Leçons de niveau 14

Mécanique 1 (PCSI)/Description et paramétrage du mouvement d'un point : Systèmes de coordonnées

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Description et paramétrage du mouvement d'un point : Systèmes de coordonnées
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Chapitre no 2
Leçon : Mécanique 1 (PCSI)
Chap. préc. :Description et paramétrage du mouvement d'un point : Généralités
Chap. suiv. :Description et paramétrage du mouvement d'un point : Mouvement de vecteur accélération constant
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Mécanique 1 (PCSI)/Description et paramétrage du mouvement d'un point : Systèmes de coordonnées
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......Ce chapitre ayant un support mathématique important a déjà été grandement introduit dans le chap. « Divers repérages d'un point dans l'espace » de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».

Sommaire

Système de coordonnées cartésiennes[modifier | modifier le wikicode]

Voir le paragraphe « Repérage cartésien d'un point dans l'espace » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »
plus particulièrement pour :

Choix d'un repère cartésien associé à la composante d'espace du référentiel d'étude[modifier | modifier le wikicode]

......Au « référentiel d'espace » , on associe un « repère cartésien » c.-à-d.

  • une « origine » fixe dans et
  • une « base orthonormée » usuellement directe [1] également fixe dans .

Coordonnées cartésiennes d'un point[modifier | modifier le wikicode]

......Le vecteur position de se décompose dans la base cartésienne selon et
...... définissent les coordonnées cartésiennes du point abscisse, ordonnée et cote.

Système de coordonnées cylindriques (ou cylindro-polaires), base cylindrique liée au point repéré[modifier | modifier le wikicode]

Voir le § « repérage cylindro-polaire (ou cylindrique) d'un point dans l'espace » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »
plus particulièrement pour :
Vue en perspective du repérage cylindro-polaire (ou cylindrique) d'un point M

Principe du repérage cylindro-polaire d'un point dans la composante d'espace du référentiel d'étude[modifier | modifier le wikicode]

......Pour définir un repérage cylindro-polaire d'axe pour le point , on conserve le repérage cartésien du projeté orthogonal de sur l'axe et on modifie le repérage du projeté orthogonal de sur le plan en le repérant, dans ce plan, par sa distance à et par l'angle que fait avec l'axe

Repérage cylindro-polaire d'axe fixé d'un point dans la composante d'espace du référentiel d'étude[modifier | modifier le wikicode]

Vues projetées du repérage cylindro-polaire (ou cylindrique) d'un point M : demi-plan méridien et vue de dessus

......Les coordonnées cylindro-polaires (ou cylindriques) de sont avec

  • sa « coordonnée radiale » [2],
  • sa « coordonnée angulaire » [3], [4] et
  • sa cote ;

......On définit la base « cylindro-polaire » (ou cylindrique) liée à , [5] orthonormée directe avec

  • le premier vecteur de la base ,
  • le second vecteur de la base dans le plan « directement perpendiculaire au précédent » [6] on peut encore le définir par et
  • le troisième vecteur de la base identique au troisième vecteur de la base cartésienne.

......Remarque : comme la base orthonormée cartésienne , la base orthonormée polaire permet d'exprimer tout vecteur du plan , à la différence que ces vecteurs de base polaire dépendent de l'abscisse angulaire du point alors que les vecteurs de base cartésienne sont constants.

Composantes cylindro-polaires (ou cylindriques) du vecteur position d'un point M dans la composante d'espace du référentiel d'étude[modifier | modifier le wikicode]

......Le vecteur position du point s'écrit dans la base cylindro-polaire liée à selon [7].

Lien entre repérages cylindro-polaire (ou cylindrique) et cartésien[modifier | modifier le wikicode]

......Voir le paragraphe « lien entre repérages cylindro-polaire et cartésien d'un point » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » mais il faut savoir qu'en principe vous ne devez jamais revenir au repérage cartésien quand vous êtes en repérage cylindro-polaire (ou cylindrique) car, si vous avez choisi ce dernier (ou s'il vous a été imposé), c'est parce qu'il simplifie l'étude

Système de coordonnées sphériques, base sphérique liée au point repéré[modifier | modifier le wikicode]

Voir le § « repérage sphérique d'un point dans l'espace » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »
plus particulièrement pour :
Vue en perspective du repérage sphérique d'un point M

Principe du repérage sphérique d'un point dans la composante d'espace du référentiel d'étude[modifier | modifier le wikicode]

......Pour définir un repérage sphérique de pôle et d'axe pour le point , on définit le demi-plan contenant l'axe et passant par , appelé demi-plan méridien, que l'on repère par l'angle qu'il fait avec le demi-plan méridien de référence [8], [9] ; on repère alors le point dans ce demi-plan méridien par sa distance au pôle [10] et par l'angle positif que fait avec l'axe [11] ; dans ce cas le repérage sphérique utilise une longueur et deux angles ;

......si le point , le demi-plan méridien n'est pas défini en fait tous demi-plans contenant conviennent et on repère le point sur par sa distance au pôle et par l'angle positif que fait avec l'axe plus exactement cet angle vaut si est du côté positif de l'axe et s'il est du côté négatif ; dans ce cas un des angles restant indéfini, le repérage sphérique utilise une longueur et un angle.

Repérage sphérique de pôle et d'axe fixés d'un point dans la composante d'espace du référentiel d'étude[modifier | modifier le wikicode]

Vues projetées du repérage sphérique d'un point M : demi-plan méridien et vue de dessus

......Les coordonnées sphériques de sont avec

  • son « rayon (polaire) » [12],
  • sa « colatitude » [13], [14] et
  • sa « longitude » [15], [4] ;

......On définit la base « sphérique » liée à , [16] orthonormée directe avec

  • le premier vecteur de la base ,
  • le second vecteur de la base dans le demi-plan méridien « directement perpendiculaire au précédent » [17], [18] et
  • le troisième vecteur de la base perpendiculaire au demi-plan méridien et orientant ce dernier soit encore [19].

......Remarque : comme la base orthonormée cylindro-polaire du demi-plan méridien orienté par , la base orthonormée sphérique de ce même demi-plan méridien orienté par permet d'exprimer tout vecteur du demi-plan méridien, à la différence que ces vecteurs de base sphérique dépendent de la colatitude du point alors que les vecteurs de base cylindro-polaire sont constants pour un demi-plan méridien fixé.

Composantes sphériques du vecteur position d'un point M dans la composante d'espace du référentiel d'étude[modifier | modifier le wikicode]

......Le vecteur position du point s'écrit dans la base sphérique liée à selon [20].

Interprétation géographique du repérage sphérique de pôle et d'axe fixés[modifier | modifier le wikicode]

......Pour un repérage sphérique de pôle et d'axe , l'axe est identifié à l'axe « pôle Sud pôle Nord » de la Terre,

  • est l'altitude augmentée du rayon de la Terre, le vecteur unitaire vertical ascendant,
  • la colatitude [21], le vecteur unitaire horizontal dirigé vers le Sud,
  • la longitude et le vecteur unitaire horizontal dirigé vers l'Est.

Lien entre repérages sphérique et cylindro-polaire (ou cylindrique)[modifier | modifier le wikicode]

......Voir le paragraphe « lien entre repérages sphérique et cylindro-polaire d'un point » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » mais il faut savoir qu'en principe vous ne devez jamais revenir au repérage cylindro-polaire quand vous êtes en repérage sphérique car, si vous avez choisi ce dernier (ou s'il vous a été imposé), c'est parce qu'il simplifie l'étude

Lien entre repérages sphérique et cartésien[modifier | modifier le wikicode]

......Voir le paragraphe « lien entre repérages sphérique et cartésien d'un point » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » mais il faut savoir qu'en principe vous ne devez en aucun cas revenir au repérage cartésien quand vous êtes en repérage sphérique car, si vous avez choisi ce dernier (ou s'il vous a été imposé), c'est parce qu'il simplifie énormément l'étude

Composantes cartésiennes du vecteur position, du vecteur vitesse et du vecteur accélération du point repéré dans le référentiel d'étude[modifier | modifier le wikicode]

Composantes cartésiennes du vecteur position du point repéré dans le référentiel d'étude[modifier | modifier le wikicode]

......Le vecteur position s'exprimant en repérage cartésien sous la forme , ses composantes cartésiennes sont s'identifiant aux coordonnées cartésiennes du point  ;

......le mouvement du point défini de façon intrinsèque par l'équation horaire vectorielle paramétrique l'est, de façon équivalente, par la donnée des trois équations horaires scalaires paramétriques lesquelles sont encore les « trois équations scalaires paramétriques de la trajectoire du point  » ;

Tracé des deux surfaces (un plan et un cylindre parabolique de génératrices coupant le plan) dont la parabole est l'intersection

......pour déterminer les « deux équations cartésiennes scalaires de  » [22] il convient d'éliminer le paramètre entre ces trois équations

......Voir l'exemple traité dans le paragraphe « repérage paramétrique d'une courbe » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » dans lequel on établit que étant l'intersection d'un cylindre parabolique de génératrices parallèles à l'axe et d'un plan parallèle à l'axe est une parabole (voir ci-contre).

Composantes cartésiennes du vecteur vitesse du point repéré dans le référentiel d'étude[modifier | modifier le wikicode]

......La définition intrinsèque du vecteur vitesse de étant et les vecteurs de base cartésienne étant des vecteurs constants nous trouvons les composantes cartésiennes du vecteur vitesse en dérivant par rapport à , en utilisant le fait que la dérivée d'une somme est la somme des dérivées, soit

, les composantes cartésiennes de étant  ;
la norme du vecteur vitesse se calcule selon et s'exprime en .

......Exemple : mouvement du point défini par les trois équations horaires scalaires , le vecteur vitesse a pour composantes cartésiennes , sa norme valant .

Composantes cartésiennes du vecteur accélération du point repéré dans le référentiel d'étude[modifier | modifier le wikicode]

......La définition intrinsèque du vecteur accélération de étant et les vecteurs de base cartésienne étant des vecteurs constants nous trouvons les composantes cartésiennes du vecteur accélération en dérivant par rapport à , en utilisant le fait que la dérivée d'une somme est la somme des dérivées, soit

,
les composantes cartésiennes de étant  ;
la norme du vecteur accélération se calcule selon et s'exprime en .

......Exemple : mouvement du point défini par les trois équations horaires scalaires , le vecteur accélération a pour composantes cartésiennes , il est donc constant, parallèle à , et sa norme vaut .

Composantes cylindro-polaires (ou cylindriques) du vecteur position, du vecteur vitesse et du vecteur accélération du point repéré dans le référentiel d'étude[modifier | modifier le wikicode]

Composantes cylindro-polaires (ou cylindriques) du vecteur position du point repéré dans le référentiel d'étude[modifier | modifier le wikicode]

......Le vecteur position s'exprimant en repérage cylindro-polaire (ou cylindrique) d'axe sous la forme [7], ses composantes cylindro-polaires sont ne s'identifiant aux coordonnées cylindro-polaires du point que pour la 1ère et 3ème composantes ;

......le mouvement du point défini de façon intrinsèque par l'équation horaire vectorielle paramétrique l'est, de façon équivalente, par la donnée des trois équations horaires scalaires cylindro-polaires paramétriques [23] lesquelles sont encore les « trois équations scalaires cylindro-polaires paramétriques de la trajectoire du point  » ;

Hélice circulaire droite caractérisée comme intersection d'un cylindre de révolution et d'une "nappe en colimaçon" - ensemble de demi-droites parallèles à xOy issues d'un point de l'axe z'z de cote plus ou moins élevée suivant la valeur de l'abscisse angulaire (la cote étant fonction de cette dernière)

......pour déterminer les « deux équations cylindro-polaires scalaires de  » [24] il convient d'éliminer le paramètre entre ces trois équations

......Exemple : soit le mouvement d'un point défini par les trois équations horaires scalaires cylindro-polaires lesquelles sont aussi les trois équations scalaires cylindro-polaires paramétriques de la trajectoire du point , nous nous proposons de déterminer la nature de la trajectoire en établissant ses deux équations cylindro-polaires ;

......Exemple : une 1ère équation ne demande aucun calcul c'est équation cylindro-polaire d'un tuyau cylindrique d'axe et de rayon  ;

......Exemple : une 2ème équation s'obtient en éliminant entre les deux dernières équations paramétriques soit que l'on reporte dans donnant équation cylindro-polaire d'une « nappe en colimaçon » [25] ;

......Exemple : la trajectoire étant d'équations cylindro-polaires est une constante, c.-à-d. l'intersection d'un tuyau cylindrique d'axe et d'une « nappe en colimaçon » est une hélice circulaire « droite » [26] dont la constante définit le « pas de l'hélice » [27] (voir ci-dessus).

Repérage polaire de Mxy, base polaire qui lui est liée, dérivée de ses vecteurs de base polaires relativement à l'abscisse angulaire de Mxy repéré dans le référentiel d'étude[modifier | modifier le wikicode]

Notion de repérage polaire de Mxy, base polaire liée à Mxy[modifier | modifier le wikicode]

......Le repérage de , projeté orthogonal de sur le plan , utilisant les coordonnées partielles des coordonnées cylindro-polaires (ou cylindriques) de , est appelé « repérage polaire de  »,
......la base partielle de la base cylindro-polaire (ou cylindrique) liée à définit la « base polaire liée à  ».

Dérivée des vecteurs de base polaires relativement à l'abscisse angulaire de Mxy repéré dans le référentiel d'étude[modifier | modifier le wikicode]

......Les vecteurs de base polaires de dépendant de l'abscisse angulaire de , leur dérivée par rapport à cette dernière est a priori non nulle ; pour évaluer chacune d'elle on utilise leur décomposition dans la base cartésienne du plan selon

[28],

......leur dérivée par rapport à donnant, compte-tenu du fait que les vecteurs de base cartésiennes sont constants d'une part et d'autre part que la dérivée d'un ou d'un par rapport à son argument s'obtient en ajoutant à l'argument [29],

 ;


Composantes cylindro-polaires (ou cylindriques) du vecteur vitesse du point repéré dans le référentiel d'étude[modifier | modifier le wikicode]

......La définition intrinsèque du vecteur vitesse de étant et les vecteurs de base cylindro-polaires à l'exception du dernier qui est constant dépendant de qui est fonction de , nous trouverons les composantes cylindro-polaires (ou cylindriques) du vecteur-vitesse en dérivant par rapport à , en utilisant [30] conduisant à

puis,

......pour évaluer , utilisation de la formule de dérivation de fonction composée appliquée à donnant dans laquelle la dérivation dans le plan du vecteur de base polaire par rapport à l'angle qu'il fait avec la direction fixe étant équivalente à une rotation d'un angle de en restant dans le plan conduit à et, par report, à

 ;

......finalement, par injection dans l'expression du vecteur vitesse, on obtient

[31],
les composantes cylindro-polaires de étant [32] ;
la norme du vecteur vitesse se calcule selon et s'exprime en .

......Exemple : mouvement du point défini par les trois équations horaires scalaires cylindro-polaires et qualifié de « mouvement hélicoïdal droit uniforme », le vecteur vitesse a pour composantes cylindro-polaires [33], sa norme valant ou encore, en introduisant le pas de l'hélice, [34].

Composantes cylindro-polaires (ou cylindriques) du vecteur accélération du point repéré dans le référentiel d'étude[modifier | modifier le wikicode]

......La définition intrinsèque du vecteur accélération de étant et les vecteurs de base cylindro-polaires à l'exception du dernier qui est constant dépendant de qui est fonction de , nous trouvons les composantes cylindro-polaires du vecteur accélération en dérivant par rapport à , en utilisant la formule de dérivation d'un produit de fonctions du type [30] conduisant à

puis,

......pour évaluer , utilisation de la formule de dérivation de fonction composée appliquée à donnant dans laquelle la dérivation dans le plan du vecteur de base polaire par rapport à l'angle qu'il fait avec la direction fixe étant équivalente à une rotation d'un angle de en restant dans le plan conduit à et, par report, à

,

......la dérivée de par rapport à ayant déjà été évaluée au paragraphe précédent et ayant conduit à

 ;

......finalement, par injection dans l'expression du vecteur accélération, on obtient

ou

......en regroupant les termes ayant même vecteur de base polaire, l'expression suivante

[31],
les composantes cylindro-polaires de étant [35] ;
la norme du vecteur accélération se calcule selon et s'exprime en .

......Autre forme de l'accélération orthoradiale (forme « semi-intégrée » [36]) : à partir de on met en facteur [37] dans le but que le 2ème facteur se mette sous la forme de la dérivée temporelle d'une fonction du temps soit dans laquelle on vérifie aisément que le facteur entre crochets est égal à d'où

la forme « semi-intégrée » de l'accélération orthoradiale [38], [39].

......Exemple : mouvement du point défini par les trois équations horaires scalaires cylindro-polaires et qualifié de « mouvement hélicoïdal droit uniforme », le vecteur accélération a pour composantes cylindro-polaires [40], sa norme valant .

Détermination géométrique des composantes cartésiennes et cylindro-polaires (ou cylindriques) du vecteur déplacement élémentaire du point repéré dans le référentiel d'étude, déduction des composantes correspondantes du vecteur-vitesse[modifier | modifier le wikicode]

Rappel de la notion de déplacement élémentaire d'un point le long d'une courbe ainsi que du lien entre vecteur déplacement élémentaire et vecteur vitesse[modifier | modifier le wikicode]

......La notion de vecteur déplacement élémentaire a déjà été introduite dans le paragraphe « définition intrinsèque du vecteur déplacement élémentaire à partir du point  » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » et elle a été identifiée à celle de « vecteur déplacement élémentaire d'un point le long d'une courbe continue » du chap. de la même leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » :

est la différentielle du vecteur position du point décrivant la courbe soit [41] ;
le vecteur déplacement élémentaire le long de la courbe est tangent à la courbe en , dans la mesure où [42].

Détermination géométrique des composantes cartésiennes du vecteur déplacement élémentaire du point repéré dans le référentiel d'étude[modifier | modifier le wikicode]

......Revoir le paragraphe « détermination géométrique des composantes cartésiennes du vecteur déplacement élémentaire d'un point » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » où cela a été traité en détails (à savoir refaire) ;

à retenir .

Détermination géométrique des composantes cylindro-polaires (ou cylindriques) du vecteur-déplacement élémentaire du point repéré dans le référentiel d'étude[modifier | modifier le wikicode]

......Revoir le paragraphe « détermination géométrique des composantes cylindro-polaires du vecteur déplacement élémentaire d'un point » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » où cela a été traité en détails (à savoir refaire) ;

à retenir .

Déduction des composantes correspondantes du vecteur vitesse du point repéré dans le référentiel d'étude[modifier | modifier le wikicode]

......Dans le paragraphe « vecteur déplacement élémentaire du point M, autre définition de son vecteur vitesse » du chap. de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » ayant établi , on peut déduire simplement le vecteur vitesse du point à l'instant en divisant le vecteur déplacement élémentaire défini à partir du point à l'instant par la durée élémentaire correspondant au déplacement d'où l'expression du vecteur vitesse :

  • en repérage cartésien [43] et
  • en repérage cylindro-polaire (ou cylindrique) soit finalement [43], [31].

Détermination géométrique des composantes sphériques du vecteur déplacement élémentaire du point repéré dans le référentiel d'étude, déduction des composantes correspondantes du vecteur-vitesse[modifier | modifier le wikicode]

Détermination géométrique des composantes sphériques du vecteur déplacement élémentaire du point repéré dans le référentiel d'étude[modifier | modifier le wikicode]

......Revoir le paragraphe « détermination géométrique des composantes sphériques du vecteur déplacement élémentaire d'un point » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » où cela a été traité en détails (à savoir refaire) ;

à retenir [44].

Équations horaires sphériques du mouvement du point repéré dans le référentiel d'étude[modifier | modifier le wikicode]

......L'équation horaire vectorielle du mouvement du point repéré dans le référentiel d'étude étant ou, en utilisant la base sphérique liée au point , à savoir [45], à la fonction vectorielle du temps établissant que la connaissance de l'équation horaire du mouvement du point dans le référentiel d'étude est équivalente à celle des trois équations horaires sphériques du point dans le référentiel d'étude, ces trois équations horaires sphériques étant aussi les trois équations sphériques paramétriques de la trajectoire du point considéré.

......Remarque : on rappelle que le vecteur position du point repéré dans le référentiel d'étude a pour composantes sphériques c.-à-d. utilisant uniquement la 1ère équation horaire sphérique du point compte-tenu du fait que est toujours colinéaire à , mais les deux autres équations horaires sphériques du point sont indispensables pour connaître à l'instant selon

Déduction des composantes correspondantes du vecteur vitesse du point repéré dans le référentiel d'étude[modifier | modifier le wikicode]

......Dans le paragraphe « vecteur déplacement élémentaire du point M, autre définition de son vecteur vitesse » du chap. de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » ayant établi , on peut déduire simplement le vecteur vitesse du point à l'instant en divisant le vecteur déplacement élémentaire défini à partir du point à l'instant par la durée élémentaire correspondant au déplacement d'où l'expression du vecteur vitesse en repérage sphérique :

...... soit finalement

[43], [31],
les composantes sphériques de étant [46] ;
la norme du vecteur vitesse se calcule selon et s'exprime en .

......Exemple : mouvement du point défini par les trois équations horaires scalaires sphériques et qualifié

Tracé de l'Équateur au pôle Nord de la loxodromie de pente 30° par rapport aux parallèles (en rouge) ainsi que de sa projetée sur le plan équatorial "la spirale de Poinsot" [47] (en vert)

de « mouvement loxodromique de sphère uniforme » [48], le vecteur vitesse a pour composantes sphériques soit, avec , [49] et , on en déduit les composantes sphériques de [50], sa norme valant justifiant le caractère « uniforme » du mouvement.

Compléments : détermination des dérivées partielles des vecteurs de base sphériques liés, dans le référentiel d'étude, au point M en fonction de la colatitude et de la longitude de ce dernier, conséquences sur l'étude du mouvement du point en repérage sphérique[modifier | modifier le wikicode]

Détermination des dérivées partielles des vecteurs de base sphériques liés, dans le référentiel d'étude, au point M en fonction de la colatitude et de la longitude de ce dernier[modifier | modifier le wikicode]

......À partir de la notion de dérivées partielles d'une fonction scalaire de deux variables indépendantes [51] à revoir dans le paragraphe « définition des dérivées partielles » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » [52], on introduit celle de dérivées partielles d'une fonction vectorielle de deux variables indépendantes [51] de la même façon c.-à-d. en figeant une variable et en dérivant la fonction vectorielle de la variable laissée libre par rapport à cette dernière [53].

Détermination des dérivées partielles du premier vecteur de base sphérique lié au point M repéré dans le référentiel d'étude[modifier | modifier le wikicode]

Vues projetées du repérage sphérique d'un point M : demi-plan méridien et vue de dessus

......Voir le paragraphe « détermination des dérivées partielles du 1er vecteur de base sphérique » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) », on y a établi :

  • en se plaçant dans le demi-plan méridien, lequel est figé pendant le temps de la dérivation, et en appliquant la propriété “ quand on dérive un vecteur unitaire dans un plan fixe par rapport à l'angle que fait ce vecteur avec une direction fixe du plan, on obtient le vecteur unitaire du plan fixe directement perpendiculaire au vecteur que l'on dérive ” et
  • en utilisant la décomposition de dans la base cylindro-polaire du demi-plan méridien à savoir selon , suivi de l'utilisation de , les autres facteurs ne dépendant pas de .

Détermination des dérivées partielles du second vecteur de base sphérique lié au point M repéré dans le référentiel d'étude[modifier | modifier le wikicode]

......Voir le paragraphe « détermination des dérivées partielles du 2nd vecteur de base sphérique » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) », on y a établi :

  • en se plaçant dans le demi-plan méridien, lequel est figé pendant le temps de la dérivation, et en appliquant la propriété “ quand on dérive un vecteur unitaire dans un plan fixe par rapport à l'angle que fait ce vecteur avec une direction fixe du plan, on obtient le vecteur unitaire du plan fixe directement perpendiculaire au vecteur que l'on dérive ” et
  • en utilisant la décomposition de dans la base cylindro-polaire du demi-plan méridien à savoir selon , suivi de l'utilisation de , les autres facteurs ne dépendant pas de .

Détermination de la dérivée du troisième vecteur de base sphérique lié au point M repéré dans le référentiel d'étude[modifier | modifier le wikicode]

......Voir le paragraphe « détermination de la dérivée du 3ème vecteur de base sphérique » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) », on y a établi

...... en utilisant la propriété “ quand on dérive un vecteur unitaire dans un plan fixe par rapport à l'angle que fait ce vecteur avec une direction fixe du plan, on obtient le vecteur unitaire du plan fixe directement perpendiculaire au vecteur que l'on dérive ” soit [54] suivi de la décomposition du 1er vecteur de base cylindro-polaire, vecteur du demi-plan méridien, dans la base sphérique de ce demi-plan à savoir selon .

Obtention des composantes sphériques du vecteur vitesse du point M repéré dans le référentiel d'étude par dérivation temporelle du vecteur position du point[modifier | modifier le wikicode]

......Le vecteur position du point à l'instant s'écrivant, en repérage sphérique, , on obtient le vecteur vitesse du point à l'instant par  ;

......la détermination de s'établissant en utilisant la formule de dérivation de fonctions composées dans laquelle la 1ère fonction est une fonction vectorielle de deux variables indépendantes [55] soit dans laquelle on utilise d'où  ;

......le report dans l'expression du vecteur vitesse du point nous conduit à

[31] ;
les composantes sphériques de étant [46] ;
la norme du vecteur vitesse se calcule selon et s'exprime en .

Quelques indications pour avoir la possibilité de déterminer les composantes sphériques du vecteur accélération du point M repéré dans le référentiel d'étude par dérivation temporelle du vecteur vitesse du point[modifier | modifier le wikicode]

Préliminaire : les composantes sphériques du vecteur accélération ne doivent JAMAIS être utilisées de votre propre chef car beaucoup trop compliquées [56].

......Le vecteur vitesse du point à l'instant s'écrivant, en repérage sphérique, , on obtient le vecteur accélération du point à l'instant par  ;

......la dérivée a été établie au paragraphe précédent en donnant  ;
......on adopte la même démarche pour en utilisant la formule de dérivation de fonctions composées dans laquelle la 1ère fonction est une fonction vectorielle de deux variables indépendantes [55] soit dans laquelle on utilise d'où  ;
......on adopte une démarche analogue mais simplifiée pour en utilisant la formule de dérivation de fonctions composées dans laquelle la 1ère fonction est une fonction vectorielle d'une variable [57] soit dans laquelle on utilise d'où  ;

......le report dans l'expression du vecteur accélération du point et le regroupement des composantes de même vecteur de base nous conduit à

[31] ;
les composantes sphériques de étant [58] ;
la norme du vecteur accélération se calcule selon et s'exprime en .

......Exemple : mouvement du point défini par les trois équations horaires scalaires sphériques et qualifié de « mouvement loxodromique de sphère uniforme » [48] pour lequel et , et , enfin [49], [59] et d'où, en reportant dans les

Tracé de l'Équateur au pôle Nord de la loxodromie de pente 30° par rapport aux parallèles (en rouge) ainsi que de sa projetée sur le plan équatorial "la spirale de Poinsot" [47] (en vert)

composantes sphériques du vecteur accélération de décrivant la loxodromie de sphère de l'équateur au pôle Nord ou, en explicitant les colatitude et longitude ainsi que les vitesses associées, [60], sa norme valant