Mécanique 1 (PCSI)/Description et paramétrage du mouvement d'un point : Mouvement circulaire uniforme ou non

Leçons de niveau 14
Une page de Wikiversité, la communauté pédagogique libre.
Début de la boite de navigation du chapitre
Description et paramétrage du mouvement d'un point : Mouvement circulaire uniforme ou non
Icône de la faculté
Chapitre no 4
Leçon : Mécanique 1 (PCSI)
Chap. préc. :Description et paramétrage du mouvement d'un point : Mouvement de vecteur accélération constant
Chap. suiv. :Description du mouvement d'un solide dans deux cas particuliers
fin de la boite de navigation du chapitre
En raison de limitations techniques, la typographie souhaitable du titre, « Mécanique 1 (PCSI) : Description et paramétrage du mouvement d'un point : Mouvement circulaire uniforme ou non
Mécanique 1 (PCSI)/Description et paramétrage du mouvement d'un point : Mouvement circulaire uniforme ou non
 », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.

Définition d'un mouvement circulaire, repérage intrinsèque par « rayon vecteur »[modifier | modifier le wikicode]

Schéma représentant une trajectoire circulaire de centre et d'axe sur lequel a été choisi un sens pour orienter les angles du plan contenant le cercle [1]

Définition d'un mouvement circulaire du point M[modifier | modifier le wikicode]

     Le mobile décrit un mouvement circulaire, dans le référentiel d'étude , si sa trajectoire est portée par un cercle ; nous noterons

  • [2] le centre du cercle,
  • [3] son axe lequel est au plan du cercle [1] et
  • son rayon.

Repérage intrinsèque du point M sur sa trajectoire circulaire par son « rayon vecteur »[modifier | modifier le wikicode]

     Dans le cas général le point est repéré de façon intrinsèque par son vecteur position ,

     Dans le cas général lorsqu'on choisit le centre du cercle pour origine du vecteur position, celui-ci devient usuellement nommé « rayon vecteur » ;

la « loi horaire vectorielle du mouvement de est alors ».

Vecteur rotation instantanée, expression intrinsèque du vecteur vitesse et du vecteur accélération du point M, cas particulier du mouvement uniforme[modifier | modifier le wikicode]

Définition du vecteur rotation instantanée[modifier | modifier le wikicode]

Schéma de définition du vecteur rotation instantanée du mouvement circulaire d'un point , de centre et d'axe sur lequel a été choisi un sens [1] pour orienter l'angle que fait le rayon vecteur du point à l'instant avec le rayon vecteur de position de à un instant de référence ; figure aussi le vecteur vitesse de à l'instant

     L’axe de rotation étant orienté par [1], avec un « rayon vecteur de référence » permettant de repérer le point à la date sur sa trajectoire circulaire par

l'« angle orienté [4] définissant l'abscisse angulaire du point à l'instant »,
le « vecteur rotation instantanée au même instant » est défini par «» avec
«[5] appelée vitesse angulaire du point au même instant » ;

      est porté par l'axe et est de même sens que dans l'hypothèse d'un mouvement se faisant dans le sens .

Expression intrinsèque du vecteur vitesse du point M sur sa trajectoire circulaire à l'instant t[modifier | modifier le wikicode]

     On vérifie aisément l’« expression intrinsèque à mémoriser du vecteur vitesse de sur sa trajectoire circulaire »

«» [6],

     en prenant les direction, sens et norme de ce produit vectoriel [7] :

  • la direction étant à est tangente au cercle,
  • le sens étant tel que soit direct [8] est dans le sens indiqué sur le schéma et
  • la norme étant «» [9] définit effectivement la vitesse linéaire du mouvement du point sur le cercle.

     Remarque : même si la meilleure origine du vecteur position est le centre de la trajectoire circulaire décrite par , il peut être intéressant, pour préciser le mouvement de ce dernier, de prendre pour origine du vecteur position un point fixe de l'axe ,
     Remarque : la loi horaire vectorielle s'écrit alors «» [10] et
     Remarque : le vecteur vitesse dans un mouvement circulaire de vecteur rotation instantanée se détermine de façon intrinsèque en fonction du vecteur position selon

«» [11] ;

     Remarque : justification : partant de l'expression établie avec le rayon vecteur à savoir «» puis utilisant la relation de Chasles [12] «» que l'on reporte dans l'expression de avec emploi de la distributivité de la multiplication vectorielle par rapport à l'addition vectorielle [13] d'où « » et, le 2nd produit vectoriel étant nul car « les deux vecteurs le composant et sont colinéaires » [7], «» C.Q.F.D. [14].

Expression intrinsèque du vecteur accélération du point M sur sa trajectoire circulaire à l'instant t[modifier | modifier le wikicode]

     Pour obtenir l’expression intrinsèque du vecteur accélération , on dérive par rapport à celle de «» «» [15] ;

Schéma de définition du vecteur rotation instantanée du mouvement circulaire d'un point , de centre et d'axe sur lequel a été choisi un sens [1] pour orienter l'angle que fait le rayon vecteur du point à l'instant avec le rayon vecteur de position de à un instant de référence ; figurent aussi le vecteur vitesse ainsi que le vecteur accélération de à l'instant

     de plus «» «» [16] d'où se réécrit « » ou encore «» obtenu en reportant l'expression intrinsèque du vecteur vitesse «» ;

     pour simplifier l'expression de ci-dessus, on applique à la formule du double produit vectoriel [17] soit « » [18] ou encore « » [19] ;

     finalement l'« expression intrinsèque à mémoriser du vecteur accélération du point à l'instant sur sa trajectoire circulaire » s'écrit

«» [20] ;

     on y observe deux termes voir sur la figure ci-contre, le 1er terme «» est « tangentiel et n'existe que si la vitesse
     on y observe deux termes voir sur la figure ci-contre, angulaire varie » [21],
     on y observe deux termes voir sur la figure ci-contre, le 2ème terme «» est « normal plus précisément centripète » [22], de norme au rayon du cercle et
           on y observe deux termes voir sur la figure ci-contre, le 2ème terme «» est « normal plus précisément centripète », de norme au carré de la vitesse angulaire [23].

     Remarque : même si cela ne présente qu'un intérêt très limité on peut obtenir l'expression intrinsèque du vecteur accélération en dérivant par rapport à celle de «» étant un point fixe de l'axe avec , soit «» [15] avec «» [24] d'où, par report, « » ;

     Remarque : dans le 2ème terme «» on reconnaît celui qui a conduit au terme d'accélération centrale «» en utilisant une formule du double produit vectoriel après remplacement de « par » [25] et

     Remarque : dans le 1er terme «» on doit donc reconnaître le terme d'accélération tangentielle «», l'égalité entre les deux résultant de l'utilisation de la relation de Chasles [12] «», de la distributivité de la multiplication vectorielle relativement à l'addition vectorielle [13] et enfin du fait que «» les deux vecteurs étant colinéaires.

Cas particulier du mouvement uniforme[modifier | modifier le wikicode]

     Définition : un mouvement circulaire est qualifié d'« uniforme » du point de vue intrinsèque si son vecteur rotation instantanée est constant soit «».

     1ère conséquence : le vecteur vitesse du point en mouvement circulaire uniforme s'écrivant «»
     1ère conséquence : le vecteur vitesse du point en mouvement circulaire uniforme a pour seule particularité le fait d'être de norme constante
     1ère conséquence : le vecteur vitesse du point en mouvement circulaire uniforme «».

     2ème conséquence : le vecteur accélération du point en mouvement circulaire uniforme s'écrivant «» du fait de la « nullité de l'accélération
     2ème conséquence : le vecteur accélération du point en mouvement circulaire uniforme tangentielle », a pour particularité de rendre centripète
     2ème conséquence : le vecteur accélération du point en mouvement circulaire uniforme «» et de norme constante «».

Repérage plan polaire ayant le centre du cercle pour pôle, définition de l'abscisse angulaire, de la vitesse angulaire et de l'accélération angulaire du point M, expressions des composantes polaires du vecteur position, du vecteur vitesse et du vecteur accélération du point M, cas particulier du mouvement uniforme[modifier | modifier le wikicode]

Introduction[modifier | modifier le wikicode]

Schéma décrivant le mouvement circulaire d'un point , avec choix du plan du cercle comme plan , et du centre du cercle comme pôle du repérage polaire de , les angles étant orientés par l'axe

     Dans le cas où le point mobile étudié décrit un mouvement circulaire, il est en effet judicieux de choisir le plan du repère lié au référentiel d'étude confondu avec le plan du cercle, l'origine étant identifiée avec le centre de ce dernier, et l'axe avec l'axe du cercle l'axe de ce dernier étant orienté par voir schéma ci-contre :

Repérage plan polaire de pôle « le centre du cercle », les angles du plan étant orientés par « l'axe (orienté) du cercle »[modifier | modifier le wikicode]

     Le cercle étant de rayon , les « coordonnées polaires de sont » et la « base polaire liée à est » respectivement appelé vecteurs unitaires radial et orthoradial [26] ;

     parmi les deux paramètres de position du point , l'un est fixé et l'autre « décrit la loi horaire scalaire de position du mouvement du point sur sa trajectoire circulaire ».

Abscisse angulaire de M[modifier | modifier le wikicode]

     L'« abscisse angulaire de est sa 2èmecoordonnée polaire », exprimée en fonction du temps , elle définit la « loi horaire scalaire de position du mouvement de sur sa trajectoire »

« exprimées en ».

Vitesse angulaire de M[modifier | modifier le wikicode]

     On définit la « vitesse angulaire de à l'instant » comme la dérivée temporelle de l'abscisse angulaire de à l'instant soit « » ; on obtient ainsi la « loi horaire scalaire de vitesse angulaire du mouvement du point sur sa trajectoire circulaire »

« en notant exprimées en ».

Accélération angulaire de M[modifier | modifier le wikicode]

     On définit l'« accélération angulaire [27] de à l'instant » comme la dérivée temporelle de la vitesse angulaire de à l'instant d'où l'« accélération angulaire de à l'instant égale à » ; on obtient ainsi la « loi horaire scalaire d'accélération angulaire du mouvement du point sur sa trajectoire circulaire »

«[28] exprimées en ».

Expressions des composantes polaires du vecteur position (ou rayon vecteur), du vecteur vitesse et du vecteur accélération du point M[modifier | modifier le wikicode]

Composantes polaires du vecteur position (ou rayon vecteur) de M[modifier | modifier le wikicode]

     Par définition du « vecteur unitaire radial le 1er vecteur de la base polaire liée à » [29], on en déduit le « vecteur position ou rayon vecteur de »

«».

Composantes polaires du vecteur vitesse de M[modifier | modifier le wikicode]

     Le « vecteur vitesse du point sur sa trajectoire circulaire » ayant pour « composantes polaires » [30], on en déduit que

« le vecteur vitesse de est orthoradial [31] » [32] exprimés en .

Composantes polaires du vecteur accélération de M[modifier | modifier le wikicode]

     Le « vecteur accélération de sur sa trajectoire circulaire » ayant pour « composantes polaires » [33], on en déduit que

« le vecteur accélération de a toujours une composante radiale [34] et éventuellement une composante orthoradiale » [35]
«» [36] exprimés en .

Cas particulier du mouvement circulaire uniforme[modifier | modifier le wikicode]

     Définitions équivalentes : un mouvement circulaire est qualifié d'« uniforme » du point de vue repérage polaire si

  • sa vitesse angulaire est constante soit                                   «»,
  • son accélération angulaire est identiquement nulle soit         «»,
  • son abscisse angulaire est une fonction affine du temps soit «».

     1ère conséquence : « le vecteur vitesse du point en mouvement circulaire uniforme s'écrivant »
     1ère conséquence : « le vecteur vitesse du point en mouvement circulaire uniforme a pour seule particularité le fait d'être de norme constante «».

     2ème conséquence : « le vecteur accélération du point en mouvement circulaire uniforme s'écrivant » [37]
     2ème conséquence : « le vecteur accélération du point en mouvement circulaire uniforme a pour particularité le fait d'être centripète « direction et sens de » et
     2ème conséquence : « le vecteur accélération du point en mouvement circulaire uniforme a pour particularité le fait d'être de norme constante «».

En complément, repérage de Frenet, abscisse curviligne, vitesse instantanée, accélération tangentielle, composante(s) de Frenet du vecteur vitesse et du vecteur accélération du point M, cas particulier du mouvement uniforme[modifier | modifier le wikicode]

Introduction[modifier | modifier le wikicode]

Schéma décrivant le mouvement circulaire d'un point par repérage de Frenet [38], avec choix de l'origine [39] et de celui du sens de mesure de l'« abscisse curviligne de » [40] dans le sens trigonométrique direct

     On choisit l'« origine des abscisses curvilignes sur le cercle » [39] et
     on oriente ce dernier par le « 1er vecteur de base locale de Frenet [38] » [41] vecteur unitaire tangentiel de Frenet [38] choisi tangent au cercle dans le « sens direct » [42],
     on oriente ce dernier par le « 2ème vecteur de base locale de Frenet [38] » [43] vecteur unitaire normal principal de Frenet [38] étant toujours dirigé vers la concavité,
     on oriente ce dernier par le « 3ème vecteur de base locale de Frenet [38] » [43] vecteur unitaire normal secondaire de Frenet [38] est au plan du cercle pointant vers nous selon «» [44] on rappelle que c'est le sens de qui définit le sens de mesure des angles dans le plan du cercle voir schéma ci-contre :

Abscisse curviligne, vitesse instantanée et accélération tangentielle du point M sur sa trajectoire[modifier | modifier le wikicode]

     On rappelle que le point sur sa trajectoire est repéré par une seule coordonnée de Frenet [38] son « abscisse curviligne exprimée en » [40].

Abscisse curviligne du point M sur sa trajectoire[modifier | modifier le wikicode]

     L'« abscisse curviligne de » [40] est sa seule coordonnée de Frenet [38], exprimée en fonction du temps , elle définit la « loi horaire scalaire de position du mouvement de sur sa trajectoire »

«» exprimées en .

Vitesse instantanée du point M sur sa trajectoire[modifier | modifier le wikicode]

     La « vitesse instantanée de à l'instant » est la dérivée temporelle de l'abscisse curviligne de à l'instant [45] soit « » ; on obtient ainsi la « loi horaire scalaire de vitesse instantanée du mouvement du point sur sa trajectoire circulaire »

« en notant » exprimées en .

Accélération tangentielle du point M sur sa trajectoire[modifier | modifier le wikicode]

     L'« accélération tangentielle de à l'instant » est la dérivée temporelle de la vitesse instantanée de à l'instant [46] d'où «» ; on obtient ainsi la « loi horaire scalaire d'accélération tangentielle du mouvement du point sur sa trajectoire circulaire »

«» exprimées en .

Expression des composantes de Frenet du vecteur vitesse et du vecteur accélération du point M sur sa trajectoire[modifier | modifier le wikicode]

Composante de Frenet du vecteur vitesse du point M sur sa trajectoire[modifier | modifier le wikicode]

     Par définition de la vitesse instantanée [45] du point sur sa trajectoire, on en déduit le « vecteur vitesse de »

« avec » exprimées en .

Composantes de Frenet du vecteur accélération du point M sur sa trajectoire[modifier | modifier le wikicode]

     En plus de l'« accélération tangentielle traduisant la variation de la vitesse instantanée sur sa trajectoire » [46], il y a une « accélération normale qui décrit la courbure [47] de la trajectoire simultanément à la vitesse instantanée [45] sur celle-ci par » [46] d'où le « vecteur accélération de sur sa trajectoire » selon

«» avec
«» et «» exprimées en .

Cas particulier du mouvement circulaire uniforme[modifier | modifier le wikicode]

     Définitions équivalentes : un mouvement circulaire est qualifié d'« uniforme » du point de vue repérage de Frenet [38] si

  • sa vitesse instantanée [45] est constante soit                                      «»,
  • son accélération tangentielle [46] est identiquement nulle soit         «»,
  • son abscisse curviligne [40] est une fonction affine du temps soit      «».

     1ère conséquence : « le vecteur vitesse du point en mouvement circulaire uniforme s'écrivant »
     1ère conséquence : « le vecteur vitesse du point en mouvement circulaire uniforme a pour seule particularité le fait d'être de norme constante «».

     2ème conséquence : « le vecteur accélération du point en mouvement circulaire uniforme s'écrivant » du fait de la nullité de l'accélération tangentielle [46]
     2ème conséquence : « le vecteur accélération du point en mouvement circulaire uniforme a pour particularité le fait d'être centripète « de direction et sens de » [48] et
     2ème conséquence : « le vecteur accélération du point en mouvement circulaire uniforme a pour particularité le fait d'être de norme constante «».

En complément, liens entre repérage plan polaire ayant le centre du cercle pour pôle et repérage de Frenet tel que l'origine des abscisses curvilignes coïncide avec l'origine des abscisses angulaires[modifier | modifier le wikicode]

Préliminaire[modifier | modifier le wikicode]

     Pour simplifier le lien entre les deux, il est judicieux d'imposer «» [49] dont une conséquence est que
     Pour simplifier le lien entre les deux, il est judicieux d'imposer « le 1er vecteur de la base locale de Frenet [38] » [41] c.-à-d. le vecteur unitaire tangentiel de Frenet [38]
                 Pour simplifier le lien entre les deux, il est judicieux d'imposer « le 1er vecteur de la base locale de Frenet » est identique « au 2ème vecteur de la base polaire » c.-à-d.
             Pour simplifier le lien entre les deux, il est judicieux d'imposer « le 1er vecteur de la base locale de Frenet » est identique « au 2ème le vecteur unitaire orthoradial [26] soit
                 Pour simplifier le lien entre les deux, il est judicieux d'imposer « le 1er vecteur de la base locale de Frenet » est identique «» ;

     pour que les angles du plan du cercle soient orientés dans le même sens trigonométrique direct dans les deux repérages,
     pour que les angles du plan du cercle soient orientés dans le même sens « le 3ème vecteur de la base locale de Frenet [38] » [43] c.-à-d. le vecteur unitaire normal secondaire de Frenet [38]
                pour que les angles du plan du cercle soient orientés dans le même sens « le 3ème vecteur de la base locale de Frenet » doit être identique « au 3ème vecteur de la base cylindro-polaire »
                 pour que les angles du plan du cercle soient orientés dans le même sens « le 3ème vecteur de la base locale de Frenet » doit être identique c.-à-d. le vecteur unitaire axial soit
                pour que les angles du plan du cercle soient orientés dans le même sens « le 3ème vecteur de la base locale de Frenet » doit être identique «» [50] ;

     les deux bases étant orthonormées directes [8] on en déduit le lien entre « le 2ème vecteur de la base locale de Frenet [38] » [43] c.-à-d. le vecteur unitaire normal principal de Frenet [38]
        les deux bases étant orthonormées directes on en déduit le lien entre « le 2ème vecteur de la base locale défini par rapport aux deux autres vecteurs de la base de Frenet [38] par et
         les deux bases étant orthonormées directes on en déduit le lien entre « les vecteurs de base cylindro-polaire » en utilisant «» d'où
         les deux bases étant orthonormées directes on en déduit le lien entre « le 2ème vecteur de la base locale de Frenet [38] » [43] est identique à « l'opposé du 1er vecteur de la base polaire »
                       les deux bases étant orthonormées directes on en déduit le lien entre « le 2ème vecteur de la base locale de Frenet » est identique à c.-à-d. l'opposé du vecteur unitaire radial soit
                     les deux bases étant orthonormées directes on en déduit le lien entre « le 2ème vecteur de la base locale de Frenet » est identique à «» [51].

     On choisit, de préférence, l’origine des abscisses curvilignes en liaison avec l’origine des abscisses angulaires c.-à-d. telle que «».

Lien entre abscisses curviligne et angulaire, vitesses instantanée et angulaire, accélérations tangentielle et angulaire du point M[modifier | modifier le wikicode]

     Remarque préliminaire : compte-tenu des unités des grandeurs cinématiques correspondantes intervenant dans les repérages polaire et de Frenet [38],
     Remarque préliminaire : compte-tenu des unités une grandeur cinématique de Frenet [38] abscisse curviligne, vitesse instantanée et accélération tangentielle
     Remarque préliminaire : compte-tenu des unités s'obtient à partir de la grandeur cinématique polaire associée abscisse angulaire, vitesse angulaire et accélération angulaire
     Remarque préliminaire : compte-tenu des unités s'obtient en multipliant cette dernière par une longueur, laquelle ne peut être que le rayon du cercle

Lien entre abscisses curviligne et angulaire du point M sur sa trajectoire[modifier | modifier le wikicode]

     Sachant que la « longueur d'un arc de cercle de rayon tel que l'angle au centre correspondant soit exprimé en » se calcule par «» [52],

     on en déduit le « lien entre l'abscisse curviligne du point sur sa trajectoire et l'abscisse angulaire correspondante » «».

Lien entre vitesses instantanée et angulaire du point M sur sa trajectoire[modifier | modifier le wikicode]

     Par dérivation temporelle du lien entre abscisses curviligne et angulaire du point sur sa trajectoire on obtient «» c.-à-d.
     Par dérivation temporelle le « lien entre la vitesse instantanée [45] du point sur sa trajectoire et la vitesse angulaire correspondante » «».

Lien entre accélérations tangentielle et angulaire du point M sur sa trajectoire[modifier | modifier le wikicode]

     Par dérivation temporelle du lien entre vitesse instantanée [45] et angulaire du point sur sa trajectoire on obtient «» c.-à-d.
     Par dérivation temporelle le « lien entre l'accélération tangentielle [46] du point sur sa trajectoire et l'accélération angulaire [28] correspondante » «» [28].

Lien entre composantes de Frenet et polaires du vecteur vitesse et du vecteur accélération du point M sur sa trajectoire[modifier | modifier le wikicode]

     Pour trouver ces liens il suffit d'utiliser les identifications des vecteurs de base de Frenet [38] avec ceux de base polaire à savoir [53] d'où :

Lien entre composantes de Frenet et polaire du vecteur vitesse du point M sur sa trajectoire[modifier | modifier le wikicode]

     De on y reporte [53] et on en déduit à identifier à d'où

« les vitesses instantanée [45] et orthoradiale sont identiques » «».

Lien entre composantes de Frenet et polaire du vecteur accélération du point M sur sa trajectoire[modifier | modifier le wikicode]

     De on y reporte [53] et on en déduit à identifier à d'où

« les accélérations tangentielle [46] et orthoradiale sont identiques » «» et
« les accélérations normale [46] et radiale sont opposées » «».

Essai de repérage cartésien[modifier | modifier le wikicode]

Introduction[modifier | modifier le wikicode]

Schéma décrivant le mouvement circulaire d'un point , avec choix du plan du cercle comme plan , et du centre du cercle comme origine du repérage cartésien de , les angles étant orientés par l'axe

     Le choix d'un repérage cartésien, même avec origine le centre du cercle, reste un très mauvais choix, l'une des raisons étant qu'« il faut, pour décrire le mouvement du point sur le cercle, deux lois horaires cartésiennes scalaires » là où « une seule loi horaire scalaire est suffisante lors d'un repérage polaire ou de Frenet [38] » ; en effet

     ayant choisi le plan du cercle comme plan , la cote de est «», pour compléter la connaissance du mouvement de il reste à « préciser les deux lois horaires scalaires donnant l'abscisse et l'ordonnée de en fonction du temps » soit «» et
       Ayant choisi le plan du cercle comme plan xOy, si l'origine du repère a été choisie au centre du cercle, l'utilisation du paramètre angulaire exprimée en fonction du temps permet d'« écrire les deux lois horaires scalaires », « l'abscisse et l'ordonnée de étant liées par l'équation cartésienne de la trajectoire » à savoir celle du cercle de centre et de rayon «» ;

     dans le cas où le mouvement circulaire n'est pas uniforme, la complication est réelle car «», le mouvement des projetés et de respectivement sur les axes et n'est pas sinusoïdal, l'argument du cosinus ou du sinus n'étant pas une fonction affine du temps,

     dans le cas où le mouvement circulaire n'est pas uniforme, la complication est accrue dans les lois horaires scalaires de vitesse, chaque composante du vecteur vitesse s'écrivant «» c.-à-d. égale à une fonction pseudo-sinusoïdale ou pseudo-cosinusoïdale d'une fonction non affine du temps pseudo-sinusoïdale ou pseudo-cosinusoïdale dans la mesure où le cœfficient multiplicateur de ou de est une fonction du temps donc une pseudo-amplitude et enfin

     dans le cas où le mouvement circulaire n'est pas uniforme, la complication est encore plus grande dans les lois horaires scalaires d'accélération, chaque composante du vecteur accélération s'écrivant « » c.-à-d. égale à une somme de deux fonctions pseudo-sinusoïdales ou pseudo-cosinusoïdales de fonctions non affines du temps différentes pseudo-sinusoïdale ou pseudo-cosinusoïdale dans la mesure où les cœfficients multiplicateurs des ou des sont des fonctions du temps différentes donc des pseudo-amplitudes différentes

Cas particulier d’un mouvement circulaire uniforme[modifier | modifier le wikicode]

     Ayant choisi le plan du cercle comme plan et le centre du cercle comme origine , le caractère uniforme du mouvement entraîne

  • une « vitesse angulaire notée » correspondant à
  • une « accélération angulaire nulle c.-à-d. » et
  • une « abscisse angulaire fonction affine du temps » ;

     les « composantes cartésiennes du rayon vecteur » se traduisent par le caractère sinusoïdal du mouvement des projetés de sur les axes et , respectivement et , de même amplitude et de même pulsation [54], en quadrature de phase l'un relativement à l'autre, plus précisément :

     les « composantes cartésiennes du rayon vecteur « si », les « composantes cartésiennes du rayon vecteur se réécrivent » [55], soit
     les « composantes cartésiennes du rayon vecteur « si », les « composantes cartésiennes du rayon vecteur se réécrivent « vibre en quadrature retard sur » et

     les « composantes cartésiennes du rayon vecteur « si », les « composantes cartésiennes du rayon vecteur se réécrivent
     les « composantes cartésiennes du rayon vecteur « si », » [56], soit « vibre en quadrature avance sur » ;

     les « composantes cartésiennes des vecteurs vitesse et accélération s'obtiennent en dérivant temporellement celles de une ou deux fois successivement » soit :

  • c.-à-d. le caractère sinusoïdal de la vitesse des projetés de sur les axes et , respectivement et , de même amplitude [57] et de même pulsation [54], en quadrature de phase l'une relativement à l'autre et
  • c.-à-d. le caractère sinusoïdal de l'accélération des projetés de sur les axes et , respectivement et , de même amplitude et de même pulsation [54], en quadrature de phase l'une par rapport à l'autre, ces composantes se réécrivant [58].

     Conséquence : on déduit aisément de ce qui précède que le projeté d'un mouvement circulaire uniforme sur un diamètre quelconque du cercle est en mouvement rectiligne sinusoïdal de pulsation égale à la valeur absolue de la vitesse angulaire et d'amplitude égale au rayon du cercle

     Conséquence : on emploie cette propriété lors de l'utilisation d'un système « bielle - excentré » pour transformer un mouvement circulaire uniforme en mouvement rectiligne quasi sinusoïdal à condition que la bielle soit de longueur grande devant le rayon décrit par l'excentré.

Composition de deux mouvements rectilignes sinusoïdaux sur des directions orthogonales de même centre O, de même pulsation, de même amplitude et en quadrature de phase[modifier | modifier le wikicode]

     La composition du mouvement rectiligne sinusoïdal sur l'axe de à la fréquence ou la pulsation , d'amplitude soit «» et

     La composition du mouvement rectiligne sinusoïdal sur l'axe de à la fréquence ou la pulsation , d'amplitude mais en quadrature de phase par rapport au précédent soit
     La composition du mouvement rectiligne sinusoïdal sur l'axe de à la fréquence ou la pulsation , d'amplitude soit «»

     La composition du mouvement rectiligne sinusoïdal est un mouvement circulaire uniforme M.C.U. de centre , de rayon et de vitesse angulaire [59] ;

     La composition du mouvement rectiligne sinusoïdal est un mouvement circulaire uniforme si vibre en quadrature retard sur , la vitesse angulaire du M.C.U. [60] est égale à la pulsation
     La composition du mouvement rectiligne sinusoïdal est un mouvement circulaire uniforme si vibre en quadrature retard sur , «» [59] et
     La composition du mouvement rectiligne sinusoïdal est un mouvement circulaire uniforme si vibre en quadrature avance sur , la vitesse angulaire du M.C.U. [60] est l'opposé de la pulsation
     La composition du mouvement rectiligne sinusoïdal est un mouvement circulaire uniforme si vibre en quadrature avance sur , «» [59].

Rappel de propriété : la direction du vecteur accélération du point M est toujours dans la concavité de la trajectoire suivie par le point[modifier | modifier le wikicode]

     La propriété « la direction du vecteur accélérationdu pointest dans la concavité de la trajectoire suivie par le point »
     La propriété établie dans le cas d'un mouvement circulaire et qui découle du fait que le vecteur unitaire normal principal de Frenet [38] [43] est, par définition, dans la concavité du cercle
     La propriété établie dans le cas d'un mouvement circulaire et qui découle du fait simultanément au caractère de l'accélération normale [46], [61]
     La propriété reste valable quel que soit le mouvement considéré et quelle que soit la trajectoire suivie par ce mouvement.

Notes et références[modifier | modifier le wikicode]

  1. 1,0 1,1 1,2 1,3 et 1,4 Si on oriente par un vecteur unitaire , le choix du sens d'orientation de définit le sens des angles du plan du cercle le lien entre les deux est régi par la règle de « l'autostoppeur droitier » ou du « tire-bouchon de Maxwell » dans la mesure où l'espace est orienté à droite voir l'« introduction du paragraphe produit vectoriel de deux vecteurs » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » pour la signification de « orienté à droite » et revoir le paragraphe « orientation des angles du plan tangent à la surface en M » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » pour l'exposé de la règle de « l'autostoppeur droitier », celle du « tire-bouchon de Maxwell » est rappelée dans la note « 10 » du chap. de la même leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
       James Clerk Maxwell (1831 - 1879) physicien et mathématicien écossais, principalement connu pour ses équations unifiant l'électricité, le magnétisme et l'induction ainsi que pour l'établissement du caractère électromagnétique des ondes lumineuses, mais aussi pour sa distribution des vitesses utilisée dans une description statistique de la théorie cinétique des gaz ; le tire-bouchon fictif portant son nom a été baptisé ainsi en son honneur.
  2. Point fixe de .
  3. Droite fixe de passant par .
  4. Exprimé en .
  5. Encore notée .
  6. On rappelle que est le centre du cercle.
  7. 7,0 et 7,1 Voir le paragraphe « définition intrinsèque du produit vectoriel de deux vecteurs » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
  8. 8,0 et 8,1 L'espace étant orienté à droite voir l'« introduction du paragraphe produit vectoriel de deux vecteurs » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
  9. L'angle étant droit.
  10. Le vecteur étant nommé « vecteur position », l'appellation « rayon vecteur » étant réservée au vecteur .
  11. C.-à-d. que c'est la même forme que celle obtenue avec le rayon vecteur .
  12. 12,0 et 12,1 Michel Chasles (1793 - 1880) mathématicien français à qui on doit d'importants travaux en géométrie projective ainsi qu'en analyse harmonique ; la relation de Chasles, connue depuis très longtemps, porte son nom pour lui rendre hommage.
  13. 13,0 et 13,1 Revoir le paragraphe « propriétés (de la multiplication vectorielle relativement à l'addition vectorielle) » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
  14. Ce Qu'il Fallait Démontrer.
  15. 15,0 et 15,1 La règle de dérivation d'un produit de fonctions scalaires par rapport à la variable dont elles dépendent se généralise à un produit scalaire ou vectoriel de fonctions vectorielles mais dans le cas de la dérivation d'un produit vectoriel, il ne faut pas oublier que ce dernier n'est pas commutatif il est en fait anticommutatif.
  16. En effet, le centre du cercle est un point fixe du référentiel d'où son vecteur vitesse est identiquement nul.
  17. Voir le paragraphe « formules du double produit vectoriel » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) », la formule utilisée étant avec la parenthèse ouvrante devant le 2ème des trois vecteurs du membre de gauche.
  18. En effet le produit scalaire entre le rayon vecteur et le vecteur rotation instantanée est nul car les deux vecteurs orthogonaux.
  19. Le carré scalaire est aussi le carré de la norme du vecteur rotation instantanée ou le carré de la vitesse angulaire cette dernière étant .
  20. Ou «»
       ou encore «» avec « la vitesse angulaire de dans son mouvement circulaire ».
  21. Sur la figure du paragraphe en cours, la vitesse angulaire a été supposée croissante à l'instant considéré d'où une composante tangentielle du vecteur accélération dans le même sens que le vecteur vitesse.
  22. C.-à-d. de direction passant par le centre et dont le sens se dirige toujours vers ce dernier.
  23. Ceci permettant de satisfaire à la dimension d'une accélération.
  24. La propriété découle de la relation de Chasles et du fait que le point est fixe, sinon,
       avec « mobile nous aurions ».
  25. Il aurait été maladroit de remplacer par par complication de l'exposé en effet cela aurait donné
       «» après simplification évidente, obtenu moins rapidement qu'avec le remplacement de par .
  26. 26,0 et 26,1 Voir le paragraphe « repérage cylindro-polaire (ou cylindrique) d'un point de l'espace » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
  27. Il n'y a aucune notation propre reconnue par tous pour représenter l'accélération angulaire.
  28. 28,0 28,1 et 28,2 Le plus souvent l'accélération angulaire est simplement notée ou moins souvent
  29. Voir le paragraphe « coordonnées cylindro-polaires et base locale associée d'un point » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
  30. Voir le paragraphe « composantes cylindro-polaires (ou cylindriques) du vecteur vitesse du point repéré dans le référentiel d'étude » du chap. de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) ».
  31. En accord avec le fait qu'il doit être tangent au cercle.
  32. Peut se retrouver à partir de l'expression intrinsèque du vecteur vitesse, en remarquant que la vitesse angulaire est la composante du vecteur rotation instantanée sur l'axe du cercle orienté par , en effet «».
  33. Voir le paragraphe « composantes cylindro-polaires (ou cylindriques) du vecteur accélération du point repéré dans le référentiel d'étude » du chap. de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) ».
  34. En accord avec le fait que le vecteur accélération étant toujours dirigé vers l'intérieur de la concavité, cette propriété ne peut provenir que d'une composante radiale.
  35. Celle-ci existant dès lors que la vitesse angulaire du point n'est pas constante.
  36. Peut se retrouver à partir de l'expression intrinsèque du vecteur accélération, en remarquant que la vitesse angulaire est la composante du vecteur rotation instantanée sur l'axe du cercle orienté par , en effet «», étant le centre du cercle soit encore « et finalement ».
  37. Du fait de la nullité de l'accélération orthoradiale dans la mesure où l'accélération angulaire est nulle pour un mouvement circulaire uniforme.
  38. 38,00 38,01 38,02 38,03 38,04 38,05 38,06 38,07 38,08 38,09 38,10 38,11 38,12 38,13 38,14 38,15 38,16 38,17 38,18 38,19 38,20 38,21 et 38,22 Jean Frédéric Frenet (1816 - 1900) est un mathématicien, astronome et météorologue français à qui on doit six des neuf formules de géométrie différentielle associées au trièdre ou base de Serret-Frenet Joseph-Alfred Serret (1819 - 1885) mathématicien et astronome français ayant trouvé indépendamment ces formules.
  39. 39,0 et 39,1 On le choisit n'importe où sur le cercle puis, si besoin est, le centre du cercle étant choisi comme origine du repère cartésien associé au référentiel d'étude , on choisit l'axe passant par tel que l'abscisse de ce dernier soit le rayon du cercle en fait seul le choix de est indispensable dans le repérage de Frenet.
  40. 40,0 40,1 40,2 et 40,3 Voir le paragraphe « notion d'abscisse curviligne d'un point d'une courbe continue » du chap. de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) ».
  41. 41,0 et 41,1 Voir le paragraphe « notion de 1er vecteur de la base locale de Frenet liée au point d'une courbe continue » du chap. de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) ».
  42. Choix arbitraire, on aurait pu choisir l'autre sens « indirect ou rétrograde ».
  43. 43,0 43,1 43,2 43,3 43,4 et 43,5 Voir le paragraphe « 2ème et 3ème vecteurs de la base locale de Frenet liée au point d'une courbe plane continue » du chap. de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) ».
  44. Dans la mesure où les choix secondaires de repère cartésien lesquels, rappelons-le, ne sont pas indispensables au repérage de Frenet se sont poursuivis par celui d'axe directement à et d'axe aux deux précédents tel que pointe vers nous, si a été choisi dans le sens direct comme suggéré, alors mais si est choisi dans le sens indirect ou rétrograde, alors .
  45. 45,0 45,1 45,2 45,3 45,4 45,5 et 45,6 Voir le paragraphe « composante locale de Frenet du vecteur vitesse du point repéré sur sa trajectoire dans le référentiel d'étude, vitesse instantanée du point » du chap. de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) ».
  46. 46,0 46,1 46,2 46,3 46,4 46,5 46,6 46,7 et 46,8 Voir le paragraphe «  composantes locales de Frenet du vecteur accélération du point repéré sur sa trajectoire dans le référentiel d'étude, accélérations tangentielle et normale du point » du chap. de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) ».
  47. Voir le paragraphe « définition du rayon de courbure en un point non anguleux d'une courbe plane » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
  48. En effet le vecteur unitaire normal principal de Frenet est lui même centripète.
  49. C'est le choix qui a été fait puisque le sens des abscisses angulaires a été choisi dans le sens trigonométrique direct du plan et que celui des abscisses curvilignes a été choisi dans le même sens.
  50. Ce choix est possible dans la mesure où le lien entre le 2ème vecteur de base de Frenet , le vecteur unitaire normal principal nécessairement dirigé dans le sens de la concavité du cercle comme cela a été rappelé dans l'« introduction du paragraphe en complément, repérage de Frenet, abscisse curviligne, vitesse instantanée, accélération tangentielle, composante(s) de Frenet du vecteur vitesse et du vecteur accélération du point M, cas particulier du mouvement uniforme » plus haut dans ce chapitre et les vecteurs de la base cylindro-polaire du plan du cercle reste à définir.
  51. On aurait pu introduire le vecteur unitaire normal principal de Frenet juste après l'introduction du vecteur unitaire tangentiel de Frenet et avant celle du vecteur unitaire normal secondaire de la façon suivante :
       d'une part le 2ème vecteur de la base de Frenet devant être centripète et le 1er vecteur de la base polaire étant centrifuge on doit faire l'identification «» et
       d'autre part le 3ème vecteur de la base de Frenet le vecteur unitaire normal secondaire étant lié aux deux autres vecteurs de base de Frenet par «» on en déduit son lien avec les vecteurs de base cylindro-polaire par «».
  52. La définition du radian étant la mesure d'un angle au centre telle que la longueur de l'arc de cercle correspondant soit égal au rayon du cercle.
  53. 53,0 53,1 et 53,2 Voir le paragraphe « préliminaire » plus haut dans ce chapitre.
  54. 54,0 54,1 et 54,2 La pulsation étant une grandeur physiquement positive.
  55. En effet .
  56. En effet .
  57. L'amplitude étant une grandeur physiquement positive.
  58. Peut se déduire aussi de la forme intrinsèque du vecteur accélération d'un mouvement circulaire uniforme avec centre du cercle et .
  59. 59,0 59,1 et 59,2 Voir le paragraphe « cas particulier d'un mouvement circulaire (conséquence) » plus haut dans ce chapitre il s'agit plutôt de la réciproque de la propriété établie dans le paragraphe précité.
  60. 60,0 et 60,1 Mouvement Circulaire Uniforme.
  61. Nulle si la vitesse instantanée l'est sinon .