Mécanique 1 (PCSI)/Exercices/Approche énergétique du mouvement d'un point matériel : Équilibre et stabilité

Leçons de niveau 14
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Mécanique 1 (PCSI)/Exercices/Approche énergétique du mouvement d'un point matériel : Équilibre et stabilité
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Mouvement d'un anneau en liaison bilatérale sur un guide constitué de deux portions circulaires successives de rayons différents d'un même plan vertical[modifier | modifier le wikicode]

Dispositif permettant le mouvement d'un anneau sans frottement en liaison bilatérale sur un guide formé de deux parties circulaires de rayons et , de centres et , dans un même plan vertical

     On considère le dispositif représenté ci-contre où un objet assimilable à un point matériel , de masse , se déplace en liaison bilatérale sur un « guide » formé de deux parties circulaires de rayons et , de centres et dans un même plan vertical.

     On repère la position de par son abscisse angulaire ,

  • pour la « partie », et
  • pour la « partie »,  ;

     on suppose l'absence de frottement solide de l'anneau sur le guide et
     on note l'intensité du champ de pesanteur.

Détermination de l'expression de l'énergie potentielle de pesanteur de l'anneau[modifier | modifier le wikicode]

     Exprimer l'énergie potentielle de pesanteur de l'anneau suivant que ce dernier est sur la « partie » ou
     Exprimer l'énergie potentielle de pesanteur de l'anneau suivant que ce dernier est sur la « partie »,
     Exprimer l'énergie potentielle de pesanteur on choisira la référence de en la position c.-à-d. en .

Tracé du diagramme d'énergie potentielle de pesanteur de l'anneau[modifier | modifier le wikicode]

     Tracer le diagramme d'énergie potentielle de pesanteur de l'anneau dans le cas particulier on fera toutefois les commentaires sur le tracé dans le cas général,
     Tracer le diagramme d'énergie potentielle de pesanteur de l'anneau c.-à-d. le graphe de en fonction de sur l'intervalle .

Détermination des positions d'équilibre de l'anneau et étude de leur stabilité[modifier | modifier le wikicode]

     Déterminer les positions angulaires d'équilibre de l'anneau et

     étudier leur stabilité.

Étude du mouvement de l'anneau lancé à partir de A avec une vitesse initiale[modifier | modifier le wikicode]

     L'anneau, initialement en , c.-à-d. en , est lancé avec un vecteur vitesse dans le sens trigonométrique.

     Comment peut-on qualifier le mouvement de l'anneau compte-tenu de l'absence de frottement solide ?

     En déduire l'intégrale 1ère énergétique du mouvement de .

     À quelle condition sur la norme de la vitesse initiale , l'anneau peut-il dépasser la position d'abscisse angulaire  ?

     Cette condition étant remplie, donner l'expression de la norme de la vitesse de l'anneau en en fonction des données du problème.

     À quelle condition sur , l'anneau atteint-il le bout du guide en c.-à-d. en  ?

Étude des équilibres d'un pendule élastique initialement vertical à extrémités supérieure fixe et inférieure pouvant se déplacer transversalement sur une tige horizontale suivie de l'étude de ses variantes[modifier | modifier le wikicode]

Schéma d'un pendule élastique initialement vertical à extrémités supérieure fixe et inférieure reliée à un objet ponctuel de masse pouvant se déplacer sans frottement sur une tige horizontale

     L'objet de cet exercice consiste à étudier les oscillations d'un système mécanique au voisinage d'une bifurcation c.-à-d. un changement du nombre de positions d'équilibre, de la position d'équilibre stable ou autres changements consécutifs à une variation d'un paramètre caractérisant les équilibres du système mécanique .

     On s'intéresse au système mécanique suivant : un objet assimilé à un point matériel , de masse , est fixé à l'extrémité inférieure d'un ressort idéal [7], à spires non jointives [8], de longueur à vide et de constante de raideur , dont l'extrémité supérieure est fixée en un point .

     L'objet peut coulisser sans frottement horizontalement sur une tige [9] voir la figure ci-contre.

     On repère la position du point sur cette tige par son abscisse sur l'axe confondu avec la tige dont l'origine est située sur la même verticale que le point d’attache fixe du ressort, cet axe horizontal étant orienté arbitrairement vers la droite, l'axe vertical l'étant vers le haut.

     La tige se trouve à une distance du point c.-à-d. .

Recherche des positions d'équilibre[modifier | modifier le wikicode]

     On recherche les positions d'équilibre ainsi que leur stabilité suivant le paramètre dont on fera varier la valeur.

Détermination qualitative du nombre de positions d'équilibre et de la stabilité de celles-ci (détermination graphique) quand λ varie à partir de sa valeur initiale lv[modifier | modifier le wikicode]

     Initialement le point matériel se trouve en et .

     Décrire qualitativement aucun calcul n'est demandé le nombre de positions d'équilibre et
     Décrire graphiquement la stabilité de celles-ci suivant qu'on rapproche la tige du point c.-à-d. que à partir de ou
     Décrire graphiquement la stabilité de celles-ci suivant qu'on éloigne la tige du point c.-à-d. que à partir de .

Détermination de l'expression de l'énergie potentielle élastique de l'objet M pour λ quelconque[modifier | modifier le wikicode]

     On considère maintenant quelconque.

     Déterminer l'expression de l'énergie potentielle élastique de l'objet en fonction de , , et en choisissant sa référence en .

Tracé des deux types principaux de profils d'énergie potentielle élastique de l'objet M suivant les valeurs de λ quelconque[modifier | modifier le wikicode]

     Vérifier que l'allure des diagrammes d'énergie potentielle élastique de l'objet diffère suivant que et

     représenter chaque type de profil d'énergie potentielle élastique pour tracer un profil associé à et celui associé à .

Détermination algébrique des abscisses d'équilibre xéq de M et vérification de leur stabilité (de façon algébrique) suivant les valeurs de λ quelconque[modifier | modifier le wikicode]

     Déterminer les abscisses des positions d'équilibre de l'objet en distinguant les deux cas et

     préciser, dans chaque cas, si la position d’équilibre est stable ou non.

Représentation des abscisses d'équilibre xéq de M en fonction du paramètre λ avec précision de leur stabilité, notion de bifurcation fourche[modifier | modifier le wikicode]

     Représenter, sur un même diagramme, les abscisses d'équilibre de l'objet en fonction du paramètre caractérisant le système,
     Représenter, sur un même diagramme, on indiquera nettement sur ce graphe par exemple à l'aide de couleurs différentes la nature de l'équilibre stabilité ou instabilité.

     Tenter alors de justifier le nom donné à la bifurcation observée en « bifurcation fourche ».

Bifurcation à symétrie brisée[modifier | modifier le wikicode]

     On dit également de cette bifurcation qu'elle est « à symétrie brisée » ; tenter de justifier cette propriété.

Étude de deux variantes du système[modifier | modifier le wikicode]

Introduction d'un 2ème ressort idéal positionné symétriquement au 1er relativement à la tige horizontale[modifier | modifier le wikicode]

     Le point matériel est également relié à un 2ème ressort idéal [7] identique au 1er, fixé lui aussi sur l'axe à une distance de la tige mais symétriquement à par rapport à l'axe .

     Préciser, succinctement, les modifications entraînées par la présence de ce 2ème ressort par rapport à l'étude précédente.

Légère inclinaison de la tige relativement à l'horizontale[modifier | modifier le wikicode]

     Le point matériel n'est de nouveau attaché qu'à un seul ressort idéal [7], mais la tige, et donc aussi son axe , ne sont plus tout à fait horizontaux :
         Le point matériel n'est de nouveau attaché qu'à un seul ressort idéal, ils sont inclinés par rapport à l'horizontale d'un petit angle obtenu en faisant tourner par rapport à non déplacé,
         Le point matériel n'est de nouveau attaché qu'à un seul ressort idéal, la distance orthogonale du point à la tige étant notée ,
         Le point matériel n'est de nouveau attaché qu'à un seul ressort idéal, l'origine de l'axe de la tige étant maintenant choisie en projeté orthogonal de sur la tige d'où [26] et
         Le point matériel n'est de nouveau attaché qu'à un seul ressort idéal, l'abscisse du point matériel notée [27].

     Corriger l'expression de l'énergie potentielle de l'objet en tenant compte de son énergie potentielle de pesanteur
    Corriger l'expression de l'énergie potentielle de l'objet son énergie potentielle élastique étant inchangée à condition de substituer à ainsi que à , sa référence étant choisie en ,
     Corriger l'expression de l'énergie potentielle de l'objet on notera l'énergie potentielle corrigée de avec référence en .

     Tracer l'allure du profil d'énergie potentielle de l'objet en fonction de dans le cas où .

     Quelle est la conséquence principale sur les positions d'équilibre dans ce cas ?

Notes et références[modifier | modifier le wikicode]

  1. Voir le paragraphe « énergie potentielle de pesanteur d'un point matériel (dans le champ de pesanteur terrestre uniforme) » du chap. de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) ».
  2. 2,0 2,1 et 2,2 Commentaires sur le tracé dans le cas général.
  3. Voir le paragraphe « cas d'une force motrice s'appliquant tangentiellement à la trajectoire circulaire de rayon R décrite par le point subissant la force » du chap. de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » généralisant la définition des positions d'équilibre d'un P.P.S. à partir de son profil énergétique.
  4. 4,0 et 4,1 Voir le paragraphe « résultats fondamentaux concernant la stabilité (ou l'instabilité) d'un équilibre de point matériel à un degré de liberté en termes de profil d'énergie potentielle » du chap. de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) ».
  5. 5,0 et 5,1 L'énergie potentielle maximale est encore appelée « barrière d'énergie potentielle », cette notion sera introduite au chap. « approche énergétique du mouvement d'un point matériel : barrière d'énergie potentielle » de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) », mais il n'est pas nécessaire de connaître cette terminologie pour résoudre cette question
  6. Conditions initiales.
  7. 7,0 7,1 7,2 7,3 7,4 7,5 et 7,6 C.-à-d. parfaitement élastique et sans masse.
  8. Ce qui a pour conséquence que le ressort peut aussi travailler à la compression pourvu qu'il reste dans le domaine d'élasticité de ce dernier.
  9. L'objet est donc en liaison bilatérale avec la tige.
  10. 10,0 10,1 et 10,2 C.-à-d. la composante pouvant modifier le mouvement du point et donc à considérer pour la recherche des positions d'équilibre de ce dernier.
  11. Les trois composantes verticales se compensant naturellement en absence de mouvement selon cette direction à savoir .
  12. On rappelle la loi de Hooke liant l'allongement du ressort et la tension que ce dernier exerce sur le point , avec l'autre extrémité du ressort, avec , la nullité de l'allongement du ressort ayant pour conséquence la nullité de la tension exercée voir le paragraphe « cause de déséquilibre, loi de Hooke » du chap. de la leçon « Signaux physiques (PCSI) » ;
       Robert Hooke (1635 - 1703) est l'un des plus grands scientifiques expérimentaux anglais du XVIIème siècle ayant contribué à l'avancement des sciences et techniques dans pratiquement tous les domaines.
  13. En effet étant ne peut prendre pour valeur que si son minimum est à d'après le théorème des valeurs intermédiaires, la fonction étant continue et le maximum de cette dernière étant théoriquement infini.
       Le théorème des valeurs intermédiaires peut être énoncé selon « pour toute application continue et tout réel compris entre et , il existe au moins un réel compris entre et tel que » ;
       son cas particulier connu sous le nom de théorème de Bolzano s'énonce selon « pour toute application continue telle que le produit est , il existe au moins un réel compris entre et tel que » ;
       dans les deux théorèmes si l'application continue est strictement monotone, elle est donc injective et il y a unicité de la valeur de  ;
       Bernhard Placidus Johann Nepomuk Bolzano (1781 - 1848) ou plus simplement Bernard Bolzano est un mathématicien, logicien, philosophe et théologien allemand né, ayant vécu et mort en ce qui est maintenant la Tchéquie, à qui on doit en mathématiques deux théorèmes dont celui des valeurs intermédiaires dont un cas particulier porte son nom et un autre connu sous le nom de théorème de Bolzano-Weierstrass en topologie des espaces métriques dont une démonstration plus rigoureuse fut établie par Karl Theodor Wilhelm Weierstrass (1815 - 1897) mathématicien allemand considéré comme le père de l'analyse moderne, ses travaux les plus connus portent sur les fonctions elliptiques on lui doit aussi la création d'une fonction connue de nos jours sous le nom de fonction de Weierstrass continue partout et dérivable nulle part.
  14. Plus précisément l'allongement algébrique et donc la tension du ressort étant nul(le) en ou , le déplacement de vers la droite de ou vers la gauche de étire le ressort d'où le sens de vers le point d'attache du ressort c'est ce cas qui a été représenté sur les deux figures alors que le déplacement de vers la gauche de ou vers la droite de comprime le ressort d'où le sens de vers le point cas non représenté, les vecteurs tensions de ressort y seraient de sens contraire à ceux représentés.
  15. Pour nous sommes dans le cas de la figure avec une seule position d'équilibre stable en  ;
       pour les deux positions d'équilibre stables et tendent toutes deux vers la 3ème position d'équilibre supprimant l'instabilité de cette dernière.
  16. Voir le paragraphe « énergie potentielle élastique d'un point matériel » du chap. de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) ».
  17. Voir le paragraphe « 2ème définition (équivalente) de l'énergie potentielle d'un point matériel dans un champ de force conservative » du chap. de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) ».
  18. C.-à-d. les valeurs de stationnarité de correspondant ici à des maxima ou des minima.
  19. En effet l'énergie potentielle élastique étant une fonction paire de et les abscisses des positions d'équilibres stables étant opposées, ses valeurs y sont les mêmes.
  20. 20,0 et 20,1 Car ne s'annule que pour les positions d'équilibre.
  21. La composante motrice étant de rappel c.-à-d. pour , et
       La composante motrice étant de rappel c.-à-d. pour , .
  22. 22,0 22,1 22,2 et 22,3 Voir le paragraphe « cas d'une force motrice unidirectionnelle selon l'axe x'x (résumé de l'étude) » de détermination de la stabilité d'un équilibre en termes de force du chap. de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) ».
  23. On rappelle que doit être à pour que ces équilibres existent.
  24. Voir la solution de la question « détermination qualitative du nombre de positions d'équilibre et de la stabilité de celles-ci (détermination graphique) quand λ varie à partir de sa valeur initiale lv » plus haut dans cet exercice.
  25. La seule modification étant la valeur de l'énergie potentielle élastique qui est remplacée par .
  26. Et .
  27. 27,0 27,1 et 27,2 Son lien avec l'abscisse mesurée à partir de étant .
  28. 28,0 et 28,1 Les trois composantes à la tige à savoir , et se compensant naturellement en absence de mouvement selon cette direction c.-à-d. .
  29. Voir le paragraphe « énergie potentielle de pesanteur d'un point matériel (dans le champ de pesanteur terrestre uniforme) » du chap. de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) ».
  30. Voir la solution de la question « détermination algébrique des abscisses d'équilibre xéq de M et vérification de leur stabilité (de façon algébrique) suivant les valeurs de λ quelconque » plus haut dans l'exercice sans oublier de substituer à et à .
  31. Représentant aussi la nullité de la résultante des composantes « motrices » à l'équilibre car d'une part et d'autre part .
  32. 32,0 et 32,1 Cette équation «» dans le cas de la tige inclinée remplaçant celle dans le cas de la tige horizontale « » voir la solution de la question « détermination algébrique des abscisses d'équilibre xéq de M et vérification de leur stabilité (de façon algébrique) suivant les valeurs de λ quelconque » plus haut dans cet exercice.
  33. 33,0 33,1 et 33,2 En effet, dans le cas de la tige horizontale, l'équation a pour solutions, dans le cas , ainsi que de même valeur absolue , voir la solution de la question « détermination algébrique des abscisses d'équilibre xéq de M et vérification de leur stabilité (de façon algébrique) suivant les valeurs de λ quelconque » plus haut dans cet exercice.
  34. 34,0 et 34,1 Voir le paragraphe « infiniment petits d'ordre successif » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
  35. En effet le 2nd membre étant un infiniment petit d'ordre un ainsi que le 1er facteur du produit du 1er membre et cherchant à déterminer un développement limité à l'ordre un de ce 1er facteur, il suffit de développer le 2ème facteur du produit du 1er membre en le limitant à l'ordre zéro voir le paragraphe « déterminer le développement limité à l'ordre n d'un produit de deux fonctions dont le développement limité d'une des fonctions à pour terme prépondérant un infiniment petit d'ordre p » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » appliqué dans le cas et .
  36. En effet d'une part car et
       En effet d'autre part résultant de la dérivation de voir la note « 30 » plus haut dans l'exercice relativement à soit
       En effet finalement dont nous déduisons soit, en se limitant à l'ordre un en , «», ce qui, avec , caractérise un maximum nous trouvions dans le cas de la tige horizontale, voir la solution de la question « détermination algébrique des abscisses d'équilibre xéq de M et vérification de leur stabilité (de façon algébrique) suivant les valeurs de λ quelconque » on rappelle que plus haut dans l'exercice.
  37. En effet à l'ordre un en ce qui entraîne au même ordre un et par suite à l'ordre un en c'est donc un infiniment petit d'ordre et cette dernière énergie étant un infiniment petit d'ordre un soit finalement à l'ordre un en .
  38. Ceci résultant de la réécriture de l'équation de détermination de en , le facteur de même ordre que le 2nd membre étant maintenant le 2ème facteur entre crochets.
  39. Ces solutions remplaçant celles qui étaient obtenues dans le cas d'une tige horizontale avec c.-à-d. encore .
  40. En effet l'équation de détermination de étant « dans la mesure où est ».
  41. Le 2ème facteur du 1er membre ainsi que le 2ème membre étant tous deux on rappelle que est choisi .
  42. 42,0 et 42,1 Voir le paragraphe « déterminer le D.L. à l'ordre n d'un produit de deux fonctions dont le D.L. d'une des fonctions a pour terme prépondérant un infiniment petit d'ordre p (appliqué au cas où n = p = 1) » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
  43. 43,0 43,1 43,2 et 43,3 Développement Limité.
  44. 44,0 44,1 44,2 et 44,3 Utilisation du D.L. à l'ordre un et au voisinage de zéro de avec voir le paragraphe « D.L. à l'ordre un de quelques fonctions usuelles » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
  45. 45,0 et 45,1 Les positions d'équilibre stable dans le cas d'un ressort initialement comprimé et une tige horizontale étaient et voir la solution de la question « détermination qualitative du nombre de positions d'équilibre et de la stabilité de celles-ci (détermination graphique) quand λ varie à partir de sa valeur initiale lv » plus haut dans l'exercice.
  46. En effet d'une part car et
       En effet d'autre part résultant de la dérivation de voir la note « 30 » plus haut dans l'exercice relativement à soit
       En effet finalement dont nous déduisons soit, avec à l'ordre un à l'ordre un, ou, après développement du 2nd membre, à l'ordre un, soit, après factorisation par le terme prépondérant et simplification du nouveau terme d'ordre un, à l'ordre un à l'ordre un par utilisation du D.L. à l'ordre un et au voisinage de zéro de avec , voir le paragraphe « D.L. à l'ordre un de quelques fonctions usuelles » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » avec d'où à l'ordre un, ou, en développant puis en factorisant par le terme prépondérant d'ordre zéro, à l'ordre un ;
       nous en déduisons «», le terme prépondérant d'ordre zéro étant , ce qui, avec , caractérise un minimum nous trouvions dans le cas de la tige horizontale, voir la solution de la question « détermination algébrique des abscisses d'équilibre xéq de M et vérification de leur stabilité (de façon algébrique) suivant les valeurs de λ quelconque » on rappelle que plus haut dans l'exercice.
  47. En effet avec à l'ordre un commun d'où à l'ordre un commun à l'ordre un commun par utilisation du D.L. à l'ordre un et au voisinage de zéro de avec , voir le paragraphe « D.L. à l'ordre un de quelques fonctions usuelles » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » avec « est un infiniment petit d'ordre un » et par suite, « le 1er terme de , à savoir , étant un infiniment petit d'ordre deux est nul à l'ordre un » soit finalement « à l'ordre un commun ».
  48. C.-à-d. l'énergie potentielle élastique de dans sa position d'équilibre stable de droite repérée par pour la tige horizontale dans le cas où est à , voir la solution de la question « détermination algébrique des abscisses d'équilibre xéq de M et vérification de leur stabilité (de façon algébrique) suivant les valeurs de λ quelconque ».
  49. Le 2er facteur du 1er membre ainsi que le 2ème membre étant tous deux on rappelle que est choisi .
  50. En effet d'une part car et
       En effet d'autre part résultant de la dérivation de voir la note « 30 » plus haut dans l'exercice relativement à soit
       En effet finalement dont nous déduisons soit, avec à l'ordre un à l'ordre un, ou, après développement du 2nd membre, à l'ordre un, soit, après factorisation par le terme prépondérant et simplification du nouveau terme d'ordre un, à l'ordre un à l'ordre un par utilisation du D.L. à l'ordre un et au voisinage de zéro de avec , voir le paragraphe « D.L. à l'ordre un de quelques fonctions usuelles » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » avec d'où à l'ordre un, ou, en développant puis en factorisant par le terme prépondérant d'ordre zéro, à l'ordre un ;
       nous en déduisons «», le terme prépondérant d'ordre zéro étant , ce qui, avec , caractérise un minimum nous trouvions dans le cas de la tige horizontale, voir la solution de la question « détermination algébrique des abscisses d'équilibre xéq de M et vérification de leur stabilité (de façon algébrique) suivant les valeurs de λ quelconque » on rappelle que plus haut dans l'exercice.
  51. En effet avec à l'ordre un commun d'où à l'ordre un commun à l'ordre un commun par utilisation du D.L. à l'ordre un et au voisinage de zéro de avec , voir le paragraphe « D.L. à l'ordre un de quelques fonctions usuelles » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » avec « est un infiniment petit d'ordre un » et par suite, « le 1er terme de , à savoir , étant un infiniment petit d'ordre deux est nul à l'ordre un » soit finalement « à l'ordre un commun ».
  52. C.-à-d. l'énergie potentielle élastique de dans sa position d'équilibre stable de gauche repérée par pour la tige horizontale dans le cas où est à , voir la solution de la question « détermination algébrique des abscisses d'équilibre xéq de M et vérification de leur stabilité (de façon algébrique) suivant les valeurs de λ quelconque ».
  53. On rappelle que la 3ème force, la réaction de la tige, n'a aucune composante le long de la tige
  54. Plus précisément la composante du poids le long de la tige étant , celle de la tension du ressort dont la compression reste approximativement et dont l'inclinaison relativement à la à la tige est supposée s'écrit d'où la condition d'équilibre dont on déduit  ;
       on vérifie l'instabilité de cet équilibre car, quand à partir de , la composante l'emporte continue de et
       on vérifie l'instabilité de cet équilibre car, quand à partir de , la composante l'emporte continue de .
  55. Plus précisément la composante du poids le long de la tige étant , celle de la tension du ressort dont l'inclinaison relativement à la à la tige reste approximativement égale à supposée et dont l'allongement algébrique, à l'aide de l'écart relativement à l'abscisse de la position d'équilibre stable de droite du pendule à tige horizontale à un ordre un, s'évalue selon en négligeant soit encore à l'ordre un on rappelle le D.L. à l'ordre un de avec , voir le paragraphe « D.L. à l'ordre un de quelques fonctions usuelles » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) », celle de la tension du ressort s'écrit donc d'où la condition d'équilibre dont on déduit  ;
       on vérifie la stabilité de cet équilibre car, quand à partir de , la composante l'emporte en effet l'autre composante s'écrit car est à et
       on vérifie la stabilité de cet équilibre car, quand à partir de , la composante l'emporte .
  56. Plus précisément la composante du poids le long de la tige étant , celle de la tension du ressort dont l'inclinaison relativement à la à la tige reste approximativement égale à de valeur absolue supposée et dont l'allongement algébrique, à l'aide de l'écart relativement à l'abscisse de la position d'équilibre stable de gauche du pendule à tige horizontale à un ordre un, s'évalue selon en négligeant soit encore à l'ordre un utilisant le D.L. à l'ordre un de , , voir le paragraphe « D.L. à l'ordre un de quelques fonctions usuelles » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) », d'où celle de la tension du ressort la condition d'équilibre dont on déduit  ;
       on vérifie la stabilité de cet équilibre car, quand à partir de , la composante l'emporte en effet l'autre composante s'écrit car d'où ce qui a pour conséquence que et
       on vérifie la stabilité de cet équilibre car, quand à partir de , la composante l'emporte en effet ce qui a pour conséquence que .