Leçons de niveau 14

Mécanique 1 (PCSI)/Exercices/Approche énergétique du mouvement d'un point matériel : Petits mouvements au voisinage d'un équilibre stable

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Approche énergétique du mouvement d'un point matériel : Petits mouvements au voisinage d'un équilibre stable
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Exercices no19
Leçon : Mécanique 1 (PCSI)
Chapitre du cours : Approche énergétique du mouvement d'un point matériel : Petits mouvements au voisinage d'un équilibre stable

Ces exercices sont de niveau 14.

Exo préc. :Approche énergétique du mouvement d'un point matériel : Équilibre et stabilité
Exo suiv. :Approche énergétique du mouvement d'un point matériel : Barrière d'énergie potentielle
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Mécanique 1 (PCSI)/Exercices/Approche énergétique du mouvement d'un point matériel : Petits mouvements au voisinage d'un équilibre stable
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Sommaire

Oscillations dans une cuvette d'énergie potentielle[modifier | modifier le wikicode]

......Un point matériel de masse est astreint à se déplacer sans frottement sur un axe .

......Il est soumis de la part du point à la force centrale et sont deux constantes positives ;

......on suppose que l'abscisse du point mobile reste .

Détermination de la position d'équilibre du point matériel M[modifier | modifier le wikicode]

......Exprimer la valeur pour laquelle le point matériel est en équilibre.

Détermination et représentation en fonction de x du diagramme de l'énergie potentielle dont dérive la force centrale, étude de la stabilité de la position d'équilibre du point matériel M[modifier | modifier le wikicode]

......Exprimer l'énergie potentielle dont dérive la force centrale on choisira la référence de l'énergie potentielle à l'infini ;

......représenter la courbe d'énergie potentielle en fonction de l'abscisse du point matériel  ;

......déduire, de ce tracé, le caractère stable de la position d'équilibre du point mobile.

Détermination et représentation en fonction de x du diagramme de l'énergie mécanique, étude des mouvements possibles du point matériel M[modifier | modifier le wikicode]

......Exprimer l'énergie mécanique du point matériel dans le champ de la force centrale quand occupe la position d'abscisse avec la vitesse et

......représenter, sur le même diagramme que précédemment, la courbe d'énergie mécanique en fonction de l'abscisse du point matériel .

......Discuter, suivant la valeur de l'énergie mécanique initiale du point matériel , le (ou les) mouvement(s) possible(s) de ce dernier quand il est lâché sans vitesse initiale de la position d'abscisse .

Détermination de l'équation différentielle du 2ème ordre en x(t) du mouvement du point mobile, étude des petits mouvements de M au voisinage de sa position d'équilibre stable[modifier | modifier le wikicode]

......À partir de l'intégrale 1ère énergétique précédemment établie, déterminer l'équation différentielle du 2ème ordre en du mouvement du point matériel et

......établir l'expression approchée de l'équation différentielle du 2ème ordre en l'écart de l'abscisse du point relativement à sa position d'équilibre stable dans le cadre des petits mouvements [4] du point ;

......en déduire la nature périodique du mouvement des petites oscillations [4] du point matériel autour de sa position d'équilibre et

......expliciter sa période en fonction des données.

Oscillateurs non linéaires, tentative de linéarisation (traitement par r.f.d.n.)[modifier | modifier le wikicode]

Oscillations transversales d'une balle fixée au milieu d'une corde idéale verticale[modifier | modifier le wikicode]

Oscillations transversales d'une balle ponctuelle fixée au milieu d'une corde sans masse, initialement verticale et supposée inélastique [8]

......Une balle supposée ponctuelle , de masse , est fixée au milieu d'une corde, de masse nulle et de longueur quand la corde est tendue verticalement entre ses deux points d'attache et  ;

......on écarte , dans le sens positif, d'un angle de sa position d'équilibre , milieu du segment , et on le lâche sans vitesse initiale ;

......la longueur de la corde , avec abscisse du point sur l'axe au segment , varie donc, mais, si la corde doit être considérée comme extensible [9], nous la supposons inélastique c.-à-d. que sa tension reste constante au cours du mouvement de [8] ;

......le poids de la balle est de norme négligeable devant celle des forces de tension, ce qui entraîne, pour , un mouvement rectiligne suivant .

Détermination de l'équation différentielle du 2ème ordre en x(t) du mouvement transversal de la balle sans tenir compte du caractère petit de θ0[modifier | modifier le wikicode]

......Déterminer, par application de la r.f.d.n. [10] à la balle , l'équation différentielle du 2ème ordre en du mouvement de , sans tenir compte de [11] et

......vérifier qu'elle n'est pas linéaire.

Tentative de linéarisation de l'équation différentielle du 2ème ordre en x(t) du mouvement transversal de la balle en tenant compte du caractère petit de θ0[modifier | modifier le wikicode]

......Considérant maintenant [11], vérifier que la linéarisation de l'oscillateur est possible en déterminant son équation différentielle en puis

......donner son équation de mouvement ainsi que

......donner sa période des petites oscillations [4].

Oscillations transversales d'une balle fixée entre deux ressorts identiques initialement d'axe commun vertical, les ressorts y étant allongés[modifier | modifier le wikicode]

Oscillations transversales d'une balle ponctuelle fixée entre deux ressorts idéaux [20], identiques, de même axe initial vertical avec un même allongement Δléq

......On remplace maintenant la corde par deux ressorts idéaux [20], identiques, de raideur et de longueur à vide , avec l'extrémité supérieure de l'un fixée en et l'extrémité inférieure de l'autre en , l'extrémité intermédiaire étant reliée à la balle supposée ponctuelle de masse  ;

......à l'équilibre, la position de la balle est en , milieu du segment et les deux ressorts y sont tendus, leur allongement commun à l'équilibre valant  ;

......le poids de la balle est toujours considéré de norme négligeable devant celle des forces de tension des ressorts, ce qui entraîne, pour , un mouvement rectiligne suivant  ;

......on écarte , dans le sens positif, d'un angle de sa position d'équilibre , milieu du segment , et on le lâche sans vitesse initiale.

Détermination de l'équation différentielle du 2ème ordre en x(t) du mouvement transversal de la balle sans tenir compte du caractère petit de θ0[modifier | modifier le wikicode]

......Déterminer, par application de la r.f.d.n. [10] à la balle , l'équation différentielle du 2ème ordre en du mouvement de , sans tenir compte de [21] et

......vérifier qu'elle n'est pas linéaire.

Tentative de linéarisation de l'équation différentielle du 2ème ordre en x(t) du mouvement transversal de la balle en tenant compte du caractère petit de θ0[modifier | modifier le wikicode]

......Considérant maintenant [21], vérifier que la linéarisation de l'oscillateur est possible en déterminant son équation différentielle en puis

......donner son équation de mouvement ainsi que

......donner sa période des petites oscillations [4].

Oscillations transversales d'une balle fixée entre deux ressorts identiques initialement d'axe commun vertical, les ressorts y étant ni allongés ni comprimés[modifier | modifier le wikicode]

......On reprend le dispositif précédent dans lequel les deux ressorts idéaux [20], identiques, de raideur et de longueur à vide , sont maintenant à spires non jointives [29] ;

......on suppose maintenant que les deux ressorts ne sont ni tendus, ni comprimés, en leur état d'équilibre correspondant à en , milieu du segment , leur longueur à l'équilibre étant donc leur longueur à vide selon avec  ;

......bien que le poids de la balle ne puisse plus être considéré de norme négligeable devant celle des forces de tension des ressorts à l'équilibre celle-ci y étant nulle, nous n'en tiendrons pas compte en imaginant un guide transversal à l'axe commun des ressorts dans leur état d'équilibre, guide confondu avec l'axe sur lequel la balle peut glisser sans frottement solide, ce qui entraîne, pour , un mouvement rectiligne suivant  ;

......on écarte , dans le sens positif, d'un angle de sa position d'équilibre , milieu du segment , et on le lâche sans vitesse initiale.

Détermination de l'équation différentielle du 2ème ordre en x(t) du mouvement transversal de la balle sans tenir compte du caractère petit de θ0[modifier | modifier le wikicode]

......Déterminer, par application de la r.f.d.n. [10] à la balle , l'équation différentielle du 2ème ordre en du mouvement de , sans tenir compte de [21] et

......vérifier qu'elle n'est pas linéaire.

Tentative de linéarisation de l'équation différentielle du 2ème ordre en x(t) du mouvement transversal de la balle en tenant compte du caractère petit de θ0[modifier | modifier le wikicode]

......Considérant maintenant [21], vérifier que la linéarisation de l'oscillateur n'est plus possible en déterminant son équation différentielle en à l'ordre le plus bas en puis

......vérifier que l'oscillateur peut être qualifié, dans le cadre des petits mouvements [4], d'anharmonique, son équation différentielle y étant de la forme avec dont on explicitera l'expression ;

......en déduire l'intégrale 1ère énergétique des petits mouvements [4] de l'oscillateur dans son approximation anharmonique puis

......rappeler comment on peut établir sa nature oscillatoire et périodique ainsi que

......rappeler l'expression de sa période des petites oscillations [4] sous forme intégrale.

Point matériel M dans une rigole hémi-circulaire, relié à l'extrémité inférieure d'un ressort idéal d'axe coudé passant par le bord B du diamètre horizontal de la rigole et dont l'autre extrémité est fixée en un point extérieur à ce diamètre[modifier | modifier le wikicode]

Point matériel M lié de façon bilatérale sans frottements solides avec une rigole hémi-circulaire située dans un plan vertical, à l'extrémité inférieure d'un ressort idéal [20] d'axe coudé MBA, la partie BA de l'axe étant horizontale et de longueur égale à la longueur à vide l0 du ressort

......Un point matériel , de masse , est solidaire, par liaison bilatérale, d'une rigole circulaire de centre et de rayon d'un plan vertical voir figure ci-contre dans laquelle il peut glisser sans frottements solides dans le champ de pesanteur terrestre uniforme  ;

......ce point est relié à l'extrémité inférieure d'un ressort idéal [20], d'axe coudé , dont la tension, étant supposée indépendante du caractère coudé de son axe, est imposée par la longueur à charge de son axe coudé  ; le ressort est de raideur et sa longueur à vide est  ; d'autre part le point étant à la distance de , le ressort reste allongé en toute position de autre que celle de .

......On repère par son abscisse angulaire est le vecteur unitaire vertical descendant, le vecteur unitaire horizontal dirigé de vers et le vecteur unitaire horizontal orientant les angles du plan vertical de la rigole, ces trois vecteurs unitaires définissant la base cartésienne orthonormée directe du repère associé au référentiel supposé galiléen et lié à la rigole.

Détermination de la position d'équilibre du point matériel[modifier | modifier le wikicode]

......Déterminer, en raisonnant en terme de forces, l'abscisse angulaire de la position d'équilibre du point matériel .

Détermination de la stabilité de la position d'équilibre du point matériel[modifier | modifier le wikicode]

......Démontrer, en raisonnant en terme de forces, la stabilité de la position d'équilibre du point matériel [44].

Étude des petits mouvements du point matériel autour de sa position d'équilibre stable[modifier | modifier le wikicode]

......Dans le but d'étudier les petits mouvements [4] du point matériel autour de sa position d'équilibre stable, écrire l'équation différentielle du 2ème ordre en du mouvement de sans tenir compte de la petitesse de puis,

......en introduisant l'écart angulaire relativement à l'abscisse angulaire d'équilibre, écart dont on ne tient toujours pas compte de la petitesse de sa valeur absolue, réécrire cette équation différentielle du 2ème ordre en  ;

......faire un D.L. [6] à l'ordre un de l'équation différentielle du 2ème ordre en tenant compte du caractère « petit » de la valeur absolue de l'écart angulaire relativement à l'abscisse de la position d'équilibre [46] puis

......vérifier que l'approximation des petits mouvements [4] de l'oscillateur non linéaire est alors harmonique et

......préciser la période de ses petites élongations [4].

Étude des petits mouvements autour de l'équilibre (ou des équilibres) stable(s) d'un pendule élastique initialement vertical à extrémités supérieure fixe et inférieure pouvant se déplacer transversalement sur une tige horizontale[modifier | modifier le wikicode]

Schéma d'un pendule élastique initialement vertical à extrémités supérieure R fixe et inférieure reliée à un objet ponctuel M de masse m pouvant se déplacer sans frottement sur une tige horizontale

......L'objet de cet exercice consiste à étudier les petites oscillations [4] d'un système mécanique au voisinage de sa (ou de ses) position(s) d'équilibre stable et en particulier de les observer au voisinage d'une bifurcation c.-à-d. d'un changement du nombre de positions d'équilibre, de la position d'équilibre stable ou autres changements consécutifs à une variation d'un paramètre caractérisant les équilibres du système mécanique .

......On s'intéresse au système mécanique suivant : un objet assimilé à un point matériel , de masse , est fixé à l'extrémité inférieure d'un ressort idéal [20], à spires non jointives [29], de longueur à vide et de constante de raideur , dont l'extrémité supérieure est fixée en un point .

......L'objet peut coulisser sans frottement horizontalement sur une tige [48] (voir la figure ci-contre).

......On repère la position du point sur cette tige par son abscisse sur l'axe confondu avec la tige dont l'origine est située sur la même verticale que le point d’attache fixe du ressort, cet axe horizontal étant orienté arbitrairement vers la droite, l'axe vertical l'étant vers le haut.

......La tige se trouve à une distance du point c.-à-d. .

......La 1ère partie « recherche des positions d'équilibre » de cet exercice ayant déjà été traité dans « étude des équilibres d'un pendule élastique initialement vertical à extrémités supérieure fixe et inférieure pouvant se déplacer transversalement sur une tige horizontale … » de la série d'exercices du chap. de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » nous nous contenterons de rappeler les questions ainsi que les principaux résultats de la solution en renvoyant à l'exercice précité pour les détails.

Recherche des positions d'équilibre[modifier | modifier le wikicode]

......On recherche les positions d'équilibre ainsi que leur stabilité suivant le paramètre dont on fera varier la valeur.

Détermination qualitative du nombre de positions d'équilibre et de la stabilité de celles-ci (détermination graphique) quand λ varie à partir de sa valeur initiale lv[modifier | modifier le wikicode]

......Initialement le point matériel se trouve en et .

......Décrire qualitativement (aucun calcul n'est demandé) le nombre de positions d'équilibre et graphiquement la stabilité de celles-ci suivant qu'on

  • rapproche la tige du point c.-à-d. que à partir de ou
  • éloigne la tige du point c.-à-d. que à partir de .

Détermination de l'expression de l'énergie potentielle élastique de l'objet M pour λ quelconque[modifier | modifier le wikicode]

......On considère maintenant quelconque.

......Déterminer l'expression de l'énergie potentielle élastique