Leçons de niveau 14

Mécanique 1 (PCSI)/Exercices/Loi de la quantité de mouvement : Pendule pesant simple

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Loi de la quantité de mouvement : Pendule pesant simple
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Exercices no12
Leçon : Mécanique 1 (PCSI)
Chapitre du cours : Loi de la quantité de mouvement : Pendule pesant simple

Ces exercices sont de niveau 14.

Exo préc. :Loi de la quantité de mouvement : Influence de la résistance de l'air
Exo suiv. :Loi de la quantité de mouvement : Frottement de glissement
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Mécanique 1 (PCSI)/Exercices/Loi de la quantité de mouvement : Pendule pesant simple
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Pendule conique[modifier | modifier le wikicode]

Schéma de description d'un pendule conique OA tournant autour d'un axe vertical (Δ) à vitesse angulaire ω constante

......Une tige rigide , de masse négligeable, de longueur constante, mobile autour d'un point fixe , tourne autour d'un axe vertical passant par avec une vitesse angulaire constante la vitesse angulaire est comptée positivement dans le sens indiqué sur le schéma, ce sens correspondant à l'orientation de l'axe par vertical ascendant.

......À l'extrémité de la tige est fixée une boule assimilable à un point matériel de masse , l'ensemble « tige rigide - boule~» étant placé dans le champ de pesanteur terrestre uniforme.

......On désigne par l'angle que la tige fait avec l'axe vertical orienté dans le sens descendant.

Démonstration de l'invariabilité de l'inclinaison de la tige rigide relativement à l'axe vertical de rotation dans la mesure où le mouvement de cette dernière est uniforme[modifier | modifier le wikicode]

......Montrer que le caractère constant de la vitesse angulaire du «~pendule conique~» [1] entraîne celui de son inclinaison [2].

Détermination de la relation entre l'inclinaison du pendule conique par rapport à la verticale du lieu et sa vitesse angulaire de rotation autour de l'axe vertical[modifier | modifier le wikicode]

......Déterminer la relation liant l'inclinaison du pendule conique par rapport à la verticale du lieu et sa vitesse angulaire de rotation autour de l'axe vertical ;

......on précisera la valeur critique à partir de laquelle l'inclinaison du pendule conique par rapport à la verticale du lieu est possible c.-à-d. telle que peut être .

Pendule cycloïdal, traitement par utilisation de la relation fondamentale de la dynamique newtonienne (r.f.d.n.)[modifier | modifier le wikicode]

Schéma d'un pendule cycloïdal (cycloïde droite inversée [10]) avec représentation de la base locale de Frenet [11]

......Un point matériel de masse est assujetti à se déplacer dans le plan vertical sur la portion de cycloïde dont les équations paramétriques sont : avec [12] (voir ci-contre).

......À la date , on lâche de sans vitesse initiale ; il est soumis au champ de pesanteur uniforme et se déplace en liaison bilatérale sans frottement sur la portion de cycloïde.

Expression de l'angle d'inclinaison avec l'axe Ox du vecteur unitaire tangentiel de Frenet au point M[modifier | modifier le wikicode]

......Déterminer l'expression de en fonction de il s'agit d'une question de géométrie voire de cinématique si on fait intervenir le temps mais nous ne ferons pas indépendante des forces appliquées, on rappelle la méthode : déterminer

  • les composantes cartésiennes du vecteur déplacement élémentaire en fonction de puis
  • la valeur absolue de la variation élémentaire de l'abscisse curviligne suivi de après choix de l'orientation de la courbe et enfin
  • le vecteur unitaire tangentiel de Frenet [11] au point défini par en fonction de dont on peut tirer
  • en fonction de .

Expression, en fonction de l'angle d'inclinaison avec l'axe Ox du vecteur unitaire tangentiel de Frenet au point M, de l'abscisse curviligne du point sur la portion de cycloïde, puis du rayon de courbure de cette dernière au même point[modifier | modifier le wikicode]

......Déduire, de la question précédente, l'abscisse curviligne [13] du point sur la portion de cycloïde en fonction de angle d'inclinaison avec l'axe du vecteur unitaire tangentiel de Frenet [11] au même point [15] puis,

......Déduire, de la question précédente, le rayon de courbure de la portion de cycloïde au point en fonction de on rappelle une définition équivalente du rayon de courbure pour une courbe plane «» [16].

Détermination de la nature oscillatoire du mouvement de M sur la portion de cycloïde déterminée par r.f.d.n. et expression de sa période d'oscillations[modifier | modifier le wikicode]

......En repérant le point par son abscisse curviligne et en appliquant la r.f.d.n. [3] à dans le référentiel terrestre supposé galiléen dans lequel la courbe est fixe, trouver, par projection sur vecteur unitaire tangentiel de Frenet [11] lié à  :

  • l'équation différentielle du 2ème ordre en du mouvement de , puis
  • la nature de ce mouvement par résolution de l'équation différentielle précédente et enfin,
  • l'expression de la période de ce mouvement.

Expression de la réaction de la cycloïde sur le point M[modifier | modifier le wikicode]

......Trouver, par projection sur vecteur unitaire normal principal de Frenet [11] lié à , de la r.f.d.n. [3] appliquée à , la réaction de la cycloïde agissant sur on l'exprimera en fonction de puis de [24].

Notes et références[modifier | modifier le wikicode]

  1. Dans la mesure où on démontre et c'est l'objet de cette question, ceci a pour conséquence que l'ensemble « tige rigide - boule~» se déplace sur un cône d'où le qualificatif « conique~» attribué (historiquement) au pendule.
  2. 2,0 et 2,1 Le meilleur repérage serait sphérique de pôle et d'axe orienté par , la boule étant alors de coordonnées sphériques , mais l'expression du vecteur accélération en sphérique étant trop compliquée, on se tournera vers
    ...le repérage cylindro-polaire de même axe , la boule étant alors de coordonnées cylindro-polaires  ;
    ...pour montrer que reste constant, il suffit de démontrer que ou (et) ne varie(nt) pas, ou encore de montrer que le mouvement de reste circulaire en utilisant mais attention à ne pas utiliser le caractère circulaire tant que celui-ci n'a pas été établi.
  3. 3,0, 3,1, 3,2, 3,3, 3,4, 3,5 et 3,6 Relation Fondamentale de la Dynamique Newtonienne.
  4. Voir le paragraphe «~composantes cylindro-polaires (ou cylindriques) du vecteur accélération du point repéré dans le référentiel d'étude (autre forme de l'accélération orthoradiale)~» du chap. de la leçon «~Mécanique 1(PCSI)~» attention, dans le paragraphe précité, la 2ème coordonnée cylindro-polaire de était , ici elle est , il faut donc substituer par dans la formule semi-intégrée.
  5. La variation de l'inclinaison de la tige avec la verticale ne pouvant se manifester que par une modification de la vitesse angulaire, on peut se servir de cette propriété pour vérifier le caractère uniforme de la rotation
  6. Ou, tant que le mouvement de autour de est uniforme, il reste circulaire
  7. Attention à ne pas simplifier inconsidérément par qui pourrait être nul et qui le sera sous conditions.
  8. La borne inférieure étant exclue par l'hypothèse .
  9. Toutefois on pourrait montrer que seul le mouvement avec est stable c.-à-d. insensible aux petites perturbations extérieures, le mouvement avec étant qualifié d'instable c.-à-d. qu'une petite perturbation extérieure suffira pour que devienne nul.
  10. 10,0 et 10,1 Une cycloïde droite, aussi appelée roue d'Aristote ou roulette de Pascal, est la courbe plane, trajectoire d'un point fixé sur un cercle qui roule sans glisser sur une droite (appelée directrice de la cycloïde droite) ; ici la cycloïde droite est dite inversée car sa directrice se trouve au-dessus de la cycloïde.
    Schéma explicatif du paradoxe de la roue d'Aristote : si le cercle bleu roulait sur une droite (violette) il roulerait en glissant

    ...Appeler «~roue d'Aristote~» une cycloïde est en fait un abus de langage faisant référence

    • d'une part à la construction de cette dernière comme trajectoire d'un point fixé sur un disque de centre , étant , roulant sans glisser sur une droite la cycloïde étant «~droite~» si est choisi sur la circonférence du disque et
    • d'autre part au paradoxe de la «~roue d'Aristote~» c.-à-d. une roue de rayon (représentée ci-contre par le cercle rouge) roulant sans glisser sur une route (représentée ci-contre par la droite marron) parcourant une longueur par tour et son moyeu de rayon (représenté ci-contre par le cercle bleu), évidemment solidaire de la roue, parcourant la même longueur par tour soit pourquoi n'a-t-on pas  ? Réponse : si le cercle bleu roulait sur une droite (violette), il roulerait en y glissant

    ...Aristote (384 av J.C. - 322 av J.C.) philosophe grec de l'Antiquité, il est l'un des rares à avoir abordé presque tous les domaines de connaissance de son temps : la biologie, la physique, la métaphysique, la logique, la poétique, la politique, la rhétorique et même l'économie
    ...Une cycloïde est encore appelée «~roulette de Pascal~» par référence au titre de l'ouvrage que Blaise Pascal lui consacra en à savoir le traité de la roulette signé avec son nom de plume Amos Dettonville ;
    ...Blaise Pascal (1623 - 1662) mathématicien, physicien, inventeur, philosophe, moraliste et théologien français ; ses premiers travaux contribuèrent à clarifier la notion de pression et de vide mais il est aussi l'inventeur de la 1ère machine à calculer ainsi qu'un mathématicien de premier ordre il a publié à un traité de géométrie projective, a développé en une méthode de résolution du problème des partis ayant donné naissance, au siècle suivant, au calcul des probabilités ; on lui doit aussi une réflexion philosophique et théologique voir LesProvinciales et les Pensées qui ne furent publiées qu'après sa mort.

  11. 11,0, 11,1, 11,2, 11,3, 11,4, 11,5, 11,6, 11,7, 11,8 et 11,9 Jean Frédéric Frenet (1816 - 1900) est un mathématicien, astronome et météorologue français à qui on doit six des neuf formules de géométrie différentielle associées au trièdre (ou base) de Serret-Frenet [Joseph-Alfred Serret (1819 - 1885) mathématicien et astronome français ayant trouvé indépendamment ces formules].
  12. 12,0 et 12,1 n'a pas de signification directe sur la portion de cycloïde droite mais nécessite de revenir à la construction de celle-ci comme trajectoire d'un point fixé sur un cercle qui roule sans glisser sur une droite (appelée directrice de la cycloïde droite), repérant le point sur le cercle.
  13. 13,0, 13,1 et 13,2 Voir le paragraphe «~notion d'abscisse curviligne d'un point d'une courbe~» du chap. de la leçon «~Mécanique 1 (PCSI)~».
  14. 14,0 et 14,1 Voir le paragraphe «~composante de Frenet du vecteur déplacement élémentaire à partir d'un point d'une courbe continue~» du chap. de la leçon «~Mécanique 1 (PCSI)~».
  15. Ayant déterminé en fonction de , puis en fonction de , on en déduit en fonction de
  16. 16,0 et 16,1 Voir le paragraphe «~notion de cercle osculateur en un point d'une courbe plane, de centre et de rayon de courbure en ce point, 1ère définition du rayon de courbure d'une courbe plane en un point non anguleux de celle-ci~» du chap. de la leçon «~Mécanique 1 (PCSI)~».
  17. En effet .
  18. De on tire et par suite effectivement , le rayon de courbure étant nul en et en son symétrique relativement à .
  19. 19,0 et 19,1 Voir le paragraphe «~composantes locales de Frenet du vecteur accélération du point repéré sur sa trajectoire dans le référentiel d'étude, accélérations tangentielle et normale du point~» du chap. de la leçon «~Mécanique 1 (PCSI)~».
  20. Conditions Initiales.
  21. En effet, en , et donc .
  22. On rappelle que la vitesse instantanée , composante de Frenet du vecteur vitesse (composante évidemment tangentielle) est liée à l'abscisse curviligne du point à l'instant par voir le paragraphe «~composante locale de Frenet du vecteur vitesse du point repéré sur sa trajectoire dans le référentiel d'étude, vitesse instantanée du point~» du chap. de la leçon «~Mécanique 1 (PCSI)~».
  23. Voir le paragraphe «~définition d'isochronisme d'un oscillateur~» du chap. de la leçon «~Mécanique 1 (PCSI)~».
  24. Dans un 1er temps, la projection fait apparaître et laquelle s'exprime en fonction de , il faut donc connaître la variation de en fonction de et pour cela on dispose de d'une part et de d'autre part d'où on tire
  25. , son cosinus est positif ou non alors que est alternativement positif et négatif
  26. Cette forme de la composante normale de la réaction établit que est c.-à-d. que le vecteur réaction est toujours dans le sens de , ce qui permet d'affirmer que la liaison bilatérale avait été unilatérale, il n'y aurait eu aucune modification, en particulier il n'y aurait pas eu de rupture de liaison
  27. Évidemment dans la mesure où .