Leçons de niveau 14

Mécanique 1 (PCSI)/Exercices/Approche énergétique du mouvement d'un point matériel : Équilibre et stabilité

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Mécanique 1 (PCSI)/Exercices/Approche énergétique du mouvement d'un point matériel : Équilibre et stabilité
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Sommaire

Mouvement d'un anneau en liaison bilatérale sur un guide constitué de deux portions circulaires successives de rayons différents d'un même plan vertical[modifier | modifier le wikicode]

Dispositif permettant le mouvement d'un anneau M sans frottement en liaison bilatérale sur un guide formé de deux parties circulaires de rayons R1 et R2, de centres C1 et C2, dans un même plan vertical

......On considère le dispositif représenté ci-contre où un objet assimilable à un point matériel , de masse , se déplace en liaison bilatérale sur un «~guide~» formé de deux parties circulaires de rayons et , de centres et dans un même plan vertical.

......On repère la position de par son abscisse angulaire ,

  • pour la «~partie », et
  • pour la «~partie »,  ;

......on suppose l'absence de frottement solide de l'anneau sur le guide et on note l'intensité du champ de pesanteur.

Détermination de l'expression de l'énergie potentielle de pesanteur de l'anneau[modifier | modifier le wikicode]

......Exprimer l'énergie potentielle de pesanteur de l'anneau suivant que ce dernier est sur la «~partie » ou sur la «~partie », on choisira la référence de l'énergie potentielle de pesanteur de en la position c.-à-d. en .

Tracé du diagramme d'énergie potentielle de pesanteur de l'anneau[modifier | modifier le wikicode]

......Tracer le diagramme d'énergie potentielle de pesanteur de l'anneau c.-à-d. le graphe de en fonction de sur l'intervalle .

Détermination des positions d'équilibre de l'anneau et étude de leur stabilité[modifier | modifier le wikicode]

......Déterminer les positions angulaires d'équilibre de l'anneau et

......étudier leur stabilité.

Étude du mouvement de l'anneau lancé à partir de A avec une vitesse initiale[modifier | modifier le wikicode]

......L'anneau, initialement en , c.-à-d. en , est lancé avec un vecteur vitesse dans le sens trigonométrique.

......Comment peut-on qualifier le mouvement de l'anneau compte-tenu de l'absence de frottement solide ?

......En déduire l'intégrale 1ère énergétique du mouvement de .

......À quelle condition sur la norme de la vitesse initiale , l'anneau peut-il dépasser la position d'abscisse angulaire  ?

......Cette condition étant remplie, donner l'expression de la norme de la vitesse de l'anneau en en fonction des données du problème.

......À quelle condition sur , l'anneau atteint-il le bout du guide en c.-à-d. en  ?

Étude des équilibres d'un pendule élastique initialement vertical à extrémités supérieure fixe et inférieure pouvant se déplacer transversalement sur une tige horizontale suivie de l'étude de ses variantes[modifier | modifier le wikicode]

Schéma d'un pendule élastique initialement vertical à extrémités supérieure R fixe et inférieure reliée à un objet ponctuel M de masse m pouvant se déplacer sans frottement sur une tige horizontale

......L'objet de cet exercice consiste à étudier les oscillations d'un système mécanique au voisinage d'une bifurcation c.-à-d. un changement du nombre de positions d'équilibre, de la position d'équilibre stable ou autres changements consécutifs à une variation d'un paramètre caractérisant les équilibres du système mécanique .

......On s'intéresse au système mécanique suivant : un objet assimilé à un point matériel , de masse , est fixé à l'extrémité inférieure d'un ressort idéal [3], à spires non jointives [4], de longueur à vide et de constante de raideur , dont l'extrémité supérieure est fixée en un point .

......L'objet peut coulisser sans frottement horizontalement sur une tige [5] (voir la figure ci-contre).

......On repère la position du point sur cette tige par son abscisse sur l'axe confondu avec la tige dont l'origine est située sur la même verticale que le point d’attache fixe du ressort, cet axe horizontal étant orienté arbitrairement vers la droite, l'axe vertical l'étant vers le haut.

......La tige se trouve à une distance du point c.-à-d. .

Recherche des positions d'équilibre[modifier | modifier le wikicode]

......On recherche les positions d'équilibre ainsi que leur stabilité suivant le paramètre dont on fera varier la valeur.

Détermination qualitative du nombre de positions d'équilibre et de la stabilité de celles-ci (détermination graphique) quand λ varie à partir de sa valeur initiale lv[modifier | modifier le wikicode]

......Initialement le point matériel se trouve en et .

......Décrire qualitativement (aucun calcul n'est demandé) le nombre de positions d'équilibre et graphiquement la stabilité de celles-ci suivant qu'on

  • rapproche la tige du point c.-à-d. que à partir de ou
  • éloigne la tige du point c.-à-d. que à partir de .

Détermination de l'expression de l'énergie potentielle élastique de l'objet M pour λ quelconque[modifier | modifier le wikicode]

......On considère maintenant quelconque.

......Déterminer l'expression de l'énergie potentielle élastique de l'objet en fonction de , , et en choisissant sa référence en .

Tracé des deux types principaux de profils d'énergie potentielle élastique de l'objet M suivant les valeurs de λ quelconque[modifier | modifier le wikicode]

......Vérifier que l'allure des diagrammes d'énergie potentielle élastique de l'objet diffère suivant que et

......représenter chaque type de profil d'énergie potentielle élastique pour tracer un profil associé à et celui à .

Détermination algébrique des abscisses d'équilibre xéq de M et vérification de leur stabilité (de façon algébrique) suivant les valeurs de λ quelconque[modifier | modifier le wikicode]

......Déterminer les abscisses des positions d'équilibre de l'objet en distinguant les deux cas et

......préciser, dans chaque cas, si la position d’équilibre est stable ou non.

Représentation des abscisses d'équilibre xéq de M en fonction du paramètre λ avec précision de leur stabilité, notion de bifurcation fourche[modifier | modifier le wikicode]

......Représenter, sur un même diagramme, les abscisses d'équilibre de l'objet en fonction du paramètre caractérisant le système, on indiquera nettement sur ce graphe par exemple à l'aide de couleurs différentes la nature de l'équilibre stabilité ou instabilité.

......Tenter alors de justifier le nom donné à la bifurcation observée en «~bifurcation fourche~».

Bifurcation à symétrie brisée[modifier | modifier le wikicode]

......On dit également de cette bifurcation qu'elle est «~à symétrie brisée~» ; tenter de justifier cette propriété.

Étude de deux variantes du système[modifier | modifier le wikicode]

Introduction d'un 2ème ressort idéal positionné symétriquement au 1er relativement à la tige horizontale[modifier | modifier le wikicode]

......Le point matériel est également relié à un 2ème ressort idéal [3] identique au 1er, fixé lui aussi sur l'axe à une distance de la tige mais symétriquement à par rapport à l'axe .

......Préciser, succinctement, les modifications entraînées par la présence de ce 2ème ressort par rapport à l'étude précédente.

Légère inclinaison de la tige relativement à l'horizontale[modifier | modifier le wikicode]

......Le point matériel n'est de nouveau attaché qu'à un seul ressort, mais la tige, et donc aussi son axe , ne sont plus tout à fait horizontaux : ils sont inclinés par rapport à l'horizontale d'un petit angle obtenu en faisant tourner légèrement par rapport à non déplacé, la distance orthogonale du point à la tige étant notée , l'origine de l'axe de la tige étant maintenant choisie en projeté orthogonal de sur la tige d'où [19] et l'abscisse du point matériel notée [20].

......Corriger l'expression de l'énergie potentielle de l'objet en tenant compte de son énergie potentielle de pesanteur son énergie potentielle élastique étant inchangée à condition de substituer à ainsi que à , sa référence étant choisie en , on notera l'énergie potentielle corrigée de avec référence en .

......Tracer l'allure du profil d'énergie potentielle de l'objet en fonction de dans le cas où .

......Quelle est la conséquence principale sur les positions d'équilibre dans ce cas ?

Notes et références[modifier | modifier le wikicode]

  1. L'énergie potentielle en la position est encore appelée «~barrière d'énergie potentielle~», cette notion sera introduite au chap. «~approche énergétique du mouvement d'un point matériel : barrière d'énergie potentielle~» de la leçon «~Mécanique 1 (PCSI)~», mais il n'est pas nécessaire de connaître cette terminologie pour résoudre cette question
  2. Conditions initiales.
  3. 3,0 3,1 3,2 3,3 3,4 et 3,5 C.-à-d. parfaitement élastique(s) et sans masse.
  4. Ce qui a pour conséquence que le ressort peut aussi travailler à la compression pourvu qu'il reste dans le domaine d'élasticité de ce dernier.
  5. L'objet est donc en liaison bilatérale avec la tige.
  6. 6,0 6,1 et 6,2 C.-à-d. la composante pouvant modifier le mouvement du point et donc à considérer pour la recherche des positions d'équilibre de ce dernier.
  7. Les trois composantes verticales se compensant naturellement en absence de mouvement selon cette direction à savoir .
  8. On rappelle la loi de Hooke liant l'allongement du ressort et la tension que ce dernier exerce sur le point , avec l'autre extrémité du ressort, avec , la nullité de l'allongement du ressort ayant pour conséquence la nullité de la tension exercée voir le paragraphe «~cause de déséquilibre, loi de Hooke~» du chap. de la leçon «~Signaux physiques (PCSI)~» ;
    ... Robert Hooke (1635 - 1703) est l'un des plus grands scientifiques expérimentaux anglais du XVIIe siècle ayant contribué à l'avancement des sciences et techniques dans pratiquement tous les domaines.
  9. En effet étant ne peut prendre pour valeur que si son minimum est à d'après le théorème des valeurs intermédiaires, la fonction étant continue et le maximum de cette dernière étant théoriquement infini.
    ...Le théorème des valeurs intermédiaires peut être énoncé selon «~pour toute application continue et tout réel compris entre et , il existe au moins un réel compris entre et tel que » ;
    ...son cas particulier connu sous le nom de théorème de Bolzano s'énonce selon «~pour toute application continue telle que le produit est , il existe au moins un réel compris entre et tel que » ;
    ...dans les deux théorèmes si l'application continue est strictement monotone, elle est donc injective et il y a unicité de la valeur de  ;
    ...Bernhard Placidus Johann Nepomuk Bolzano (1781 - 1848) ou plus simplement Bernard Bolzano est un mathématicien, logicien, philosophe et théologien allemand né, ayant vécu et mort en ce qui est maintenant la Tchéquie, à qui on doit en mathématiques deux théorèmes dont celui des valeurs intermédiaires dont un cas particulier porte son nom et un autre connu sous le nom de théorème de Balzano-Weierstrass en topologie des espaces métriques dont une démonstration plus rigoureuse fut établie par Karl Theodor Wilhelm Weierstrass (1815 - 1897) mathématicien allemand considéré comme le père de l'analyse moderne, ses travaux les plus connus portent sur les fonctions elliptiques on lui doit aussi la création d'une fonction connue de nos jours sous le nom de fonction de Weierstrass continue partout et dérivable nulle part.
  10. Plus précisément l'allongement algébrique et donc la tension du ressort étant nul(le) en ou , le déplacement de vers la droite de ou vers la gauche de étire le ressort d'où le sens de vers le point d'attache du ressort c'est ce cas qui a été représenté sur les deux figures alors que le déplacement de vers la gauche de ou vers la droite de comprime le ressort d'où le sens de vers le point cas non représenté, les vecteurs tensions de ressort y seraient de sens contraire à ceux représentés.
  11. Pour nous sommes dans le cas de la figure