Leçons de niveau 14

Mécanique 1 (PCSI)/Approche énergétique du mouvement d'un point matériel : Barrière d'énergie potentielle

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Approche énergétique du mouvement d'un point matériel : Barrière d'énergie potentielle
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Chapitre no 20
Leçon : Mécanique 1 (PCSI)
Chap. préc. :Approche énergétique du mouvement d'un point matériel : Petits mouvements au voisinage d'un équilibre stable
Chap. suiv. :Mouvement de particules chargées dans des champs électrique et magnétique : Force de Lorentz
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Les notions de ce chapitre sont introduites dans le cadre de la dynamique newtonienne.

Sommaire

Exemple de profil d’énergie potentielle présentant une « barrière », profil correspondant au lancer de l'obus de Jules Verne (J.V.) en direction de la Lune[modifier | modifier le wikicode]

Lancer de l'obus de Jules Verne en direction de la Lune[modifier | modifier le wikicode]

......Jules Verne [1] avait imaginé, dans son roman « De la Terre à la Lune » publié en 1865, la possibilité d'atteindre la Lune à l'aide d'un obus, c'est-à-dire d'un objet auquel on communique une vitesse initiale par explosion de poudre dans un canon fixé sur Terre et dont l'axe est vertical ;

......si la vitesse initiale reste faible, l'obus monte mais atteint un point d'altitude maximale avant de redescendre ;

......il s'agit donc de montrer qu'il existe une « vitesse initiale à partir de laquelle l'obus sort de l'attraction terrestre pour rentrer dans le domaine de l'attraction lunaire » [2].

Résultante des forces de gravitations terrestre et lunaire s'exerçant sur un obus lancé à partir d'un point A de la surface terrestre et en mouvement vertical ascendant vers le point B de la surface lunaire tels que les points A et B soient sur le segment joignant les centres de la Terre et de la Lune[modifier | modifier le wikicode]

......Considérant un canon placé en un point de la surface terrestre et dont le tube [3], d'axe vertical, pointe vers un point de la surface lunaire et

......supposant, de façon à simplifier l'exposé, que la droite passe par le centre de la Terre et celui de la Lune, l'ensemble étant imaginé fixe dans le référentiel terrestre galiléen [4],

......nous notons le vecteur de base cartésienne de la verticale ascendante au point de la surface terrestre [5] et la distance séparant les centres de la Terre et de la Lune.

......L'obus à envoyer vers la Lune étant supposé ponctuel de masse , est soumis à deux forces de champ [6], [7] :

  • la force de gravitation terrestre [8] ou encore avec le champ de gravitation terrestre en la position de l'obus et
  • la force de gravitation lunaire [9] ou encore avec le champ de gravitation lunaire en la position de l'obus ;

......la résultante des forces de gravitation s'exerçant sur l'obus est donc , résultante conservative, chaque composante l'étant ;

......cette résultante se réécrit avec champ de gravitation global [10] en la position de l'obus.

Définition de la position de l'obus en état d'« apesanteur » sur la trajectoire AB[modifier | modifier le wikicode]

......Définition de la notion d'« apesanteur » : on a un état d'« apesanteur » en une position où la résultante des champs de gravitation est nulle [en cette position les champs de gravitation (au moins au nombre de deux) se compensent] ;

......Définition de la notion d'« apesanteur » : à distinguer de la notion d'« impesanteur » correspondant à l'absence pratique de champ de gravitation [l'« impesanteur » existe dans toute une région (et non uniquement en une position comme c'est le cas de l'« apesanteur ») dans laquelle le champ de gravitation (en général unique) peut être considéré comme nul].

......Recherche de la position de l'obus en état d'« apesanteur » sur la trajectoire AB : la position de satisfaisant à l'équation conduit à l'équation en suivante ou, par règle du « produit des extrêmes et des moyens » [11], soit [12] ou, numériquement, [13] l'équation approchée soit finalement

[14] ;

......Recherche de la position de l'obus en état d'« apesanteur » sur la trajectoire AB : numériquement, avec [15] et [15], on trouve soit finalement

[15], [16] ;

......Recherche de la position de l'obus en état d'« apesanteur » sur la trajectoire AB : numériquement, avec [15], la distance séparant et (c'est-à-dire séparant les surfaces terrestre et lunaire) valant [15], on en déduit

la distance séparant la position de l'obus en état d'apesanteur sur la trajectoire AB et la surface lunaire
[15], [17] ou,
exprimée en rayon lunaire, .

Tracé du profil d'énergie potentielle de l'obus de J.V. lancé verticalement dans le(s) champ(s) de force de gravitation(s) terrestre (et lunaire), définition de la « barrière » d’énergie potentielle au point de lancement[modifier | modifier le wikicode]

Nous considérons l'obus de J.V. dans les champs de gravitations terrestre et lunaire [7] sans tenir compte du champ de gravitation solaire [6].

Expression de l'énergie potentielle de l'obus de J.V. en fonction de l'altitude terrestre avec référence au niveau du sol de la Terre[modifier | modifier le wikicode]

......L'énergie potentielle de gravitations terrestre et lunaire de l'obus de J.V. se détermine par ou, en projetant sur l'équation de définition soit, après intégration, [18], dépendant de la référence de l'énergie potentielle choisie au niveau du sol terrestre d'où et par suite une 1ère expression d'énergie potentielle de gravitations terrestre et lunaire de l'obus de J.V.

avec référence au niveau su sol terrestre, ou,

......en regroupant les termes relatifs à la Terre et ceux relatifs à la Lune puis en les simplifiant,

  • ainsi que
  • ,

......une 2ème expression d'énergie potentielle de gravitations terrestre et lunaire de l'obus de J.V.

[19] avec référence au niveau du sol terrestre.

Tracé du profil d'énergie potentielle de l'obus de J.V.[modifier | modifier le wikicode]

Tracé de la courbe d'énergie potentielle de gravitations terrestre et lunaire de l'obus de Jules Verne en fonction de son altitude mesurée par rapport au sol terrestre choisi comme référence d'énergie potentielle, l'obus ayant une masse de 1 t

......La composante sur de la résultante des forces de gravitation s'exerçant sur l'obus de J.V. étant d’abord négative, son énergie potentielle avec l'altitude (en bleu sur le tracé ci-contre) et ceci jusqu'à la position d'apesanteur d'altitude correspondant à la résultante des forces de gravitation nulle et donc à une position de stationnarité de l'énergie potentielle puis

......la composante sur de la résultante des forces de gravitation s’exerçant sur l’obus de J.V. étant devenue positive, son énergie potentielle quand l'altitude continue de (en rouge sur le tracé ci-contre) et ceci jusqu'à l'arrivée sur le sol lunaire ;

......le tracé ci-contre est fait avec les valeurs , , [20] et , les autres valeurs déjà été fournies sont rappelées ci-après [15], [15] et [15], ces valeurs ayant permis de déterminer [15], [16] ainsi que la distance séparant la position d'apesanteur de l'obus de la surface lunaire [15], [17] ou, exprimée en rayon lunaire, .

......On constate que la position d'apesanteur correspondant à un maximum d'énergie potentielle est une position d'équilibre instable, un petit écart vers la Terre entraîne une retombée sur celle-ci alors qu'un petit écart vers la Lune contribue à une chute vers cette dernière.

Définition de la « barrière d'énergie potentielle au point de lancement »[modifier | modifier le wikicode]

......Un canon situé au point de la surface terrestre communique à l'obus de J.V. un vecteur vitesse initial vertical ascendant avec et par suite une énergie mécanique initiale [21] ;

......en négligeant les forces de frottement fluide de l'atmosphère [22] cette énergie mécanique est conservée [23] ;

......or le profil énergétique de l'obus présentant une « bosse » [24] d’énergie potentielle de gravitations terrestre et lunaire, il y a risque que l'énergie mécanique initiale ne soit pas suffisamment grande pour empêcher l'existence d'un mur d'énergie potentielle interdisant à l'obus d’atteindre la Lune [25].



......Dans le cas présent, la position ayant pour altitude , la « barrière d’énergie potentielle au point de lancement » [26] est définie, compte-tenu du choix de la référence de l'énergie potentielle au point de lancement, par avec l'énergie potentielle en un point quelconque [19] ainsi que la position de l'obus en état d'apesanteur sur la trajectoire AB [14]

[27],

......soit, avec les valeurs numériques fournies ou rappelées ci-après «[15], [15], , , , la masse de l'obus étant choisie à pour être complet on rappelle le rayon de la Lune [15], la distance [15], la distance séparant sur la trajectoire AB et la surface lunaire [15], [17] ou, exprimée en rayon lunaire, », dont on déduit , et , d'où arrondi à

soit,

......en injectant les dernières valeurs numériques, c'est-à-dire finalement

[28].

......Remarque : dans l'hypothèse où l'obus de J.V. puisse parvenir sur la Lune et en supposant que les explorateurs lunaires embarqués dans l'obus puissent construire un canon utilisable pour leur retour, on définit alors une nouvelle « barrière d'énergie potentielle au nouveau point de lancement de la surface lunaire » [26] par

avec

......Remarque : dont on déduit , et d'où et par suite soit

[29].

Énergie minimale nécessaire au franchissement de la « bosse d'énergie potentielle »[modifier | modifier le wikicode]

......L'énergie mécanique de l'obus de J.V. lancé à partir du point de la surface terrestre étant conservée dans l'hypothèse où on néglige les forces de frottement fluide de l'atmosphère terrestre, ce dernier pourra atteindre la Lune s'il a l'« énergie mécanique suffisante pour franchir la bosse d'énergie potentielle » [30], [31], c'est-à-dire s'il possède encore de l'énergie cinétique en la position de la « bosse » [32] soit la nécessité de fournir initialement à l'obus l'énergie mécanique égale à l'énergie mécanique en la position avec , ce qui se traduit par avec avec ou encore avec et finalement

c'est-à-dire que
l'énergie cinétique initiale doit être plus grande que la « barrière d'énergie potentielle au point de lancement » [31] ;

......dans le cadre de la cinétique newtonienne la condition d'énergie cinétique initiale se réécrit ou soit numériquement et finalement [33] (non réalisable avec un canon à poudre car la plus grande vitesse obtenue dans le passé à la « bouche » du canon [34] a été [35], de plus l'accélération de l'obus de J.V. à l'intérieur du tube du canon serait nettement supérieure à l'accélération maximale que peut supporter un être humain estimée à « une dizaine de g » [36], [37] et par suite les « astronautes en herbe » seraient morts avant que l'obus ne sorte du canon).

......Remarque : Dans l'hypothèse où les explorateurs lunaires de J.V. aient eu à leur disposition un canon permettant le lancement de l'obus les contenant tout en leur assurant la survie au lancement, et qu'ils aient pu construire, à leur arrivée sur la Lune, un canon pour leur retour, la « barrière d'énergie potentielle au point de lancement de la surface lunaire » pour le trajet retour étant « fois moins haute », la vitesse initiale de lancement à partir de la Lune aurait été nettement moindre :

......Remarque : en effet la conservation de l'énergie mécanique de l'obus entre le point de lancement de la surface lunaire et la position de la bosse de l'énergie potentielle (conservation rigoureuse compte-tenu de l'absence de toute atmosphère lunaire) à savoir avec , se réécrit avec avec ou encore avec et finalement

c'est-à-dire que
l'énergie cinétique initiale doit être plus grande que la « barrière d'énergie potentielle au point de lancement » ;

......Remarque : dans le cadre de la cinétique newtonienne la condition d'énergie cinétique initiale se réécrit ou soit numériquement et finalement [38] (encore non réalisable avec un canon à poudre, la plus grande vitesse obtenue dans le passé à la « bouche » d'un canon [34] sur Terre ayant été [35], de plus l'accélération de l'obus de J.V. à l'intérieur du tube du canon serait, là encore, nettement supérieure à l'accélération maximale que peut supporter un être humain estimée, sur la Lune, à « une soixantaine de g(☽) » [39], [40], [37] et par suite les « apprentis explorateurs lunaires » seraient morts avant que l'obus ne sorte du canon [41]).

Autres exemples de « barrière » d'énergie potentielle[modifier | modifier le wikicode]

Lancer d'un proton en direction d'un autre proton « immobile »[modifier | modifier le wikicode]

......Le proton immobile est choisi comme origine du repérage du proton mobile de masse et de charge  ;

......initialement est lancé avec un vecteur vitesse de direction passant par et de sens vers à partir d'une position située à la distance de  ;

......on choisit l'axe issu de et se dirigeant vers , le proton ayant donc, dans un 1er temps, un mouvement rectiligne suivant dans le sens de .

......Bilan de forces exercées sur le proton P mobile : le proton est soumis à

  • une force électrostatique répulsive de la part du proton situé en , [42] correspondant au vecteur champ électrostatique créé par le proton immobile en la position du proton mobile , mais aussi à
  • une force d'« interaction nucléaire forte (résiduelle) » [43] de la part du proton situé en , dans lequel représente l'intensité de l'« interaction nucléaire forte résiduelle » entre protons soit [44] ;

......Bilan de forces exercées sur le proton P mobile : les deux forces étant conservatives [45], la résultante « dérive » d'une énergie potentielle dont

  • le 1er terme électrostatique est « en prenant la référence à l'infini » [46] et
  • le 2ème terme d'« interaction nucléaire forte résiduelle » «[47] avec référence à l'infini ».
Allure du diagramme d'énergie potentielle d'une collision élastique « proton mobile P sur proton immobile O » tenant compte de l'interaction électrostatique (en traits pleins rouges), de l'interaction nucléaire forte résiduelle (allure en tiretés bleus) et des deux (allure en traits pleins verts)

......Ci-contre le tracé du profil d’énergie potentielle électrostatique en rouge et, en superposition,

......Ci-contre l’allure du profil d’énergie potentielle nucléaire forte résiduelle en tiretés bleus (la valeur numérique du minimum n’est pas connue avec précision car aucun système à deux protons nucléairement stable n’a été observé [48]),

......Ci-contre en ajoutant les deux on obtient l'allure du profil d’énergie potentielle totale (voir allure en traits pleins verts ci-contre, la valeur numérique du minimum n’est pas connue avec précision étant donné que celle du minimum de l'énergie potentielle nucléaire forte résiduelle ne l'est pas) ;

......on constate que le profil d’énergie potentielle totale (traits pleins verts ci-contre)

  • s'identifie à celui de l’énergie potentielle électrostatique pour ,
  • passe par un minimum aux alentours de
  • pour remonter fortement simultanément à la de ,
  • pour terminer avec une asymptote parallèle à l'axe des énergies potentielles aux alentours de

......Il existe une 1ère « barrière d’énergie potentielle (au point de lancement situé à l'infini) » quand la force électrostatique répulsive est compensée par la force d’interaction nucléaire forte résiduelle attractive « aux alentours de » [49] mais cette « barrière » n’est pas très élevée « de l’ordre du » puis

......Il existe une 2ème « barrière d’énergie potentielle (au point de lancement situé à l'infini) » de valeur infinie quand la force d’interaction nucléaire forte résiduelle est devenue « de type collision » répulsive « aux alentours de » ;

......la différence entre la 1ère et la 2ème « barrière » est que le proton peut « franchir la bosse d'énergie potentielle » correspondant à la 1ère « barrière » si son énergie mécanique initiale est suffisante c'est-à-dire
......la différence entre la 1ère et la 2ème «~barrière~» alors que la 2ème « barrière » de hauteur infinie correspondant à la position d'un « mur d’énergie potentielle » rend cette « limite approchée de infranchissable » [50] quelle que soit l'énergie mécanique initiale du proton projectile …

Porteur de charge mobile dans la « jonction d'une diode »[modifier | modifier le wikicode]

Description d'une « diode à jonction »[modifier | modifier le wikicode]

......Une « diode à jonction » est constituée d'un monocristal semi-conducteur (le plus souvent du [51] dopé de type [52] d'un côté et de type [53] de l'autre ;

......l'interface de ces deux régions et constitue « la jonction » de très faible épaisseur de l'ordre de .

Porteurs de charge mobiles dans une « diode à jonction » hors branchement[modifier | modifier le wikicode]

......Les porteurs de charge mobiles sont :

  • des trous , présents dans la zone [la zone étant neutre, il y a donc aussi des anions (ions de charge négative) fixes en densité volumique égale à celle des trous] et absents dans la zone ,
  • des électrons de conduction , présents dans la zone [la zone étant neutre, il y a donc aussi des cations (ions de charge positive) fixes en densité volumique égale à celle des électrons de conduction] et absents dans la zone  ;
Schéma de la jonction P - N d'une diode hors branchement avec mise en évidence d'une tension de seuil théorique UD

......hors branchement de la diode, il y a diffusion de trous de la zone vers la zone simultanément à une diffusion d'électrons de conduction de la zone vers la zone , on observe ainsi l'annihilation de ces porteurs dans la jonction ;

......il s'en suit qu'il y a, dans la jonction (voir schéma ci-contre) :

  • du côté , un excédent de charges fixes (qui n'est plus compensé par la présence de trous) et
  • du côté , un excédent de charges fixes (qui n'est plus compensé par la présence d'électrons de conduction) d'où
l'existence d'un champ électrique dans la jonction dirigé de vers et
d'une tension électrique [54] ;

......cette tension stoppe la diffusion des trous vers la zone et des électrons de conduction vers la zone car, avec le choix de la référence des potentiels du côté de la jonction,

  • dans la zone , l'énergie mécanique des trous est (uniquement l'énergie cinétique puisque l'énergie potentielle électrique y est nulle par choix de sa référence au même endroit que celle du potentiel [55]), ceux-ci rencontrent alors une bosse d'énergie potentielle de hauteur [56] jouant le rôle de mur d'énergie potentielle pour les trous ayant une énergie cinétique dans la zone telle que et par suite la diffusion des trous vers la zone devient quasi impossible,
  • dans la zone , l'énergie mécanique des électrons de conduction est (énergie cinétique et énergie potentielle électrique [55]), ceux-ci rencontrent alors un niveau d'énergie potentielle de hauteur nulle [57] jouant le rôle de mur d'énergie potentielle pour les électrons de conduction ayant une énergie cinétique dans la zone telle que et par suite la diffusion des électrons de conduction vers la zone devient quasi impossible.

Barrières d'énergie potentielle des trous de la zone P et des électrons de conduction de la zone N dans une diode à jonction hors branchement[modifier | modifier le wikicode]

......Barrière d'énergie potentielle d'un trou de la zone P d'une diode à jonction hors branchement : On appelle « barrière d’énergie potentielle d'un trou de la zone », « la différence d’énergie potentielle entre sa valeur la plus élevée située dans la zone et la valeur de sa zone de départ » soit

 ;

......Barrière d'énergie potentielle d'un trou de la zone P d'une diode à jonction hors branchement : pour qu'un trou initialement présent dans la zone migre vers la zone , il faut que son énergie cinétique d'agitation thermique dans la zone soit plus grande que la barrière d'énergie potentielle le séparant de la zone c'est-à-dire , ce qui n'est pas réalisé à température ordinaire d'où l'absence de migration de trou de la zone vers la zone dans une diode à jonction hors branchement.

......Barrière d'énergie potentielle d'un électron de conduction de la zone N d'une diode à jonction hors branchement : On appelle « barrière d’énergie potentielle d'un électron de conduction de la zone », « la différence d’énergie potentielle entre sa valeur la plus élevée située dans la zone et la valeur de sa zone de départ » soit

 ;

......Barrière d'énergie potentielle d'un électron de conduction de la zone N d'une diode à jonction hors branchement : pour qu'un électron de conduction initialement présent dans la zone migre vers la zone , il faut que son énergie cinétique d'agitation thermique dans la zone soit plus grande que la barrière d'énergie potentielle le séparant de la zone c'est-à-dire , ce qui n'est pas réalisé à température ordinaire d'où l'absence de migration d'électron de conduction de la zone vers la zone dans une diode à jonction hors branchement.

Largeur de la jonction d'une diode hors branchement[modifier | modifier le wikicode]

......La largeur de la jonction d'une diode hors branchement est déterminée par l’énergie cinétique « maximale » d'agitation thermique des porteurs de charge mobiles [58] dans les zones dopées, à savoir

  • celle des trous dans la zone , tant que leur « énergie cinétique maximale » [58] est à la barrière d'énergie potentielle d'un trou dans cette zone , cette largeur étant alors insuffisante pour empêcher la diffusion vers la zone et
  • celle des électrons de conduction dans la zone , tant que leur « énergie cinétique maximale » [58] est à la barrière d'énergie potentielle d'un électron de conduction dans cette zone , cette largeur étant alors insuffisante pour empêcher la diffusion vers la zone ,

......la poursuite simultanée de la diffusion des trous vers la zone et des électrons de conduction vers la zone (simulée sur les deux diagrammes d'énergie potentielle représentées ci-dessous, la référence de l'énergie potentielle des trous ou des électrons de conduction étant choisie du côté entraînant
......la poursuite de l'annihilation des trous dans la zone et celle des électrons de conduction dans la zone et par suite
......une de la largeur de la jonction la de la tension de seuil théorique [59] et simultanément la des barrières d'énergie potentielle des trous de la zone et des électrons de conduction de la zone ,
......ceci jusqu'à ce que l’« énergie cinétique maximale » [58] des trous de la zone soit et celle des électrons de conduction de la zone soit , ceci correspondant approximativement à .

Allure du diagramme d'énergie potentielle des trous p dans une diode à jonction hors branchement et évolution de la largeur d de la jonction jusqu'à ce que leur énergie cinétique maximale [58] soit égale à leur barrière d'énergie potentielle eUD dans la zone P
Allure du diagramme d'énergie potentielle des électrons de conduction n dans une diode à jonction hors branchement et évolution de la largeur d de la jonction jusqu'à ce que leur énergie cinétique maximale [58] soit égale à leur barrière d'énergie potentielle eUD dans la zone N

Évolution des barrières d'énergie potentielle lors de la polarisation de la diode[modifier | modifier le wikicode]

......Dans un circuit, la polarisation de la diode à jonction peut être :

  • soit directe si on impose que l'extrémité soit à un potentiel plus élevé que son extrémité , correspondant à ,
  • soit inverse si on impose que l'extrémité soit à un potentiel moins élevé que son extrémité , correspondant à .
Évolution des barrières d'énergie potentielle lors de la polarisation directe de la diode[modifier | modifier le wikicode]
Schéma de la jonction P - N d'une diode en polarisation directe telle que la tension UPN soit supérieure à la tension de seuil théorique UD, migration entretenue des trous p de P vers N et des électrons de conduction n de N vers P

......Dans le cas de la polarisation directe de la diode à jonction, il existe, dans toute la diode, un champ électrique dirigé de vers , ce qui crée plus particulièrement dans la jonction, un champ électrique total de même sens que si la tension est suffisante, c'est-à-dire si est la longueur totale de la diode et la largeur de la jonction [60] ;

......si [60], ce champ électrique total dans la jonction étant de même sens que [et de sens contraire à (voir schéma ci-contre), permet la migration entretenue

  • des trous de la zone vers la zone et
  • des électrons de conduction de la zone vers la zone ,

............par « suppression » de la barrière d’énergie potentielle des trous de la zone [61] (voir, ci-dessous à gauche, l'allure du diagramme d'énergie potentielle des trous initialement présents à l'extrémité gauche de la zone et de celle des électrons de conduction de la zone [62] (voir, ci-dessous à droite, l'allure du diagramme d'énergie potentielle des électrons de conduction initialement présents à l'extrémité droite de la zone , ces deux diagrammes correspondant à , , et ,

............cette migration entretenue correspondant à un courant dans la diode de vers  ;

Allure du diagramme d'énergie potentielle des trous p d'une diode à jonction en polarisation directe telle que le champ électrique total dans la jonction soit de même sens que le champ électrique imposé de l'extérieur, absence de barrière d'énergie potentielle des trous à l'extrémité P de la diode [61]
Allure du diagramme d'énergie potentielle des électrons de conduction n d'une diode à jonction en polarisation directe telle que le champ électrique total dans la jonction soit de même sens que le champ électrique imposé de l'extérieur, absence de barrière d'énergie potentielle des électrons de conduction à l'extrémité N de la diode [62]

......si [60], [63], ce champ électrique total dans la jonction étant maintenant de sens contraire à [donc de même sens que [64], de norme , a un effet ralentisseur dans la jonction sur les porteurs de charge mobiles, après que le champ électrique imposé de l'extérieur hors jonction ait créé un effet accélérateur, on constate que si la tension reste supérieure à une tension « de seuil pratique » assimilée, pour simplifier, à la tension « de seuil théorique » , l'effet accélérateur prédominant permet la migration entretenue

  • des trous de la zone vers la zone et
  • des électrons de conduction de la zone vers la zone ,

............par le maintien de la « suppression » de la barrière d’énergie potentielle des trous de la zone [61] (voir, ci-dessous à gauche, l'allure du diagramme d'énergie potentielle des trous initialement présents à l'extrémité gauche de la zone et de celle des électrons de conduction de la zone [62] (voir, ci-dessous à droite, l'allure du diagramme d'énergie potentielle des électrons de conduction initialement présents à l'extrémité droite de la zone , ces deux diagrammes correspondant à , , et ,

............cette migration entretenue correspondant encore à un courant dans la diode de vers  ;

Allure du diagramme d'énergie potentielle des trous p d'une diode à jonction en polarisation directe telle que le champ électrique total dans la jonction soit de sens contraire au champ électrique imposé de l'extérieur, avec absence de barrière d'énergie potentielle des trous à l'extrémité P de la diode [61]
Allure du diagramme d'énergie potentielle des électrons de conduction n d'une diode à jonction en polarisation directe telle que le champ électrique total dans la jonction soit de sens contraire au champ électrique imposé de l'extérieur, avec absence de barrière d'énergie potentielle des électrons de conduction à l'extrémité N de la diode [62]
Schéma de la jonction P - N d'une diode en polarisation directe telle que la tension UPN soit inférieure à la tension de seuil théorique UD, migration très réduite des trous p de P vers N et des électrons de conduction n de N vers P

......si [63], ce champ électrique total dans la jonction de sens contraire à [donc de même sens que (voir schéma ci-contre) de norme , a un effet ralentisseur dans la jonction sur les porteurs de charge mobiles, après que le champ électrique imposé de l'extérieur hors jonction ait créé un effet accélérateur, on constate que si la tension reste inférieure à la tension « de seuil pratique » assimilée, pour simplifier, à la tension « de seuil théorique » , l'effet ralentisseur prédominant, réduit, de façon plus ou moins significative, la migration spontanée des porteurs de charge mobiles à savoir

  • celle des trous de la zone vers la zone en pourcentage de migration spontanée d'autant plus faible que l'est et
  • celle des électrons de conduction de la zone vers la zone en pourcentage de migration spontanée d'autant plus faible que l'est,

............par « création mais sous forme réduite » de la barrière d’énergie potentielle des trous de la zone [65] (voir, ci-dessous à gauche, l'allure du diagramme d'énergie potentielle des trous initialement présents à l'extrémité gauche de la zone et de celle des électrons de conduction de la zone [66] (voir, ci-dessous à droite, l'allure du diagramme d'énergie potentielle des électrons de conduction initialement présents à l'extrémité droite de la zone , ces deux diagrammes correspondant à , , et ,

............cette migration très réduite correspondant à un courant très faible dans la diode de vers .

Allure du diagramme d'énergie potentielle des trous p d'une diode à jonction en polarisation directe telle que le champ électrique total dans la jonction soit de sens contraire au champ électrique imposé de l'extérieur, avec présence d'une faible barrière d'énergie potentielle des trous à l'extrémité P de la diode [65]
Allure du diagramme d'énergie potentielle des électrons de conduction n d'une diode à jonction en polarisation directe telle que le champ électrique total dans la jonction soit de sens contraire au champ électrique imposé de l'extérieur, avec présence d'une faible barrière d'énergie potentielle des électrons de conduction à l'extrémité N de la diode [66]
Évolution des barrières d'énergie potentielle lors de la polarisation inverse de la diode[modifier | modifier le wikicode]
Schéma de la jonction P - N d'une diode en polarisation inverse, aucune migration des trous p et des électrons de conduction n à travers la diode

......Dans le cas d'une polarisation inverse de la diode à jonction, il existe, dans toute la diode, un champ électrique dirigé de vers en accord avec , ce qui crée plus particulièrement dans la jonction, un champ électrique total de même sens que et et de norme  ;

......quelle que soit la tension (de valeur absolue non trop élevée pour ne pas détruire irréversiblement la jonction de la diode [67]), le champ électrique total dans la jonction empêche toute reprise de migration spontanée

  • des trous de vers et
  • des électrons de conduction de vers

............par « relèvement » de la barrière d’énergie potentielle des trous de la zone [68] (voir, ci-dessous à gauche, l'allure du diagramme d'énergie potentielle des trous initialement présents à l'extrémité gauche de la zone et de celle des électrons de conduction de l'extrémité droite de la zone [69], (voir, ci-dessous à droite, l'allure du diagramme d'énergie potentielle des électrons de conduction initialement présents à l'extrémité droite de la zone , ces deux diagrammes correspondant à , , et ,

............cette absence de migration correspondant à une absence de courant dans la diode de vers .

Allure du diagramme d'énergie potentielle des trous p d'une diode à jonction en polarisation inverse, présence d'une forte barrière d'énergie potentielle des trous à l'extrémité P de la diode rendant tout courant de trous pratiquement impossible [68]
Allure du diagramme d'énergie potentielle des électrons de conduction n d'une diode à jonction en polarisation inverse, présence d'une forte barrière d'énergie potentielle des électrons de conduction à l'extrémité N de la diode rendant tout courant d'électrons de conduction pratiquement impossible [69]

Pendule pesant simple à un degré de liberté lancé dans les conditions « 1b »[modifier | modifier le wikicode]

......A déjà été traité au paragraphe « condition(s) pour que le mouvement du P.P.S.N.A. (à un degré de libreté) soit révolutif » du chapitre de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » sans introduire la notion de « barrière d'énergie potentielle en la position de lancement repérée par l'abscisse angulaire » [on rappelle les conditions de lancement « on écarte le P.P.S.N.A. de de sa position d'équilibre stable et on le lâche avec une vitesse angulaire »].

......Le profil d’énergie potentielle présente effectivement des « bosses » d'énergie potentielle aux abscisses angulaires , correspondant aux positions d'équilibre instable, la « barrière (commune) d'énergie potentielle en la position de lancement repérée par l'abscisse angulaire » étant

soit finalement
.

......On en déduit qu'il est nécessaire que l'énergie cinétique initiale de lancement du P.P.S.N.A. en la position repérée par l'abscisse angulaire soit à la barrière d'énergie potentielle correspondante pour que son mouvement soit « révolutif » soit

ou encore
telle que .

En complément, effet tunnel ou la possibilité quantique pour une particule de « traverser » la « barrière » d'énergie potentielle sans avoir l'énergie « classique » suffisante[modifier | modifier le wikicode]

Présentation de l'effet tunnel en mécanique quantique[modifier | modifier le wikicode]

......L'« effet tunnel » désigne la possibilité que possède un objet quantique de « franchir une bosse d'énergie potentielle » [70] même si son énergie cinétique initiale [70] étant inférieure à la hauteur de la « barrière d'énergie potentielle en la position initiale » [71] ne permet pas de franchir la « bosse » au sens de la mécanique classique ; c’est donc un effet purement quantique [72], ne pouvant pas s'expliquer par la mécanique classique.

......La fonction d'onde d'une particule « à un degré de liberté » [73] se dirigeant vers la « bosse d'énergie potentielle » avec une énergie mécanique initiale insuffisante pour la franchir au sens de la mécanique classique,

  • d'une part ne s'annule pas sur le « mur d'entrée de la bosse d'énergie potentielle de la mécanique classique » [74] et
  • d'autre part s'atténue quand la pénétration à l'« intérieur de la bosse d’énergie potentielle » augmente, atténuation pratiquement exponentielle pour une « bosse » assez large ;

......si, sur le « mur de sortie de la bosse d'énergie potentielle de la mécanique classique » [74], la particule possède une « densité linéique de probabilité de présence non nulle » [75], elle peut traverser cette « bosse » avec une probabilité de présence non nulle au-delà [76], ce qui se traduit par l'effet tunnel.

Applications de l'effet tunnel[modifier | modifier le wikicode]

......Les applications de l'effet tunnel sont nombreuses, par exemple :

Diodes « à effet tunnel »[modifier | modifier le wikicode]

......Ce sont des diodes à jonction à dopage important fois plus d'impuretés que dans une diode à jonction usuelle), ce qui a pour conséquence une jonction très étroite (de largeur de l'ordre du entraînant la possibilité d'effet tunnel à travers la jonction pour des trous ou des électrons de conduction qui n'auraient pas l'énergie cinétique suffisante au sens classique ;

......l'étude des jonctions avec semi-conducteurs fortement dopés a été menée par Leo Esaki [77] en et lui valut de partager une moitié de prix Nobel de physique avec Ivar Giaever [78] en [79], l'autre moitié étant décernée à Brian David Josephson [80].

  • En absence de polarisation de la diode « à effet tunnel » (c'est-à-dire hors branchement) la bande de valence du côté [53] où sont les trous [81] est au même niveau d’énergie que la bande de conduction du côté [52] où sont les électrons de conduction [82],
    ......si un trou peut traverser la jonction [83] par effet tunnel de vers et un électron de conduction peut également traverser la jonction [83] en sens inverse, ces derniers n'étant pas renouvelés par circuit extérieur, le courant reste globalement d'intensité nulle ;
Tracés simultanés de la caractéristique statique courant tension d'une diode « à effet tunnel » (en rouge) avec celle d'une diode à jonction usuelle (en tiretés)
  • en polarisation directe à faible tension externe, la traversée des trous à travers la jonction par effet tunnel de vers et des électrons de conduction également par effet tunnel dans le sens inverse est rendue possible car les trous et les électrons de conduction sont renouvelés par circuit extérieur, on observe un courant d'intensité proportionnelle à la tension et ceci jusqu'à une valeur d'intensité correspondant à une tension  ;
  • en polarisation directe à partir de la tension , les niveaux énergétiques les plus bas de la bande de valence du côté étant remplis (disparition des trous à ce niveau), il ne subsiste, en regard de la bande de conduction du côté , que les niveaux énergétiques les plus élevés, ainsi le nombre de transferts possibles par effet tunnel des trous dans un sens et des électrons de conduction dans l'autre diminue entraînant la diminution de l'intensité du courant au fur et à mesure que la tension augmente et ceci jusqu'à une valeur de tension (partie de la caractéristique statique courant tension de la diode « à effet tunnel » représentée ci-contre, à résistance dynamique négative [84]) ;
  • en polarisation directe à partir de la tension , les niveaux énergétique de la bande de valence du côté étant quasiment remplis (pratiquement plus de trous), le transfert par effet tunnel ne peut plus se produire et on retrouve la conduction normale d'une diode à jonction classique ;
  • en polarisation inverse, des électrons de la bande de valence de la zone étant au même niveau d’énergie que des sites vides de la bande de conduction de la zone [85], ils peuvent être transférés par effet tunnel à travers la jonction (rappelons que celle-ci, hors branchement, correspond à une bosse d'énergie potentielle dont la hauteur s'accroissant en polarisation inverse empêche tout transfert dans une diode à jonction usuelle mais dont la largeur très faible dans une diode « à effet tunnel » autorise un transfert possible par effet tunnel), ce transfert d'électrons de valence de la zone vers la zone est modélisé par les électroniciens par un transfert de trous de la zone N vers la zone P, les électrons de valence de cette dernière restant en place, le départ de trous de la bande de conduction de la zone [85] vers la zone correspondant à un transfert d'électrons (de conduction) de la zone P vers la zone N, ces transferts étant rendus possibles car les départs de trous de la zone et d'électrons de la zone sont compensés par des arrivées utilisant le circuit extérieur ;
    ......ainsi la diode « à effet tunnel » est-elle « passante en polarisation inverse » (à condition toutefois que la tension en inverse reste modérée en valeur absolue [86]) contrairement à ce qu'on observe dans une diode à jonction usuelle polarisée en inverse.

Modélisation de désintégrations spontanées comme la « radioactivité α » ou la « fission spontanée »[modifier | modifier le wikicode]

Radioactivité α[modifier | modifier le wikicode]

......Supposant la particule [87] formée dans le noyau « radioactif α » avec une certaine énergie quantifiée [88] telle que sa plus grande valeur d'énergie soit inférieure à celle de la « bosse d’énergie potentielle la retenant dans le noyau » (même allure de profil d'énergie potentielle que celle du paragraphe « lancer d'un proton en direction d'un autre proton immobile (courbe verte) » représentée plus haut dans ce chapitre, mais à bosse d'énergie potentielle beaucoup plus prononcée) ce qui assure au noyau une certaine stabilité au sens classique [89] pendant la durée d'existence de la particule dans le noyau mais

......la « bosse d’énergie potentielle retenant la particule dans le noyau » étant de faible largeur (de l'ordre du [90]), la particule α peut être spontanément éjectée par effet tunnel pour un niveau d’énergie fixé si elle l'est avant que cet état ne disparaisse dans le noyau [théorie développée en premier par Gueorgui Antonovitch Gamow [91] puis, indépendamment, par Edward Uhler Condon [92] et Ronald Wilfred Gurney [93] .

......Remarque : on peut définir une « barrière d’énergie potentielle retenant la particule dans le noyau quand celle-ci y est retenue avec son niveau fondamental d'énergie (correspondant à  », avec l'énergie de la « bosse d'énergie potentielle retenant la particule dans le noyau », par

 ;

......Remarque : définissant l'énergie d'excitation de la particule dans le noyau quand celle-ci y est retenue avec une énergie par [94], on remarque que étant toujours à la particule ne peut pas être spontanément éjectée selon la mécanique classique, mais que, dans le cadre de la mécanique quantique, une éjection par effet tunnel est envisageable …

Fission spontanée[modifier | modifier le wikicode]

......La fission spontanée [95] est une forme de désintégration nucléaire caractéristique des isotopes très lourds il a été recensé isotopes spontanément fissiles [95] en , la condition nécessaire (mais non suffisante) de possibilité de fission spontanée [95] pour l'isotope [96] étant [97] dans laquelle le noyau spontanément fissile [95] se divise, sans apport extérieur d'énergie, en au moins deux fragments plus légers avec émission de neutrons.

......La description de la fission spontanée [95] d'un isotope spontanément fissile [95] se fait à l'aide d'un « effet tunnel à travers la bosse d'énergie potentielle limitant l'isotope et empêchant toute fission spontanée [95] au sens de la mécanique classique » …

Mémoire MRAM (Magnetic Random Access Memory)[modifier | modifier le wikicode]

......La mémoire MRAM (Magnetic Random Access Memory) est une mémoire vive [98] non volatile [99] de type magnétique, en développement depuis les années mais non commercialisée à grande échelle, notamment à cause de la concurrence des mémoires flash [100] et DRAM (Dynamic Random Access Memory)[101].

......Chaque cellule de la MRAM est constituée de deux couches ferromagnétiques séparées par une fine couche isolante (large de 1 à , la 1ère couche étant un aimant permanent dont la polarité est fixée et la 2nde ayant une polarité qui peut être modifiée et qui permet ainsi le stockage de données ; l'ensemble de la cellule utilise le phénomène de magnétorésistance à effet tunnel :

  • pour écrire sur celle-ci on induit un champ magnétique sur la couche supérieure pour fixer la polarité, ce qui impose alors une magnétorésistance à effet tunnel entre les deux couches et
  • pour la lire on mesure la résistance électrique de la cellule (le passage du courant dans la jonction de la cellule se fait par effet tunnel, l'intensité du courant étant plus intense quand les polarités des couches sont parallèles et plus faible quand elles sont antiparallèles) ;

......quand la mémorisation informatique par MRAM sera suffisamment développée, elle devrait supplanter toute autre mémorisation vive par sa rapidité, son débit, sa capacité et sa non volatilité …

Explication du « retournement de la molécule NH3 par rapport au plan des hydrogènes »[modifier | modifier le wikicode]

Représentation de Cram [102] de l'ammoniac avec positionnement du doublet non liant

......La forme de la molécule d’ammoniac est « pyramidal », étant au sommet d’une pyramide « aplatie » et les trois aux sommets de la base équilatérale, mais

......il existe deux positions d’équilibre de situées à égale distance du plan formé par les trois  ;

......on peut modéliser l’énergie potentielle de dans le champ créé par les trois par un puits d’énergie potentielle double [103] soit, en notant la distance algébrisée de sur la normale au plan formé par les trois , présence de deux minima d'énergie potentielle en et d’un maximum en , les deux configurations stables d’ammoniac étant donc séparées par une « bosse » d’énergie potentielle supposée rectangulaire dont la hauteur est supérieure à l'énergie de dans la molécule, le basculement d'une configuration stable à l'autre n'est pas envisageable dans le cadre de la mécanique classique mais

......ce basculement étant expérimentalement observé [succession ininterrompue de « retournements » [104] à une fréquence élevée [105]], le passage d’une configuration à l’autre ne peut s'expliquer que par effet tunnel.

Microscope « à effet tunnel »[modifier | modifier le wikicode]

......Le microscope « à effet tunnel » ou microscope STM (scanning tunneling microscopy) fait partie de la famille des microscopes à sonde locale, il utilise l'effet tunnel entre

  • une surface conductrice ou semi-conductrice à ausculter et
  • une sonde qui la balaie (scanne) horizontalement (avec possibilité de déplacement vertical), la sonde et la surface à représenter étant séparée par un isolant (en général de l'air),

......le courant traversant l'isolant par effet tunnel dépendant de la largeur de l'isolant, le fait de maintenir l'intensité constante permet de déterminer cette largeur laquelle correspond à la distance verticale séparant la sonde et la surface à ausculter ;

......on obtient ainsi une résolution spatiale pouvant être égale ou inférieure à la taille des atomes ;

......le microscope « à effet tunnel » ou microscope STM (scanning tunneling microscopy) a été inventé en par Gerd Binnig (né en 1947) physicien allemand [106] et Heinrich Rohrer (1933 - 2013) physicien suisse, colauréats d'une moitié de prix Nobel de physique pour cette invention en , l'autre moitié étant attribuée à Ernst Ruska (1906 - 1988) physicien allemand pour ses travaux fondamentaux en optique électronique et pour la conception du premier microscope électronique en transmission [107].

« Effet Josephson »[modifier | modifier le wikicode]

......L'« effet Josephson » se manifeste par l'apparition d'un courant entre deux matériaux supraconducteurs séparés par une couche faite d'un matériau

  • isolant [dans ce cas on parle de « jonction Josephson S-I-S » (supraconducteur – isolant – supraconducteur ou
  • métallique non supraconducteur [dans ce cas on parle de « jonction Josephson S-M-S » (supraconducteur – métal – supraconducteur) ] ;

......la supraconduction étant assurée par les « paires de Cooper » [108] (c'est-à-dire des paires stables d'électrons) et celles-ci n'existant pas dans un isolant ou un métal, elles ne peuvent traverser la jonction Josephson que par effet tunnel ;

......effet prédit par Brian David Josephson [80] en .

Résolution de l'équation de Schrödinger en régime stationnaire d'une particule à un degré de liberté devant une « bosse » d'énergie potentielle rectangulaire, l'énergie mécanique d'entrée de la particule étant inférieure à la hauteur de la « barrière »[modifier | modifier le wikicode]

Expression des deux formes d'équation de Schrödinger en régime stationnaire d'une particule à un degré de liberté hors et à l'intérieur d'une « bosse » d'énergie potentielle rectangulaire[modifier | modifier le wikicode]

......Supposant une particule quantique de masse à un degré de liberté c'est-à-dire dont la composante spatiale de la fonction d’onde ne dépend que d’un paramètre de position noté représentant l’abscisse de sur un axe , nous cherchons la composante spatiale de la fonction d’onde de cette particule dans un état stationnaire d'énergie [109], [110] quand on place la particule quantique devant une « bosse » d’énergie potentielle rectangulaire

 ;

......d'après l'expression de l'équation de Schrödinger [111] indépendante du temps d'une particule quantique de masse d'un espace tridimensionnel dans un champ scalaire d'énergie potentielle introduite au paragraphe « recherche des états propres de l'opérateur linéaire hamiltonien à énergie potentielle ne dépendant pas explicitement du temps, équation de Schrödinger indépendante du temps » du chapitre de la leçon « Signaux physiques (PCSI) » s'écrivant dans laquelle est l'opérateur linéaire du 2ème ordre « laplacien » [112] dont l'expression se réduit, en repérage cartésien d'un espace à une dimension, à , on en déduit l'expression de l'équation de Schrödinger [111] indépendante du temps de la particule quantique de masse dans le champ scalaire d'énergie potentielle , d'où, les deux formes suivantes

  • hors champ scalaire d'énergie potentielle c'est-à-dire pour  : et
  • dans le champ scalaire d'énergie potentielle c'est-à-dire pour  : ...........................

Forme de la solution générale de chaque forme d'équation de Schrödinger en régime stationnaire d'une particule à un degré de liberté hors et à l'intérieur d'une « bosse » d'énergie potentielle rectangulaire quand l'énergie mécanique de la particule est inférieure à la hauteur de la « barrière » d'énergie potentielle[modifier | modifier le wikicode]

Forme de la solution générale de la forme d'équation de Schrödinger en régime stationnaire d'une particule à un degré de liberté hors « bosse » d'énergie potentielle rectangulaire[modifier | modifier le wikicode]

......Il s'agit donc de chercher la solution générale de avec , équation différentielle linéaire à cœfficients réels constants d'équation caractéristique de solutions avec d'où

la forme de la composante spatiale de la fonction d'onde ,
  • étant l’amplitude complexe de la composante progressive dans le sens des [113] (associée à la particule classique se déplaçant vers la droite) et
  • ..........................................celle de la composante progressive dans le sens des [113] (associée à la particule classique se déplaçant vers la gauche) ;

...... pour , on conserve la forme générale , la 1ère composante étant associée au mouvement initial de la particule classique et la 2ème à une éventuelle réflexion sur la « bosse » d'énergie potentielle et

...... pour , on ne conserve que la forme traduisant l'éventuelle transmission de l'onde à travers la « bosse » d'énergie potentielle [114].

Forme de la solution générale de la forme d'équation de Schrödinger en régime stationnaire d'une particule à un degré de liberté à l'intérieur de la « bosse » d'énergie potentielle rectangulaire quand l'énergie mécanique de la particule est inférieure à la hauteur de la « barrière » d'énergie potentielle[modifier | modifier le wikicode]

......Il s'agit donc de chercher la solution générale de avec , équation différentielle linéaire à cœfficients réels constants d'équation caractéristique de solutions avec d'où

la forme de la composante spatiale de la fonction d'onde ,
  • étant l’amplitude complexe de la composante « évanescente » dans le sens des [115] et
  • ..........................................celle de la composante « évanescente » dans le sens des [115].

Utilisation des C.A.L. pour relier les différentes formes de la solution générale de l'équation de Schrödinger en régime stationnaire d'une particule à un degré de liberté hors et à l'intérieur d'une « bosse » d'énergie potentielle rectangulaire quand l'énergie mécanique de la particule est inférieure à la hauteur de la « barrière » d'énergie potentielle[modifier | modifier le wikicode]

......Préliminaire : les C.A.L. [116] portant sur les éventuelles continuités ou discontinuités de la composante spatiale de la fonction d'onde ainsi que de sa dérivée par rapport à à savoir