Leçons de niveau 14

Mécanique 1 (PCSI)/Exercices/Approche énergétique du mouvement d'un point matériel : Énergie potentielle et énergie mécanique

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Mécanique 1 (PCSI)/Exercices/Approche énergétique du mouvement d'un point matériel : Énergie potentielle et énergie mécanique
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Quand l'utilisation d'un théorème énergétique s'avérera nécessaire on choisira le théorème de la variation de l'énergie mécanique ou la forme locale associée.

Sommaire

Glissement sans frottement sur une hélice[modifier | modifier le wikicode]

......Soit un point matériel glissant sans frottement sur une hélice (circulaire) dont les équations cylindro-polaires sont : , avec vertical ascendant, et les angles des plans horizontaux orientés par cette hélice circulaire [1] est dite «~droite (ou dextre)~» [2].

......À , le point en liaison bilatérale est lâché sans vitesse initiale d'une cote et subit l'action d'un champ de pesanteur uniforme.

......Déterminer la durée mis par le point pour effectuer un tour en fonction de , et [3].

Glissement avec frottement sur un plan incliné[modifier | modifier le wikicode]

......Un objet de masse est lancé, dans le champ de pesanteur terrestre uniforme, avec un vecteur vitesse initiale incliné vers le haut, selon la ligne de plus grande pente d'un plan incliné faisant un angle non orienté avec l'horizontale ;

......le contact de l'objet avec le plan incliné est supposé avec frottement solide de coefficients statique et dynamique confondus, de valeur commune notée .

Distance parcourue avant l'arrêt de l'objet[modifier | modifier le wikicode]

......À cause des frottements solides et de l'absence de force de propulsion, l'objet va s'arrêter ;

......déterminer la distance parcourue par l'objet avant son arrêt.

Condition d'inclinaison du plan incliné pour que l'objet ne descende pas après son arrêt[modifier | modifier le wikicode]

......À quelle condition sur l'objet restera-t-il immobile sur le plan incliné après son mouvement de montée ?

Point glissant sans frottement sur une piste rigide terminée par un demi-cercle vertical[modifier | modifier le wikicode]

Schéma représentant un point M en liaison unilatérale sans frottement dans un champ de pesanteur uniforme sur une piste rigide constituée d'une descente terminée par un demi-cercle vertical, le point M étant lâché sans vitesse d'une hauteur h

......Un point matériel de masse , en liaison unilatérale sans frottement sur la piste rigide ci-contre, est lâché sans vitesse initiale depuis la position située à une hauteur relativement à la partie la plus basse de la piste.

......La piste est constituée d'une descente de forme quelconque se terminant, sans discontinuité de pente, par un demi-cercle vertical de rayon et dont l'extrémité supérieure est notée .

......Le point matériel est soumis au champ de pesanteur uniforme.

......À quelle condition de hauteur le point peut-il atteindre l'extrémité de la piste ?

......Remarque : On rappelle que la condition nécessaire et suffisante pour que quitte la piste est que celle-ci n'exerce plus de réaction sur le point à partir d'une position précédant , par contraposée la condition nécessaire et suffisante pour que reste au contact de la piste jusqu'en est qu'il existe une réaction de la piste sur le point en toutes les positions possibles jusqu'à en effet pouvoir définir, en tout position précédant , une vitesse instantanée [24] pour le point n'est qu'une condition nécessaire mais non suffisante pour que le point puisse atteindre .

Point mobile sans frottement à l'intérieur d'un tube parabolique[modifier | modifier le wikicode]

Glissement d'un point M en liaison bilatérale sans frottement dans un tube parabolique, avec les conditions initiales de lancement “M en O de vitesse initiale v(0) = v0

......Un point matériel de masse est mobile sans frottement à l'intérieur d'un tube ayant la forme d'une demi-parabole dont l'équation dans le plan vertical est dans laquelle est une constante homogène à une longueur ;

......les conditions initiales sont : pour , , et la vitesse instantanée [10], [34] [35], (voir figure ci-contre).

Explicitation de diverses longueurs associées à la demi-parabole en fonction de l'angle d'inclinaison de sa tangente avec l'horizontale[modifier | modifier le wikicode]

......Évaluer, en fonction de l'angle que le 1er vecteur de base de Frenet [5], [34] fait avec le vecteur unitaire cartésien et pour une position quelconque de ,

  • l'abscisse ,
  • la cote et
  • le rayon de courbure [36] de la trajectoire.

Évaluation de la vitesse instantanée en fonction de la cote z[modifier | modifier le wikicode]

......Pour une cote , quelle est la vitesse instantanée [10], [34] de à expliciter en fonction de entre autres ?

Évaluation de la réaction du tube sur le point M[modifier | modifier le wikicode]

......Quelle est la norme de la réaction exercée par le tube sur  ?

......Expliciter son expression en fonction de .

......Pour quelle valeur de la réaction exercée par le tube sur est-elle toujours nulle ?

À la fête foraine pour tester la force des joueurs[modifier | modifier le wikicode]

Schéma d'un jeu à la fête foraine pour comparer sa force en lançant un chariot a priori en liaison bilatérale sans frottement sur un guide ABCD, le joueur n'exerçant une force sur le chariot que sur la partie AB de façon à ce qu'il atteigne D

......Dans un stand de fête foraine, on peut tester sa «~force~» en lançant un chariot , initialement au repos en , dans le but que ce dernier atteigne en  ; pour des raisons de sécurité, le chariot est en liaison bilatérale sur un rail situé dans un plan vertical, rectiligne horizontal étant de longueur avec au milieu de et étant un demi-cercle de rayon  ;

......le joueur procède au lancement uniquement sur la partie rectiligne et doit absolument lâcher le chariot en on suppose que la force que le joueur exerce sur est horizontale et de norme constante sur tout le trajet  ;

......le chariot est de masse et on le considère comme ponctuel ; l’intensité de la pesanteur terrestre étant constante et notée , on néglige tout frottement solide entre le chariot et le rail.

Lancement d'un 1er joueur : force minimale Fmin pour que le chariot atteigne D et réaction du guide en D quand F = Fmin[modifier | modifier le wikicode]

......Un premier joueur permet au chariot d’atteindre  :

  • quelle force minimale [42] a-t-il exercée sur [43] ?
  • Quelle est alors la réaction du rail sur le chariot en on précisera sa direction, son sens et sa norme dans le cas où  ?

Lancement d'un 2ème joueur moins fort : position extrême atteinte par le chariot et réaction du guide en cette position[modifier | modifier le wikicode]

......Un deuxième joueur, «~moins fort~» que le précédent, exerce une force [42] :

  • jusqu'en quelle position le chariot arrivera-t-il on précisera  ?
  • Quelle est alors la réaction du rail sur le chariot en cette position ?

Chariot temporairement en liaison unilatérale[modifier | modifier le wikicode]

......Un défaut de sécurité fait qu'à présent le chariot n’est plus en liaison bilatérale mais unilatérale.

Force minimale F'min pour que le chariot atteigne D, vitesse du chariot en cette position et point de retombée de ce dernier sur le rail[modifier | modifier le wikicode]

......Quelle force minimale [42] un joueur doit-il exercer sur [43] pour que le chariot atteigne  ?

......Quelle est alors la vitesse du chariot quand ce dernier atteint dans le cas  ?

......En quel point du rail le chariot va-t-il retomber ?

Nouvelle tentative du 2ème joueur[modifier | modifier le wikicode]

......Le deuxième joueur refait alors une tentative en exerçant une force [42] ; vérifier qu'il n’y a rien de changé pour lui.

Nouveau lancement du 1er joueur[modifier | modifier le wikicode]

......Le premier joueur refait lui aussi un lancement en exerçant une force [42] ; vérifier que le chariot n'atteint pas et

......déterminer en quelle position il y a rupture de contact entre le chariot et le rail on précisera  ?

......Quelle est alors le vecteur vitesse du chariot en cette position on précisera sa direction, son sens et sa norme ?