Leçons de niveau 14

Mécanique 1 (PCSI)/Exercices/Loi de la quantité de mouvement : Mouvement dans le champ de pesanteur uniforme

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Sommaire

Chute libre, portée, surface de sûreté[modifier | modifier le wikicode]

......Un objet matériel supposé ponctuel de masse est lancé à partir d'une position choisie comme origine des repérages cartésiens, avec un vecteur vitesse initiale incliné vers le haut d'un angle relativement à l'horizontale ; il se déplace dans le champ de pesanteur terrestre supposé uniforme.

Étude de la chute libre du point[modifier | modifier le wikicode]

Schéma de situation[modifier | modifier le wikicode]

......Faire un schéma de situation, en choisissant un axe vertical ascendant orienté par ,
......Faire un schéma de situation, en choisissant un axe horizontal orienté par tel que soit dans le plan avec une composante positive sur ,
......Faire un schéma de situation, en choisissant le 3ème axe également horizontal orienté par lequel est tel que la base cartésienne soit directe.

Détermination des trois lois horaires scalaires cartésiennes du mouvement de chute libre de M[modifier | modifier le wikicode]

......Supposant que l'objet n'est soumis qu'à son poids, déterminer :

  • par application de la r.f.d.n., le vecteur accélération de l'objet,
  • par intégrations successives, la loi horaire vectorielle du mouvement de puis,
  • par projection sur les trois axes, les trois lois horaires scalaires cartésiennes de son mouvement.

Détermination de la nature de la trajectoire et de quelques propriétés de celle-ci[modifier | modifier le wikicode]

......Quelle est la nature de la trajectoire ?

......La tracer et déterminer :

  • les coordonnées du sommet et
  • la portée c.-à-d. la distance horizontale séparant la position de lancement de la position de retombée au même niveau que la position de lancement.

......Quel devrait être la valeur de pour que la portée soit maximale ?

Recherche de la surface de sûreté des cibles relativement aux projectiles lancés de O avec une même norme de vitesse[modifier | modifier le wikicode]

......À partir de on lance des projectiles dans toutes les directions possibles avec la même norme de vecteur vitesse initiale, et on cherche l'endroit où doivent être positionnées les cibles , supposées ponctuelles, pour être hors de portée des projectiles ; les endroits atteignables sont séparés des endroits hors de portée par la surface de sûreté des cibles relativement aux projectiles lancés de .

Plan de lancement du projectile pour pouvoir atteindre une cible de position connue[modifier | modifier le wikicode]

......Considérant une cible de coordonnées , comment faut-il choisir l'angle [10] pour que le projectile puisse atteindre la cible on donnera en fonction de et  ?

Changement de repère par rotation de -φ autour de OZ[modifier | modifier le wikicode]

......On définit alors un nouveau repère se déduisant de par rotation d'angle relativement et on appelle les nouvelles coordonnées de la cible dans le nouveau repère ; préciser les valeurs de et relativement à et .

Détermination de l'équation suivie par l'angle d'inclinaison du vecteur vitesse initiale du projectile pour que ce dernier atteigne la cible[modifier | modifier le wikicode]

......À quelle équation doit obéir l'angle pour que le projectile atteigne la cible  ?

Condition liant les coordonnées de la cible pour que le projectile M l'atteigne[modifier | modifier le wikicode]

......En déduire la condition à laquelle et doivent obéir pour que le projectile atteigne la cible [13], puis

......En déduire la condition à laquelle , et doivent obéir pour que le projectile atteigne la cible condition notée .

Détermination de l'équation cylindro-polaire de la surface de sûreté des cibles relativement aux projectiles lancés de O avec une même norme de vitesse[modifier | modifier le wikicode]

......On introduit alors les coordonnées cylindro-polaires d'axe de la cible  ; rappelez les expressions de et en fonction de et puis

......réécrire la condition en fonction de et  ;

......en déduire l'équation cylindro-polaire d'axe de la surface de sûreté cherchée puis

......vérifier que cette surface est de révolution d'axe et tracer la méridienne qui l'engendre.

Recherche des angles d'inclinaison possibles (relativement à l'horizontale) du vecteur vitesse initiale d'un projectile pour que ce dernier atteigne une cible située à l'intérieur de (ou sur) la surface de sûreté de ces dernières relativement aux projectiles lancés de O avec une même norme de vitesse[modifier | modifier le wikicode]

Détermination des deux valeurs d'angles d'inclinaison (relativement à l'horizontale) du vecteur vitesse initiale d'un projectile pour que ce dernier atteigne une cible située à l'intérieur de la surface de sûreté de ces dernières relativement aux projectiles lancés de O avec une même norme de vitesse[modifier | modifier le wikicode]

......On considère une cible ponctuelle que l'on cherche à atteindre à l'aide d'un projectile tiré de avec un vecteur vitesse initiale de norme égale à  ;

......vérifier que cette cible est effectivement à l'intérieur de la surface de sûreté des cibles relativement aux projectiles lancés de avec une même norme de vitesse ,

......en déduire qu'il y a alors deux tirs possibles pour atteindre cette cible et

......déterminer les valeurs de nécessaires pour que l'objectif soit réalisé ;

......pour quelle valeur de le tir dure-t-il le moins longtemps ?

......Préciser la disposition de chaque trajectoire du projectile relativement à la méridienne de la surface de sûreté des cibles relativement aux projectiles lancés de avec une même norme de vitesse .

Détermination de la valeur d'angle d'inclinaison (relativement à l'horizontale) du vecteur vitesse initiale d'un projectile pour que ce dernier atteigne une cible située sur la surface de sûreté de ces dernières relativement aux projectiles lancés de O avec une même norme de vitesse[modifier | modifier le wikicode]

......On considère une cible ponctuelle que l'on cherche à atteindre à l'aide d'un projectile tiré de avec un vecteur vitesse initiale de norme égale à  ;

......vérifier que cette cible est effectivement sur la surface de sûreté des cibles relativement aux projectiles lancés de avec une même norme de vitesse ,

......en déduire qu'il y a alors un seul tir possible pour atteindre cette cible et

......déterminer la valeur de nécessaire pour que l'objectif soit réalisé.

Notes et références[modifier | modifier le wikicode]

  1. Avec .
  2. Attention les angles du plan sont orientés dans le sens trigonométrique direct (ou sens antihoraire) par le vecteur unitaire .
  3. On rappelle que le cœfficient de dans le poids définit la masse grave alors que celui de dans la dérivée temporelle de la quantité de mouvement définit la masse inerte, mais que ces deux cœfficients étant identifiés par principe d'équivalence, revoir aussi la note «~3~» du chap. de la leçon «~Mécanique 1 (PCSI)~».
  4. La constante vectorielle se déterminant par C.I. (Condition Initiale) .
  5. La constante vectorielle du 2nd membre étant déterminée par C.I. (Condition Initiale) car a été choisi comme origine .
  6. Dans le cas d'un lancement vertical on obtiendrait .
  7. Lesquelles sont également les équations paramétriques de la trajectoire dans le plan .
  8. Ce résultat n'est pas à retenir mais à retrouver si besoin est
  9. Dans l'espace c'est l'équation d'un cylindre parabolique de génératrices à .
  10. étant le projeté de sur le plan horizontal .
  11. 11,0 et 11,1 Condition Nécessaire.
  12. Équation qui doit avoir au moins une solution pour que soit atteint par le projectile.
  13. Condition faisant intervenir et .
  14. La méridienne d'une surface de révolution d'axe étant la courbe engendrant la surface par sa rotation autour de .
  15. 15,0 et 15,1 Voir, plus haut dans cet exercice, la solution de la question «~détermination de l'équation suivie par l'angle d'inclinaison du vecteur vitesse initiale du projectile pour que ce dernier atteigne la cible~» dans laquelle on a remplacé par et par .
  16. Numériquement alors que
    .. Numériquement .
  17. On vérifie effectivement que chaque trajectoire est entièrement à l'intérieur de la méridienne car sauf au point de contact où .
  18. Le temps nécessaire pour que le projectile atteigne la cible sur la surface de sûreté pouvant être déterminé par l'équation , on en tire .