Leçons de niveau 14

Mécanique 1 (PCSI)/Exercices/Loi de la quantité de mouvement : Influence de la résistance de l'air

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Loi de la quantité de mouvement : Influence de la résistance de l'air
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Exercices no11
Leçon : Mécanique 1 (PCSI)
Chapitre du cours : Loi de la quantité de mouvement : Influence de la résistance de l'air

Exercices de niveau 14.

Exo préc. :Loi de la quantité de mouvement : Mouvement dans le champ de pesanteur uniforme
Exo suiv. :Loi de la quantité de mouvement : Pendule pesant simple
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Sommaire

Mouvement d'un parachutiste initialement en chute libre après déploiement de son parachute[modifier | modifier le wikicode]

......On considère un parachutiste assimilable à un point matériel de masse , largué d'un point , situé à une altitude du sol, le largage se faisant sans vitesse initiale par rapport au référentiel terrestre supposé galiléen ;

......on admet que le champ de pesanteur dans lequel le parachutiste chute est uniforme ;

......l'air étant supposé globalement immobile par rapport à , le déplacement du parachutiste y est alors freiné par la résistance de l'air supposée quadratique , étant le vecteur unitaire tangentiel dans le sens du mouvement, la vitesse du parachutiste dans et un cœfficient dépendant de la masse volumique de l'air , de l'aire du maître couple [1] du parachutiste et d'un cœfficient dit de traînée traduisant l'aérodynamisme du parachutiste on a .

......Le but de cet exercice n'étant pas de refaire l'étude complète de la descente du parachutiste en chute libre [2] ou à parachute déployé, mais de reprendre les résultats, établis en cours, du parachutiste en chute libre [2] jusqu'à l'altitude pour étudier la suite de sa descente jusqu'au sol [3] sachant qu'à l'altitude il ouvre son parachute et pour cela nous rappelons les propriétés suivantes :

  • la descente du parachutiste est rectiligne verticale [4],
  • en chute libre le parachutiste ayant un cœfficient de traînée et l'aire de son maître couple [1] valant , il acquiert pratiquement [5] une vitesse limite [6] après une chute de [7] le trouvant à l'altitude de [8],
  • il continue de descendre à vitesse quasi limite pendant une durée de [7] pour atteindre l'altitude où il ouvre son parachute (nous supposerons instantané le déploiement du parachute) ;
  • après ouverture du parachute, le parachutiste acquiert instantanément un cœfficient de traînée et l'aire de son maître couple [1] prend pour valeur .

Continuité et discontinuité à l'ouverture du parachute et conséquences[modifier | modifier le wikicode]

......Préciser comment varient les forces appliquées au parachutiste lors de l'ouverture du parachute [c'est-à-dire indiquer leur continuité ou discontinuité de 1ère ou 2ème espèce [9] en faisant l'hypothèse de continuité de la vitesse lors de l'ouverture du parachute] ;

......que peut-on déduire des affirmations précédentes sur la variation de l'accélération du parachutiste lors du déploiement du parachute [c'est-à-dire indiquer sa continuité ou discontinuité de 1ère ou 2ème espèce [9]] ?

......Vérifier que cette dernière affirmation valide l'hypothèse de continuité de la vitesse du parachutiste lors de l'ouverture du parachute.

Étude de la chute du parachutiste, parachute déployé, jusqu'au sol[modifier | modifier le wikicode]

......On choisit pour nouvelle origine des temps l'instant d'ouverture du parachute c'est-à-dire que l'on pose dans laquelle

  • est l'instant compté à partir du largage du parachutiste à l'altitude et
  • l'instant d'arrivée à l'altitude avec l'ancienne origine des temps ;

......on choisit la position d'ouverture du parachute comme nouvelle origine du repère cartésien associé au référentiel terrestre et on oriente l'axe vertical par le vecteur unitaire descendant [bien sûr le mouvement de reste vertical après ouverture du parachute, la démonstration par récurrence restant valable].

Acquisition d'une nouvelle vitesse limite du parachutiste[modifier | modifier le wikicode]

......Montrer que le parachutiste va acquérir une nouvelle vitesse limite que l'on exprimera en fonction de , , , et  ;

......faire l'application numérique (on prendra comme valeur d'intensité de la pesanteur).

Loi horaire de vitesse du parachutiste et conséquences[modifier | modifier le wikicode]

......Après avoir précisé l'équation différentielle en vitesse algébrique du parachutiste sur son axe vertical descendant,

......déterminer sa loi horaire de vitesse en fonction du temps et des autres paramètres

  • , et puis
  • , et  ;

......donner l'allure du diagramme horaire de vitesse [15] sur toute la chute ;

......préciser à quel instant la nouvelle vitesse limite est atteinte à près et faire l'application numérique.

Loi horaire de position du parachutiste et conséquences[modifier | modifier le wikicode]

......Déterminer la loi horaire de position du parachutiste comptée à partir de la nouvelle origine du repère cartésien associé au référentiel terrestre , [c'est-à-dire telle que dans laquelle est la cote du parachutiste comptée à partir de sa position de largage], en fonction de ainsi que des paramètres , et  ;

......donner l'allure du diagramme horaire de position [21] sur toute la chute ;

......préciser l'équation permettant de déterminer l'instant auquel le parachutiste atteint le sol en fonction des paramètres , , et  ; l'équation ci-contre étant « transcendante » [22] en n'admettant pas de résolution algébrique, elle nécessiterait une résolution numérique ou, à défaut, d'être approchée par une équation algébrique, c'est l'option choisie ci-après ;

......dans l'hypothèse où est suffisamment éloigné de l'instant d'ouverture du parachute, le mouvement du parachutiste s'identifie à son mouvement à vitesse limite et il devient licite de confondre sa loi horaire de position avec l'expression asymptotique de cette dernière ; en faisant cela, trouver l'équation algébrique approchée permettant de déterminer l'instant auquel le parachutiste atteint le sol en fonction des paramètres , , et , puis faire l'application numérique.

Chute d'une boule lancée verticalement vers le bas avec résistance d'avancement de forme quadratique[modifier | modifier le wikicode]

......Une boule de masse , assimilable à un point matériel , est lancée verticalement vers le bas avec une vitesse initiale dans le référentiel terrestre supposé galiléen ;

......le frottement de l'air agissant sur la boule en mouvement dans l'air globalement immobile relativement au référentiel est modélisable par un vecteur force de norme dans laquelle est un cœfficient dépendant de l'aérodynamisme de la boule ainsi que de la compacité du fluide dans lequel elle se déplace plus précisément avec cœfficient de traînée de la boule et masse volumique de l'air, l'aire de son maître couple [1] et la norme de son vecteur vitesse dans .

......Initialement la boule étant soumise à deux forces verticales, nous admettrons que le mouvement reste vertical [30] ;

......après une durée de chute suffisamment longue [31], elle tombe alors avec une vitesse limite .

Dans ce qui suit l'axe vertical est orienté dans le sens descendant et l'origine des cotes choisie en la position de lancer de la boule.

Introduction de variables sans dimension[modifier | modifier le wikicode]

......On introduit les variables sans dimension suivantes :

  • de vitesse relative ,
  • de temps relatif avec constante de temps de la loi horaire de vitesse de chute freinée par résistance de l'air quadratique [32] et
  • de cote relative avec constante de longueur du portrait de phase de chute freinée par résistance de l'air quadratique [33].

......Quel intérêt présentent ces changements de variables ?

Détermination de l'équation différentielle en vitesse relative fonction du temps relatif uM(ξ) du mouvement de la boule et résolution[modifier | modifier le wikicode]

......Déterminer l'équation différentielle en vitesse relative fonction du temps relatif [37] ;

......en déduire la vitesse relative de la boule en fonction du temps relatif , puis

......en déduire la vitesse de la boule en fonction du temps .

Détermination de l'équation différentielle en carré de vitesse relative fonction de la cote relative [uM]2M) du mouvement de la boule et résolution[modifier | modifier le wikicode]

......Déduire, de l'équation différentielle en vitesse relative fonction du temps relatif , celle en carré de vitesse relative fonction de la cote relative  ;

......par résolution de cette nouvelle équation différentielle en , déterminer la vitesse relative de la boule en fonction de la cote relative , puis

........par résolution de cette nouvelle équation différentielle en ~u2(ζ)~, déterminer la vitesse de la boule en fonction de la cote .

Détermination de la distance parcourue pour que la boule acquiert pratiquement sa vitesse limite[modifier | modifier le wikicode]

......Admettant que la vitesse limite est acquise pratiquement par la boule si la vitesse de celle-ci atteint sa valeur limite à moins de près, déterminer la distance parcourue correspondante en fonction de et de .

Modification des résultats des questions précédentes avec le rayon de la boule[modifier | modifier le wikicode]

......Comment les résultats des questions précédentes sont-ils modifiés pour une boule de même masse volumique, mais deux fois plus lourde ?

Skieur soumis à une résistance de l’air quadratique glissant sans puis avec frottement sur une piste inclinée[modifier | modifier le wikicode]

......Un skieur de masse , assimilable à un solide de C.D.I. [49] , glisse [50] sans frottement sur une piste rectiligne faisant un angle avec l'horizontale ;

......le skieur part sans vitesse initiale et

......le skieur subit, de la part de l'air globalement immobile dans le référentiel terrestre supposé galiléen, une force de résistance à l'avancement de norme dans laquelle est un cœfficient dépendant de l'aérodynamisme du skieur ainsi que de la compacité du fluide dans lequel il se déplace plus précisément avec cœfficient de traînée du skieur et masse volumique de l'air, l'aire de son maître couple [1] et la norme du vecteur vitesse de son C.D.I. [49] dans .

Détermination de la vitesse limite du skieur glissant sur la pente inclinée[modifier | modifier le wikicode]

......En admettant que le mouvement du skieur est rectiligne le long de la ligne de plus grande pente de la piste inclinée [51], montrer qu'il acquiert, au bout d'une durée suffisamment longue [31], une vitesse limite et évaluer numériquement cette dernière sachant que l'intensité de la pesanteur terrestre est uniforme, égale à .

......Comparer au record mondial de vitesse à skis déterminé dans les mêmes conditions d'expérience de .

Détermination de la loi horaire de vitesse du skieur et conséquences[modifier | modifier le wikicode]

......Cherchant à déterminer la loi horaire de vitesse du skieur glissant sur la pente inclinée, on choisit un axe le long de la ligne de plus grande pente dans le sens descendant avec position à partir de laquelle le skieur commence à glisser ;

......en admettant que le mouvement du skieur est rectiligne le long de [51],

  • établir l'équation différentielle du 1er ordre en ,
  • simplifier son expression en utilisant et
  • en déduire la loi horaire de vitesse du skieur sous la forme [53] dans laquelle est une constante de temps caractérisant la loi horaire de vitesse, constante de temps dont on donnera une valeur numérique.

......Quelle durée faut-il au skieur pour atteindre la vitesse limite au pour cent près ?