Leçons de niveau 14

Mécanique 1 (PCSI)/Approche énergétique du mouvement d'un point matériel : Équilibre et stabilité

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Approche énergétique du mouvement d'un point matériel : Équilibre et stabilité
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Chapitre no 18
Leçon : Mécanique 1 (PCSI)
Chap. préc. :Approche énergétique du mouvement d'un point matériel : Mouvement conservatif
Chap. suiv. :Approche énergétique du mouvement d'un point matériel : Petits mouvements au voisinage d'un équilibre stable
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Mécanique 1 (PCSI)/Approche énergétique du mouvement d'un point matériel : Équilibre et stabilité
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Les notions de ce chapitre sont introduites dans le cadre de la dynamique newtonienne.

Sommaire

Définition de positions d'équilibre sur l'exemple du pendule pesant simple à un degré de liberté (P.P.S.), distinction entre « forces (ou composantes de forces) causes de modification du mouvement » et « forces (ou composantes de forces) sans influence sur une modification éventuelle du mouvement »[modifier | modifier le wikicode]

......Nous supposerons dans tout ce chapitre (sauf avis contraire), le P.P.S. constitué d'un point matériel , de masse , liée à un point fixe par l'intermédiaire d'une tige idéale [1] (et non d'un fil idéal [2]) de longueur dans le champ de pesanteur terrestre uniforme d'intensité de pesanteur [3].

Définition des positions d'équilibre du P.P.S. à un degré de liberté[modifier | modifier le wikicode]

......L'équation différentielle du P.P.S. à un degré de liberté [4], de paramètre de position , (c'est-à-dire l'abscisse angulaire de relativement à la verticale descendante choisie comme axe polaire dans le plan vertical de son mouvement) est

  • en absence de frottement fluide [5] ou,
  • s'il est amorti par résistance de fluide linéaire [3], [6] ;

......dans les deux cas, les positions d’équilibre correspondant à et conduisent à c'est-à-dire à

deux positions d'équilibre et .

Distinction entre « forces causes de modification du mouvement » (ou forces « motrices ») et « forces sans influence sur une modification éventuelle du mouvement » (ou forces « non motrices ») dans le cas du P.P.S. à un degré de liberté[modifier | modifier le wikicode]

......Un P.P.S., en absence de frottement fluide, est soumis à deux forces

  • son poids et
  • la tension de la tige ,

......sucseule la composante orthoradiale du poids est « cause de modification du mouvement » (ou force « motrice » [7]),

......sucla composante radiale du poids et la tension de la tige étant à la direction du mouvement sont « sans influence sur une modification éventuelle mouvement » [8] (ou forces « non motrices » [7]).

......Un P.P.S., en présence de frottement fluide, est soumis à trois forces

  • son poids ,
  • la résistance du fluide linéaire et
  • la tension de la tige ,

......sucla composante orthoradiale du poids et la résistance du fluide linéaire sont les deux composantes de forces « causes de modification du mouvement » (ou forces « motrices » [7]),

......sucla composante radiale du poids et la tension de la tige étant à la direction du mouvement sont « sans influence sur une modification éventuelle mouvement » [8] (ou forces « non motrices » [7]).

......Dans les deux cas, les positions d'équilibre du P.P.S. à un degré de liberté s'obtiennent en « écrivant la nullité de la résultante des forces (ou composantes de forces) causes de modification du mouvement » (c'est-à-dire en écrivant la nullité de la résultante des forces « motrices ») soit ici

......suc si le P.P.S. est N.A. ou ou encore ,

......suc si le P.P.S. est A. ou ou encore dans la mesure où pour tout équilibre,

......sucd'où, dans les deux cas, les positions d'équilibre sont repérées par et .

Généralisation de la définition de positions d'équilibre d'un P.P.S. à celles d'un point matériel « à un degré de liberté »[modifier | modifier le wikicode]

Le point matériel à un degré de liberté est repéré par un paramètre de position qui sera noté s'il est linéaire et s'il est angulaire.

Retour sur la « distinction » entre forces « motrices » et forces « non motrices »[modifier | modifier le wikicode]

......Quand on fait le bilan des forces appliquées à un point matériel , on distingue deux types de forces :

  • les « actions » [9] comme les forces à distance (forces de champ : pesanteur, gravitation ou électrostatique) ou comme certaines forces de contact résultant d'une disposition antérieure (tension d’un ressort qui nécessite d'avoir auparavant déformé le ressort), ou encore comme certaines forces de contact pour mettre en mouvement ou modifier ce dernier (force de poussée sur véhicule) et
  • les « réactions » [10] dont l'existence disparaît avec l'action et dont le rôle est de résister au mouvement que l'action tendrait à créer dans une ou plusieurs directions, ces réactions se classant en deux sous groupes :
    ...... les réactions de contact ne disparaissant pas avec l'éventuel mouvement (réaction de contact sur un solide avec ou sans frottement, tension d'un fil inélastique) et
    ...... les réactions de contact disparaissant avec l'éventuel mouvement (résultant d'un frottement fluide linéaire ou non) ;

......parmi toutes ces forces (ou composantes de forces), il est intéressant de distinguer celles qui peuvent engendrer une modification du mouvement (que je qualifie de « motrices ») de celles qui n'ont aucune influence sur une éventuelle modification de mouvement (que je qualifie de « non motrices »), les deux types de composantes de forces se classant alors selon :

  • les composantes de forces « causes de modification du mouvement » (ou simplement « motrices ») c'est-à-dire les « composantes des actions dans la direction du mouvement » [11] et les « composantes des réactions de contact dans la direction du mouvement » (comme les forces « de frottement solide » [12] ou « de frottement fluide » [13]),
  • les composantes de forces « sans influence sur une modification éventuelle de mouvement » (ou simplement « non motrices ») c'est-à-dire les « composantes des actions dans les directions au mouvement » [14] et les « composantes des réactions de contact dans les directions au mouvement » (comme la composante normale de réaction solide ou la « tension de tige ou de fil » [15]).

......Remarque : Quand on recherche les positions d’équilibre d'un point matériel dont le mouvement éventuel ne peut se faire que suivant une direction fixée, seules les composantes de forces « causes de modification du mouvement » (que j'appelle « motrices ») sont à prendre en compte et,

......Remarque : parmi les composantes de forces « motrices », seules celles ne disparaissant pas avec le mouvement sont à considérer (ainsi les frottements fluides ne sont pas à prendre en compte pour la recherche des positions d'équilibre contrairement aux frottements solides).

Limitation de l'étude aux mouvements « rectiligne ou circulaire »[modifier | modifier le wikicode]

......Préliminaire : L'étude générale de l'équilibre d'un point matériel sur une trajectoire fixée quelconque n'est pas au programme de physique de P.C.S.I. ;

......Préliminaire : dans le cas où cette étude se présenterait, il faut se ramener à une C.N. [16] d'équilibre , les composantes de forces pouvant modifier le mouvement étant alors celles au 1er vecteur unitaire tangentiel de base de Frenet [17] [18], d’où la réécriture de la C.N. [16] d'équilibre dans laquelle seules les composantes « motrices » sont à considérer (« les composantes de forces à » [19] s'adaptent alors pour que le point suive la trajectoire imposée).

......C.N. [16] d'équilibre d'un point d'abscisse x sur la droite x'x : pour un mouvement éventuel du point rectiligne suivant dont la résultante des forces « motrices » (avec l'exclusion des éventuelles forces de frottement fluide qui disparaissent avec le mouvement) s’écrit , étant l'abscisse du point sur la droite, les équilibres d'abscisse sont définis par

, c'est-à-dire les « zéros de » ;

......C.N. [16] d'équilibre d'un point d'abscisse angulaire θ sur le cercle de centre O et de rayon R : pour un mouvement éventuel du point circulaire suivant le cercle centré en et de rayon dont la résultante des forces « motrices » (avec l'exclusion des éventuelles forces de frottement fluide qui disparaissent avec le mouvement) s’écrit , étant l'abscisse angulaire du point sur le cercle, les équilibres d'abscisse angulaire sont définis par

, c'est-à-dire les « zéros de » [20].

Définition de positions d'équilibre sur l'exemple du pendule pesant simple à un degré de liberté (P.P.S.) à partir de son profil d’énergie potentielle[modifier | modifier le wikicode]

Rappel des positions d'équilibre du P.P.S. à un degré de liberté[modifier | modifier le wikicode]

......Ce sont les zéros de la composante orthoradiale de la force « motrice » [à l'exclusion de celle de l'éventuelle force de frottement fluide qui s'annule naturellement en les positions d'équilibre] [21] soit

.

Caractéristique du profil d'énergie potentielle du P.P.S. à un degré de liberté aux positions d'équilibre[modifier | modifier le wikicode]

......On constate que le profil d’énergie potentielle du P.P.S. à un degré de liberté [22] est

extrémal en les positions d'équilibre repérées par ,
plus exactement minimal en et maximal en .

Rappel du lien entre force conservative et énergie potentielle dont elle « dérive »[modifier | modifier le wikicode]

Rappel de la 2ème définition d'une force conservative et des deux définitions équivalentes de l'énergie potentielle dont « dérive » la force[modifier | modifier le wikicode]

......« Une force est conservative ssi son travail élémentaire est une différentielle exacte [23] » [24] ;

......l'énergie potentielle dont dérive la force conservative est définie par

[25] [26].

Cas d'une force conservative unidirectionnelle selon l'axe x'x[modifier | modifier le wikicode]

......Le travail élémentaire de cette force s'écrivant est une différentielle exacte [23], [27] et par suite est une force conservative ;

......l'énergie potentielle dont elle dérive obéit à soit la projection de sur  ; on détermine donc comme « primitive de », la constante d'intégration étant identifiée par définition de la référence de l'énergie potentielle …

......Remarque : en notant l'abscisse correspondant à la référence de [28], on obtient, en intégrant la relation ,

[28], [29].

Cas d'une force conservative s'appliquant tangentiellement à la trajectoire circulaire de rayon R décrite par le point subissant la force[modifier | modifier le wikicode]

......Le travail élémentaire de cette force s'écrivant [30] est une différentielle exacte [23], [27] et par suite est une force conservative ;

......l'énergie potentielle dont elle dérive obéit à soit la projection de [31] sur  ; on détermine donc comme « primitive de », la constante d'intégration étant identifiée par définition de la référence de l'énergie potentielle …

......Remarque : en notant l'abscisse angulaire correspondant à la référence de [28], on obtient, en intégrant ,

[28], [32].

Généralisation de la définition de positions d'équilibre d'un P.P.S. à partir de son diagramme d'énergie potentielle à celle de positions d'équilibre d'un point matériel à un degré de liberté, démonstration à partir de la 1ère définition[modifier | modifier le wikicode]

Cas d'une force « motrice » unidirectionnelle selon l'axe x'x[modifier | modifier le wikicode]

......Les positions d'équilibre d'abscisses étant définies comme les zéros de c'est-à-dire telles que et

......l'énergie potentielle dont dérive la force lui étant liée par , nous en déduisons que

......les positions d'équilibre d'abscisses peuvent aussi être définies par c'est-à-dire comme les « abscisses rendant l’énergie potentielle stationnaire » [33].

Cas d'une force « motrice » s'appliquant tangentiellement à la trajectoire circulaire de rayon R décrite par le point subissant la force[modifier | modifier le wikicode]

......Les positions d'équilibre d'abscisses angulaires étant définies comme les zéros de c'est-à-dire telles que et

......l'énergie potentielle dont dérive la force lui étant liée par , nous en déduisons que

......les positions d'équilibre d'abscisses angulaires peuvent aussi être définies par c'est-à-dire comme les « abscisses angulaires rendant l’énergie potentielle stationnaire » [33].

......Remarque : on pourra noter que l'exemple du P.P.S. ne nous donne pas tous les cas possibles d'équilibre relativement au profil d'énergie potentielle car n'y figurent pas la possibilité de points d’inflexion à tangente parallèle à l'axe des abscisses angulaires.

Définition de la stabilité ou de l'instabilité d'un équilibre de point matériel à un degré de liberté en terme de force, exemple du P.P.S. à un degré de liberté[modifier | modifier le wikicode]

Définition de la stabilité ou de l'instabilité d'un équilibre de point matériel à un degré de liberté en terme de force[modifier | modifier le wikicode]

......Conséquence : au voisinage d'un équilibre stable, le point est soumis à une force « motrice » de rappel (relativement à la position d'équilibre).

......Conséquence : au voisinage d'un équilibre instable, le point est soumis à une force « motrice » répulsive (relativement à la position d'équilibre).

Stabilité ou instabilité des équilibres en terme de force sur l'exemple du P.P.S. à un degré de liberté[modifier | modifier le wikicode]

......Dans l'exemple du P.P.S. à un degré de liberté, la force « motrice » est la composante orthoradiale du poids notée avec , on peut vérifier le caractère

  • « stable » des équilibres repérés par et
  • « instable » des équilibres repérés par

......de deux façons, l'une graphique permettant de vérifier rapidement si la force « motrice » est « de rappel » ou « répulsive »,
......de deux façons, l'autre algébrique correspondant à l'obtention du même résultat par calcul.

Méthode graphique de vérification de la stabilité ou de l'instabilité des équilibres du P.P.S. à un degré de liberté[modifier | modifier le wikicode]

Schéma d'un P.P.S. à un degré de liberté dans la situation d'écart ε relativement à sa position d'équilibre repérée par θéq, 1 = 0 avec tracé de la composante motrice du poids pour vérifier la stabilité de l'équilibre
Schéma d'un pendule pesant simple à un degré de liberté (avec tige rigide) dans la situation d'écart ε relativement à sa position d'équilibre repérée par θéq, 2 = π avec représentation de la composante motrice du poids pour vérifier l'instabilité de l'équilibre

......Il s'agit de faire un schéma dans lequel on met le P.P.S. à un degré de liberté dans la situation de petit écart relativement à la position d'équilibre étudiée et d'y représenter la force dont la composante est « motrice » c'est-à-dire le poids ainsi que sa projection sur la direction du mouvement ,

  • si l'action de la force est de ramener le P.P.S. à un degré de liberté vers la position d'équilibre étudiée, l'équilibre est bien « stable », c'est effectivement le cas de la position d'équilibre repérée par (voir schéma ci-contre à gauche),
  • si l'action de la force est d'éloigner le P.P.S. à un degré de liberté de la position d'équilibre étudiée, l'équilibre est bien « instable », c'est effectivement le cas de la position d'équilibre repérée par (voir schéma ci-contre à droite).

......Remarque : Usuellement on choisit un écart positif pour faire le schéma sans refaire ce dernier avec un écart négatif car le résultat observé est en général indépendant du signe,

......Remarque : toutefois si ceci est bien le cas sur le P.P.S. à un degré de liberté, ce n'est pas assuré sur tous les exemples, pour vérifier que c'est bien le cas (sans refaire un schéma, l'intérêt de cette méthode étant sa rapidité) il suffit d'imaginer la situation avec un écart négatif et de vérifier que la conclusion reste inchangée …

Méthode algébrique de détermination de la stabilité ou de l'instabilité des équilibres du P.P.S. à un degré de liberté[modifier | modifier le wikicode]

......On écarte le P.P.S. à un degré de liberté d'une petite quantité [36] de sa position d'équilibre étudiée repérée par , le P.P.S. à un degré de liberté dans cette situation étant alors repéré par , on effectue le D.L. [37] à l'ordre un en de la composante « motrice » au voisinage de [38] repérant la position d'équilibre étudiée soit :

  • étude de  : [39] à l'ordre un en caractérisant effectivement une force de rappel [40] d'où la stabilité des équilibres repérés par ,
  • étude de  : [39] à l'ordre un en caractérisant effectivement une force répulsive [41] d'où l'instabilité des équilibres repérés par .

Méthode de détermination « algébrique » de la stabilité (ou de l’instabilité) d'un équilibre de point matériel à un degré de liberté en terme de force[modifier | modifier le wikicode]

......Préliminaire : La façon la plus rapide pour déterminer la stabilité (ou l'instabilité) d'un équilibre est la méthode « graphique » dans la mesure où le sens de déplacement consécutif à l'écart initial imposé avec lâcher sans vitesse initiale se détermine usuellement par simple tracé (comme sur l'exemple du P.P.S. à un degré de liberté) …

......Préliminaire : toutefois, si la méthode « graphique » n'aboutit pas, il ne reste alors que la méthode « algébrique », laquelle, bien que plus longue, conduit toujours à une solution ;

......Préliminaire : de plus, on demande fréquemment, à la suite de la recherche des positions d’équilibres stables, d'étudier le mouvement des petites élongations autour de ces positions (ce qui constitue l'objet du chapitre suivant), dans ces conditions, la méthode « algébrique » amorçant cette dernière étude (comme ce sera vu au chapitre suivant), on constate finalement que, très souvent, la méthode « algébrique » s'avère être globalement la plus courte …

Méthode à mettre en œuvre pour déterminer algébriquement la stabilité (ou l'instabilité) d'un équilibre de point matériel en terme de force[modifier | modifier le wikicode]

......Remarque préliminaire : La méthode à mettre en œuvre pour une détermination algébrique de la stabilité (ou de l'instabilité) d'un équilibre de point matériel en terme de force étant exposée en restant dans le cadre du programme de physique de P.C.S.I. c'est-à-dire un point matériel à un degré de liberté dont la force « motrice » est

......Remarque préliminaire : unidirectionnelle selon un axe soit ou

......Remarque préliminaire : s'appliquant tangentiellement à sa trajectoire circulaire de rayon soit .

......Exposé de la méthode algébrique : On écarte le point matériel d'une petite quantité [36] de sa position d'équilibre étudiée en terme de force et repérée par (ou par , dans cette situation étant alors repéré par (ou par , puis

......Exposé de la méthode algébrique : on effectue le D.L. [37] « à l'ordre le plus bas non nul » en de la composante « motrice » [ou au voisinage de [ou de [38], [42] repérant la position d'équilibre étudiée et

......Exposé de la méthode algébrique : suivant le D.L. [37] obtenu [43], on conclut :

......Exposé de la méthode algébrique : si le D.L. [37] obtenu [43] est « de rappel » [44], l'équilibre est « stable »,

......Exposé de la méthode algébrique : si le D.L. [37] obtenu [43] est « de répulsion » [44], l'équilibre est « instable » et enfin

......Exposé de la méthode algébrique : si le D.L. [37] obtenu [43] est « de rappel d'un côté et de répulsion de l'autre » [44], l'équilibre est « globalement instable ».

Cas d'une force « motrice » unidirectionnelle selon l'axe x'x[modifier | modifier le wikicode]

......On envisage donc un petit déplacement [36] de relativement à une de ses positions d'équilibre étudiée et repérée par , dans cette situation étant alors repéré par et

......on évalue en utilisant la formule de Taylor-Young [45], [46] à un ordre suffisant pour conclure [le plus souvent et le développement est suffisant à l'ordre un], le D.L. à l'ordre donnant

[47],

......le 1er terme étant nul par condition d'équilibre est un infiniment petit de même ordre que le 1er terme non nul [48] [terme qualifié de « prépondérant »].

......Généralités : Pour qu'on puisse définir la stabilité ou l'instabilité d'un équilibre indépendamment du sens de l'écart, il faut et il suffit que le terme prépondérant du D.L. [37] de soit « impair » c'est-à-dire avec dont on tire

  • le D.L. [37] de de même signe que si est est « répulsif » et par suite l'équilibre est « instable »,
  • le D.L. [37] de de signe contraire à si est est « de rappel » et par suite l'équilibre est « stable ».

......Généralités : si le terme prépondérant du D.L. [37] de est « pair » c'est-à-dire avec , on ne peut pas définir la stabilité ou l'instabilité d'un équilibre indépendamment du sens de l'écart, en effet

......Généralités : si est , le D.L. [37] de est avec ou est « de rappel à gauche » et « répulsif à droite » d'où l'équilibre est stable à gauche et instable à droite c'est-à-dire « globalement instable » [49],

......Généralités : si est , le D.L. [37] de est avec ou est « répulsif à gauche » et « de rappel à droite » d'où l'équilibre est instable à gauche et stable à droite c'est-à-dire « globalement instable » [49].

......Résumé de l'étude : Détaillons les possibilités de terme prépondérant du D.L. [37] de à l'ordre le plus bas non nul en au voisinage de  :

......Résumé de l'étude : cas usuel  : le développement de au voisinage de est limité à l'ordre un ,

......Résumé de l'étude : succ cas usuel avec , est « de rappel » et l'équilibre est « stable »,

......Résumé de l'étude : succ cas usuel avec , est « répulsif » et l'équilibre est « instable » ;

......Résumé de l'étude : cas peu fréquent  : le développement de au voisinage de est limité à l'ordre deux ou plus :

......Résumé de l'étude : ~succ cas peu fréquent ~F'(xéq) = 0~ : avec , toujours de signe de quel que soit le signe de correspondant à un équilibre stable d'un côté et instable de l'autre donc « globalement instable »,

......Résumé de l'étude : ~succ cas peu fréquent ~F'(xéq) = 0~ : avec mais , changeant de signe simultanément avec [50] et par suite l'équilibre est soit stable soit instable, plus précisément

......Résumé de l'étude : ~succ~ cas peu fréquent ~F'(xéq) ~= 0~ : ~avec ~F(xéq) ~= 0~ avec , est « de rappel » et l'équilibre est « stable »,

......Résumé de l'étude : ~succ~ cas peu fréquent ~F'(xéq) ~= 0~ : ~avec ~F(xéq) ~= 0~ avec , est « répulsif » et l'équilibre est « instable » ;

......Résumé de l'étude : cas inexistant en pratique [51] , et  : le développement de au voisinage de est limité à l'ordre quatre ou plus, s'il est limité à l'ordre quatre on a toujours de signe de quel que soit le signe de correspondant à un équilibre « globalement instable » mais, si avec , on a correspondant à un équilibre « stable » pour et « instable » pour

Cas d'une force « motrice » s'appliquant tangentiellement à la trajectoire circulaire de rayon R décrite par le point subissant la force[modifier | modifier le wikicode]

......On envisage donc un petit déplacement [36] de relativement à une de ses positions d'équilibre étudiée et repérée par , dans cette situation étant alors repéré par et

......on évalue en utilisant la formule de Taylor-Young [45], [46] à un ordre suffisant pour conclure [le plus souvent et le développement est suffisant à l'ordre un], le D.L. à l'ordre donnant

[47],

......le 1er terme étant nul par condition d'équilibre est un infiniment petit de même ordre que le 1er terme non nul [48] [terme qualifié de « prépondérant »].

......Généralités : Pour qu'on puisse définir la stabilité ou l'instabilité d'un équilibre indépendamment du sens de l'écart, il faut et il suffit que le terme prépondérant du D.L. [37] de soit « impair » c'est-à-dire avec dont on tire

  • le D.L. [37] de de même signe que si est est « répulsif » et par suite l'équilibre est « instable »,
  • le D.L. [37] de de signe contraire à si est est « de rappel » et par suite l'équilibre est « stable ».

......Généralités : si le terme prépondérant du D.L. [37] de est « pair » c'est-à-dire avec , on ne peut pas définir la stabilité ou l'instabilité d'un équilibre indépendamment du sens de l'écart, en effet

......Généralités : si est , le D.L. [37] de est avec ou est « de rappel à gauche » et « répulsif à droite » d'où l'équilibre est stable à gauche et instable à droite c'est-à-dire « globalement instable » [49],

......Généralités : si est , le D.L. [37] de est avec ou est « répulsif à gauche » et « de rappel à droite » d'où l'équilibre est instable à gauche et stable à droite c'est-à-dire « globalement instable » [49].

......Résumé de l'étude : Détaillons les possibilités de terme prépondérant du D.L. [37] de à l'ordre le plus bas non nul en au voisinage de  :

......Résumé de l'étude : cas usuel  : le développement de au voisinage de est limité à l'ordre un ,

......Résumé de l'étude : succ cas usuel avec [52], est « de rappel » et l'équilibre est « stable »,

......Résumé de l'étude : succ cas usuel avec [53], est « répulsif » et l'équilibre est « instable » ;

......Résumé de l'étude : cas peu fréquent  : le développement de au voisinage de est limité à l'ordre deux ou plus :

......Résumé de l'étude : ~succ cas peu fréquent ~F'(θéq) = 0~ : avec , toujours de signe de quel que soit le signe de correspondant à un équilibre stable d'un côté et instable de l'autre donc « globalement instable »,

......Résumé de l'étude : ~succ cas peu fréquent ~F'(θéq) = 0~ : avec mais , changeant de signe simultanément avec [50] et par suite l'équilibre est soit stable soit instable, plus précisément

......Résumé de l'étude : ~succ~ cas peu fréquent ~F'(θéq) ~= 0~ : ~avec ~F(θéq) ~= 0 avec , est « de rappel » et l'équilibre est « stable »,

......Résumé de l'étude : ~succ~ cas peu fréquent ~F'(θéq) ~= 0~ : ~avec ~F(θéq) ~= 0 avec , est « répulsif » et l'équilibre est « instable » ;

......Résumé de l'étude : cas inexistant en pratique [51] , et  : le développement de au voisinage de est limité à l'ordre quatre ou plus, s'il est limité à l'ordre quatre on a toujours de signe de quel que soit le signe de correspondant à un équilibre « globalement instable » mais, si avec , on a correspondant à un équilibre « stable » pour et « instable » pour

Définition de la stabilité ou de l'instabilité d'un équilibre de point matériel à un degré de liberté en terme de profil d'énergie potentielle[modifier | modifier le wikicode]

......Remarque préliminaire : La définition de la stabilité (ou de l'instabilité) d'un équilibre de point matériel en terme de profil d'énergie potentielle est exposée en restant dans le cadre du programme de physique de P.C.S.I. c'est-à-dire un point matériel à un degré de liberté dont la force « motrice » conservative est

......Remarque préliminaire : unidirectionnelle selon un axe soit ou

......Remarque préliminaire : s'appliquant tangentiellement à sa trajectoire circulaire de rayon soit .

Méthode à mettre en œuvre pour déterminer algébriquement la stabilité (ou l'instabilité) d'un équilibre de point matériel en terme de profil d'énergie potentielle[modifier | modifier le wikicode]

......Le lien existant entre la force « motrice » conservative dans le cas d'une force unidirectionnelle selon agissant sur le point étudié [ou dans le cas d'une force tangentielle à la trajectoire circulaire de rayon du point étudié] et

......Le lien existant entre l'énergie potentielle dont elle dérive dans le 1er cas [ou dans le 2ème cas] étant

[54] soit,
  • dans le cas d'une force unidirectionnelle selon agissant sur le point étudié : ou
  • dans le cas d'une force tangentielle à la trajectoire circulaire de rayon du point étudié : [31] ,

......les positions d'équilibre du point ayant pour paramètres de position tels que dans le 1er cas [ou tels que dans le 2ème cas] ont aussi pour abscisses les valeurs du paramètre de position rendant l'énergie potentielle « stationnaire » [33] plus précisément

tels que dans le 1er cas ou tels que dans le 2ème cas.

......Il reste à définir les conditions de stabilité (ou d'instabilité) en terme de profil énergétique à partir de celles en terme de force.

......Rappel de la méthode mise en œuvre pour déterminer algébriquement la stabilité (ou l'instabilité) d'un équilibre de point matériel en terme de force : pour étudier « algébriquement » la stabilité ou l'instabilité d'un équilibre de point matériel à un degré de liberté, on doit faire un D.L. [37] « à l’ordre le plus bas non nul » [48] de [ou de au voisinage de [ou de et :

......Rappel l'équilibre est « stable » si la force [ou est « de rappel » c'est-à-dire si [55]

......Rappel avec [ou avec ou encore

......Rappel avec ou avec ,

......Rappel l'équilibre est « instable » si la force [ou est « répulsive » c'est-à-dire si [55]

......Rappel avec [ou avec ou encore

......Rappel avec ou avec ,

......Rappel l'équilibre est « globalement instable » si la force [ou est « de rappel d'un côté et répulsive de l'autre côté » c'est-à-dire si [55]

......Rappel avec ou avec .

......Méthode à mettre en œuvre pour déterminer algébriquement la stabilité (ou l'instabilité) d'un équilibre de point matériel en terme de profil énergétique [56] : pour étudier « algébriquement » la stabilité ou l'instabilité d'un équilibre de point matériel à un degré de liberté en terme de profil énergétique, on doit faire un D.L. [37] de [ou de « à l'ordre le plus bas non nul [48] autre que zéro » [57], [58] au voisinage de [ou de et conclure selon le résultat obtenu :

......Méthode l'équilibre est « stable » si le profil de l'énergie potentielle [ou , au voisinage de la position d'équilibre, est « un puits » [59], en effet la force « motrice » devant être « de rappel » au voisinage de la position d'équilibre, correspond à une composante de force « positive à gauche et négative à droite » c'est-à-dire encore une dérivée d'énergie potentielle par rapport au paramètre de position « négative à gauche et positive à droite » [60], rendant l'énergie potentielle « localement minimale » en la position d'équilibre étudiée,

......Méthode l'équilibre est « instable » si le profil de l'énergie potentielle [ou , au voisinage de la position d'équilibre, est « une crête » [61], en effet la force « motrice » devant être « répulsive » au voisinage de la position d'équilibre, correspond à une composante de force « négative à gauche et positive à droite » c'est-à-dire encore une dérivée d'énergie potentielle par rapport au paramètre de position « positive à gauche et négative à droite » [60], rendant l'énergie potentielle « localement maximale » en la position d'équilibre étudiée,

......Méthode l'équilibre est « globalement instable » si le profil de l'énergie potentielle [ou , au voisinage de la position d'équilibre, est « un replat dans une montée ou une descente » [62], en effet la force « motrice » devant être « de rappel d'un côté et répulsive de l'autre côté » au voisinage de la position d'équilibre, correspond à une composante de force simultanément « négative (ou positive) des deux côtés » c'est-à-dire encore une dérivée d'énergie potentielle par rapport au paramètre de position simultanément « positive (ou négative) des deux côtés » [60], rendant l'énergie potentielle « localement stationnaire avec point d'inflexion » en la position d'équilibre étudiée.

Cas d'une force « motrice » unidirectionnelle selon l'axe x'x « dérivant » d'une énergie potentielle U(x)[modifier | modifier le wikicode]

......On envisage donc un petit déplacement [36] de relativement à une de ses positions d'équilibre étudiée et repérée par , dans cette situation étant alors repéré par et

......on évalue en utilisant la formule de Taylor-Young [45], [46] à un ordre suffisant pour conclure [le plus souvent et le développement est suffisant à l'ordre deux], le D.L. à l'ordre donnant

[47],

......le 2ème terme d'ordre un étant nul car par condition d'équilibre mais le 1er terme d'ordre zéro ne l'étant pas nécessairement car ce dernier dépend du choix de la référence de l'énergie potentielle l'écart de l'énergie potentielle par rapport à sa valeur à l'équilibre est un infiniment petit de même ordre que le 1er terme non nul de [63] [terme qualifié de « prépondérant »].

......Généralités : Ayant vu la possibilité de définir la stabilité ou l'instabilité d'un équilibre indépendamment du sens de l'écart, ssi le terme prépondérant du D.L. [37] de est « impair » c'est-à-dire avec , nous en déduisons, par intégration et changement de signe, que

......Généralités : la C.N.S. [64] pour définir la stabilité ou l'instabilité d'un équilibre indépendamment du sens de l'écart est que le terme prépondérant du D.L. [37] de soit « pair » c'est-à-dire avec [65] d'où les résultats suivants, le terme prépondérant du D.L. [37] de étant toujours de même signe que ,

  • le D.L. [37] de est « minimal » en la position d'équilibre si est , l'équilibre étant alors « stable »,
  • le D.L. [37] de est « maximal » en la position d'équilibre si est , l'équilibre étant alors « instable ».

......Généralités : si le terme prépondérant du D.L. [37] de est « impair » c'est-à-dire avec , on ne peut pas définir la stabilité ou l'instabilité d'un équilibre indépendamment du sens de l'écart, en effet

......Généralités : si est , le D.L. [37] de est avec en étant stationnaire en la position d'équilibre le profil de présente « un replat dans une montée » [62] le point d'inflexion du profil énergétique en la position d'équilibre y étant stationnaire] représente, relativement aux portions du profil respectivement en deçà et au-delà de ce point d'inflexion, une crête et une cuvette correspondant respectivement à un équilibre instable à gauche et stable à droite soit un équilibre « globalement instable » [49],

......Généralités : si est , le D.L. [37] de est avec en étant stationnaire en la position d'équilibre le profil de présente « un replat dans une descente » [62] le point d'inflexion du profil énergétique en la position d'équilibre y étant stationnaire] représente, relativement aux portions du profil respectivement en deçà et au-delà de ce point d'inflexion, une cuvette et une crête correspondant respectivement à un équilibre stable à gauche et instable à droite soit un équilibre « globalement instable » [49].

......Résumé de l'étude : Détaillons les possibilités de terme prépondérant du D.L. [37] de à l'ordre le plus bas non nul en au voisinage de  :

......Résumé de l'étude : cas usuel  : le développement de au voisinage de est limité à l'ordre deux toujours de même signe que pour ,

......Résumé de l'étude : succ cas usuelavec , est « minimale » en et l'équilibre est « stable »,

......Résumé de l'étude : succ cas usuelavec , est « maximale » en et l'équilibre est « instable » ;

......Résumé de l'étude : cas peu fréquent  : le développement de au voisinage de est limité à l'ordre trois ou plus :

......Résumé de l'étude : ~succ cas peu fréquent ~UF(xéq) = 0~ : avec , changeant de signe simultanément avec correspond à un équilibre stable d'un côté et instable de l'autre donc à un équilibre « globalement instable »,

......Résumé de l'étude : ~succ cas peu fréquent ~UF(xéq) = 0~ : avec mais , toujours de même signe que pour et par suite l'équilibre est soit stable soit instable, plus précisément

......Résumé de l'étude : ~succ~ cas peu fréquent ~UF(xéq) = 0~ : ~avec ~U'F(xéq) = 0~ avec , est « minimale » en la position d'équilibre et ce dernier est « stable »,

......Résumé de l'étude : ~succ~ cas peu fréquent ~UF(xéq) = 0~ : ~avec ~U'F(xéq) = 0~ avec , est « maximale » en la position d'équilibre et ce dernier est « instable » ;

......Résumé de l'étude : cas inexistant en pratique [51] , et  : le développement de au voisinage de est limité à l'ordre cinq ou plus, s'il est limité à l'ordre cinq on a changeant de signe avec et correspondant à un équilibre « globalement instable » mais, si avec , on a correspondant à un équilibre « stable » pour et « instable » pour

Cas d'une force « motrice » s'appliquant tangentiellement à la trajectoire circulaire de rayon R décrite par le point subissant la force « dérivant » d'une énergie potentielle U(θ)[modifier | modifier le wikicode]

......On envisage donc un petit déplacement [36] de relativement à une de ses positions d'équilibre étudiée et repérée par , dans cette situation étant alors repéré par et

......on évalue en utilisant la formule de Taylor-Young [45], [46] à un ordre suffisant pour conclure [le plus souvent et le développement est suffisant à l'ordre deux], le D.L. à l'ordre donnant

[47],

......le 2ème terme d'ordre un étant nul car par condition d'équilibre mais le 1er terme d'ordre zéro ne l'étant pas nécessairement car ce dernier dépend du choix de la référence de l'énergie potentielle l'écart de l'énergie potentielle par rapport à sa valeur à l'équilibre est un infiniment petit de même ordre que le 1er terme non nul de [63] [terme qualifié de « prépondérant »].

......Généralités : Ayant vu la possibilité de définir la stabilité ou l'instabilité d'un équilibre indépendamment du sens de l'écart, ssi le terme prépondérant du D.L. [37] de est « impair » c'est-à-dire avec , nous en déduisons, par intégration, changement de signe et multiplication par , que

......Généralités : la C.N.S. [64] pour définir la stabilité ou l'instabilité d'un équilibre indépendamment du sens de l'écart est que le terme prépondérant du D.L. [37] de soit « pair » c'est-à-dire avec [66] d'où les résultats suivants, le terme prépondérant du D.L. [37] de étant toujours de même signe que ,

  • le D.L. [37] de est « minimal » en la position d'équilibre si est , l'équilibre étant alors « stable »,
  • le D.L. [37] de est « maximal » en la position d'équilibre si est , l'équilibre étant alors « instable ».

......Généralités : si le terme prépondérant du D.L. [37] de est « impair » c'est-à-dire avec , on ne peut pas définir la stabilité ou l'instabilité d'un équilibre indépendamment du sens de l'écart, en effet

......Généralités : si est , le D.L. [37] de est avec en étant stationnaire en la position d'équilibre le profil de présente « un replat dans une montée » [62] le point d'inflexion du profil énergétique en la position d'équilibre y étant stationnaire] représente, relativement aux portions du profil respectivement en deçà et au-delà de ce point d'inflexion, une crête et une cuvette correspondant respectivement à un équilibre instable à gauche et stable à droite soit un équilibre « globalement instable » [49],

......Généralités : si est , le D.L. [37] de est avec en étant stationnaire en la position d'équilibre le profil de présente « un replat dans une descente » [62] le point d'inflexion du profil énergétique en la position d'équilibre y étant stationnaire] représente, relativement aux portions du profil respectivement en deçà et au-delà de ce point d'inflexion, une cuvette et une crête correspondant respectivement à un équilibre stable à gauche et instable à droite soit un équilibre « globalement instable » [49].

......Résumé de l'étude : Détaillons les possibilités de terme prépondérant du D.L. [37] de à l'ordre le plus bas non nul en au voisinage de  :

......Résumé de l'étude : cas usuel  : le développement de au voisinage de est limité à l'ordre deux toujours de même signe que pour ,

......Résumé de l'étude : succ cas usuelavec , est « minimale » en et l'équilibre est « stable »,

......Résumé de l'étude : succ cas usuelavec , est « maximale » en et l'équilibre est « instable » ;

......Résumé de l'étude : cas peu fréquent  : le développement de au voisinage de est limité à l'ordre trois ou plus :

......Résumé de l'étude : ~succ cas peu fréquent ~UF(θéq) = 0~ : avec , changeant de signe simultanément avec correspond à un équilibre stable d'un côté et instable de l'autre donc à un équilibre « globalement instable »,

......Résumé de l'étude : ~succ cas peu fréquent ~UF(θéq) = 0~ : avec mais , toujours de même signe que pour et par suite l'équilibre est soit stable soit instable, plus précisément

......Résumé de l'étude : ~succ~ cas peu fréquent ~UF(θéq) = 0~ : ~avec ~U'F(θéq) = 0~ avec , est « minimale » en la position d'équilibre et ce dernier est « stable »,

......Résumé de l'étude : ~succ~ cas peu fréquent ~UF(θéq) = 0~ : ~avec ~U'F(θéq) = 0~ avec , est « maximale » en la position d'équilibre et ce dernier est « instable » ;

......Résumé de l'étude : cas inexistant en pratique [51] , et  : le développement de au voisinage de est limité à l'ordre cinq ou plus, s'il est limité à l'ordre cinq on a changeant de signe avec et correspondant à un équilibre « globalement instable » mais, si avec , on a correspondant à un équilibre « stable » pour et « instable » pour

Résultats fondamentaux concernant la stabilité (ou l'instabilité) d'un équilibre de point matériel à un degré de liberté en terme de profil d'énergie potentielle[modifier | modifier le wikicode]

......Suivant la nature de la stationnarité du profil d'énergie potentielle du point matériel à un degré de liberté en la position d'équilibre étudiée, on en déduit que cet équilibre est

  • « stable » si « l'énergie potentielle est localement minimale » en la position d'équilibre,
  • « instable » si « l'énergie potentielle est localement maximale » en la position d'équilibre et
  • « globalement instable » [c'est-à-dire stable d'un côté et instable de l'autre] si, en la position d'équilibre, « le profil d'énergie potentielle admet un point d'inflexion » [67].

Notes et références[modifier | modifier le wikicode]

  1. C.-à-d. d'une tige rigide, de longueur constante, sans masse.
  2. C.-à-d. d'un fil inélastique sans masse.
  3. 3,0 et 3,1 Il convient d'ajouter un schéma de situation en précisant la base locale polaire liée à dans le plan du mouvement ainsi que les forces qui lui sont appliquées.
  4. Pour que le P.P.S. soit à un degré de liberté, il suffit qu'il soit lancé dans les C.I. notées en absence de vitesse initiale ou si le vecteur vitesse initiale est dans le plan vertical de lancement, voir le paragraphe «