Leçons de niveau 14

Mécanique 1 (PCSI)/Exercices/Description et paramétrage du mouvement d'un point : Systèmes de coordonnées

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Mécanique 1 (PCSI)/Exercices/Description et paramétrage du mouvement d'un point : Systèmes de coordonnées
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Sommaire

Exemple de mouvement rectiligne défini par son abscisse horaire[modifier | modifier le wikicode]

......Un point matériel se déplace le long de l'axe , son abscisse étant donnée en fonction du temps par la loi horaire : .

Explicitation des grandeurs cinématiques du mouvement du point[modifier | modifier le wikicode]

......Calculer, en fonction du temps , la vitesse et l'accélération du point le long de l'axe .

Tracé des diagrammes horaires de vitesse et de position[modifier | modifier le wikicode]

......Tracer les diagrammes horaires

  • de vitesse à savoir le graphe de l'équation horaire de vitesse en fonction du temps et
  • de position à savoir le graphe de l'équation horaire de position en fonction du temps ;

......Préciser la nature accélérée ou retardée du mouvement suivant les valeurs de .

Exemple de mouvement plan défini par ses positions horaires[modifier | modifier le wikicode]

......But de cet exercice : déterminer le rayon de courbure de la trajectoire plane d'un point en repérage cartésien en fonction de sa position sur la trajectoire.

......Un point a pour lois horaires cartésiennes dans lesquelles représente la date en et les longueurs sont exprimées en .

Détermination de l'équation cartésienne de la trajectoire[modifier | modifier le wikicode]

......Vérifier que le mouvement est plan en précisant le plan dans lequel il se produit et

......déduire, des lois horaires cartésiennes du point, l'équation cartésienne de sa trajectoire.

Détermination des grandeurs cinématiques du mouvement du point[modifier | modifier le wikicode]

......Déterminer, en fonction du temps , les grandeurs cinématiques vectorielles (par leurs composantes dans le plan du mouvement du point) ou scalaires ci-dessous :

  • les composantes cartésiennes du vecteur vitesse ,
  • la vitesse instantanée [1],
  • les composantes cartésiennes du vecteur accélération ,
  • l'accélération tangentielle [2] et
  • l'accélération normale [3].

Détermination du rayon de courbure de la trajectoire du point en fonction de la position de ce dernier[modifier | modifier le wikicode]

......Déduire, de ce qui précède, l'expression du rayon de courbure de la trajectoire du point quand ce dernier est positionné à la date ,

......évaluer le aux dates et puis

......commenter les résultats obtenus.

Lancement d'une torpille sur un navire[modifier | modifier le wikicode]

Schéma de situation initiale lorsqu'un sous-marin immobile, stationnant en surface, lance une torpille en direction d'un navire en mouvement rectiligne uniforme

......Un navire est animé d'un mouvement rectiligne uniforme de vecteur vitesse le long d'une droite .

......Un sous-marin immobile (que nous supposerons en surface pour simplifier l'étude [5] et bien sûr en dehors de la trajectoire du navire) tire une torpille à l'instant où l'angle a la valeur (voir figure ci-contre).

Détermination de la valeur de l'angle de tir θ pour que la torpille coule le navire[modifier | modifier le wikicode]

......La torpille lancée étant animée d'un mouvement rectiligne uniforme de vecteur vitesse de norme , quelle doit être la valeur de l'angle de tir si le commandant du sous-marin veut couler le navire .

Détermination de la valeur de l'angle α pour minimaliser la durée de tir de la torpille[modifier | modifier le wikicode]

......Le commandant du sous-marin souhaitant que la torpille atteigne le navire en un temps minimal, attend que l'angle acquiert une valeur [6] ;

......déterminer la valeur de pour qu'il en soit ainsi ;

......calculer alors la valeur de l'angle de tir correspondant ;

......discuter suivant les normes des vitesses comparées du navire et de la torpille.

Vol d'insecte[modifier | modifier le wikicode]

Schéma de situation, à l'instant t, du vol d'un insecte M à norme de vecteur vitesse constante et à angle entre son vecteur vitesse et la visée d'un point lumineux O constant, le repérage de M étant polaire de pôle O

......Un insecte assimilé un point mobile en mouvement plan dans le plan , vole à vitesse de norme constante , de sorte que l'angle entre et la visée d'un point lumineux (visée de l'insecte définie par soit constant ;

......on suppose (voir figure ci-contre).

Détermination des composantes polaires du vecteur vitesse de l'insecte et de la loi horaire donnant la distance séparant ce dernier de son point de visée[modifier | modifier le wikicode]

......Exprimer, en fonction de et , les composantes polaires du vecteur vitesse de l'insecte ;

......sachant qu'à l'instant initial , la distance séparant l'insecte de son point de visée vaut et que l'on choisit l'axe polaire passant par la position initiale de l'insecte c'est-à-dire que l'angle polaire de l'insecte vaut , déduire, de l'expression de la vitesse radiale, la loi horaire en fonction de , , et .

Détermination des composantes polaires du vecteur accélération de l'insecte[modifier | modifier le wikicode]

......Exprimer les composantes polaires du vecteur accélération de l'insecte

  • en fonction de , et [15] puis
  • en fonction de , , et .

Détermination de la loi horaire donnant l'angle polaire de l'insecte puis de la trajectoire de celui-ci[modifier | modifier le wikicode]

......Déterminer la 2ème loi horaire du mouvement de l'insecte donnant l'angle polaire de ce dernier puis

......déduire des deux lois horaires de l'équation polaire de la trajectoire de l'insecte ;

......terminer en traçant cette dernière.

Détermination de la durée nécessaire à l'insecte pour atteindre le point de visée O ainsi que la norme de son vecteur accélération[modifier | modifier le wikicode]

......Au bout de combien de temps, l'insecte atteint-il le point de visée  ?

......Que vaut la norme de son vecteur accélération à cet instant ?

Détermination de l'angle polaire de l'insecte quand ce dernier est encore à la distance ρf du point de visée[modifier | modifier le wikicode]

......De quel angle l'insecte aura-t-il tourné entre l'instant initial et l'instant où il se trouve encore à la distance de son point de visée  ?

......Commenter le cas où .

Étude du mouvement plan d'un point de trajectoire connue par son équation polaire et de loi de variation de vitesse angulaire connue en fonction de l'angle polaire de ce dernier[modifier | modifier le wikicode]

......Un point mobile a un mouvement dans le plan de trajectoire connue par son équation polaire , étant une constante positive homogène à une longueur.

......Au cours de ce mouvement, l'angle polaire varie en étant lié à sa vitesse angulaire par la loi de variation avec constante positive homogène à une vitesse angulaire, l'angle polaire décrivant l'intervalle et la vitesse angulaire n'étant pas définie pour .

Nature de la trajectoire[modifier | modifier le wikicode]

......Déterminer la nature de la trajectoire du point [20] puis

......tracer la courbe correspondante.

Propriétés des grandeurs cinématiques du point[modifier | modifier le wikicode]

......Déterminer le vecteur vitesse du point mobile, en repérage polaire, en fonction de , et  ;

......montrer que le vecteur accélération du point mobile est centripète (c'est-à-dire colinéaire et de même sens que .

Établissement de la nature périodique du mouvement du point et évaluation de sa période[modifier | modifier le wikicode]

......Montrer que le mouvement du point est périodique sur sa trajectoire [23] et simultanément

......évaluer la période de parcours c'est-à-dire la durée nécessaire pour un parcours complet de cette trajectoire.

Exemple de mouvement hélicoïdal uniforme, détermination du rayon de courbure de l'hélice[modifier | modifier le wikicode]

Schéma de situation de mouvement uniforme d'un point sur une hélice circulaire droite (non tracée mais simplement évoquée)

......Un point décrit l'hélice « circulaire » [27] « droite » [28] définie par ses équations paramétriques cartésiennes [29] , avec la vitesse angulaire [30] (voir figure ci-contre).

Repérage cylindro-polaire (ou cylindrique) d'axe Oz de la trajectoire du point[modifier | modifier le wikicode]

......Déterminer, en fonction de , les coordonnées cylindro-polaires (ou cylindrique) d'axe du point quand il décrit sa trajectoire hélicoïdale.

Détermination des composantes cylindro-polaires du vecteur vitesse du point sur sa trajectoire hélicoïdale puis l'angle d'inclinaison de la tangente à l'hélice en M relativement à Oz[modifier | modifier le wikicode]

......Déterminer les composantes cylindro-polaires du vecteur vitesse du point sur sa trajectoire hélicoïdale puis

......montrer que l'angle que fait le vecteur vitesse avec est constant et enfin

......calculer .

Détermination des composantes cylindro-polaires du vecteur accélération du point sur sa trajectoire hélicoïdale puis du rayon de courbure de l'hélice en M[modifier | modifier le wikicode]

......Déterminer les composantes cylindro-polaires du vecteur accélération du point sur sa trajectoire hélicoïdale puis

......en déduire le rayon de courbure de l'hélice en et enfin

......commenter le résultat.

Détermination de la trajectoire décrite par le centre de courbure CM de l'hélice en M[modifier | modifier le wikicode]

......Déterminer les coordonnées cylindro-polaires du centre de courbure [42] de la trajectoire hélicoïdale au point puis

......en déduire que la trajectoire suivie par est aussi une hélice (circulaire) droite d'axe en précisant le rayon du tuyau cylindrique sur lequel elle est tracée ainsi que son pas.

Étude, en repérage polaire, du mouvement uniforme d'un point sur une spirale logarithmique et détermination du rayon de courbure de cette dernière en fonction du rayon polaire du point[modifier | modifier le wikicode]

......Un point , de coordonnées polaires , décrit une spirale logarithmique d'équation polaire avec une constante homogène à une longueur et une constante angulaire , la base polaire liée au point étant notée .

Détermination des composantes polaires du vecteur vitesse du point sur sa trajectoire et du vecteur unitaire tangentiel de Frenet lié à ce point[modifier | modifier le wikicode]

......Exprimer le vecteur vitesse du point dans la base polaire lié à ce dernier en fonction de , , et la vitesse angulaire  ;

......choisissant d'orienter la spirale logarithmique dans le sens des , déduire, de ce qui précède,

  • la vitesse instantanée [1] du point sur sa trajectoire puis
  • les composantes polaires du vecteur unitaire tangentiel de Frenet au point  ;

......préciser l'angle que fait le vecteur unitaire tangentiel de Frenet avec le 1er vecteur de base polaire lié au même point,

......commenter le résultat obtenu caractéristique d'une spirale logarithmique.