Leçons de niveau 14

Mécanique 1 (PCSI)/Exercices/Description du mouvement d'un solide dans deux cas particuliers

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Mécanique 1 (PCSI)/Exercices/Description du mouvement d'un solide dans deux cas particuliers
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Quart de disque homogène de centre C limité par l'arc de cercle AB tournant autour de l'axe CA de son plan[modifier | modifier le wikicode]

Schéma d'un quart de disque homogène limité par l'arc de cercle AB et par les deux rayons perpendiculaires CA et CB, C étant le centre de l'arc de cercle de rayon R

......On considère le quart de disque homogène limité par le quart de cercle et les deux rayons et respectivement perpendiculaires, avec centre du quart de cercle et le rayon de ce dernier, et appelant la masse surfacique constante du quart de disque, on se propose

  • de déterminer la position du C.D.I. [1] du quart de disque en définissant son vecteur position relativement au vecteur position du point courant du quart de disque d'une part et
  • d'autre part de vérifier le résultat par utilisation du théorème de Guldin [2] relatif à une portion de surface [3].

Détermination de la position du centre d'inertie du quart de disque homogène et vérification par l'un des deux théorèmes de Guldin[modifier | modifier le wikicode]

......Ayant choisi le centre de l'arc de cercle limitant le quart de disque comme origine de vecteur position, rappeler l'expression du vecteur position du C.D.I. sous la forme d'une intégrale surfacigue [4] faisant intervenir le vecteur position du point courant du quart de disque puis

......évaluer cette intégrale pour déterminer la position du C.D.I. .

......Vérifier le résultat précédent en utilisant le théorème de Guldin [2] relatif à un portion de surface [3] dont l'énoncé est le suivant :

Début d’un théorème


Fin du théorème

Détermination de la vitesse instantanée du C.D.I. G du quart de disque homogène limité par le quart de cercle AB de centre C et les deux rayons CA et CB respectivement perpendiculaires quand le quart de disque tourne autour de l'axe CA avec une vitesse angulaire fixée[modifier | modifier le wikicode]

......Considérant la rotation du quart de disque limité par le quart de cercle et les deux rayons respectivement perpendiculaires autour de l'axe avec centre de l'arc de cercle, à la vitesse angulaire constante ,

  • exprimer le vecteur vitesse du C.D.I. du quart de disque en fonction, entre autres, du vecteur rotation instantanée est le vecteur unitaire orientant l'axe de rotation puis
  • en déduire la vitesse instantanée du C.D.I. sur sa trajectoire [13] en fonction, entre autres, de la vitesse angulaire .

Centre d'inertie d'un quart de cercle homogène AρBρ de centre C et de rayon ρ puis, par utilisation de la notion de barycentre partiel, centre d'inertie d'un quart de disque homogène limité par le quart de cercle AB de centre C et de rayon R[modifier | modifier le wikicode]

Détermination de la position du centre d'inertie du quart de cercle et vérification par l'un des deux théorèmes de Guldin[modifier | modifier le wikicode]

Schéma d'un quart de cercle homogène AρBρ, de centre C et de rayon ρ

......On considère le quart de cercle , de centre , de rayon , homogène, de masse linéique constante dont on se propose

  • de déterminer la position de son C.D.I. [1] en définissant son vecteur position relativement au vecteur position du point courant du quart de cercle d'une part et
  • d'autre part de vérifier le résultat par utilisation du théorème de Guldin [2] relatif à un arc de courbe [3].

......Ayant choisi le centre de l'arc de cercle comme origine de vecteur position, rappeler l'expression du vecteur position du C.D.I. sous la forme d'une intégrale curviligne [16] faisant intervenir le vecteur position du point courant du quart de cercle puis

......évaluer cette intégrale pour déterminer la position du C.D.I. .

......Vérifier le résultat précédent en utilisant le théorème de Guldin [2] relatif à un arc de courbe [3] dont l'énoncé est le suivant :

Début d’un théorème


Fin du théorème

Position du centre d'inertie d'un quart de disque homogène limité par un quart de cercle AB de centre C, de rayon R et par deux rayons CA et CB respectivement perpendiculaires, en considérant le quart de disque comme association de surfaces élémentaires semi-intégrées, construites à partir d'un quart de cercle AρBρ de même centre C, de rayon ρ variable et d'épaisseur dρ[modifier | modifier le wikicode]

......On se propose de retrouver le C.D.I. [1] d'un quart de disque homogène limité par le quart de cercle et les deux rayons et respectivement perpendiculaires, avec centre du quart de cercle, le rayon de ce dernier et la masse surfacique constante du quart de disque, [la position du C.D.I. [1] ayant été établi dans le 1er exercice « détermination de la position du centre d'inertie du quart de disque homogène … »]
......On se propose de retrouver le C.D.I. en considérant le quart de disque homogène comme une association de quarts de couronnes planes de même centre , de rayon et de largeur , le quart de couronne plane de rayon et de faible largeur pouvant être modélisé par un quart de cercle de rayon et de masse linéique [19] dont le C.D.I. [1] ayant été déterminé dans la question précédente, permet de remplacer le quart de couronne plane de rayon et de faible largeur par son barycentre partiel affecté de la masse .

......Ayant choisi le centre de l'arc de cercle limitant le quart de disque comme origine de vecteur position, exprimer le vecteur position du C.D.I. du quart de disque sous la forme d'une intégrale sur un intervalle faisant intervenir le vecteur position du barycentre partiel du quart de couronne plane de rayon et de faible largeur puis

......évaluer cette intégrale pour retrouver la position du C.D.I. établie dans le 1er exercice « détermination de la position du centre d'inertie du quart de disque homogène … ».

Notes et références[modifier | modifier le wikicode]

  1. 1,0 1,1 1,2 1,3 et 1,4 Centre D'Inertie.
  2. 2,0 2,1 2,2 2,3 2,4 2,5 2,6 2,7 2,8 et 2,9 Paul Guldin (1577 - 1643) mathématicien et astronome suisse, devenu jésuite à l'âge de 20 ans, poussé par sa congrégation et à cause de ses compétences à commencer des études mathématiques à l'âge de 32 ans, l'essentiel de ses travaux portent sur les barycentres et de nos jours il reste connu pour les deux théorèmes portant son nom.
  3. 3,0 3,1 3,2 et 3,3 Ce théorème est l'un des deux théorèmes de Guldin encore connu sous le nom de théorèmes de Pappus-Guldin car Pappus d'Alexandrie (ayant vécu au IVème après J.C.), l'un des plus importants mathématiciens de la Grèce Antique, né à Alexandrie en Égypte, qui s'est intéressé essentiellement à la géométrie, les mathématiques récréatives ainsi qu'aux polygones et polyèdres, devait vraisemblablement connaître ces théorèmes.
  4. Revoir le paragraphe « notion d'intégrale surfacique » du chapitre de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
  5. C.-à-d. avec intérieur strict de [c'est-à-dire ensemble de points à l'intérieur de la portion de surface et hors courbes limitant celle-ci], la raison de cette exigence étant la nécessité qu'il n'y ait pas de recouvrement de l'expansion tridimensionnelle lors de la révolution de la portion de surface autour de l'axe de révolution.
  6. étant l'aire de la surface élémentaire centrée en s'écrit, en repérage polaire revoir le paragraphe « expressions en paramétrage cylindro-polaire du vecteur surface élémentaire (plus précisément dans le cas d'une surface plane dans le plan xOy) » du chapitre de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
  7. Revoir le paragraphe « les deux types d'intégrale surfacique et les grandes lignes de la méthode d'évaluation » du chapitre de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) », .
  8. En fait les intégrales sur un intervalle ne sont pas nécessairement emboîtées, elles le sont si au moins une des bornes d'intégration de la 1ère intégrale dépendent du 2ème paramètre figé et,
    ...si tel n'est pas le cas, on obtient un produit de deux intégrales sur un segment, chaque intégrale réalisant une intégration sur un des deux paramètres, les bornes de l'intégrale étant indépendantes de l'autre paramètre [c'est d'ailleurs le cas le plus fréquent que l'on rencontre dans le calcul d'intégrale surfacique dans le domaine de la physique].
  9. Guido Fubini (1879 - 1943) mathématicien italien surtout connu pour ses travaux sur les intégrales.
  10. 10,0 et 10,1 En effet .
  11. 11,0 et 11,1 En effet .
  12. 12,0 et 12,1 Il était aussi possible d'intégrer sans décomposer le vecteur unitaire radial de la base polaire dans la base cartésienne mais en utilisant , on obtenait alors ou, avec , on obtenait .
  13. 13,0 et 13,1 On rappelle que la vitesse instantanée est la composante du vecteur vitesse sur le vecteur unitaire tangentiel de Frenet lié au point considéré.
  14. En effet on rappelle que .
  15. 15,0 et 15,1 Jean Frédéric Frenet (1816 - 1900) est un mathématicien, astronome et météorologue français à qui on doit six des neuf formules de géométrie différentielle associées au trièdre (ou base) de Serret-Frenet [Joseph-Alfred Serret (1819 - 1885) mathématicien et astronome français ayant trouvé indépendamment ces formules].
  16. 16,0 et 16,1 Revoir le paragraphe « notion d'intégrale curviligne sur une portion de courbe continue » du chapitre de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
  17. La raison de cette exigence étant la nécessité qu'il n'y ait pas de recouvrement de la surface lors de la rotation de l'arc de courbe autour de l'axe de rotation, cela n'interdit pas que passe par l'un des points extrêmes ou .
  18. étant l'abscisse curviligne élémentaire centrée en s'identifie, en repérage polaire, à c'est-à-dire à la composante orthoradiale du vecteur déplacement élémentaire revoir le paragraphe « expression du vecteur déplacement élémentaire d'un point en repérage cylindro-polaire » du chapitre de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
  19. étant en et en , est bien l'homogénéité d'une masse linéique c'est-à-dire en .