Mécanique 1 (PCSI)/Approche énergétique du mouvement d'un point matériel : Lois de la puissance et de l'énergie cinétiques

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Toutes les notions de ce chapitre sont applicables en dynamique newtonienne ou relativiste.

Définition de l'énergie et de la puissance cinétiques

Définition de l'énergie cinétique d'un point matériel dans le référentiel d'étude

......Entrevue une 1^re fois (uniquement dans le cadre newtonien) dans le paragraphe « Énergie cinétique, conséquence de l'existence d'un mouvement » du chap. 1 de la leçon « Signaux physiques (PCSI) ».

......Il s'agit de la 2^ème grandeur cinétique introduite dans la leçon « Mécanique 1 (PCSI) »,
......Il s'agit de la 1^re l'ayant été dans le chap. 7, plus précisément dans le paragraphe « vecteur quantité de mouvement d'un point matériel, lien avec son vecteur vitesse » du chapitre précité et traduisant une « réserve de mouvement inertiel en direction, sens et intensité ».

Définition de l'énergie cinétique d'un point matériel dans le référentiel d'étude à partir des grandeurs d'inertie et cinématique du point

......L'énergie cinétique d'un point matériel $\;M\;$ de masse (inerte) $\;m\;$ en mouvement dans un référentiel d'étude $\;{\mathcal {R}}\;$ est la grandeur scalaire notée $\;K_{M}(t)\;$ définie à partir

• de la grandeur cinématique vectorielle représentant le mouvement dans le référentiel d'étude $\;{\mathcal {R}}\;$ à savoir le « vecteur vitesse du point dans ce référentiel $\;{\vec {V}}_{M}(t)\;$» et
• de la grandeur d'inertie scalaire à savoir la « masse (inerte) $\;m\;$ du point »,

......la définition dans le cadre de la cinétique newtonienne étant $\;K_{M}(t)={\dfrac {1}{2}}\;m\;{\vec {V}}_{\!M}^{2}(t)\;$ et

......la déf~celle dans le cadre de la cinétique relativiste $\;\qquad \;K_{M}(t)=\left[\gamma _{M}(t)-1\right]\,m\;c^{2}\;$ dans laquelle $\;\gamma _{M}(t)={\dfrac {1}{\sqrt {1-{\dfrac {{\vec {V}}_{\!M}^{2}(t)}{c^{2}}}}}}\;$ est le facteur de Lorentz du point $\;M\;$ dans son mouvement par rapport au référentiel d'étude $\;{\mathcal {R}}\;$ à l'instant $\;t\;$ et $\;c\;$ la célérité de la lumière dans le vide ;

l'énergie cinétique est exprimée en joules [symbole $\;J\;$ avec $\;1\;J=1\;kg\times \left(1\;m\cdot s^{-1}\right)^{2}{\big ]}$.

......Remarque : L'énergie cinétique d'un point matériel traduit une « réserve de mouvement inertiel en intensité ».

......Condition de vitesse pour que l'énergie cinétique du point soit newtonienne : nous nous plaçons dans le cas où $\;\Vert {\vec {V}}_{M}(t)\Vert \ll c\;$ ou, en introduisant le vecteur vitesse relative $\;{\vec {\beta }}_{M}(t)={\dfrac {{\vec {V}}_{M}(t)}{c}}\;$ de norme notée $\;\beta _{M}(t)$, nous nous plaçons dans le cas d'une vitesse relative $\;\beta _{M}(t)\ll 1$, le facteur de Lorentz $\;\gamma _{M}(t)={\dfrac {1}{\sqrt {1-\beta _{M}^{2}(t)}}}$ $=\left[1-\beta _{M}^{2}(t)\right]^{-{\frac {1}{2}}}\;$ ayant pour D.L. à l'ordre 2 en l'infiniment petit $\;\beta _{M}^{2}(t)\;$ $\;\gamma _{M}(t)\simeq 1-{\dfrac {1}{2}}\left[-\beta _{M}^{\,2}(t)\right]+{\dfrac {3}{8}}\left[-\beta _{M}^{\,2}(t)\right]^{2}=1+{\dfrac {1}{2}}\;\beta _{M}^{\,2}(t)+{\dfrac {3}{8}}\;\beta _{M}^{\,4}(t)\;$ d'où l'énergie cinétique relativiste du point $\;M\;$ s'écrivant $\;K_{M,\,{\text{relat}}}(t)=\left[\gamma _{M}(t)-1\right]\,m\;c^{2}\simeq \left[{\dfrac {1}{2}}\;\beta _{M}^{\,2}(t)+{\dfrac {3}{8}}\;\beta _{M}^{\,4}(t)\right]m\;c^{2}$ ;

......Condition de vitesse pour que l'énergie cinétique du point soit newtonienne : tout d'abord on vérifie bien, en tronquant le D.L. de $\;K_{M,\,{\text{relat}}}(t)\;$ à l'ordre 1 en $\;\beta _{M}^{\,2}(t)$, que l'énergie cinétique relativiste s'identifie à l'énergie cinétique newtonienne car $\;K_{M,\,{\text{relat}}}(t)\simeq \left[{\dfrac {1}{2}}\;\beta _{M}^{\,2}(t)\right]m\;c^{2}={\dfrac {1}{2}}\;m\;{\vec {V}}_{\!M}^{2}(t)=K_{M,\,{\text{newt}}}(t)$ ;

......Condition de vitesse pour que l'énergie cinétique du point soit newtonienne : la différence entre l'énergie cinétique relativiste et celle newtonienne vaut, à l'ordre 2 en $\;\beta _{M}^{\,2}(t)$, $\;K_{M,\,{\text{relat}}}(t)-K_{M,\,{\text{newt}}}(t)\simeq \left[{\dfrac {3}{8}}\;\beta _{M}^{\,4}(t)\right]m\;c^{2}\;$ c'est-à-dire un infiniment petit d'ordre 2 en $\;\beta _{M}^{\,2}(t)\;$ soit, en rapportant cette différence à l'énergie cinétique relativiste, un écart relatif de $\;{\dfrac {K_{M,\,{\text{relat}}}(t)-K_{M,\,{\text{newt}}}(t)}{K_{M,\,{\text{relat}}}(t)}}\;$ dont on souhaite déterminer le D.L. à l'ordre 1 en $\;\beta _{M}^{\,2}(t)\;$ et comme le numérateur est un infiniment petit d'ordre 2 il suffit de prendre le D.L. du dénominateur à l'ordre 1 en $\;\beta _{M}^{\,2}(t)\;$ soit $\;K_{M,\,{\text{relat}}}(t)\simeq K_{M,\,{\text{newt}}}(t)\;$ d'où la réécriture de $\;{\dfrac {K_{M,\,{\text{relat}}}(t)-K_{M,\,{\text{newt}}}(t)}{K_{M,\,{\text{relat}}}(t)}}\;$ en $\;{\dfrac {K_{M,\,{\text{relat}}}(t)-K_{M,\,{\text{newt}}}(t)}{K_{M,\,{\text{newt}}}(t)}}\simeq {\dfrac {\left[{\dfrac {3}{8}}\;\beta _{M}^{\,4}(t)\right]m\;c^{2}}{\left[{\dfrac {1}{2}}\;\beta _{M}^{\,2}(t)\right]m\;c^{2}}}\;$ soit finalement ${\dfrac {K_{M,\,{\text{relat}}}(t)-K_{M,\,{\text{newt}}}(t)}{K_{M,\,{\text{relat}}}(t)}}\simeq {\dfrac {3}{4}}\;\beta _{M}^{\,2}(t)$ ;

......Condition de vitesse pour que l'énergie cinétique du point soit newtonienne : l'énergie cinétique relativiste étant égale à l'énergie cinétique newtonienne à $\;1\,\%\;$ près si ${\dfrac {K_{M,\,{\text{relat}}}(t)-K_{M,\,{\text{newt}}}(t)}{K_{M,\,{\text{relat}}}(t)}}\lesssim 10^{-2}\;$ on en déduit la condition sur la vitesse relative $\;{\dfrac {3}{4}}\;\beta _{M}^{\,2}(t)\lesssim 10^{-2}\;$ ou $\;\beta _{M}(t)\lesssim {\dfrac {2}{\sqrt {3}}}\;10^{-1}\simeq 0,115\;$ soit finalement $\;\Vert {\vec {V}}_{M}(t)\Vert \lesssim {\dfrac {c}{10}}\simeq 30\,000\;km\cdot s^{-1}\;$.

Définition de l'énergie cinétique d'un point matériel dans le référentiel d'étude à partir des grandeurs d'inertie et cinétique précédemment introduite du point

......L'énergie cinétique d'un point matériel $\;M\;$ de masse (inerte) $\;m\;$ en mouvement dans un référentiel d'étude $\;{\mathcal {R}}\;$ est la grandeur scalaire notée $\;K_{M}(t)\;$ définie à partir

• de la grandeur cinétique vectorielle représentant une « réserve de mouvement inertiel en direction, sens et intensité » dans le référentiel d'étude $\;{\mathcal {R}}\;$ à savoir le « vecteur quantité de mouvement du point dans ce référentiel $\;{\vec {p}}_{M}(t)\;$» et
• de la grandeur d'inertie scalaire à savoir la « masse (inerte) $\;m\;$ du point »,

......la définition dans le cadre de la cinétique newtonienne étant $\;K_{M}(t)={\dfrac {{\vec {p}}_{\!M}^{2}(t)}{2\;m}}\;$ et

......la déf~celle dans le cadre de la cinétique relativiste $\;\qquad \;K_{M}(t)={\sqrt {{\vec {p}}_{\!M}^{2}(t)\;c^{2}+m^{2}\;c^{4}}}-m\;c^{2}\;$ dans laquelle $\;c\;$ est la célérité de la lumière dans le vide ;

l'énergie cinétique est exprimée en joules [symbole $\;J\;$ avec $\;1\;J=1\;kg\times \left(1\;m\cdot s^{-1}\right)^{2}{\big ]}$.

......Remarque : Bien sûr dans cette nouvelle définition l'énergie cinétique d'un point matériel traduit toujours une « réserve de mouvement inertiel en intensité ».

......Équivalence des deux définitions de l'énergie cinétique newtonienne du point : nous avons vu que l'énergie cinétique du point $\;M\;$ sous la forme newtonienne $\;K_{M}(t)=$ ${\dfrac {1}{2}}\;m\;{\vec {V}}_{\!M}^{2}(t)\;$ est applicable si $\;\Vert {\vec {V}}_{M}(t)\Vert \lesssim 0,1\;c\simeq 30\,000\;km\cdot s^{-1}\;$ et que le vecteur quantité de mouvement du même point $\;M\;$ sous la forme newtonienne $\;{\vec {p}}_{M}(t)=$ $m\;{\vec {V}}_{\!M}(t)\;$ l'est si $\;\Vert {\vec {V}}_{M}(t)\Vert \lesssim 0,14\;c\simeq 42\,000\;km\cdot s^{-1}\;$, aussi, en nous plaçant dans les conditions les plus restrictives d'application de ces formules à savoir $\;\Vert {\vec {V}}_{M}(t)\Vert \lesssim 0,1\;c\simeq 30\,000\;km\cdot s^{-1}\;$ et en reportant $\;{\vec {V}}_{M}(t)={\dfrac {{\vec {p}}_{M}(t)}{m}}\;$ dans $\;K_{M}(t)={\dfrac {1}{2}}\;m\;{\vec {V}}_{\!M}^{2}(t)\;$ nous en déduisons $\;K_{M}(t)={\dfrac {1}{2}}\;m\left[{\dfrac {{\vec {p}}_{M}(t)}{m}}\right]^{2}={\dfrac {{\vec {p}}_{\!M}^{2}(t)}{2\;m}}\;$ c'est-à-dire la 2^ème définition de l'énergie cinétique newtonienne ;

......Équivalence des deux définitions de l'énergie cinétique newtonienne du point : dans les conditions où $\;\Vert {\vec {V}}_{M}(t)\Vert \lesssim 0,1\;c\simeq 30\,000\;km\cdot s^{-1}\;$ la réciproque s'établit sans souci d'où l'équivalence des deux définitions.

......Équivalence des deux définitions de l'énergie cinétique relativiste du point : partant de la 1^re définition de l'énergie cinétique relativiste $\;K_{M}(t)=\left[\gamma _{M}(t)-1\right]m\;c^{2}\;$ dans laquelle $\;\gamma _{M}(t)={\dfrac {1}{\sqrt {1-{\dfrac {{\vec {V}}_{\!M}^{2}(t)}{c^{2}}}}}}\;$ est le facteur de Lorentz du point $\;M\;$ dans son mouvement par rapport au référentiel d'étude $\;{\mathcal {R}}\;$ à l'instant $\;t\;$ et sachant que le vecteur quantité de mouvement relativiste du même point au même instant est $\;{\vec {p}}_{M}(t)=\gamma _{M}(t)\;m\;{\vec {V}}_{M}(t)\;$, on en déduit la 2^ème définition de l'énergie cinétique relativiste en exprimant $\;\gamma _{M}(t)\;$ en fonction de $\;\Vert {\vec {p}}_{M}(t)\Vert \;$ sans que n'intervienne $\;\Vert {\vec {V}}_{M}(t)\Vert \;$ et en reportant cette expression dans 1^re définition de $\;K_{M}(t)$ ;

......Équivalence des deux définitions de l'énergie cinétique relativiste du point : de $\;\gamma _{M}(t)={\dfrac {1}{\sqrt {1-{\dfrac {{\vec {V}}_{\!M}^{2}(t)}{c^{2}}}}}}\;$ on tire $\;\gamma _{\!M}^{2}(t)\left[1-{\dfrac {{\vec {V}}_{\!M}^{2}(t)}{c^{2}}}\right]=1\;$ ou encore $\;\gamma _{\!M}^{2}(t)=$ $1+\left[{\dfrac {\gamma _{M}(t)\;{\vec {V}}_{M}(t)}{c}}\right]^{2}\;$ dans le 2^ème membre duquel on remplace $\;\gamma _{M}(t)\;{\vec {V}}_{M}(t)\;$ par $\;{\dfrac {{\vec {p}}_{M}(t)}{m}}\;$ d'où $\;\gamma _{\!M}^{2}(t)=1+\left[{\dfrac {{\vec {p}}_{M}(t)}{m\;c}}\right]^{2}\;$ et finalement l'expression du facteur de Lorentz du point en fonction du vecteur quantité de mouvement de ce dernier $\;\gamma _{M}(t)={\dfrac {\sqrt {m^{2}\;c^{2}+{\vec {p}}_{\!M}^{2}(t)}}{m\;c}}$ ;

......Équivalence des deux définitions de l'énergie cinétique relativiste du point : reportant cette dernière expression dans $\;K_{M}(t)=\left[\gamma _{M}(t)-1\right]m\;c^{2}\;$ on obtient $\;K_{M}(t)=$ $\left[{\dfrac {\sqrt {m^{2}\;c^{2}+{\vec {p}}_{\!M}^{2}(t)}}{m\;c}}-1\right]m\;c^{2}={\sqrt {m^{2}\;c^{4}+{\vec {p}}_{\!M}^{2}(t)\;c^{2}}}-m\;c^{2}\;$ c'est-à-dire la 2^ème définition de l'énergie cinétique relativiste ;

......Équivalence des deux définitions de l'énergie cinétique relativiste du point : la réciproque s'établit sans souci majeur à partir de $\;K_{M}(t)={\sqrt {m^{2}\;c^{4}+{\vec {p}}_{\!M}^{2}(t)\;c^{2}}}-m\;c^{2}\;$ et du lien entre $\;\Vert {\vec {p}}_{M}(t)\Vert \;$ et $\;\gamma _{M}(t)\;$ obtenu précédemment à savoir $\;\gamma _{\!M}^{2}(t)=1+\left[{\dfrac {{\vec {p}}_{M}(t)}{m\;c}}\right]^{2}\;$ dont on tire $\;{\vec {p}}_{\!M}^{2}(t)\;c^{2}=m^{2}\;c^{4}\left[\gamma _{\!M}^{2}(t)-1\right]\;$ que l'on reporte dans l'expression de $\;K_{M}(t)\;$ soit $\;K_{M}(t)={\sqrt {m^{2}\;c^{4}+m^{2}\;c^{4}\left[\gamma _{\!M}^{2}(t)-1\right]}}-m\;c^{2}=m\;c^{2}\;\gamma _{M}(t)-m\;c^{2}\;$ c'est-à-dire la 1^re définition de l'énergie cinétique relativiste.

Définition de la puissance cinétique d'un point matériel dans le référentiel d'étude

......La puissance cinétique d'un point matériel $\;M\;$ à l'instant $\;t\;$ dans le référentiel d'étude $\;{\mathcal {R}}\;$ est, dans le cadre de la cinétique newtonienne ou relativiste, la dérivée temporelle de l'énergie cinétique du point $\;M\;$ au même instant $\;t\;$ dans le même référentiel $\;{\mathcal {R}}\;$ c'est-à-dire $\;{\dfrac {dK_{M}}{dt}}(t)\;$ [comme il n'y a aucune notation particulière pour noter la puissance cinétique nous utiliserons la notation compacte $\;{\dot {K}}_{M}(t){\big ]}$.

Expressions de la puissance cinétique newtonienne d'un point matériel dans le référentiel d'étude

......Ayant deux expressions équivalentes de l'énergie cinétique newtonienne du point matériel $\;M\;$ à l'instant $\;t\;$ dans le référentiel d'étude $\;{\mathcal {R}}$, expressions dont la validité présuppose que la vitesse du point soit telle que $\;\Vert {\vec {V}}_{M}(t)\Vert \lesssim 0,1\;c\simeq 30\,000\;km\cdot s^{-1}$, nous en déduisons deux expressions équivalentes de la puissance cinétique newtonienne du point $\;M\;$ à l'instant $\;t\;$ dans ce référentiel $\;{\mathcal {R}}\;$ :

• $\;K_{M}(t)={\dfrac {1}{2}}\;m\;{\vec {V}}_{\!M}^{2}(t)\;$ $\Rightarrow$ $\;{\dfrac {dK_{M}}{dt}}(t)={\dfrac {1}{2}}\;m\left[2\;{\vec {V}}_{M}(t)\cdot {\dfrac {d{\vec {V}}_{M}}{dt}}(t)\right]=m\;{\vec {V}}_{M}(t)\cdot {\dfrac {d{\vec {V}}_{M}}{dt}}(t)\;$ soit encore $\;{\dot {K}}_{M}(t)={\vec {p}}_{M}(t)\cdot {\dfrac {d{\vec {V}}_{M}}{dt}}(t)\;$
• $\;K_{M}(t)={\dfrac {{\vec {p}}_{\!M}^{2}(t)}{2\;m}}\;$ $\Rightarrow$ $\;{\dfrac {dK_{M}}{dt}}(t)={\dfrac {1}{2\;m}}\left[2\;{\vec {p}}_{M}(t)\cdot {\dfrac {d{\vec {p}}_{M}}{dt}}(t)\right]={\dfrac {{\vec {p}}_{M}(t)}{m}}\cdot {\dfrac {d{\vec {p}}_{M}}{dt}}(t)\;$ soit encore $\;{\dot {K}}_{M}(t)={\vec {V}}_{M}(t)\cdot {\dfrac {d{\vec {p}}_{M}}{dt}}(t)\;$.

Expressions de la puissance cinétique relativiste d'un point matériel dans le référentiel d'étude

......Ayant deux expressions équivalentes de l'énergie cinétique relativiste du point matériel $\;M\;$ à l'instant $\;t\;$ dans le référentiel d'étude $\;{\mathcal {R}}$, nous en déduisons deux expressions équivalentes de la puissance cinétique relativiste du point $\;M\;$ à l'instant $\;t\;$ dans ce référentiel $\;{\mathcal {R}}\;$ :

• $\;K_{M}(t)=\left[\gamma _{M}(t)-1\right]\,m\;c^{2}\;$ avec $\;\gamma _{M}(t)={\dfrac {1}{\sqrt {1-{\dfrac {{\vec {V}}_{\!M}^{2}(t)}{c^{2}}}}}}\;$ $\Rightarrow$ $\;{\dfrac {dK_{M}}{dt}}(t)={\dfrac {d\gamma _{M}}{dt}}(t)\;m\;c^{2}\;$ avec $\;{\dfrac {d\gamma _{M}}{dt}}(t)=-{\dfrac {1}{2}}\;{\dfrac {\dfrac {-2\;{\vec {V}}_{M}(t)\cdot {\dfrac {d{\vec {V}}_{M}}{dt}}(t)}{c^{2}}}{\left(1-{\dfrac {{\vec {V}}_{\!M}^{2}(t)}{c^{2}}}\right)^{\!\!{\frac {3}{2}}}}}=\;$ ${\dfrac {\gamma _{M}^{3}(t)}{c^{2}}}\;{\vec {V}}_{M}(t)\cdot {\dfrac {d{\vec {V}}_{M}}{dt}}(t)\;$ soit $\;{\dfrac {dK_{M}}{dt}}(t)=\gamma _{M}^{2}(t)\left[\gamma _{M}(t)\;m\;{\vec {V}}_{M}(t)\right]\cdot {\dfrac {d{\vec {V}}_{M}}{dt}}(t)\;$ ou encore $\;{\dot {K}}_{M}(t)=\gamma _{M}^{2}(t)\;{\vec {p}}_{M}(t)\cdot {\dfrac {d{\vec {V}}_{M}}{dt}}(t)={\dfrac {{\vec {p}}_{M}(t)\cdot {\dfrac {d{\vec {V}}_{M}}{dt}}(t)}{1-{\dfrac {{\vec {V}}_{\!M}^{2}(t)}{c^{2}}}}}\;$
• $\;K_{M}(t)={\sqrt {{\vec {p}}_{\!M}^{2}(t)\;c^{2}+m^{2}\;c^{4}}}-m\;c^{2}\;$ $\Rightarrow$ $\;{\dfrac {dK_{M}}{dt}}(t)={\dfrac {1}{2}}\;{\dfrac {2\;{\vec {p}}_{M}(t)\cdot {\dfrac {d{\vec {p}}_{M}}{dt}}(t)\;c^{2}}{\sqrt {{\vec {p}}_{\!M}^{2}(t)\;c^{2}+m^{2}\;c^{4}}}}=\left[{\dfrac {{\vec {p}}_{M}(t)\;c^{2}}{\sqrt {{\vec {p}}_{\!M}^{2}(t)\;c^{2}+m^{2}\;c^{4}}}}\right]\cdot {\dfrac {d{\vec {p}}_{M}}{dt}}(t)\;$ ou, en faisant intervenir la vitesse dans le 1^er facteur de la multiplication scalaire, $\;{\dfrac {dK_{M}}{dt}}(t)=\left\lbrace {\dfrac {\gamma _{M}(t)\;m\;{\vec {V}}_{M}(t)\;c^{2}}{\gamma _{M}(t)\;m\;c^{2}}}\right\rbrace \cdot {\dfrac {d{\vec {p}}_{M}}{dt}}(t)\;$ soit finalement $\;{\dot {K}}_{M}(t)={\vec {V}}_{M}(t)\cdot {\dfrac {d{\vec {p}}_{M}}{dt}}(t)$.

Théorème de la puissance cinétique, énoncé, démonstration à partir de la r.f.d.

Préliminaire, forme symbolique de tout théorème de la dynamique du point matériel

......De façon symbolique tout théorème de la dynamique du point matériel doit s’exprimer selon l'énoncé suivant

......« dans un référentiel galiléen, la dérivée temporelle d’une des grandeurs cinétiques d’un point matériel est égale à la somme des causes susceptibles de faire varier cette grandeur cinétique » ;

......dans le cas de la r.f.d. la grandeur cinétique est le vecteur quantité de mouvement du point $\;M\;$ soit $\;{\vec {p}}_{M}(t)\;$ et les causes susceptibles de le faire varier sont les forces appliquées sur le point $\;M\;$ à savoir $\;\sum \limits _{k}{\vec {F}}_{M\,\leftarrow \,(\Sigma _{k})}$, la r.f.d. s’énonçant alors dans un référentiel galiléen selon $\;\sum \limits _{k}{\vec {F}}_{M\,\leftarrow \,(\Sigma _{k})}={\dfrac {d{\vec {p}}_{M}}{dt}}(t)$.

Expression énergétique de la r.f.d.

......L’expression énergétique de la r.f.d. nécessite d’obtenir, dans le membre de droite, la dérivée temporelle de l’énergie cinétique du point $\;M$, c'est-à-dire encore la « puissance cinétique du point $\;M\;$» et pour cela on utilisera la relation commune aux cadres newtonien et relativiste de la puissance cinétique du point $\;M\;$ à savoir $\;{\dot {K}}_{M}(t)={\dfrac {d{\vec {p}}_{M}}{dt}}(t)\cdot {\vec {V}}_{M}(t)$ ;

......on observe donc qu'il suffit de multiplier scalairement les deux membres de la r.f.d. écrite sous la forme applicable en dynamique newtonienne et relativiste à savoir $\;\sum \limits _{k}{\vec {F}}_{M\,\leftarrow \,(\Sigma _{k})}={\dfrac {d{\vec {p}}_{M}}{dt}}(t)\;$ par $\;{\vec {V}}_{M}(t)\;$ pour obtenir dans celui de droite la puissance cinétique du point $\;M\;$ soit $\;\left[\sum \limits _{k}{\vec {F}}_{M\,\leftarrow \,(\Sigma _{k})}\right]\cdot {\vec {V}}_{M}(t)={\dfrac {d{\vec {p}}_{M}}{dt}}(t)\cdot {\vec {V}}_{M}(t)\;$ ou encore, en distribuant la multiplication scalaire relativement à l'addition vectorielle dans le membre de gauche et en reconnaissant la puissance cinétique du point dans le membre de droite, $\;\sum \limits _{k}\left[{\vec {F}}_{M\,\leftarrow \,(\Sigma _{k})}\cdot {\vec {V}}_{M}(t)\right]={\dot {K}}_{M}(t)$ ;

......dans cette dernière expression on reconnaît dans le membre de gauche la somme des puissances développées par les forces appliquées au point $\;M\;$ et on en déduit que « les causes susceptibles de faire varier l’énergie cinétique d’un point sont les puissances développées par les forces qui lui sont appliquées $\;{\mathcal {P}}\!\left[{\vec {F}}_{M\,\leftarrow \,(\Sigma _{k})}\right]\;$» ;

......l’expression énergétique de la r.f.d. dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste s’écrit dans un référentiel galiléen selon $\;\sum \limits _{k}{\mathcal {P}}\!\left[{\vec {F}}_{M\,\leftarrow \,(\Sigma _{k})}\right]={\dot {K}}_{M}(t)$.

Énoncé du théorème de la puissance cinétique

Début d’un théorème

Théorème de la puissance cinétique

......Dans un référentiel galiléen $\;{\mathcal {R}}_{\text{gal}}$, la puissance cinétique d’un point matériel $\;M\;$ à l'instant $\;t\;$ est égale à la somme des puissances des forces appliquées au point $\;M\;$ au même instant $\;t\;$ soit $\;\sum \limits _{k}{\mathcal {P}}\!\left[{\vec {F}}_{M\,\leftarrow \,(\Sigma _{k})}(t)\right]={\dot {K}}_{M}(t)$ ;

......ce théorème est applicable en dynamique newtonienne et relativiste, la puissance cinétique du point $\;M\;$ à l'instant $\;t\;$ dans $\;{\mathcal {R}}_{\text{gal}}\;$ s'évaluant par dérivation temporelle de son énergie cinétique $\;K_{M}(t)\;$ au même instant et dans le même référentiel avec, pour expression à considérer, l'une des deux définitions équivalentes suivantes

• en dynamique newtonienne $\;K_{M}(t)={\dfrac {{\vec {p}}_{\!M}^{2}(t)}{2\;m}}={\dfrac {1}{2}}\;m\;{\vec {V}}_{\!M}^{2}(t)\;$ et
• en dynamique relativiste $\;K_{M}(t)={\sqrt {m^{2}\;c^{4}+{\vec {p}}_{\!M}^{2}(t)\;c^{2}}}-m\;c^{2}=\left[\gamma _{M}(t)-1\right]m\;c^{2}\;$ où $\;\gamma _{M}(t)=$ ${\dfrac {1}{\sqrt {1-{\dfrac {{\vec {V}}_{\!M}^{2}(t)}{c^{2}}}}}}\;$ est le facteur de Lorentz de $\;M\;$ à l'instant $\;t\;$ dans $\;{\mathcal {R}}_{\text{gal}}$.

Fin du théorème

Démonstration du théorème de la puissance cinétique à partir de la r.f.d.

......Pour démontrer le théorème de la puissance cinétique il suffit de partir de la forme de la r.f.d. écrite applicable en dynamiques newtonienne et relativiste à savoir $\;\sum \limits _{k}{\vec {F}}_{M\,\leftarrow \,(\Sigma _{k})}={\dfrac {d{\vec {p}}_{M}}{dt}}(t)\;$ puis de multiplier scalairement chaque membre de la r.f.d. par $\;{\vec {V}}_{M}(t)\;$ et enfin de reconnaître, dans chaque membre, les grandeurs adaptées (revoir le paragraphe « expression énergétique de la r.f.d. » plus haut dans ce chapitre).

Forme locale et forme intégrale associée de la dynamique

Différence entre « forme locale de la dynamique » et « forme intégrée associée à cette forme locale »

......Une « forme locale de la dynamique » est un lien, écrit à un instant $\;t$, entre la variation temporelle d'une grandeur cinétique et la cause ayant engendré cette variation ;

......on connaît pour l'instant deux « formes locales de la dynamique »

• $\;\bigcirc \!\!\!\!\!1\;\;$ la « r.f.d. » qui lie la variation temporelle du vecteur quantité de mouvement du point et les forces qui lui sont appliquées, causes de variation de son vecteur quantité de mouvement et
• $\;\bigcirc \!\!\!\!\!2\;\;$ le « théorème de la puissance cinétique » qui lie la variation temporelle de l'énergie cinétique du point et la puissance des forces qui lui sont appliquées, causes de variation de son énergie cinétique ;

......leur caractère local provient du fait qu'elles sont écrites pour une date précise (pouvant être quelconque) $\;\Rightarrow \;$ leur application conduit à une équation différentielle du 2^ème ordre en la position du point.

......En intégrant une fois par rapport au temps entre deux instants $\;t_{1}\;$ et $\;t_{2}\;$ une forme locale de la dynamique, on aboutit à la « forme intégrée de la dynamique » associée à cette forme locale (écrite sur l'intervalle $\;\left[t_{1}\,,\,t_{2}\right]{\big )}$ ;

......on peut donc définir pour l'instant deux « formes intégrées de la dynamique » dont la plus connue (et la seule inscrite dans le programme de physique de P.C.S.I.) est

• celle associée à la forme locale $\;\bigcirc \!\!\!\!\!2\;\;$ « théorème de la puissance cinétique » donnant la forme intégrée $\;\color {red}{\bigcirc \!\!\!\!\!2}\;\;$ « théorème de l'énergie cinétique » alors que
• celle associée à la forme locale $\;\bigcirc \!\!\!\!\!1\;\;$ « r.f.d. » qui donne la forme intégrée $\;\color {red}{\bigcirc \!\!\!\!\!1}\;\;$ « théorème de l'impulsion » est hors programme de physique de P.C.S.I..

Notion d’intégrale 1^re du mouvement associée à une forme locale de la dynamique

......Si on écrit la forme intégrée entre un instant initial $\;t_{0}\;$ et un instant $\;t\;$ quelconque, on obtient une équation différentielle du 1^er ordre en la position du point $\;M\;$ appelée « intégrale 1^re du mouvement du point $\;M\;$» ;

......ainsi l'intégrale 1^re du mouvement du point $\;M\;$ associée à la forme locale « théorème de la puissance cinétique » n'est rien d'autre que l'application du « théorème de l'énergie cinétique » entre un instant initial $\;t_{0}\;$ et un instant $\;t\;$ quelconque …

Théorème de l’énergie cinétique, énoncé, démonstration à partir du théorème de la puissance cinétique

Recherche de la forme intégrée associée à la forme locale « théorème de la puissance cinétique »

......Partant du théorème de la puissance cinétique appliqué au point matériel $\;M\;$ à l'instant $\;t\;$ dans un référentiel galiléen $\;\sum \limits _{k}{\mathcal {P}}\!\left[{\vec {F}}_{M\,\leftarrow \,(\Sigma _{k})}(t)\right]={\dot {K}}_{M}(t)$,

• on multiplie de part et d'autre par $\;dt\;$ d’où $\;\left\lbrace \sum \limits _{k}{\mathcal {P}}\!\left[{\vec {F}}_{M\,\leftarrow \,(\Sigma _{k})}(t)\right]\right\rbrace dt={\dot {K}}_{M}(t)\;dt\;$ ou $\;\sum \limits _{k}\left\lbrace {\mathcal {P}}\!\left[{\vec {F}}_{M\,\leftarrow \,(\Sigma _{k})}(t)\right]dt\right\rbrace =dK_{M}\;$ qui s’écrit encore, en reconnaissant la définition du travail élémentaire de force dans chaque terme entre accolades du membre de gauche, $\;\sum \limits _{k}\delta W\!\left[{\vec {F}}_{M\,\leftarrow \,(\Sigma _{k})}(t)\right]=dK_{M}\;$ puis
• on intègre sur $\;\left[t_{1}\,,\,t_{2}\right]\;$ d'où $\;\displaystyle \int _{t_{1}}^{t_{2}}\left\lbrace \sum \limits _{k}\delta W\!\left[{\vec {F}}_{M\,\leftarrow \,(\Sigma _{k})}(t)\right]\right\rbrace =K_{M}(t_{2})-K_{M}(t_{1})\;$ ou encore, l’intégrale d’une somme étant égale à la somme des intégrales $\;\sum \limits _{k}\displaystyle \int _{t_{1}}^{t_{2}}\delta W\!\left[{\vec {F}}_{M\,\leftarrow \,(\Sigma _{k})}(t)\right]=K_{M}(t_{2})-K_{M}(t_{1})\;$ soit enfin, en reconnaissant la définition du travail de force sur une intervalle de durée finie dans chaque terme de la somme du membre de gauche, $\;\sum \limits _{k}W_{{\text{sur}}\,\left[t_{1}\,,\,t_{2}\right]}\!\left[{\vec {F}}_{M\,\leftarrow \,(\Sigma _{k})}\right]=K_{M}(t_{2})-K_{M}(t_{1})$ ;

......ainsi, sous forme intégrée, les « causes de variation de l'énergie cinétique d'un point sur l'intervalle $\;\left[t_{1}\,,\,t_{2}\right]$ » sont les « travaux développés par les forces appliquées à ce point sur le même intervalle », ceci étant applicable en dynamiques newtonienne et relativiste.

Énoncé du « théorème de l’énergie cinétique »

Théorème de l'énergie cinétique sous forme élémentaire

Début d’un théorème

Théorème de l'énergie cinétique sous forme élémentaire

......Dans un référentiel galiléen $\;{\mathcal {R}}_{\text{gal}}$, la variation élémentaire de l'énergie cinétique d’un point matériel $\;M\;$ à l'instant $\;t\;$ est égale à la somme des travaux élémentaires des forces appliquées au point $\;M\;$ au même instant $\;t\;$ soit $\;\sum \limits _{k}\delta W\!\left[{\vec {F}}_{M\,\leftarrow \,(\Sigma _{k})}(t)\right]=dK_{M}$ ;

......ce théorème est applicable en dynamique newtonienne et relativiste, la variation élémentaire de l'énergie cinétique du point $\;M\;$ à l'instant $\;t\;$ dans $\;{\mathcal {R}}_{\text{gal}}\;$ s'évaluant par différenciation de son énergie cinétique $\;K_{M}(t)\;$ au même instant et dans le même référentiel avec, pour expression à considérer, l'une des deux définitions équivalentes suivantes

• en dynamique newtonienne $\;K_{M}(t)={\dfrac {{\vec {p}}_{\!M}^{2}(t)}{2\;m}}={\dfrac {1}{2}}\;m\;{\vec {V}}_{\!M}^{2}(t)\;$ et
• en dynamique relativiste $\;K_{M}(t)={\sqrt {m^{2}\;c^{4}+{\vec {p}}_{\!M}^{2}(t)\;c^{2}}}-m\;c^{2}=\left[\gamma _{M}(t)-1\right]m\;c^{2}\;$ où $\;\gamma _{M}(t)=$ ${\dfrac {1}{\sqrt {1-{\dfrac {{\vec {V}}_{\!M}^{2}(t)}{c^{2}}}}}}\;$ est le facteur de Lorentz de $\;M\;$ à l'instant $\;t\;$ dans $\;{\mathcal {R}}_{\text{gal}}$.

Fin du théorème

......Remarque : Le théorème de l'énergie cinétique sous forme élémentaire est considéré comme une forme intégrée associée à la forme locale « théorème de la puissance cinétique » bien qu'il n'y ait pas de phase d'intégration car la variation élémentaire de l'énergie cinétique évaluée à partir de l'instant $\;t\;$ est sa variation sur l'intervalle de temps $\;\left[t\,,\,t+dt\right]\;$ et que le travail élémentaire d'une force appliquée est aussi son travail sur le même intervalle de temps.

Théorème de l'énergie cinétique sur un intervalle de durée finie

Début d’un théorème

Théorème de l'énergie cinétique sous un intervalle de durée finie

......Dans un référentiel galiléen $\;{\mathcal {R}}_{\text{gal}}$, la variation de l'énergie cinétique d’un point matériel $\;M\;$ sur l'intervalle $\;\left[t_{1}\,,\,t_{2}\right]\;$ est égale à la somme des travaux des forces appliquées au point $\;M\;$ sur ce même intervalle $\;\left[t_{1}\,,\,t_{2}\right]\;$ soit $\;\sum \limits _{k}W_{{\text{sur}}\;\left[t_{1}\,,\,t_{2}\right]}\!\left[{\vec {F}}_{M\,\leftarrow \,(\Sigma _{k})}\right]=\Delta K_{M}\;$ où $\;\Delta K_{M}=K_{M}(t_{2})-K_{M}(t_{1})$ ;

......ce théorème est applicable en dynamique newtonienne et relativiste, la variation de l'énergie cinétique du point $\;M\;$ sur l'intervalle $\;\left[t_{1}\,,\,t_{2}\right]\;$ dans $\;{\mathcal {R}}_{\text{gal}}\;$ s'évaluant par différence d'énergie cinétique $\;K_{M}\;$ aux instants extrêmes et dans le même référentiel avec, pour expression à considérer, l'une des deux définitions équivalentes suivantes

• en dynamique newtonienne $\;K_{M}(t)={\dfrac {{\vec {p}}_{\!M}^{2}(t)}{2\;m}}={\dfrac {1}{2}}\;m\;{\vec {V}}_{\!M}^{2}(t)\;$ et
• en dynamique relativiste $\;K_{M}(t)={\sqrt {m^{2}\;c^{4}+{\vec {p}}_{\!M}^{2}(t)\;c^{2}}}-m\;c^{2}=\left[\gamma _{M}(t)-1\right]m\;c^{2}\;$ où $\;\gamma _{M}(t)=$ ${\dfrac {1}{\sqrt {1-{\dfrac {{\vec {V}}_{\!M}^{2}(t)}{c^{2}}}}}}\;$ est le facteur de Lorentz de $\;M\;$ à l'instant $\;t\;$ dans $\;{\mathcal {R}}_{\text{gal}}$.

Fin du théorème

Démonstration du théorème de l’énergie cinétique à partir du théorème de la puissance cinétique

......Pour démontrer le théorème de l'énergie cinétique il suffit de partir du théorème de la puissance cinétique (qui est applicable en dynamiques newtonienne et relativiste) à savoir $\;\sum \limits _{k}{\mathcal {P}}\!\left[{\vec {F}}_{M\,\leftarrow \,(\Sigma _{k})}(t)\right]={\dfrac {dK_{M}}{dt}}(t)\;$ puis de multiplier chaque membre de ce théorème par $\;dt\;$ ce qui permet d'obtenir le théorème de l'énergie cinétique sous forme élémentaire $\;\sum \limits _{k}\delta W\!\left[{\vec {F}}_{M\,\leftarrow \,(\Sigma _{k})}(t)\right]=dK_{M}\;$ puis

......d'intégrer chaque membre sur l'intervalle $\;\left[t_{1}\,,\,t_{2}\right]\;$ pour obtenir le théorème de l'énergie cinétique sur un intervalle de durée finie $\;\sum \limits _{k}W_{{\text{sur}}\;\left[t_{1}\,,\,t_{2}\right]}\!\left[{\vec {F}}_{M\,\leftarrow \,(\Sigma _{k})}\right]=\Delta K_{M}\;$ (revoir le paragraphe « recherche de la forme intégrée associée à la forme locale “théorème de la puissance cinétique” » plus haut dans ce chapitre).

Conditions d’utilisation du théorème de l’énergie cinétique

......Pour appliquer le théorème de l’énergie cinétique, il faut bien sûr que le référentiel soit galiléen puis,

......après avoir défini le système (c'est-à-dire le point matériel étudié) et précisé les forces appliquées sur un schéma,

......on indique nettement l’état initial ainsi que l’état final d’application du théorème de l’énergie cinétique ;

......on doit penser au théorème de l’énergie cinétique quand on cherche des liens entre vitesses et positions sans référence aux dates …

Intégrale 1^re du mouvement correspondant au théorème de l’énergie cinétique appliqué entre un instant fixé et un instant quelconque

......Si le théorème de l'énergie cinétique est appliqué à un point matériel $\;M\;$ dans un référentiel galiléen $\;{\mathcal {R}}_{\text{gal}}\;$ entre un « état initial d'instant $\;t_{0}\;$» et un « état final d'instant $\;t\;$ quelconque », on obtient une « équation différentielle du 1^er ordre en $\;{\overrightarrow {OM}}(t)$ » appelée « intégrale 1^re du mouvement du point » ;

• en dynamique newtonienne elle peut s'écrire $\;{\dfrac {1}{2}}\;m\;{\vec {V}}_{\!M}^{2}(t)={\dfrac {1}{2}}\;m\;{\vec {V}}_{0}^{2}+\sum \limits _{k}W_{{\text{sur}}\;\left[t_{0}\,,\,t\right]}\!\left[{\vec {F}}_{M\,\leftarrow \,(\Sigma _{k})}\right]\;$ où $\;{\vec {V}}_{0}={\vec {V}}_{M}(t_{0})\;$ et
• en dynamique relativiste $\qquad \qquad \qquad \quad \;\;\;\left[\gamma _{M}(t)-1\right]m\;c^{2}=\left[\gamma _{M,\,0}-1\right]m\;c^{2}+\sum \limits _{k}W_{{\text{sur}}\;\left[t_{0}\,,\,t\right]}\!\left[{\vec {F}}_{M\,\leftarrow \,(\Sigma _{k})}\right]\;$ où $\;\gamma _{M,\,0}={\dfrac {1}{\sqrt {1-{\dfrac {{\vec {V}}_{0}^{2}}{c^{2}}}}}}\;$ est le facteur de Lorentz de l'état initial dans lequel $\;{\vec {V}}_{0}={\vec {V}}_{M}(t_{0})\;$ et $\;\gamma _{M}(t)={\dfrac {1}{\sqrt {1-{\dfrac {{\vec {V}}_{\!M}^{2}(t)}{c^{2}}}}}}\;$ celui de l'état quelconque, intégrale 1^re du mouvement du point qui peut encore s'écrire, après simplification $\;\gamma _{M}(t)=\gamma _{M,\,0}+{\dfrac {\sum \limits _{k}W_{{\text{sur}}\;\left[t_{0}\,,\,t\right]}\!\left[{\vec {F}}_{M\,\leftarrow \,(\Sigma _{k})}\right]}{m\;c^{2}}}$.

......Remarque : Dans le cadre de la dynamique relativiste on utilise le plus souvent la 2^ème définition équivalente de l'énergie cinétique du point et l'intégrale 1^re du mouvement du point peut s'écrire $\;{\sqrt {m^{2}\;c^{4}+{\vec {p}}_{\!M}^{2}(t)\;c^{2}}}-m\;c^{2}={\sqrt {m^{2}\;c^{4}+{\vec {p}}_{0}^{2}\;c^{2}}}-m\;c^{2}+\sum \limits _{k}W_{{\text{sur}}\;\left[t_{0}\,,\,t\right]}\!\left[{\vec {F}}_{M\,\leftarrow \,(\Sigma _{k})}\right]\;$ avec $\;{\vec {p}}_{0}={\vec {p}}_{M}(t_{0})\;$ ou, après simplification évidente, $\;{\sqrt {m^{2}\;c^{4}+{\vec {p}}_{\!M}^{2}(t)\;c^{2}}}={\sqrt {m^{2}\;c^{4}+{\vec {p}}_{0}^{2}\;c^{2}}}+\sum \limits _{k}W_{{\text{sur}}\;\left[t_{0}\,,\,t\right]}\!\left[{\vec {F}}_{M\,\leftarrow \,(\Sigma _{k})}\right]$.

En complément, « forme intégrée » associée à la forme locale « r.f.d. »

Recherche de la forme intégrée associée à la forme locale « r.f.d. »

......Partant de la r.f.d. appliquée dans un référentiel galiléen $\;{\mathcal {R}}_{\text{gal}}\;$ au point matériel $\;M\;$ à l'instant $\;t\;$ sous la forme valide en dynamiques newtonienne et relativiste $\;\sum \limits _{k}{\vec {F}}_{M\,\leftarrow \,(\Sigma _{k})}(t)={\dfrac {d{\vec {p}}_{M}}{dt}}(t)$,

• on multiplie de part et d'autre par $\;dt\;$ d’où $\;\left[\sum \limits _{k}{\vec {F}}_{M\,\leftarrow \,(\Sigma _{k})}(t)\right]dt={\dfrac {d{\vec {p}}_{M}}{dt}}(t)\;dt\;$ ou $\;\sum \limits _{k}\left\lbrace \left[{\vec {F}}_{M\,\leftarrow \,(\Sigma _{k})}(t)\right]dt\right\rbrace =d{\vec {p}}_{M}\;$ dans laquelle chaque terme entre accolades du membre de gauche $\;\left[{\vec {F}}_{M\,\leftarrow \,(\Sigma _{k})}(t)\right]dt\;$ définit une grandeur élémentaire de force $\;{\Big \{}$appelée impulsion élémentaire de force et notée $\;\delta {\vec {I}}\!\left[{\vec {F}}\right]$ voir paragraphe « impulsion élémentaire de force exercée par un système sur un point matériel » plus loin dans ce chapitre${\Big \}}$, $\;\sum \limits _{k}\delta {\vec {I}}\!\left[{\vec {F}}_{M\,\leftarrow \,(\Sigma _{k})}(t)\right]=d{\vec {p}}_{M}\;$ puis
• on intègre sur $\;\left[t_{1}\,,\,t_{2}\right]\;$ d'où $\;\displaystyle \int _{t_{1}}^{t_{2}}\left\lbrace \sum \limits _{k}\delta {\vec {I}}\!\left[{\vec {F}}_{M\,\leftarrow \,(\Sigma _{k})}(t)\right]\right\rbrace ={\vec {p}}_{M}(t_{2})-{\vec {p}}_{M}(t_{1})\;$ ou encore, l’intégrale d’une somme étant égale à la somme des intégrales $\;\sum \limits _{k}\displaystyle \int _{t_{1}}^{t_{2}}\delta {\vec {I}}\!\left[{\vec {F}}_{M\,\leftarrow \,(\Sigma _{k})}(t)\right]={\vec {p}}_{M}(t_{2})-{\vec {p}}_{M}(t_{1})\;$ dans laquelle chaque terme de la somme discrète du membre de gauche à savoir $\;\displaystyle \int _{t_{1}}^{t_{2}}\delta {\vec {I}}\!\left[{\vec {F}}_{M\,\leftarrow \,(\Sigma _{k})}(t)\right]=$ $\displaystyle \int _{t_{1}}^{t_{2}}\left[{\vec {F}}_{M\,\leftarrow \,(\Sigma _{k})}(t)\right]dt\;$ définit une grandeur de force sur l'intervalle de temps $\;\left[t_{1}\,,\,t_{2}\right]$ $\;{\Big \{}$appelée impulsion de force sur cet intervalle de temps $\;\left[t_{1}\,,\,t_{2}\right]\;$ et notée $\;{\vec {I}}_{{\text{sur}}\;\left[t_{1}\,,\,t_{2}\right]}\!\left[{\vec {F}}\right]\;$ voir paragraphe « impulsion de force exercée par un système sur un point matériel pendant une durée finie » plus loin dans ce chapitre${\Big \}}$, permettant de réécrire la relation selon $\;\sum \limits _{k}{\vec {I}}_{{\text{sur}}\,\left[t_{1}\,,\,t_{2}\right]}\!\left[{\vec {F}}_{M\,\leftarrow \,(\Sigma _{k})}\right]={\vec {p}}_{M}(t_{2})-{\vec {p}}_{M}(t_{1})$ ;

......ainsi, sous forme intégrée, les « causes de variation du vecteur quantité de mouvement d'un point sur l'intervalle $\;\left[t_{1}\,,\,t_{2}\right]\;$ » sont les « impulsions développées par les forces appliquées à ce point sur le même intervalle », ceci étant applicable en dynamiques newtonienne et relativiste.

Notion d'impulsion de force

Impulsion élémentaire de force exercée par un système sur un point matériel

......L'impulsion élémentaire de la force $\;{\vec {F}}_{M\leftarrow (\Sigma )}(t)\;$ que le système $\;(\Sigma )\;$ exerce sur le point $\;M\;$ pendant la durée élémentaire $\;dt\;$ à partir de l'instant $\;t\;$ est notée usuellement $\;\delta {\vec {I}}\!\left[{\vec {F}}_{M\leftarrow (\Sigma )}(t)\right]\;$ et est définie selon

$\;\delta {\vec {I}}\!\left[{\vec {F}}_{M\leftarrow (\Sigma )}(t)\right]={\vec {F}}_{M\leftarrow (\Sigma )}(t)\;dt$,
l'unité d'impulsion étant le $\;N\cdot s\;$ ou encore le $\;kg\cdot m\cdot s^{-1}$.

......Propriété : Si la force $\;{\vec {F}}_{M\leftarrow (\Sigma )}(t)\;$ est de norme finie, son impulsion élémentaire $\;\delta {\vec {I}}\!\left[{\vec {F}}_{M\leftarrow (\Sigma )}(t)\right]\rightarrow {\vec {0}}\;$ quand $\;dt\rightarrow 0\;$ d'où la propriété suivante

......Propriété : « à l'ordre 0 en $\;dt$, les impulsions élémentaires des forces de norme finie sont nulles ».

Impulsion de force exercée par un système sur un point matériel pendant une durée finie

......L'impulsion de la force $\;{\vec {F}}_{M\leftarrow (\Sigma )}(t)\;$ que le système $\;(\Sigma )\;$ exerce sur le point $\;M\;$ pendant la durée de l'intervalle de temps $\;\left[t_{1}\,,\,t_{2}\right]\;$ est notée usuellement $\;{\vec {I}}_{{\text{sur}}\;\left[t_{1}\,,\,t_{2}\right]}\!\left[{\vec {F}}_{M\leftarrow (\Sigma )}(t)\right]\;$ ${\Big \{}$ou, avec $\;M_{1}\;$ et $\;M_{2}\;$ les positions de $\;M\;$ aux instants respectifs $\;t_{1}\;$ et $\;t_{2}\;$ sur sa trajectoire $\;\left(\Gamma \right)$, notée $\;{\vec {I}}_{M_{1}{\overset {(\Gamma )}{\rightarrow }}M_{2}}\!\left[{\vec {F}}_{M\leftarrow (\Sigma )}(t)\right]{\Big \}}\;$ et est définie selon

$\;{\vec {I}}_{{\text{sur}}\;\left[t_{1}\,,\,t_{2}\right]}\!\left[{\vec {F}}_{M\leftarrow (\Sigma )}(t)\right]=\displaystyle \int _{t_{1}}^{t_{2}}{\vec {F}}_{M\leftarrow (\Sigma )}(t)\;dt\;$ $\qquad {\bigg \{}$ou $\;{\vec {I}}_{M_{1}{\overset {(\Gamma )}{\rightarrow }}M_{2}}\!\left[{\vec {F}}_{M\leftarrow (\Sigma )}(t)\right]=\displaystyle \int _{M_{1}{\overset {(\Gamma )}{\rightarrow }}M_{2}}{\vec {F}}_{M\leftarrow (\Sigma )}(t)\;dt\;$${\bigg \}}$.

......Propriété : Si la force $\;{\vec {F}}_{M\leftarrow (\Sigma )}(t)\;$ reste de norme finie sur l'intervalle $\;\left[t_{1}\,,\,t_{2}\right]\;$ [la force pouvant y être continue ou discontinue de 1^re espèce], son impulsion sur cet intervalle $\;{\vec {I}}_{{\text{sur}}\;\left[t_{1}\,,\,t_{2}\right]}\!\left[{\vec {F}}_{M\leftarrow (\Sigma )}(t)\right]\;$ est également de norme finie.

Modélisation d’une force de collision et conséquence sur son impulsion élémentaire

......Lorsqu'un point $\;M\;$ subit une collision à un instant $\;t_{0}\;$ avec un support solide $\;(\Sigma )$, on dit que $\;(\Sigma )\;$ exerce sur $\;M\;$ une force « de collision » $\;{\vec {F}}_{{\text{choc réel}},\,M\,\leftarrow \,(\Sigma )}(t)\;$ s'identifiant à

• une force « nulle hors durée $\;\delta t\;$ de la collision » (durée toujours très courte) et
• une force « de direction fixée et de norme très grande pendant la très courte durée $\;\delta t\;$ de la collision » ;

......la grandeur utile ici étant « l'impulsion de la force de collision $\;{\vec {F}}_{{\text{choc réel}},\,M\,\leftarrow \,(\Sigma )}(t)=F_{{\text{choc réel}},\,M\,\leftarrow \,(\Sigma )}(t)\;{\vec {u}}\;$ que $\;(\Sigma )\;$ exerce sur $\;M\;$ pendant la durée de la collision » définie selon $\;{\vec {I}}_{{\text{sur}}\;\left[t_{0}\,,\,t_{0}+\delta t\right]}\!\left[{\vec {F}}_{{\text{choc réel}},\,M\,\leftarrow \,(\Sigma )}(t)\right]=\displaystyle \int _{t_{0}}^{t_{0}+\delta t}{\vec {F}}_{{\text{choc réel}},\,M\,\leftarrow \,(\Sigma )}(t)\;dt=\left[\displaystyle \int _{t_{0}}^{t_{0}+\delta t}F_{{\text{choc réel}},\,M\,\leftarrow \,(\Sigma )}(t)\;dt\right]{\vec {u}}\;$ et notée plus simplement $\;{\vec {I}}_{{\text{collision}},\,M\,\leftarrow \,(\Sigma )}(t_{0})=I_{{\text{collision}},\,M\,\leftarrow \,(\Sigma )}(t_{0})\;{\vec {u}}\;$ avec $\;I_{{\text{collision}},\,M\,\leftarrow \,(\Sigma )}(t_{0})=\displaystyle \int _{t_{0}}^{t_{0}+\delta t}F_{{\text{choc réel}},\,M\,\leftarrow \,(\Sigma )}(t)\;dt\;$ égale à l'aire de la surface sous le pic du graphe de $\;F_{{\text{choc réel}},\,M\,\leftarrow \,(\Sigma )}(t)\;$ en fonction de $\;t$ ;

......la durée $\;\delta t\;$ étant très petite simultanément à la norme de $\;F_{{\text{choc réel}},\,M\,\leftarrow \,(\Sigma )}(t)\;$ très grande pendant la collision et compte-tenu de la signification géométrique de $\;I_{{\text{collision}},\,M\,\leftarrow \,(\Sigma )}(t_{0})$, on peut modéliser la force réelle de collision $\;{\vec {F}}_{{\text{choc réel}},\,M\,\leftarrow \,(\Sigma )}(t)=F_{{\text{choc réel}},\,M\,\leftarrow \,(\Sigma )}(t)\;{\vec {u}}\;$ en utilisant le pic de Dirac d'impulsion unité centré à l'instant $\;t_{0}\;$ à savoir $\;\delta (t-t_{0})\;$ conduisant à la modélisation de la force de collision en

$\;{\vec {F}}_{{\text{collision}},\,M\,\leftarrow \,(\Sigma )}(t)=F_{{\text{collision}},\,M\,\leftarrow \,(\Sigma )}(t)\;{\vec {u}}\;$ avec $\;F_{{\text{collision}},\,M\,\leftarrow \,(\Sigma )}(t)=$ $I_{{\text{collision}},\,M\,\leftarrow \,(\Sigma )}(t_{0})\;\delta (t-t_{0})$,

......à partir de laquelle et en utilisant la propriété du pic de Dirac d'impulsion unité $\;\displaystyle \int _{t_{0}^{-}}^{t_{0}^{+}}\delta (t-t_{0})\;dt=1\;$ on vérifie aisément que $\;\displaystyle \int _{t_{0}^{-}}^{t_{0}^{+}}F_{{\text{collision}},\,M\,\leftarrow \,(\Sigma )}(t)\;dt=$ $\displaystyle \int _{t_{0}^{-}}^{t_{0}^{+}}I_{{\text{collision}},\,M\,\leftarrow \,(\Sigma )}(t_{0})\;\delta (t-t_{0})\;dt=I_{{\text{collision}},\,M\,\leftarrow \,(\Sigma )}(t_{0})\left[\displaystyle \int _{t_{0}^{-}}^{t_{0}^{+}}\delta (t-t_{0})\;dt\right]=I_{{\text{collision}},\,M\,\leftarrow \,(\Sigma )}(t_{0})\;$ ce qui est en accord avec la signification de $\;I_{{\text{collision}},\,M\,\leftarrow \,(\Sigma )}(t_{0})$.

......Conclusion : une force de collision étant modélisée en utilisant un pic de Dirac d'impulsion unité, est discontinue de 2^ème espèce,

......Conclusion : son impulsion sur n'importe quel intervalle de temps englobant l'instant de collision est une constante $\;I_{{\text{collision}},\,M\,\leftarrow \,(\Sigma )}(t_{0})\neq 0$, c'est aussi son impulsion sur la durée élémentaire $\;\delta t\;$ de collision, « valeur non nulle à l'ordre 0 en l'infiniment petit $\;\delta t\;$» ;

......Conclusion : contrairement aux forces hors collision (continues ou discontinues de 1^re espèce) dont les impulsions élémentaires sont nulles à l'ordre 0 en l'infiniment petit de durée élémentaire, les forces de collisions (discontinues de 2^ème espèce en l'instant de collision) sont les seules forces dont l'impulsion sur la durée élémentaire (de collision) est non nulle à l'ordre 0 en cette durée élémentaire.

Énoncé des théorèmes de l'impulsion (ou r.f.d. sous forme intégrée)

Théorème de l'impulsion sous forme élémentaire

Début d’un théorème

Théorème de l'impulsion sous forme élémentaire

......Dans un référentiel galiléen $\;{\mathcal {R}}_{\text{gal}}$, la variation élémentaire de quantité de mouvement d’un point matériel $\;M\;$ à l'instant $\;t\;$ est égale à la somme des impulsions élémentaires des forces appliquées au point $\;M\;$ au même instant $\;t\;$ et pendant la même durée élémentaire $\;\delta t\;$ soit $\;\sum \limits _{k}\delta {\vec {I}}\!\left[{\vec {F}}_{M\,\leftarrow \,(\Sigma _{k})}(t)\right]=d{\vec {p}}_{M}$ ;

......ce théorème est applicable en dynamique newtonienne et relativiste, la variation élémentaire de la quantité de mouvement du point $\;M\;$ à l'instant $\;t\;$ dans $\;{\mathcal {R}}_{\text{gal}}\;$ s'évaluant par différenciation de sa quantité de mouvement $\;{\vec {p}}_{M}(t)\;$ au même instant et dans le même référentiel avec, pour expression à considérer, la définition suivante

• en dynamique newtonienne $\;{\vec {p}}_{M}(t)=m\;{\vec {V}}_{M}(t)\;$ et
• en dynamique relativiste $\;{\vec {p}}_{M}(t)=\gamma _{M}(t)\;m\;{\vec {V}}_{M}(t)\;$ avec $\;\gamma _{M}(t)={\dfrac {1}{\sqrt {1-{\dfrac {{\vec {V}}_{\!M}^{2}(t)}{c^{2}}}}}}\;$ le facteur de Lorentz de $\;M\;$ à l'instant $\;t\;$ dans $\;{\mathcal {R}}_{\text{gal}}$.

Fin du théorème

......Remarque : Le théorème de l'impulsion sous forme élémentaire est considéré comme une forme intégrée associée à la forme locale « r.f.d. » bien qu'il n'y ait pas de phase d'intégration car la variation élémentaire de la quantité de mouvement évaluée à partir de l'instant $\;t\;$ est sa variation sur l'intervalle de temps $\;\left[t\,,\,t+dt\right]\;$ et que l'impulsion élémentaire d'une force appliquée est aussi son impulsion sur le même intervalle de temps.

Application en absence de forces de collision et conséquence

......En absence de forces de collision, toutes les forces appliquées à l'instant $\;t\;$ au point $\;M\;$ sont continues ou discontinues de 1^re espèce et leurs impulsions élémentaires sont toutes nulles à l'ordre 0 en la durée élémentaire $\;\delta t\;$ considérée à partir de l'instant $\;t$, c'est-à-dire $\;\sum \limits _{k}\delta {\vec {I}}\!\left[{\vec {F}}_{M\,\leftarrow \,(\Sigma _{k})}(t)\right]\simeq 0\;$ à l'ordre 0 en $\;\delta t\;$ et par application du théorème de l'impulsion sous forme élémentaire on en déduit $\;d{\vec {p}}_{M}\simeq 0\;$ à l'ordre 0 en $\;\delta t\;$ soit encore $\;{\vec {p}}_{M}(t+\delta t)\simeq {\vec {p}}_{M}(t)\;$ à l'ordre 0 en $\;\delta t\;$ c'est-à-dire finalement

la continuité de la quantité de mouvement $\;{\vec {p}}_{M}(t)\;$ en tout instant hors collision
ainsi que la continuité de la vitesse $\;{\vec {V}}_{M}(t)\;$ en tout instant hors collision.

Application en présence d'une force de collision et conséquence

......En présence d'une force de collision $\;{\vec {F}}_{{\text{collision}},\,M\,\leftarrow \,(\Sigma )}(t)\;$ discontinue de 2^ème espèce à l'instant $\;t_{0}\;$ et dont l'impulsion sur la durée élémentaire $\;\delta t\;$ de collision est $\;{\vec {I}}_{{\text{collision}},\,M\,\leftarrow \,(\Sigma )}(t_{0})\;$ non nulle à l'ordre 0 en la durée élémentaire $\;\delta t\;$ et, sachant que les autres forces appliquées à l'instant $\;t_{0}\;$ au point $\;M\;$ étant continues ou discontinues de 1^re espèce en cet instant, leurs impulsions élémentaires sont toutes nulles à l'ordre 0 en la durée élémentaire $\;\delta t\;$ considérée à partir de l'instant $\;t_{0}$, on en déduit que la somme des impulsions élémentaires de toutes les forces appliquées y compris la force de collision est égale à $\;{\vec {I}}_{{\text{collision}},\,M\,\leftarrow \,(\Sigma )}(t_{0})\;$ non nulle à l'ordre 0 en $\;\delta t\;$, soit $\;\sum \limits _{k}\delta {\vec {I}}\!\left[{\vec {F}}_{M\,\leftarrow \,(\Sigma _{k})}(t)\right]\simeq {\vec {I}}_{{\text{collision}},\,M\,\leftarrow \,(\Sigma )}(t_{0})\;$ à l'ordre 0 en $\;\delta t\;$ et par application du théorème de l'impulsion sous forme élémentaire on en tire $\;d{\vec {p}}_{M}\simeq$ ${\vec {I}}_{{\text{collision}},\,M\,\leftarrow \,(\Sigma )}(t_{0})\;$ à l'ordre 0 en $\;\delta t\;$ soit encore $\;{\vec {p}}_{M}(t+\delta t)-{\vec {p}}_{M}(t)\simeq {\vec {I}}_{{\text{collision}},\,M\,\leftarrow \,(\Sigma )}(t_{0})\;$ à l'ordre 0 en $\;\delta t\;$ c'est-à-dire finalement

une discontinuité de la quantité de mouvement $\;{\vec {p}}_{M}(t)\;$ à l'instant de collision
plus précisément $\;{\vec {p}}_{M}(t_{0}^{+})-{\vec {p}}_{M}(t_{0}^{-})={\vec {I}}_{{\text{collision}},\,M\,\leftarrow \,(\Sigma )}(t_{0})\;$
ainsi que la discontinuité de 1^re espèce de la vitesse $\;{\vec {V}}_{M}(t)\;$ à l'instant de collision.

Théorème de l'impulsion sur une durée finie

Début d’un théorème

Théorème de l'impulsion sur une durée finie

......Dans un référentiel galiléen $\;{\mathcal {R}}_{\text{gal}}$, la variation de quantité de mouvement d’un point matériel $\;M\;$ sur l'intervalle $\;\left[t_{1}\,,\,t_{2}\right]\;$ est égale à la somme des impulsions des forces appliquées au point $\;M\;$ sur ce même intervalle $\;\left[t_{1}\,,\,t_{2}\right]\;$ soit $\;\sum \limits _{k}{\vec {I}}_{{\text{sur}}\;\left[t_{1}\,,\,t_{2}\right]}\!\left[{\vec {F}}_{M\,\leftarrow \,(\Sigma _{k})}(t)\right]=\Delta {\vec {p}}_{M}\;$ où $\;\Delta {\vec {p}}_{M}={\vec {p}}_{M}(t_{2})-{\vec {p}}_{M}(t_{1})$ ;

......ce théorème est applicable en dynamique newtonienne et relativiste, la variation de la quantité de mouvement du point $\;M\;$ sur l'intervalle $\;\left[t_{1}\,,\,t_{2}\right]\;$ dans $\;{\mathcal {R}}_{\text{gal}}\;$ s'évaluant par différence de sa quantité de mouvement $\;{\vec {p}}_{M}(t)\;$ aux instants extrêmes et dans le même référentiel avec, pour expression à considérer, la définition suivante

• en dynamique newtonienne $\;{\vec {p}}_{M}(t)=m\;{\vec {V}}_{M}(t)\;$ et
• en dynamique relativiste $\;{\vec {p}}_{M}(t)=\gamma _{M}(t)\;m\;{\vec {V}}_{M}(t)\;$ avec $\;\gamma _{M}(t)={\dfrac {1}{\sqrt {1-{\dfrac {{\vec {V}}_{\!M}^{2}(t)}{c^{2}}}}}}\;$ le facteur de Lorentz de $\;M\;$ à l'instant $\;t\;$ dans $\;{\mathcal {R}}_{\text{gal}}$.

Fin du théorème

Discontinuité de la puissance d'une force de collision

......Ayant modélisé la force de collision que $\;(\Sigma )\;$ exerce sur $\;M\;$ à l'instant $\;t_{0}\;$ de collision selon $\;{\vec {F}}_{{\text{collision}}\;M\,\leftarrow \,(\Sigma )}(t)={\vec {I}}_{{\text{collision}}\;M\,\leftarrow \,(\Sigma )}(t_{0})\;\delta (t-t_{0})\;$ c'est-à-dire une force discontinue de 2^ème espèce à l'instant $\;t_{0}\;$ et

......ayant établi, par application du théorème de l'impulsion sous forme élémentaire au point $\;M$, la discontinuité de 1^re espèce de la quantité de mouvement de $\;M\;$ à l'instant $\;t_{0}\;$ et par suite celle de la vitesse de $\;M\;$ au même instant $\;t_{0}$,

......on définit la puissance de la force de collision par $\;{\mathcal {P}}\!\left[{\vec {F}}_{{\text{collision}}\;M\,\leftarrow \,(\Sigma )}(t)\right]={\vec {F}}_{{\text{collision}}\;M\,\leftarrow \,(\Sigma )}(t)\cdot {\vec {V}}_{M}(t)\;$ qui s'écrit encore, en supposant que la direction et le sens de la force de collision est identique à la direction et le sens du mouvement du point, $\;{\mathcal {P}}\!\left[{\vec {F}}_{{\text{collision}}\;M\,\leftarrow \,(\Sigma )}(t)\right]=I_{{\text{collision}}\;M\,\leftarrow \,(\Sigma )}(t_{0})\;\delta (t-t_{0})\;V_{M}(t)\;$ et

......on en déduit la discontinuité de 2^ème espèce de la puissance de la force de collision comme produit d'un facteur discontinu de 2^ème espèce et d'un facteur discontinu de 1^re espèce.