Leçons de niveau 14

Mécanique 1 (PCSI)/Approche énergétique du mouvement d'un point matériel : Petits mouvements au voisinage d'un équilibre stable

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Approche énergétique du mouvement d'un point matériel : Petits mouvements au voisinage d'un équilibre stable
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Chapitre no 19
Leçon : Mécanique 1 (PCSI)
Chap. préc. :Approche énergétique du mouvement d'un point matériel : Équilibre et stabilité
Chap. suiv. :Approche énergétique du mouvement d'un point matériel : Barrière d'énergie potentielle
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Mécanique 1 (PCSI)/Approche énergétique du mouvement d'un point matériel : Petits mouvements au voisinage d'un équilibre stable
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Les notions de ce chapitre sont introduites dans le cadre de la dynamique newtonienne.

Sommaire

Définition d'un oscillateur « non linéaire » au voisinage d'un équilibre stable[modifier | modifier le wikicode]

......La définition d'un oscillateur « non linéaire » n'est pas explicitée dans le programme de physique de P.C.S.I. mais sa tentative de linéarisation y est clairement indiquée et il semble difficile de chercher à linéariser un oscillateur « non linéaire » sans définir ce dernier correctement ;

......dans tout ce paragraphe on note le paramètre de position même si celui-ci est angulaire.

1ère définition d'un oscillateur « non linéaire » au voisinage d'un équilibre stable[modifier | modifier le wikicode]


2ème définition d'un oscillateur « non linéaire » au voisinage d'un équilibre stable[modifier | modifier le wikicode]

Cas d'un équilibre stable tel que le D.L. de la force « motrice » à l'ordre le plus bas non nul soit linéaire (et de rappel), approximation harmonique de l'oscillateur non linéaire[modifier | modifier le wikicode]

Point matériel à un degré de liberté soumis à une résultante de force « motrice » (hors frottement fluide) non linéaire « unidirectionnelle selon l'axe x'x » (ou « s'appliquant tangentiellement sur la trajectoire circulaire de rayon R décrite par le point subissant la force ») dont le mouvement est étudié au voisinage d'un équilibre stable, oscillateur non linéaire au voisinage de cet équilibre[modifier | modifier le wikicode]

......Considérons un point matériel , de masse , soumis à une résultante de force « motrice » [5] (hors frottement fluide) non linéaire telle que

  • le mouvement du point matériel soit unidirectionnel selon l'axe correspondant à une résultante de force « motrice » [5] (hors frottement fluide) étant non linéaire] ou
  • la trajectoire du point matériel soit circulaire, de centre , le pôle du repérage polaire et de rayon , correspondant à une résultante de force « motrice » [5] (hors frottement fluide) tangentielle étant non linéaire] et

......Considérons une position d'équilibre stable d'abscisse

  • linéaire si le mouvement du point matériel est unidirectionnel selon l'axe ou
  • angulaire si le mouvement du point matériel est circulaire de centre et de rayon ,

......nous nous proposons d'établir l'équation différentielle du 2ème ordre en [ou en pour vérifier que le point matériel satisfait bien à la 1ère définition d'un oscillateur « non linéaire » et établir l’expression de ou en .

......Pour cela on applique la r.f.d.n. [6] au point matériel , dont les forces suivant la direction du mouvement sont

  • la résultante de force « motrice » [5] (hors frottement fluide) et éventuellement
  • la résistance à l'avancement de dans le fluide [7] supposée linéaire [8] avec et

......on obtient, en la projetant sur la direction du mouvement c'est-à-dire

......sur dans le cas où est de mouvement unidirectionnel selon l'axe , ou, en normalisant

,

s'identifiant à avec et , la fonction vérifiant bien les propriétés nécessaires pour que le point soit un oscillateur « non linéaire » au voisinage de en effet

...... succ sur ux d'une part et

...... succ sur ux d'autre part le D.L. [9] à l'ordre le plus bas non nul de au voisinage de est,

...... succ sur ux d'autre part si , avec [10]

...... succ sur ux d'autre part avec

ou

...... succ sur ux d'autre part si , , avec [10]

...... succ sur ux d'autre part , avec

 ;

......sur dans le cas où est de mouvement circulaire de centre et de rayon , ou, en normalisant

,

s'identifiant à avec et , la fonction vérifiant bien les propriétés nécessaires pour que le point soit un oscillateur « non linéaire » au voisinage de en effet

...... succ sur uθ d'une part et

...... succ sur uθ d'autre part le D.L. [9] à l'ordre le plus bas non nul de au voisinage de est,

...... succ sur uθ d'autre part si , avec [11]

...... succ sur uθ d'autre part avec

ou

...... succ sur uθ d'autre part si , , avec [11]

...... succ sur uθ d'autre part , avec

.

Cas d'une force « motrice » « unidirectionnelle selon l'axe x'x » dont le D.L. à l'ordre le plus bas non nul au voisinage de l'équilibre stable est linéaire[modifier | modifier le wikicode]

......Nous sommes donc dans le cas c'est-à-dire encore , l'ordre le plus bas non nul du D.L. [9] de la force « motrice » [5] au voisinage de l'équilibre stable est donc « un » soit, en notant et ,

  • le D.L. [9] de la force « motrice » [5] au voisinage de l'équilibre stable s'écrit selon [12] avec assurant le caractère force « de rappel » et
  • celui de la fonction caractérisant l'oscillateur « non linéaire » dans son équation différentielle du 2ème ordre au voisinage de son équilibre stable selon [13] avec ou avec .

......L'équation différentielle en au voisinage de [ou plus précisément en au voisinage de s'écrit alors

[14] avec ,

......le cœfficient de caractérise alors un oscillateur harmonique amorti (ou non amorti si , le D.L. [9] à l'ordre un en définissant dans ce cas l'« approximation harmonique de l'oscillateur non linéaire ».

......Nous en déduisons la « pulsation propre des petites élongations [15] » ; en absence de frottement fluide (c'est-à-dire si l'oscillateur non amorti oscille sinusoïdalement avec une « période propre des petites élongations [15] ».

Cas d'une force « motrice » « s'appliquant tangentiellement sur la trajectoire circulaire de rayon R décrite par le point subissant la force » dont le D.L. à l'ordre le plus bas non nul au voisinage de l'équilibre stable est linéaire[modifier | modifier le wikicode]

......Nous sommes donc dans le cas c'est-à-dire encore , l'ordre le plus bas non nul du D.L. [9] de la force « motrice » [5] au voisinage de l'équilibre stable est donc « un » soit, en notant et ,

  • le D.L. [9] de la force « motrice » [5] au voisinage de l'équilibre stable s'écrit selon [12] avec assurant le caractère force « de rappel » et
  • celui de la fonction caractérisant l'oscillateur « non linéaire » dans son équation différentielle du 2ème ordre au voisinage de son équilibre stable selon [16] avec ou avec .

......L'équation différentielle en au voisinage de [ou plus précisément en au voisinage de s'écrit alors

[17] avec ,

......le cœfficient de caractérise alors un oscillateur harmonique amorti (ou non amorti si , le D.L. [9] à l'ordre un en définissant dans ce cas l'« approximation harmonique de l'oscillateur non linéaire ».

......Nous en déduisons la « pulsation propre des petites élongations [15] » ; en absence de frottement fluide (c'est-à-dire si l'oscillateur non amorti oscille sinusoïdalement avec une « période propre des petites élongations [15] ».

Cas d'un équilibre stable tel que le D.L. de l'énergie potentielle à l'ordre le plus bas non nul autre que zéro ait, pour diagramme, un « puits parabolique », approximation harmonique de l'oscillateur non linéaire[modifier | modifier le wikicode]

Point matériel à un degré de liberté soumis à une résultante de force « motrice » (hors frottement fluide) conservative « dérivant » d'une énergie potentielle non parabolique « U(M) = U(x) » [ou « U(M) = U(θ) »] dont le mouvement est étudié au voisinage d'un équilibre stable, oscillateur non linéaire au voisinage de cet équilibre[modifier | modifier le wikicode]

......Considérons un point matériel , de masse , soumis à une résultante de force « motrice » [5] (hors frottement fluide) non linéaire conservative telle que

  • le mouvement du point matériel soit unidirectionnel selon l'axe correspondant à une résultante de force « motrice » [5] (hors frottement fluide) dérivant de l'énergie potentielle , primitive de , étant non parabolique] ou
  • la trajectoire du point matériel soit circulaire, de centre , le pôle du repérage polaire et de rayon , correspondant à une résultante de force « motrice » [5] (hors frottement fluide) tangentielle dérivant de l'énergie potentielle , primitive de , étant non parabolique] et

......Considérons une position d'équilibre stable d'abscisse

  • linéaire si le mouvement du point matériel est unidirectionnel selon l'axe ou
  • angulaire si le mouvement du point matériel est circulaire de centre et de rayon ,

......nous nous proposons de vérifier que le point matériel satisfait bien à la 2ème définition d'un oscillateur « non linéaire ».

......Pour cela il suffit de constater que le diagramme d'énergie potentielle au voisinage de la position d'équilibre est un puits [2] (non parabolique) c'est-à-dire que l'énergie potentielle y est stationnaire et minimale [la nature « non parabolique » étant dans les hypothèses de mouvement du point matériel , la stationnarité découlant d'une définition de la position d'équilibre et le caractère minimal, de la stabilité de cette dernière, plus précisément :

  • si le mouvement du point matériel est unidirectionnel selon l'axe , l'abscisse linéaire de la position d'équilibre étant solution de avec suit donc [stationnarité de en et la stabilité de l'équilibre nécessitant
    ...... avec c'est-à-dire , y assurant le caractère minimal de [18] [donc la stabilité de ou
    ...... , et avec c'est-à-dire , et y assurant aussi le caractère minimal de [18] [donc la stabilité de  ;
  • si le mouvement du point matériel est circulaire de centre et de rayon , l'abscisse angulaire de la position d'équilibre étant solution de avec suit donc [stationnarité de en et la stabilité de l'équilibre nécessitant
    ...... avec c'est-à-dire , y assurant le caractère minimal de [19] [donc la stabilité de ou
    ...... , et avec c'est-à-dire , et y assurant aussi le caractère minimal de [19] [donc la stabilité de .

......En conclusion, le point matériel soumis à une résultante de force « motrice » (hors frottement fluide) conservative « dérivant » d'une énergie potentielle non parabolique «» [ou «»] dont le mouvement est étudié au voisinage d'un équilibre stable est effectivement un oscillateur « non linéaire » au voisinage de cet équilibre [l'éventuelle résistance à l'avancement dans le fluide [7] étant supposée linéaire].

Cas d'une force « motrice » « unidirectionnelle selon l'axe x'x » dérivant de l'énergie potentielle « U(M) = U(x) » dont le D.L. à l’ordre le plus bas non nul autre que zéro au voisinage de l’équilibre stable est parabolique[modifier | modifier le wikicode]

......Nous sommes donc dans le cas [caractérisant la nature parabolique autour d'un équilibre stable] avec étant l'abscisse de la position d'équilibre étudiée] mais a priori [sauf avec référence choisie en cette position d'équilibre], l'ordre le plus bas non nul autre que zéro du D.L. [9] de l'énergie potentielle dont dérive la force « motrice » [5] (hors frottement fluide) au voisinage de l'équilibre stable est donc « deux » soit, en notant , le D.L. [9] de au voisinage de l'équilibre stable d'abscisse s'écrit selon

[20] avec
assurant le caractère « minimal » de l'énergie potentielle en la position d'équilibre étudiée.

......L'énergie cinétique du point matériel de masse s'écrivant, à l'instant , selon ou encore, avec , selon , nous en déduisons l'expression approchée de l'énergie mécanique du point matériel au voisinage de l'équilibre stable d'abscisse [21]

à l'ordre deux en  ;

......on peut alors définir la « pulsation propre des petites élongations [15] » ce qui permet de réécrire l'expression approchée de l'énergie mécanique du point matériel [21] selon à l'ordre deux en d'où :

  • en absence de frottement fluide, il existe une intégrale 1ère énergétique suivie par l'oscillateur non amorti correspondant à la conservation de l'énergie mécanique soit le D.L. [9] à l'ordre deux en suivant avec [22], D.L. [9] définissant l'« approximation harmonique de l'oscillateur non linéaire (et non amorti) » sous sa forme énergétique oscillations sinusoïdales avec une « période propre des petites élongations [15] », son amplitude d'oscillations se déterminant à l'aide de son énergie mécanique initiale par  ;
  • en présence de frottement fluide linéaire, l'intégrale 1ère énergétique doit être remplacée par le résultat de l'application à l'oscillateur amorti du théorème de la puissance mécanique à savoir avec d'où, avec à l'ordre deux en , l'équation différentielle approchée du 2ème ordre en de l'oscillateur amorti après simplification par non identiquement nulle, soit encore, après normalisation, [23], D.L. [9] à l'ordre un en [24] définissant l'« approximation harmonique de l'oscillateur non linéaire (et amorti) » après application du théorème énergétique.

Cas d'une force « motrice » « s'appliquant tangentiellement sur la trajectoire circulaire de rayon R décrite par le point subissant la force » dérivant de l'énergie potentielle « U(M) = U(θ) » dont le D.L. à l'ordre le plus bas non nul autre que zéro au voisinage de l'équilibre stable est parabolique[modifier | modifier le wikicode]

......Nous sommes donc dans le cas [caractérisant la nature parabolique autour d'un équilibre stable] avec étant l'abscisse angulaire de la position d'équilibre étudiée] mais a priori [sauf si sa référence est choisie en cette position d'équilibre], l'ordre le plus bas non nul autre que zéro du D.L. [9] de l'énergie potentielle dont dérive la force « motrice » [5] (hors frottement fluide) au voisinage de l'équilibre stable est donc « deux » soit, en notant , le D.L. [9] de au voisinage de l'équilibre stable d'abscisse angulaire s'écrit selon

[20] avec
assurant le caractère « minimal » de l'énergie potentielle en la position d'équilibre étudiée.

......L'énergie cinétique du point matériel de masse s'écrivant, à l'instant , selon ou, avec , selon , nous en déduisons l'expression approchée de l'énergie mécanique du point matériel au voisinage de l'équilibre stable d'abscisse angulaire [25]

à l'ordre deux en  ;

......on peut alors définir la « pulsation propre des petites élongations [15] » ce qui permet de réécrire l'expression approchée de l'énergie mécanique du point matériel [25] selon à l'ordre deux en d'où :

  • en absence de frottement fluide, il existe une intégrale 1ère énergétique suivie par l'oscillateur non amorti correspondant à la conservation de l'énergie mécanique soit le D.L. [9] à l'ordre deux en suivant avec [22], D.L. [9] définissant l'« approximation harmonique de l'oscillateur non linéaire (et non amorti) » sous forme énergétique oscillations sinusoïdales avec une « période propre des petites élongations [15] », son amplitude d'oscillations se déterminant à l'aide de son énergie mécanique initiale par  ;
  • en présence de frottement fluide linéaire, l'intégrale 1ère énergétique doit être remplacée par le résultat de l'application à l'oscillateur amorti du théorème de la puissance mécanique à savoir avec d'où, avec à l'ordre deux en , l'équation différentielle approchée du 2ème ordre en de l'oscillateur amorti après simplification par non identiquement nulle, soit encore, après normalisation, [23], D.L. [9] à l'ordre un en [24] définissant l'« approximation harmonique de l'oscillateur non linéaire (et amorti) » après application du théorème énergétique.

Cas d'un équilibre stable tel que le D.L. de la force « motrice » à l'ordre le plus bas non nul soit non linéaire (et de rappel), approximation anharmonique de l'oscillateur non linéaire[modifier | modifier le wikicode]

Cas d'une force « motrice » « unidirectionnelle selon l'axe x'x » dont le D.L. à l'ordre le plus bas non nul au voisinage de l'équilibre stable est non linéaire[modifier | modifier le wikicode]

......Nous sommes donc dans le cas , et , c'est-à-dire encore , et , l'ordre le plus bas non nul du D.L. [9] de la force « motrice » [5] au voisinage de l'équilibre stable est donc « trois » soit, en notant et ,

  • le D.L. [9] de la force « motrice » [5] au voisinage de l'équilibre stable s'écrit selon
    [12]
    avec assurant le caractère force « de rappel » et
  • celui de la fonction caractérisant l'oscillateur « non linéaire » dans son équation différentielle du 2ème ordre au voisinage de son équilibre stable selon [13] avec ou avec .

......L'équation différentielle en au voisinage de [ou plus précisément en au voisinage de s'écrit alors

[14] avec ,

......le cœfficient de caractérise alors un oscillateur harmonique amorti (ou non amorti si , le D.L. [9] à l'ordre trois en définissant dans ce cas l'« approximation anharmonique de l'oscillateur non linéaire ».

......Conclusion : les petites oscillations d'un oscillateur « non linéaire » et non amorti au voisinage d'une position d'équilibre stable correspondant à une approximation anharmonique sont « périodiques » [sera établi au paragraphe « établissement de la nature oscillatoire puis périodique des petits mouvements au voisinage d'un équilibre stable dans l'approximation anharmonique d'un oscillateur non linéaire (non amorti) et expression intégrale de la période des petites oscillations [15] » [26] plus bas dans ce chapitre] mais « non sinusoïdales », la résolution de l'équation différentielle, que l'oscillateur soit amorti ou non, devant être faite numériquement …

Cas d'une force « motrice » « s'appliquant tangentiellement sur la trajectoire circulaire de rayon R décrite par le point subissant la force » dont le D.L. à l'ordre le plus bas non nul au voisinage de l'équilibre stable est non linéaire[modifier | modifier le wikicode]

......Nous sommes donc dans le cas , et , c'est-à-dire encore , et , l'ordre le plus bas non nul du D.L. [9] de la force « motrice » [5] au voisinage de l'équilibre stable est donc « trois » soit, en notant et ,

  • le D.L. [9] de la force « motrice » [5] au voisinage de l'équilibre stable s'écrit selon
    [12]
    avec assurant le caractère force « de rappel » et
  • celui de la fonction caractérisant l'oscillateur « non linéaire » dans son équation différentielle du 2ème ordre au voisinage de son équilibre stable selon [16] avec ou avec .

......L'équation différentielle en au voisinage de [ou plus précisément en au voisinage de s'écrit alors

[14] avec ,

......le cœfficient de caractérise alors un oscillateur harmonique amorti (ou non amorti si , le D.L. [9] à l'ordre trois en définissant dans ce cas l'« approximation anharmonique de l'oscillateur non linéaire ».

......Conclusion : les petites oscillations d'un oscillateur « non linéaire » et non amorti au voisinage d'une position d'équilibre stable correspondant à une approximation anharmonique sont « périodiques » [sera établi au paragraphe « établissement de la nature oscillatoire puis périodique des petits mouvements au voisinage d'un équilibre stable dans l'approximation anharmonique d'un oscillateur non linéaire (non amorti) et expression intégrale de la période des petites oscillations [15] » [27] plus bas dans ce chapitre] mais « non sinusoïdales », la résolution de l'équation différentielle, que l'oscillateur soit amorti ou non, devant être faite numériquement …

Cas d'un équilibre stable tel que le D.L. de l'énergie potentielle à l'ordre le plus bas non nul autre que zéro ait, pour diagramme, un « puits non parabolique », approximation anharmonique de l'oscillateur non linéaire, utilisation du diagramme d'énergies potentielle et mécanique pour déterminer la nature oscillatoire puis périodique des petits mouvements, expression intégrale de la période de ces derniers[modifier | modifier le wikicode]

Cas d'une force « motrice » « unidirectionnelle selon l'axe x'x » dérivant de l'énergie potentielle « U(M) = U(x) » dont le D.L. à l’ordre le plus bas non nul autre que zéro au voisinage de l’équilibre stable est non parabolique[modifier | modifier le wikicode]

......Nous sommes donc dans le cas étant l'abscisse de la position d'équilibre stable étudiée], ainsi que [usuellement réalisé dans le cas d'une nature non parabolique autour d'un équilibre stable], mais a priori [sauf si sa référence est choisie en cette position d'équilibre], l'ordre le plus bas non nul autre que zéro du D.L. [9] de l'énergie potentielle dont dérive la force « motrice » [5] (hors frottement fluide) au voisinage de l'équilibre stable est donc « quatre » soit, en notant , le D.L. [9] de au voisinage de l'équilibre stable d'abscisse s'écrit selon

[20]
avec assurant le caractère « minimal » de l'énergie potentielle en la position d'équilibre étudiée.

......L'énergie cinétique du point matériel de masse s'écrivant, à l'instant , selon ou encore, avec , selon , nous en déduisons l'expression approchée de l'énergie mécanique du point matériel au voisinage de l'équilibre stable d'abscisse [28]

à l'ordre quatre en  ;

......suivant l'absence ou la présence de frottement fluide linéaire on obtient les conséquences suivantes :

  • en absence de frottement fluide, il existe une intégrale 1ère énergétique suivie par l'oscillateur non amorti correspondant à la conservation de l'énergie mécanique soit le D.L. [9] à l'ordre quatre en suivant avec [22], D.L. [9] définissant l'« approximation anharmonique de l'oscillateur non linéaire (et non amorti) » sous forme énergétique sa nature oscillatoire puis périodique avec sa « période des petites élongations [15] » sous forme intégrale seront explicitées au paragraphe « établissement de la nature oscillatoire puis périodique des petits mouvements au voisinage d'un équilibre stable dans l'approximation anharmonique d'un oscillateur non linéaire (non amorti) et expression intégrale de la période des petites oscillations [15] » plus bas dans ce chapitre), l'amplitude des petites oscillations [15] (non sinusoïdales) se déterminant à l'aide de son énergie mécanique initiale par  ;
  • en présence de frottement fluide linéaire, l'intégrale 1ère énergétique doit être remplacée par le résultat de l'application à l'oscillateur amorti du théorème de la puissance mécanique à savoir avec d'où, avec à l'ordre quatre en , sa dérivation temporelle conduisant à , l'équation différentielle approchée du 2ème ordre en de l'oscillateur amorti s'écrit, après simplification par non identiquement nulle, selon soit encore, après transposition dans un même membre de gauche et normalisation, [23], D.L. [9] à l'ordre trois en [29] définissant l'« approximation anharmonique de l'oscillateur non linéaire (et amorti) » après application du théorème énergétique.

Cas d'une force « motrice » « s'appliquant tangentiellement sur la trajectoire circulaire de rayon R décrite par le point subissant la force » dérivant de l'énergie potentielle « U(M) = U(θ) » dont le D.L. à l'ordre le plus bas non nul autre que zéro au voisinage de l'équilibre stable est non parabolique[modifier | modifier le wikicode]

......Nous sommes donc dans le cas étant l'abscisse angulaire de la position d'équilibre stable étudiée], ainsi que [usuellement réalisé dans le cas d'une nature non parabolique autour d'un équilibre stable], mais a priori [sauf si sa référence est choisie en cette position d'équilibre], l'ordre le plus bas non nul autre que zéro du D.L. [9] de l'énergie potentielle dont dérive la force « motrice » [5] (hors frottement fluide) au voisinage de l'équilibre stable est donc « quatre » soit, en notant , le D.L. [9] de au voisinage de l'équilibre stable d'abscisse angulaire s'écrit selon

[20]
avec assurant le caractère « minimal » de l'énergie potentielle en la position d'équilibre étudiée.

......L'énergie cinétique du point matériel de masse s'écrivant, à l'instant , selon ou, avec , selon , nous en déduisons l'expression approchée de l'énergie mécanique du point matériel au voisinage de l'équilibre stable d'abscisse angulaire [30]

à l'ordre quatre en  ;

......suivant l'absence ou la présence de frottement fluide linéaire on obtient les conséquences suivantes :

  • en absence de frottement fluide, il existe une intégrale 1ère énergétique suivie par l'oscillateur non amorti correspondant à la conservation de l'énergie mécanique soit le D.L. [9] à l'ordre quatre en suivant avec [22], D.L. [9] définissant l'« approximation anharmonique de l'oscillateur non linéaire (et non amorti) » sous forme énergétique sa nature oscillatoire puis périodique ainsi que sa « période des petites élongations [15] » sous forme intégrale seront explicitées au paragraphe « établissement de la nature oscillatoire puis périodique des petits mouvements au voisinage d'un équilibre stable dans l'approximation anharmonique d'un oscillateur non linéaire (non amorti) et expression intégrale de la période des petites oscillations [15] » plus bas dans ce chapitre), l'amplitude des petites oscillations [15] (non sinusoïdales) se déterminant à l'aide de son énergie mécanique initiale par  ;
  • en présence de frottement fluide linéaire, l'intégrale 1ère énergétique doit être remplacée par le résultat de l'application à l'oscillateur amorti du théorème de la puissance mécanique à savoir avec d'où, avec à l'ordre quatre en , sa dérivation temporelle conduisant à , l'équation différentielle approchée du 2ème ordre en de l'oscillateur amorti s'écrit, après simplification par non identiquement nulle, selon soit encore, après transposition dans un même membre de gauche et normalisation, [23], D.L. [9] à l'ordre trois en [29] définissant l'« approximation anharmonique de l'oscillateur non linéaire (et amorti) » après application du théorème énergétique.

Établissement de la nature oscillatoire puis périodique des petits mouvements au voisinage d'un équilibre stable dans l'approximation anharmonique d'un oscillateur non linéaire (non amorti) et expression intégrale de la période des petites oscillations[modifier | modifier le wikicode]

......Même démarche que celle exposée dans les paragraphes « déterminations de la nature oscillatoire du mouvement du P.P.S. à un degré de liberté par diagramme énergétique » et « de sa nature périodique avec expression de sa période sous forme intégrale » du chapitre de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » pour l'étude du P.P.S.N.A. à un degré de liberté dans le cadre des mouvements non nécessairement petits.

Établissement de la nature oscillatoire des petits mouvements au voisinage d'un équilibre stable dans l'approximation anharmonique d'un oscillateur non linéaire (non amorti)[modifier | modifier le wikicode]

......En absence de frottement fluide, il existe une intégrale 1ère énergétique suivie par l'oscillateur non linéaire et non amorti dans son approximation anharmonique des petits mouvements [15] autour de la position d'équilibre stable d'abscisse ou d'abscisse angulaire correspondant à la conservation de l'énergie mécanique soit le D.L. [9] à l'ordre quatre en suivant avec [22] ou, si la trajectoire de est circulaire de rayon avec comme paramètre de position, avec l'énergie mécanique initiale [22] ;

......En absence de frottement fluide, pour établir la nature oscillatoire des petits mouvements [15] de l'oscillateur non linéaire et non amorti dans son approximation anharmonique autour de la position d'équilibre stable étudiée on trace le diagramme d'énergies potentielle et mécanique correspondant (voir ci-dessous) à savoir, sur un même repère d'abscisses ou d'abscisses angulaires et d'ordonnées l'énergie potentielle ou l'énergie mécanique ,

  • la courbe d'énergie potentielle , ensemble des points d'abscisse et d'ordonnée avec ou ensemble des points d'abscisse angulaire et d'ordonnée avec et
Diagramme d'énergies potentielle et mécanique d'un oscillateur non linéaire (non amorti) au voisinage d'une position d'équilibre stable autour de laquelle l'approximation des petits mouvements [15] est anharmonique
  • la courbe d'énergie mécanique , ensemble des points d'abscisse et d'ordonnée avec [22] ou ensemble des points d'abscisse angulaire et d'ordonnée avec [22] ;

......En absence de frottement fluide, constatant l'existence de deux murs d'énergie potentielle situés symétriquement l'un de l'autre relativement à l'abscisse d'équilibre ou à l'abscisse angulaire d'équilibre nous en déduisons que la trajectoire de est « cinétiquement bornée » correspondant à un « état lié » et assurant un mouvement « oscillatoire » sur l'intervalle ou un mouvement « oscillatoire » sur l'intervalle .

Établissement de la nature périodique des petits mouvements au voisinage d'un équilibre stable dans l'approximation anharmonique d'un oscillateur non linéaire (non amorti) et expression intégrale de la période des petites oscillations[modifier | modifier le wikicode]

......Pour déterminer la nature périodique des petits mouvements [15] de l'oscillateur « non linéaire » et non amorti dans son approximation anharmonique autour de la position d'équilibre stable étudiée, on utilise simultanément son intégrale 1ère énergétique et son diagramme d'énergies potentielle et mécanique, de façon à montrer que la durée correspondant au nème aller-retour des points et sur et de est indépendant du numéro de l'aller-retour :

  • par intégrale 1ère énergétique avec [22] et dans laquelle et ou, si la trajectoire de est circulaire de rayon avec comme paramètre de position, [22] et avec et , on tire [31] soit finalement l'expression de la durée élémentaire correspondant à une variation élémentaire de l'écart d'abscisse relativement à du point selon [32], [31]