Leçons de niveau 14

Mécanique 1 (PCSI)/Exercices/Approche énergétique du mouvement d'un point matériel : Mouvement conservatif

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Mécanique 1 (PCSI)/Exercices/Approche énergétique du mouvement d'un point matériel : Mouvement conservatif
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Pendule élastique sur un plan incliné[modifier | modifier le wikicode]

......On considère un pendule élastique reposant sur un plan incliné d'un angle par rapport au plan horizontal tel que le ressort dont il est partiellement composé, supposé idéal [1] et à spires non jointives est disposé de façon à ce que son axe reste toujours parallèle à la ligne de plus grande pente du plan incliné [2] avec son extrémité supérieure fixe par rapport au plan incliné et son extrémité inférieure supportant un solide supposé ponctuel de masse constituant la 2èmepartie du pendule élastique, le contact du solide sur le plan incliné se faisant sans frottement solide ; le ressort est de longueur à vide et de raideur  ;

......l'expérience est réalisée sur Terre dans un champ de pesanteur supposé uniforme et le solide subit de la part de l'air environnant (air supposé immobile par rapport au plan incliné) une force de frottement fluide linéaire est la vitesse de par rapport au plan incliné, une constante positive caractéristique de l'air ainsi que des dimensions et de la forme du solide modélisé en point matériel ;

......on repère le point matériel par son abscisse comptée par rapport à sa position d'équilibre choisie comme origine sur l'axe du ressort, orienté dans le sens descendant, l'axe étant au plan incliné orienté dans le sens ascendant.

Étude énergétique du pendule élastique incliné supposé non amorti (P.E.I.N.A.)[modifier | modifier le wikicode]

......Dans un 1er temps on néglige l'influence de la résistance de l'air sur le pendule.

Détermination de l'énergie potentielle d'oscillation du P.E.I.N.A.[modifier | modifier le wikicode]

......Faire un bilan des forces agissant sur le point matériel du P.E.I.N.A. en distinguant les deux forces conservatives des autres forces non conservatives puis

......définir les deux énergies potentielles dont dérivent les deux forces conservatives en explicitant chacune en fonction, entre autres, de l'abscisse du point , la référence de chacune étant choisie en la position d'équilibre de  ;

......appelant « énergie potentielle d'oscillation de » notée , la somme des deux énergies potentielles précédemment définies, expliciter cette dernière en fonction de et de la raideur du ressort.

Détermination de l'intégrale 1ère énergétique du P.E.I.N.A.[modifier | modifier le wikicode]

......Définir l'énergie mécanique du point matériel du P.E.I.N.A. à l'instant , le point étant en la position d'abscisse avec la vitesse puis,

......après avoir vérifié que le mouvement de est bien « conservatif »,

......expliciter l'intégrale 1ère énergétique du point sachant que ce dernier est lâché avec les C.I. [7] et .

Étude du mouvement de M associé au P.E.I.N.A. par diagramme d'énergies potentielle et mécanique[modifier | modifier le wikicode]

......Tracer le diagramme d'énergies potentielle et mécanique du point matériel associé au P.E.I.N.A. puis

......montrer la nature oscillatoire de son mouvement ainsi que

......montrer sa nature périodique ;

......on explicitera la période propre du P.E.I.N.A. sous forme intégrale et

......on l'évaluera en fonction de la raideur du ressort et de la masse du point matériel .

Propriété du mouvement de M associé au P.E.I.N.A. au passage par la position d'équilibre[modifier | modifier le wikicode]

......Vérifier que la vitesse du point associé au P.E.I.N.A. est de valeur absolue maximale au passage par la position d'équilibre et

......l'évaluer en fonction de la raideur du ressort, de la masse du point matériel et de l'abscisse initiale de ce dernier.

Étude énergétique du pendule élastique incliné amorti (P.E.I.A.)[modifier | modifier le wikicode]

......Dans un 2ème temps on tient compte de la résistance de l'air sur le pendule tout en considérant son influence comme faible on définit la pulsation propre du P.E.I.A. et son cœfficient d'amortissement faible soit .

Conséquence énergétique de la nature non conservative du mouvement de M associé au P.E.I.A.[modifier | modifier le wikicode]

......après avoir vérifié que le mouvement de est bien « non conservatif »,

......appliquer le théorème de la puissance mécanique au point matériel associé au P.E.I.A. et

......en déduire l'évolution de l'énergie mécanique de en fonction du temps à partir des mêmes C.I. [7] et [on ne demande qu'une étude qualitative et non quantitative].

Étude du mouvement de M associé au P.E.I.A. par diagramme d'énergies potentielle et mécanique[modifier | modifier le wikicode]

......Tracer l'allure du diagramme d'énergies potentielle et mécanique du point matériel associé au P.E.I.A. pour justifier le tracé de la courbe d'énergie mécanique on explicitera en fonction de et et on précisera la variation de sa valeur absolue en fonction de l'abscisse commune des points génériques et des courbes d'énergies potentielle et mécanique puis,

......commenter ce diagramme pour en déduire qualitativement le mouvement du point matériel associé au P.E.I.A..

Pendule cycloïdal par traitement énergétique[modifier | modifier le wikicode]

Schéma d'un pendule cycloïdal constitué d'un point matériel M en liaison bilatérale sans frottement sur une cycloïde droite inversée [26] lâché de M0 sans vitesse initiale dans un champ de pesanteur uniforme

......Un point matériel de masse est assujetti à se déplacer dans le plan vertical sur la portion de cycloïde dont les équations paramétriques sont : avec [27] (voir ci-contre).

......À la date , on lâche de , de paramètre angulaire sans vitesse initiale ; il est soumis au champ de pesanteur uniforme et se déplace en liaison bilatérale sans frottement sur la portion de cycloïde.

Intégrale 1ère énergétique du mouvement du point matériel M[modifier | modifier le wikicode]

......Après avoir vérifié que le point matériel est bien « à mouvement conservatif » expliciter l'intégrale 1ère énergétique du mouvement de ce point en fonction, entre autres, de et de sa dérivée temporelle.

Établissement, par diagramme d'énergies potentielle et mécanique du point matériel M, de la nature oscillatoire puis périodique du mouvement de ce dernier et évaluation de sa période ainsi que de la longueur du pendule pesant simple synchrone[modifier | modifier le wikicode]

......Tracer le diagramme d'énergies potentielle et mécanique du point matériel et en déduire :

  • la nature oscillatoire du mouvement de ce dernier ainsi que
  • sa nature périodique ;

......expliciter la période du mouvement du pendule cycloïdal sous forme intégrale puis

......la calculer et

......vérifier qu'il y a « isochronisme des oscillations » du pendule cycloïdal.

......Préciser la longueur du pendule pesant simple à « petites oscillations » [29] qui lui est synchrone.

Mouvement conservatif d'un point matériel sur le demi-axe Ox à profil d'énergie potentielle fixé[modifier | modifier le wikicode]

......Soit un point matériel , de masse , en mouvement conservatif sur le demi-axe , d'abscisse et soumis à une résultante de force dérivant de l'énergie potentielle , et étant des constantes .

Détermination de la nature du mouvement du point matériel par étude de son diagramme d'énergies potentielle et mécanique[modifier | modifier le wikicode]

......Initialement le point matériel étant lâché de d'abscisse avec la vitesse initiale , tracer les diagrammes d'énergies potentielle et mécanique de suivant la valeur de son énergie mécanique initiale ,

......déterminer la position d'équilibre de en explicitant l'abscisse de cette dernière en fonction de et de puis

......préciser à quelle condition sur le mouvement de est oscillatoire autour de cette position d'équilibre.

Allure des portraits de phase possibles du point matériel[modifier | modifier le wikicode]

......Pour faciliter le tracé des portraits de phase du point matériel en correspondance avec celui de ses diagrammes d'énergies potentielle et mécanique, on introduit les grandeurs réduites suivantes :

  • l'abscisse réduite du point matériel ,
  • son énergie mécanique initiale réduite et
  • sa vitesse réduite  ;

......déduire, des diagrammes d'énergies potentielle et mécanique de , les portraits de phase correspondant de sous leur forme réduite [c'est-à-dire avec en abscisse et en ordonnée] pour les valeurs de correspondant à des mouvements de différents puis,

......à l'aide d'un calculateur numérique [44], les tracer sur un même graphique [on pourra faire les tracés pour , , , et .

Notes et références[modifier | modifier le wikicode]

  1. 1,0 1,1 et 1,2 C.-à-d. parfaitement élastique et sans masse.
  2. Pour cela on dispose d'un guide empêchant toute déviation de l'axe, l'action entre le guide et le ressort se faisant en absence de tout frottement solide.
  3. Sur le schéma est représenté mais il pourrait être  ;
    ...il est rappelé qu'il est fortement conseillé de toujours représenter, sur un schéma, les grandeurs algébriques sous leur aspect positif de façon à éviter des erreurs de signe (toujours très fréquentes) consécutives à leur représentation sous leur aspect négatif.
  4. Nous devons supposer, a priori, que pourrait être de même si finalement ces composantes sont égales.
  5. En effet .
  6. C.-à-d. la même expression que le pendule élastique soit horizontal, vertical ou incliné pourvu que soit l'abscisse, sur l'axe du ressort, du point par rapport à sa position d'équilibre et que cette dernière soit la référence de l'énergie potentielle totale.
  7. 7,0 7,1 7,2 7,3 et 7,4 Conditions Initiales.
  8. D'où et .
  9. 9,0 et 9,1 La justification de ces zones interdites étant que doit être [on rappelle la signification de  : « est représenté par (ou représente) »].
  10. 10,0 et 10,1 Les positions d'équilibre d'un point matériel à un degré de liberté soumis à force motrice conservative étant telles qu'elles correspondent à une énergie potentielle stationnaire relativement à la variation de leur variable de position (c'est-à-dire à dérivée nulle par rapport à cette variable) voir le paragraphe « généralisation de la définition de positions d'équilibre d'un P.P.S. à partir de son diagramme d'énergie potentielle à celle de positions d'équilibre d'un point matériel à un degré de liberté … » du chapitre de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) ».
  11. 11,0 11,1 11,2 11,3 11,4 et 11,5 ...La signification de étant « est représenté par (ou représente) » (l'échelle de représentation devant être précisée si une utilisation quantitative est faite, ici ce serait une échelle d'énergie identique à celle utilisée pour les ordonnées du diagramme énergétique).
  12. 12,0 et 12,1 Le choix entre et dépend du sens de variation de la variable de position [ou, ce qui revient au même, du sens de déplacement de et sur et .
  13. 13,0 13,1 et 13,2 Cette expression n'étant définie que si , dans le cas où est égale à la nullité du dénominateur nécessite un numérateur également nul pour assurer une forme indéterminée permettant une valeur de non infinie, correspondant alors à un état stationnaire de (plus précisément l'une ou l'autre des bornes de l'intervalle de variation de pour laquelle la vitesse est effectivement nulle), la levée de la forme indéterminée conduisant à une valeur infiniment petite proportionnelle à .
  14. 14,0 14,1 14,2 14,3 14,4 14,5 14,6 14,7 14,8 et 14,9 Voir le paragraphe « intégrale généralisée d'une fonction continue par morceaux sur un intervalle fermé à l'exception d'au moins une des bornes pour laquelle la fonction diverge » du chapitre de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
  15. La fonction à intégrer étant paire on a .
  16. Voir le paragraphe « fonction inverse de la fonction sinus : fonction arcsinus » du chapitre de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
  17. La détermination de l'équation différentielle du 2ème ordre du P.E.I.N.A. pouvant être obtenue en dérivant l'intégrale 1ère énergétique par rapport au temps avec et , donnant finalement après simplification par non identiquement nulle, ou, en normalisant, soit l'équation différentielle d'un oscillateur harmonique non amorti de pulsation propre et de période propre correspondant effectivement à l'évaluation de la période sous forme intégrale.
  18. Ou encore avec pulsation propre du P.E.I.N.A. …
  19. La puissance développée par est non nulle sauf temporairement aux endroits où le point a une vitesse nulle c'est-à-dire change de sens de mouvement.
  20. D'où [et aussi .
  21. 21,0 et 21,1 Voir le diagramme d'énergies potentielle et mécanique du P.E.I.A. à la question suivante.
  22. En effet la vitesse de y est nulle d'où .
  23. Ces points étant des points d'inflexion pour la courbe d'énergie mécanique .
  24. Comme on peut le vérifier sur le diagramme ce n'est pas au passage par la position d'équilibre.
  25. Voir le paragraphe « réponses transitoires en élongation du P.E.V.A. suivant le cœfficient d'amortissement σ » du chapitre de la leçon « Signaux physiques (PCSI) » le fait que, dans le paragraphe précité, le pendule soit vertical et non incliné n'ayant aucune influence sur le résultat comme on peut le vérifier en déterminant l'équation différentielle du P.E.I.A. à partir de puisque l'énergie mécanique de ce dernier a la même expression que celle du P.E.V.A. du chapitre précité.
  26. 26,0 26,1 et 26,2 Une cycloïde droite, aussi appelée roue d'Aristote ou roulette de Pascal, est la courbe plane, trajectoire d'un point fixé sur un cercle qui roule sans glisser sur une droite (appelée directrice de la cycloïde droite) ; ici la cycloïde droite est dite inversée car sa directrice se trouve au-dessus de la cycloïde.
    Schéma explicatif du paradoxe de la roue d'Aristote : si le cercle bleu roulait sur une droite (violette) il roulerait en glissant

    ...Appeler « roue d'Aristote » une cycloïde est en fait un abus de langage faisant référence

    • d'une part à la construction de cette dernière comme trajectoire d'un point fixé sur un disque de centre , étant , roulant sans glisser sur une droite (la cycloïde étant « droite » si est choisi sur la circonférence du disque) et
    • d'autre part au paradoxe de la « roue d'Aristote » c'est-à-dire une roue de rayon (représentée ci-contre par le cercle rouge) roulant sans glisser sur une route (représentée ci-contre par la droite marron) parcourant une longueur par tour et son moyeu de rayon (représenté ci-contre par le cercle bleu), évidemment solidaire de la roue, parcourant la même longueur par tour soit pourquoi n'a-t-on pas  ? Réponse : si le cercle bleu roulait sur une droite (violette), il roulerait en y glissant …

    ...Aristote (384 av J.C. - 322 av J.C.) philosophe grec de l'Antiquité, il est l'un des rares à avoir abordé presque tous les domaines de connaissance de son temps : la biologie, la physique, la métaphysique, la logique, la poétique, la politique, la rhétorique et même l'économie …
    ...Une cycloïde est encore appelée « roulette de Pascal » par référence au titre de l'ouvrage que Blaise Pascal lui consacra en à savoir le traité de la roulette (signé avec son nom de plume Amos Dettonville) ;
    ...Blaise Pascal (1623 - 1662) mathématicien, physicien, inventeur, philosophe, moraliste et théologien français ; ses premiers travaux contribuèrent à clarifier la notion de pression et de vide mais il est aussi l'inventeur de la 1ère machine à calculer ainsi qu'un mathématicien de premier ordre (il a publié à