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Mécanique 1 (PCSI) : Approche énergétique du mouvement d'un point matériel : Lois de la puissance et de l'énergie cinétiques
Mécanique 1 (PCSI)/Approche énergétique du mouvement d'un point matériel : Lois de la puissance et de l'énergie cinétiques », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.
Toutes les notions de ce chapitre sont applicables en dynamique newtonienne ou relativiste.
Définition de l'énergie et de la puissance cinétiques[modifier | modifier le wikicode]
Définition de l'énergie cinétique d'un point matériel dans le référentiel d'étude[modifier | modifier le wikicode]
......Entrevue une 1re fois (uniquement dans le cadre newtonien) dans le paragraphe « Énergie cinétique, conséquence de l'existence d'un mouvement » du chap. 1 de la leçon « Signaux physiques (PCSI) ».
......Il s'agit de la 2ème grandeur cinétique introduite dans la leçon « Mécanique 1 (PCSI) »,
......Il s'agit de la 1re l'ayant été dans le chap. 7, plus précisément dans le paragraphe « vecteur quantité de mouvement d'un point matériel, lien avec son vecteur vitesse » du chapitre précité et traduisant une « réserve de mouvement inertiel en direction, sens et intensité »[1].
Définition de l'énergie cinétique d'un point matériel dans le référentiel d'étude à partir des grandeurs d'inertie et cinématique du point[modifier | modifier le wikicode]
......L'énergie cinétique d'un point matériel
de masse (inerte)
en mouvement dans un référentiel d'étude
est la grandeur scalaire notée
définie à partir
- de la grandeur cinématique vectorielle représentant le mouvement dans le référentiel d'étude
à savoir le « vecteur vitesse du point dans ce référentiel
» et
- de la grandeur d'inertie scalaire à savoir la « masse (inerte)
[2] du point »,
......la définition dans le cadre de la cinétique newtonienne étant
et
......la déf~celle dans le cadre de la cinétique relativiste[3]
[4] dans laquelle
est le facteur de Lorentz[5] du point
dans son mouvement par rapport au référentiel d'étude
à l'instant
et
la célérité de la lumière dans le vide[6] ;
l'énergie cinétique est exprimée en joules [symbole
avec
.
......Remarque : L'énergie cinétique d'un point matériel traduit une « réserve de mouvement inertiel en intensité »[7],[8].
......Condition de vitesse pour que l'énergie cinétique du point soit newtonienne : nous nous plaçons dans le cas où
ou, en introduisant le vecteur vitesse relative
de norme notée
, nous nous plaçons dans le cas d'une vitesse relative
, le facteur de Lorentz[5]
ayant pour D.L.[9] à l'ordre 2[10] en l'infiniment petit
[11]
[12] d'où l'énergie cinétique relativiste du point
s'écrivant
;
......Condition de vitesse pour que l'énergie cinétique du point soit newtonienne : tout d'abord on vérifie bien, en tronquant le D.L. de
à l'ordre 1 en
, que l'énergie cinétique relativiste s'identifie à l'énergie cinétique newtonienne car
;
......Condition de vitesse pour que l'énergie cinétique du point soit newtonienne : la différence entre l'énergie cinétique relativiste et celle newtonienne vaut, à l'ordre 2 en
,
c'est-à-dire un infiniment petit d'ordre 2 en
soit, en rapportant cette différence à l'énergie cinétique relativiste, un écart relatif de
dont on souhaite déterminer le D.L. à l'ordre 1 en
et comme le numérateur est un infiniment petit d'ordre 2 il suffit de prendre le D.L. du dénominateur à l'ordre 1 en
soit
[13] d'où la réécriture de
en
soit finalement
;
......Condition de vitesse pour que l'énergie cinétique du point soit newtonienne : l'énergie cinétique relativiste étant égale à l'énergie cinétique newtonienne à
près si
on en déduit la condition sur la vitesse relative
ou
soit finalement
[14].
Définition de l'énergie cinétique d'un point matériel dans le référentiel d'étude à partir des grandeurs d'inertie et cinétique précédemment introduite du point[modifier | modifier le wikicode]
......L'énergie cinétique d'un point matériel
de masse (inerte)
en mouvement dans un référentiel d'étude
est la grandeur scalaire notée
définie à partir
- de la grandeur cinétique vectorielle représentant une « réserve de mouvement inertiel en direction, sens et intensité »[15] dans le référentiel d'étude
à savoir le « vecteur quantité de mouvement du point dans ce référentiel
» et
- de la grandeur d'inertie scalaire à savoir la « masse (inerte)
[2] du point »,
......la définition dans le cadre de la cinétique newtonienne étant
et
......la déf~celle dans le cadre de la cinétique relativiste[3]
[4] dans laquelle
est la célérité de la lumière dans le vide[6] ;
l'énergie cinétique est exprimée en joules [symbole
avec
.
......Remarque : Bien sûr dans cette nouvelle définition l'énergie cinétique d'un point matériel traduit toujours une « réserve de mouvement inertiel en intensité »[7],[8].
......Équivalence des deux définitions de l'énergie cinétique newtonienne du point : nous avons vu que l'énergie cinétique du point
sous la forme newtonienne
est applicable si
et que le vecteur quantité de mouvement du même point
sous la forme newtonienne
l'est si
[14], aussi, en nous plaçant dans les conditions les plus restrictives d'application de ces formules à savoir
et en reportant
dans
nous en déduisons
c'est-à-dire la 2ème définition de l'énergie cinétique newtonienne ;
......Équivalence des deux définitions de l'énergie cinétique newtonienne du point : dans les conditions où
la réciproque s'établit sans souci d'où l'équivalence des deux définitions.
......Équivalence des deux définitions de l'énergie cinétique relativiste du point : partant de la 1re définition de l'énergie cinétique relativiste
dans laquelle
est le facteur de Lorentz[5] du point
dans son mouvement par rapport au référentiel d'étude
à l'instant
et sachant que le vecteur quantité de mouvement relativiste du même point au même instant est
[16], on en déduit la 2ème définition de l'énergie cinétique relativiste en exprimant
en fonction de
sans que n'intervienne
et en reportant cette expression dans 1re définition de
;
......Équivalence des deux définitions de l'énergie cinétique relativiste du point : de
on tire
ou encore
dans le 2ème membre duquel on remplace
par
d'où
et finalement l'expression du facteur de Lorentz[5] du point en fonction du vecteur quantité de mouvement de ce dernier
;
......Équivalence des deux définitions de l'énergie cinétique relativiste du point : reportant cette dernière expression dans
on obtient
c'est-à-dire la 2ème définition de l'énergie cinétique relativiste ;
......Équivalence des deux définitions de l'énergie cinétique relativiste du point : la réciproque s'établit sans souci majeur à partir de
et du lien entre
et
obtenu précédemment à savoir
dont on tire
que l'on reporte dans l'expression de
soit
c'est-à-dire la 1re définition de l'énergie cinétique relativiste.
Définition de la puissance cinétique d'un point matériel dans le référentiel d'étude[modifier | modifier le wikicode]
......La puissance cinétique d'un point matériel
à l'instant
dans le référentiel d'étude
est, dans le cadre de la cinétique newtonienne ou relativiste[3], la dérivée temporelle de l'énergie cinétique du point
au même instant
dans le même référentiel
c'est-à-dire
[comme il n'y a aucune notation particulière pour noter la puissance cinétique nous utiliserons la notation compacte
.
Expressions de la puissance cinétique newtonienne d'un point matériel dans le référentiel d'étude[modifier | modifier le wikicode]
......Ayant deux expressions équivalentes de l'énergie cinétique newtonienne du point matériel
à l'instant
dans le référentiel d'étude
, expressions dont la validité présuppose que la vitesse du point soit telle que
, nous en déduisons deux expressions équivalentes de la puissance cinétique newtonienne du point
à l'instant
dans ce référentiel
[17] :
soit encore
[18]
soit encore
[18].
Expressions de la puissance cinétique relativiste d'un point matériel dans le référentiel d'étude[modifier | modifier le wikicode]
......Ayant deux expressions équivalentes de l'énergie cinétique relativiste[3] du point matériel
à l'instant
dans le référentiel d'étude
, nous en déduisons deux expressions équivalentes de la puissance cinétique relativiste[3] du point
à l'instant
dans ce référentiel
[17] :
avec
avec
soit
ou encore
[19]
ou, en faisant intervenir la vitesse dans le 1er facteur de la multiplication scalaire[19],[20],
soit finalement
.
Théorème de la puissance cinétique, énoncé, démonstration à partir de la r.f.d.[modifier | modifier le wikicode]
Préliminaire, forme symbolique de tout théorème de la dynamique du point matériel[modifier | modifier le wikicode]
......De façon symbolique tout théorème de la dynamique du point matériel doit s’exprimer selon l'énoncé suivant
......« dans un référentiel galiléen, la dérivée temporelle d’une des grandeurs cinétiques d’un point matériel est égale à la somme des causes susceptibles de faire varier cette grandeur cinétique »[21] ;
......dans le cas de la r.f.d.[22] la grandeur cinétique est le vecteur quantité de mouvement du point
soit
et les causes susceptibles de le faire varier sont les forces appliquées sur le point
à savoir
, la r.f.d. s’énonçant alors dans un référentiel galiléen selon
.
......L’expression énergétique de la r.f.d.[22] nécessite d’obtenir, dans le membre de droite, la dérivée temporelle de l’énergie cinétique du point
, c'est-à-dire encore la « puissance cinétique du point
» et pour cela on utilisera la relation commune aux cadres newtonien et relativiste de la puissance cinétique du point
à savoir
;
......on observe donc qu'il suffit de multiplier scalairement les deux membres de la r.f.d.[22] écrite sous la forme applicable en dynamique newtonienne et relativiste à savoir
par
pour obtenir dans celui de droite la puissance cinétique du point
soit
ou encore, en distribuant la multiplication scalaire relativement à l'addition vectorielle dans le membre de gauche et en reconnaissant la puissance cinétique du point dans le membre de droite,
;
......dans cette dernière expression on reconnaît dans le membre de gauche la somme des puissances développées par les forces appliquées au point
et on en déduit que « les causes susceptibles de faire varier l’énergie cinétique d’un point sont les puissances développées par les forces qui lui sont appliquées
» ;
......l’expression énergétique de la r.f.d.[22] dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste s’écrit dans un référentiel galiléen selon
.
Début d’un théorème
Théorème de la puissance cinétique
Fin du théorème
Démonstration du théorème de la puissance cinétique à partir de la r.f.d.[modifier | modifier le wikicode]
......Pour démontrer le théorème de la puissance cinétique il suffit de partir de la forme de la r.f.d.[22] écrite applicable en dynamiques newtonienne et relativiste à savoir
puis de multiplier scalairement chaque membre de la r.f.d.[22] par
et enfin de reconnaître, dans chaque membre, les grandeurs adaptées (revoir le paragraphe « expression énergétique de la r.f.d. » plus haut dans ce chapitre).
Forme locale et forme intégrale associée de la dynamique[modifier | modifier le wikicode]
Différence entre « forme locale de la dynamique » et « forme intégrée associée à cette forme locale »[modifier | modifier le wikicode]
......Une « forme locale de la dynamique » est un lien, écrit à un instant
, entre la variation temporelle d'une grandeur cinétique et la cause ayant engendré cette variation ;
......on connaît pour l'instant deux « formes locales de la dynamique »
la « r.f.d.[22] » qui lie la variation temporelle du vecteur quantité de mouvement du point et les forces qui lui sont appliquées, causes de variation de son vecteur quantité de mouvement et
le « théorème de la puissance cinétique » qui lie la variation temporelle de l'énergie cinétique du point et la puissance des forces qui lui sont appliquées, causes de variation de son énergie cinétique ;
......leur caractère local provient du fait qu'elles sont écrites pour une date précise (pouvant être quelconque)
leur application conduit à une équation différentielle du 2ème ordre en la position du point.
......En intégrant une fois par rapport au temps entre deux instants
et
une forme locale de la dynamique, on aboutit à la « forme intégrée de la dynamique »[24] associée à cette forme locale (écrite sur l'intervalle
;
......on peut donc définir pour l'instant deux « formes intégrées de la dynamique » dont la plus connue (et la seule inscrite dans le programme de physique de P.C.S.I.) est
- celle associée à la forme locale
« théorème de la puissance cinétique » donnant la forme intégrée
« théorème de l'énergie cinétique » alors que
- celle associée à la forme locale
« r.f.d.[22] » qui donne la forme intégrée
« théorème de l'impulsion »[25] est hors programme de physique de P.C.S.I.[26].
Notion d’intégrale 1re du mouvement associée à une forme locale de la dynamique[modifier | modifier le wikicode]
......Si on écrit la forme intégrée entre un instant initial
et un instant
quelconque, on obtient une équation différentielle du 1er ordre en la position du point
appelée « intégrale 1re du mouvement du point
» ;
......ainsi l'intégrale 1re du mouvement du point
associée à la forme locale « théorème de la puissance cinétique » n'est rien d'autre que l'application du « théorème de l'énergie cinétique » entre un instant initial
et un instant
quelconque …
Théorème de l’énergie cinétique, énoncé, démonstration à partir du théorème de la puissance cinétique[modifier | modifier le wikicode]
Recherche de la forme intégrée associée à la forme locale « théorème de la puissance cinétique »[modifier | modifier le wikicode]
......Partant du théorème de la puissance cinétique appliqué au point matériel
à l'instant
dans un référentiel galiléen
,
- on multiplie de part et d'autre par
d’où
ou
qui s’écrit encore, en reconnaissant la définition du travail élémentaire de force dans chaque terme entre accolades du membre de gauche,
puis
- on intègre sur
d'où
ou encore, l’intégrale d’une somme étant égale à la somme des intégrales
soit enfin, en reconnaissant la définition du travail de force sur une intervalle de durée finie dans chaque terme de la somme du membre de gauche,
;
......ainsi, sous forme intégrée, les « causes de variation de l'énergie cinétique d'un point sur l'intervalle
[27] » sont les « travaux développés par les forces appliquées à ce point sur le même intervalle », ceci étant applicable en dynamiques newtonienne et relativiste.
Théorème de l'énergie cinétique sous forme élémentaire[modifier | modifier le wikicode]
Début d’un théorème
Théorème de l'énergie cinétique sous forme élémentaire
Fin du théorème
......Remarque : Le théorème de l'énergie cinétique sous forme élémentaire est considéré comme une forme intégrée associée à la forme locale « théorème de la puissance cinétique » bien qu'il n'y ait pas de phase d'intégration car la variation élémentaire de l'énergie cinétique évaluée à partir de l'instant
est sa variation sur l'intervalle de temps
et que le travail élémentaire d'une force appliquée est aussi son travail sur le même intervalle de temps.
Théorème de l'énergie cinétique sur un intervalle de durée finie[modifier | modifier le wikicode]
Début d’un théorème
Théorème de l'énergie cinétique sous un intervalle de durée finie
......Dans un référentiel galiléen

, la variation de l'énergie cinétique d’un point matériel

sur l'intervalle
![{\displaystyle \;\left[t_{1}\,,\,t_{2}\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/157e0bca5e6eb1e1ef402f0eda3ff392ad014b76)
est égale à la somme des travaux des forces appliquées au point

sur ce même intervalle
![{\displaystyle \;\left[t_{1}\,,\,t_{2}\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/157e0bca5e6eb1e1ef402f0eda3ff392ad014b76)
soit
où
;
......ce théorème[28] est applicable en dynamique newtonienne et relativiste, la variation de l'énergie cinétique du point
sur l'intervalle
dans
s'évaluant par différence d'énergie cinétique
aux instants extrêmes et dans le même référentiel[17] avec, pour expression à considérer, l'une des deux définitions équivalentes suivantes
- en dynamique newtonienne
et
- en dynamique relativiste
où
est le facteur de Lorentz[5] de
à l'instant
dans
.
Fin du théorème
Démonstration du théorème de l’énergie cinétique à partir du théorème de la puissance cinétique[modifier | modifier le wikicode]
......Pour démontrer le théorème de l'énergie cinétique il suffit de partir du théorème de la puissance cinétique (qui est applicable en dynamiques newtonienne et relativiste) à savoir
puis de multiplier chaque membre de ce théorème par
ce qui permet d'obtenir le théorème de l'énergie cinétique sous forme élémentaire
puis
......d'intégrer chaque membre sur l'intervalle
pour obtenir le théorème de l'énergie cinétique sur un intervalle de durée finie
(revoir le paragraphe « recherche de la forme intégrée associée à la forme locale “théorème de la puissance cinétique” » plus haut dans ce chapitre).
Conditions d’utilisation du théorème de l’énergie cinétique[modifier | modifier le wikicode]
......Pour appliquer le théorème de l’énergie cinétique, il faut bien sûr que le référentiel soit galiléen puis,
......après avoir défini le système (c'est-à-dire le point matériel étudié) et précisé les forces appliquées sur un schéma,
......on indique nettement l’état initial ainsi que l’état final d’application du théorème de l’énergie cinétique ;
......on doit penser au théorème de l’énergie cinétique quand on cherche des liens entre vitesses et positions sans référence aux dates …
Intégrale 1re du mouvement correspondant au théorème de l’énergie cinétique appliqué entre un instant fixé et un instant quelconque[modifier | modifier le wikicode]
......Si le théorème de l'énergie cinétique est appliqué à un point matériel
dans un référentiel galiléen
entre un « état initial d'instant
» et un « état final d'instant
quelconque », on obtient une « équation différentielle du 1er ordre en
»[29] appelée « intégrale 1re du mouvement du point »[30],[31] ;
- en dynamique newtonienne elle peut s'écrire
où
et
- en dynamique relativiste
où
est le facteur de Lorentz[5] de l'état initial dans lequel
et
celui de l'état quelconque, intégrale 1re du mouvement du point qui peut encore s'écrire, après simplification
.
......Remarque : Dans le cadre de la dynamique relativiste on utilise le plus souvent la 2ème définition équivalente de l'énergie cinétique du point et l'intégrale 1re du mouvement du point peut s'écrire
avec
ou, après simplification évidente,
.
En complément, « forme intégrée » associée à la forme locale « r.f.d. »[modifier | modifier le wikicode]
Recherche de la forme intégrée associée à la forme locale « r.f.d. »[modifier | modifier le wikicode]
......Partant de la r.f.d.[22] appliquée dans un référentiel galiléen
au point matériel
à l'instant
sous la forme valide en dynamiques newtonienne et relativiste
,
- on multiplie de part et d'autre par
d’où
ou
dans laquelle chaque terme entre accolades du membre de gauche
définit une grandeur élémentaire de force
appelée impulsion élémentaire de force et notée
[32] voir paragraphe « impulsion élémentaire de force exercée par un système sur un point matériel » plus loin dans ce chapitre
,
puis
- on intègre sur
d'où
ou encore, l’intégrale d’une somme étant égale à la somme des intégrales
dans laquelle chaque terme de la somme discrète du membre de gauche à savoir
définit une grandeur de force sur l'intervalle de temps
appelée impulsion de force sur cet intervalle de temps
et notée
voir paragraphe « impulsion de force exercée par un système sur un point matériel pendant une durée finie » plus loin dans ce chapitre
, permettant de réécrire la relation selon
;
......ainsi, sous forme intégrée, les « causes de variation du vecteur quantité de mouvement d'un point sur l'intervalle
[33] » sont les « impulsions développées par les forces appliquées à ce point sur le même intervalle[34] », ceci étant applicable en dynamiques newtonienne et relativiste.
Impulsion élémentaire de force exercée par un système sur un point matériel[modifier | modifier le wikicode]
......L'impulsion élémentaire de la force
[35] que le système
exerce sur le point
pendant la durée élémentaire
à partir de l'instant
est notée usuellement
[32] et est définie selon
,
l'unité d'impulsion étant le
ou encore le
[36].
......Propriété : Si la force
est de norme finie, son impulsion élémentaire
quand
d'où la propriété suivante
......Propriété : « à l'ordre 0 en
, les impulsions élémentaires des forces de norme finie sont nulles »[37].
Impulsion de force exercée par un système sur un point matériel pendant une durée finie[modifier | modifier le wikicode]
......L'impulsion de la force
[35] que le système
exerce sur le point
pendant la durée de l'intervalle de temps
est notée usuellement
ou, avec
et
les positions de
aux instants respectifs
et
sur sa trajectoire
, notée
et est définie selon
[38]
ou
[39],[40]
.
......Propriété : Si la force
reste de norme finie sur l'intervalle
[la force pouvant y être continue ou discontinue de 1re espèce[41]], son impulsion sur cet intervalle
est également de norme finie[42].
Modélisation d’une force de collision et conséquence sur son impulsion élémentaire[modifier | modifier le wikicode]
......Lorsqu'un point
subit une collision à un instant
avec un support solide
, on dit que
exerce sur
une force « de collision »
s'identifiant à
- une force « nulle hors durée
de la collision » (durée toujours très courte[43]) et
- une force « de direction fixée et de norme très grande pendant la très courte durée
de la collision » ;
......la grandeur utile[44] ici étant « l'impulsion de la force de collision
[45] que
exerce sur
pendant la durée de la collision » définie selon
et notée plus simplement
[46] avec
égale à l'aire de la surface sous le pic du graphe de
en fonction de
;
......la durée
étant très petite simultanément à la norme de
très grande pendant la collision et compte-tenu de la signification géométrique de
, on peut modéliser la force réelle de collision
en utilisant le pic de Dirac [47] d'impulsion unité centré à l'instant
à savoir
[48] conduisant à la modélisation de la force de collision en
avec
,
......à partir de laquelle et en utilisant la propriété du pic de Dirac [47] d'impulsion unité
[49],[48] on vérifie aisément que
ce qui est en accord avec la signification de
.
......Conclusion : une force de collision étant modélisée en utilisant un pic de Dirac[47] d'impulsion unité, est discontinue de 2ème espèce[50],[51],
......Conclusion : son impulsion[52] sur n'importe quel intervalle de temps englobant l'instant de collision est une constante
, c'est aussi son impulsion sur la durée élémentaire
de collision[53], « valeur non nulle à l'ordre 0 en l'infiniment petit
» ;
......Conclusion : contrairement aux forces hors collision (continues ou discontinues de 1re espèce) dont les impulsions élémentaires sont nulles à l'ordre 0 en l'infiniment petit de durée élémentaire, les forces de collisions (discontinues de 2ème espèce[50],[51] en l'instant de collision) sont les seules forces dont l'impulsion sur la durée élémentaire (de collision)[53] est non nulle à l'ordre 0 en cette durée élémentaire.
Énoncé des théorèmes de l'impulsion (ou r.f.d. sous forme intégrée)[modifier | modifier le wikicode]
Début d’un théorème
Théorème de l'impulsion sous forme élémentaire
Fin du théorème
......Remarque : Le théorème de l'impulsion sous forme élémentaire est considéré comme une forme intégrée associée à la forme locale « r.f.d.[22] » bien qu'il n'y ait pas de phase d'intégration car la variation élémentaire de la quantité de mouvement évaluée à partir de l'instant
est sa variation sur l'intervalle de temps
et que l'impulsion élémentaire d'une force appliquée[54] est aussi son impulsion sur le même intervalle de temps.
Application en absence de forces de collision et conséquence[modifier | modifier le wikicode]
......En absence de forces de collision, toutes les forces appliquées à l'instant
au point
sont continues ou discontinues de 1re espèce et leurs impulsions élémentaires sont toutes nulles à l'ordre 0 en la durée élémentaire
considérée à partir de l'instant
, c'est-à-dire
à l'ordre 0 en
et par application du théorème de l'impulsion sous forme élémentaire on en déduit
à l'ordre 0 en
soit encore
à l'ordre 0 en
c'est-à-dire finalement
la continuité de la quantité de mouvement
en tout instant hors collision[56]
ainsi que la continuité de la vitesse
en tout instant hors collision[57].
Application en présence d'une force de collision et conséquence[modifier | modifier le wikicode]
......En présence d'une force de collision
discontinue de 2ème espèce à l'instant
[50],[51] et dont l'impulsion sur la durée élémentaire
de collision est
non nulle à l'ordre 0 en la durée élémentaire
et, sachant que les autres forces appliquées à l'instant
au point
étant continues ou discontinues de 1re espèce en cet instant, leurs impulsions élémentaires sont toutes nulles à l'ordre 0 en la durée élémentaire
considérée à partir de l'instant
, on en déduit que la somme des impulsions élémentaires de toutes les forces appliquées y compris la force de collision[54] est égale à
non nulle à l'ordre 0 en
, soit
à l'ordre 0 en
et par application du théorème de l'impulsion sous forme élémentaire on en tire
à l'ordre 0 en
soit encore
à l'ordre 0 en
c'est-à-dire finalement
une discontinuité de la quantité de mouvement
à l'instant de collision[58]
plus précisément
ainsi que la discontinuité de 1re espèce de la vitesse
à l'instant de collision[59].
Début d’un théorème
Théorème de l'impulsion sur une durée finie
......Dans un référentiel galiléen

, la variation de quantité de mouvement d’un point matériel

sur l'intervalle
![{\displaystyle \;\left[t_{1}\,,\,t_{2}\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/157e0bca5e6eb1e1ef402f0eda3ff392ad014b76)
est égale à la somme des impulsions des forces appliquées au point

sur ce même intervalle
![{\displaystyle \;\left[t_{1}\,,\,t_{2}\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/157e0bca5e6eb1e1ef402f0eda3ff392ad014b76)
soit
où
;
......ce théorème[55] est applicable en dynamique newtonienne et relativiste, la variation de la quantité de mouvement du point
sur l'intervalle
dans
s'évaluant par différence de sa quantité de mouvement
aux instants extrêmes et dans le même référentiel avec, pour expression à considérer, la définition suivante
- en dynamique newtonienne
et
- en dynamique relativiste
avec
le facteur de Lorentz[5] de
à l'instant
dans
.
Fin du théorème
Discontinuité de la puissance d'une force de collision[modifier | modifier le wikicode]
......Ayant modélisé la force de collision que
exerce sur
à l'instant
de collision selon
c'est-à-dire une force discontinue de 2ème espèce à l'instant
[50] et
......ayant établi, par application du théorème de l'impulsion sous forme élémentaire au point
, la discontinuité de 1re espèce de la quantité de mouvement de
à l'instant
et par suite celle de la vitesse de
au même instant
,
......on définit la puissance de la force de collision par
qui s'écrit encore, en supposant que la direction et le sens de la force de collision est identique à la direction et le sens du mouvement du point,
et
......on en déduit la discontinuité de 2ème espèce de la puissance de la force de collision[50] comme produit d'un facteur discontinu de 2ème espèce[50] et d'un facteur discontinu de 1re espèce.
- ↑ On parle de « réserve de mouvement inertiel » pour le vecteur quantité de mouvement car cette grandeur dépend non seulement du mouvement mais aussi de l'inertie contrairement au vecteur vitesse qui pourrait être interprété comme « réserve de mouvement », la « réserve de mouvement inertiel » étant en direction, sens et intensité car il s'agit d'une grandeur vectorielle.
- ↑ 2,0 et 2,1 On ajoute le qualificatif « inerte » ou « d'inertie » à cette grandeur « masse » pour la distinguer d'une autre grandeur également appelée « masse » mais qui caractérise le point dans ses propriétés d'attraction gravitationnelle et pour laquelle on ajoute alors le qualificatif « grave » ou « de gravitation » ;
...bien que la « masse grave » et la « masse inerte » caractérisent des propriétés différentes d'un point, elles ont (à l'heure actuelle) des mesures identiques à
près (on a en effet vérifié à
près le fait que l'accélération de chute libre dans un champ de pesanteur uniforme est indépendant de la nature de l'objet, ceci entraînant que le rapport « masse grave » sur « masse inerte » est une constante pour tous les objets à
près, il est alors possible, par choix d'unités, de choisir cette constante égale à 1 et d'identifier les deux masses) ;
...des mesures plus poussées sont prévues [lancement en avril
du satellite français « Microscope » (acronyme de Micro-satellite à traînée compensée pour l'observation du principe d'équivalence) pour une mission financée et pilotée par le CNES] dans le but de confirmer ou d'infirmer l'identité des mesures à
près [en décembre
de premiers résultats intermédiaires suggèrent une identité des mesures à au moins
près
;
...l'identité des masses « grave » et « inerte », connue sous le nom de « principe d'équivalence » est un des piliers de la théorie de la Relativité Générale énoncée par Albert Einstein en
[Albert Einstein (1879 - 1955), physicien théoricien d'origine allemande, devenu apatride en
puis suisse en
; on lui doit la théorie de la relativité restreinte publiée en 1905, la relativité générale en
ainsi que bien d'autres avancées dans le domaine de la mécanique quantique et la cosmologie ; il a reçu le prix Nobel de physique en
pour son explication de l'effet photoélectrique
- ↑ 3,0 3,1 3,2 3,3 et 3,4 La définition dans le cadre de la cinétique relativiste n'est pas explicitement au programme de physique de PCSI, toutefois cette notion apparaissant dans le paragraphe « approche documentaire, analyse de documents scientifiques montrant les limites relativistes avec utilisation des formules relativistes de l'énergie cinétique et de la quantité de mouvement : microscopie électronique » du chap.
de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) », il semble utile la connaître.
- ↑ 4,0 et 4,1 Dans le paragraphe « Applications actuelles » du chap. 16 de la leçon « Signaux physiques (PCSI) » on a introduit la notion d'énergie de masse
d'un point matériel
ainsi que celle d'énergie totale de ce point matériel
dans le paragraphe « microscopie électronique » du même chapitre de la même leçon, on en déduit
- le lien entre l'énergie totale et la vitesse du point matériel
à savoir
soit finalement
ainsi que
- le lien entre l'énergie totale et la quantité de mouvement de
à savoir
d'où
;
...dans les deux approches on constate que la substitution de l'énergie cinétique
du point matériel
par son énergie totale
simplifie leur relation avec la vitesse
ou la quantité de mouvement
[de plus ce n'est pas qu'un simple artifice mathématique mais aussi une réalité physique dans la mesure où de la masse (par son énergie de masse) peut être transformée en énergie cinétique et inversement].
- ↑ 5,0 5,1 5,2 5,3 5,4 5,5 5,6 5,7 5,8 et 5,9 Hendrik Antoon Lorentz (1853 - 1928) physicien néerlandais principalement connu pour ses travaux sur l'électromagnétisme, il a laissé son nom aux « transformations dites de Lorentz » [en fait les équations définitives des transformations de Lorentz ont été formulées en
par Henri Poincaré après avoir été introduites sous forme tâtonnante par quelques physiciens dont Hendrik Lorentz dès
pour ce dernier], transformations utilisées dans la théorie de la relativité restreinte élaborée par Albert Einstein en
;
...Hendrik Lorentz partagea, en
, le prix Nobel de physique avec Pieter Zeeman (1865 - 1943) physicien néerlandais pour leurs recherches sur l'influence du magnétisme sur les phénomènes radiatifs [Pieter Zeeman ayant découvert l'effet qui porte son nom en
.
...Henri Poincaré (1854 - 1912) mathématicien, physicien, philosophe et ingénieur français à qui on doit des résultats d'importance en calcul infinitésimal, des avancées sur le problème à trois corps qui font de lui un des fondateurs de l'étude qualitative des systèmes d'équations différentielles et de la théorie du chaos, une participation active à la théorie de la relativité restreinte ainsi qu'à la théorie des systèmes dynamiques …
...Albert Einstein (1879 - 1955), physicien théoricien d'origine allemande, devenu apatride en
puis suisse en
; on lui doit la théorie de la relativité restreinte publiée en
, la relativité générale en
ainsi que bien d'autres avancées dans le domaine de la mécanique quantique et la cosmologie ; il a reçu le prix Nobel de physique en
pour son explication de l'effet photoélectrique.
- ↑ 6,0 et 6,1 Valeur maximale indépassable de la vitesse de tout point matériel par rapport à n'importe quel référentiel d'étude (dans le cadre de la cinématique relativiste).
- ↑ 7,0 et 7,1 On parle encore de « réserve de mouvement inertiel » pour l'énergie cinétique car cette grandeur dépend non seulement du mouvement mais aussi de l'inertie contrairement au carré scalaire du vecteur vitesse qui pourrait être interprété comme « réserve de mouvement », la « réserve de mouvement inertiel » étant uniquement en intensité car il s'agit d'une grandeur scalaire.
- ↑ 8,0 et 8,1 Bien sûr ce n'est pas la seule « réserve de mouvement inertiel en intensité » possible à introduire [on aurait par exemple aussi
mais c'est celle qui aura une utilisation importante dans la suite de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) ».
- ↑ Développement Limité.
- ↑ On choisit l'ordre 2 car l'ordre 1 ne permettrait que de retrouver la forme newtonienne de l'énergie cinétique à partir de sa forme relativiste alors que le but recherché est de déterminer la différence entre les deux pour écrire à quelle condition cette différence est inférieure à
de l'énergie cinétique …
- ↑ Choisi comme infiniment petit d'ordre 1.
- ↑ Voir le paragraphe « D.L. d'ordre 2 de quelques fonctions usuelles au voisinage de zéro » du chap. 14 de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » où l'on trouve le D.L. à l'ordre 2 de
plus exactement ici
soit
.
- ↑ On cherche le D.L. d'un quotient dont le numérateur
est un infiniment petit d'ordre 2 et dont le D.L. à l'ordre 2 du dénominateur
a pour terme prépondérant un ordre 1, ou ce qui est équivalent après simplification haut et bas par un infiniment petit d'ordre 1 commun
,
...on cherche le D.L. d'un quotient dont le nouveau numérateur
est un infiniment petit d'ordre 1 et dont le D.L. à l'ordre 1 du nouveau dénominateur
a pour terme prépondérant un ordre 0 ;
...or nous avons vu dans le paragraphe « déterminer le D.L. à l'ordre n d'un quotient dont le numérateur est un infiniment petit d'ordre p < n » du chap. 14 de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » la propriété suivante « pour déterminer le D.L. à l'ordre 1 d'un quotient dont le numérateur est un infiniment petit d'ordre 1, il suffit de prendre le D.L. du dénominateur à l'ordre 0 » et comme le dénominateur ici est
, de prendre
.
- ↑ 14,0 et 14,1 La condition pour utiliser une forme newtonienne de l'énergie cinétique est donc plus contraignante que celle pour une forme newtonienne de vecteur quantité de mouvement qui est
[revoir le paragraphe « Définition du vecteur quantité de mouvement du point matériel dans le cadre de la cinétique relativiste (établissement de la condition de vitesse pour que la cinétique newtonienne soit applicable) » du chap. 7 de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) »].
- ↑ On parle de « réserve de mouvement inertiel » pour une grandeur dépendant non seulement du mouvement mais aussi de l'inertie, la « réserve de mouvement inertiel » étant en direction, sens et intensité car il s'agit d'une grandeur vectorielle.
- ↑ Voir le paragraphe « Définition du vecteur quantité de mouvement du point matériel dans le cadre de la cinétique relativiste » du chap. 7 de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) ».
- ↑ 17,0 17,1 17,2 17,3 et 17,4 Ces expressions de puissance cinétique doivent être retrouvées à partir de celles de l'énergie cinétique lesquelles sont à retenir.
- ↑ 18,0 et 18,1 On rappelle l'expression newtonienne du vecteur quantité de mouvement du point
à l'instant
, «
».
- ↑ 19,0 et 19,1 On rappelle l'expression relativiste du vecteur quantité de mouvement du point
à l'instant
, «
».
- ↑ De
on déduit
[c'est d'ailleurs
« énergie totale du point matériel » définie comme la somme de son énergie cinétique
et de son énergie de masse
.
- ↑ C'est la généralisation (admise) de la forme symbolique du principe fondamental de la dynamique (p.f.d.) vue dans le paragraphe « commentaires sur le p.f.d. » du chapitre
de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) ».
- ↑ 22,0 22,1 22,2 22,3 22,4 22,5 22,6 22,7 22,8 et 22,9 Relation Fondamentale de la Dynamique.
- ↑ C’est un théorème car il se démontre à partir de la r.f.d. (relation fondamentale de la dynamique) laquelle est une loi incluse dans le p.f.d. (principe fondamental de la dynamique).
- ↑ On pourra aussi remplacer cette expression par « forme intégrale de la dynamique ».
- ↑ Ou encore plus simplement « r.f.d. sous forme intégrée ».
- ↑ Mais qui sera néanmoins exposée en complément plus loin dans ce chapitre.
- ↑ C.-à-d. les grandeurs qui créent la variation d'énergie cinétique
.
- ↑ 28,0 et 28,1 C’est un théorème car il se démontre à partir du théorème de la puissance cinétique.
- ↑ Toujours non linéaire car l’énergie cinétique est une forme « non linéaire de
».
- ↑ Revoir le paragraphe « notion d'intégrale 1re du mouvement associée à une forme locale de la dynamique » plus haut dans ce chapitre.
- ↑ Cette intégrale première du mouvement du point
étant non linéaire est rarement simple à intégrer, son utilisation n'a donc pas pour raison première d'être intégrée…
...d'ailleurs on l'écrit le plus souvent sans remplacer
par
.
- ↑ 32,0 et 32,1 La notation historique
(comme celle du travail élémentaire
est en fait incorrecte au regard de l'utilisation habituelle du symbole
précédant une grandeur
définie à chaque instant) dont la signification est « petite variation de la grandeur » c'est-à-dire
, or ici il n'y a pas de grandeur instantanée
...il serait préférable de noter cette impulsion élémentaire
mais on ne le fera jamais pour des raisons historiques …
- ↑ C.-à-d. les grandeurs qui créent la variation de quantité de mouvement
.
- ↑ Voir le paragraphe « Impulsion de force exercée par un système sur un point matériel pendant une durée finie » plus loin dans ce chapitre.
- ↑ 35,0 et 35,1 Appellation usuelle pour vecteur force
résultant d'un abus …
- ↑ C.-à-d. l'unité de quantité de mouvement.
- ↑ On peut ajouter que si les forces sont de norme finie non nulle leur impulsion élémentaire est d'ordre 1 en
.
- ↑ En absence d'ambiguïté, l'impulsion de la force
sera simplement noté
sans rappeler les bornes de l'intervalle de temps.
- ↑ Voir la notion d'intégrale curviligne introduite dans le paragraphe « les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue » du chapitre
de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » ainsi que la méthode de calcul d'une telle intégrale dans le paragraphe « méthode de calcul d'une intégrale curviligne sur une portion de courbe continue » du même chapitre de la même leçon.
- ↑ En absence d'ambiguïté, l'impulsion de la force
sera simplement noté
sans rappeler la courbe suivie ni les bornes de la portion de courbe.
- ↑ Voir le paragraphe « exemples d'échelon dans d'autres domaines que l'électricité » du chapitre
de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
- ↑ Qui peut néanmoins être nulle.
- ↑ C.-à-d. une durée d'échelle mésoscopique [revoir le paragraphe « échelles macroscopique, mésoscopique et microscopique de temps » du chapitre
de la leçon « Signaux physiques (PCSI) »].
- ↑ C.-à-d. ayant une signification physique.
- ↑
étant le vecteur unitaire de la direction fixe de la force de collision choisi dans le sens de celle-ci pendant la durée de la collision ;
...
étant donc la norme de la force de collision pendant la durée de la collision.
- ↑ En effet l'impulsion de la force de collision