Leçons de niveau 14

Mécanique 1 (PCSI)/Loi de la quantité de mouvement : Frottement de glissement

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Loi de la quantité de mouvement : Frottement de glissement
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Chapitre no 13
Leçon : Mécanique 1 (PCSI)
Chap. préc. :Loi de la quantité de mouvement : Pendule pesant simple
Chap. suiv. :Approche énergétique du mouvement d'un point matériel : Puissance et travail d'une force
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Mécanique 1 (PCSI)/Loi de la quantité de mouvement : Frottement de glissement
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Dans tout ce chapitre on se place dans le cadre de la dynamique newtonienne.

Sommaire

Contact d’un solide sur un autre dans le cas de « liaisons unilatérale ou bilatérale avec frottement »[modifier | modifier le wikicode]

......Introduit une 1ère fois dans le paragraphe « 3ème exemple de forces de contact, force résultant du contact avec un solide, liaisons unilatérale ou bilatérale, idéale (c'est-à-dire sans frottement) ou non idéale (c'est-à-dire avec frottement) » du chapitre de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) ».

Rappel : liaisons unilatérale ou bilatérale d’un solide sur un autre[modifier | modifier le wikicode]

......Introduit une 1ère fois dans le paragraphe « notions de liaisons unilatérale et bilatérale » du chapitre de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) ».

Liaison unilatérale[modifier | modifier le wikicode]

Voir aussi « liaison unilatérale » du chapitre de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) ».

......Le solide en contact éventuel avec le solide support peut être

  • en contact effectif, dans ce cas exerce des forces de contact sur de résultante appelée « réaction de sur » [1], cette dernière étant dirigée de vers ou
  • « au-dessus de » [2] sans point de contact avec lui, dans ce cas « la réaction de sur » [1] est nulle.

Liaison bilatérale[modifier | modifier le wikicode]

Voir aussi « liaison bilatérale » du chapitre de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) ».

......Le solide est toujours en contact avec le solide support [plus précisément constitué de deux solides supports « et »] guidant le solide , l'un ou l'autre des solides supports de part et d'autre de exerçant sur lui des forces de contact de résultante appelée « réaction de sur » [1] pouvant avoir n'importe quelle direction (et même être nulle).

Rappel : composantes normale et tangentielle de la réaction du support solide sur le système indéformable étudié[modifier | modifier le wikicode]

Voir aussi « composante normale de réaction et force de frottement solide » du chapitre de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) ».

......Définissant un vecteur unitaire normal au(x) support(s) solide(s) défini au « point d’application de la réaction de sur » [3], point que nous appellerons par la suite « point de contact » [4], le sens de étant choisi usuellement « vers l'extérieur du support solide en cas de liaison unilatérale » et dans un « sens arbitraire en cas de liaison bilatérale », nous notons :

  • la projection de sur la normale, soit est appelée « composante normale de la réaction » et
  • la projection de sur le plan tangent à au point de contact, soit [5], où [5] est appelée « composante tangentielle de la réaction » (ou encore « force de frottement solide ») ;
on peut alors écrire avec
en liaison unilatérale et
de signe quelconque (voir nulle) en liaison bilatérale.

Rappel : « liaison avec frottement solide »[modifier | modifier le wikicode]

Voir aussi « notions de liaisons idéale (ou sans frottement) et non idéale (ou avec frottement) » [6] du chapitre de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) ».

......La puissance développée par la réaction que exerce sur dans un référentiel lié à s’écrit, avec point d'application de , selon [7] ;

......or car en cas de non glissement de sur et, en cas de glissement, dans le plan tangent à en donc à d’où finalement la puissance développée par la réaction que exerce sur dans un référentiel lié à se réécrit, avec point d'application de , selon

[8].

......On dit que la liaison est « avec frottement » (ou « non idéale » ou encore « non parfaite ») si

  • en envisageant diverses situations de repos de , on en trouve au moins une où est et
  • dans tous les états de translation de , est toujours  ;

......on dit que la liaison est «~avec frottement~» (ou «~non idéale~»)~ ou (ce qui est équivalent) si

  • il existe des cas de repos de est au plan tangent de en [9] et
  • dans l’hypothèse de translation de , est toujours au plan tangent de en .

......Il est encore équivalent de définir une liaison « avec frottement » (ou « non idéale » ou encore « non parfaite ») comme une liaison telle que en cas de mouvement de translation de sur .

Énoncé des lois empiriques de « Coulomb » du frottement de glissement d’un solide en translation sur un autre solide dans le cas d’équilibre et dans celui de glissement, cœfficients de frottement statique et dynamique caractérisant le contact[modifier | modifier le wikicode]

Rappel : loi empirique de Coulomb du frottement de glissement d’un solide en translation sur un autre solide dans le cas d’équilibre[modifier | modifier le wikicode]

Voir aussi « loi de frottement solide sans glissement de Coulomb [10] » du chapitre de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) ».

......Le solide est donc au repos sur le support solide avec, a priori, « présence d'une force de frottement solide » [11] et absence de glissement ;

......si une force tend à faire glisser sur tangentiellement à ce dernier suivant [12], le support solide réagit en exerçant sur une force de frottement solide s’opposant à la mise en mouvement, c'est-à-dire de même direction mais de sens contraire à  ;

comme il n'y a pas glissement, soit
en choisissant le vecteur unitaire tangentiel du plan tangent à au point de contact suivant la direction et le sens de [13],
c'est-à-dire tel que avec et est la valeur algébrique de la « force de frottement solide » [14],
on déduit, de la condition de non glissement,  ;

......si on fait , on en déduit que est telle que mais ne peut indéfiniment, il existe donc une valeur de à partir de laquelle le glissement s'amorcera, cette force seuil définissant le « seuil d'adhérence de sur » ;

......parallèlement la composante normale de la réaction s’oppose à la pénétration de dans [15], la force tendant à la pénétration étant appelée « force pressante de sur » et notée [16] ;

comme il n'y a pas pénétration, soit
en choisissant le vecteur unitaire normal au plan tangent à au point de contact dans le sens contraire de si le sens de ne varie pas ou
~en choisissant le vecteur unitaire normal n au plan tangent à (Σ) au point de …~de sens a priori arbitraire si le sens de peut varier [17]
et, en posant quel que soit le sens choisi pour [18] ainsi que est la « réaction normale au support »,
on déduit, de la condition de non pénétration, avec,
dans le cas où le sens de est choisi de sens contraire à quand le sens de ne varie pas, ou,
dans le cas où le sens de est arbitraire, si le sens de [19] est contraire au sens de et
~dans le cas où le sens de ~n~ est arbitraire, si le sens de [19] est dans le sens de  ;~contraire

......supposant que la force tendant à faire glisser sur tangentiellement à ce dernier ne modifie pas la force pressante de sur [20], la « de à constant » [21] entraîne une « de à constant » [22] et un « démarrage du glissement pour une valeur critique de à constant », « le rapport de cette valeur critique sur » définissant le « cœfficient de frottement statique » noté soit

sans unité et dépendant de l'adhérence de sur encore égal à [23].
Début d’un théorème


Fin du théorème

Rappel : loi empirique de Coulomb du frottement de glissement d’un solide en translation sur un autre solide dans le cas effectif de glissement[modifier | modifier le wikicode]

Voir aussi « loi de frottement solide avec glissement de Coulomb [10] » du chapitre de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) ».

......Le solide a donc été mis en mouvement sur le support solide par l'action d'une force tangentielle suffisante pour faire glisser sur suivant [24], le support solide réagissant en exerçant sur [en plus de la composante normale de la réaction [25]] une « force de frottement solide s'opposant au mouvement » [c'est-à-dire de même direction et de sens contraire à  ;

......lors du glissement « le rapport de sur reste constant » [26], cette constante positive définissant le « cœfficient de frottement dynamique » noté et qui est toujours inférieure au cœfficient de frottement statique soit

quand il y a glissement sans unité et dépendant de la nature des deux solides en présence
avec [sans unité et dépendant de l'adhérence de sur encore égal à [27].

......Remarque : pour que le glissement démarre il est nécessaire de soit à ,
......Remarque : mais une fois le glissement amorcé peut devenir à sans que le glissement cesse ;
......Remarque : par contre si ce dernier s'arrête, il faudra de nouveau que soit à pour qu'il redémarre.

Début d’un théorème


Fin du théorème

Approximation usuelle sur les cœfficients de frottement statique et dynamique[modifier | modifier le wikicode]

......Comme on l'a affirmé précédemment le cœfficient de frottement dynamique est toujours inférieur au cœfficient de frottement statique soit

mais,

......dans les cas les plus fréquents, ces cœfficients restant proches, on peut alors « les confondre » [28], [29] et, dans ce cas, usuellement on pose

.

Étude du démarrage du glissement d'un système indéformable sur un support solide dans le cas où les cœfficients de frottement statique et dynamique sont suffisamment distincts[modifier | modifier le wikicode]

......Supposons le solide reposant initialement sur le plan support horizontal et que l'on cherche à faire glisser le solide le long d'un axe horizontal du plan support dans le sens de cet axe en exerçant sur une force horizontale dirigée dans le sens de l'axe  ;

......sur s'exercent trois forces [30] :

  • le poids de [comme cette force est à elle s'identifie à la force pressante tendant à la pénétration de dans soit vertical descendant [on choisit alors , le vecteur unitaire normal à , dans le sens vertical ascendant (pour que le sens de soit dans le sens contraire de la force pressante) et par suite se réécrit avec ,
  • la force s'exerçant tangentiellement à , plus exactement le long de l'axe horizontal dans le sens [on choisit alors , le vecteur unitaire tangentiel à , dans le sens de (pour que le sens de soit dans le sens de l'éventuel glissement) et par suite avec et
  • la réaction de sur de composantes normale et tangentielle (encore appelée force de frottement solide) ;

......la composante normale de la réaction compensant le poids nous en déduisons et,

......tant que la force n'a pas atteint la valeur critique correspondant au seuil d'adhérence, il n'y a pas glissement, la composante tangentielle de la réaction compense alors d'où (en accord avec le fait que la force de frottement solide est dans le sens contraire du glissement possible) ; l'absence de glissement nécessite, selon la loi empirique de Coulomb [10] de frottement solide sans glissement, que [31] soit encore d'où la force motrice critique permettant la mise en mouvement de est de norme .

......Soit l'instant où atteint cette valeur critique qu'elle garde par la suite, le glissement commençant dès avec la composante normale de la réaction compensant toujours le poids de soit [32] et la composante tangentielle de la réaction déterminée par la loi empirique de Coulomb [10] de frottement solide avec glissement soit [31] ou encore avec (la force de frottement solide étant toujours dans le sens contraire du glissement effectif), la projection sur du théorème du C.D.I. [33] appliquée à nous conduit à ou, sachant que et , l'équation différentielle du mouvement de glissement de se réécrit soit finalement, une accélération horizontale constante pour égale à  ;

......ainsi, bien que l'on ait imposé la force minimale pour la mise en mouvement, le solide a acquis une accélération non nulle dès , d'autant plus grande que la différence des cœfficients de frottement statique et dynamique l'est [le solide subit donc une accélération possédant une discontinuité de 1ère espèce [34] à l'instant du démarrage].

Angles limites de frottement statique et dynamique, autres énoncés des lois empiriques de Coulomb du frottement de glissement d’un solide en translation sur un autre solide dans le cas d’équilibre et dans celui de glissement[modifier | modifier le wikicode]

Voir aussi « expressions empiriques des lois de frottement solide de Coulomb [10] » du chapitre de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) ».

Inclinaison de la réaction que le support solide exerce sur le système indéformable étudié relativement à la normale au support solide au point d’application de la réaction[modifier | modifier le wikicode]

Voir aussi « loi de frottement solide sans glissement de Coulomb [10] » du chapitre de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) ».

......Notant [35] l'inclinaison de la réaction de sur relativement au vecteur unitaire normal à au point de contact de ce dernier avec , on en déduit

 ;

......dans le cas où on cherche à faire glisser sur à l'aide d’une force tangentielle dont on fait croître la norme à partir de la valeur nulle et

......tant que reste en équilibre, il y a compensation entre

  • la composante tangentielle de la réaction avec d'une part et
  • la composante normale ~... de la réaction avec la force pressante [le plus souvent due au poids de d'autre part ;

......si reste constante (réalisé si ne varie pas), l'angle simultanément avec la de , c'est-à-dire que l'inclinaison de la réaction relativement à la normale à au point de contact simultanément à la de la norme de la force horizontale imposée dans le but de créer un glissement de sur

Angle limite de frottement statique et angle limite de frottement dynamique[modifier | modifier le wikicode]

Voir aussi « loi de frottement solide sans glissement de Coulomb [10] » et « … avec glissement … » du chapitre de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) ».

......Tant que la norme de la force tentant de créer un glissement de sur n'a pas atteint sa valeur critique correspondant au seuil d’adhérence, l'équilibre de sur perdure ;

......dans ce cas l'inclinaison de la réaction relativement à la normale à au point de contact est inférieure à une inclinaison limite définissant l'« angle limite de frottement statique » noté , donnant donc la condition de non glissement suivante

,

......le lien existant entre l'angle limite de frottement statique et le cœfficient de frottement statique étant ou, en inversant .

......Pour que la mise en mouvement de se produise, il faut que l'inclinaison de la réaction relativement à la normale à au point de contact atteigne la valeur limite et,

......dès que le glissement commence, l'inclinaison de la réaction relativement à la normale à au point de contact chute à une nouvelle inclinaison limite définissant l'« angle limite de frottement dynamique » noté , donnant donc la condition de glissement suivante

,

......le lien existant entre l'angle limite de frottement dynamique et le cœfficient de frottement dynamique étant [36] ou, en inversant .

Autre énoncé de la loi empirique de Coulomb du frottement de glissement d’un solide en translation sur un autre solide dans le cas d’équilibre[modifier | modifier le wikicode]

Début d’un théorème


Fin du théorème

Autre énoncé de la loi empirique de Coulomb du frottement de glissement d’un solide en translation sur un autre solide dans le cas effectif de glissement[modifier | modifier le wikicode]

Début d’un théorème


Fin du théorème

Notion de cône limite de frottement statique et de cône limite de frottement dynamique[modifier | modifier le wikicode]

Voir aussi « loi de frottement solide sans glissement de Coulomb [10] » et « … avec glissement … » du chapitre de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) ».

......Dans la mesure où reste en équilibre sur , la réaction de sur étant inclinée relativement à la normale à en son point d’application d'un angle non orienté avec angle limite de frottement statique, « reste strictement à l'intérieur d'un cône de révolution de sommet , d’axe “la normale à en ” et de demi-angle au sommet », cône appelé « cône limite de frottement statique » et caractérisant l’adhérence de sur en .

......Dans la mesure où glisse sur , la réaction de sur étant inclinée relativement à la normale à en son point d’application d'un angle non orienté avec angle limite de frottement dynamique, « reste sur un cône de révolution de sommet , d’axe “la normale à en ” et de demi-angle au sommet », cône appelé « cône limite de frottement dynamique » et caractérisant le collé relativement au glissé de sur en .

......De on déduit que le cône limite de frottement dynamique est inclus dans celui de frottement statique, la mise en mouvement se traduisant par le passage instantané de la réaction de sur de la surface du cône limite de frottement statique [39] à celle du cône limite de frottement dynamique en restant dans un même demi-plan méridien ;

......lors d'un démarrage il y a donc un léger redressement instantané de , l'inclinaison de cette dernière restant constante par la suite.

......Remarque : dans les cas les plus fréquents où on peut confondre et , de valeur commune notée et simplement appelée « angle limite de frottement », cet angle limite étant lié au cœfficient de frottement solide par , les deux cônes limites de frottement statique et dynamique se confondent également et le cône commun est simplement appelé « cône limite de frottement ».

Méthode de traitement d’une liaison « unilatérale (ou bilatérale) » avec frottement[modifier | modifier le wikicode]

....... Faire l'hypothèse d'équilibre de sur ,

....... utiliser la C.N. [40] d’équilibre pour évaluer les composantes normale et tangentielle de la réaction [41] puis

....... valider (ou non) l’hypothèse d'équilibre par vérification (ou non) de la loi empirique de Coulomb du frottement sans glissement d’un solide sur un autre ;

....... dans le cas où l’hypothèse d’équilibre ne serait pas vérifiée, le solide est alors en translation sur l'autre , faire l’hypothèse de glissement dans un sens,

....... utiliser la loi empirique de Coulomb du frottement avec glissement d’un solide sur un autre pour exprimer la norme de la composante tangentielle de la réaction en fonction de celle de la composante normale puis

....... ~utiliserle théorème du mouvement du C.D.I. [33] pour en déduire, en tenant compte des C.I. [42] la vitesse de glissement du solide sur [dans les cas usuels où est plan, la norme de la composante normale de la réaction [41] ne dépend pas de la vitesse de glissement, ce qui simplifie fortement la détermination de cette dernière mais, dans les cas où n'est pas plan, la norme de la composante normale de la réaction [41] dépendant de la vitesse de glissement, la détermination de cette dernière se complique et peut même nécessiter une résolution numérique par calculateur et enfin

....... valider (ou non) le sens du glissement [on rappelle que la vitesse doit être de sens contraire à la composante tangentielle de la réaction] ;

....... dans le cas où le sens de glissement ne serait pas le bon, refaire le traitement en inversant le sens du glissement …

Notes et références[modifier | modifier le wikicode]

  1. 1,0 1,1 et 1,2 Il s'agit d'un abus usuellement utilisé pour parler de « vecteur réaction…»
  2. Plus précisément dans l’espace non occupé par .
  3. Le système des forces de contact que exerce sur est le plus souvent équivalent à une force unique égale à la résultante des forces de contact à condition d'appliquer cette force unique en un point bien choisi définissant le « point d’application de la réaction de sur ».
  4. Ceci, bien sûr, n'ayant de signification que s'il y a contact effectif …
  5. 5,0 et 5,1 Pour l’instant est simplement un vecteur unitaire du plan tangent à défini au point de contact et choisi selon la direction de la projection de sur le plan tangent, son sens étant encore, pour l’instant, arbitraire ; par suite ce dernier sera défini plus précisément …
  6. Une « liaison non idéale » étant encore appelée « liaison non parfaite ».
  7. En utilisant la distributivité de la multiplication scalaire relativement à l'addition vectorielle.
  8. Ceci n'ayant de sens que si existe c'est-à-dire s'il y a contact entre et , toujours réalisé en liaison bilatérale mais conditionnel en liaison unilatérale.
  9. Dans l'exemple d'une caisse au repos sur un plan horizontal, la seule force pouvant engendrer un mouvement de la caisse c'est-à-dire « son poids » étant au plan, l'équilibre de la caisse se traduit par le fait que la réaction du plan est opposée au poids c'est-à-dire au plan que la liaison soit ou ne soit pas idéale, ceci constitue donc un exemple de liaison avec frottement où est au plan, mais …
    ...Dans l'exemple d'une caisse au repos sur un plan horizontal, si on cherche à déplacer la caisse vers la droite sans y arriver (ce qui n'est possible que si la liaison est avec frottement), elle est donc toujours en équilibre ce qui se traduit par l'existence d'une composante tangentielle de la réaction opposée à la force tangentielle exercée pour tenter de déplacer la caisse, ceci constitue donc un exemple de liaison avec frottement où est au plan …
  10. 10,00 10,01 10,02 10,03 10,04 10,05 10,06 10,07 10,08 10,09 10,10 et 10,11 Charles-Augustin Coulomb (1736 - 1806) officier, ingénieur et physicien français à qui on doit la formulation précise des lois de frottement « solide » connues sous le nom de « lois de Coulomb » ainsi que l'invention du pendule de torsion qui lui permet de formuler la loi d'attraction des corps électrisés.
  11. Laquelle peut accessoirement être nulle.
  12. À ce stade, le vecteur unitaire tangentiel du plan tangent à au point de contact, choisi suivant la direction de la projection de sur le plan tangent, mais de sens jusqu'à présent arbitraire, pourra maintenant être précisé ;
    ...on choisira le sens de dans le sens de la force qui pourrait créer le déplacement, ce qui est encore le sens de c'est-à-dire le sens du mouvement de glissement susceptible de se produire.
  13. C.-à-d. suivant la direction et le sens du mouvement de glissement susceptible de se produire.
  14. Plus exactement la valeur algébrique de la projection tangentielle de la force de frottement solide .
  15. Ceci dans le cas d'une liaison unilatérale sinon,
    ...ceci dans le cas d'une liaison bilatérale, s’oppose à la pénétration de dans ou suivant que le contact se fait sur l'un ou sur l'autre.
  16. Dans la mesure où le plan tangent à au point de contact est horizontal, la force pressante de sur est le plus souvent le poids de que la liaison soit unilatérale ou bilatérale [dans ce dernier cas, il y a alors contact avec le support .
  17. En se plaçant dans le cas le plus fréquent où le sens de ne change pas (comme cela se produit usuellement avec une liaison unilatérale), dans ce cas le sens de est aussi le sens contraire à la pénétration susceptible de se produire ;
    ...En se plaçant dans le cas où le sens de peut changer (comme cela peut se produire avec une liaison bilatérale) le sens de la pénétration susceptible de se produire étant a priori inconnu, le sens de est alors choisi arbitrairement …
  18. Si le sens de est choisi de sens contraire à celui de , étant égale à (cas usuel d'une liaison unilatérale) on a mais
    ...si le sens de est choisi de façon arbitraire (cas possible d'une liaison bilatérale),
    • ne s'identifie à et est alors que si le sens de est de sens contraire à c'est-à-dire de sens contraire à la pénétration susceptible de se produire, sinon,
    • étant dans le sens de c'est-à-dire dans le sens de la pénétration susceptible de se produire, on a
  19. 19,0 et 19,1 C.-à-d. le sens de la pénétration susceptible de se produire.
  20. Ce n’est pas toujours le cas en particulier,
    ...si la surface de sur laquelle est en contact n’est pas plane et que la force pressante est la composante du poids de sur la normale à au point de contact, la normale changeant de direction avec la position du point de contact, la composante normale du poids varie mais
    ...simultanément dans la mesure où la force susceptible d'engendrer un glissement est due au poids de , sa composante tangentielle [qui est aussi celle du poids de varie aussi car la tangente change aussi de direction avec la position du point de contact d'où
    ...dans ce cas quand varie, varie simultanément ….
  21. On rappelle que quel que soit le sens de choisi et par suite
    • si le sens choisi de s'identifie au sens contraire de la pénétration susceptible de se produire c'est-à-dire de sens contraire à (ce qu'on choisit toujours si le sens de ne varie pas) alors que
    • si le sens choisi de s'identifie au sens de la pénétration susceptible de se produire c'est-à-dire au sens de (ceci pouvant se produire par choix arbitraire du sens de fait quand le sens de peut varier, comme dans l'exemple d'une liaison bilatérale).
  22. On rappelle que quel que soit le sens de choisi et par suite, de la condition de non pénétration on tire
    • si le sens choisi de s'identifie au sens contraire de la pénétration susceptible de se produire c'est-à-dire de sens contraire à (ce qu'on choisit toujours si le sens de ne varie pas) alors que
    • si le sens choisi de s'identifie au sens de la pénétration susceptible de se produire c'est-à-dire au sens de (ceci pouvant se produire par choix arbitraire du sens de fait quand le sens de peut varier, comme dans l'exemple d'une liaison bilatérale).
  23. 23,0 et 23,1 On rappelle que étant choisi dans le sens de , est alors que avec la condition de non glissement et
    ...On rappelle ~ On rappelle si est choisi dans le sens contraire de (quand le sens de cette dernière ne varie pas) avec , est alors que avec la condition de non pénétration ou
    ...On rappelle ~ On rappelle si est choisi de sens arbitraire (quand le sens de peut varier c'est-à-dire essentiellement dans le cas d'une liaison bilatérale) avec , est quand le sens de est dans le sens de alors que avec la condition de non pénétration .
  24. Il faut, pour qu'il y ait glissement, que soit supérieure (ou égale) à , valeur critique à partir de laquelle l'équilibre n'est plus possible et égale au « seuil d'adhérence de sur » c'est-à-dire
    avec
    ... cœfficient de frottement statique et composante normale de la réaction (laquelle est si le sens de la force pressante ne variant pas, celui du vecteur unitaire normal a été choisi contraire au sens de la force pressante et peut être dans le cas où le sens de la force pressante variant, celui du vecteur unitaire normal a été choisi de façon arbitraire, étant alors si le choix arbitraire coïncide avec le sens de ou encore
    car est opposée à en cas de non glissement, avec
    ....
  25. Celle-ci n’est opposée à la force pressante [usuellement la composante normale du poids de que si la surface de sur laquelle glisse est plane, sinon la somme est a priori non nulle mais égale à [attention, l'oubli de l'accélération normale est fréquente, on ne peut écrire que dans une translation rectiligne de sur , ce dernier étant alors nécessairement plan avec à ce plan].
  26. 26,0 et 26,1
    ...On rappelle que est compte-tenu de toujours de sens contraire à avec choisi dans le sens de  ;
    ...On rappelle que est si, le sens de ne variant pas, celui de est choisi de sens contraire à avec ,
    ...On rappelle que est si, le sens de variant, celui de (arbitraire) est de sens contraire à avec et
    ...On rappelle que est si, le sens de variant, celui de (arbitraire) est de même sens que avec .
  27. On peut écrire car, dans ce cas critique, nous sommes encore en statique.
  28. C’est d'ailleurs ce qu'on a exposé au chap. de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » et c’est ce qu'on continuera à utiliser en dehors de ce chapitre …
  29. On avait précédemment écrit pour englober l'approximation explicitée ici mais, avec suffisamment de précision, l'inégalité est stricte …
  30. Il convient bien sûr d'ajouter un schéma de situation en représentant les forces appliquées …
  31. 31,0 et 31,1 étant ici , .
  32. Le mouvement étant rectiligne il n'y a aucune accélération normale …
  33. 33,0 et 33,1 Centre D'Inertie.
  34. Voir le paragraphe « discontinuité de 1ère espèce d'une fonction scalaire d'une variable en une valeur de cette dernière » du chapitrede la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
  35. Angle non orienté.
  36. Comme et que la fonction est on vérifie bien que .
  37. C.-à-d. de même direction et de sens contraire à la force tentant de le créer.
  38. C.-à-d. de même direction et de sens contraire à [ou de même direction et de sens contraire à la force ayant créé le glissement au démarrage (mais non nécessairement de sens contraire à la force à un autre instant car il se pourrait que celle-ci change de sens et devienne résistive, alors la réaction restant inclinée de sens contraire au mouvement de glissement deviendrait inclinée dans le sens de aux instants où cette dernière serait devenue résistive) ].
  39. La réaction s'étant effectivement inclinée jusqu'à la surface latérale du cône limite de frottement statique lors du démarrage du glissement.
  40. Condition Nécessaire.
  41. 41,0 41,1 et 41,2
    ...Dans le cas d'une liaison unilatérale il faut vérifier que le contact entre et n'est pas rompu c'est-à-dire vérifier que le sens de la composante normale de la réaction va de vers ou que est avec vecteur unitaire normal de sens choisi contraire au sens de la force pressante ;
    ...si de plus il y a glissement de sur , peut dépendre de la vitesse de glissement et la validation du maintien du contact peut nécessiter une discussion suivant la valeur de la vitesse de glissement …
  42. Condition(s) Initiale(s).