Mécanique 1 (PCSI)/Approche énergétique du mouvement d'un point matériel : Équilibre et stabilité

Leçons de niveau 14
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Approche énergétique du mouvement d'un point matériel : Équilibre et stabilité
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Chapitre no 18
Leçon : Mécanique 1 (PCSI)
Chap. préc. :Approche énergétique du mouvement d'un point matériel : Mouvement conservatif
Chap. suiv. :Approche énergétique du mouvement d'un point matériel : Petits mouvements au voisinage d'un équilibre stable
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Mécanique 1 (PCSI)/Approche énergétique du mouvement d'un point matériel : Équilibre et stabilité
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Les notions de ce chapitre sont introduites dans le cadre de la dynamique newtonienne.

Définition de positions d'équilibre sur l'exemple du pendule pesant simple à un degré de liberté (P.P.S.), distinction entre « forces (ou composantes de forces) causes de modification du mouvement » et « forces (ou composantes de forces) sans influence sur une modification éventuelle du mouvement »[modifier | modifier le wikicode]

     Nous supposerons dans tout ce chapitre sauf avis contraire, le P.P.S. [1] constitué d'un point matériel , de masse , liée à un point fixe par l'intermédiaire d'une tige idéale [2] et non d'un fil idéal [3] de longueur dans le champ de pesanteur terrestre uniforme d'intensité de pesanteur [4].

Définition des positions d'équilibre du P.P.S. à un degré de liberté[modifier | modifier le wikicode]

     L'équation différentielle du P.P.S. [1] à un degré de liberté [5], de paramètre de position , c.-à-d. l'abscisse angulaire de relativement à la verticale choisie comme axe polaire dans le plan vertical de son mouvement est

  • en absence de frottement fluide [6] ou,
  • s'il est amorti par résistance de fluide linéaire [4], [7] ;

     dans les deux cas, les positions d’équilibre correspondant à et conduisent à c.-à-d. à deux positions d'équilibre «».

Distinction entre « forces causes de modification du mouvement » (ou forces « motrices ») et « forces sans influence sur une modification éventuelle du mouvement » (ou forces « non motrices ») dans le cas du P.P.S. à un degré de liberté[modifier | modifier le wikicode]

     Un P.P.S. [1], en absence de frottement fluide, est soumis à deux forces son poids et
         Un P.P.S., en absence de frottement fluide, est soumis à deux forces la tension de la tige ,

     seule la composante orthoradiale du poids est « cause de modification du mouvement » ou force « motrice » [8],

     seule la composante radiale du poids et la tension de la tige étant à la direction du mouvement sont
     seule la composante radiale du poids et la tension de la tige « sans influence sur une modification éventuelle mouvement » [9] ou forces « non motrices » [8].

     Un P.P.S. [1], en présence de frottement fluide, est soumis à trois forces son poids ,
         Un P.P.S., en présence de frottement fluide, est soumis à trois forces la résistance du fluide linéaire et
         Un P.P.S., en présence de frottement fluide, est soumis à trois forces la tension de la tige ,

     la composante orthoradiale du poids et la résistance du fluide linéaire sont les deux composantes de forces
     la composante orthoradiale du poids et la résistance du fluide linéaire « causes de modification du mouvement » ou forces « motrices » [8],

     la composante radiale du poids et la tension de la tige étant à la direction du mouvement sont
     la composante radiale du poids et la tension de la tige « sans influence sur une modification éventuelle mouvement » [9] ou forces « non motrices » [8].

     Dans les deux cas, les positions d'équilibre du P.P.S. [1] à un degré de liberté s'obtiennent en « écrivant la nullité de la résultante des forcesou composantes de forcescauses de modification du mouvement » c.-à-d. en écrivant la nullité de la résultante des forces « motrices » soit ici

     « si le P.P.S. [1] est N.A. [10] » ou «» ou encore «»,

     « si le P.P.S. [1] est A. [11] » ou «» ou encore
               « si le P.P.S. est A. » ou « dans la mesure où pour tout équilibre »,

     d'où, dans les deux cas, les positions d'équilibre sont repérées par «».

Généralisation de la définition de positions d'équilibre d'un P.P.S. à celles d'un point matériel « à un degré de liberté »[modifier | modifier le wikicode]

Le point matériel à un degré de liberté est repéré par un paramètre de position qui sera noté s'il est linéaire et s'il est angulaire.

Retour sur la « distinction » entre forces « motrices » et forces « non motrices »[modifier | modifier le wikicode]

     Quand on fait le bilan des forces appliquées à un point matériel , on distingue deux types de forces :

  • les « actions » [12] comme les forces à distance forces de champ : pesanteur, gravitation ou électrostatique ou
         les « actions » comme certaines forces de contact résultant d'une disposition antérieure tension d’un ressort qui nécessite d'avoir auparavant déformé le ressort, ou encore
         les « actions » comme certaines forces de contact pour mettre en mouvement ou modifier ce dernier force de poussée sur véhicule et
  • les « réactions » [13] dont l'existence disparaît avec l'action et dont le rôle est de résister au mouvement que l'action tendrait à créer dans une ou plusieurs directions,
    ces réactions se classant en deux sous groupes : les réactions de contact ne disparaissant pas avec l'éventuel mouvement réaction de contact sur un solide avec ou sans frottement,
       ces réactions se classant en deux sous groupes : les réactions de contact ne disparaissant pas avec l'éventuel mouvement tension d'un fil inélastique et
    ces réactions se classant en deux sous groupes : les réactions de contact disparaissant avec l'éventuel mouvement résultant d'un frottement fluide linéaire ou non ;

     parmi toutes ces forces ou composantes de forces, il est intéressant de distinguer celles qui peuvent engendrer une modification du mouvement que je qualifie de « motrices » de
    parmi toutes ces forces ou composantes de forces, il est intéressant de distinguer celles qui n'ont aucune influence sur une éventuelle modification de mouvement que je qualifie de « non motrices »,
     parmi toutes les deux types de composantes de forces se classant alors selon les composantes de forces « causes de modification du mouvement » ou simplement « motrices » c.-à-d. les
     parmi toutes les deux types de composantes de forces se classant alors selon les « composantes des actions dans la direction du mouvement » [14] et les
     parmi toutes les deux types de composantes de forces se classant alors selon les « composantes des réactions de contact dans la direction du mouvement »
     parmi toutes les deux types de composantes de forces se classant alors selon les « composantes des réactions comme les forces « de frottement solide » [15] ou « de frottement fluide » [16],
     parmi toutes les deux types de composantes de forces se classant alors selon les composantes de forces « sans influence sur une modification éventuelle de mouvement »
    parmi toutes les deux types de composantes de forces se classant alors selon les composantes de forces « sans influence sur une modification ou simplement « non motrices » c.-à-d. les
     parmi toutes les deux types de composantes de forces se classant alors selon les « composantes des actions dans les directions au mouvement » [17] et les
     parmi toutes les deux types de composantes de forces se classant alors selon les « composantes des réactions de contact dans les directions au mouvement »
    parmi toutes les deux types de composantes de forces se classant alors selon les « composantes des réactions comme la composante normale de réaction solide ou la « tension de tige ou de fil » [18].

     Remarque : Quand on recherche les positions d’équilibre d'un point matériel dont le mouvement éventuel ne peut se faire que suivant une direction fixée, seules les composantes de forces « causes de modification du mouvement » que j'appelle « motrices » sont à prendre en compte et,

     Remarque : parmi les composantes de forces « motrices », seules celles ne disparaissant pas avec le mouvement sont à considérer ainsi les frottements fluides ne sont pas à prendre en compte pour la recherche des positions d'équilibre contrairement aux frottements solides.

Limitation de l'étude aux mouvements « rectiligne ou circulaire »[modifier | modifier le wikicode]

     Préliminaire : L'étude générale de l'équilibre d'un point matériel sur une trajectoire fixée quelconque n'est pas au programme de physique de P.C.S.I. ;

     Préliminaire : dans le cas où cette étude se présenterait, il faut se ramener à la C.N. [19] d'équilibre «» [20],
     Préliminaire : dans le cas où cette étude se présenterait, les composantes de forces pouvant modifier le mouvement étant alors celles au 1er vecteur unitaire tangentiel de base de Frenet [21] [22],
     Préliminaire : dans le cas où cette étude se présenterait, d'où la réécriture de la C.N. [19] d'équilibre «» dans laquelle seules les composantes « motrices » sont à considérer
     Préliminaire : dans le cas où cette étude se présenterait, « les composantes de forces à » [23] s'adaptent alors pour que le point suive la trajectoire imposée.

     C.N. [19] d'équilibre d'un point d'abscissesur la droite : pour un mouvement éventuel du point rectiligne suivant dont la résultante des forces « motrices » à l'exclusion des éventuelles
          C.N. d'équilibre d'un point d'abscissesur la droite : pour forces de frottement fluide qui disparaissent avec le mouvement s’écrit «», étant l'abscisse du point sur la
          C.N. d'équilibre d'un point d'abscissesur la droite : pour droite , les équilibres de ont pour abscisses définies par «», c.-à-d. comme
          C.N. d'équilibre d'un point d'abscissesur la droite : pour droite , les équilibres de ont pour abscisses étant les « zéros de » ;

     C.N. [19] d'équilibre d'un point d'abscisse angulairesur le cercle de centreet de rayon : pour un mouvement éventuel du point circulaire suivant le cercle centré en et de rayon dont la
           C.N. d'équilibre d'un point d'abscisse angulairesur le cercle de centreet de rayon : pour résultante des forces « motrices » à l'exclusion des éventuelles forces de frottement fluide qui
           C.N. d'équilibre d'un point d'abscisse angulairesur le cercle de centreet de rayon : pour disparaissent avec le mouvement s’écrit «», étant l'abscisse angulaire du
           C.N. d'équilibre d'un point d'abscisse angulairesur le cercle de centreet de rayon : pour point sur le cercle, les équilibres de ont pour abscisses angulaires définies par
           C.N. d'équilibre d'un point d'abscisse angulairesur le cercle de centreet de rayon : pour «», c.-à-d. comme étant les « zéros de » [24].

Définition de positions d'équilibre sur l'exemple du pendule pesant simple à un degré de liberté (P.P.S.) à partir de son profil d’énergie potentielle[modifier | modifier le wikicode]

Rappel des positions d'équilibre du P.P.S. à un degré de liberté[modifier | modifier le wikicode]

     Ce sont les zéros de la composante orthoradiale de la force « motrice » à l'exclusion de celle de l'éventuelle force de frottement fluide qui s'annule naturellement en les positions d'équilibre c.-à-d.
      Ce sont les zéros de la composante orthoradiale de la force « motrice » les zéros de [25] soit «».

Caractéristique du profil d'énergie potentielle du P.P.S. à un degré de liberté aux positions d'équilibre[modifier | modifier le wikicode]

     On constate que le profil d’énergie potentielle du P.P.S. [1] à un degré de liberté [26] est extrémal en les positions d'équilibre repérées par , plus exactement
               On constate que le profil d’énergie potentielle du P.P.S. à un degré de liberté est minimal en et
               On constate que le profil d’énergie potentielle du P.P.S. à un degré de liberté est maximal en .

Rappel du lien entre force conservative et énergie potentielle dont elle « dérive »[modifier | modifier le wikicode]

Rappel de la 2ème définition d'une force conservative et des deux définitions équivalentes de l'énergie potentielle dont « dérive » la force[modifier | modifier le wikicode]

     « Une force est conservative ssi son travail élémentaireest une différentielle exacte [27] » [28] ;

     l'énergie potentielle dont dérive la force conservative est définie par «» [29] «» [30].

Cas d'une force conservative unidirectionnelle selon l'axe x'x[modifier | modifier le wikicode]

     Le travail élémentaire de cette force s'écrivant est une différentielle exacte [27], [31] et par suite
     Le travail élémentaire de cette force est une force conservative ;

     l'énergie potentielle dont elle dérive obéit à soit la projection de sur  ;
     on détermine donc comme « primitive de », la constante d'intégration étant identifiée par définition de la référence de l'énergie potentielle

     Remarque : en notant l'abscisse correspondant à la référence de [32], on obtient, en intégrant la relation ,
          Remarque : en notant l'abscisse correspondant à la référence de , on obtient, «» [32], [33].

Cas d'une force conservative s'appliquant tangentiellement à la trajectoire circulaire de rayon R décrite par le point subissant la force[modifier | modifier le wikicode]

     Le travail élémentaire de cette force s'écrivant [34] est une différentielle exacte [27], [31] et par suite
     Le travail élémentaire de cette force est une force conservative ;

     l'énergie potentielle dont elle dérive obéit à soit la projection de [35] sur  ;
     on détermine donc comme « primitive de », la constante d'intégration étant identifiée par définition de la référence de l'énergie potentielle

     Remarque : en notant l'abscisse angulaire correspondant à la référence de [32], on obtient, en intégrant ,
          Remarque : en notant l'abscisse angulaire correspondant à la référence de , on obtient, «» [32], [36].

Généralisation de la définition de positions d'équilibre d'un P.P.S. à partir de son diagramme d'énergie potentielle à celle de positions d'équilibre d'un point matériel à un degré de liberté, démonstration à partir de la 1ère définition[modifier | modifier le wikicode]

Cas d'une force « motrice » unidirectionnelle selon l'axe x'x[modifier | modifier le wikicode]

     Les positions d'équilibre d'abscisses étant définies comme les zéros de c.-à-d. telles que et

     l'énergie potentielle dont dérive la force lui étant liée par , nous en déduisons que

     les positions d'équilibre d'abscissespeuvent aussi être définies par c.-à-d. comme les « abscisses rendant l’énergie potentielle stationnaire » [37].

Cas d'une force « motrice » s'appliquant tangentiellement à la trajectoire circulaire de rayon R décrite par le point subissant la force[modifier | modifier le wikicode]

     Les positions d'équilibre d'abscisses angulaires étant définies comme les zéros de c.-à-d. telles que et

     l'énergie potentielle dont dérive la force lui étant liée par , nous en déduisons que

     les positions d'équilibre d'abscisses angulairespeuvent aussi être définies par c.-à-d. comme les « abscisses angulaires rendant l’énergie potentielle stationnaire » [37].

     Remarque : on pourra noter que l'exemple du P.P.S. [1] ne nous donne pas tous les cas d'équilibre possibles relativement au profil d'énergie potentielle
         Remarque : on pourra noter que l'exemple du P.P.S. ne nous donne pas tous les cas d'équilibre car n'y figure pas la possibilité de points d’inflexion à tangente à l'axe des abscisses angulaires [37].

Définition de la stabilité ou de l'instabilité d'un équilibre de point matériel à un degré de liberté en termes de force, exemple du P.P.S. à un degré de liberté[modifier | modifier le wikicode]

Définition de la stabilité ou de l'instabilité d'un équilibre de point matériel à un degré de liberté en termes de force[modifier | modifier le wikicode]

     Conséquence : au voisinage d'un équilibre stable, le point est soumis à une force « motrice » de rappel relativement à la position d'équilibre.

     Conséquence : au voisinage d'un équilibre instable, le point est soumis à une force « motrice » répulsive relativement à la position d'équilibre.

Stabilité ou instabilité des équilibres en termes de force sur l'exemple du P.P.S. à un degré de liberté[modifier | modifier le wikicode]

     Dans l'exemple du P.P.S. [1] à un degré de liberté, la force « motrice » est la composante orthoradiale du poids notée avec , on peut vérifier le caractère

  • « stable » des équilibres repérés par et
  • « instable » des équilibres repérés par

     de deux façons, l'une graphique permettant de vérifier rapidement si la force « motrice » est « de rappel » ou « répulsive »,
     de deux façons, l'autre algébrique correspondant à l'obtention du même résultat par calcul.

Méthode graphique de vérification de la stabilité ou de l'instabilité des équilibres du P.P.S. à un degré de liberté[modifier | modifier le wikicode]

Schéma d'un P.P.S. [1] à un degré de liberté dans la situation d'écart par rapport à sa position d'équilibre repérée par avec tracé de la composante motrice du poids pour vérifier la stabilité de l'équilibre
Schéma d'un P.P.S. [1] à un degré de liberté avec tige rigide dans la situation d'écart relativement à sa position d'équilibre repérée par avec représentation de la composante motrice du poids pour vérifier l'instabilité de l'équilibre

     Il s'agit de faire un schéma dans lequel on met le P.P.S. [1] à un degré de liberté dans la situation de petit écart relativement à la position d'équilibre étudiée et
     Il s'agit d'y représenter la force dont la composante est « motrice » c.-à-d. le poids ainsi que sa projection sur la direction du mouvement ,
     Il s'agit d'y représenter la force si l'action de la force est de ramener le P.P.S. [1] à un degré de liberté vers la position d'équilibre étudiée, l'équilibre est bien « stable », c'est effectivement le cas de la position d'équilibre repérée par voir schéma ci-contre à gauche,
     Il s'agit d'y représenter la force si l'action de la force est d'éloigner le P.P.S. [1] à un degré de liberté de la position d'équilibre étudiée, l'équilibre est bien « instable », c'est effectivement le cas de la position d'équilibre repérée par voir schéma ci-contre à droite.


     Remarque : Usuellement on choisit un écart positif pour faire le schéma sans refaire ce dernier avec un écart négatif car
     Remarque : Usuellement on choisit un écart positif pour faire le schéma le résultat observé est en général indépendant du signe,
     Remarque : Usuellement on choisit un écart positif pour faire le schéma toutefois si ceci est bien le cas sur le P.P.S. [1] à un degré de liberté, ce n'est pas assuré sur tous les exemples, pour vérifier que c'est bien le cas sans refaire un schéma, l'intérêt de cette méthode étant sa rapidité il suffit d'imaginer la situation avec un écart négatif et de vérifier que la conclusion reste inchangée




Méthode algébrique de détermination de la stabilité ou de l'instabilité des équilibres du P.P.S. à un degré de liberté[modifier | modifier le wikicode]

     On écarte le P.P.S. [1] à un degré de liberté d'une petite quantité [40] de sa position d'équilibre étudiée repérée par , le P.P.S. [1] à un degré de liberté dans cette situation étant alors repéré par , on effectue le D.L. [41] à l'ordre un en de la composante « motrice » au voisinage de [42] repérant la position d'équilibre étudiée soit :

  • étude de  : [43] à l'ordre un en caractérisant effectivement une force de rappel [44] d'où la stabilité des équilibres repérés par ,
  • étude de  : [43] à l'ordre un en caractérisant effectivement une force répulsive [45] d'où l'instabilité des équilibres repérés par .

Méthode de détermination « algébrique » de la stabilité (ou de l’instabilité) d'un équilibre de point matériel à un degré de liberté en termes de force[modifier | modifier le wikicode]

     Préliminaire : La façon la plus rapide pour déterminer la stabilité ou l'instabilité d'un équilibre est la méthode « graphique » dans la mesure où le sens de déplacement consécutif à l'écart initial imposé avec lâcher sans vitesse initiale se détermine usuellement par simple tracé comme sur l'exemple du P.P.S. [1] à un degré de liberté

     Préliminaire : toutefois, si la méthode « graphique » n'aboutit pas, il ne reste alors que la méthode « algébrique », laquelle, bien que plus longue, conduit toujours à une solution ;

     Préliminaire : de plus, on demande fréquemment, à la suite de la recherche des positions d’équilibres stables, d'étudier le mouvement des petites élongations autour de ces positions ce qui constitue l'objet du chapitre suivant, dans ces conditions, la méthode « algébrique » amorçant cette dernière étude comme ce sera vu au chapitre suivant, on constate finalement que, très souvent, la méthode « algébrique » s'avère être globalement la plus courte

Méthode à mettre en œuvre pour déterminer algébriquement la stabilité (ou l'instabilité) d'un équilibre de point matériel en termes de force[modifier | modifier le wikicode]

     Remarque préliminaire : La méthode à mettre en œuvre pour une détermination algébrique de la stabilité ou de l'instabilité d'un équilibre de point matériel en termes de force étant exposée en restant dans le cadre du programme de physique de P.C.S.I. c.-à-d. un point matériel à un degré de liberté dont la force « motrice » est

     Remarque préliminaire : unidirectionnelle selon un axe soit ou

     Remarque préliminaire : s'appliquant tangentiellement à sa trajectoire circulaire de rayon soit .

     Exposé de la méthode algébrique : On écarte le point matériel d'une petite quantité [40] de sa position d'équilibre étudiée en termes de force et repérée par ou par , dans cette situation étant alors repéré par ou par , puis

     Exposé de la méthode algébrique : on effectue le D.L. [41] « à l'ordre le plus bas non nul » en de la composante « motrice » ou
           Exposé de la méthode algébrique : on effectue le D.L. « à l'ordre le plus bas non nul » au voisinage de ou de [42], [46] repérant la position d'équilibre étudiée et

     Exposé de la méthode algébrique : suivant le D.L. [41] obtenu [47], on conclut : si le D.L. [41] obtenu [47] est « de rappel » [48], l'équilibre est « u>stable »,

                 Exposé de la méthode algébrique : suivant le D.L. obtenu, on conclut : si le D.L. [41] obtenu [47] est « de répulsion » [48], l'équilibre est « instable » et enfin

                 Exposé de la méthode algébrique : suivant le D.L. obtenu, on conclut : si le D.L. [41] obtenu [47] est « de rappel d'un côté et de répulsion de l'autre » [48], l'équilibre est « globalement instable ».

Cas d'une force « motrice » unidirectionnelle selon l'axe x'x[modifier | modifier le wikicode]

     On envisage donc un petit déplacement [40] de relativement à une de ses positions d'équilibre étudiée et repérée par ,
          On envisage donc un petit déplacement de dans cette situation étant alors repéré par et

     on évalue en utilisant la formule de Taylor-Young [49], [50] à un ordre suffisant pour conclure le plus souvent et le développement est suffisant à l'ordre un, d'où
     on évalue le D.L. [41] à l'ordre «» [51],

           on évalue le D.L. à l'ordre « le 1er terme étant nul par condition d'équilibre est un infiniment petit de même ordre que
           on évalue le D.L. à l'ordre « le 1er terme étant nul par condition d'équilibre le 1er terme non nul [52] terme qualifié de « prépondérant ».

     Généralités : Pour qu'on puisse définir la stabilité ou l'instabilité d'un équilibre indépendamment du sens de l'écart, il faut et il suffit que le terme prépondérant du D.L. [41] de soit « impair » c.-à-d.
     Généralités : Pour qu'on puisse définir la stabilité ou l'instabilité d'un équilibre indépendamment du sens de l'écart, il faut et il suffit que « avec » dont on tire
     Généralités : Pour qu'on puisse définir le D.L. [41] de de même signe que si est est « répulsif » et par suite l'équilibre est « instable »,
     Généralités : Pour qu'on puisse définir le D.L. [41] de de signe contraire à si est est « de rappel » et par suite l'équilibre est « stable ».

       Généralités : Pour qu'on puisse définir la stabilité ou l'instabilité d'un équilibre indépendamment du sens de l'écart, il faut et il suffit si le terme prépondérant du D.L. [41] de est « pair » c.-à-d.
       Généralités : Pour qu'on puisse définir la stabilité ou l'instabilité d'un équilibre indépendamment du sens de l'écart, il faut et il suffit si « avec »,
       Généralités : Pour qu'on puisse définir la stabilité ou l'instabilité d'un équilibre indépendamment du sens de l'écart, il faut et il suffit on ne peut pas définir la stabilité ou l'instabilité d'un équilibre
       Généralités : Pour qu'on puisse définir la stabilité ou l'instabilité d'un équilibre indépendamment du sens de l'écart, il faut et il suffit on ne peut pas définir indépendamment du sens de l'écart, en effet
               Généralités : Pour qu'on puisse définir si est , le D.L. [41] de est avec ou est « de rappel à gauche » et « répulsif à droite » d'où
                      Généralités : Pour qu'on puisse définir si est , le D.L. de est avec ou l'équilibre est stable à gauche et instable à droite c.-à-d.
                      Généralités : Pour qu'on puisse définir si est , le D.L. de est avec ou l'équilibre est « globalement instable » [53],
               Généralités : Pour qu'on puisse définir si est , le D.L. [41] de est avec ou est « répulsif à gauche » et « de rappel à droite » d'où
                      Généralités : Pour qu'on puisse définir si est , le D.L. de est avec ou l'équilibre est instable à gauche et stable à droite c.-à-d.
                      Généralités : Pour qu'on puisse définir si est , le D.L. de est avec ou l'équilibre est « globalement instable » [53].

     Résumé de l'étude : Détaillons les possibilités de terme prépondérant du D.L. [41] de à l'ordre le plus bas non nul en au voisinage de  :

     Résumé de l'étude : cas usuel  : le développement de au voisinage de est limité à l'ordre un ,

     Résumé de l'étude : cas usuel avec , est « de rappel » et l'équilibre est « stable »,

     Résumé de l'étude : cas usuel avec , est « répulsif » et l'équilibre est « instable » ;

     Résumé de l'étude : cas peu fréquent  : le développement de au voisinage de est limité à l'ordre deux ou plus :

     Résumé de l'étude : cas peu fréquent  : avec , toujours de signe de quel que soit le signe de correspondant à un
       Résumé de l'étude : cas peu fréquent  : avec , toujours de signe de équilibre stable d'un côté et instable de l'autre donc
       Résumé de l'étude : cas peu fréquent  : avec , toujours de signe de équilibre « globalement instable »,

     Résumé de l'étude : cas peu fréquent  : avec mais , changeant de signe simultanément avec [54] et par suite
       Résumé de l'étude : cas peu fréquent  : avec mais , changeant l'équilibre est soit stable soit instable, plus précisément

     Résumé de l'étude : cas peu fréquent  : avec avec , est « de rappel » et l'équilibre est « stable »,

     Résumé de l'étude : cas peu fréquent  : avec avec , est « répulsif » et l'équilibre est « instable » ;

     Résumé de l'étude : cas inexistant en pratique [55] , et  : le développement de au voisinage de est limité à l'ordre quatre ou plus,
            Résumé de l'étude : cas inexistant en pratique , et  : si limité à l'ordre quatre, toujours de signe de
              Résumé de l'étude : cas inexistant en pratique , et  : si limité à l'ordre quatre, quel que soit le signe de équilibre « globalement instable » mais,
            Résumé de l'étude : cas inexistant en pratique , et  : si avec , on a changeant
            Résumé de l'étude : cas inexistant en pratique , et  : si avec , de signe simultanément avec [56] correspondant
            Résumé de l'étude : cas inexistant en pratique , et  : si avec , à un équilibre « stable » pour et
            Résumé de l'étude : cas inexistant en pratique , et  : si avec , à un équilibre « instable » pour ,
            Résumé de l'étude : cas inexistant en pratique , et  : si avec ,

Cas d'une force « motrice » s'appliquant tangentiellement à la trajectoire circulaire de rayon R décrite par le point subissant la force[modifier | modifier le wikicode]

     On envisage donc un petit déplacement [40] de relativement à une de ses positions d'équilibre étudiée et repérée par ,
          On envisage donc un petit déplacement de dans cette situation étant alors repéré par et

     on évalue en utilisant la formule de Taylor-Young [49], [50] à un ordre suffisant pour conclure le plus souvent et le développement est suffisant à l'ordre un, d'où
     on évalue le D.L. [41] à l'ordre «» [51],

           on évalue le D.L. à l'ordre « le 1er terme étant nul par condition d'équilibre est un infiniment petit de même ordre que
           on évalue le D.L. à l'ordre « le 1er terme étant nul par condition d'équilibre le 1er terme non nul [52] terme qualifié de « prépondérant ».

     Généralités : Pour qu'on puisse définir la stabilité ou l'instabilité d'un équilibre indépendamment du sens de l'écart, il faut et il suffit que le terme prépondérant du D.L. [41] de soit « impair » c.-à-d.
     Généralités : Pour qu'on puisse définir la stabilité ou l'instabilité d'un équilibre indépendamment du sens de l'écart, il faut et il suffit que « avec » dont on tire
     Généralités : Pour qu'on puisse définir le D.L. [41] de de même signe que si est est « répulsif » et par suite l'équilibre est « instable »,
     Généralités : Pour qu'on puisse définir le D.L. [41] de de signe contraire à si est est « de rappel » et par suite l'équilibre est « stable ».

       Généralités : Pour qu'on puisse définir la stabilité ou l'instabilité d'un équilibre indépendamment du sens de l'écart, il faut et il suffit si le terme prépondérant du D.L. [41] de est « pair » c.-à-d.
       Généralités : Pour qu'on puisse définir la stabilité ou l'instabilité d'un équilibre indépendamment du sens de l'écart, il faut et il suffit si « avec »,
       Généralités : Pour qu'on puisse définir la stabilité ou l'instabilité d'un équilibre indépendamment du sens de l'écart, il faut et il suffit on ne peut pas définir la stabilité ou l'instabilité d'un équilibre
       Généralités : Pour qu'on puisse définir la stabilité ou l'instabilité d'un équilibre indépendamment du sens de l'écart, il faut et il suffit on ne peut pas définir indépendamment du sens de l'écart, en effet
               Généralités : Pour qu'on puisse définir si est , le D.L. [41] de est avec ou est « de rappel à gauche » et « répulsif à droite » d'où
                      Généralités : Pour qu'on puisse définir si est , le D.L. de est avec ou l'équilibre est stable à gauche et instable à droite c.-à-d.
                      Généralités : Pour qu'on puisse définir si est , le D.L. de est avec ou l'équilibre est « globalement instable » [53],
               Généralités : Pour qu'on puisse définir si est , le D.L. [41] de est avec ou est « répulsif à gauche » et « de rappel à droite » d'où
                      Généralités : Pour qu'on puisse définir si est , le D.L. de est avec ou l'équilibre est instable à gauche et stable à droite c.-à-d.
                      Généralités : Pour qu'on puisse définir si est , le D.L. de est avec ou l'équilibre est « globalement instable » [53].

     Résumé de l'étude : Détaillons les possibilités de terme prépondérant du D.L. [41] de à l'ordre le plus bas non nul en au voisinage de  :

     Résumé de l'étude : cas usuel  : le développement de au voisinage de est limité à l'ordre un ,

     Résumé de l'étude : cas usuel avec [57], est « de rappel » et l'équilibre est « stable »,

     Résumé de l'étude : cas usuel avec [58], est « répulsif » et l'équilibre est « instable » ;

     Résumé de l'étude : cas peu fréquent  : le développement de au voisinage de est limité à l'ordre deux ou plus :

     Résumé de l'étude : cas peu fréquent  : avec , toujours de signe de quel que soit le signe de correspondant à un
       Résumé de l'étude : cas peu fréquent  : avec , toujours de signe de équilibre stable d'un côté et instable de l'autre donc
       Résumé de l'étude : cas peu fréquent  : avec , toujours de signe de équilibre « globalement instable »,

     Résumé de l'étude : cas peu fréquent  : avec mais , changeant de signe simultanément avec [54] et par suite
       Résumé de l'étude : cas peu fréquent  : avec mais , changeant l'équilibre est soit stable soit instable, plus précisément

     Résumé de l'étude : cas peu fréquent  : avec avec , est « de rappel » et l'équilibre est « stable »,

     Résumé de l'étude : cas peu fréquent  : avec avec , est « répulsif » et l'équilibre est « instable » ;

     Résumé de l'étude : cas inexistant en pratique [55] , et  : le développement de au voisinage de est limité à l'ordre quatre ou plus,
            Résumé de l'étude : cas inexistant en pratique , et  : si limité à l'ordre quatre, toujours de signe de
              Résumé de l'étude : cas inexistant en pratique , et  : si limité à l'ordre quatre, quel que soit le signe de équilibre « globalement instable » mais,
            Résumé de l'étude : cas inexistant en pratique , et  : si avec , on a changeant
            Résumé de l'étude : cas inexistant en pratique , et  : si avec , de signe simultanément avec [56] correspondant
            Résumé de l'étude : cas inexistant en pratique , et  : si avec , à un équilibre « stable » pour et
            Résumé de l'étude : cas inexistant en pratique , et  : si avec , à un équilibre « instable » pour ,
            Résumé de l'étude : cas inexistant en pratique , et  : si avec ,

Définition de la stabilité ou de l'instabilité d'un équilibre de point matériel à un degré de liberté en termes de profil d'énergie potentielle[modifier | modifier le wikicode]

     Remarque préliminaire : La définition de la stabilité ou de l'instabilité d'un équilibre de point matériel en termes de profil d'énergie potentielle est exposée en restant dans le cadre du programme de physique de P.C.S.I. c.-à-d. un point matériel à un degré de liberté dont la force « motrice » conservative est

     Remarque préliminaire : unidirectionnelle selon un axe soit ou

     Remarque préliminaire : s'appliquant tangentiellement à sa trajectoire circulaire de rayon soit .

Méthode à mettre en œuvre pour déterminer algébriquement la stabilité (ou l'instabilité) d'un équilibre de point matériel en termes de profil d'énergie potentielle[modifier | modifier le wikicode]

     Le lien existant entre la force « motrice » conservative dans le cas d'une force unidirectionnelle selon agissant sur le point étudié ou
     Le lien existant entre la force « motrice » conservative dans le cas d'une force tangentielle à la trajectoire circulaire de rayon du point étudié et

     Le lien existant entre l'énergie potentielle dont elle dérive dans le 1er cas ou
     Le lien existant entre l'énergie potentielle dont elle dérive dans le 2ème cas
     Le lien existant étant, dans les deux cas, «» «» [59] soit
     Le lien existant étant, dans le cas d'une force unidirectionnelle selon agissant sur le point étudié : «» «» ou
     Le lien existant étant, dans le cas d'une force tangentielle à la trajectoire circulaire de rayon du point étudié : «» [35] «»,

     les positions d'équilibre du point ayant pour paramètres de position tels que dans le 1er cas ou
     les positions d'équilibre du point ayant pour paramètres de position tels que dans le 2ème cas
     les positions d'équilibre du point ont aussi pour abscisses les valeurs du paramètre de position rendant l'énergie potentielle « stationnaire » [37] plus précisément
     les positions d'équilibre du point ayant pour paramètres de position tels que dans le 1er cas ou
     les positions d'équilibre du point ayant pour paramètres de position tels que dans le 2ème cas.

     Il reste à définir les conditions de stabilité (ou d'instabilité) en termes de profil énergétique à partir de celles en termes de force.

     Rappel de la méthode mise en œuvre pour déterminer algébriquement la stabilitéou l'instabilitéd'un équilibre de point matériel en termes de force : pour étudier « algébriquement » la stabilité ou l'instabilité d'un équilibre de point matériel à un degré de liberté, on doit faire un D.L. [41] « à l’ordre le plus bas non nul » [52] de ou de au voisinage de ou de et :

     Rappel l'équilibre est « stable » si la force ou est « de rappel » c.-à-d. si [60]

     Rappel l'équilibre est « stable » « avec » ou « avec » ou encore

     Rappel l'équilibre est « stable » « avec » ou « avec »,

     Rappel l'équilibre est « instable » si la force ou est « répulsive » c.-à-d. si [60]

     Rappel l'équilibre est « instable » « avec » ou « avec » ou encore

     Rappel l'équilibre est « instable » « avec » ou « avec »,

     Rappel l'équilibre est « globalement instable » si la force ou est « de rappel d'un côté et répulsive de l'autre côté » c.-à-d. si [60]

     Rappel l'équilibre est « globalement instable » « avec » ou « avec ».

     Méthode à mettre en œuvre pour déterminer algébriquement la stabilitéou l'instabilitéd'un équilibre de point matériel en termes de profil énergétique [61] :
     Méthode à mettre en œuvre pour étudier « algébriquement » la stabilité ou l'instabilité d'un équilibre de point matériel à un degré de liberté en termes de profil énergétique,
     Méthode à mettre en œuvre pour étudier « algébriquement » on doit faire un D.L. [41] de ou de « à l'ordre le plus bas non nul [52] autre que zéro » [62], [63] au voisinage de ou
                              Méthode à mettre en œuvre pour étudier « algébriquement » on doit faire un D.L. de ou de « à l'ordre le plus bas non nul autre que zéro » au voisinage de et
     Méthode à mettre en œuvre pour étudier « algébriquement » on doit conclure selon le résultat obtenu :

     Méthode à mettre en œuvre l'équilibre est « stable » si le profil de l'énergie potentielle ou , au voisinage de la position d'équilibre, est « un puits » [64], en effet
     Méthode à mettre en œuvre l'équilibre est « stable » la force « motrice » devant être « de rappel » au voisinage de la position d'équilibre une composante « à gauche et à droite » c.-à-d.
     Méthode à mettre en œuvre l'équilibre est « stable » une dérivée d'énergie potentielle par rapport au paramètre de position « à gauche et à droite » [65], rendant
     Méthode à mettre en œuvre l'équilibre est « stable » l'énergie potentielle « localement minimale » en la position d'équilibre étudiée,

     Méthode à mettre en œuvre l'équilibre est « instable » si le profil de l'énergie potentielle ou , au voisinage de la position d'équilibre, est « une crête » [66], en effet
     Méthode à mettre en œuvre l'équilibre est « instable » la force « motrice » devant être « répulsive » au voisinage de la position d'équilibre une composante « à gauche et à droite » c.-à-d.
     Méthode à mettre en œuvre l'équilibre est « instable » une dérivée d'énergie potentielle par rapport au paramètre de position « à gauche et à droite » [65], rendant
     Méthode à mettre en œuvre l'équilibre est « instable » l'énergie potentielle « localement maximale » en la position d'équilibre étudiée,

     Méthode à mettre en œuvre l'équilibre est « globalement instable » si le profil de l'énergie potentielle ou , au voisinage de la position d'équilibre,
      Méthode à mettre en œuvre l'équilibre est « globalement instable » si le profil de l'énergie potentielle est « un replat dans une montée ou une descente » [67], en effet
     Méthode à mettre en œuvre l'équilibre est « globalement instable » la force « motrice » devant être « de rappel d'un côté et répulsive de l'autre côté » au voisinage de la position d'équilibre, correspond à
     Méthode à mettre en œuvre l'équilibre est « globalement instable » une composante simultanément « ou des deux côtés » c.-à-d.
     Méthode à mettre en œuvre l'équilibre est « globalement instable » une dérivée d'énergie potentielle par rapport au paramètre de position simultanément « ou des deux côtés » [65], rendant
     Méthode à mettre en œuvre l'équilibre est « globalement instable » l'énergie potentielle « localement stationnaire avec point d'inflexion » en la position d'équilibre étudiée.

Cas d'une force « motrice » unidirectionnelle selon l'axe x'x « dérivant » d'une énergie potentielle U(x)[modifier | modifier le wikicode]

     On envisage donc un petit déplacement [40] de relativement à une de ses positions d'équilibre étudiée et repérée par ,
          On envisage donc un petit déplacement de dans cette situation étant alors repéré par et

     on évalue en utilisant la formule de Taylor-Young [49], [50] à un ordre suffisant pour conclure le plus souvent développement à l'ordre un suffisant, d'où le
     on évalue D.L. [41] à l'ordre «» [51],

           on évalue D.L. à l'ordre « le 2ème terme d'ordre un étant nul par condition d'équilibre car mais
           on évalue D.L. à l'ordre « le 1er terme d'ordre zéro ne l'étant pas nécessairement cela dépendant du choix de la référence de
           on évalue D.L. à l'ordre « l'écart de l'énergie potentielle par rapport à sa valeur à l'équilibre est un infiniment petit de même
           on évalue D.L. à l'ordre « l'écart de l'énergie potentielle par rapport à sa valeur à l'équilibre ordre que le 1er terme non nul de [68]
           on évalue D.L. à l'ordre « l'écart de l'énergie potentielle par rapport à sa valeur à l'équilibre ordre que terme qualifié de « prépondérant ».

     Généralités : Ayant vu la possibilité de définir la stabilité ou l'instabilité d'un équilibre indépendamment du sens de l'écart, ssi le terme prépondérant du D.L. [41] de est « impair » [69] c.-à-d.
     Généralités : Ayant vu la possibilité de définir la stabilité ou l'instabilité d'un équilibre indépendamment du sens de l'écart, ssi « avec » par intégration et
     Généralités : Ayant vu la possibilité de définir la stabilité ou l'instabilité d'un équilibre indépendamment du sens de l'écart, ssi changement de signe, la C.N.S. [70] précédente en termes de
     Généralités : Ayant vu la possibilité de définir la stabilité ou l'instabilité d'un équilibre indépendamment du sens de l'écart, ssi le terme prépondérant du D.L. [41] de est « pair » c.-à-d.
     Généralités : Ayant vu la possibilité de définir la stabilité ou l'instabilité d'un équilibre indépendamment du sens de l'écart, ssi « avec » [71] d'où
     Généralités : Ayant vu la possibilité de définir la stabilité ou l'instabilité d'un équilibre indépendamment du sens de l'écart, ssi le terme prépondérant du D.L. [41] de étant de même signe
          Généralités : Ayant vu la possibilité de définir la stabilité ou l'instabilité d'un équilibre indépendamment du sens de l'écart, ssi le terme prépondérant du D.L. de étant que
     Généralités : Ayant vu la possibilité de définir la stabilité ou l'instabilité le D.L. [41] de est « minimal » en la position d'équilibre si est , l'équilibre étant alors « stable »,
     Généralités : Ayant vu la possibilité de définir la stabilité ou l'instabilité le D.L. [41] de est « maximal » en la position d'équilibre si est , l'équilibre étant alors « instable ».

     Généralités : Ayant vu la possibilité de définir la stabilité ou l'instabilité d'un équilibre indépendamment du sens de l'écart, si le terme prépondérant du D.L. [41] de est « impair » c.-à-d.
     Généralités : Ayant vu la possibilité de définir la stabilité ou l'instabilité d'un équilibre indépendamment du sens de l'écart, si « avec »,
     Généralités : Ayant vu la possibilité de définir la stabilité ou l'instabilité d'un équilibre indépendamment du sens de l'écart, on ne peut pas définir la stabilité ou l'instabilité d'un équilibre
     Généralités : Ayant vu la possibilité de définir la stabilité ou l'instabilité d'un équilibre indépendamment du sens de l'écart, on ne peut pas définir indépendamment du sens de l'écart, en effet
               Généralités : Ayant vu la possibilité de définir si est , le D.L. [41] de avec en étant stationnaire en la position d'équilibre
               Généralités : Ayant vu la possibilité de définir si est , le profil de présente « un replat dans une montée » [67] le point d'inflexion du profil énergétique en la
               Généralités : Ayant vu la possibilité de définir si est , position d'équilibre y étant stationnaire présente, par rapport aux portions du profil en deçà et au-delà du
               Généralités : Ayant vu la possibilité de définir si est , point d'inflexion, respectivement une crête et une cuvette un équilibre instable à gauche et stable à droite soit
               Généralités : Ayant vu la possibilité de définir si est , point d'inflexion, respectivement une crête et une cuvette un équilibre « globalement instable » [53],
               Généralités : Ayant vu la possibilité de définir si est , le D.L. [41] de avec en étant stationnaire en la position d'équilibre
               Généralités : Ayant vu la possibilité de définir si est , le profil de présente « un replat dans une descente » [67] le point d'inflexion du profil énergétique en la
               Généralités : Ayant vu la possibilité de définir si est , position d'équilibre y étant stationnaire présente, par rapport aux portions du profil en deçà et au-delà du
               Généralités : Ayant vu la possibilité de définir si est , point d'inflexion, respectivement une cuvette et une crête un équilibre stable à gauche et instable à droite soit
               Généralités : Ayant vu la possibilité de définir si est , point d'inflexion, respectivement une cuvette et une crête un équilibre « globalement instable » [53].

     Résumé de l'étude : Détaillons les possibilités de terme prépondérant du D.L. [41] de à l'ordre le plus bas non nul en au voisinage de  :

     Résumé de l'étude : cas usuel  : le développement de au voisinage de est limité à l'ordre deux du signe de pour ,

     Résumé de l'étude : cas usuel avec , est « minimal » en et l'équilibre est « stable »,

     Résumé de l'étude : cas usuel avec , est « maximal » en et l'équilibre est « instable » ;

     Résumé de l'étude : cas peu fréquent  : le développement de au voisinage de est limité à l'ordre trois ou plus :

     Résumé de l'étude : cas peu fréquent  : avec , changeant de signe simultanément avec [54] correspondant à un
       Résumé de l'étude : cas peu fréquent  : avec , changeant de signe simultanément avec équilibre stable d'un côté et
       Résumé de l'étude : cas peu fréquent  : avec , changeant de signe simultanément avec équilibre instable de l'autre donc
       Résumé de l'étude : cas peu fréquent  : avec , changeant de signe simultanément avec équilibre « globalement instable »,

     Résumé de l'étude : cas peu fréquent  : avec mais , de même signe que pour d'où
       Résumé de l'étude : cas peu fréquent  : avec mais , l'équilibre est soit stable soit instable, plus précisément

     Résumé de l'étude : cas peu fréquent  : avec avec , est « minimal » en la position d'équilibre et ce dernier est « stable »,

     Résumé de l'étude : cas peu fréquent  : avec avec , est « maximal » en la position d'équilibre et ce dernier est « instable » ;

     Résumé de l'étude : cas inexistant en pratique [55] , et  : le développement de au voisinage de est limité à l'ordre cinq ou plus,
            Résumé de l'étude : cas inexistant en pratique , et  : si limité à l'ordre cinq, changeant de signe avec [56]
              Résumé de l'étude : cas inexistant en pratique , et  : si limité à l'ordre cinq, équilibre « globalement instable » mais,
            Résumé de l'étude : cas inexistant en pratique , et  : si avec , on a
              Résumé de l'étude : cas inexistant en pratique , et  : si avec , on a du signe de équilibre
              Résumé de l'étude : cas inexistant en pratique , et  : si avec , on a « stable » si [72] et
              Résumé de l'étude : cas inexistant en pratique , et  : si avec , on a « instable » si [73],
              Résumé de l'étude : cas inexistant en pratique , et  : si avec ,

Cas d'une force « motrice » s'appliquant tangentiellement à la trajectoire circulaire de rayon R décrite par le point subissant la force « dérivant » d'une énergie potentielle U(θ)[modifier | modifier le wikicode]

     On envisage donc un petit déplacement [40] de relativement à une de ses positions d'équilibre étudiée et repérée par ,
          On envisage donc un petit déplacement de dans cette situation étant alors repéré par et

     on évalue en utilisant la formule de Taylor-Young [49], [50] à un ordre suffisant pour conclure le plus souvent développement à l'ordre deux suffisant, d'où le
     on évalue D.L. [41] à l'ordre «» [51],

           on évalue D.L. à l'ordre « le 2ème terme d'ordre un étant nul par condition d'équilibre car mais
           on évalue D.L. à l'ordre « le 1er terme d'ordre zéro ne l'étant pas nécessairement cela dépendant du choix de la référence de
           on évalue D.L. à l'ordre « l'écart de l'énergie potentielle par rapport à sa valeur à l'équilibre est un infiniment petit de même
           on évalue D.L. à l'ordre « l'écart de l'énergie potentielle par rapport à sa valeur à l'équilibre ordre que le 1er terme non nul de [68]
           on évalue D.L. à l'ordre « l'écart de l'énergie potentielle par rapport à sa valeur à l'équilibre ordre que terme qualifié de « prépondérant ».

     Généralités : Ayant vu la possibilité de définir la stabilité ou l'instabilité d'un équilibre indépendamment du sens de l'écart, ssi le terme prépondérant du D.L. [41] de est « impair » [74] c.-à-d.
     Généralités : Ayant vu la possibilité de définir la stabilité ou l'instabilité d'un équilibre indépendamment du sens de l'écart, ssi « avec » par intégration et
     Généralités : Ayant vu la possibilité de définir la stabilité ou l'instabilité d'un équilibre indépendamment du sens de l'écart, ssi multiplication par , la C.N.S. [70] précédente en termes de
     Généralités : Ayant vu la possibilité de définir la stabilité ou l'instabilité d'un équilibre indépendamment du sens de l'écart, ssi le terme prépondérant du D.L. [41] de est « pair » c.-à-d.
     Généralités : Ayant vu la possibilité de définir la stabilité ou l'instabilité d'un équilibre indépendamment du sens de l'écart, ssi « avec » [75] d'où
     Généralités : Ayant vu la possibilité de définir la stabilité ou l'instabilité d'un équilibre indépendamment du sens de l'écart, ssi le terme prépondérant du D.L. [41] de étant de même signe
          Généralités : Ayant vu la possibilité de définir la stabilité ou l'instabilité d'un équilibre indépendamment du sens de l'écart, ssi le terme prépondérant du D.L. de étant que
     Généralités : Ayant vu la possibilité de définir la stabilité ou l'instabilité le D.L. [41] de est « minimal » en la position d'équilibre si est , l'équilibre étant alors « stable »,
     Généralités : Ayant vu la possibilité de définir la stabilité ou l'instabilité le D.L. [41] de est « maximal » en la position d'équilibre si est , l'équilibre étant alors « instable ».

     Généralités : Ayant vu la possibilité de définir la stabilité ou l'instabilité d'un équilibre indépendamment du sens de l'écart, si le terme prépondérant du D.L. [41] de est « impair » c.-à-d.
     Généralités : Ayant vu la possibilité de définir la stabilité ou l'instabilité d'un équilibre indépendamment du sens de l'écart, si « avec »,
     Généralités : Ayant vu la possibilité de définir la stabilité ou l'instabilité d'un équilibre indépendamment du sens de l'écart, on ne peut pas définir la stabilité ou l'instabilité d'un équilibre
     Généralités : Ayant vu la possibilité de définir la stabilité ou l'instabilité d'un équilibre indépendamment du sens de l'écart, on ne peut pas définir indépendamment du sens de l'écart, en effet
               Généralités : Ayant vu la possibilité de définir si est , le D.L. [41] de avec en étant stationnaire en la position d'équilibre
               Généralités : Ayant vu la possibilité de définir si est , le profil de présente « un replat dans une montée » [67] le point d'inflexion du profil énergétique en la
               Généralités : Ayant vu la possibilité de définir si est , position d'équilibre y étant stationnaire présente, par rapport aux portions du profil en deçà et au-delà du
               Généralités : Ayant vu la possibilité de définir si est , point d'inflexion, respectivement une crête et une cuvette un équilibre instable à gauche et stable à droite soit
               Généralités : Ayant vu la possibilité de définir si est , point d'inflexion, respectivement une crête et une cuvette un équilibre « globalement instable » [53],
               Généralités : Ayant vu la possibilité de définir si est , le D.L. [41] de avec en étant stationnaire en la position d'équilibre
               Généralités : Ayant vu la possibilité de définir si est , le profil de présente « un replat dans une descente » [67] le point d'inflexion du profil énergétique en la
               Généralités : Ayant vu la possibilité de définir si est , position d'équilibre y étant stationnaire présente, par rapport aux portions du profil en deçà et au-delà du
               Généralités : Ayant vu la possibilité de définir si est , point d'inflexion, respectivement une cuvette et une crête un équilibre stable à gauche et instable à droite soit
               Généralités : Ayant vu la possibilité de définir si est , point d'inflexion, respectivement une cuvette et une crête un équilibre « globalement instable » [53].

     Résumé de l'étude : Détaillons les possibilités de terme prépondérant du D.L. [41] de à l'ordre le plus bas non nul en au voisinage de  :

     Résumé de l'étude : cas usuel  : le développement de au voisinage de est limité à l'ordre deux du signe de pour ,

     Résumé de l'étude : cas usuel avec , est « minimal » en et l'équilibre est « stable »,

     Résumé de l'étude : cas usuel avec , est « maximal » en et l'équilibre est « instable » ;

     Résumé de l'étude : cas peu fréquent  : le développement de au voisinage de est limité à l'ordre trois ou plus :

     Résumé de l'étude : cas peu fréquent  : avec , changeant de signe simultanément avec [54] correspondant à un
       Résumé de l'étude : cas peu fréquent  : avec , changeant de signe simultanément avec équilibre stable d'un côté et
       Résumé de l'étude : cas peu fréquent  : avec , changeant de signe simultanément avec équilibre instable de l'autre donc
       Résumé de l'étude : cas peu fréquent  : avec , changeant de signe simultanément avec équilibre « globalement instable »,

     Résumé de l'étude : cas peu fréquent  : avec mais , de même signe que pour d'où
       Résumé de l'étude : cas peu fréquent  : avec mais , l'équilibre est soit stable soit instable, plus précisément

     Résumé de l'étude : cas peu fréquent  : avec avec , est « minimal » en la position d'équilibre et ce dernier est « stable »,

     Résumé de l'étude : cas peu fréquent  : avec avec , est « maximal » en la position d'équilibre et ce dernier est « instable » ;

     Résumé de l'étude : cas inexistant en pratique [55] , et  : le développement de au voisinage de est limité à l'ordre cinq ou plus,
            Résumé de l'étude : cas inexistant en pratique , et  : si limité à l'ordre cinq, changeant de signe avec [56]
              Résumé de l'étude : cas inexistant en pratique , et  : si limité à l'ordre cinq, équilibre « globalement instable » mais,
            Résumé de l'étude : cas inexistant en pratique , et  : si avec , on a
              Résumé de l'étude : cas inexistant en pratique , et  : si avec , on a du signe de équilibre
              Résumé de l'étude : cas inexistant en pratique , et  : si avec , on a « stable » si [72] et
              Résumé de l'étude : cas inexistant en pratique , et  : si avec , on a « instable » si [73],
              Résumé de l'étude : cas inexistant en pratique , et  : si avec ,

Résultats fondamentaux concernant la stabilité (ou l'instabilité) d'un équilibre de point matériel à un degré de liberté en termes de profil d'énergie potentielle[modifier | modifier le wikicode]

     Suivant la nature de la stationnarité du profil d'énergie potentielle du point matériel à un degré de liberté en la position d'équilibre étudiée, on en déduit que cet équilibre est

  • « stable » si « l'énergie potentielle est localement minimale » en la position d'équilibre,
  • « instable » si « l'énergie potentielle est localement maximale » en la position d'équilibre et
  • « globalement instable » c.-à-d. stable d'un côté et instable de l'autre si, en la position d'équilibre, « le profil d'énergie potentielle admet un point d'inflexion » [76].

Notes et références[modifier | modifier le wikicode]

  1. 1,00 1,01 1,02 1,03 1,04 1,05 1,06 1,07 1,08 1,09 1,10 1,11 1,12 1,13 1,14 1,15 1,16 1,17 et 1,18 Pendule Pesant Simple.
  2. C.-à-d. d'une tige rigide, de longueur constante, sans masse.
  3. C.-à-d. d'un fil inélastique sans masse.
  4. 4,0 et 4,1 Il convient d'ajouter un schéma de situation en précisant la base locale polaire liée à dans le plan du mouvement ainsi que les forces qui lui sont appliquées.
  5. Pour que le P.P.S. soit à un degré de liberté, il suffit qu'il soit lancé dans les C.I. notées en absence de vitesse initiale ou si le vecteur vitesse initiale est dans le plan vertical de lancement, voir le paragraphe « conditions initiales (C.I.) de lancement 1a ou 1b induisant un mouvement du P.P.S. à un degré de liberté » du chap. de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) ».
  6. Voir le paragraphe « mise en équation du P.P.S. par application de la r.f.d.n. (le P.P.S. étant N.A. à un degré de liberté) » du chap. de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) ».
  7. Voir le paragraphe « en complément, mise en équation du P.P.S.A. (à un degré de liberté) » du chap. de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) ».
  8. 8,0 8,1 8,2 et 8,3 C'est une appellation personnelle que nous utiliserons par la suite de façon à être plus concis.
  9. 9,0 et 9,1 A priori, s'il y a mouvement, ces deux forces ne se compensent pas car on doit avoir avec non identiquement nulle ;
       par contre, dans les positions d'équilibre, il y a compensation car .
  10. Non Amorti.
  11. Amorti.
  12. La plupart des actions sont « conservatives », nous nous limiterons à ce cas.
  13. Toutes les réactions sont « non conservatives » ou considérées comme telles.
  14. Dans le cas du P.P.S. amorti ou non une seule composante d'action « motrice » la composante du poids sur .
  15. Ou « composante tangentielle de réaction solide » ; on remarquera que celle-ci ne disparaît pas avec le mouvement mais elle s'adapte en effet quand il y a mouvement la force de frottement solide est de norme avec composante normale de réaction alors qu'en absence de mouvement elle est inférieure à .
  16. Cette composante de réaction motrice disparaît avec le mouvement car de norme usuellement à ou  ;
       dans le cas du P.P.S.A. il y a une composante de réaction « motrice » la force de frottement fluide laquelle n’existe pas dans le cas du P.P.S.N.A..
  17. Dans le cas du P.P.S. amorti ou non une seule composante d'action « non motrice », la composante du poids sur .
  18. Dans le cas du P.P.S. amorti ou non une seule composante de réaction « non motrice » la tension de la tige .
  19. 19,0 19,1 19,2 et 19,3 Condition Nécessaire.
  20. Ce n'est pas la seule C.N. d'équilibre possible mais c'est la seule qui peut être utilisée en l'état de nos connaissances actuelles ;
       il y aura aussi « la somme des moments vectoriels des forces appliquées évalués par rapport à un point fixe, nulle » quand la notion de moment vectoriel de force par rapport à un point aura été introduite, voir le paragraphe « définition (du vecteur moment d'une force par rapport à un point) » du chap. de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ».
  21. Jean Frédéric Frenet (1816 - 1900) est un mathématicien, astronome et météorologue français à qui on doit six des neuf formules de géométrie différentielle associées au trièdre (ou base) de Serret-Frenet Joseph-Alfred Serret (1819 - 1885) mathématicien et astronome français ayant trouvé indépendamment ces formules.
  22. Voir le paragraphe « rappel, notion d'abscisse curviligne d'un point et de vecteur unitaire tangentiel, 1er vecteur de la base locale de Frenet associée » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
  23. C.-à-d. celles au 2ème vecteur unitaire normal principal de base de Frenet l'adaptation correspondant à une compensation en la position d'équilibre car l'absence de vitesse instantanée du point y entraîne la nullité de l'accélération normale avec rayon de courbure de la trajectoire en cette position,
       C.-à-d. celles au 3ème vecteur unitaire normal secondaire de base de Frenet étant naturellement compensées dans la mesure où l'accélération du point n'admet jamais de composante sur cette direction ;
       revoir les paragraphes « 2ème et 3ème vecteurs de la base de Frenet associée à un point de la courbe étudiée » et « définition simultanée du 2ème vecteur de base locale de Frenet et du rayon de courbure en un point non anguleux d'une courbe quelconque (gauche ou plane) » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »
       revoir leainsi que ceux « composante locale de Frenet du vecteur vitesse du point repéré sur sa trajectoire dans le référentiel d'étude, vitesse instantanée du point » et « composantes locales de Frenet du vecteur accélération du point repéré sur sa trajectoire dans le référentiel d'étude, accélérations tangentielle et normale du point » du chap. de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) ».
  24. Dans le cas du P.P.S. la composante orthoradiale de la force « motrice » est , les valeurs correspondant bien aux zéros de .
  25. Voir le paragraphe « distinction entre forces motrices et forces non motrices dans le cas du P.P.S. à un degré de liberté » plus haut dans ce chapitre.
  26. Voir le paragraphe « diagramme d'énergies potentielle et mécanique du P.P.S. à un degré de liberté lancé dans les conditions initiales (C.I.) 1a » du chap. de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) ».
  27. 27,0 27,1 et 27,2 C.-à-d. une différentielle de fonction encore appelée différentielle totale.
  28. Voir le paragraphe « 2ème définition (équivalente) d'une force conservative » du chap. de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) ».
  29. Voir le paragraphe « 1ère définition de l'énergie potentielle d'un point matériel dans un champ de force conservative » du chap. de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) ».
  30. Voir le paragraphe « 2ème définition (équivalente) de l'énergie potentielle d'un point matériel dans un champ de force conservative » du chap. de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) ».
  31. 31,0 et 31,1 Car le cœfficient de l'élément différentiel de la variable ne dépend que de cette variable.
  32. 32,0 32,1 32,2 et 32,3 On rappelle que dans laquelle représente le paramètre de position.
  33. Mais il est souvent préférable de procéder par prise de primitive de soit suivie de détermination de la constante par choix de référence soit
  34. Voir le paragraphe « expression du vecteur déplacement élémentaire d'un point en repérage cylindro-polaire » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
  35. 35,0 et 35,1 Voir le paragraphe « composantes cylindro-polaires du gradient d'une fonction scalaire de l'espace » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
  36. Mais il est souvent préférable de procéder par prise de primitive de soit suivie de détermination de la constante par choix de référence soit
  37. 37,0 37,1 37,2 et 37,3 Le qualificatif « stationnaire » s'applique quand la dérivée de la fonction s'annule, il peut s'agir
    • d'un extrémum, c.-à-d. d'un maximum ou d'un minimum, dans ce cas la dérivée 2nde est généralement non nulle dans le cas où elle l'est, la 1ère dérivée non nulle est d'ordre pair ou encore
    • d'un point d'inflexion à tangente à l'axe des abscisses, dans ce cas la dérivée 2nde est nulle, la dérivée 3ème ne l'étant généralement pas dans le cas où elle l'est, la 1ère dérivée non nulle est d'ordre impair.
  38. 38,0 et 38,1 Avec lâcher sans vitesse initiale.
  39. Par exemple l'équilibre d'un point soumis à une force dont la composante s'annule pour c.-à-d. ce qui correspond à la définition d'un équilibre
       Par exemple l'équilibre d'un point soumis à une force dont la composante s'annule pour telle que et soient toutes deux
       Par exemple l'équilibre d'un point correspond à un équilibre stable pour en effet la force tend à ramener le point vers la position d'équilibre car est et
       Par exemple l'équilibre d'un point correspond à un équilibre instable pour en effet la force tend à éloigner le point de la position d'équilibre car est  ;
       l'équilibre stable par écart de la position d'équilibre d'un côté avec lâcher sans vitesse initiale et instable quand l'écart initial avec le même lâcher est introduit de l'autre côté est dit « globalement instable » car, même si l'écart initial avec lâcher sans vitesse initiale est réalisé du côté stable, le passage par la position d'équilibre lors du retour se faisant avec une vitesse non nulle a pour conséquence le dépassement de cette position d'équilibre amenant le point dans la zone instable et par suite son éloignement de plus en plus grand.
  40. 40,0 40,1 40,2 40,3 40,4 et 40,5 C.-à-d. tel que .
  41. 41,00 41,01 41,02 41,03 41,04 41,05 41,06 41,07 41,08 41,09 41,10 41,11 41,12 41,13 41,14 41,15 41,16 41,17 41,18 41,19 41,20 41,21 41,22 41,23 41,24 41,25 41,26 41,27 41,28 41,29 41,30 41,31 41,32 41,33 41,34 41,35 41,36 41,37 41,38 41,39 41,40 41,41 41,42 et 41,43 Développement Limité.
  42. 42,0 et 42,1 Voir le paragraphe « notion de D.L. d'ordre p d'une fonction d'une variable de classe Cn au voisinage d'une de ses valeurs, l'ordre p étant < à n » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
  43. 43,0 et 43,1 Voir le paragraphe « D.L. à l'ordre un de quelques fonctions usuelles » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
  44. La force est « de rappel » si sa composante est toujours de signe contraire à l'écart relativement au paramètre repérant la position d'équilibre.
  45. La force est « répulsive » si sa composante est toujours de même signe que l'écart relativement au paramètre repérant la position d'équilibre.
  46. L'ordre zéro étant nul par définition d'un équilibre ou , on s’arrêtera le plus souvent à l'ordre un qui sera non nul si ou mais si ce dernier est nul c.-à-d. si ou on limitera le développement à l'ordre deux dans la mesure où ou sinon on poussera jusqu'à l'ordre trois ou plus en s'arrêtant au 1er ordre non nul
  47. 47,0 47,1 47,2 et 47,3 Sous-entendu « à l'ordre le plus bas non nul » en de ou de au voisinage de ou de .
  48. 48,0 48,1 et 48,2 Si l'ordre le plus bas non nul est impair c.-à-d. usuellement « un » ou très rarement « trois », en pratique jamais au-delà, l'équilibre est
    • « stable » dans l'hypothèse où le cœfficient de cet ordre est négatif de façon à ce que le D.L. soit « de rappel » ou
    • « instable » s'il est positif, le D.L. étant alors « de répulsion » ;
       si l'ordre le plus bas non nul est pair c.-à-d. usuellement « deux », pratiquement jamais au-delà, l'équilibre est « stable d'un côté » et « instable de l'autre » par exemple si le cœfficient de cet ordre est positif, le D.L. de force est toujours positif l'écart par rapport à la position d'équilibre étant élevé au carré, ainsi un léger déplacement vers la gauche écart négatif correspondant à un D.L. de force positif entraîne un retour vers la position d'équilibre d'où « stable à gauche » et un léger déplacement vers la droite écart positif correspondant à un D.L. de force positif entraîne un éloignement de la position d'équilibre d'où « instable à droite », il est donc « globalement instable ».
  49. 49,0 49,1 49,2 et 49,3 Voir le paragraphe « énoncé du théorème de Taylor-Young » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
  50. 50,0 50,1 50,2 et 50,3 Brook Taylor (1685 - 1731) est un mathématicien anglais à qui on doit essentiellement le théorème connu sous le nom de Taylor établi en et qui possède plusieurs variantes dont celle de Taylor-Young.
       William Henry Young (1863 - 1942) est un mathématicien anglais ayant travaillé dans de nombreux domaines dont les séries de Fourier et le calcul différentiel, il apporta aussi une contribution au théorème de Taylor, ce qui donna le théorème (ou formule) de Taylor-Young.
  51. 51,0 51,1 51,2 et 51,3 Bien sûr les ordres dans cet énoncé n'ayant de sens que si est à .
  52. 52,0 52,1 52,2 et 52,3 C.-à-d. d'ordre un si ou si ,
                                      C.-à-d. d'ordre deux si mais ou si mais ,
                                      C.-à-d. d'ordre trois si , mais ou si , mais et
                                      C.-à-d. ainsi de suite
  53. 53,0 53,1 53,2 53,3 53,4 53,5 53,6 et 53,7 L'équilibre stable par écart de la position d'équilibre d'un côté avec lâcher sans vitesse initiale et instable quand l'écart initial avec le même lâcher est introduit de l'autre côté est dit « globalement instable » car, même si l'écart initial avec lâcher sans vitesse initiale est réalisé du côté stable, le passage par la position d'équilibre lors du retour se faisant avec une vitesse non nulle a pour conséquence le dépassement de cette position d'équilibre amenant le point dans la zone instable et par suite son éloignement de plus en plus grand.
  54. 54,0 54,1 54,2 et 54,3 étant de même signe que .
  55. 55,0 55,1 55,2 et 55,3 Mais qui en théorie pourrait exister
  56. 56,0 56,1 56,2 et 56,3 étant de même signe que .
  57. Cas du P.P.S. à un degré de liberté pour l'équilibre repéré par , la dérivée de par rapport à la variable de position conduisant à et par suite à .
  58. Cas du P.P.S. à un degré de liberté pour l'équilibre repéré par , la dérivée de par rapport à la variable de position conduisant à et par suite à .
  59. Voir le paragraphe « rappel de la 2ème définition d'une force conservative et les deux définitions équivalentes de l'énergie potentielle dont dérive la force » plus haut dans ce chapitre.
  60. 60,0 60,1 et 60,2 En nous limitant aux seuls cas existant pratiquement.
  61. Cette méthode étant déduite de celle rappelée ci-dessus pour déterminer algébriquement la stabilité ou l'instabilité d'un équilibre de point matériel en termes de force.
  62. En effet l’ordre zéro étant ou n'est pas nécessairement nul, il ne l'est que si la référence de l'énergie potentielle a été choisie en cette position d'équilibre.
  63. L'ordre un étant nul par définition de l'équilibre, le 1er ordre non nul autre que l'ordre zéro est au minimum l'ordre deux.
  64. Ou une cuvette.
  65. 65,0 65,1 et 65,2 La composante de force « motrice » étant à l'opposé de la dérivée d'énergie potentielle par rapport au paramètre de position.
  66. Ou une bosse.
  67. 67,0 67,1 67,2 67,3 et 67,4 Un replat dans une montée correspond à une partie horizontale en deçà et au-delà de laquelle le chemin est respectivement une crête et une cuvette ;
                                             un replat dans une descente correspond à une partie horizontale en deçà et au-delà de laquelle le chemin est respectivement une cuvette et une crête.
  68. 68,0 et 68,1 C.-à-d. d'ordre deux si ou si ,
                        C.-à-d. d'ordre trois si mais ou si mais ,
                        C.-à-d. d'ordre quatre si , mais ou si , mais et
                        C.-à-d. ainsi de suite
  69. Voir le paragraphe « cas d'une force motrice unidirectionnelle selon l'axe x'x (méthode de détermination « algébrique » de la stabilité ou de l’instabilité d'un équilibre de point matériel à un degré de liberté en termes de force) » plus haut dans ce chapitre.
  70. 70,0 et 70,1 Condition Nécessaire et Suffisante.
  71. En effet avec soit, en posant , , compte-tenu du lien entre force et énergie potentielle.
  72. 72,0 et 72,1 En effet le profil énergétique est localement minimal en la position d'équilibre étudiée.
  73. 73,0 et 73,1 En effet le profil énergétique est localement maximal en la position d'équilibre étudiée.
  74. Voir le paragraphe « cas d'une force motrice s'appliquant tangentiellement à la trajectoire circulaire de rayon R décrite par le point subissant la force (méthode de détermination « algébrique » de la stabilité ou de l’instabilité d'un équilibre de point matériel à un degré de liberté en termes de force) » plus haut dans ce chapitre.
  75. En effet avec soit, en posant , , compte-tenu du lien entre force et énergie potentielle.
  76. Comme, en cette position, l'énergie potentielle y est stationnaire, la tangente au profil d'énergie potentielle en ce point d'inflexion y est Échec de l’analyse (erreur de syntaxe): {\displaystyle \;\parallel\;/math> à l'axe des abscisses <math>\;\big(} par abus, on dit parfois « horizontale ».