Mécanique 1 (PCSI)/Exercices/Loi de la quantité de mouvement : Influence de la résistance de l'air

Leçons de niveau 14
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Loi de la quantité de mouvement : Influence de la résistance de l'air
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Exercices no11
Leçon : Mécanique 1 (PCSI)
Chapitre du cours : Loi de la quantité de mouvement : Influence de la résistance de l'air

Exercices de niveau 14.

Exo préc. :Loi de la quantité de mouvement : Mouvement dans le champ de pesanteur uniforme
Exo suiv. :Loi de la quantité de mouvement : Pendule pesant simple
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Mécanique 1 (PCSI)/Exercices/Loi de la quantité de mouvement : Influence de la résistance de l'air
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Mouvement d'un parachutiste initialement en chute libre après déploiement de son parachute[modifier | modifier le wikicode]

     On considère un parachutiste assimilable à un point matériel de masse , largué d'un point , situé à une altitude du sol,
     On considère un parachutiste assimilable à un point matériel de masse , largage se faisant sans vitesse initiale par rapport au référentiel terrestre supposé galiléen ;

     on admet que le champ de pesanteur dans lequel le parachutiste chute est uniforme ;

     l'air étant supposé globalement immobile par rapport à , le déplacement du parachutiste y est alors freiné par la résistance de l'air supposée quadratique
     l'air étant supposé globalement immobile par rapport à , le déplacement du parachutiste y est alors freiné par «»,
     l'air étant supposé globalement immobile par rapport à , le déplacement du parachutiste y est alors freiné par « étant le vecteur unitaire tangentiel dans le sens du mouvement,
     l'air étant supposé globalement immobile par rapport à , le déplacement du parachutiste y est alors freiné par « la vitesse du parachutiste dans et
     l'air étant supposé globalement immobile par rapport à , le déplacement du parachutiste y est alors freiné par « un cœfficient dépendant de la masse volumique de l'air ,
     l'air étant supposé globalement immobile par rapport à , le déplacement du parachutiste y est alors freiné par « un cœfficient dépendant de l'aire du maître-couple [1] du parachutiste et
     l'air étant supposé globalement immobile par rapport à , le déplacement du parachutiste y est alors freiné par « un cœfficient dépendant de cœfficient de traînée traduisant l'aérodynamisme du parachutiste on a .

     Le but de cet exercice n'étant pas de refaire l'étude complète de la descente du parachutiste en chute libre [2] ou à parachute déployé, mais
     Le but de cet exercice consistant à reprendre les résultats, établis en cours, du parachutiste en chute libre [2] jusqu'à l'altitude [3] pour étudier la suite de sa descente jusqu'au sol [4] sachant qu'à l'altitude il ouvre son parachute ;

     pour cela nous rappelons les propriétés suivantes la descente du parachutiste est rectiligne verticale [5],
     pour cela nous rappelons les propriétés suivantes en chute libre le parachutiste ayant un cœfficient de traînée et l'aire de son maître-couple [1] valant ,
     pour cela nous rappelons les propriétés suivantes en chute libre le parachutiste acquiert pratiquement [6] une vitesse limite [7] après une chute de [8],
     pour cela nous rappelons les propriétés suivantes en chute libre le parachutiste le trouvant à l'altitude de [9] ;

     il continue alors à descendre à vitesse quasi limite pendant une durée de [8] pour atteindre l'altitude où il ouvre son parachute déploiement du parachute supposé instantané ;

     après ouverture du parachute, le parachutiste acquiert instantanément un cœfficient de traînée et l'aire de son maître-couple [1] prend pour valeur .

Continuité et discontinuité à l'ouverture du parachute et conséquences[modifier | modifier le wikicode]

     Préciser comment varient les forces appliquées au parachutiste lors de l'ouverture du parachute, c.-à-d.
     Préciser comment varient les forces indiquer leur continuité ou discontinuité de 1ère ou 2ème espèce [10] en faisant l'hypothèse de continuité de la vitesse lors de l'ouverture du parachute ;

     que peut-on déduire des affirmations précédentes sur la variation de l'accélération du parachutiste lors du déploiement du parachute, c.-à-d.
     que peut-on déduire des affirmations précédentes sur la variation de l'accélération indiquer sa continuité ou discontinuité de 1ère ou 2ème espèce [10] ?

     Vérifier que cette dernière affirmation valide l'hypothèse de continuité de la vitesse du parachutiste lors de l'ouverture du parachute.

Étude de la chute du parachutiste, parachute déployé, jusqu'au sol[modifier | modifier le wikicode]

     On choisit pour nouvelle origine des temps l'instant d'ouverture du parachute c.-à-d. que l'on pose dans laquelle

  • est l'instant compté à partir du largage du parachutiste à l'altitude et
  • l'instant d'arrivée à l'altitude repéré avec l'ancienne origine des temps ;

     on choisit la position d'ouverture du parachute comme nouvelle origine du repère cartésien associé au référentiel terrestre et on oriente l'axe vertical par le vecteur unitaire descendant bien sûr le mouvement de reste vertical après ouverture du parachute, la démonstration par récurrence restant valable [5].

Acquisition d'une nouvelle vitesse limite du parachutiste[modifier | modifier le wikicode]

     Montrer que le parachutiste va acquérir une nouvelle vitesse limite que l'on exprimera en fonction de , , , et  ;

     faire l'application numérique on prendra comme valeur d'intensité de la pesanteur.

Loi horaire de vitesse du parachutiste et conséquences[modifier | modifier le wikicode]

     Après avoir précisé l'équation différentielle en vitesse algébrique du parachutiste sur son axe vertical descendant,

     déterminer sa loi horaire de vitesse en fonction du temps et des autres paramètres , et puis
     déterminer sa loi horaire de vitesse en fonction du temps et des autres paramètres , et  ;

     donner l'allure du diagramme horaire de vitesse [20] sur toute la chute ;

     préciser à quel instant la nouvelle vitesse limite est atteinte à près et faire l'application numérique.

Loi horaire de position du parachutiste et conséquences[modifier | modifier le wikicode]

     Déterminer la loi horaire de position du parachutiste comptée à partir de la nouvelle origine du repère cartésien associé au référentiel terrestre , c.-à-d. telle que dans laquelle est la cote du parachutiste comptée à partir de sa position de largage,
     Déterminer la loi horaire de position en fonction du temps ainsi que des paramètres , et  ;

     donner l'allure du diagramme horaire de position [26] sur toute la chute ;

     préciser l'équation permettant de déterminer l'instant auquel le parachutiste atteint le sol en fonction des paramètres , , et  ;
     préciser l'équation obtenue étant « transcendante » [27] n'admet pas de résolution algébrique, sa résolution nécessiterait d'être numérique ou, à défaut,
           préciser l'équation obtenue étant « transcendante » n'admet pas de résolution algébrique, sa résolution nécessiterait d'être approchée par une équation algébrique, c'est l'option choisie ci-après ;

     dans l'hypothèse où est suffisamment éloigné de l'instant d'ouverture du parachute, le mouvement du parachutiste s'identifie à son mouvement à vitesse limite et
     dans l'hypothèse où est suffisamment éloigné de l'instant d'ouverture du parachute, on peut confondre sa loi horaire de position avec l'expression asymptotique de cette dernière ; en faisant cela,
     dans l'hypothèse où est suffisamment éloigné de l'instant d'ouverture du parachute, on peut trouver l'équation algébrique approchée pour déterminer la date où le parachutiste atteint le sol
     dans l'hypothèse où est suffisamment éloigné de l'instant d'ouverture du parachute, on peut trouver l'équation en fonction des paramètres , , et , puis
     dans l'hypothèse où est suffisamment éloigné de l'instant d'ouverture du parachute, faire l'application numérique.

Chute d'une boule lancée verticalement vers le bas avec résistance d'avancement de forme quadratique[modifier | modifier le wikicode]

     Une boule de masse , assimilable à un point matériel , est lancée verticalement vers le bas avec une vitesse initiale dans le référentiel terrestre supposé galiléen ;

     le frottement de l'air agissant sur la boule en mouvement dans l'air globalement immobile relativement au référentiel est modélisable par un vecteur force de norme dans laquelle est un cœfficient dépendant de l'aérodynamisme de la boule ainsi que de la compacité du fluide dans lequel elle se déplace plus précisément avec cœfficient de traînée de la boule et masse volumique de l'air, l'aire de son maître-couple [1] et la norme de son vecteur vitesse dans .

     Initialement la boule étant soumise à deux forces verticales, nous admettrons que le mouvement reste vertical [35] ;

     après une durée de chute suffisamment longue [36], elle tombe alors avec une vitesse limite .

Dans ce qui suit l'axe vertical est orienté dans le sens descendant et l'origine des cotes choisie en la position de lancer de la boule.

Introduction de variables sans dimension[modifier | modifier le wikicode]

     On introduit les variables sans dimension suivantes vitesse relative ,
     On introduit les variables sans dimension suivantes temps relatif avec constante de temps de la loi horaire de vitesse de chute freinée par résistance de l'air quadratique [37] et
     On introduit les variables sans dimension suivantes cote relative avec constante de longueur du portrait de phase de chute freinée par résistance de l'air quadratique [38].

     On introduit les variables sans dimension Quel intérêt présentent ces changements de variables ?

Détermination de l'équation différentielle en vitesse relative fonction du temps relatif uM(ξ) du mouvement de la boule et résolution[modifier | modifier le wikicode]

     Déterminer l'équation différentielle en vitesse relative fonction du temps relatif [42] ;

     en déduire la vitesse relative de la boule en fonction du temps relatif , puis

     en déduire la vitesse de la boule en fonction du temps .

Détermination de l'équation différentielle en carré de vitesse relative fonction de la cote relative du mouvement de la boule et résolution[modifier | modifier le wikicode]

     Déduire, de l'équation différentielle en vitesse relative fonction du temps relatif , celle en carré de vitesse relative fonction de la cote relative  ;

     par résolution de cette nouvelle équation différentielle en , déterminer la vitesse relative de la boule en fonction de la cote relative , puis

     par résolution de cette nouvelle équation différentielle en , déterminer la vitesse de la boule en fonction de la cote .

Détermination de la distance parcourue pour que la boule acquiert pratiquement sa vitesse limite[modifier | modifier le wikicode]

     Admettant que la vitesse limite est acquise pratiquement par la boule si la vitesse de celle-ci atteint sa valeur limite à moins de près,
     Admettant que la vitesse limite est acquise pratiquement par la boule déterminer la distance parcourue correspondante en fonction de et de [38].

Modification des résultats des questions précédentes avec le rayon de la boule[modifier | modifier le wikicode]

     Comment les résultats des questions précédentes sont-ils modifiés pour une boule de même masse volumique, mais deux fois plus lourde ?

Skieur soumis à une résistance de l’air quadratique glissant sans puis avec frottement sur une piste inclinée[modifier | modifier le wikicode]

     Un skieur de masse , assimilable à un solide de C.D.I. [57] , glisse [58] sans frottement solide sur une piste rectiligne faisant un angle avec l'horizontale ;

     le skieur part sans vitesse initiale et

     le skieur subit, de la part de l'air globalement immobile dans le référentiel terrestre supposé galiléen,
     le skieur subit, une force de résistance à l'avancement de norme dans laquelle est un cœfficient dépendant de l'aérodynamisme du skieur ainsi que
     le skieur subit, une force de résistance à l'avancement de norme dans laquelle est un cœfficient dépendant de la compacité du fluide l'enveloppant [59],
     le skieur subit, une force de résistance à l'avancement de norme dans laquelle l'aire de son maître-couple [1] et
     le skieur subit, une force de résistance à l'avancement de norme dans laquelle la norme du vecteur vitesse de son C.D.I. [57] dans .

Détermination de la vitesse limite du skieur glissant sur la pente inclinée[modifier | modifier le wikicode]

     En admettant que le mouvement du skieur est rectiligne le long de la ligne de plus grande pente de la piste inclinée [60],
     En admettant que le mouvement du skieur est rectiligne montrer qu'il acquiert, au bout d'une durée suffisamment longue [36], une vitesse limite et
     En admettant que le mouvement du skieur est rectiligne évaluer numériquement cette dernière sachant que l'intensité de la pesanteur terrestre est uniforme, égale à .

     Comparer au record mondial de vitesse à skis déterminé dans les mêmes conditions d'expérience de .

Détermination de la loi horaire de vitesse du skieur et conséquences[modifier | modifier le wikicode]

     Cherchant à déterminer la loi horaire de vitesse du skieur glissant sur la pente inclinée, on choisit un axe le long de la ligne de plus grande pente dans le sens descendant
     Cherchant à déterminer la loi horaire de vitesse du skieur glissant sur la pente inclinée, on choisit avec position à partir de laquelle le skieur commence à glisser ;

     en admettant que le mouvement du skieur est rectiligne le long de [60], établir l'équation différentielle du 1er ordre en ,
          en admettant que le mouvement du skieur est rectiligne le long de , simplifier son expression en utilisant et
          en admettant que le mouvement du skieur est rectiligne le long de , en déduire la loi horaire de vitesse du skieur sous la forme «» [63]
          en admettant que le mouvement du skieur est rectiligne le long de , en déduire la loi horaire de vitesse du skieur avec constante de temps caractérisant la loi horaire de vitesse
            en admettant que le mouvement du skieur est rectiligne le long de , en déduire la loi horaire de vitesse du skieur avec constante dont on donnera une valeur numérique.

          en admettant que le mouvement du skieur est rectiligne le long de , Quelle durée faut-il au skieur pour atteindre la vitesse limite au pour cent près ?

Détermination de la loi horaire de position du skieur[modifier | modifier le wikicode]

     Déduire de ce qui précède la loi horaire de position du C.D.I. [57] du skieur c.-à-d. et

     commenter.

Influence du cœfficient de frottement des skis sur la neige[modifier | modifier le wikicode]

     Le cœfficient de frottement des skis sur la neige n'est plus considéré comme nul mais vaut  ;

     en considérant que ce frottement solide suit la loi empirique de Coulomb [72] avec glissement [73], montrer que le skieur acquiert, lors de sa descente sur la pente inclinée,
                 en considérant que ce frottement solide suit la loi empirique de Coulomb avec glissement, montrer que le skieur acquiert, une nouvelle vitesse limite et
                  en considérant que ce frottement solide suit la loi empirique de Coulomb avec glissement, montrer que le skieur acquiert, une nouvelle vitesse limite l'évaluer numériquement.

     Conclure : le record de vitesse est-il un problème de glisse ou d’aérodynamique ?

Ralentissement d'une voiture, moteur débrayé sur route horizontale, dû aux frottements solides sur le sol et à la résistance de l'air de forme quadratique[modifier | modifier le wikicode]

     On assimile une voiture de masse se déplaçant sur route horizontale à un solide de C.D.I. [57], [76] en translation sur cette route horizontale ;

                sur cette voiture s'exerce, parmi d'éventuelles autres forces,
                sur cette voiture s'exerce une force de frottement solide , au contact avec le sol, obéissant aux lois empiriques de Coulomb [73], [72]
                sur cette voiture s'exerce une force de frottement solide , de norme, sur route horizontale, avec « cœfficient de frottement solide entre pneus et route »
                sur cette voiture s'exerce une force de frottement solide , de norme, sur route horizontale, avec et « intensité de la pesanteur terrestre locale » ainsi que
                sur cette voiture s'exerce une résistance de l'air de forme quadratique
                sur cette voiture s'exerce une résistance de l'air de norme [77] avec « cœfficient de frottement fluide dépendant de l'aérodynamisme de la voiture ainsi que
                     sur cette voiture s'exerce une résistance de l'air de norme avec « cœfficient de frottement fluide dépendant de la compacité du fluide l'enveloppant » [78] et
                     sur cette voiture s'exerce une résistance de l'air de norme avec « la norme de la vitesse du C.D.I. [57], [76] de la voiture » ;

     à l'instant , le moteur est débrayé et la norme de la vitesse du C.D.I. [57], [76] de la voiture vaut .

Détermination de l'instant d'arrêt de la voiture[modifier | modifier le wikicode]

     Déterminer à quel instant la voiture s'arrête.

Détermination de la distance parcourue par la voiture moteur débrayé[modifier | modifier le wikicode]

     Quelle est alors la distance parcourue depuis le débrayage du moteur jusqu'à l'arrêt de la voiture ?

Comparaison des résultats précédents avec ceux que l'on obtiendrait sans frottement solide[modifier | modifier le wikicode]

     Que deviendraient les résultats précédents si la résistance de l'air entrait seule en jeu ?

Expérience (de la gouttelette d'huile) de Millikan[modifier | modifier le wikicode]

     Introduction : L'expérience de Millikan [89] réalisée au début du XXème siècle a permis, pour la 1ère fois, d'établir que la charge de gouttelettes d'huile électrisées par rayons X est toujours quantifiée et
           Introduction : L'expérience de Millikan réalisée au début du XXème siècle a permis, pour la 1ère fois, de donner une 1ère valeur du « quantum de charge », connu de nos jours sous le nom de
           Introduction : L'expérience de Millikan réalisée au début du XXème siècle a permis, pour la 1ère fois, de donner une 1ère valeur du « charge élémentaire ».

     Des gouttelettes d'huile sphériques électrisées se déplacent dans l'espace champ de pesanteur terrestre de vecteur champ de pesanteur uniforme et
     Des gouttelettes d'huile sphériques électrisées se déplacent dans l'espace champ électrostatique d'un condensateur plan de vecteur champ électrostatique vertical et uniforme.

     Entre les deux plaques, il y a de l'air et par suite une gouttelette d'huile de rayon se déplaçant avec un vecteur vitesse dans l'air
     Entre les deux plaques, il y a de l'air et par suite une gouttelette d'huile de rayon subit de la part de ce dernier une « résistance à l'avancement » [90] avec
     Entre les deux plaques, il y a de l'air et par suite une gouttelette d'huile de rayon subit de la part de ce dernier une « résistance à l'avancement le cœfficient de viscosité dynamique [91] de l'air.

     De plus la gouttelette subit, de la part de l'air, une autre force appelée « poussée d'Archimède » [92], force résultant de la variation de pression exercée par l'air sur la surface limitant la gouttelette [93]
          De plus la gouttelette subit, de la part de l'air, une autre force appelée « poussée d'Archimède », de direction verticale ascendante et de norme égale au poids d’« air déplacé » [94], [95].

     Dans la suite on notera la masse volumique de l'air dans les conditions de température et de pression de l'expérience, celle de l'huile et la charge de la gouttelette.

     La d.d.p. [96] entre les armatures du condensateur est notée le potentiel selon la verticale ascendante[97] et
     La différence de potentiels entre ces dernières étant séparées de , la norme du vecteur champ électrostatique se calcule par .

Observation du mouvement vertical des gouttelettes d'huile à l'aide d'un microscope[modifier | modifier le wikicode]

     On observe le mouvement vertical des gouttelettes à l'aide d'un microscope d'axe horizontal muni d'un micromètre oculaire.

     Faire un schéma succinct du dispositif d'observation en particulier indiquer l'objectif et l'oculaire du microscope, placer le micromètre par rapport à l'oculaire pour que l'œil observe sans accommoder et
     Faire un schéma succinct du dispositif d'observation en particulier positionner le plan d'observation par rapport au micromètre et à l'objectif.

     Le grandissement transverse de l'objectif étant égal à , qu'observe-t-on dans le plan du micromètre pour une goutte qui se déplace de en .

Établissement de l'équation différentielle du mouvement d'une gouttelette d'huile électrisée dans le condensateur plan à armatures horizontales[modifier | modifier le wikicode]

     On s'intéresse plus précisément au mouvement de la gouttelette d'huile électrisée dans le condensateur plan à armatures horizontales.

     Déterminer l'équation différentielle de son mouvement en fonction de , , , , , intensité de la pesanteur terrestre, , et vecteur vitesse de chute de la gouttelette à l'instant ainsi que de sa dérivée temporelle.

Détermination de l'équation horaire de la vitesse de chute (composante verticale descendante du vecteur vitesse) d'une gouttelette d'huile électrisée dans le condensateur plan à armatures horizontales[modifier | modifier le wikicode]

     Résoudre l'équation différentielle en vecteur vitesse de chute de la gouttelette à l'instant , l'instant origine étant choisi au moment où la gouttelette étudiée démarre son mouvement de chute c.-à-d.
     Résoudre l'équation différentielle en vecteur vitesse de chute de la gouttelette à l'instant , l'instant origine étant choisi au moment où sa vitesse est nulle,

     en déduire la composante verticale descendante du vecteur vitesse de chute de la gouttelette à l'instant en fonction des paramètres décrivant le problème et de  ;

     A.N. [99] : , , , [100] et  ;
           A.N. : montrer que atteint très rapidement une vitesse limite que l'on exprimera littéralement.

Étude du mouvement de chute de la gouttelette d'huile précédente en absence de champ électrostatique créé dans le condensateur plan à armatures horizontales[modifier | modifier le wikicode]

     On supprime l'espace champ électrostatique entre les armatures horizontales du condensateur plan en imposant  ;

     On supprime l'espace champ électrostatique en choisissant encore pour instant origine le moment où la gouttelette d'huile étudiée démarre son mouvement de chute,
     On supprime l'espace champ électrostatique montrer que , la nouvelle composante verticale descendante de son vecteur vitesse de chute,
     On supprime l'espace champ électrostatique montrer que , atteint très rapidement une nouvelle vitesse limite que l'on exprimera aussi littéralement puis

     On supprime l'espace champ électrostatique vérifier que la détermination de permet de connaître le rayon de la gouttelette.

Détermination de la charge de la gouttelette d'huile dont on a déterminé le mouvement de chute en présence puis en absence de champ électrostatique et conséquence[modifier | modifier le wikicode]

     Déduire, des expressions de et de de la gouttelette d'huile, l'expression de sa charge en fonction de , , , , , , et .

     A.N. [99] : Sachant que , , et ,
           A.N. : Sachant que calculer numériquement la charge de la gouttelette d'huile puis

          A.N. : en admettant que l'électrisation de la gouttelette d'huile par rayons X s'est faite par apport ou retrait d'électrons évidemment en nombre entier vérifier que cette hypothèse est en accord avec la valeur de la charge de l'électron connue de nos jours et enfin

          A.N. : en déduire la mesure obtenue de la charge élémentaire par cette expérience ;

          A.N. : commenter la phrase affirmant que « l'expérience de la gouttelette d'huile de Millikan [89] a permis d'obtenir la valeur de la charge élémentaire avec une très bonne précision » par exemple en évaluant la précision de la mesure c.-à-d. l'écart relatif entre la mesure et la valeur admise de nos jours [104].

Notes et références[modifier | modifier le wikicode]

  1. 1,0 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 1,6 1,7 et 1,8 Revoir la définition du maître-couple dans le paragraphe « cas de la résistance de l'air de forme quadratique » du chap. de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) ».
  2. 2,0 2,1 2,2 2,3 2,4 2,5 et 2,6 Chute libre au sens du parachutisme c.-à-d. sans ouverture de parachute.
  3. Résultats qui ne sont usuellement pas à retenir mais à retrouver, ici ces résultats sont admis pour ne pas alourdir la résolution.
  4. Supposée d'altitude nulle.
  5. 5,0 et 5,1 Voir le paragraphe « établissement de la nature verticale du mouvement de chute » du chap. de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) ».
  6. C.-à-d. acquise à près.
  7. 7,0 et 7,1 Voir le paragraphe « problème du parachutiste : établissement d'une vitesse limite de chute » du chap. de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) ».
  8. 8,0 et 8,1 Voir le paragraphe « tracé du diagramme horaire de vitesse du parachutiste et commentaires » du chap. de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) ».
  9. Car, pour atteindre pratiquement sa vitesse limite, il chute sur voir le paragraphe « tracé du portrait de phase du parachutiste en début de chute puis sur la chute complète et commentaires » du chap. de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) ».
  10. 10,0 et 10,1 Voir les paragraphes « discontinuité de 1èreespèce d'une fonction scalaire d'une variable en une valeur de cette dernière » et « discontinuité de 2ème espèce du pic de Dirac de tension d'impulsion E » ainsi que « exemples de pic de Dirac dans d'autres domaines que l'électricité » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
  11. 11,0 11,1 11,2 11,3 11,4 11,5 11,6 11,7 et 11,8 Voir le paragraphe « discontinuité de 1èreespèce d'une fonction scalaire d'une variable en une valeur de cette dernière » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
  12. Le mouvement étant vertical descendant et orientant l'axe vertical par le vecteur unitaire vertical dans le sens descendant.
  13. On rappelle qu'à l'instant d'ouverture du parachute, le parachutiste ayant pratiquement acquis la vitesse limite en chute libre, la résistance de l'air juste avant ouverture est de norme égale à celle du poids du parachutiste
  14. Cette force est de norme trop grande pour permettre à un humain d'y résister sans dommage mais l'hypothèse du déploiement instantané du parachute est peu réaliste car celui-ci met au moins une seconde pour se réaliser, durée pendant laquelle la vitesse diminue progressivement et par suite conduit à une norme de résistance de l'air quand le parachute est entièrement déployé plus faible
  15. Voir le paragraphe « nature de la discontinuité d'une excitation, somme d'escitations discontinues de numéros d'espèce différents pour le même instant initial » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
  16. 16,0 16,1 16,2 et 16,3 Relation Fondamentale de la Dynamique Newtonienne.
  17. Au sens des distributions voir aussi la note « 16 » du chap. de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)}} ».
  18. Voir aussi le paragraphe « nature de la discontinuité de la solution générale d'une équation différentielle linéaire à cœfficients constants hétérogène du 1er ordre connaissant la nature de la discontinuité de l'excitation » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
  19. 19,0 19,1 et 19,2 La résistance de l'air juste après ouverture du parachute valant voir la solution de la question « continuité et discontinuité à l'ouverture du parachute et conséquences » plus haut dans cet exercice.
  20. Revoir le paragraphe « détermination de la loi horaire de vitesse du parachutiste (largué sans vitesse initiale) » du chap. de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » pour l'expression de .
  21. 21,0 21,1 21,2 21,3 et 21,4 Voir le paragraphe « exemple d'une équation différentielle non linéaire du 1er ordre » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
  22. 22,0 et 22,1 Quotient irréductible de deux polynômes exprimés à l'aide d'une variable.
  23. 23,0 23,1 et 23,2 Voir le paragraphe « développement de quelques méthodes de calcul (intégrer une fonction rationnelle par décomposition en éléments simples) » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
  24. Sachant que , on détermine
    • en multipliant les deux membres par et en faisant et
    • en multipliant les deux membres par et en faisant .
  25. La modification dans le 1er terme du 1er membre a été fait pour avoir un dénominateur positif, on rappelle en effet que avec pour valeur limite inférieure .
  26. Revoir le paragraphe « détermination de la loi horaire de position du parachutiste (largué sans vitesse initiale) » du chap. de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » pour l'expression de .
  27. 27,0 et 27,1 Les fonctions les plus simples sont celles que l'on peut construire à partir de la variable en utilisant des opérations élémentaires addition, multiplication etc., ces opérations permettant d'aboutir aux polynômes et aux fractions rationnelles ; en ajoutant des extractions de racines carrées ou autres, et plus généralement des solutions d'équations polynomiales, on obtient des fonctions plus variées, comme , toutes ces fonctions étant qualifiées d'« algébriques », les manipulations polynomiales relevant du domaine de l'algèbre générale ;
       mais de telles fonctions ne suffisant pas pour les besoins de l'analyse, on construit à partir de ces dernières d'autres fonctions qui ne relèvent pas de la définition d'une fonction « algébrique » dans le but, par exemple, de résoudre des équations différentielles, ces nouvelles fonctions sont alors qualifiées de « transcendantes » si leur définition ne relève pas du domaine algébrique, c’est l’exemple de la fonction « logarithme » primitive de la fonction algébrique ou de la fonction inverse de la fonction logarithme c.-à-d. la fonction « exponentielle » il y a de nombreux autres exemples ;
       par prolongement une équation est dite « transcendante » si elle n’est pas « algébrique », c.-à-d. si elle n'est pas de la forme est un polynôme, ces équations n'étant évidemment pas solubles algébriquement nécessitent souvent sans que ce soit toujours le cas une résolution numérique.
  28. Dans le terme on fait apparaître au numérateur la dérivée temporelle du dénominateur, quotient qui s'intégrera en logarithme népérien de la valeur absolue du dénominateur soit mais en faisant cela on obtient d'où le facteur supplémentaire pour retrouver l'expression initiale.
  29. Le symbole ici serait malvenu car il est réservé à une équivalence c.-à-d. qu'il n'est utilisé que pour le terme principal, ce qui donnerait ici , ceci ne donnerait alors que la direction asymptotique et non l'asymptote ; pour obtenir cette dernière il convient donc d'associer au terme principal le terme secondaire ce qui n'est plus une équivalence mais un développement limité
  30. Pour , le graphe de la loi horaire de position du parachutiste se confondant avec son asymptote, il est possible de déterminer la position de ce dernier à l'aide de son mouvement de chute à vitesse limite à condition d'avancer ce mouvement de  ;
       ainsi pour la position du parachutiste est .
  31. Ainsi la position du parachutiste en utilisant l'asymptote de son diagramme horaire de position pour l'instant sera en soit .
  32. Compte-tenu du diagramme horaire de position du parachutiste, cette hypothèse sera validée sans souci.
  33. Voir plus haut dans ce paragraphe .
  34. Ce qui valide effectivement .
  35. Il n'est donc pas demandé de le démontrer, ce qui se ferait par récurrence comme dans le paragraphe « établissement de la nature plane de la trajectoire du C.D.I. de l'objet en chute freinée par résistance de l'air quadratique quand ce dernier est lancé avec un vecteur vitesse non vertical (autre démonstration de la nature plane …) » du chap. de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » en remplaçant “contenu dans le plan ” par “vertical”
  36. 36,0 et 36,1 Laquelle sera à préciser.
  37. Voir le paragraphe « détermination de la loi horaire de vitesse du parachutiste » du chap. de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) ».
  38. 38,0 38,1 38,2 38,3 et 38,4 Voir le paragraphe « établissement de l'équation du portrait de phase du parachutiste lâché sans vitesse initiale dans un référentiel terrestre et freiné par résistance de l'air quadratique » du chap. de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) ».
  39. Correspondant à une forme sphérique.
  40. L'atmosphère sur Vénus est composée essentiellement de , sa température de surface et sa pression en surface .
  41. Correspondant à une forme cubique.
  42. 42,0 42,1 et 42,2 Usuellement en physique on note de la même façon la fonction et la valeur de la fonction comme par exemple du membre de gauche est la valeur de la fonction du membre de droite en mathématique on noterait avec la valeur de la fonction mais en physique l'emploi de deux notations différentes pour valeur de fonction et fonction conduirait rapidement à une inflation de notations d'où la confusion ; ici est notée bien que ce ne soit évidemment pas la même fonction mais la même valeur
  43. En effet si est à correspondant à , l'objet accélérera et sa vitesse se rapprochera asymptotiquement de en restant au-dessous, correspondant à sa vitesse relative en se rapprochant asymptotiquement de en restant au-dessous, d'où alors que
       En effet si est à correspondant à , l'objet décélérera et sa vitesse se rapprochera asymptotiquement de en restant au-dessus, correspondant à sa vitesse relative en se rapprochant asymptotiquement de en restant au-dessus, d'où .
  44. La dernière expression étant obtenue en multipliant haut et bas par .
  45. La dernière expression étant obtenue en multipliant haut et bas par .
  46. Il convient de vérifier le bon accord de cette loi avec les valeurs connue ou attendue à et ce qui donne :
    • à , et
    • quand , .
  47. Voir la solution de la question « détermination de l'équation différentielle en vitesse relative fonction du temps relatif uM(ξ) du mouvement de la boule et résolution » plus haut dans cet exercice.
  48. La solution forcée étant cherchée sous la même forme que l'excitation c.-à-d. sous la forme d'une constante, on trouve voir le paragraphe « 1er ordre à excitation constante » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » et la solution libre solution de nécessitant de résoudre d'abord l'équation caractéristique , s'écrit avec constante réelle d'intégration voir le paragraphe « résolution d'une équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 1er ordre homogène » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) », la solution générale de l'équation différentielle hétérogène étant la somme des deux voir le paragraphe « but recherché pour résoudre une équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 1er ou du 2ème ordre hétérogène » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
  49. Condition À la Limite ou Conditions Aux Limites.
  50. L'origine des cotes étant prise au point de lancement la condition initiale est équivalente à la condition à la limite .
  51. Il convient de vérifier le bon accord de cette loi avec les valeurs connue ou attendue à et ce qui donne :
    • à , et
    • quand , .
  52. Voir la solution de la question « détermination de l'équation différentielle en carré de vitesse relative fonction de la cote relative [uM]2(ζ) du mouvement de la boule et résolution » plus haut dans cet exercice.
  53. En utilisant le D.L. à l'ordre un en suivant voir le paragraphe « développements limités (D.L.) à l'ordre un de quelques fonctions usuelles » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
  54. En effet pour , et
       En effet pour , .
  55. On rappelle le volume d'une boule de rayon , «».
  56. Le maître-couple d'une boule de rayon étant un disque de même rayon dont l'aire vaut .
  57. 57,00 57,01 57,02 57,03 57,04 57,05 57,06 57,07 57,08 57,09 57,10 57,11 57,12 et 57,13 Centre D'Inertie.
  58. Il a donc un mouvement de translation.
  59. Plus précisément avec cœfficient de traînée du skieur et masse volumique de l'air.
  60. 60,0 et 60,1 Il n'est donc pas demandé de le démontrer, cela se ferait par récurrence initialement, c.-à-d. en absence de résistance de l'air, le skieur est soumis à deux forces situées dans le plan vertical à et la démonstration pourrait être calquée, tant que le skieur reste en contact avec la piste, sur celle du paragraphe « établissement de la nature plane de la trajectoire du C.D.I. de l'objet en chute freinée par résistance de l'air quadratique quand ce dernier est lancé avec un vecteur vitesse non vertical (autre démonstration de la nature plane …) » du chap. de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) »
  61. 61,0 61,1 et 61,2 Voir le paragraphe « énoncé du théorème (dynamique newtonienne) » du chap. de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) ».
  62. 62,0 et 62,1 Une vitesse exprimée en s'exprime en en multipliant par en effet
        et par suite
       la mesure d'une même vitesse dans chaque unité étant liée par on déduit de en multipliant de part et d'autre par la relation à identifier à d'où C.Q.F.D. (Ce Qu'il Fallait Démontrer).
  63. 63,0 63,1 63,2 et 63,3 Voir le paragraphe « tangente hyperbolique » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
  64. Voir la solution de la question « détermination de la vitesse limite du skieur glissant sur la pente inclinée » plus haut dans cet exercice.
  65. Sachant que , on détermine
    • en multipliant les deux membres par et en faisant et
    • en multipliant les deux membres par et en faisant .
  66. Voir les paragraphes « sinus hyperbolique » et « cosinus hyperbolique » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
  67. Dans la fraction initiale le numérateur étant, à un facteur multiplicatif près, la différentielle du dénominateur, on forme d'autorité et on constate, en évaluant la différentielle du numérateur , qu'il y a un facteur supplémentaire par rapport à la fraction initiale d'où la nécessité de multiplier par pour compenser.
  68. La constante d'intégration étant nulle car de même que .
  69. En arrondissant à pour simplifier.
  70. Le symbole ici serait malvenu car il est réservé à une équivalence c.-à-d. qu'il n'est utilisé que pour le terme principal, ce qui donnerait ici , ceci ne donnerait alors que la direction asymptotique et non l'asymptote ; pour obtenir cette dernière il convient donc d'associer au terme principal le terme secondaire ce qui n'est plus une équivalence mais un développement limité
  71. Pour on reprend cette valeur de façon à être un peu plus précis, la loi horaire de position du skieur se confondant avec sa loi horaire de position asymptotique, il est possible de déterminer la position de ce dernier à l'aide de son mouvement à vitesse limite à condition de retarder ce mouvement de  ;
       ainsi pour la position du skieur est en soit c.-à-d. qu'il a fallu approximativement pour que le skieur atteigne pratiquement sa vitesse limite.
  72. 72,0 72,1 et 72,2 Charles-Augustin Coulomb (1736 - 1806) officier, ingénieur et physicien français à qui on doit la formulation précise des lois de frottement « solide » ainsi que l'invention du pendule de torsion qui lui permet de formuler la loi d'attraction des corps électrisés.
  73. 73,0 73,1 et 73,2 Voir le paragraphe « loi de frottement solide avec glissement de Coulomb » du chap. de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) ».
  74. Bien sûr il convient de refaire un schéma de situation avec les trois forces appliquées et les vecteurs unitaires cartésiens choisis
  75. En effet la descente du skieur ne peut démarrer que si la piste est suffisamment inclinée pour que soit , sinon le skieur resterait « planté sur place » car on suppose qu'il ne pousse à aucun moment sur ses bâtons le fait de faire cela ajoutant une force parallèle à la ligne de plus grande pente dans le sens descendant lui permettrait de démarrer à condition que cette force soit suffisamment grande, la pente de la piste doit donc être à pour que la descente du skieur démarre ce qui est réalisé ici car est à .
  76. 76,0 76,1 76,2 76,3 et 76,4 Ou encore centre de masse.
  77. En fait la résistance de l'air ne dépend pas directement de la masse de l'objet qui la subit, la présence du facteur dans celle-ci ne doit pas vous tromper, son seul but est d'assurer une simplification dans la suite de l'exposé mais si est indépendant de c'est que la grandeur est inversement proportionnelle à , cette grandeur n'a en fait aucun intérêt physique, seule la grandeur en a un
  78. Plus précisément avec cœfficient de traînée de la voiture, l'aire de son maître-couple et masse volumique de l'air.
  79. étant toujours s'identifie à .
  80. Voir le paragraphe « fonction inverse de la fonction tangente : fonction arctangente primitive de  » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
  81. 81,0 et 81,1 Condition Initiale.
  82. Caractérisant l'arrêt de la voiture.
  83. Voir le paragraphe « fonction inverse de la fonction tangente : fonction arctangente graphe de et valeur d'annulation » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
  84. 84,0 et 84,1 La recherche d'une primitive ne nécessite pas la séparation des variables mais cette dernière permet un traitement plus facile à exposer
  85. 85,0 85,1 et 85,2 Le signe est bien sûr un abus d'écriture .
  86. Ce qui correspond à la limite de l'expression trouvée précédemment avec frottement solide quand en effet et par suite .
  87. Dans la fraction initiale le numérateur étant, à un facteur multiplicatif près, la différentielle du dénominateur, on forme d'autorité et on constate, en évaluant la différentielle du numérateur , qu'il y a un facteur supplémentaire par rapport à la fraction initiale d'où la nécessité de multiplier par pour compenser.
  88. Ce qui correspond à la limite de l'expression trouvée précédemment avec frottement solide quand en effet et .
  89. 89,0 89,1 89,2 89,3 et 89,4 Robert Andrews Millikan (1868 - 1953) physicien états-unien surtout connu pour ses mesures précises de la charge de l'électron, l'étude de l'effet photoélectrique et celle des rayons cosmiques ; il obtint le prix Nobel de physique en pour ses travaux sur la charge élémentaire de l'électricité et l'effet photoélectrique.
  90. 90,0 et 90,1 Expression connue sous le nom de formule de Stokes applicable pour un corps sphérique et une expression linéaire de la résistance à l'avancement ;
       George Gabriel Stokes (1819 - 1903) est un mathématicien et physicien britannique à qui on doit, dans le domaine de la physique, d'importants travaux en mécanique des fluides, l'étude des variations de la gravitation à la surface de la Terre il est considéré comme l'un des initiateurs de la géodésie et aussi l'explication du phénomène de fluorescence ; dans le domaine des mathématiques on lui attribue à tort la démonstration du théorème portant son nom mais en fait une 1ère démonstration de ce théorème fût donnée vingt ans plus tôt par Mikhaïl Vassilievitch Ostrogradski (1801 - 1862) physicien et mathématicien russe (province de l'Ukraine) à qui on doit aussi, entre autres, un théorème portant son nom
  91. La définition de la viscosité dynamique d'un fluide n'est pas au programme de P.C.S.I. mais on peut en donner une 1ère notion élémentaire en considérant une couche de fluide de faible épaisseur se déplaçant sur un plan immobile, le plan exercera sur la couche une force de frottement qui tendra à ralentir le déplacement de la couche et ceci d'autant plus que le fluide sera visqueux c.-à-d. qu'il « collera » au plan ;
       si on considère maintenant le fluide visqueux d'épaisseur non petite se déplaçant sur le plan immobile par entrainement de sa couche supérieure cette couche supérieure étant entraînée par ce qu'il y a au-dessus, par exemple le vent sur un cours d'eau ou un plan mobile sur de l'huile, la vitesse en son sein varie suivant l'altitude car la couche inférieure à l'altitude tend à avoir la même vitesse que le plan sur lequel elle repose alors que la couche supérieure à l'altitude a la même vitesse que l'objet qui l'entraîne : une couche intermédiaire de fluide de faible épaisseur à l'altitude va donc subir deux forces de contact, celle de la couche immédiatement supérieure d'altitude qui va plus vite qu'elle et tend à l'entraîner et celle de la couche immédiatement inférieure d'altitude qui va moins vite qu'elle et tend à la ralentir, on parlera de forces de cisaillement car les deux forces agissent en sens contraires ; on établit que la contrainte de cisaillement c.-à-d. la norme commune des forces tangentielles de cisaillement rapportée à l'unité de surface des couches en regard que l'on notera s'exprimant en , étant l'aire élémentaire commune des couches en regard, est liée à la viscosité dynamique du fluide par avec le vecteur vitesse de translation de la couche d'altitude , ceci impliquant que la viscosité dynamique du fluide s'exprime en encore appelé « poiseuille » de symbole , ce nom ayant été donné en hommage à Jean-Léonard-Marie Poiseuille (1797 - 1869) physicien et médecin français pour son étude de l'écoulement du sang dans les vaisseaux et la généralisation de celle-ci aux écoulements laminaires des fluides visqueux dans les tuyaux cylindriques ;
       c'est aussi ce qu'on observe lors de la circulation d'un fluide dans une conduite, les molécules de fluide au contact de la conduite tendant à rester immobiles alors que celles sur l'axe de la conduite c.-à-d. les molécules les plus éloignées des parois de la conduite ont la vitesse maximale
  92. 92,0 et 92,1 Archimède de Syracuse (vers 287 av.J.C. - 212 av.J.C.) physicien, mathématicien et ingénieur sicilien (de la Grande Grèce) considéré comme l'un des principaux scientifiques de l'Antiquité Classique ; dans le domaine de la physique, a étudié l'hydrostatique, la mécanique statique et a expliqué le principe du levier ; dans le domaine des mathématiques, a utilisé la méthode d'exhaustion pour calculer l'aire sous un arc de parabole, a donné un encadrement de avec une grande précision, a également introduit la spirale portant son nom d'équation polaire .
  93. Force existant même s'il n'y a pas de mouvement relatif du corps par rapport à l'air.
  94. On appelle « fluide déplacé » le fluide hypothétique positionné au même endroit et occupant le même volume que le solide sans que la répartition de pression dans le fluide extérieur au fluide déplacé ou extérieur au solide ne soit modifiée.
  95. 95,0 et 95,1 La pression dans un fluide augmentant avec la profondeur est plus grande “sous” le corps que “sur” ce dernier et par suite le fluide dans lequel est entièrement plongé le corps exerce une force verticale ascendante appelée « poussée d'Archimède » voir plus de détail dans le paragraphe « en complément, démonstration du théorème d'Archimède » du chap. de la leçon « Statique des fluides (PCSI) ».
  96. 96,0 et 96,1 Différence De Potentiels.
  97. On rappelle que le champ électrostatique est dans le sens des potentiels
  98. 98,0 et 98,1 Le volume d'une boule de rayon étant , voir le paragraphe « exemples de volume d'expansion tridimensionnelle classique (volume d'une boule de rayon R) » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
  99. 99,0 et 99,1 Application Numérique.
  100. poiseuille  ; ce nom a été donné à l'unité de viscosité dynamique en hommage à Jean-Léonard-Marie Poiseuille (1797 - 1869) physicien et médecin français pour son étude de l'écoulement du sang dans les vaisseaux et la généralisation de celle-ci aux écoulements laminaires des fluides visqueux dans les tuyaux cylindriques
  101. En effet diffère de de moins de .
  102. 102,0 102,1 102,2 et 102,3 Voir la solution de la question « détermination de l'équation horaire de chute (composante verticale descendante du vecteur vitesse) d'une gouttelette d'huile électrisée dans le condensateur plan à armatures horizontales » plus haut dans cet exercice en y faisant .
  103. En effet la vitesse limite est atteinte à près au bout de la même durée qu'en présence de champ électrostatique car la constante de temps d'amortissement du régime libre a la même valeur « correspondant à une durée effectivement très courte» voir la solution de la question « détermination de l'équation horaire de chute (composante verticale descendante du vecteur vitesse) d'une gouttelette d'huile électrisée dans le condensateur plan à armatures horizontales » plus haut dans cet exercice.
  104. Écart relatif évalué par rapport à la valeur admise de nos jours.
  105. Voir la solution de la question « étude du mouvement de chute de la gouttelette d'huile précédente en absence de champ électrostatique créé dans le condensateur plan à armatures horizontales » plus haut dans cet exercice.
  106. Voir la solution de la question « détermination de l'équation horaire de la vitesse de chute (composante verticale descendante du vecteur vitesse) d'une gouttelette d'huile électrisée dans le condensateur plan à armatures horizontales » plus haut dans cet exercice.