tant que tentant de créer un glissement de sur n'a pas atteint sa valeur critique correspondant au seuil d’adhérence, l'équilibre desurperdure ; dans ce cas

     l’inclinaisonde la réactionpar rapport à la normale àau point de contact està une inclinaison limite définissant l'« angle limite de frottement statique » noté , d'où
     l’inclinaisonde la réactionpar rapport à la normale àau point de contact està une inclinaison limite la condition de non glissement «»,

     l’inclinaisonde la réactionpar rapport à la normale àau point de contact està une inclinaison limite l'angle limite de frottement statique étant lié au cœfficient de frottement statique
   l’inclinaisonde la réactionpar rapport à la normale àau point de contact està une inclinaison limite l'angle limite de frottement stat par «» [42] ou «» [43].

     Pour que la mise en mouvement de se produise, il faut que l'inclinaison de la réaction relativement à la normale à au point de contact atteigne la valeur limite et,

     Pour que la mise en mouvement de se produise, dès que le glissement commence, l'inclinaisonde la réactionrelativement à la normale àau point de contact
     Pour que la mise en mouvement de se produise, dès que le glissement commence, l'inclinaisonchute à une nouvelle inclinaison limite définissant l'« angle limite de frottement dynamique»
     Pour que la mise en mouvement de se produise, dès que le glissement commence, l'inclinaisonchute à une nouvelle inclinaison limite d'où la condition de glissement «»,

     Pour que la mise en mouvement de se produise, dès que le glissement commence, l'inclinaisonchute à une nouvelle inclinaison limite d'où l'angle limite de frottement dynamique étant lié
     Pour que la mise en mouvement de se produise, dès que le glissement commence, l'inclinaisonchute à une nouvelle inclinaison limite d'où au cœfficient de frottement dynamique par
     Pour que la mise en mouvement de se produise, dès que le glissement commence, l'inclinaisonchute à une nouvelle inclinaison limite l'angle limite de frottement «» [42], [44]
Pour que la mise en mouvement de se produise, dès que le glissement commence, l'inclinaisonchute à une nouvelle inclinaison limite l'angle limite de frottement ou «» [43].

Autre énoncé de la loi empirique de Coulomb du frottement de glissement d’un solide en translation sur un autre solide dans le cas d’équilibre[modifier | modifier le wikicode]

Début d’un théorème
Fin du théorème

Autre énoncé de la loi empirique de Coulomb du frottement de glissement d’un solide en translation sur un autre solide dans le cas effectif de glissement[modifier | modifier le wikicode]

Début d’un théorème
Fin du théorème

Notion de cône limite de frottement statique et de cône limite de frottement dynamique[modifier | modifier le wikicode]

Voir aussi « loi de frottement solide sans glissement de Coulomb [11] » et « loi de frottement solide avec glissement de Coulomb [11] » du chap. de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) ».

     Dans la mesure où reste en équilibre sur , la réaction de sur étant inclinée relativement à la normale à en son point d’application d'un angle non orienté avec angle limite de frottement statique, « reste strictement à l'intérieur d'un cône de révolution de sommet , d’axe “la normale à en ” et de demi-angle au sommet », cône appelé « cône limite de frottement statique » et caractérisant l’adhérence de sur en .

     Dans la mesure où glisse sur , la réaction de sur étant inclinée relativement à la normale à en son point d’application d'un angle non orienté avec angle limite de frottement dynamique, « reste sur un cône de révolution de sommet , d’axe “la normale à en ” et de demi-angle au sommet », cône appelé « cône limite de frottement dynamique » et caractérisant le collé relativement au glissé de sur en .

     De on déduit que le cône limite de frottement dynamique est inclus dans celui de frottement statique, la mise en mouvement se traduisant par le passage instantané de la réaction de sur de la surface du cône limite de frottement statique [47] à celle du cône limite de frottement dynamique en restant dans un même demi-plan méridien ;

     De on déduit que lors d'un démarrage il y a donc un léger redressement instantané de, l'inclinaison de cette dernière restant constante par la suite.

     Remarque : dans les cas les plus fréquents où on peut confondre et , de valeur commune notée et simplement appelée « angle limite de frottement », cet angle limite étant lié au cœfficient de frottement solide par [42] , les deux cônes limites de frottement statique et dynamique se confondent également et le cône commun est simplement appelé « cône limite de frottement ».

Méthode de traitement d’une liaison « unilatérale (ou bilatérale) » avec frottement[modifier | modifier le wikicode]

     . Faire l'hypothèse d'équilibre de sur ,

     . utiliser la C.N. [48] d’équilibre pour évaluer les composantes normale et tangentielle de la réaction [49] puis

     . valider ou non l’hypothèse d'équilibre par vérification ou non de la loi empirique de Coulomb [11] du frottement sans glissement d’un solide sur un autre [32] ;

     . dans le cas où l’hypothèse d’équilibre ne serait pas vérifiée, le solide est alors en translation sur l'autre , faire l'hypothèse de glissement dans un sens,

     . utiliser la loi empirique de Coulomb [11] du frottement avec glissement d’un solide sur un autre [35] pour exprimer la norme de la composante tangentielle de la réaction en fonction de celle de la composante normale puis

     . utiliser le théorème du mouvement du C.D.I. [36], [37] pour en déduire, en tenant compte des C.I. [50] la vitesse de glissement du solide sur dans les cas usuels où est plan, la norme de la composante normale de la réaction [49] ne dépend pas de la vitesse de glissement, ce qui simplifie fortement la détermination de cette dernière mais, dans les cas où n'est pas plan, la norme de la composante normale de la réaction [49] dépendant de la vitesse de glissement, la détermination de cette dernière se complique et peut même nécessiter une résolution numérique par calculateur et enfin

     . valider ou non le sens du glissement on rappelle que la vitesse doit être de sens contraire à la composante tangentielle de la réaction ;

     . dans le cas où le sens de glissement ne serait pas le bon, refaire le traitement en inversant le sens du glissement

Notes et références[modifier | modifier le wikicode]

  1. 1,0 1,1 et 1,2 Il s'agit d'un abus usuellement utilisé pour parler de « vecteur réaction»
  2. Plus précisément dans l'espace non occupé par .
  3. Le système des forces de contact que exerce sur est le plus souvent équivalent à une force unique égale à la résultante des forces de contact à condition d'appliquer cette force unique en un point bien choisi définissant le « point d’application de la réaction de sur ».
  4. Ceci, bien sûr, n'ayant de signification que s'il y a contact effectif
  5. 5,0 et 5,1 Pour l’instant est simplement un vecteur unitaire du plan tangent à défini au point de contact et choisi selon la direction de la projection de sur le plan tangent, son sens étant encore, pour l’instant, arbitraire ; par suite ce dernier sera défini plus précisément
  6. Ou nulle dans des cas particuliers.
  7. Une « liaison non idéale » étant encore appelée « liaison non parfaite ».
  8. En utilisant la distributivité de la multiplication scalaire relativement à l'addition vectorielle, voir le paragraphe « autres propriétés (de la multiplication scalaire) » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
  9. Ceci n'ayant de sens que si existe c.-à-d. s'il y a contact entre et , toujours réalisé en liaison bilatérale mais conditionnel en liaison unilatérale.
  10. Dans l'exemple d'une caisse au repos sur un plan horizontal, la seule force pouvant engendrer un mouvement de la caisse c.-à-d. « son poids » étant au plan, l'équilibre de la caisse se traduit par le fait que la réaction du plan est opposée au poids c.-à-d. au plan que la liaison soit ou ne soit pas idéale, ceci constitue donc un exemple de liaison avec frottement où est au plan, mais
       Dans l'exemple d'une caisse au repos sur un plan horizontal, si on cherche à déplacer la caisse vers la droite sans y arriver ce qui n'est possible que si la liaison est avec frottement, elle est donc toujours en équilibre ce qui se traduit par l'existence d'une composante tangentielle de la réaction opposée à la force tangentielle exercée pour tenter de déplacer la caisse, ceci constitue donc un exemple de liaison avec frottement où est au plan
  11. 11,00 11,01 11,02 11,03 11,04 11,05 11,06 11,07 11,08 11,09 11,10 11,11 11,12 11,13 11,14 et 11,15 Charles-Augustin Coulomb (1736 - 1806) officier, ingénieur et physicien français à qui on doit la formulation précise des lois de frottement « solide » connues sous le nom de « lois de Coulomb » ainsi que l'invention du pendule de torsion qui lui permet de formuler la loi d'attraction des corps électrisés.
  12. Laquelle peut accessoirement être nulle.
  13. À ce stade, le vecteur unitaire tangentiel du plan tangent à au point de contact, choisi suivant la direction de la projection de sur le plan tangent, mais de sens jusqu'à présent arbitraire, pourra maintenant être précisé ;
       on choisira le sens dedans le sens de la force qui pourrait créer le déplacement, ce qui est encore le sens de c.-à-d. le sens du mouvement de glissement susceptible de se produire.
  14. C.-à-d. suivant la direction et le sens du mouvement de glissement susceptible de se produire.
  15. Plus exactement la valeur algébrique de la projection tangentielle de la force de frottement solide .
  16. Ceci dans le cas d'une liaison unilatérale sinon,
       Ceci dans le cas d'une liaison bilatérale, s’oppose à la pénétration de dans ou suivant que le contact se fait sur l'un ou sur l'autre.
  17. Dans la mesure où le plan tangent à au point de contact est horizontal, la force pressante de sur est le plus souvent le poids de que la liaison soit unilatérale ou bilatérale dans ce dernier cas, il y a alors contact avec le support .
  18. 18,0 et 18,1 En se plaçant dans le cas le plus fréquent où le sens de ne change pas comme cela se produit usuellement avec une liaison unilatérale, dans ce cas le sens de est aussi le sens contraire à la pénétration susceptible de se produire ;
                        En se plaçant dans le cas où le sens de peut changer comme cela peut se produire avec une liaison bilatérale le sens de la pénétration susceptible de se produire étant a priori inconnu, le sens de est alors choisi arbitrairement
  19. Si le sens de est choisi de sens contraire à celui de , étant égale à cas usuel d'une liaison unilatérale on a mais
       si le sens de est choisi de façon arbitraire cas possible d'une liaison bilatérale s'identifie à en étant alors si le sens de est de sens contraire à c.-à-d.
       si le sens de est choisi de façon arbitraire cas possible d'une liaison bilatérale s'identifie à en étant alors de sens contraire à la pénétration susceptible de se produire,
       si le sens de est choisi de façon arbitraire cas possible d'une liaison bilatérale si est dans le sens de c.-à-d.
       si le sens de est choisi de façon arbitraire cas possible d'une liaison bilatérale si est dans le sens de la pénétration susceptible de se produire
  20. 20,0 et 20,1 C.-à-d. le sens de la pénétration susceptible de se produire.
  21. Ce n’est pas toujours le cas en particulier,
       si la surface de sur laquelle est en contact n’est pas plane et que la force pressante est la composante du poids de sur la normale à au point de contact, la normale changeant de direction avec la position du point de contact, la composante normale du poids varie mais
       simultanément dans la mesure où la force susceptible d'engendrer un glissement est due au poids de , sa composante tangentielle qui est aussi celle du poids de varie aussi car la tangente change aussi de direction avec la position du point de contact d'où
       dans ce cas quand varie, varie simultanément .
  22. On rappelle que quel que soit le sens de choisi et «» si le sens choisi de s'identifie au sens contraire de la pénétration susceptible de se produire c.-à-d.
       On rappelle que quel que soit le sens de choisi et «» si le sens choisi de de sens contraire à ce qu'on choisit toujours si le sens de ne varie pas
       On rappelle que quel que soit le sens de choisi et «» si le sens choisi de s'identifie au sens de la pénétration susceptible de se produire c.-à-d.
       On rappelle que quel que soit le sens de choisi et «» si le sens choisi de au sens de ceci pouvant se produire par choix arbitraire du sens de qui est fait quand le sens de peut varier, comme dans l'exemple d'une liaison bilatérale.
  23. On rappelle que quel que soit le sens de choisi et par suite, de la condition de non pénétration on tire
    • si le sens choisi de s'identifie au sens contraire de la pénétration susceptible de se produire c.-à-d. de sens contraire à ce qu'on choisit toujours si le sens de ne varie pas alors que
    • si le sens choisi de s'identifie au sens de la pénétration susceptible de se produire c.-à-d. au sens de ceci pouvant se produire par choix arbitraire du sens de qui est fait quand le sens de peut varier, comme dans l'exemple d'une liaison bilatérale.
  24. 24,0 et 24,1 On rappelle que étant choisi dans le sens de , est alors que avec la condition de non glissement et
                    On rappelle que si est choisi dans le sens contraire de quand le sens de cette dernière ne varie pas avec , est alors que avec la condition de non pénétration ou
                    On rappelle que si est choisi de sens arbitraire quand le sens de peut varier c.-à-d. essentiellement dans le cas d'une liaison bilatérale avec , est quand le sens de est dans le sens de alors que avec la condition de non pénétration .
  25. Il faut, pour qu'il y ait glissement, que soit à , valeur critique à partir de laquelle l'équilibre n'est plus possible et
       Il faut, pour qu'il y ait glissement, que soit à , valeur critique égale au « seuil d'adhérence de sur » c.-à-d. avec
       Il faut, pour qu'il y ait glissement, que soit à , valeur critique égale au « seuil d'adhérence de sur » c.-à-d. cœfficient de frottement statique et
       Il faut, pour qu'il y ait glissement, que soit à , valeur critique égale au « seuil d'adhérence de sur » c.-à-d. composante normale de la réaction
       Il faut, pour qu'il y ait glissement, que soit à , valeur critique égale au « seuil d'adhérence de sur » c.-à-d. laquelle est si le sens de la force pressante ne variant pas, celui du vecteur unitaire normal est choisi contraire au sens de la force pressante et peut être dans le cas où le sens de la force pressante variant, celui du vecteur unitaire normal est choisi de façon arbitraire, étant alors si le choix arbitraire coïncide avec le sens de  ;
       il faut donc, pour qu'il y ait glissement, «» ou «» car est opposée à en cas de non glissement, avec soit plus précisément
             il faut donc, pour qu'il y ait glissement, «» ou « .
  26. Celle-ci n’est opposée à la force pressante usuellement la composante normale du poids de que si la surface de sur laquelle glisse est plane, sinon la somme est a priori non nulle mais égale à attention, l'oubli de l'accélération normale est fréquente, on ne peut écrire que dans une translation rectiligne de sur , ce dernier étant alors nécessairement plan avec à ce plan.
  27. 27,0 et 27,1 On rappelle que est compte-tenu de toujours de sens contraire à avec choisi dans le sens de  ;
                        On rappelle que est si, le sens de ne variant pas, celui de est choisi de sens contraire à avec ,
                        On rappelle que est si, le sens de variant, celui de arbitraire est de sens contraire à avec et
                        On rappelle que est si, le sens de variant, celui de arbitraire est de même sens que avec .
  28. Ou « encore égal à » car, dans ce cas critique, nous sommes en statique et par suite .
  29. C’est d'ailleurs ce qu'on a exposé au chap. de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » et c’est ce qu'on continuera à utiliser en dehors de ce chapitre
  30. On avait précédemment écrit pour englober l'approximation explicitée ici mais, avec suffisamment de précision, l'inégalité est stricte
  31. Il convient bien sûr d'ajouter un schéma de situation en représentant les forces appliquées
  32. 32,0 et 32,1 Voir le paragraphe « rappel : loi empirique de Coulomb du frottement de glissement d'un solide en translation sur un autre solide dans le cas d'équilibre » plus haut dans ce chapitre.
  33. 33,0 et 33,1 étant ici , .
  34. Le mouvement étant rectiligne il n'y a aucune accélération normale
  35. 35,0 et 35,1 Voir le paragraphe « rappel : loi empirique de Coulomb du frottement de glissement d'un solide en translation sur un autre solide dans le cas effectif de glissement » plus haut dans ce chapitre.
  36. 36,0 et 36,1 Centre D'Inertie.
  37. 37,0 et 37,1 Voir le paragraphe « énoncé du théorème (dynamique newtonienne) » du chap. de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) ».
  38. Dans l'approximation où on confond les deux cœfficients de frottement statique et dynamique, l'accélération acquise par le solide est nulle, le glissement correspond donc à un mouvement rectiligne uniforme.
  39. Voir le paragraphe « discontinuité de 1ère espèce d'une fonction scalaire d'une variable en une valeur de cette dernière » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
  40. Angle non orienté.
  41. Cette de l'inclinaison de la réaction par rapport à la normale à au point de contact simultanément à la de la norme de la force horizontale imposée dans le but de créer un glissement de sur n'est valable que s'il n'y a pas glissement
  42. 42,0 42,1 et 42,2 Voir le paragraphe « fonction inverse de la fonction tangente : fonction arctangente » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
  43. 43,0 et 43,1 Obtenu en inversant.
  44. Comme et que la fonction est voir le paragraphe « fonction inverse de la fonction tangente : fonction arctangente » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) », on vérifie bien que .
  45. C.-à-d. de même direction et de sens contraire à la force tentant de le créer.
  46. C.-à-d. de même direction et de sens contraire à ou de même direction et de sens contraire à la force ayant créé le glissement au démarrage mais non nécessairement de sens contraire à la force à un autre instant car il se pourrait que celle-ci change de sens et devienne résistive, alors la réaction restant inclinée de sens contraire au mouvement de glissement deviendrait inclinée dans le sens de aux instants où cette dernière serait devenue résistive.
  47. La réaction s'étant effectivement inclinée jusqu'à la surface latérale du cône limite de frottement statique lors du démarrage du glissement.
  48. Condition Nécessaire.
  49. 49,0 49,1 et 49,2 Dans le cas d'une liaison unilatérale il faut vérifier que le contact entre et n'est pas rompu c.-à-d. vérifier que le sens de la composante normale de la réaction va de vers ou que est avec vecteur unitaire normal de sens choisi contraire au sens de la force pressante ;
       si de plus il y a glissement de sur , peut dépendre de la vitesse de glissement et la validation du maintien du contact peut nécessiter une discussion suivant la valeur de la vitesse de glissement
  50. Condition(s) Initiale(s).