Mécanique 1 (PCSI)/Exercices/Approche énergétique du mouvement d'un point matériel : Énergie potentielle et énergie mécanique

Quand l'utilisation d'un théorème énergétique s'avérera nécessaire on choisira le théorème de la variation de l'énergie mécanique ou la forme locale associée.

Glissement sans frottement sur une hélice

     Soit un point matériel glissant sans frottement sur une hélice $\;{\big (}$circulaire${\big )}\;$ dont les équations cylindro-polaires sont «$\;\left\lbrace {\begin{array}{l}\rho =a\\z=h\,\theta \end{array}}\right\rbrace \;$», avec $\;{\vec {u}}_{z}\;$ unitaire vertical $\;\uparrow \;$ et
             Soit un point matériel glissant sans frottement sur une hélice $\;\color {transparent}{\big (}$circulaire$\color {transparent}{\big )}\;$ dont les équations cylindro-polaires sont «$\;\color {transparent}{\left\lbrace z=h\,\theta \right\rbrace }\;$», avec les angles des plans horizontaux $\;z=cste\;$
              Soit un point matériel glissant sans frottement sur une hélice $\;\color {transparent}{\big (}$circulaire$\color {transparent}{\big )}\;$ dont les équations cylindro-polaires sont «$\;\color {transparent}{\left\lbrace z=h\,\theta \right\rbrace }\;$», avec les angles des plans horizontaux orientés par $\;{\vec {u}}_{z}$
           Soit un point matériel glissant sans frottement sur une hélice $\;\color {transparent}{\big (}$circulaire$\color {transparent}{\big )}\;$ dont les équations cylindro-polaires sont «$\;\color {transparent}{\left\lbrace z=h\,\theta \right\rbrace }\;$», ${\big [}$cette hélice circulaire est dite « droite $\;{\big (}$ou dextre${\big )}\;$» ${\big ]}$.

     À $\;t=0$, le point $\;{\big (}$en liaison bilatérale${\big )}\;$ est lâché sans vitesse initiale d'une cote $\;H=2\,\pi \,h\;$ et subit l'action d'un champ de pesanteur $\;{\vec {g}}\;$ uniforme.

     Déterminer la durée $\;\tau \;$ mis par le point pour effectuer un tour en fonction de $\;a$, $\;h\;$ et $\;g=\Vert {\vec {g}}\Vert \;$.

Solution

Schéma d'une hélice $\;{\big (}$circulaire${\big )}\;$ droite sur laquelle un point $\;M\;$ lâché sans vitesse initiale d'une position $\;A\;$ glisse sans frottement sous l'action d'un champ de pesanteur uniforme anti-colinéaire à l'axe du cylindre sur laquelle l'hélice est tracée, avec représentation de la base locale de Frenet liée au point $\;M$, le sens du vecteur unitaire tangentiel étant choisi dans le sens du mouvement

     Nous travaillons dans un référentiel galiléen ;
     il est demandé d'utiliser, de préférence au théorème de l'énergie cinétique,
     il est demandé d'utiliser, le théorème de la variation de l'énergie mécanique entre la position initiale $\;A\left(\rho =a\,,\,\theta =2\,\pi \,,\,z=H=2\,\pi \,h\right)\;$ et
     il est demandé d'utiliser, le théorème de la variation de l'énergie mécanique entre la position à un instant quelconque positif $\;M\left(\rho =a\,,\,\theta \,,\,z=h\,\theta \right)$ ;

     le bilan des forces appliquées appliquées au point $\;M\;$ est :

• son poids $\;m\,{\vec {g}}\;$ qui est une force conservative dérivant de l'énergie potentielle de pesanteur $\;U_{\text{pes}}(z)=m\;g\;z\;$ en prenant pour référence le niveau $\;z=0\;$ et
• la réaction de l'hélice $\;({\mathcal {H}})\;$ sur $\;M$, non conservative, $\;\perp \;$ au vecteur unitaire tangentiel $\;{\vec {\tau }}\;$ compte-tenu de l'absence de frottement, ce qui implique qu'elle ne travaille pas, en effet $\;W_{A\,{\overset {({\mathcal {H}})}{\rightarrow }}\,M}({\vec {R}})=\displaystyle \int _{A\,{\overset {({\mathcal {H}})}{\rightarrow }}\,M}{\vec {R}}\cdot {\overrightarrow {dM}}=0\;$ car $\;{\overrightarrow {dM}}=ds\;{\vec {\tau }}\;$ et $\;{\vec {R}}\perp {\vec {\tau }}$ ;

     l'énergie mécanique $\;E_{m,\,M}(t)\;$ du point $\;M\;$ à l'instant $\;t\;$ est définie par $\;E_{m,\,M}(t)=K_{M}(t)+U_{{\text{pes}},\,M}(t)\;$ dans laquelle $\;K_{M}(t)={\dfrac {1}{2}}\;m\;{\vec {V}}_{M}^{\,2}(t)\;$ est l'énergie cinétique du point dans le référentiel d'étude au même instant ;

     l'énergie mécanique or le vecteur vitesse du point $\;{\vec {V}}_{M}(t)\;$ à cet instant et dans le même référentiel vaut, en repérage cylindro-polaire, $\;{\vec {V}}_{M}(t)={\dfrac {d{\overrightarrow {OM}}}{dt}}(t)$ $=\left\lbrace {\begin{array}{l c l c l}V_{\rho ,\,M}(t)\!\!&=&\!\!{\dot {\rho }}(t)\!\!&=&\!\!0\\V_{\theta ,\,M}(t)\!\!&=&\!\!\rho (t)\,{\dot {\theta }}(t)\!\!&=&\!\!a\,{\dot {\theta }}(t)\\V_{z,\,M}(t)\!\!&=&\!\!{\dot {z}}(t)\!\!&=&\!\!h\,{\dot {\theta }}(t)\end{array}}\right\rbrace \;$ on en déduit $\;{\vec {V}}_{M}^{\,2}(t)=\left(a^{2}+h^{2}\right){\dot {\theta }}^{2}\!(t)\;$ d'où, en reportant dans l'expression de l'énergie mécanique de $\;M\;$ et en éliminant $\;z(t)\;$ au profit de $\;\theta (t)$, «$\;E_{m,\,M}(t)={\dfrac {1}{2}}\;m\left(a^{2}+h^{2}\right){\dot {\theta }}^{2}\!(t)+m\;g\;h\;\theta (t)\;$» ;

     le théorème de la variation de l'énergie mécanique du point entre la position initiale $\;A\left(a\,,\,2\;\pi \,,\,H=h\;2\;\pi \right)\;$ avec une vitesse instantanée nulle
      le théorème de la variation de l'énergie mécanique du point entre et une position quelconque $\;M\left(a\,,\,\theta \,,\,z=h\;\theta \right)\;$ avec une vitesse instantanée
          le théorème de la variation de l'énergie mécanique du point entre une position quelconque $\;\color {transparent}{M\left(a\,,\,\theta \,,\,z=h\;\theta \right)}\;$ avec $v_{M}(t)=\Vert {\vec {V}}_{M}(t)\Vert =-{\sqrt {a^{2}+h^{2}}}\;{\dot {\theta }}(t)\;$
          le théorème de la variation de l'énergie mécanique du point s'écrit «$\;E_{m,\,M}-E_{m,\,A}=W_{A\,{\overset {({\mathcal {H}})}{\rightarrow }}\,M}({\vec {R}})\;$» soit finalement «$\;\left[{\dfrac {1}{2}}\;m\left(a^{2}+h^{2}\right){\dot {\theta }}^{2}\!(t)+m\;g\;h\;\theta (t)\right]-\left[m\;g\;h\;2\;\pi \right]=0\;$» d'où
          le théorème de la variation de l'énergie mécanique du point s'écrit l'intégrale 1^ère du mouvement de $\;M\;$ en $\;\theta (t)\;$ «$\;\left(a^{2}+h^{2}\right){\dot {\theta }}^{2}\!(t)=2\;g\;h\left[2\;\pi -\theta (t)\right]\;$» ;

     de l'intégrale 1^ère ci-dessus nous en tirons l'expression de la vitesse angulaire en fonction, entra autres, de l'abscisse angulaire soit «$\;{\dot {\theta }}(t)=-{\sqrt {\dfrac {2\;g\;h}{a^{2}+h^{2}}}}\;{\sqrt {2\;\pi -\theta (t)}}\;$»,
     de l'intégrale 1^ère ci-dessus nous en tirons l'expression de la vitesse angulaire en fonction, entra autres, de l'abscisse angulaire soit équation différentielle non linéaire du 1^er ordre en $\;\theta (t)\;$
     de l'intégrale 1^ère ci-dessus nous en tirons l'expression de la vitesse angulaire en fonction, entra autres, de l'abscisse angulaire soit qui s'intègre par séparation des variables telle que
     de l'intégrale 1^ère ci-dessus nous en tirons l'expression de la vitesse angulaire en fonction, entra autres, de l'abscisse angulaire soit sur $\;\left]0\,,\,t\right]$, «$\;{\dfrac {d\theta '}{\sqrt {2\;\pi -\theta '}}}=-{\sqrt {\dfrac {2\;g\;h}{a^{2}+h^{2}}}}\;dt'\;$» s'intégrant selon
     de l'intégrale 1^ère ci-dessus nous en tirons l'expression de la vitesse angulaire en fonction, entra autres, de l'abscisse angulaire soit «$\;\left[-2\;{\sqrt {2\;\pi -\theta '}}\right]_{2\,\pi }^{\theta }=-\left[{\sqrt {\dfrac {2\;g\;h}{a^{2}+h^{2}}}}\;t'\right]_{0}^{t}\;$» d'où
     de l'intégrale 1^ère ci-dessus nous en tirons la solution de l'équation différentielle non linéaire du 1^er ordre en $\;\theta (t)\;$ suivante «$\;{\sqrt {2\;\pi -\theta }}={\sqrt {\dfrac {2\;g\;h}{a^{2}+h^{2}}}}\;{\dfrac {t}{2}}\;$» dont nous déduisons
     de l'intégrale 1^ère ci-dessus nous en tirons la loi horaire d'abscisse angulaire du point $\;M\;$ glissant sans frottement sur l'hélice $\;({\mathcal {H}})\;$ «$\;\theta =2\;\pi -{\dfrac {g\;h}{2\left(a^{2}+h^{2}\right)}}\;t^{2}\;$» ainsi que
     de l'intégrale 1^ère ci-dessus nous en tirons la durée $\;\tau \;$ mis par le point pour effectuer un tour sur l'hélice $\;({\mathcal {H}})\;$ c.-à-d. la valeur de $\;t\;$ correspondant à $\;\theta =0\;$ «$\;\tau =2\;{\sqrt {\dfrac {\pi \left(a^{2}+h^{2}\right)}{g\;h}}}\;$».

     Compléments : utilisant la loi horaire d'abscisse angulaire du point $\;M\;$ «$\;\theta =2\;\pi -{\dfrac {g\;h}{2\left(a^{2}+h^{2}\right)}}\;t^{2}\;$» et inversée sous la forme «$\;t=2\;{\sqrt {\dfrac {a^{2}+h^{2}}{2\;g\;h}}}\;{\sqrt {2\;\pi -\theta }}\;$»,
     Compléments : utilisant la loi horaire on peut déterminer la durée $\;\left(\Delta t\right)_{n}\;$ nécessaire pour que le point $\;M\;$ effectue $\;n\;$ tours avec $\;n\in \mathbb {N} ^{*}\backslash \left\lbrace 1\right\rbrace$, il suffit d'y faire $\;\theta =-\left(n-1\right)2\;\pi \;$ soit
  Compléments : utilisant la loi horaire on peut déterminer la durée «$\;\left(\Delta t\right)_{n}=2\;{\sqrt {\dfrac {\pi \left(a^{2}+h^{2}\right)}{g\;h}}}\;{\sqrt {n}}=\tau \;{\sqrt {n}}\;$» ou finalement «$\;\left(\Delta t\right)_{n}=\left(\Delta t\right)_{1}\;{\sqrt {n}}\;$» ; ainsi

  Compléments : utilisant la loi horaire on peut déterminer la durée «$\;\left(\Delta t\right)_{4}=2\,\left(\Delta t\right)_{1}\;$», la durée pour glisser sur le 1^er tour est égale à celle pour glisser sur l'ensemble des 2^ème à 4^ème tour
  Compléments : utilisant la loi horaire on peut déterminer la durée «$\;\color {transparent}{\left(\Delta t\right)_{4}=2\,\left(\Delta t\right)_{1}}\;$», la durée pour glisser sur le 1^er tour est égale à celle pour glisser $\;{\big (}$c.-à-d. les trois tours suivants${\big )}$,

  Compléments : utilisant la loi horaire on peut déterminer la durée «$\;\left(\Delta t\right)_{9}=3\,\left(\Delta t\right)_{1}\;$», la durée pour glisser sur le 1^er tour est égale à celle pour glisser sur l'ensemble des 2^ème à 4^ème tour
  Compléments : utilisant la loi horaire on peut déterminer la durée «$\;\color {transparent}{\left(\Delta t\right)_{9}=3\,\left(\Delta t\right)_{1}}\;$», la durée pour glisser sur le 1^er tour est égale à celle pour glisser $\;{\big (}$c.-à-d. les trois tours suivants${\big )}$, ou encore
  Compléments : utilisant la loi horaire on peut déterminer la durée «$\;\color {transparent}{\left(\Delta t\right)_{9}=3\,\left(\Delta t\right)_{1}}\;$», la durée pour glisser sur le 1^er tour est égale à celle pour glisser sur l'ensemble des 5^ème à 9^ème tour
  Compléments : utilisant la loi horaire on peut déterminer la durée «$\;\color {transparent}{\left(\Delta t\right)_{9}=3\,\left(\Delta t\right)_{1}}\;$», la durée pour glisser sur le 1^er tour est égale à celle pour glisser $\;{\big (}$c.-à-d. les cinq tours suivants${\big )}\;\ldots$

 

Glissement avec frottement sur un plan incliné

     Un objet de masse $\;m\;$ est lancé, dans le champ de pesanteur terrestre $\;{\vec {g}}\;$ uniforme, avec un vecteur vitesse initiale $\;{\vec {V}}_{0}\;$ incliné vers le haut, selon la ligne de plus grande pente d'un plan incliné faisant un angle non orienté $\;\alpha \;$ avec l'horizontale ;

     le contact de l'objet avec le plan incliné est supposé avec frottement solide de cœfficients statique et dynamique confondus, de valeur commune notée $\;f$.

Distance parcourue avant l'arrêt de l'objet

     À cause des frottements solides et de l'absence de force de propulsion, l'objet va s'arrêter ;

     déterminer la distance parcourue par l'objet avant son arrêt.

Solution

Schéma d'un solide en liaison unilatérale avec un plan incliné sur lequel le contact est avec frottement solide et représentation des forces appliquées au solide quand ce dernier glisse vers le haut

     L'objet étant en translation est assimilé à son C.D.I. noté $\;M$, son mouvement le long de la ligne de plus grande pente du plan incliné est repéré par son équation horaire scalaire $\;x(t)\;$ où $\;x\;$ est l'abscisse de $\;M\;$ sur l'axe $\;{\overrightarrow {x'x}}\;$ dont la direction est la ligne de plus grande pente et dont le sens est ascendant, l'origine $\;O\;$ de l'axe étant la position du C.D.I. à l'instant de lancement de l'objet avec un vecteur vitesse $\;{\vec {V}}_{0}$, l'instant de lancement étant choisi comme origine des temps.

     Les forces extérieures s'exerçant sur l'objet de C.D.I. $\;M\;$ sont

• son poids $\;m\;{\vec {g}}\;$ vertical $\;\downarrow$, force conservative dérivant de l'énergie potentielle de pesanteur $\;U_{\text{pes}}(M)=m\;g\;z\;$ ${\big \{}z\;$ étant la cote du C.D.I. $\;M\;$ repérée sur l'axe $\;{\overrightarrow {z'z}}\;$ vertical $\;\uparrow \;$ relativement à l'origine $\;O{\big \}}$, $\;z=0\;$ ayant été choisie comme référence de $\;U_{\text{pes}}(M)$ ; la cote $\;z\;$ de $\;M\;$ s'exprimant en fonction de son abscisse $\;x\;$ en utilisant $\;\sin(\alpha )={\dfrac {z}{x}}\;$ $\Rightarrow$ $\;z=x\;\sin(\alpha )\;$ nous en déduisons «$\;U_{\text{pes}}(M)=m\;g\;\sin(\alpha )\;x\;$ avec référence en $\;x=0\;$»,
• la réaction du plan, non conservative, $\;{\vec {R}}={\vec {R}}_{\tau }+R_{n}\;{\vec {n}}\;$ avec $\;{\vec {n}}\;$ le vecteur unitaire $\;\perp \;$ au plan, de sens opposé à celui de la pénétration de l'objet susceptible de se produire dans le plan $\;{\big [}\!\Rightarrow R_{n}>0{\big ]}\;$ correspondant aussi à $\;{\vec {n}}={\vec {u}}_{y}$ $\;{\big [}{\vec {u}}_{y}$ étant le vecteur unitaire $\;\perp \;$ au plan incliné choisi dans le sens des altitudes $\;\nearrow {\big ]}$, le travail de la réaction $\;W_{O\,{\overset {({\mathcal {P}})}{\rightarrow }}\,M}({\vec {R}})=\displaystyle \int _{O\,{\overset {({\mathcal {P}})}{\rightarrow }}\,M}{\vec {R}}\cdot {\overrightarrow {dM}}\;$ se limitant à celui de sa composante tangentielle car le travail de $\;{\vec {R}}\;$ se décompose en $\;W_{O\,{\overset {({\mathcal {P}})}{\rightarrow }}\,M}({\vec {R}})=$ $\displaystyle \int _{O\,{\overset {({\mathcal {P}})}{\rightarrow }}\,M}{\vec {R}}_{\tau }\cdot {\overrightarrow {dM}}\;{\cancel {+\displaystyle \int _{O\,{\overset {({\mathcal {P}})}{\rightarrow }}\,M}R_{n}\;{\vec {n}}\cdot {\overrightarrow {dM}}}}\;$ ${\big \{}$en effet $\;{\overrightarrow {dM}}=ds\;{\vec {\tau }}\;$, $\;{\vec {\tau }}\;$ étant le vecteur unitaire tangentiel choisi dans le sens du mouvement c.-à-d. $\;{\vec {\tau }}={\vec {u}}_{x}\;$ et $\;R_{n}\;{\vec {n}}\perp {\vec {\tau }}{\big \}}$, soit «$\;W_{O\,{\overset {({\mathcal {P}})}{\rightarrow }}\,M}({\vec {R}}_{\tau })=\displaystyle \int _{O\,{\overset {({\mathcal {P}})}{\rightarrow }}\,M}R_{\tau ,\,x}\;dx<0\;$»  ;

     l'énergie mécanique $\;E_{m,\,M}(t)\;$ du C.D.I. $\;M\;$ à l'instant $\;t\;$ étant définie par «$\;E_{m,\,M}(t)=K_{M}(t)+U_{{\text{pes}},\,M}(t)\;$» avec
     l'énergie mécanique $\;K_{M}(t)={\dfrac {1}{2}}\;m\;{\vec {V}}_{M}^{\,2}(t)={\dfrac {1}{2}}\;m\;{\dot {x}}^{2}(t)\;$ l'énergie cinétique du C.D.I. $\;M\;$ dans le référentiel d'étude au même instant,
     l'énergie mécanique se réécrit selon «$\;E_{m,\,M}(t)={\dfrac {1}{2}}\;m\;{\dot {x}}^{2}(t)+m\;g\;\sin(\alpha )\;x(t)\;$» ;

     l'utilisation du théorème de la variation de l'énergie mécanique du C.D.I. entre sa position initiale $\;O\;$ avec une vitesse instantanée $\;v_{0}=\Vert {\vec {V}}_{0}\Vert \;$ et
                l'utilisation du théorème de la variation de l'énergie mécanique du C.D.I. entre sa position d'arrêt $\;M_{\text{arrêt}}\left(x_{\text{arrêt}}=d\right)\;$ avec une vitesse instantanée nulle
                l'utilisation du théorème de la variation de l'énergie mécanique du C.D.I. appliqué à l'objet dans le référentiel terrestre supposé galiléen s'écrit «$\;E_{m,\,M_{\text{arrêt}}}-E_{m,\,O}=W_{O\,{\overset {({\mathcal {P}})}{\rightarrow }}\,M_{\text{arrêt}}}({\vec {R}}_{\tau })\;$» soit
                l'utilisation du théorème de la variation de l'énergie mécanique du C.D.I. appliqué à l'objet dans le référentiel terrestre supposé galiléen s'écrit «$\;\left[m\;g\;\sin(\alpha )\;d\right]-\left[{\dfrac {1}{2}}\;m\;v_{0}^{\,2}\right]=\displaystyle \int _{0}^{d}R_{\tau ,\,x}\;dx\;$» ;

     l'utilisation du théorème du mouvement du C.D.I. appliqué à l'objet dans le référentiel terrestre galiléen nous conduit à «$\;m\;{\vec {g}}+{\vec {R}}=m\;{\vec {a}}_{M}(t)\;$» soit,
                  l'utilisation du théorème du mouvement du C.D.I. en projection sur l'axe $\;{\overrightarrow {y'y}}$, «$\;-m\;g\;\cos(\alpha )+R_{n}=m\;a_{M,\,y}=0\;$» d'où «$\;R_{n}=m\;g\;\cos(\alpha )\;$» et,
                  l'utilisation du théorème du mouvement du C.D.I. en utilisant la loi de frottement de Coulomb avec glissement «$\;\vert R_{\tau ,\,x}\vert =f\;R_{n}\;$» avec $\;{\vec {R}}_{\tau }\;$ de sens contraire au mouvement de $\;M\;$ c.-à-d.
                              l'utilisation du théorème du mouvement du C.D.I. en utilisant la loi de frottement de Coulomb avec glissement «$\;\color {transparent}{\vert R_{\tau ,\,x}\vert =f\;R_{n}}\;$» avec $\;\color {transparent}{{\vec {R}}_{\tau }}\;$ de sens contraire $\;R_{\tau ,\,x}<0\;$ soit
                              l'utilisation du théorème du mouvement du C.D.I. en utilisant la loi de frottement de Coulomb avec glissement «$\;R_{\tau ,\,x}=-f\;R_{n}\;$» ou, après report de l'expression de $\;R_{n}\;$
                              l'utilisation du théorème du mouvement du C.D.I. en utilisant la loi de frottement de Coulomb avec glissement «$\;R_{\tau ,\,x}=-f\;m\;g\;\cos(\alpha )\;$» d'où
                              l'utilisation du théorème du mouvement du C.D.I. en utilisant la loi de frottement de Coulomb avec glissement «$\;W_{O\,{\overset {({\mathcal {P}})}{\rightarrow }}\,M_{\text{arrêt}}}({\vec {R}}_{\tau })=\displaystyle \int _{0}^{d}R_{\tau ,\,x}\;dx=\displaystyle \int _{0}^{d}-f\;m\;g\;\cos(\alpha )\;dx$
                              l'utilisation du théorème du mouvement du C.D.I. en utilisant la loi de frottement de Coulomb avec glissement «$\;\color {transparent}{W_{O\,{\overset {({\mathcal {P}})}{\rightarrow }}\,M_{\text{arrêt}}}({\vec {R}}_{\tau })}$ $=-f\;m\;g\;\cos(\alpha )\;d\;$» ;

     finalement la relation déduite de l'application du théorème de la variation de l'énergie mécanique se réécrit «$\;m\;g\;\sin(\alpha )\;d-{\dfrac {1}{2}}\;m\;v_{0}^{\,2}=-f\;m\;g\;\cos(\alpha )\;d\;$» ou,
     finalement la relation déduite de l'application du théorème de la variation de l'énergie mécanique se réécrit après simplification et regroupement des termes $\;\propto \;$ à $\;d\;$ dans un même membre,
     finalement on obtient l'expression de la distance nécessaire pour que l'objet s'arrête «$\;d={\dfrac {v_{0}^{\,2}}{2\;g\,\left[\sin(\alpha )+f\;\cos(\alpha )\right]}}\;$».

 

Condition d'inclinaison du plan incliné pour que l'objet ne descende pas après son arrêt

     À quelle condition sur $\;\alpha \;$ l'objet restera-t-il immobile sur le plan incliné après son mouvement de montée ?

Solution

     Il convient bien sûr de refaire un schéma de situation en représentant les forces.

     À partir de l'état final de repos précédent, la force tendant à faire redescendre l'objet de C.D.I. $\;M\;$ est la composante de $\;m\;{\vec {g}}\;$ le long du plan incliné,
           À partir de l'état final de repos précédent, la force tendant à faire redescendre l'objet de C.D.I. $\;\color {transparent}{M}\;$ est la composante qui est dans le sens descendant $\;{\big [}$de norme égale à $\;m\;g\;\sin(\alpha ){\big ]}\;$ et par suite
     À partir de l'état final de repos précédent, la force de frottement $\;{\vec {R}}_{\tau }\;$ est maintenant dans le sens ascendant, s'opposant à la composante de $\;m\;{\vec {g}}\;$ le long du plan incliné ;

     À partir de l'état final de repos précédent, s'il n'y a pas glissement c'est que ces deux composantes se compensent soit «$\;\Vert {\vec {R}}_{\tau }\Vert =m\;g\;\sin(\alpha )\;$» et

     À partir de l'état final de repos précédent, comme il n'y a toujours pas lévitation de l'objet de C.D.I. $\;M\;$ au-dessus du plan incliné, les deux composantes $\;\perp \;$ au plan incliné se compensent c.-à-d.
          À partir de l'état final de repos précédent, comme il n'y a toujours pas lévitation de l'objet de C.D.I. $\;\color {transparent}{M}\;$ $\;R_{n}\;{\vec {n}}\;$ ${\big [}$dirigée vers le haut $\;\Rightarrow \;R_{n}>0{\big ]}\;$ et
           À partir de l'état final de repos précédent, comme il n'y a toujours pas lévitation de l'objet de C.D.I. $\;\color {transparent}{M}\;$ la composante du poids $\;\perp \;$ au plan incliné $\;-m\;g\;\cos(\alpha )\;{\vec {u}}_{y}\;$ ${\big [}$dirigée vers le bas${\big ]}\;$ d'où
           À partir de l'état final de repos précédent, comme il n'y a toujours pas lévitation de l'objet de C.D.I. $\;\color {transparent}{M}\;$ au-dessus du plan incliné «$\;R_{n}=m\;g\;\cos(\alpha )\;$» ;

     À partir de l'état final de repos précédent, l'application de la loi de frottement de Coulomb dans le cas de non glissement «$\;\Vert {\vec {R}}_{\tau }\Vert <f\;R_{n}\;$» se réécrit «$\;m\;g\;\sin(\alpha )<f\;m\;g\;\cos(\alpha )\;$» soit,
                 À partir de l'état final de repos précédent, l'application de la loi de frottement de Coulomb dans le cas de non glissement après simplification évidente «$\;\tan(\alpha )<f\;$» ou,
                 À partir de l'état final de repos précédent, l'application de la loi de frottement de Coulomb dans le cas de non glissement en introduisant l'angle limite de frottement «$\;\varphi =\arctan(f)\;$ »
                 À partir de l'état final de repos précédent, l'application de la loi de frottement de Coulomb dans le cas de non glissement après simplification évidente «$\;\alpha <\varphi \;$».

 

Point glissant sans frottement sur une piste rigide terminée par un demi-cercle vertical

Schéma représentant un point $\;M\;$ en liaison unilatérale sans frottement dans un champ de pesanteur uniforme sur une piste rigide constituée d'une descente terminée par un demi-cercle vertical, le point $\;M\;$ étant lâché sans vitesse d'une hauteur $\;h$

     Un point matériel $\;M\;$ de masse $\;m$, en liaison unilatérale sans frottement sur la piste rigide ci-contre, est lâché sans vitesse initiale depuis la position $\;M_{0}\;$ située à une hauteur $\;h\;$ relativement à la partie la plus basse de la piste.

     La piste est constituée d'une descente de forme quelconque se terminant, sans discontinuité de pente, par un demi-cercle vertical de rayon $\;r\;$ et dont l'extrémité supérieure est notée $\;A$.

     Le point matériel est soumis au champ de pesanteur $\;{\vec {g}}\;$ uniforme.

     À quelle condition de hauteur $\;h\;$ le point $\;M\;$ peut-il atteindre l'extrémité $\;A\;$ de la piste ?

     Remarque : On rappelle que la C.N.S. pour que $\;M\;$ quitte la piste
           Remarque : On rappelle que la C.N.S. est que celle-ci n'exerce plus de réaction sur le point $\;M\;$ à partir d'une position précédant $\;A$,
     Remarque : par contraposée la C.N.S. pour que $\;M\;$ reste au contact de la piste jusqu'en $\;A\;$
           Remarque : On rappelle que la C.N.S. est qu'il existe une réaction de la piste sur le point $\;M\;$ en toutes les positions possibles jusqu'à $\;A$
           Remarque : On rappelle que la C.N.S. ${\big [}$pouvoir définir une vitesse instantanée $\;>0\;$ en toute position $\;M\;$ précédant $\;A$,
                      Remarque : On rappelle que la C.N.S. $\color {transparent}{\big [}$pouvoir définir une vitesse instantanée $\;\color {transparent}{>0}\;$ n'est qu'une C.N. sans être une C.S.
                      Remarque : On rappelle que la C.N.S. $\color {transparent}{\big [}$pouvoir définir une vitesse instantanée $\;\color {transparent}{>0}\;$ pour que le point $\;M\;$ puisse atteindre $\;A{\big ]}$.

Solution

Schéma représentant un point $\;M\;$ en liaison unilatérale sans frottement dans un champ de pesanteur uniforme sur une piste rigide constituée d'une descente terminée par un demi-cercle vertical, le point $\;M\;$ étant lâché sans vitesse d'une hauteur $\;h\;$ avec représentation des forces appliquées à $\;M\;$ et effet de loupe sur la partie circulaire

     Voir le schéma de situation ci-contre avec représentation des forces appliquées à $\;M$, l'étude étant faite dans le référentiel terrestre liée à la piste, référentiel supposé galiléen.

     Le bilan des forces appliquées à $\;M\;$ est :

• son poids $\;m\;{\vec {g}}\;$ vertical $\;\downarrow$, force conservative dérivant de l'énergie potentielle de pesanteur $\;U_{\text{pes}}(M)=m\;g\;z\;$ ${\big \{}z\;$ étant l'altitude du point $\;M\;$ repérée par rapport à l'origine $\;O\;$ de l'axe $\;{\overrightarrow {z'z}}\;$ vertical $\;\uparrow {\big \}}$, $\;z=0\;$ ayant été choisie comme référence de $\;U_{\text{pes}}(M)$,
• la réaction $\;{\vec {R}}\;$ de la piste $\;{\mathcal {P}}$, non conservative, toujours $\;\perp$, en absence de frottement, au vecteur unitaire tangentiel $\;{\vec {\tau }}_{M}\;$ lié à $\;M$,
       la réaction $\;\color {transparent}{\vec {R}}\;$ de la piste $\;\color {transparent}{\mathcal {P}}$, pouvant s'écrire $\;{\vec {R}}=R(M)\;{\vec {n}}_{M}\;$ avec $\;{\vec {n}}_{M}\;$ vecteur unitaire normal principal lié à $\;M\;$ et
           la réaction $\;\color {transparent}{\vec {R}}\;$ de la piste $\;\color {transparent}{\mathcal {P}}$, pouvant s'écrire $\;\color {transparent}{R=R(M)\;{\vec {n}}_{M}}\;$ avec $\;R(M)={\vec {R}}\cdot {\vec {n}}_{M}\neq 0\;$ pour un contact réel $\;{\big \{}{\vec {R}}\;$ toujours dirigé vers l'intérieur de la piste tant que le contact existe, en accord avec la nature unilatérale de la liaison de $\;M\;$ avec $\;{\mathcal {P}}{\big \}}$,
  la réaction $\;{\vec {R}}\;$ ne travaillant pas, en effet $\;W_{M_{0}\,{\overset {({\mathcal {P}})}{\rightarrow }}\,M}({\vec {R}})=$ $\displaystyle \int _{M_{0}\,{\overset {({\mathcal {P}})}{\rightarrow }}\,M}{\vec {R}}\cdot {\overrightarrow {dM}}=0\;$ car $\;{\overrightarrow {dM}}=ds\;{\vec {\tau }}_{M}\;$ et $\;{\vec {R}}\perp {\vec {\tau }}_{M}\;$.

     La liaison étant unilatérale $\;{\big [}$c.-à-d. que le point $\;M\;$ peut se déplacer dans le demi-espace situé au-dessus de la piste${\big ]}$,
      La liaison étant unilatérale la C.N.S. de contact réel de $\;M\;$ sur $\;{\mathcal {P}}\;$ est « la composante normale de la réaction $\;R(M)>0\;$»,
      La liaison étant unilatérale la détermination de son expression se faisant par application de la r.f.d.n. à $\;M\;$ puis projection sur $\;{\vec {n}}_{M}\;$ ${\bigg [}$on montre aisément que l'éventuelle rupture de contact ne peut pas se produire sur la partie descendante de la piste $\;{\overset {\frown }{(M_{0}B)}}\;$ car la projection du poids sur $\;{\vec {n}}_{M}\;$ y étant $\;m\;{\vec {g}}\cdot {\vec {n}}_{M}<0\;$ et celle de l'accélération $\;{\vec {a}}_{M}(t)\cdot {\vec {n}}=a_{M,\,n}(t)>0\;$, la composante normale de la réaction résultant de la projection de la r.f.d.n. sur $\;{\vec {n}}_{M}\;$ s'écrivant $\;R(M)={\vec {R}}\cdot {\vec {n}}_{M}=m\;{\vec {a}}_{M}(t)\cdot {\vec {n}}_{M}-m\;{\vec {g}}\cdot {\vec {n}}_{M}\;$ est nécessairement $\;>0$, il suffira donc de vérifier que la rupture de contact ne peut pas se produire sur la partie circulaire de la piste et, pour déterminer la composante normale de la réaction quand $\;M\;$ est sur cette partie circulaire $\;{\big (}$voir le schéma avec effet de loupe sur la partie circulaire ci-contre${\big )}$, on le repère par son abscisse angulaire $\;\theta (t)={\widehat {\left\lbrace {\overrightarrow {CB}}\,,\,{\overrightarrow {CM}}(t)\right\rbrace }}\;$ puis on projette sur $\;{\vec {n}}_{M}=-{\vec {u}}_{\rho }\;$ la r.f.d.n. appliquée à $\;M{\bigg ]}$ ;

     projection sur$\;{\vec {n}}_{M}\;$de la r.f.d.n. appliquée en la position$\;M\;$de la partie circulaire de la piste : «$\;R(t)-m\,g\,\cos \!\left[\theta (t)\right]=m\,a_{M,\,n}(t)=m\,{\dfrac {v_{M}^{\,2}(t)}{r}}\;$» ou encore,
           projection sur$\;\color {transparent}{{\vec {n}}_{M}}\;$de la r.f.d.n. appliquée en la position$\;\color {transparent}{M}\;$de la partie circulaire de la piste : «$\;R(t)-m\,g\,\cos \!\left[\theta (t)\right]=m\,a_{M,\,n}(t)=m\,r\,{\dot {\theta }}^{2}\!(t)\;$» dont on déduit
           projection sur$\;\color {transparent}{{\vec {n}}_{M}}\;$de la r.f.d.n. appliquée en la position$\;\color {transparent}{M}\;$de la partie circulaire de la piste : l'expression de la composante normale de la réaction «$\;R(t)=m\left\lbrace g\,\cos \!\left[\theta (t)\right]+{\dfrac {v_{M}^{\,2}(t)}{r}}\right\rbrace \;$
           projection sur$\;\color {transparent}{{\vec {n}}_{M}}\;$de la r.f.d.n. appliquée en la position$\;\color {transparent}{M}\;$de la partie circulaire de la piste : l'expression de la composante normale de la réaction «$\;\color {transparent}{R(t)}$ $=m\left\lbrace g\,\cos \!\left[\theta (t)\right]+r\,{\dot {\theta }}^{2}\!(t)\right\rbrace \;$» ,
           projection sur$\;\color {transparent}{{\vec {n}}_{M}}\;$de la r.f.d.n. appliquée en la position$\;\color {transparent}{M}\;$de la partie circulaire de la piste : pour $\;M\;$ sur la partie circulaire et dans la mesure où le contact n'est pas rompu ;

     application du théorème de la variation d'énergie mécanique du point$\;M\;$entre la position initiale et une position de la partie circulaire de la piste à un instant$\;t\;$quelconque :
         application du théorème de la variation d'énergie mécanique du point $\;\color {transparent}{M}\;$ l'énergie mécanique du point $\;M\;$ à l'instant $\;t\;$ dans le référentiel terrestre lié à la piste, référentiel galiléen, étant définie,
         application du théorème de la variation d'énergie mécanique du point $\;\color {transparent}{M}\;$ pour n'importe quelle position de $\;M\;$ sur la piste, par «$\;E_{m,\,M}(t)=K_{M}(t)+U_{{\text{pes}},\,M}(t)={\dfrac {1}{2}}\;m\;v_{M}^{\,2}(t)+m\;g\;z_{M}(t)\;$» soit,
         application du théorème de la variation d'énergie mécanique du point $\;\color {transparent}{M}\;$ avec $\;M\;$ sur la partie circulaire de la piste «$\;E_{m,\,M}(t)={\dfrac {1}{2}}\;m\;r^{2}\;{\dot {\theta }}^{2}\!(t)+m\;g\;r\left\lbrace 1-\cos \!\left[\theta (t)\right]\right\rbrace \;$»  ;
         application du théorème de la variation d'énergie mécanique du point $\;\color {transparent}{M}\;$ appliquant le théorème entre «$\;M_{0}\,\left[z_{M_{0}}=h\;;\;v_{M_{0}}=0\right]\;$» et «$\;M\,\left[z_{M}(t)=r\left\lbrace 1-\cos \!\left[\theta (t)\right]\right\rbrace \;;\;v_{M}(t)=r\;{\dot {\theta }}(t)\right]\;$» on obtient
         application du théorème de la variation d'énergie mécanique du point $\;\color {transparent}{M}\;$ «$\;E_{m,\,M}(t)-E_{m,\,M_{0}}=W_{M_{0}\,{\overset {({\mathcal {P}})}{\rightarrow }}\,M}({\vec {R}})\;$» ou, ce dernier travail étant nul, «$\;E_{m,\,M}(t)=E_{m,\,M_{0}}\;$» se réécrivant
         application du théorème de la variation d'énergie mécanique du point $\;\color {transparent}{M}\;$ pour $\;M\;$ sur la partie circulaire de la piste «$\;{\dfrac {1}{2}}\;m\;r^{2}\;{\dot {\theta }}^{2}\!(t)+m\;g\;r\left\lbrace 1-\cos \!\left[\theta (t)\right]\right\rbrace =m\;g\;h\;$» d'où finalement
         application du théorème de la variation d'énergie mécanique du point $\;\color {transparent}{M}\;$ «$\;{\dot {\theta }}^{2}\!(t)={\dfrac {2\;g\;h}{r^{2}}}-{\dfrac {2\;g}{r}}\left\lbrace 1-\cos \!\left[\theta (t)\right]\right\rbrace \;$» ou «$\;v_{M}^{\,2}(t)=r^{2}\;{\dot {\theta }}^{2}\!(t)=2\;g\;h-2\;g\;r\left\lbrace 1-\cos \!\left[\theta (t)\right]\right\rbrace \;$» ;

     expression de la composante normale de la réaction$\;R(M)\;$de la portion circulaire de la piste en$\;M$ : le report de l'expression de $\;{\dot {\theta }}^{2}\!(t)\;$ dans celle de $\;R(t)\;$ à contact non rompu, donne
     expression de la composante normale de la réaction$\;\color {transparent}{R(M)}\;$de la portion circulaire de la piste en$\;\color {transparent}{M}$ : «$\;R(t)=m\left(g\,\cos \!\left[\theta (t)\right]+{\dfrac {2\;g\;h}{r}}-2\;g\left\lbrace 1-\cos \!\left[\theta (t)\right]\right\rbrace \right)\;$» ou, après simplification et factorisation,
     expression de la composante normale de la réaction$\;\color {transparent}{R(M)}\;$de la portion circulaire de la piste en$\;\color {transparent}{M}$ : «$\;R(t)=m\;g\left\lbrace {\dfrac {2\,h}{r}}-2+3\,\cos \!\left[\theta (t)\right]\right\rbrace \;$ sous réserve de maintien de contact ».

     C.N.S. de maintien de contact de l'objet sur la piste : cette condition étant «$\;R(t)=R\!\left[\theta (t)\right]>0,\;\;\forall \;t\;$» se réécrit selon «$\;R(\theta )=m\;g\left[{\dfrac {2\,h}{r}}-2+3\,\cos(\theta )\right]>0,\;\;\forall \;\theta \;$»  ;

          C.N.S. de maintien de contact de l'objet sur la piste : cette fonction $\;R(\theta )\;$ étant $\;\searrow$, « ses valeurs seront $\;>0\;$ ssi son minimum l'est c.-à-d.
               C.N.S. de maintien de contact de l'objet sur la piste : cette fonction $\;\color {transparent}{R(\theta )}\;$ étant $\;\color {transparent}{\searrow }$, « ses valeurs seront $\;\color {transparent}{>0}\;$ ssi $\;\min \limits _{\theta \,\in \,\left[0\,,\,\pi \right]}R(\theta )=R(\pi )>0\;$» avec «$\;R(\pi )=m\;g\left[{\dfrac {2\,h}{r}}-2+3\,\cos(\pi )\right]$
               C.N.S. de maintien de contact de l'objet sur la piste : cette fonction $\;\color {transparent}{R(\theta )}\;$ étant $\;\color {transparent}{\searrow }$, « ses valeurs seront $\;\color {transparent}{>0}\;$ ssi $\;\color {transparent}{\min \limits _{\theta \,\in \,\left[0\,,\,\pi \right]}R(\theta )=R(\pi )>0}\;$» avec «$\;\color {transparent}{R(\pi )}$ $=m\;g\left[{\dfrac {2\,h}{r}}-5\right]\;$» soit finalement
          C.N.S. de maintien de contact de l'objet sur la piste : la condition de hauteur $\;h\;$ pour que le point $\;M\;$ atteigne l'extrémité $\;A\;$ de la piste «$\;h>{\dfrac {5}{2}}\;r\;$».

     Remarque : Avec «$\;h>{\dfrac {5}{2}}\;r\;$», le point $\;M\;$ atteignant l'extrémité $\;A\;$ de la piste poursuivra son mouvement de deux façons possibles :

     Remarque : Avec «$\;\color {transparent}{h>{\dfrac {5}{2}}\;r}\;$», $\succ \;$s'il y a un butoir en $\;A$, le point $\;M\;$ y arrivant avec une « vitesse angulaire $\;{\dot {\theta }}(t_{A}^{-})={\sqrt {{\dfrac {2\;g\;h}{r^{2}}}-{\dfrac {2\;g}{r}}\left[1-\cos(\pi )\right]}}={\sqrt {{\dfrac {2\;g\;h}{r^{2}}}-{\dfrac {4\;g}{r}}}}={\dfrac {\sqrt {2\;g\left(h-2\;r\right)}}{r}}>{\dfrac {\sqrt {g\;r}}{r}}\;$» ou
     Remarque : Avec «$\;\color {transparent}{h>{\dfrac {5}{2}}\;r}\;$», $\color {transparent}{\succ }\;$s'il y a un butoir en $\;\color {transparent}{A}$, le point $\;\color {transparent}{M}\;$ y arrivant avec une « vitesse instantanée $\;v_{M}(t_{A}^{-})=r\;{\dot {\theta }}(t_{A}^{-})={\sqrt {2\;g\left(h-2\;r\right)}}>{\sqrt {g\;r}}>0\;$»,
     Remarque : Avec «$\;\color {transparent}{h>{\dfrac {5}{2}}\;r}\;$», $\color {transparent}{\succ }\;$s'il y a un butoir en $\;\color {transparent}{A}$, il y a choc, la vitesse instantanée de $\;M\;$ devient nulle après le choc si ce dernier est mou et par suite
     Remarque : Avec «$\;\color {transparent}{h>{\dfrac {5}{2}}\;r}\;$», $\color {transparent}{\succ }\;$s'il y a un butoir en $\;\color {transparent}{A}$, il y a choc, la composante normale de la réaction de la piste devenant égale à $\;-m\;g\;$ après le choc mou
     Remarque : Avec «$\;\color {transparent}{h>{\dfrac {5}{2}}\;r}\;$», $\color {transparent}{\succ }\;$s'il y a un butoir en $\;\color {transparent}{A}$, il y a choc, la composante normale de la réaction n'obéit plus à la condition de contact réel sur la piste $\Rightarrow$ $\;M\;$ tombe en chute libre verticalement ;

     Remarque : Avec «$\;\color {transparent}{h>{\dfrac {5}{2}}\;r}\;$», $\succ \;$en absence de butoir en $\;A$, $\;M\;$ arrivant en $\;A\;$ avec une « vitesse angulaire $\;{\dot {\theta }}(t_{A}^{-})={\sqrt {{\dfrac {2\;g\;h}{r^{2}}}-{\dfrac {2\;g}{r}}\left[1-\cos(\pi )\right]}}={\sqrt {{\dfrac {2\;g\;h}{r^{2}}}-{\dfrac {4\;g}{r}}}}={\dfrac {\sqrt {2\;g\left(h-2\;r\right)}}{r}}>{\dfrac {\sqrt {g\;r}}{r}}\;$»
Remarque : Avec «$\;\color {transparent}{h>{\dfrac {5}{2}}\;r}\;$», $\color {transparent}{\succ }\;$en absence de butoir en $\;\color {transparent}{A}$, $\;\color {transparent}{M}\;$ arrivant en $\;\color {transparent}{A}\;$ avec ou une « vitesse instantanée $\;v_{M}(t_{A}^{-})=r\;{\dot {\theta }}(t_{A}^{-})={\sqrt {2\;g\left(h-2\;r\right)}}>{\sqrt {g\;r}}>0\;$»,
      Remarque : Avec «$\;\color {transparent}{h>{\dfrac {5}{2}}\;r}\;$», $\color {transparent}{\succ }\;$en absence de butoir en $\;\color {transparent}{A}$, il y a continuité du vecteur vitesse de $\;M\;$ lors de son arrivée en $\;A$, avec $\;{\vec {V}}_{M}(t_{A}^{-})=v_{M}(t_{A}^{-})\;{\vec {\tau }}_{A}=-v_{M}(t_{A}^{-})\;{\vec {u}}_{x}\;$ et par suite
     Remarque : Avec «$\;\color {transparent}{h>{\dfrac {5}{2}}\;r}\;$», $\color {transparent}{\succ }\;$en absence de butoir en $\;\color {transparent}{A}$, $\;M\;$ poursuit son mouvement au-delà de la piste en chute libre de vecteur vitesse initiale «$\;{\vec {V}}_{M}(t_{A}^{+})=-v_{M}(t_{A}^{-})\;{\vec {u}}_{x}=-{\sqrt {2\;g\left(h-2\;r\right)}}\;{\vec {u}}_{x}\;$»
     Remarque : Avec «$\;\color {transparent}{h>{\dfrac {5}{2}}\;r}\;$», $\color {transparent}{\succ }\;$en absence de butoir en $\;\color {transparent}{A}$, $\;\color {transparent}{M}\;$ poursuit son mouvement au-delà de la piste selon un mouvement parabolique, sa position de retombée étant sur la piste $\;\ldots$

 

Point mobile sans frottement à l'intérieur d'un tube parabolique

Glissement d'un point $\;M\;$ en liaison bilatérale sans frottement dans un tube parabolique, avec les conditions initiales de lancement «$\;M\;$ en $\;O\;$ de vitesse initiale $\;{\vec {V}}_{0}\;$ de norme $\;V_{0}\;$»

     Un point matériel $\;M\;$ de masse $\;m\;$ est mobile sans frottement à l'intérieur d'un tube ayant la forme d'une demi-parabole dont l'équation dans le plan vertical $\;xOz\;$ est $\;\left\lbrace {\begin{array}{l c l}x^{2}\!\!&=&\!\!2\,p\,z\\x\!\!&\geqslant &\!\!0\end{array}}\right\rbrace \;$ dans laquelle $\;p\;$ est une constante homogène à une longueur ;

     les conditions initiales sont : « pour $\;t=0\;$», «$\;x(0)=0$, $\;z(0)=0\;$» et
     les conditions initiales sont : « pour $\;\color {transparent}{t=0}\;$», « la vitesse instantanée $\;v(0)={\vec {V}}_{0}\cdot {\vec {\tau }}(0)\;$ $\;=\Vert {\vec {V}}_{0}\Vert =V_{0}\;$» $\;{\big (}$voir figure ci-contre${\big )}$.

Explicitation de diverses longueurs associées à la demi-parabole en fonction de l'angle d'inclinaison de sa tangente avec l'horizontale

     Évaluer, en fonction de l'angle algébrisé $\;\varphi ={\widehat {\left({\vec {u}}_{x}\,,\,{\vec {\tau }}\right)}}\;$ que le 1^er vecteur de base de Frenet fait avec le vecteur unitaire cartésien $\;{\vec {u}}_{x}$ et
     Évaluer, pour une position quelconque de $\;M$, $\succ \;$l'abscisse $\;x$,
     Évaluer, pour une position quelconque de $\;\color {transparent}{M}$, $\succ \;$la cote $\;z\;$ et
     Évaluer, pour une position quelconque de $\;\color {transparent}{M}$, $\succ \;$le rayon de courbure $\;{\mathcal {R}}\;$ de la trajectoire.

Solution

     L'équation de la demi-parabole peut être réécrite selon «$\;z={\dfrac {x^{2}}{2\;p}}\;$ avec $\;x\geqslant 0\;$» et
     l'angle algébrisé $\;\varphi ={\widehat {\left({\vec {u}}_{x}\,,\,{\vec {\tau }}\right)}}\;$ entre le 1^er vecteur de base de Frenet et le vecteur unitaire cartésien $\;{\vec {u}}_{x}\;$ de l'axe des abscisses se détermine par «$\;\varphi =\arctan \!\left[{\dfrac {dz}{dx}}(x)\right]=\arctan \!\left[{\dfrac {x}{p}}\right]\;$» d'où

• l'abscisse $\;x\;$ d'une position quelconque de $\;M\;$ par inversion de l'expression de $\;\varphi =\varphi (x)\;$ soit «$\;x=p\;\tan(\varphi )\;$»,
• la cote $\;z\;$ correspondante par report de $\;x=p\;\tan(\varphi )\;$ dans $\;z={\dfrac {x^{2}}{2\;p}}\;$ soit $\;z={\dfrac {p^{2}\;\tan ^{2}(\varphi )}{2\;p}}\;$ ou encore «$\;z={\dfrac {p}{2}}\;\tan ^{2}(\varphi )\;$» et
• le rayon de courbure de la demi-parabole en une position quelconque de $\;M\;$ défini par «$\;{\mathcal {R}}={\dfrac {ds}{d\varphi }}(\varphi )\;$» avec $\;s\;$ abscisse curviligne du point sur la demi-parabole avec origine de mesure choisie en $\;O$,
         le rayon de courbure de la demi-parabole en une position quelconque de $\;\color {transparent}{M}\;$ défini par «$\;\color {transparent}{{\mathcal {R}}=d\varphi (\varphi )}\;$» la variation élémentaire $\;ds\;$ se déterminant à l'aide du vecteur déplacement élémentaire
         le rayon de courbure de la demi-parabole en une position quelconque de $\;\color {transparent}{M}\;$ défini par «$\;\color {transparent}{{\mathcal {R}}=d\varphi (\varphi )}\;$» la variation élémentaire $\;\color {transparent}{ds}\;$ se déterminant à l'aide le long de la courbe selon «$\;{\overrightarrow {dM}}=ds\;{\vec {\tau }}\;$» $\Rightarrow$
         le rayon de courbure de la demi-parabole en une position quelconque de $\;\color {transparent}{M}\;$ défini par «$\;\color {transparent}{{\mathcal {R}}=d\varphi (\varphi )}\;$» «$\;\vert ds\vert =\Vert {\overrightarrow {dM}}\Vert ={\sqrt {dx^{2}+dz^{2}}}\;$» avec $\;\left\lbrace {\begin{array}{l c l}dx\!\!&=&\!\!p\;{\dfrac {d\varphi }{\cos ^{2}(\varphi )}}\\dz\!\!&=&\!\!p\;\tan(\varphi )\;{\dfrac {d\varphi }{\cos ^{2}(\varphi )}}\end{array}}\right\rbrace \;$ d'où
         le rayon de courbure de la demi-parabole en une position quelconque de $\;\color {transparent}{M}\;$ défini par «$\;\color {transparent}{{\mathcal {R}}=d\varphi (\varphi )}\;$» «$\;\vert ds\vert ={\sqrt {1+\tan ^{2}(\varphi )}}\;p\;{\dfrac {\vert d\varphi \vert }{\cos ^{2}(\varphi )}}=p\;{\dfrac {\vert d\varphi \vert }{\cos ^{3}(\varphi )}}\;$» ou,
         le rayon de courbure de la demi-parabole en une position quelconque de $\;\color {transparent}{M}\;$ défini par «$\;\color {transparent}{{\mathcal {R}}=d\varphi (\varphi )}\;$» l'angle $\;\varphi \;$ variant dans le même sens que l'abscisse curviligne $\;s\;$ $\Rightarrow$ «$\;ds=p\;{\dfrac {d\varphi }{\cos ^{3}(\varphi )}}\;$» d'où
         le rayon de courbure de la demi-parabole en une position quelconque de $\;\color {transparent}{M}\;$ défini par «$\;\color {transparent}{{\mathcal {R}}=d\varphi (\varphi )}\;$» l'expression du rayon de courbure «$\;{\mathcal {R}}={\dfrac {ds}{d\varphi }}(\varphi )={\dfrac {p}{\cos ^{3}(\varphi )}}\;$».

 

Évaluation de la vitesse instantanée en fonction de la cote z

     Pour une cote $\;z$, quelle est la vitesse instantanée $\;v\;$ de $\;M\;$ ${\big (}$à expliciter en fonction de $\;z\;$ entre autres${\big )}$ ?

Solution

Glissement d'un point $\;M\;$ en liaison bilatérale sans frottement dans un tube parabolique, avec les conditions initiales de lancement «$\;M\;$ en $\;O\;$ de vitesse initiale $\;{\vec {V}}_{0}\;$ de norme $\;V_{0}\;$», représentation des forces appliquées et base locale de Frenet associée

     Dans le référentiel lié au tube parabolique supposé galiléen, nous utilisons, de préférence au théorème de l'énergie cinétique,
     Dans le référentiel lié au tube parabolique supposé galiléen, nous utilisons, le théorème de la variation de l'énergie mécanique
     Dans le référentiel lié au tube parabolique supposé galiléen, nous utilisons, entre la position initiale $\;O\;$ avec une vitesse initiale $\;{\vec {V}}_{0}=v_{0}\;{\vec {u}}_{x}\;$ et
     Dans le référentiel lié au tube parabolique supposé galiléen, nous utilisons, entre une position quelconque $\;M\left(x\,,\,z\right)$ avec une vitesse instantanée $\;v\;$ ;

     le bilan des forces appliquées appliquées au point $\;M\;$ est :

• son poids $\;m\,{\vec {g}}$, force conservative dérivant de l'énergie potentielle de pesanteur $\;U_{\text{pes}}(z)=-m\;g\;z\;$ en prenant pour référence le niveau $\;z=0\;$ et
• la réaction $\;{\vec {R}}\;$ du tube $\;({\mathcal {T}})\;$ sur $\;M$, non conservative, $\;\perp \;$ au vecteur unitaire tangentiel $\;{\vec {\tau }}\;$ compte-tenu de l'absence de frottement, ce qui implique qu'elle ne travaille pas, en effet $\;W_{O\,{\overset {({\mathcal {T}})}{\rightarrow }}\,M}({\vec {R}})=\displaystyle \int _{O\,{\overset {({\mathcal {T}})}{\rightarrow }}\,M}{\vec {R}}\cdot {\overrightarrow {dM}}=0\;$ car $\;{\overrightarrow {dM}}=ds\;{\vec {\tau }}\;$ et $\;{\vec {R}}\perp {\vec {\tau }}$ ;

     l'énergie mécanique $\;E_{m,\,M}(t)\;$ du point $\;M\;$ à l'instant $\;t\;$ est définie par «$\;E_{m,\,M}(t)=K_{M}(t)+U_{{\text{pes}},\,M}(t)\;$» avec $\;K_{M}(t)={\dfrac {1}{2}}\;m\;v^{2}(t)\;$ l'énergie cinétique du point dans le référentiel d'étude au même instant ;

     le théorème de la variation de l'énergie mécanique du point entre la position initiale $\;O\;$ avec une vitesse instantanée $\;v_{0}=\Vert {\vec {V}}_{0}\Vert \;$ et
          le théorème de la variation de l'énergie mécanique du point entre une position quelconque $\;M\left(x\,,\,z\right)\;$ avec une vitesse instantanée $\;v\;$
          le théorème de la variation de l'énergie mécanique du point s'écrit «$\;E_{m,\,M}-E_{m,\,O}=W_{O\,{\overset {({\mathcal {T}})}{\rightarrow }}\,M}({\vec {R}})\;$» soit finalement
          le théorème de la variation de l'énergie mécanique du point s'écrit «$\;\left[{\dfrac {1}{2}}\;m\;v^{2}-m\;g\;z\right]-\left[{\dfrac {1}{2}}\;m\;v_{0}^{2}\right]=0\;$» d'où, après simplification évidente,
          le théorème de la variation de l'énergie mécanique du point l'expression de la vitesse instantanée $\;v\;$ du point $\;M\;$ à un instant $\;t\;$ en fonction, entre autres, de la cote $\;z\;$ du point «$\;v={\sqrt {v_{0}^{2}+2\;g\;z}}\;$».

 

Évaluation de la réaction du tube sur le point M

     Quelle est la norme de la réaction $\;{\vec {R}}\;$ exercée par le tube sur $\;M$ ?

     Expliciter son expression en fonction de $\;z$.

     Pour quelle valeur de $\;v_{0}\;$la réaction $\;{\vec {R}}\;$ exercée par le tube sur $\;M\;$ est-elle toujours nulle ?

Solution

     Pour déterminer la norme de la réaction $\;{\vec {R}}\;$ exercée par le tube sur $\;M$, on projette la r.f.d.n. appliquée au point $\;M\;$ «$\;m\,{\vec {g}}+{\vec {R}}(t)=m\,{\vec {a}}_{M}(t)\;$»
           Pour déterminer la norme de la réaction $\;\color {transparent}{\vec {R}}\;$ exercée par le tube sur $\;\color {transparent}{M}$, on projette la r.f.d.n. sur le vecteur unitaire normal principal $\;{\vec {n}}\;$ soit, en posant $\;{\vec {R}}(t)={\overline {R}}(t)\;{\vec {n}}\;$,
           Pour déterminer la norme de la réaction $\;\color {transparent}{\vec {R}}\;$ exercée par le tube sur $\;\color {transparent}{M}$, on projette la r.f.d.n. «$\;{\overline {R}}(t)+m\;g\;\cos \!\left[\varphi (t)\right]=m\;a_{M,\,n}(t)\;$» avec l'accélération normale $\;a_{M,\,n}(t)={\dfrac {v^{2}(t)}{{\mathcal {R}}(t)}}\;$ soit
           Pour déterminer la norme de la réaction $\;\color {transparent}{\vec {R}}\;$ exercée par le tube sur $\;\color {transparent}{M}$, on projette la r.f.d.n. «$\;{\overline {R}}(t)=m\left\lbrace {\dfrac {v^{2}(t)}{{\mathcal {R}}(t)}}-g\;\cos \!\left[\varphi (t)\right]\right\rbrace \;$» ou encore «$\;{\overline {R}}(t)=m\left\lbrace {\dfrac {v^{2}(t)\,\cos ^{3}\!\left[\varphi (t)\right]}{p}}-g\;\cos \!\left[\varphi (t)\right]\right\rbrace \;$»  ;

           Pour déterminer la norme de la réaction $\;\color {transparent}{\vec {R}}\;$ exercée par le tube sur $\;\color {transparent}{M}$, on projette la r.f.d.n. pour expliciter $\;{\overline {R}}(t)\;$ en fonction de $\;z\;$ on reporte l'expression de $\;v\;$ en fonction de $\;z\;$ et on obtient
           Pour déterminer la norme de la réaction $\;\color {transparent}{\vec {R}}\;$ exercée par le tube sur $\;\color {transparent}{M}$, on projette la r.f.d.n. «$\;{\overline {R}}(t)=m\left\lbrace {\dfrac {\left[v_{0}^{2}+2\;g\;z(t)\right]\cos ^{3}\!\left[\varphi (t)\right]}{p}}-g\;\cos \!\left[\varphi (t)\right]\right\rbrace \;$» ou, en factorisant par $\;\cos \!\left[\varphi (t)\right]$,
           Pour déterminer la norme de la réaction $\;\color {transparent}{\vec {R}}\;$ exercée par le tube sur $\;\color {transparent}{M}$, on projette la r.f.d.n. «$\;{\overline {R}}(t)=m\;\cos \!\left[\varphi (t)\right]\left\lbrace {\dfrac {\left[v_{0}^{2}+2\;g\;z(t)\right]\cos ^{2}\!\left[\varphi (t)\right]}{p}}-g\right\rbrace \;$» soit, en éliminant $\;\cos \!\left[\varphi (t)\right]\;$ au profit de $\;z(t)\;$
           Pour déterminer la norme de la réaction $\;\color {transparent}{\vec {R}}\;$ exercée par le tube sur $\;\color {transparent}{M}$, on projette la r.f.d.n. selon $\;z={\dfrac {p}{2}}\tan ^{2}(\varphi )\;$ $={\dfrac {p}{2}}\left\lbrace \left[1+\tan ^{2}(\varphi )\right]-1\right\rbrace ={\dfrac {p}{2}}\left[{\dfrac {1}{\cos ^{2}(\varphi )}}-1\right]\;$ $\Rightarrow$ $\;{\dfrac {1}{\cos ^{2}(\varphi )}}={\dfrac {2\,z}{p}}+1\;$ ou
           Pour déterminer la norme de la réaction $\;\color {transparent}{\vec {R}}\;$ exercée par le tube sur $\;\color {transparent}{M}$, on projette la r.f.d.n. «$\;\cos ^{2}(\varphi )={\dfrac {1}{{\dfrac {2\,z}{p}}+1}}={\dfrac {p}{2\,z+p}}\;$» $\Rightarrow$ «$\;{\overline {R}}(t)=m\;\cos \!\left[\varphi (t)\right]\left[{\dfrac {v_{0}^{2}+2\;g\;z(t)}{2\;z(t)+p}}-g\right]\;$» soit encore
           Pour déterminer la norme de la réaction $\;\color {transparent}{\vec {R}}\;$ exercée par le tube sur $\;\color {transparent}{M}$, on projette la r.f.d.n. «$\;{\overline {R}}(t)=m\;{\sqrt {\dfrac {p}{2\,z(t)+p}}}\left[{\dfrac {v_{0}^{2}+2\,g\,z(t)}{2\,z(t)+p}}-g\right]\;$» ou, en réduisant au même dénominateur,
           Pour déterminer la norme de la réaction $\;\color {transparent}{\vec {R}}\;$ exercée par le tube sur $\;\color {transparent}{M}$, on projette la r.f.d.n. «$\;{\overline {R}}(t)=m\;{\sqrt {\dfrac {p}{2\,z(t)+p}}}\;{\dfrac {v_{0}^{2}+2\;g\;z(t)-2\;g\;z(t)-p\;g}{2\;z(t)+p}}=m\;{\sqrt {\dfrac {p}{2\,z(t)+p}}}\;{\dfrac {v_{0}^{2}-p\;g}{2\;z(t)+p}}\;$» et au final
           Pour déterminer la norme de la réaction $\;\color {transparent}{\vec {R}}\;$ exercée par le tube sur $\;\color {transparent}{M}$, on projette la r.f.d.n. l'expression de la composante normale de la réaction du tube à l'instant $\;t\;$ «$\;{\overline {R}}(t)={\dfrac {m\;{\sqrt {p}}\,\left(v_{0}^{2}-p\,g\right)}{\left[2\,z(t)+p\right]^{\frac {3}{2}}}}\;$» ou
           Pour déterminer la norme de la réaction $\;\color {transparent}{\vec {R}}\;$ exercée par le tube sur $\;\color {transparent}{M}$, on projette la r.f.d.n. «$\;{\overline {R}}=m\left({\dfrac {p}{2\,z+p}}\right)^{\!{\frac {3}{2}}}\left({\dfrac {v_{0}^{2}}{p}}-g\right)\;$» $\Rightarrow$ «$\;\Vert {\vec {R}}\Vert =m\left({\dfrac {p}{2\,z+p}}\right)^{\!{\frac {3}{2}}}{\Bigg \vert }{\dfrac {v_{0}^{2}}{p}}-g{\Bigg \vert }\;$».

     La réaction $\;{\vec {R}}\;$ du tube sur le point $\;M\;$ sera nulle en toute position de $\;M\;$ dans le tube pour «$\;v_{0}={\sqrt {g\;p}}\;$» $\;{\bigg \{}$adapté à la vitesse horizontale initiale de $\;M\;$ pour une trajectoire parabolique de chute libre
     La réaction $\;\color {transparent}{\vec {R}}\;$ du tube sur le point $\;\color {transparent}{M}\;$ sera nulle en toute position de $\;\color {transparent}{M}\;$ dans le tube pour «$\;\color {transparent}{v_{0}={\sqrt {g\;p}}}\;$» $\;\color {transparent}{\bigg \{}$adapté à la vitesse horizontale initiale de $\;\color {transparent}{M}\;$ pour d'équation cartésienne $\;z={\dfrac {x^{2}}{2\;p}}\;$${\bigg \}}$.

     Complément : on peut alors discuter du signe de $\;{\overline {R}}\;$ en comparant $\;v_{0}\;$ à $\;{\sqrt {g\;p}}\;$ valeur critique pour laquelle la réaction est toujours nulle :
     Complément : $\succ \;$pour $\;v_{0}<{\sqrt {g\;p}}$, $\;{\overline {R}}\;$ est $\;<0\;$ correspondant au contact de $\;M\;$ sur l'intérieur du tube tendant à repousser $\;M\;$ vers l'extérieur $\;{\big (}$la réaction est donc dans le sens contraire de $\;{\vec {n}}{\big )}\;$ et,
     Complément : $\succ \;$pour $\;v_{0}>{\sqrt {g\;p}}$, $\;{\overline {R}}\;$ est $\;>0\;$ correspondant au contact de $\;M\;$ sur l'extérieur du tube tendant à ramener $\;M\;$ vers l'intérieur $\;{\big (}$la réaction est donc dans le sens de $\;{\vec {n}}{\big )}$.

 

À la fête foraine pour tester la force des joueurs

Schéma d'un jeu à la fête foraine pour tester sa force en lançant un chariot a priori en liaison bilatérale sans frottement sur un guide $\;ABCD$, le joueur n'exerçant une force sur le chariot que sur la partie $\;AB\;$ dans le but qu'il atteigne $\;D$

     Dans un stand de fête foraine, on peut tester sa « force » en lançant un chariot $\;(M)$, initialement au repos en $\;A$,
     Dans un stand de fête foraine, on peut tester sa « force » en lançant un chariot $\;\color {transparent}{(M)}$ dans le but que ce dernier atteigne en $\;D$ ;
     pour des raisons de sécurité, le chariot est en liaison bilatérale sur un rail $\;ABCD\;$ situé dans un plan vertical,
     pour des raisons de sécurité, le chariot est en liaison bilatérale sur un rail $\;AC\;$ rectiligne horizontal de longueur $\;2\;l\;$ avec $\;B\;$ milieu de $\;AC\;$ et
     pour des raisons de sécurité, le chariot est en liaison bilatérale sur un rail $\;CD\;$ étant un demi-cercle de rayon $\;r$ ;

     le joueur procède au lancement uniquement sur la partie rectiligne $\;AB\;$ et doit absolument lâcher le chariot en $\;B$ $\;{\big [}$on suppose que la force $\;{\vec {F}}\;$ que le joueur exerce sur $\;(M)\;$ est horizontale et de norme constante sur tout le trajet $\;AB{\big ]}$ ;

     le chariot est de masse $\;m\;$ et on le considère comme ponctuel ;

     l’intensité de la pesanteur terrestre étant constante et notée $\;g$, on néglige tout frottement solide entre le chariot et le rail.

Lancement d'un 1^er joueur : force minimale F_min pour que le chariot atteigne D et réaction du guide en D quand F = F_min

     Un 1^er joueur permet au chariot d’atteindre $\;D$ :

• quelle force minimale $\;F_{\text{min}}\;$ a-t-il exercée sur $\;(M)\;$ ?
• Quelle est alors la réaction $\;{\vec {R}}_{1}\;$ du rail sur le chariot en $\;D$ $\;{\big [}$on précisera sa direction, son sens et sa norme${\big ]}\;$ dans le cas où $\;F=F_{\text{min}}$ ?

Solution

Schéma d'un jeu à la fête foraine pour tester sa force en lançant un chariot $\;(M)\;$ a priori en liaison bilatérale sans frottement sur un guide $\;ABCD$, le joueur n'exerçant une force sur le chariot que sur la partie $\;AB\;$ dans le but qu'il atteigne $\;D\;$ avec représentation des forces exercées sur $\;(M)\;$ et de la base locale de Frenet associée au chariot

     Le chariot étant en liaison bilatérale est guidé et la seule condition pour qu'il arrive en $\;D\;$ est que sa vitesse ne s'annule pas avant le point $\;D$ ;
     les forces s'exerçant sur lui sont :

     $\succ \;$sur la totalité du guide $\blacktriangleright \;$son poids $\;m\;{\vec {g}}$, force conservative dérivant de l'énergie potentielle de pesanteur $\;U_{\text{pes}}(M)=m\;g\;z\;$ où
     $\color {transparent}{\succ }\;$sur la totalité du guide $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$son poids $\;\color {transparent}{m\;{\vec {g}}}$ $\;z\;$ est l'altitude du chariot $\;(M)$,
     $\color {transparent}{\succ }\;$sur la totalité du guide $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$son poids $\;\color {transparent}{m\;{\vec {g}}}$, l'origine $\;O\;$ de l'axe vertical $\;\uparrow$ $\;{\overrightarrow {z'z}}\;$ étant au niveau de la partie la plus basse du guide et
     $\color {transparent}{\succ }\;$sur la totalité du guide $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$son poids $\;\color {transparent}{m\;{\vec {g}}}$, l'origine $\;\color {transparent}{O}\;$ étant choisie comme référence de l'énergie potentielle de pesanteur,

     $\color {transparent}{\succ }\;$sur la totalité du guide $\blacktriangleright \;$la réaction $\;{\vec {R}}\;$ du rail $\;({\mathcal {G}})\;$ sur le chariot $\;(M)$, non conservative et
     $\color {transparent}{\succ }\;$sur la totalité du guide $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$la réaction $\;\color {transparent}{\vec {R}}\;$ ne travaillant pas dans la mesure où elle est toujours $\;\perp \;$ au rail en absence de frottement, c.-à-d. avec
     $\color {transparent}{\succ }\;$sur la totalité du guide $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$la réaction $\;\color {transparent}{\vec {R}}\;$ $\;P\;$ position quelconque du guide, $\;W_{A\,{\overset {({\mathcal {G}}}{\rightarrow }}\,P}({\vec {R}})=\displaystyle \int _{A\,{\overset {({\mathcal {G}}}{\rightarrow }}\,P}{\vec {R}}\cdot {\overrightarrow {dM}}=0\;$ $\;\left\lbrace {\begin{array}{l c l}{\overrightarrow {dM}}\!\!&=&\!\!ds\;{\vec {\tau }}\\{\vec {R}}\!\!&\perp &\!\!{\vec {\tau }}\end{array}}\right\rbrace \;$,

     $\succ \;$uniquement sur la partie $\;AB\;$ du guide $\blacktriangleright \;$la force de lancement $\;{\vec {F}}\;$ horizontale, supposée constante et considérée non conservative
     $\color {transparent}{\succ }\;$uniquement sur la partie $\;\color {transparent}{AB}\;$ du guide $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$la force de lancement $\;\color {transparent}{\vec {F}}\;$ de travail moteur $\;W_{A\,{\overset {({\mathcal {G}}}{\rightarrow }}\,B}({\vec {F}})=\displaystyle \int _{A\,{\overset {({\mathcal {G}}}{\rightarrow }}\,B}{\vec {F}}\cdot {\overrightarrow {dM}}>0\;$ ou, avec
     $\color {transparent}{\succ }\;$uniquement sur la partie $\;\color {transparent}{AB}\;$ du guide $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$la force de lancement $\;\color {transparent}{\vec {F}}\;$ $\;{\vec {F}}=F\;{\vec {u}}_{x}\;$ ${\big \{}F=cste>0\;$ étant la composante de la force sur l'axe
     $\color {transparent}{\succ }\;$uniquement sur la partie $\;\color {transparent}{AB}\;$ du guide $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$la force de lancement $\;\color {transparent}{\vec {F}}\;$ avec $\;\color {transparent}{{\vec {F}}=F\;{\vec {u}}_{x}}\;$ $\color {transparent}{{\big \{}F=cste}\;$ horizontal $\;{\overrightarrow {x'x}}\;$ orienté de $\;A\;$ vers $\;B{\big \}}\;$
     $\color {transparent}{\succ }\;$uniquement sur la partie $\;\color {transparent}{AB}\;$ du guide $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$la force de lancement $\;\color {transparent}{\vec {F}}\;$ et $\;{\overrightarrow {dM}}_{{\text{sur }}AB}=dx\;{\vec {u}}_{x}$, la réécriture du travail moteur selon
     $\color {transparent}{\succ }\;$uniquement sur la partie $\;\color {transparent}{AB}\;$ du guide $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$la force de lancement $\;\color {transparent}{\vec {F}}\;$ «$\;W_{A\,{\overset {({\mathcal {G}}}{\rightarrow }}\,B}({\vec {F}})=\displaystyle \int _{x_{A}}^{x_{B}}F\;dx=F\left(x_{B}-x_{A}\right)=F\;l>0\;$» ;

     l'énergie mécanique $\;E_{m,\,M}(t)\;$ du chariot $\;(M)\;$ à l'instant $\;t\;$ étant définie par «$\;E_{m,\,M}(t)=K_{M}(t)+U_{{\text{pes}},\,M}(t)\;$» avec
          l'énergie mécanique $\;\color {transparent}{E_{m,\,M}(t)}\;$ du chariot $\;\color {transparent}{(M)}\;$ à l'instant $\;\color {transparent}{t}\;$ étant définie par «$\;K_{M}(t)={\dfrac {1}{2}}\;m\;v_{M}^{\,2}(t)\;$ l'énergie cinétique du chariot au même instant », «$\;v_{M}(t)\;$ y étant la vitesse instantanée  » ou
          l'énergie mécanique $\;\color {transparent}{E_{m,\,M}(t)}\;$ du chariot $\;\color {transparent}{(M)}\;$ à l'instant $\;\color {transparent}{t}\;$ étant définie par «$\;E_{m,\,M}(t)={\dfrac {1}{2}}\;m\;v_{M}^{\,2}(t)+m\;g\;z(t)\;$» avec «$\;z(t)\;$ l'altitude de $\;(M)\;$ à l'instant $\;t\;$»,
     l'utilisation du théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué au chariot entre sa position initiale et
          l'utilisation du théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué au chariot entre une position $\;P\;$ quelconque au-delà de $\;B\;$
          l'utilisation du théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué au chariot entre une position $\;\color {transparent}{P}\;$ atteinte à l'instant $\;t\;$ avec une vitesse instantanée $\;v_{M}(t)\;$ et
          l'utilisation du théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué au chariot entre une position $\;\color {transparent}{P}\;$ atteinte à l'instant $\;\color {transparent}{t}\;$ avec une altitude $\;z(t)=\left\lbrace {\begin{array}{c l}r-r\;\cos \!\left[\theta (t)\right]&\!\!{\text{sur }}CD\\0&\!\!{\text{sur }}BC\end{array}}\right\rbrace \;$
          l'utilisation du théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué au chariot nous donne, suivant la position finale considérée :

• « position $\;P\;$ sur la partie $\;BC\;$», «$\;E_{m,\,M}(t_{P})\;{\cancel {-E_{m,\,M}(t_{A})}}=W_{A\,{\overset {({\mathcal {G}}}{\rightarrow }}\,B}({\vec {F}})\;$» ou $\;{\dfrac {1}{2}}\;m\;v_{M}^{\,2}(t_{P})=F\;l\;$ soit «$\;v_{M}(t_{P})={\sqrt {\dfrac {2\;F\;l}{m}}}\neq 0\;$» et
• « position $\;P\;$ sur la partie $\;CD\;$», «$\;E_{m,\,M}(t_{P})\;{\cancel {-E_{m,\,M}(t_{A})}}=W_{A\,{\overset {({\mathcal {G}}}{\rightarrow }}\,B}({\vec {F}})\;$» ou $\;{\dfrac {1}{2}}\;m\;v_{M}^{\,2}(t_{P})+m\;g\;r\left\lbrace 1-\cos \!\left[\theta (t_{P})\right]\right\rbrace =F\;l\;$ soit «$\;v_{M}^{\,2}(t_{P})={\dfrac {2\;F\;l}{m}}-2\;g\,r\left\lbrace 1-\cos \!\left[\theta (t_{P})\right]\right\rbrace \;$»
        « position $\;\color {transparent}{P}\;$ sur la partie $\;\color {transparent}{CD}\;$», «$\;\color {transparent}{E_{m,\,M}(t_{P})\;{\cancel {-E_{m,\,M}(t_{A})}}=W_{A\,{\overset {({\mathcal {G}}}{\rightarrow }}\,B}({\vec {F}})}\;$» ou $\;\color {transparent}{{\dfrac {1}{2}}\;m\;v_{M}^{\,2}(t_{P})+m\;g\;r\left\lbrace 1-\cos \!\left[\theta (t_{P})\right]\right\rbrace =F\;l}\;$ soit lequel est $\;\geqslant 0\;$ si cette position est effectivement atteinte ;

     en conclusion le chariot pourra atteindre la position $\;D\;$ si « la fonction $\;f(\theta )={\dfrac {2\;F\;l}{m}}-2\;g\,r\left[1-\cos(\theta )\right]\;$ est $\;\geqslant 0\;\forall \;\theta \in \left[0\,,\,\pi \right]\;$» et
     en conclusion le chariot pourra atteindre la position $\;\color {transparent}{D}\;$ ceci est réalisé dans la mesure où « le minimum $\;\min \limits _{\theta \,\in \,\left[0\,,\,\pi \right]}f(\theta )\;$ est $\;\geqslant 0\;$»,
     en conclusion le chariot pourra atteindre la position $\;\color {transparent}{D}\;$ or $\;f(\theta )\;$ étant une fonction $\;\searrow \;$ de $\;\theta$, la condition se réécrit «$\;\min \limits _{\theta \,\in \,\left[0\,,\,\pi \right]}f(\theta )=f(\pi )\geqslant 0\;$» ou «$\;f(\pi )={\dfrac {2\;F\;l}{m}}-4\;g\,r\geqslant 0\;$» soit finalement
     en conclusion le chariot pourra atteindre la position $\;\color {transparent}{D}\;$ l'expression de la force qu'un joueur doit exercer sur le chariot pour que ce dernier atteigne la position $\;D\;$ «$\;F\geqslant m\;g\;{\dfrac {2\;r}{l}}=F_{\text{min}}\;$».

     Dans le cas où $\;F=F_{\text{min}}$, la vitesse instantanée d’arrivée du chariot en $\;D\;$ vaut $\;v_{M}(t_{D})=0$ ;

     Dans le cas où $\;\color {transparent}{F=F_{\text{min}}}$, appliquant la r.f.d.n. au chariot en la position $\;D\;$ on obtient «$\;{\vec {R}}_{1}+m\;{\vec {g}}=m\;{\vec {a}}_{M}(t_{D})\;$» soit, en projetant sur $\;{\vec {n}}(t_{D})=-{\vec {u}}_{z}\;$ noté $\;{\vec {n}}_{D}\;$ sur le schéma,
           Dans le cas où $\;\color {transparent}{F=F_{\text{min}}}$, appliquant la r.f.d.n. au chariot en la position $\;\color {transparent}{D}\;$ on obtient «$\;{\overline {R_{1,\,n}}}+m\;g=m\;a_{M,\,n}(t_{D})\;$» avec l'accélération normale du chariot en $\,D$ $\;a_{M,\,n}(t_{D})={\dfrac {v_{M}^{\,2}(t_{D})}{r}}\;$ $\;=0\;$
           Dans le cas où $\;\color {transparent}{F=F_{\text{min}}}$, appliquant la r.f.d.n. au chariot en la position $\;\color {transparent}{D}\;$ on obtient «$\;\color {transparent}{{\overline {R_{1,\,n}}}+m\;g=m\;a_{M,\,n}(t_{D})}\;$» avec l'accélération normale par nullité de la vitesse instantanée en $\;D\;$ d'où
           Dans le cas où $\;\color {transparent}{F=F_{\text{min}}}$, appliquant la r.f.d.n. au chariot en la position $\;\color {transparent}{D}\;$ on obtient «$\;{\overline {R_{1,\,n}}}=-m\;g<0\;$» c.-à-d. une réaction du rail qui est centrifuge en $\;D\;$ selon
           Dans le cas où $\;\color {transparent}{F=F_{\text{min}}}$, appliquant la r.f.d.n. au chariot en la position $\;\color {transparent}{D}\;$ on obtient «$\;{\vec {R}}_{1}={\overline {R_{1,\,n}}}\;{\vec {n}}_{D}=-m\;g\;{\vec {n}}_{D}=m\;g\;{\vec {u}}_{z}=-m\;{\vec {g}}\;$»  ;
           Dans le cas où $\;\color {transparent}{F=F_{\text{min}}}$, appliquant la r.f.d.n. au chariot en la position $\;\color {transparent}{D}\;$ on obtient le chariot en $\;D\;$ repose que la partie inférieure du rail .

 

Lancement d'un 2^ème joueur moins fort : position extrême atteinte par le chariot et réaction du guide en cette position

     Un deuxième joueur, « moins fort » que le précédent, exerce une force $\;F_{2}={\dfrac {F_{\text{min}}}{2}}\;$ :

• jusqu'en quelle position $\;M_{f}\;$ le chariot arrivera-t-il $\;{\bigg [}$on précisera $\;\theta _{f}={\widehat {\left({\overrightarrow {OC}}\,,\,{\overrightarrow {OM_{f}}}\right)}}{\bigg ]}$ ?
• Quelle est alors la réaction $\;{\vec {R}}_{2}\;$ du rail sur le chariot en cette position ?

Solution

     Le 2^ème joueur, « moins fort » que le 1^er, exerce une force $\;F_{2}={\dfrac {F_{\text{min}}}{2}}\;$ laquelle, étant $\;<\;$ à $\;F_{\text{min}}$, ne permet pas au chariot d'atteindra la position $\;D$,
           Le 2^ème joueur, « moins fort » que le 1^er, exerce une force $\;\color {transparent}{F_{2}=F_{\text{min}}}\;$ c.-à-d. que la vitesse instantanée de ce dernier s'annule en une position $\;M_{f}\;$ précédant celle de $\;D$,
                 Le 2^ème joueur, « moins fort » que le 1^er, exerce une force $\;\color {transparent}{F_{2}=F_{\text{min}}}\;$ c.-à-d. que la vitesse instantanée de ce dernier s'annule en une position $\;\color {transparent}{M_{f}}\;$ d’abscisse angulaire $\;\theta _{f}={\widehat {\left({\overrightarrow {OC}}\,,\,{\overrightarrow {OM_{f}}}\right)}}\;$
                 Le 2^ème joueur, « moins fort » que le 1^er, exerce une force $\;\color {transparent}{F_{2}=F_{\text{min}}}\;$ c.-à-d. que la vitesse instantanée de ce dernier s'annule en une position $\;\color {transparent}{M_{f}}\;$ définie par $\;K_{M}(t_{M_{f}})={\dfrac {1}{2}}\;m\;v_{M}^{\,2}(t_{M_{f}})=0\;$ soit,
           Le 2^ème joueur, « moins fort » que le 1^er, exerce une force $\;\color {transparent}{F_{2}=F_{\text{min}}}\;$ sachant que $\;{\dfrac {1}{2}}\;m\;v_{M}^{\,2}(t_{P})+m\;g\;r\left\lbrace 1-\cos \!\left[\theta (t_{P})\right]\right\rbrace =F\;l\;$ pour $\;P\;$ sur la partie $\;CD\;$ en faisant $\;P=M_{f}\;$ et $\;F={\dfrac {F_{\text{min}}}{2}}$,
           Le 2^ème joueur, « moins fort » que le 1^er, exerce une force $\;\color {transparent}{F_{2}=F_{\text{min}}}\;$ «$\;{\cancel {{\dfrac {1}{2}}\;m\;v_{M}^{\,2}(t_{M_{f}})}}+m\;g\;r\left\lbrace 1-\cos \!\left[\theta (t_{M_{f}})\right]\right\rbrace ={\dfrac {F_{\text{min}}}{2}}\;l\;$» soit encore, avec le report de $\;F_{\text{min}}=m\;g\;{\dfrac {2\;r}{l}}\;$,
           Le 2^ème joueur, « moins fort » que le 1^er, exerce une force $\;\color {transparent}{F_{2}=F_{\text{min}}}\;$ «$\;m\;g\;r\left\lbrace 1-\cos \!\left[\theta (t_{M_{f}})\right]\right\rbrace =m\;g\;r\;$» ou, après simplification évidente, «$\;\cos \!\left[\theta (t_{M_{f}})\right]=0\;$» $\Rightarrow$ «$\;\theta (t_{M_{f}})={\dfrac {\pi }{2}}\;$» c.-à-d.
           Le 2^ème joueur, « moins fort » que le 1^er, exerce une force $\;\color {transparent}{F_{2}=F_{\text{min}}}\;$ «$\;\color {transparent}{m\;g\;r\left\lbrace 1-\cos \!\left[\theta (t_{M_{f}})\right]\right\rbrace =m\;g\;r}\;$» ou, après simplification évidente, «$\;\color {transparent}{\cos \!\left[\theta (t_{M_{f}})\right]=0}\;$» $\color {transparent}{\Rightarrow }$ la « position $\;M_{f}=E\;$ ».

     Dans le cas où $\;F={\dfrac {F_{\text{min}}}{2}}$, la vitesse instantanée d'arrivée du chariot en $\;M_{f}=E\;$ vaut $\;v_{M}(t_{M_{f}})=0$ ;

      Dans le cas où $\;\color {transparent}{F=F_{\text{min}}}$, appliquant la r.f.d.n. au chariot en la position $\;M_{f}=E\;$ $\Rightarrow$ «$\;{\vec {R}}_{2}+m\;{\vec {g}}=m\;{\vec {a}}_{M}(t_{M_{f}})\;$» soit, en projetant sur $\;{\vec {n}}(t_{E})=-{\vec {u}}_{x}\;$ noté $\;{\vec {n}}_{E}\;$ sur le schéma ,
            Dans le cas où $\;\color {transparent}{F=F_{\text{min}}}$, appliquant la r.f.d.n. au chariot en la position $\;\color {transparent}{M_{f}=E}\;$ $\color {transparent}{\Rightarrow }$ «$\;{\overline {R_{2,\,n}}}+0=m\;a_{M,\,n}(t_{M_{f}})\;$» avec l'accélération normale de $\;(M)\;$ en $\,M_{f}$ $\;a_{M,\,n}(t_{M_{f}})={\dfrac {v_{M}^{\,2}(t_{M_{f}})}{r}}\;$ $\;=0\;$
            Dans le cas où $\;\color {transparent}{F=F_{\text{min}}}$, appliquant la r.f.d.n. au chariot en la position $\;\color {transparent}{M_{f}=E}\;$ $\color {transparent}{\Rightarrow }$ «$\;\color {transparent}{{\overline {R_{2,\,n}}}+0=m\;a_{M,\,n}(t_{M_{f}})}\;$» avec l'accélération normale par nullité de la vitesse instantanée en $\;M_{f}\;$ d'où
            Dans le cas où $\;\color {transparent}{F=F_{\text{min}}}$, appliquant la r.f.d.n. au chariot en la position $\;\color {transparent}{M_{f}=E}\;$ $\color {transparent}{\Rightarrow }$ «$\;{\overline {R_{2,\,n}}}=0\;$» c.-à-d. une réaction du rail qui est nulle en $\;M_{f}=E\;$ selon «$\;{\vec {R}}_{2}={\overline {R_{2,\,n}}}\;{\vec {n}}_{E}={\vec {0}}\;$»  ;
            Dans le cas où $\;\color {transparent}{F=F_{\text{min}}}$, appliquant la r.f.d.n. au chariot en la position $\;\color {transparent}{M_{f}=E}\;$ $\color {transparent}{\Rightarrow }$ le chariot $\;(M)\;$ « flotte » dans le guide en $\;M_{f}=E\;$,
            Dans le cas où $\;\color {transparent}{F=F_{\text{min}}}$, appliquant la r.f.d.n. au chariot en la position $\;\color {transparent}{M_{f}=E}\;$ $\color {transparent}{\Rightarrow }$ le mouvement ultérieur de $\;(M)\;$ débute verticalement dans le sens descendant et se poursuit le long du guide.

 

Chariot temporairement en liaison unilatérale

     Un défaut de sécurité fait qu'à présent le chariot n’est plus en liaison bilatérale mais unilatérale.

Force minimale F'_min pour que le chariot atteigne D, vitesse du chariot en cette position et point de retombée de ce dernier sur le rail

     Quelle force minimale $\;{F'}_{\!{\text{m}}}\;$ un joueur doit-il exercer sur $\;(M)\;$ pour que le chariot atteigne $\;D$ ?

     Quelle est alors la vitesse du chariot quand ce dernier atteint $\;D\;$ dans le cas $\;F={F'}_{\!{\text{min}}}$ ?

     En quel point du rail le chariot va-t-il retomber ?

Solution

     Pour que le chariot $\;(M)\;$ atteigne la position $\;D\;$ quand il est en liaison unilatérale, il faut que la réaction $\;{\vec {R}}\;$ que le rail exerce sur $\;(M)\;$ soit constamment centripète sur le parcours $\;CD$ ;

     supposant que le mouvement circulaire de $\;(M)\;$ sur $\;CD\;$ soit possible , le carré de la vitesse instantanée du chariot en une position $\;P\;$ de la partie circulaire $\;CD\;$ déterminée précédemment à savoir
          supposant que le mouvement circulaire de $\;\color {transparent}{(M)}\;$ sur $\;\color {transparent}{CD}\;$ soit possible, «$\;v_{M}^{\,2}(t_{P})={\dfrac {2\;F\;l}{m}}-2\;g\,r\left\lbrace 1-\cos \!\left[\theta (t_{P})\right]\right\rbrace \;$» reste applicable en liaison unilatérale , mais, a priori, en liaison unilatérale,
          supposant que le mouvement circulaire de $\;\color {transparent}{(M)}\;$ sur $\;\color {transparent}{CD}\;$ soit possible, il ne suffit plus que la fonction de $\;\theta (t_{P})\;$ ci-dessus soit $\;\geqslant 0$ $\;{\big (}$tout en restant évidemment nécessaire${\big )}\;$ pour que $\;D\;$ soit atteint,
          supposant que le mouvement circulaire de $\;\color {transparent}{(M)}\;$ sur $\;\color {transparent}{CD}\;$ soit possible, la nouvelle exigence étant que la composante normale de la réaction du rail $\;{\overline {R_{n}(t_{P})}}={\vec {R}}(t_{P})\cdot {\vec {n}}(t_{P})\;$ soit $\;>0$ ;

          supposant que le mouvement circulaire de $\;\color {transparent}{(M)}\;$ sur $\;\color {transparent}{CD}\;$ soit possible, pour déterminer $\;{\overline {R_{n}(t_{P})}}\;$ on applique la r.f.d.n. à $\;(M)\;$ quand ce dernier occupe une position $\;P\;$ de la partie circulaire $\;CD\;$
          supposant que le mouvement circulaire de $\;\color {transparent}{(M)}\;$ sur $\;\color {transparent}{CD}\;$ soit possible, «$\;m\;{\vec {g}}+{\vec {R}}(t_{P})=m\;{\vec {a}}_{M}(t_{P})\;$» que l'on projette sur $\;{\vec {n}}(t_{P})\;$ d'où «$\;-m\;g\;\cos \!\left[\theta (t_{p})\right]+{\overline {R_{n}(t_{P})}}=m\;a_{M,\,n}(t_{P})\;$» avec
               supposant que le mouvement circulaire de $\;\color {transparent}{(M)}\;$ sur $\;\color {transparent}{CD}\;$ soit possible, «$\;\color {transparent}{m\;{\vec {g}}+{\vec {R}}(t_{P})=m\;{\vec {a}}_{M}(t_{P})}\;$» que l'on projette sur $\;\color {transparent}{{\vec {n}}(t_{P})}\;$ d'où $\;a_{M,\,n}(t_{P})={\dfrac {v_{M}^{\,2}(t_{P})}{r}}\;$ l'accélération normale du chariot,
          supposant que le mouvement circulaire de $\;\color {transparent}{(M)}\;$ sur $\;\color {transparent}{CD}\;$ soit possible, «$\;{\overline {R_{n}(t_{P})}}=m\left\lbrace {\dfrac {v_{M}^{\,2}(t_{P})}{r}}+g\;\cos \!\left[\theta (t_{p})\right]\right\rbrace \;$» pour une position $\;P\;$ quelconque de la partie circulaire $\;CD$ ;

          supposant que le mouvement circulaire de $\;\color {transparent}{(M)}\;$ sur $\;\color {transparent}{CD}\;$ soit possible, on y reporte alors l'expression de $\;v_{M}^{\,2}(t_{P})={\dfrac {2\;F\;l}{m}}-2\;g\,r\left\lbrace 1-\cos \!\left[\theta (t_{P})\right]\right\rbrace \;$ rappelée ci-dessus, ce qui donne
          supposant que le mouvement circulaire de $\;\color {transparent}{(M)}\;$ sur $\;\color {transparent}{CD}\;$ soit possible, «$\;{\overline {R_{n}(t_{P})}}=m\left\lbrace {\dfrac {2\;F\;l}{m\;r}}-2\;g\left\lbrace 1-\cos \!\left[\theta (t_{P})\right]\right\rbrace +g\;\cos \!\left[\theta (t_{p})\right]\right\rbrace ={\dfrac {2\;F\;l}{r}}-2\;m\;g+3\;m\;g\;\cos \!\left[\theta (t_{p})\right]\;$»
                                                                                                                                supposant que le mouvement circulaire de $\;\color {transparent}{(M)}\;$ sur $\;\color {transparent}{CD}\;$ soit possible, sous l'hypothèse de maintien de contact avec le rail ;

          supposant que le mouvement circulaire de $\;\color {transparent}{(M)}\;$ sur $\;\color {transparent}{CD}\;$ soit possible, $(M)\;$ en liaison unilatérale pourra atteindre la position $\;D\;$ si «$\;h(\theta )={\dfrac {2\;F\;l}{r}}-2\;m\;g+3\;m\;g\;\cos(\theta )\;$ est $\;>0,\;\forall \;\theta \in \left[0\,,\,\pi \right]\;$»,
          supposant que le mouvement circulaire de $\;\color {transparent}{(M)}\;$ sur $\;\color {transparent}{CD}\;$ soit possible, cette fonction $\;h(\theta )\;$ étant $\;\searrow$, « ses valeurs seront $\;>0\;$ ssi son minimum l'est c.-à-d.
          supposant que le mouvement circulaire de $\;\color {transparent}{(M)}\;$ sur $\;\color {transparent}{CD}\;$ soit possible, cette fonction $\;\color {transparent}{h(\theta )}\;$ étant $\;\color {transparent}{\searrow }$, « ses valeurs seront $\;\color {transparent}{>0}\;$ ssi $\;\min \limits _{\theta \,\in \,\left[0\,,\,\pi \right]}h(\theta )=h(\pi )>0\;$» avec $\;h(\pi )={\dfrac {2\;F\;l}{r}}-5\;m\;g\;$ d'où
          supposant que le mouvement circulaire de $\;\color {transparent}{(M)}\;$ sur $\;\color {transparent}{CD}\;$ soit possible, la réécriture de la C.N.S. «$\;h(\pi )={\dfrac {2\;F\;l}{r}}-5\;m\;g>0\;$» $\Leftrightarrow$ «$\;F>m\;g\;{\dfrac {5\;r}{2\;l}}={F'}_{\!{\text{min}}}\;$» avec «$\;{F'}_{\!{\text{min}}}={\dfrac {5}{4}}\;F_{\text{min}}>F_{\text{min}}\;$».

     Dans le cas où $\;F={F'}_{\!{\text{min}}}$, la vitesse instantanée d’arrivée du chariot en $\;D\;$ vaut «$\;v_{M}(t_{D})={\sqrt {{\dfrac {2\;{F'}_{\text{min}}\;l}{m}}-2\;g\,r\left[1-\cos(\pi )\right]}}={\sqrt {5\;g\;r-4\;g\;r}}\;$» soit finalement
           Dans le cas où $\;\color {transparent}{F={F'}_{\!{\text{min}}}}$, la vitesse instantanée d’arrivée du chariot en $\;\color {transparent}{D}\;$ vaut «$\;v_{M}(t_{D}^{-})={\sqrt {g\;r}}\;$» $\;{\big [}$en la position $\;D\;$ le vecteur vitesse est horizontal dirigé dans le sens de $\;{\vec {\tau }}_{D}=-{\vec {u}}_{x}{\big ]}$.

     Dans le cas où $\;\color {transparent}{F={F'}_{\!{\text{min}}}}$, À partir de $\;D$, le chariot a un mouvement de chute libre, son accélération étant «$\;{\vec {a}}_{M}={\vec {g}}\;$» et son vecteur vitesse de début de phase «$\;{\vec {V}}_{M}(t_{D}^{+})={\vec {V}}(t_{D}^{-})=-{\sqrt {g\;r}}\;{\vec {u}}_{x}\;$»
     Dans le cas où $\;\color {transparent}{F={F'}_{\!{\text{min}}}}$, À partir de $\;\color {transparent}{D}$, le chariot a un mouvement de chute libre ${\big (}$on fait alors le changement d'origine des temps $\;t'=t-t_{D}\;$ pour que le début de phase devienne l'instant initial${\big )}$ ;

     Dans le cas où $\;\color {transparent}{F={F'}_{\!{\text{min}}}}$, avec un axe horizontal $\;{\overrightarrow {X'X}}\;$ orienté vers la gauche ainsi qu'un axe vertical $\;{\overrightarrow {Z'Z}}\;$ $\downarrow \;$ et le choix de $\;D\;$ comme origine du repère,
     Dans le cas où $\;\color {transparent}{F={F'}_{\!{\text{min}}}}$, avec $\blacktriangleright \;$le projeté de $\;(M)\;$ sur $\;{\overrightarrow {X'X}}\;$ a un mouvement rectiligne uniforme de vitesse «$\;v_{X}={\sqrt {g\;r}}\;$» $\Rightarrow$ «$\;X={\sqrt {g\;r}}\;t'\;$» et
     Dans le cas où $\;\color {transparent}{F={F'}_{\!{\text{min}}}}$, avec $\blacktriangleright \;$       celui de $\;(M)\;$ sur $\;{\overrightarrow {Z'Z}}\;$     un mouvement rectiligne uniformément accéléré sans vitesse initiale soit «$\;v_{Z}=g\;t'\;$» $\Rightarrow$ «$\;Z={\dfrac {g}{2}}\;{t'}^{2}\;$»  ;      Dans le cas où $\;\color {transparent}{F={F'}_{\!{\text{min}}}}$, on en déduit l'équation cartésienne de la trajectoire de $\;(M)\;$ en éliminant le temps $\;t'\;$ entre ces deux lois horaires scalaires de position
     Dans le cas où $\;\color {transparent}{F={F'}_{\!{\text{min}}}}$, on en déduit l'équation cartésienne de la trajectoire de $\;\color {transparent}{(M)}\;$ en éliminant le temps $\;\color {transparent}{t'}\;$ par $\;t'={\dfrac {X}{\sqrt {g\;r}}}\;$ que l'on reporte dans la 2^ème soit $\;Z={\dfrac {g}{2}}\;{\dfrac {X^{2}}{g\;r}}\;$ ou
     Dans le cas où $\;\color {transparent}{F={F'}_{\!{\text{min}}}}$, on en déduit l'équation cartésienne «$\;Z={\dfrac {X^{2}}{2\;r}}\;$» équation cartésienne d'une parabole ,
     Dans le cas où $\;\color {transparent}{F={F'}_{\!{\text{min}}}}$, le point du rail sur lequel le chariot retombe étant $\;M_{\text{chute}}\;$ de coordonnées cartésiennes «$\;Z_{\text{chute}}=2\;r\;$» et «$\;X_{\text{chute}}={\sqrt {Z_{\text{chute}}\;(2\;r)}}=2\;r\;$» ;
     Dans le cas où $\;\color {transparent}{F={F'}_{\!{\text{min}}}}$, en conclusion $\;M_{\text{chute}}\;$ se trouve sur la partie rectiligne du rail $\;AC\;$ à une distance $\;2\;r\;$ en deçà du point $\;C$.

 

Nouvelle tentative du 2^ème joueur

     Le 2^ème joueur refait alors une tentative en exerçant une force $\;F_{2}={\dfrac {F_{\text{min}}}{2}}\;$ ; vérifier qu'il n’y a rien de changé pour lui.

Solution

     Le 2^ème joueur refait alors une tentative en exerçant la même force $\;F_{2}={\dfrac {F_{\text{min}}}{2}}\;$ ;
     avec cette valeur de force, le chariot en liaison bilatérale ayant obtenu une vitesse instantanée nulle $\;{\big (}$caractérisant la fin de mouvement en liaison bilatérale${\big )}\;$ simultanément à
     avec cette valeur de force, le chariot en liaison bilatérale ayant obtenu une réaction du rail nulle $\;{\big (}$laquelle caractérise la fin de tout mouvement en liaison unilatérale${\big )}\;$,
     avec cette valeur de force, il n'y a donc rien de changé pour le chariot quand il passe d'une liaison bilatérale à une liaison unilatérale.

 

Nouveau lancement du 1^er joueur

     Le 1^er joueur refait lui aussi un lancement en exerçant une force $\;F_{1}=F_{\text{min}}\;$ ; vérifier que le chariot $\;(M)\;$ n'atteint pas $\;D\;$ et

          Le 1^er joueur refait lui aussi un lancement en exerçant une force $\;\color {transparent}{F_{1}=F_{\text{min}}}\;$ ; déterminer la position $\;{M'}_{\!f}\;$ où il y a rupture de contact entre $\;(M)\;$ et le rail $\;{\bigg [}$préciser $\;{\theta '}_{f}={\widehat {\left({\overrightarrow {OC}}\,,\,{\overrightarrow {O{M'}_{\!f}}}\right)}}{\bigg ]}$ ?

          Le 1^er joueur refait lui aussi un lancement en exerçant une force $\;\color {transparent}{F_{1}=F_{\text{min}}}\;$ ; Quelle est alors le vecteur vitesse de $\;(M)\;$ en cette position $\;{\big [}$préciser sa direction, son sens et sa norme${\big ]}$ ?

Solution

Schéma d'un jeu à la fête foraine pour tester sa force en lançant un chariot $\;(M)\;$ en liaison unilatérale sans frottement sur un guide $\;ABCD$, le joueur exerçant la force minimale sur le chariot pendant le trajet $\;AB\;$ dans le but que $\;(M)\;$ puisse atteindre $\;D\;$ dans l'hypothèse où il serait en liaison bilatérale avec repérage de la position de rupture $\;{M'}_{\!f}\;$ de liaison unilatérale ainsi que du vecteur vitesse du chariot à cet instant de rupture

     Le 1^er joueur refait lui aussi une tentative en exerçant une force $\;F_{1}=F_{\text{min}}=m\;g\;{\dfrac {2\;r}{l}}\;$ laquelle, étant $\;<\;$ à $\;{F'}_{\!{\text{min}}}$ $\;{\big \{}$valeur minimale pour que le chariot $\;(M)$, en liaison unilatérale, aille jusqu'à l'extrémité supérieure $\;D\;$ de la partie circulaire du rail${\big \}}\;$, ne permet pas à $\;(M)\;$ d'atteindre $\;D$ ;

     la composante normale de la réaction exercée par le rail sur $\;(M)\;$ dans l'hypothèse d'un contact effectif $\;{\big (}$par exemple avec une liaison bilatérale${\big )}$
     la composante normale de la réaction «$\;{\overline {R_{n}(t_{P})}}={\dfrac {2\;F_{1}\;l}{r}}-2\;m\;g+3\;m\;g\;\cos \!\left[\theta (t_{p})\right],\;P\;\in \;CD\;$» prenant,
     la composante normale de la réaction en $\;C$, une valeur $\;>0\;$ ${\Bigg \{}$«$\;{\overline {R_{n}(t_{C})}}={\dfrac {2\;m\;g\;{\dfrac {2\;r}{l}}\;l}{r}}-2\;m\;g+3\;m\;g\;\cos \!\left[0\right]=5\;m\;g\;>0\;$»${\Bigg \}}\;$ et
     la composante normale de la réaction en $\;D$, une valeur $\;<0\;$ ${\Bigg \{}$«$\;{\overline {R_{n}(t_{D})}}={\dfrac {2\;m\;g\;{\dfrac {2\;r}{l}}\;l}{r}}-2\;m\;g+3\;m\;g\;\cos \!\left[\pi \right]=-m\;g\;<0\;$»${\Bigg \}}$
     la composante normale de la réaction en étant une fonction continue de $\;\theta$, nous en déduisons, d'après le théorème de Bolzano $\;{\big (}$cas particulier du
     la composante normale de la réaction en étant une fonction continue de $\;\color {transparent}{\theta }$, nous en déduisons, d'après le théorème des valeurs intermédiaires ${\big )}$,
     la composante normale de la réaction l'existence d'une position unique de rupture $\;{M'}_{\!f}\;$ de liaison unilatérale définie par $\;{\theta '}_{\!f}={\widehat {\left({\overrightarrow {OC}}\,,\,{\overrightarrow {O{M'}_{\!f}}}\right)}}\;$
      la composante normale de la réaction l'existence d'une position unique de rupture $\;\color {transparent}{{M'}_{\!f}}\;$ de liaison unilatérale définie par tel que $\;{\overline {R_{n}(t_{{M'}_{\!f}})}}=0\;$ soit
     la composante normale de la réaction l'équation $\;{\overline {R_{n}(t_{{M'}_{\!f}})}}=4\;m\;g-2\;m\;g+3\;m\;g\;\cos \!\left({\theta '}_{\!f}\right)=0\;$ ou «$\;\cos \!\left({\theta '}_{\!f}\right)=-{\dfrac {2}{3}}\;$» donnant finalement
     la composante normale de la réaction la valeur de l'abscisse angulaire $\;{\theta '}_{\!f}\;$ de la position de rupture $\;{M'}_{\!f}\;$ de la liaison unilatérale du $\;(M)\;$ avec le rail
  la composante normale de la réaction la valeur de l'abscisse angulaire «$\;{\theta '}_{f}=\arccos \!\left(-{\dfrac {2}{3}}\right)\simeq 131,8\;{\text{°}}\;$ » $\Rightarrow$ «$\;{M'}_{\!f}\;$ située entre $\;E\;$ et $\;D\;$».

     La vitesse instantanée $\;v_{M}(t_{{M'}_{\!f}})\;$ de $\;(M)\;$ en la position de rupture de liaison unilatérale se déduit de $\;v_{M}^{\,2}(t_{P})={\dfrac {2\;F\;l}{m}}-2\;g\,r\left\lbrace 1-\cos \!\left[\theta (t_{P})\right]\right\rbrace$, $\;P\;$ position quelconque de la partie circulaire $\;CD$, expression déterminée précédemment dans le cas d'une liaison bilatérale restant valable en liaison unilatérale , «$\;v_{M}^{\,2}(t_{{M'}_{\!f}})={\dfrac {2\;F_{\text{min}}\;l}{m}}-2\;g\,r\left[1-\cos({\theta '}_{f})\right]=4\;g\;r-2\;g\;r\left[1-{\dfrac {-2}{3}}\right]={\dfrac {2}{3}}\;g\,r\;$» donnant, pour vitesse instantanée du chariot en $\;{M'}_{\!f}\;$ «$\;v_{M}(t_{{M'}_{\!f}})={\sqrt {{\dfrac {2}{3}}\;g\,r}}\simeq 0,816\;{\sqrt {g\;r}}\;$» ;

     le vecteur vitesse de $\;(M)\;$ en cette position est tangente à la partie circulaire $\;CD\;$ en $\;{M'}_{\!f}$,
     le vecteur vitesse de $\;\color {transparent}{(M)}\;$ en cette position est de direction faisant l'angle $\;\alpha \;$ avec l'horizontale du lieu, $\;{\bigg [}\alpha \;$ angle non orienté aigu supplémentaire de $\;{\theta '}_{f}\;$ soit «$\;\alpha =\pi -\arccos \!\left({\dfrac {-2}{3}}\right)\;$
     le vecteur vitesse de $\;\color {transparent}{(M)}\;$ en cette position est de direction faisant l'angle $\;\color {transparent}{\alpha }\;$ avec l'horizontale du lieu, $\;\color {transparent}{{\bigg [}\alpha }\;$ angle non orienté aigu supplémentaire de $\;\color {transparent}{{\theta '}_{f}}\;$ soit «$\;\color {transparent}{\alpha }$ $=\arccos \!\left({\dfrac {2}{3}}\right)\;$ $\;\simeq 48,2\;{\text{°}}\;$»${\bigg ]}\;$ et
     le vecteur vitesse de $\;\color {transparent}{(M)}\;$ en cette position est de sens dirigé vers le haut.

 

Chariot de nouveau en liaison bilatérale mais avec frottement solide, nouvelle tentative du 2^ème joueur

     Heureusement il n’y a eu aucun accident avant que le forain ne s'aperçoive du défaut de sécurité et y remédie ;

     le chariot est donc de nouveau en liaison bilatérale, mais le contact entre le chariot et le rail n'étant plus aussi lisse, ceci entraîne l'existence d'un frottement entre les deux ;

     nous supposerons uniforme le cœfficient de frottements dynamique et statique commun égal à $\;f$ $\;{\big [}$l'angle limite commun de frottements dynamique et statique étant $\;\varphi =\arctan(f)\;$${\big ]}$.

     Le 2^ème joueur refaisant alors une tentative avec une force $\;F_{2}={\dfrac {F_{\text{min}}}{2}}\;$ $\;{\big (}$le 1^er joueur étant occupé à « diminuer son adrénaline »${\big )}$, on cherche les modifications engendrées par ces frottements en supposant que la force $\;F_{2}\;$ est suffisamment grande pour que le chariot ne soit pas arrêté sur la partie rectiligne $\;AC\;$ du guide.

Vitesse acquise par le chariot au point C

     Déterminer la vitesse instantanée $\;v_{C}=\Vert {\vec {V}}_{C}\Vert \;$ acquise par le chariot en $\;C\;$ et

     préciser à quelle condition sur $\;F_{2}\;$ puis sur $\;{\dfrac {r}{l}}\;$
     préciser à quelle condition le chariot ne s'arrête pas sur la partie rectiligne $\;AC\;$ du rail $\;{\big (}$on rappelle que cette condition écrite sous l'une ou l'autre des deux formes est supposée réalisée${\big )}$.

Solution

Schéma d'un jeu à la fête foraine pour tester sa force en lançant un chariot $\;(M)\;$ en liaison bilatérale avec frottement sur un guide $\;ABCD$, le joueur n'exerçant une force sur le chariot que sur la partie $\;AB\;$ dans le but qu'il atteigne $\;D\;$ avec représentation des forces exercées sur $\;(M)\;$ et de la base locale de Frenet associée au chariot

     Le seul changement sur $\;AC\;$ par rapport à la question avec liaison bilatérale sans frottement solide est l'ajout, au bilan des forces appliquées, de
     Le seul changement sur $\;\color {transparent}{AC}\;$ la composante tangentielle de la réaction $\;{\vec {R}}\;$ du guide sur le chariot $\;(M)\;$ notée $\;{\vec {R}}_{\tau }\;$,
     Le seul changement sur $\;\color {transparent}{AC}\;$ la composante tangentielle de la réaction $\;\color {transparent}{\vec {R}}\;$ de direction $\;\parallel \;$ à la partie rectiligne $\;AC$, c.-à-d. horizontale,
     Le seul changement sur $\;\color {transparent}{AC}\;$ la composante tangentielle de la réaction $\;\color {transparent}{\vec {R}}\;$ de sens contraire au mouvement $\;{\big (}$donc dirigée vers la gauche${\big )}\;$ et
     Le seul changement sur $\;\color {transparent}{AC}\;$ la composante tangentielle de la réaction $\;\color {transparent}{\vec {R}}\;$ de norme $\;\Vert {\vec {R}}_{\tau }\Vert =f\;R_{n}\;$ avec $\;R_{n}={\vec {R}}\cdot {\vec {n}}>0\;$ la composante normale de la réaction $\;{\big (}$selon la loi de frottement de glissement de Coulomb ${\big )}$ ;

     l'absence de mouvement vertical de $\;(M)\;$ sur la partie $\;AC\;$ du guide entraîne «$\;R_{n}=m\;g\;$» d'où, par report dans $\;\Vert {\vec {R}}_{\tau }\Vert =f\;R_{n}\;$ et en utilisant que «$\;{\vec {R}}_{\tau }\;$ est en sens contraire au mouvement c.-à-d. dans le sens de $\;-{\vec {u}}_{x}\;$», «$\;{\overline {R_{\tau ,\,x}}}=-f\;m\;g=cste<0\;$» ;

     l'énergie mécanique de $\;(M)\;$ à l'instant $\;t_{P}$, où $\;P\;$ est une position quelconque de $\;AC$, s'écrivant «$\;E_{m,\,M}(t_{P})=K_{M}(t_{P})+U_{\text{pes}}(t_{P})\;$» avec
     l'énergie «$\;K_{M}(t_{P})={\dfrac {1}{2}}\;m\;v_{M}^{\,2}(t_{P})\;$ l'énergie cinétique de $\;(M)\;$ à l'instant de son passage par $\;P\;$» et
     l'énergie «$\;U_{\text{pes}}(t_{P})=m\;g\;z_{P}=0\;$ son énergie potentielle de pesanteur avec référence au niveau $\;z=0\;$» soit finalement
     l'énergie mécanique de $\;\color {transparent}{(M)}\;$ à l'instant $\;\color {transparent}{t_{P}}$, «$\;E_{m,\,M}(t_{P})={\dfrac {1}{2}}\;m\;v_{M}^{\,2}(t_{P})\;$ pour $\;P\;\in \;AC\;$»,

     le théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à $\;(M)\;$ entre sa position initiale $\;A\;$ et
          le théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à $\;\color {transparent}{(M)}\;$ entre la position $\;C\;$ atteinte à l'instant $\;t_{C}\;$ avec une vitesse instantanée
          le théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à $\;\color {transparent}{(M)}\;$ entre la position $\;\color {transparent}{C}\;$ atteinte à l'instant $\;\color {transparent}{t_{C}}\;$ avec $v_{M}(t_{C})\;$ ${\big [}$ou encore $\;v_{C}{\big ]}$,
          le théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à $\;\color {transparent}{(M)}\;$ s'écrit «$\;E_{m,\,M}(t_{C})\;{\cancel {-E_{m,\,M}(t_{A})}}=W_{A\,{\overset {({\mathcal {G}}}{\rightarrow }}\,B}({\vec {F}})+W_{A\,{\overset {({\mathcal {G}}}{\rightarrow }}\,C}({\vec {R}})\;$» avec
          le théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à $\;\color {transparent}{(M)}\;$ $\blacktriangleright \;$«$\;W_{A\,{\overset {({\mathcal {G}}}{\rightarrow }}\,C}({\vec {R}})={\cancel {W_{A\,{\overset {({\mathcal {G}}}{\rightarrow }}\,C}({\vec {R}}_{n})\;+}}\;W_{A\,{\overset {({\mathcal {G}}}{\rightarrow }}\,C}({\vec {R}}_{\tau })\;$ $=\displaystyle \int _{A\,{\overset {({\mathcal {G}}}{\rightarrow }}\,C}{\vec {R}}_{\tau }\cdot {\overrightarrow {dM}}\;$» soit finalement, avec $\;{\overrightarrow {dM}}_{{\text{sur }}AC}=dx\;{\vec {u}}_{x}$,
          le théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à $\;\color {transparent}{(M)}\;$ $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$«$\;W_{A\,{\overset {({\mathcal {G}}}{\rightarrow }}\,C}({\vec {R}})=\displaystyle \int _{x_{A}}^{x_{C}}{\overline {R_{\tau ,\,x}}}\;dx={\overline {R_{\tau ,\,x}}}\left(x_{C}-x_{A}\right)=-f\;m\;g\;2\;l<0\;$» et
          le théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à $\;\color {transparent}{(M)}\;$ $\blacktriangleright \;$«$\;W_{A\,{\overset {({\mathcal {G}}}{\rightarrow }}\,B}({\vec {F}})=\displaystyle \int _{A\,{\overset {({\mathcal {G}}}{\rightarrow }}\,B}{\vec {F}}\cdot {\overrightarrow {dM}}>0\;$» ou, avec $\;{\vec {F}}=F_{2}\;{\vec {u}}_{x}\;$ ${\big [}F_{2}=cste>0\;$ composante de $\;{\vec {F}}\;$ sur l'axe horizontal $\;{\overrightarrow {x'x}}{\big ]}\;$ et
               le théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à $\;\color {transparent}{(M)}\;$ $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$«$\;\color {transparent}{W_{A\,{\overset {({\mathcal {G}}}{\rightarrow }}\,B}({\vec {F}})=\displaystyle \int _{A\,{\overset {({\mathcal {G}}}{\rightarrow }}\,B}{\vec {F}}\cdot {\overrightarrow {dM}}>0}\;$» ou, avec $\;{\overrightarrow {dM}}_{{\text{sur }}AB}=dx\;{\vec {u}}_{x}$,
          le théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à $\;\color {transparent}{(M)}\;$ $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$«$\;W_{A\,{\overset {({\mathcal {G}}}{\rightarrow }}\,B}({\vec {F}})=\displaystyle \int _{x_{A}}^{x_{B}}F_{2}\;dx=F_{2}\left(x_{B}-x_{A}\right)=F_{2}\;l>0\;$»,

     d'où la réécriture du théorème de la variation de l'énergie mécanique de $\;(M)\;$ entre $\;A\;$ et $\;C\;$ selon «$\;{\dfrac {1}{2}}\;m\;v_{C}^{\,2}=F_{2}\;l-f\;m\;g\;2\;l>0\;$ si le chariot $\;(M)\;$ n'est pas arrêté sur $\;AC\;$» et finalement la vitesse instantanée en $\;C\;$ s'écrit «$\;v_{C}={\sqrt {\dfrac {2\left(F_{2}-2\;f\;m\;g\right)l}{m}}}\;$» si $\;(M)\;$ n'est pas arrêté sur $\;AC$,
ce qui nécessite «$\;F_{2}>2\;f\;m\;g=2\;\Vert {\vec {R}}_{\tau }\Vert \;$», condition pour que $\;(M)\;$ dépasse $\;C\;$ ou,
avec $\;F_{2}={\dfrac {F_{\text{min}}}{2}}={\dfrac {m\;g\;r}{l}}$, «$\;v_{C}={\sqrt {2\;g\;l\left({\dfrac {r}{l}}-2\;f\right)}}\;$» si $\;(M)\;$ n'est pas arrêté sur $\;AC$,
ce qui nécessite «$\;{\dfrac {r}{l}}>2\;f\;$», condition pour que $\;(M)\;$ dépasse $\;C\;$.

 

Composante normale de la réaction du guide sur le chariot lors du mouvement circulaire de ce dernier

     Exprimer la norme $\;R_{n}=\Vert {\vec {R}}_{n}\Vert \;$ de la composante normale de la réaction du rail sur le chariot lors de son mouvement circulaire en fonction de $\;{\dot {\theta }}(t)\;$ et $\;\theta (t)\;$ entre autres.

Solution

     La composante normale de la réaction du rail sur $\;(M)\;$ $\;{\overline {R_{n}}}={\vec {R}}\cdot {\vec {n}}\;$ lors de son mouvement circulaire reste celle déterminée dans le cas de liaison unilatérale sans frottement à savoir
     La composante normale «$\;{\overline {R_{n}(t_{P})}}=m\left\lbrace {\dfrac {v_{M}^{\,2}(t_{P})}{r}}+g\;\cos \!\left[\theta (t_{p})\right]\right\rbrace \;$ pour $\;P\;\in \;CD\;$» , établie en projetant la r.f.d.n. appliquée à $\;(M)\;$ «$\;m\;{\vec {g}}+{\vec {R}}(t)=m\;{\vec {a}}_{M}(t)\;$» sur le vecteur unitaire $\;{\vec {n}}\;$,
             La composante normale «$\;\color {transparent}{{\overline {R_{n}(t_{P})}}=m\left\lbrace v_{M}^{\,2}(t_{P})+g\;\cos \!\left[\theta (t_{p})\right]\right\rbrace }\;$ pour $\;\color {transparent}{P\;\in \;CD}\;$», ${\big [}$une liaison bilatérale avec $\;{\vec {R}}_{n}\;$ de sens quelconque englobant celle unilatérale avec $\;{\vec {R}}_{n}\;$ dans le sens de $\;{\vec {n}}\;$ et
             La composante normale «$\;\color {transparent}{{\overline {R_{n}(t_{P})}}=m\left\lbrace v_{M}^{\,2}(t_{P})+g\;\cos \!\left[\theta (t_{p})\right]\right\rbrace }\;$ pour $\;\color {transparent}{P\;\in \;CD}\;$», $\color {transparent}{\big [}$le seul ajout lors d'introduction de frottement solide étant la composante tangentielle $\;{\vec {R}}_{\tau }\;$ telle que $\;{\vec {R}}_{\tau }\cdot {\vec {n}}=0\;$${\big ]}$,
     La composante normale d'où, avec le lien entre vitesses instantanée et angulaire d'un mouvement circulaire «$\;v_{M}(t_{P})=r\;{\dot {\theta }}(t_{P})\;$ $\Rightarrow$ $\;{\dfrac {v_{M}^{\,2}(t_{P})}{r}}=r\;{\dot {\theta }}^{2}\!(t_{P})\;$», la réécriture de la composante normale selon
     La composante normale «$\;{\overline {R_{n}(t_{P})}}=m\left\lbrace r\;{\dot {\theta }}^{2}\!(t_{P})+g\;\cos \!\left[\theta (t_{p})\right]\right\rbrace \;$ pour $\;P\;\in \;CD\;$» avec «$\;{\overline {R_{n}}}(t_{P})>0,\;\;\forall \;P\;$ accessible » $\;{\big \{}$en effet les valeurs de $\;\theta \;$ accessibles pour une force de lancement $\;F_{2}\;$ et
     La composante normale «$\;\color {transparent}{{\overline {R_{n}(t_{P})}}=m\left\lbrace r\;{\dot {\theta }}^{2}\!(t_{P})+g\;\cos \!\left[\theta (t_{p})\right]\right\rbrace }\;$ pour $\;\color {transparent}{P\;\in \;CD}\;$» avec «$\;\color {transparent}{{\overline {R_{n}}}(t_{P})>0,\;\;\forall \;P}\;$ accessible » $\;\color {transparent}{\big \{}$une liaison bilatérale avec frottement à savoir $\;\left[0\;,\;\theta _{f,\,{\text{frot}}}\right]\;$ sont toutes $\;<\;$ à
     La composante normale «$\;\color {transparent}{{\overline {R_{n}(t_{P})}}=m\left\lbrace r\;{\dot {\theta }}^{2}\!(t_{P})+g\;\cos \!\left[\theta (t_{p})\right]\right\rbrace }\;$ pour $\;\color {transparent}{P\;\in \;CD}\;$» avec «$\;\color {transparent}{{\overline {R_{n}}}(t_{P})>0,\;\;\forall \;P}\;$ accessible » $\;\color {transparent}{\big \{}$celles accessibles pour une même force de lancement $\;F_{2}\;$ et une liaison
     La composante normale «$\;\color {transparent}{{\overline {R_{n}(t_{P})}}=m\left\lbrace r\;{\dot {\theta }}^{2}\!(t_{P})+g\;\cos \!\left[\theta (t_{p})\right]\right\rbrace }\;$ pour $\;\color {transparent}{P\;\in \;CD}\;$» avec «$\;\color {transparent}{{\overline {R_{n}}}(t_{P})>0,\;\;\forall \;P}\;$ accessible » $\;\color {transparent}{\big \{}$bilatérale sans frottement lesquelles sont $\;\leqslant \theta _{f}={\dfrac {\pi }{2}}\;$ $\Rightarrow$ $\;\theta _{f,\,{\text{frot}}}<{\dfrac {\pi }{2}}$,
     La composante normale «$\;\color {transparent}{{\overline {R_{n}(t_{P})}}=m\left\lbrace r\;{\dot {\theta }}^{2}\!(t_{P})+g\;\cos \!\left[\theta (t_{p})\right]\right\rbrace }\;$ pour $\;\color {transparent}{P\;\in \;CD}\;$» avec «$\;\color {transparent}{{\overline {R_{n}}}(t_{P})>0,\;\;\forall \;P}\;$ accessible » $\;\color {transparent}{\big \{}$d'où « la partie entre accolades de $\;{\overline {R_{n}}}(t_{P})\;$» $\;>0\;$ comme la somme d'un
     La composante normale «$\;\color {transparent}{{\overline {R_{n}(t_{P})}}=m\left\lbrace r\;{\dot {\theta }}^{2}\!(t_{P})+g\;\cos \!\left[\theta (t_{p})\right]\right\rbrace }\;$ pour $\;\color {transparent}{P\;\in \;CD}\;$» avec «$\;\color {transparent}{{\overline {R_{n}}}(t_{P})>0,\;\;\forall \;P}\;$ accessible » $\;\color {transparent}{\big \{}$1^er terme «$\;r\;{\dot {\theta }}^{2}\!(t_{P})\geqslant 0\;$» et d'un 2^ème «$\;g\;\cos \!\left[\theta (t_{p})\right]>0\;$»${\big \}}\;$ et par suite
     la norme de la composante normale de la réaction du rail sur $\;(M)\;$ s'écrit «$\;R_{n}(t_{P})={\Big \vert }{\overline {R_{n}}}(t_{P}){\Big \vert }=m\left\lbrace r\;{\dot {\theta }}^{2}\!(t_{P})+g\;\cos \!\left[\theta (t_{P})\right]\right\rbrace \;$ pour $\;P\;\in \;CE_{\text{frot}}\;$»
     la norme de la composante normale de la réaction du rail sur $\;\color {Transparent}{(M)}\;$ s'écrit «$\;\color {Transparent}{R_{n}(t_{P})={\Big \vert }{\overline {R_{n}}}(t_{P}){\Big \vert }=m\left\lbrace r\;{\dot {\theta }}^{2}\!(t_{P})+g\;\cos \!\left[\theta (t_{P})\right]\right\rbrace }\;$ ${\bigg \{}$avec $\;E_{\text{frot}}\;$ position de $\;CD\;$ d'abscisse angulaire $\;\theta _{f,\,{\text{frot}}}<{\dfrac {\pi }{2}}{\bigg \}}$.

 

Composante tangentielle de la réaction du guide sur le chariot et équation différentielle du mouvement de ce dernier lors de son mouvement circulaire

     En déduire la norme $\;R_{\tau }=\Vert {\vec {R}}_{\tau }\Vert \;$ de la composante tangentielle de la réaction du rail sur le chariot lors de son mouvement circulaire et

     établir l'équation différentielle du 2^ème ordre en $\;\theta (t)\;$ pour le mouvement circulaire au-delà de $\;C$.

Solution

     Quand il y a glissement de $\;(M)\;$ sur le rail, la composante tangentielle de la réaction $\;{\vec {R}}_{\tau }\;$ $\;=-R_{\tau }\;{\vec {\tau }}\;$ du rail sur $\;(M)\;$ ${\big [}$avec $\;R_{\tau }=\Vert {\vec {R}}_{\tau }\Vert {\big ]}\;$ est liée à sa composante normale $\;{\vec {R}}_{n}=R_{n}\;{\vec {n}}\;$ $\;{\big [}$avec $\;R_{n}=\Vert {\vec {R}}_{n}\Vert$ déterminée précédemment ${\big ]}\;$ par la loi de frottement de Coulomb avec glissement à savoir «$\;R_{\tau }=f\;R_{n}\;$» ;

     reportant l'expression de $\;R_{n}(t_{P})=m\left\lbrace r\;{\dot {\theta }}^{2}\!(t_{P})+g\;\cos \!\left[\theta (t_{P})\right]\right\rbrace \;$ pour $\;P\;\in \;CE_{\text{frot}}\;$ dans celle de la norme de la composante tangentielle de la réaction du rail sur $\;(M)\;$ en la même position atteinte au même instant, on obtient «$\;R_{\tau }(t_{P})=\Vert {\vec {R}}_{\tau }(t_{P})\Vert =f\;R_{n}(t_{P})=f\;m\left\lbrace r\;{\dot {\theta }}^{2}\!(t_{P})+g\;\cos \!\left[\theta (t_{P})\right]\right\rbrace \;$ pour $\;P\;\in \;CE_{\text{frot}}\;$ » avec «$\;{\vec {R}}_{\tau }(t_{P})=-R_{\tau }(t_{P})\;{\vec {\tau }}_{P}\;$  » ;

     on détermine alors l'équation différentielle en $\;\theta (t)\;$ du mouvement de $\;(M)\;$ sur la partie circulaire $\;CE_{\text{frot}}\;$ du guide en projetant la r.f.d.n. appliquée à $\;(M)\;$ «$\;m\;{\vec {g}}+{\vec {R}}(t)=m\;{\vec {a}}_{M}(t)\;$» sur $\;{\vec {\tau }}\;$ soit «$\;-R_{\tau }(t_{P})-m\;g\;\sin \!\left[\theta (t_{P})\right]$ $=m\;a_{M,\,\tau }(t_{P})\;$» avec «$\;a_{M,\,\tau }(t)={\dot {v}}_{M}(t)\;$ l'accélération tangentielle du chariot se réécrivant, dans le cas d'un mouvement circulaire de rayon $\;r$, $\;a_{M,\,\tau }(t)=r\;{\ddot {\theta }}(t)\;$ » d'où, en reportant l'expression de «$\;R_{\tau }(t_{P})=f\;m\left\lbrace r\;{\dot {\theta }}^{2}\!(t_{P})+g\;\cos \!\left[\theta (t_{P})\right]\right\rbrace \;$ pour $\;P\;\in \;CE_{\text{frot}}\;$ » et après simplification par la masse $\;m$, «$\;-f\left\lbrace r\;{\dot {\theta }}^{2}\!(t_{P})+g\;\cos \!\left[\theta (t_{P})\right]\right\rbrace -g\;\sin \!\left[\theta (t_{P})\right]=r\;{\ddot {\theta }}(t_{P})\;$» et enfin, en normalisant, l'équation différentielle non linéaire du 2^ème ordre en $\;\theta (t)\;$ cherchée «$\;{\ddot {\theta }}(t)+f\;{\dot {\theta }}^{2}\!(t)+{\dfrac {g}{r}}\;\sin \!\left[\theta (t)\right]+{\dfrac {f\;g}{r}}\;\cos \!\left[\theta (t)\right]=0\;$».

 

Transformation de l'équation différentielle du 2^ème ordre du mouvement circulaire du chariot en équation différentielle du 1^er ordre par élimination explicite du temps

     Pour tenter de résoudre l'équation différentielle du 2^ème ordre en $\;\theta (t)\;$ pour le mouvement circulaire du chariot au-delà de $\;C$, on pose $\;{\dot {\theta }}^{2}\!(t)=u(\theta )$ :

Détermination de l'équation différentielle en u(θ)

     Montrer que $\;u(\theta )\;$ obéit à une équation différentielle linéaire du 1^er ordre à coefficients constants du type : $\;{\dfrac {du}{d\theta }}(\theta )+\alpha \;u(\theta )=\beta \;\cos(\theta )+\gamma \;\sin(\theta )\;$ $\;{\big [}$on précisera les valeurs de $\;\alpha$, $\;\beta \;$ et $\;\gamma {\big ]}$.

Solution

     Posant «$\;u(\theta )={\dot {\theta }}^{2}\!(t)\;$» $\Rightarrow$ «$\;{\dfrac {du}{d\theta }}={\dfrac {\dfrac {du}{dt}}{\dfrac {d\theta }{dt}}}={\dfrac {\dfrac {d\!\left({\dot {\theta }}^{2}\right)}{dt}}{\dfrac {d\theta }{dt}}}=2\;{\ddot {\theta }}\!(t)\;$», l'équation différentielle du 2^ème ordre en $\;\theta (t)\;$ du mouvement du chariot $\;(M)\;$ sur la partie circulaire $\;CE_{\text{frot}}\;$ du guide à savoir «$\;{\ddot {\theta }}(t)+f\;{\dot {\theta }}^{2}\!(t)+{\dfrac {g}{r}}\;\sin \!\left[\theta (t)\right]+{\dfrac {f\;g}{r}}\;\cos \!\left[\theta (t)\right]$ $=0\;$» se réécrit selon «$\;{\dfrac {1}{2}}\;{\dfrac {du}{d\theta }}+f\;u(\theta )+{\dfrac {g}{r}}\;\sin(\theta )+{\dfrac {f\;g}{r}}\;\cos(\theta )=0\;$» soit, en normalisant, l'équation différentielle linéaire à cœfficient(s) constant(s) hétérogène du 1^er ordre en $\;u(\theta )\;$ suivante «$\;{\dfrac {du}{d\theta }}(\theta )+2\;f\;u(\theta )=-2\;{\dfrac {g}{r}}\;\sin(\theta )-2\;{\dfrac {f\;g}{r}}\;\cos(\theta )\;$», effectivement de la forme «$\;{\dfrac {du}{d\theta }}(\theta )+\alpha \;u(\theta )=\beta \;\cos(\theta )+\gamma \;\sin(\theta )\;$» avec «$\;\left\lbrace {\begin{array}{l c l}\alpha \!\!&=&\!\!2\;f\\\beta \!\!&=&\!\!-2\;{\dfrac {f\;g}{r}}\\\gamma \!\!&=&\!\!-2\;{\dfrac {g}{r}}\end{array}}\right\rbrace \;$».

 

Résolution de l'équation différentielle en u(θ)

     Déterminer tout d'abord une solution forcée de l'équation différentielle du 1^er ordre en $\;u(\theta )\;$ sous la forme $\;u_{f}(\theta )=a\;\cos(\theta )+b\;\sin(\theta )$ $\;{\big [}$on exprimera $\;a\;$ et $\;b\;$ en fonction de $\;f$, $\;g\;$ et $\;r{\big ]}$, puis

     Déterminer la solution générale de l'équation différentielle du 1^er ordre en $\;u(\theta )$.

Solution

     Une solution forcée de l'équation différentielle linéaire à cœfficient(s) constant(s) hétérogène du 1^er ordre en $\;u(\theta )\;$ à excitation sinusoïdale «$\;{\dfrac {du}{d\theta }}(\theta )+2\;f\;u(\theta )=-2\;{\dfrac {g}{r}}\;\sin(\theta )-2\;{\dfrac {f\;g}{r}}\;\cos(\theta )\;$» cherchée sous la forme $\;u_{f}(\theta )=a\;\cos(\theta )+b\;\sin(\theta )\;$ $\Rightarrow$ $\;{\dfrac {du_{f}}{d\theta }}(\theta )=-a\;\sin(\theta )+b\;\cos(\theta )\;$ conduit à «$\;\left[-a\;\sin(\theta )+b\;\cos(\theta )\right]+2\;f\left[a\;\cos(\theta )+b\;\sin(\theta )\right]=-2\;{\dfrac {g}{r}}\;\sin(\theta )-2\;{\dfrac {f\;g}{r}}\;\cos(\theta )\;$» soit, en regroupant les termes en $\;\cos(\theta )\;$ et $\;\sin(\theta )$, «$\;\left(b+2\;f\;a\right)\cos(\theta )+\left(-a+2\;f\;b\right)\sin(\theta )=-2\;{\dfrac {f\;g}{r}}\;\cos(\theta )-2\;{\dfrac {g}{r}}\;\sin(\theta ),\;\;\forall \;\theta \;$» d'où les deux paramètres $\;\left(a\,,\,b\right)\;$ solution du système de deux équations algébriques linéaires des deux variables $\;\left(a\,,\,b\right)\;$ suivant «$\;\left\lbrace {\begin{array}{r c r c l}2\;f\;a\!\!&+&\!\!b\!\!&=&\!\!-2\;{\dfrac {f\;g}{r}}\\-a\!\!&+&\!\!2\;f\;b\!\!&=&\!\!-2\;{\dfrac {g}{r}}\end{array}}\right\rbrace \;$»  ;

     de la 1^ère équation on tire «$\;b=-2\;f\left(a+{\dfrac {g}{r}}\right)\;$» que l'on reporte dans le 2^nde équation d'où «$\;-a-4\;f^{2}\left(a+{\dfrac {g}{r}}\right)=-2\;{\dfrac {g}{r}}\;$» ou «$\;a\left(1+4\;f^{2}\right)=2\;{\dfrac {g}{r}}\left(1-2\;f^{2}\right)\;$» soit finalement «$\;a=2\;{\dfrac {g}{r}}\;{\dfrac {1-2\;f^{2}}{1+4\;f^{2}}}\;$» et, en reportant dans «$\;b=-2\;f\left(a+{\dfrac {g}{r}}\right)\;$» on obtient «$\;b=-2\;f\left(2\;{\dfrac {g}{r}}\;{\dfrac {1-2\;f^{2}}{1+4\;f^{2}}}+{\dfrac {g}{r}}\right)=-2\;{\dfrac {f\;g}{r}}\;{\dfrac {2-4\;f^{2}+1+4\;f^{2}}{1+4\;f^{2}}}\;$» soit finalement «$\;b=-2\;{\dfrac {g}{r}}\;{\dfrac {3\;f}{1+4\;f^{2}}}\;$», d'où l'expression de la solution forcée de l'équation différentielle linéaire à cœfficient(s) constant(s) hétérogène du 1^er ordre en $\;u(\theta )\;$ à excitation sinusoïdale «$\;u_{f}(\theta )=2\;{\dfrac {g}{r}}\;{\dfrac {1-2\;f^{2}}{1+4\;f^{2}}}\;\cos(\theta )-2\;{\dfrac {g}{r}}\;{\dfrac {3\;f}{1+4\;f^{2}}}\;\sin(\theta )\;$» ou encore, «$\;u_{f}(\theta )=2\;{\dfrac {g}{r\left(1+4\;f^{2}\right)}}\left[\left(1-2\;f^{2}\right)\cos(\theta )-3\;f\;\sin(\theta )\right]\;$» ;

     la solution générale de l'équation différentielle linéaire à cœfficient(s) constant(s) hétérogène du 1^er ordre en $\;u(\theta )\;$ étant la somme $\blacktriangleright \;$de la solution forcée $\;u_{f}(\theta )\;$ déterminée précédemment et
          la solution générale de l'équation différentielle linéaire à cœfficient(s) constant(s) hétérogène du 1^er ordre en $\;\color {transparent}{u(\theta )}\;$ étant la somme $\blacktriangleright \;$de la solution libre $\;u_{l}(\theta )$ de cette équation, c.-à-d. la solution générale de l'équation différentielle linéaire de même(s) cœfficient(s) constant(s) du 1^er ordre en $\;u(\theta )\;$ mais homogène «$\;{\dfrac {du_{l}}{d\theta }}(\theta )+2\;f\;u_{l}(\theta )=0\;$ », d'équation caractéristique $\;s+2\;f=0\;$ $\Rightarrow$ $\;s=-2\;f\;$ d'où la solution libre «$\;u_{l}(\theta )=A\;\exp \!\left(-2\;f\;\theta \right)\;$ avec $\;A\;$ quelconque $\;\in \mathbb {R} \;$» ;

     la solution générale de l'équation différentielle linéaire à cœfficient(s) constant(s) du 1^er ordre en $\;u(\theta )\;$ hétérogène «$\;{\dfrac {du}{d\theta }}(\theta )+2\;f\;u(\theta )=-2\;{\dfrac {g}{r}}\;\sin(\theta )-2\;{\dfrac {f\;g}{r}}\;\cos(\theta )\;$» s'écrit donc selon «$\;u(\theta )=u_{l}(\theta )+u_{f}(\theta )=A\;\exp \!\left(-2\;f\;\theta \right)+2\;{\dfrac {g}{r\left(1+4\;f^{2}\right)}}\left[\left(1-2\;f^{2}\right)\cos(\theta )-3\;f\;\sin(\theta )\right]\;$» avec
$\;A\;$ se déterminant par C.A.L. «$\;u(0)={\dfrac {v_{C}^{\,2}}{r^{2}}}={\dfrac {2\left(F_{2}-2\;f\;m\;g\right)l}{m\;r^{2}}}\;$» ou encore,
sachant que $\;F_{2}={\dfrac {F_{\text{min}}}{2}}={\dfrac {m\;g\;r}{l}}$, «$\;u(0)={\dfrac {v_{C}^{\,2}}{r^{2}}}={\dfrac {2\;g}{r^{2}}}\left(r-2\;f\;l\right)\;$» ;                                      l'utilisation de la C.A.L. conduisant à «$\;u(0)=A+2\;{\dfrac {g}{r}}\;{\dfrac {1-2\;f^{2}}{1+4\;f^{2}}}={\dfrac {2\left(F_{2}-2\;f\;m\;g\right)l}{m\;r^{2}}}\;$» $\Rightarrow$ $\;A={\dfrac {2\left(F_{2}-2\;f\;m\;g\right)l}{m\;r^{2}}}-2\;{\dfrac {g}{r}}\;{\dfrac {1-2\;f^{2}}{1+4\;f^{2}}}\;$ soit encore, «$\;A={\dfrac {2\;F_{2}\;l}{m\;r^{2}}}-2\;{\dfrac {g}{r^{2}}}\;{\dfrac {\left(1-2\;f^{2}\right)r+2\;f\;l}{1+4\;f^{2}}}\;$» et finalement la solution générale de l'équation différentielle linéaire à cœfficient(s) constant(s) du 1^er ordre en $\;u(\theta )\;$ hétérogène s'écrit «$\;u(\theta )=2\left\lbrace \left[{\dfrac {F_{2}\;l}{m\;r^{2}}}-{\dfrac {g}{r^{2}}}\;{\dfrac {\left(1-2\;f^{2}\right)r+2\;f\;l}{1+4\;f^{2}}}\right]\exp \!\left(-2\;f\;\theta \right)+{\dfrac {g}{r\left(1+4\;f^{2}\right)}}\left[\left(1-2\;f^{2}\right)\cos(\theta )-3\;f\;\sin(\theta )\right]\right\rbrace \;$» ;      avec $\;F_{2}={\dfrac {F_{\text{min}}}{2}}={\dfrac {m\;g\;r}{l}}\;$ $\Rightarrow$ $\;{\dfrac {F_{2}\;l}{m\;r^{2}}}={\dfrac {g}{r}}$, la solution ci-dessus se réécrit selon «$\;u(\theta )=2\;{\dfrac {g}{r}}\left\lbrace \left[{\dfrac {\left(1+4\;f^{2}\right)r-\left(1-2\;f^{2}\right)r-2\;f\;l}{\left(1+4\;f^{2}\right)r}}\right]\exp \!\left(-2\;f\;\theta \right)+{\dfrac {\left(1-2\;f^{2}\right)\cos(\theta )-3\;f\;\sin(\theta )}{1+4\;f^{2}}}\right\rbrace \;$» après factorisation par $\;{\dfrac {g}{r}}\;$ soit finalement «$\;u(\theta )=2\;{\dfrac {g}{r^{2}}}\;{\dfrac {2\;f\left[3\;f\;r-l\right]\exp \!\left(-2\;f\;\theta \right)+r\left[\left(1-2\;f^{2}\right)\cos(\theta )-3\;f\;\sin(\theta )\right]}{1+4\;f^{2}}}\;$» ou
«$\;u(\theta )={\dfrac {2\;g}{\left(1+4\;f^{2}\right)r}}\left\lbrace 2\;f\left[3\;f-{\dfrac {l}{r}}\right]\exp \!\left(-2\;f\;\theta \right)+\left(1-2\;f^{2}\right)\cos(\theta )-3\;f\;\sin(\theta )\right\rbrace \;$».

 

Explicitation de la vitesse angulaire du chariot en fonction, entre autres, de sa position angulaire lors de son mouvement circulaire et établissement de l'équation en θ déterminant la position extrême atteinte par le chariot

     Expliciter, pour terminer, la vitesse angulaire $\;{\dot {\theta }}(t)\;$ du chariot en fonction, entre autres, de sa position angulaire $\;\theta (t)\;$ lors de son mouvement circulaire et

     en déduire l'équation en $\;\theta \;$ permettant de déterminer la position $\;{M''}_{\!\!f}\;$ d'arrêt du chariot sur la partie circulaire du rail , $\;{M''}_{\!\!f}\;$ étant repérée par l'angle $\;{\theta ''}_{\!\!f}={\widehat {\left({\overrightarrow {OC}}\,,\,{\overrightarrow {O{M''}_{\!\!f}}}\right)}}\;$.

Solution

     De $\;u(\theta )={\dot {\theta }}^{2}\!(t)\;$ on en déduit la vitesse angulaire $\;{\dot {\theta }}(t)\;$ du chariot $\;(M)\;$ en fonction de sa position angulaire $\;\theta (t)\;$ lors de son mouvement circulaire dans le sens de $\;{\vec {\tau }}\;$ soit «$\;{\dot {\theta }}(\theta )={\sqrt {2\left\lbrace \left[{\dfrac {F_{2}\;l}{m\;r^{2}}}-{\dfrac {g}{r^{2}}}\;{\dfrac {\left(1-2\;f^{2}\right)r+2\;f\;l}{1+4\;f^{2}}}\right]\exp \!\left(-2\;f\;\theta \right)+{\dfrac {g}{r\left(1+4\;f^{2}\right)}}\left[\left(1-2\;f^{2}\right)\cos(\theta )-3\;f\;\sin(\theta )\right]\right\rbrace }}\;$» ou
en tenant compte de $\;F_{2}={\dfrac {F_{\text{min}}}{2}}={\dfrac {m\;g\;r}{l}}$, la vitesse angulaire de $\;(M)\;$ en fonction de sa position angulaire lors de son mouvement circulaire dans le sens de $\;{\vec {\tau }}\;$ se réécrit
«$\;{\dot {\theta }}(\theta )={\sqrt {{\dfrac {2\;g}{\left(1+4\;f^{2}\right)r}}\left\lbrace 2\;f\left[3\;f-{\dfrac {l}{r}}\right]\exp \!\left(-2\;f\;\theta \right)+\left(1-2\;f^{2}\right)\cos(\theta )-3\;f\;\sin(\theta )\right\rbrace }}\;$»  ;                                                      la position d'arrêt $\;{M''}_{\!\!f}=E_{\text{frot}}\;$ de $\;(M)\;$ sur la partie circulaire du rail est définie par une vitesse angulaire nulle soit $\;{\dot {\theta }}({\theta ''}_{\!\!f})=0\;$, l'abscisse angulaire $\;{\theta ''}_{\!\!f}\;$ étant solution de l'équation en $\;\theta \;$ suivante «$\;\left[{\dfrac {F_{2}\;l}{m\;r^{2}}}-{\dfrac {g}{r^{2}}}\;{\dfrac {\left(1-2\;f^{2}\right)r+2\;f\;l}{1+4\;f^{2}}}\right]\exp \!\left(-2\;f\;\theta \right)+{\dfrac {g}{r\left(1+4\;f^{2}\right)}}\left[\left(1-2\;f^{2}\right)\cos(\theta )-3\;f\;\sin(\theta )\right]=0\;$» ou,
en tenant compte de $\;F_{2}={\dfrac {F_{\text{min}}}{2}}={\dfrac {m\;g\;r}{l}}\;$ et après simplification évidente, $\;{\theta ''}_{\!\!f}\;$ est solution de l'équation en $\;\theta \;$ ci-dessous
«$\;2\;f\left[3\;f-{\dfrac {l}{r}}\right]\exp \!\left(-2\;f\;\theta \right)+\left(1-2\;f^{2}\right)\cos(\theta )-3\;f\;\sin(\theta )=0\;$», équation « transcendante » en $\;\theta \;$.