Leçons de niveau 14

Mécanique 1 (PCSI)/Approche énergétique du mouvement d'un point matériel : Énergie potentielle et énergie mécanique

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Approche énergétique du mouvement d'un point matériel : Énergie potentielle et énergie mécanique
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Chapitre no 16
Leçon : Mécanique 1 (PCSI)
Chap. préc. :Approche énergétique du mouvement d'un point matériel : Lois de la puissance et de l'énergie cinétiques
Chap. suiv. :Approche énergétique du mouvement d'un point matériel : Mouvement conservatif
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Mécanique 1 (PCSI)/Approche énergétique du mouvement d'un point matériel : Énergie potentielle et énergie mécanique
 », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.
Les notions de ce chapitre sont introduites dans le cadre de la dynamique newtonienne.

......Préliminaire : Le caractère « conservatif » d'une force n'est introduit que pour les « forces ne dépendant pas explicitement du temps » ;

......Préliminaire : une force dépendant explicitement du temps[1] sera, a priori, considérée comme « non conservative » même si elle est, à temps figé, conservative (au sens d'une des deux définitions équivalentes données ci-après) …

Sommaire

1ère définition d'une force « conservative »[modifier | modifier le wikicode]



......Remarque : Une force étant un cas particulier de champ vectoriel de l'espace au plus tridimensionnel, on retrouve dans la 1ère définition d'une force conservative celle d'un champ vectoriel à circulation conservative [voir le paragraphe « Notion de champ vectoriel à circulation conservative » du chapitre 28 de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »].

......Conséquence : étant indépendant de [mais dépendant de et de peut s'écrire sous la forme d'une différence de fonction énergétique [notée temporairement prise entre et c'est-à-dire

.

2ème définition (équivalente) d'une force « conservative » et condition(s) nécessaire(s) [mais a priori non suffisante(s)] pour qu'une force soit conservative[modifier | modifier le wikicode]

2ème définition (équivalente) d'une force « conservative »[modifier | modifier le wikicode]



......Remarque : Une force étant un cas particulier de champ vectoriel de l'espace au plus tridimensionnel, on retrouve dans la 2ème définition d'une force conservative celle d'un champ vectoriel à circulation conservative [voir le paragraphe « Définition équivalente d'un champ vectoriel à circulation conservative » du chapitre 28 de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »].

......Conséquence : étant une différentielle exacte[5] d'une fonction énergétique [notée temporairement c'est-à-dire


en notant le point infiniment voisin de tel que .

Justification de l'équivalence entre les deux définitions[modifier | modifier le wikicode]

......Justification directe « 1ère définition 2ème définition » : si « le travail de entre deux positions fixées est indépendant du chemin utilisé », cela est encore vrai pour deux points infiniment voisins et tels que ce qui se réécrit « le travail élémentaire de ne dépend que des points extrêmes et et non du chemin utilisé » c'est-à-dire que « le travail élémentaire est effectivement une différentielle exacte[5] de la fonction énergétique notée temporairement , ».

......Justification réciproque « 2ème définition 1ère définition » : Si « le travail élémentaire de est une différentielle exacte[5] de la fonction énergétique notée temporairement », « le travail de entre et est égal à sans référence au chemin utilisé » montrant que « le travail est effectivement indépendant du chemin utilisé pour aller de à ».

Condition(s) nécessaire(s) [mais a priori non suffisante(s)] pour qu'une force soit conservative[modifier | modifier le wikicode]

......Préliminaire : Une force étant un cas particulier de champ vectoriel d'un espace au plus tridimensionnel, pour étudier les C.N.[6] (mais a priori non suffisantes) pour qu'une force définie en un point d'un espace à deux ou trois dimensions soit conservative voir aussi le paragraphe « C.N. (mais non suffisantes) pour qu'un champ vectoriel de l'espace à deux ou trois dimensions soit à circulation conservative » du chapitre 28 de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » ;

......Préliminaire : quant au cas d'une force définie en un point d'un espace unidimensionnel correspondant au cas d'un champ vectoriel d'un espace à une dimension qui n'est pas abordé dans le chap. 28 de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) », il est traité à la fin du paragraphe ci-dessous.

......C.N.[6] pour qu'une force définie en un point d'un espace tridimensionnel soit conservative : Une force , fonction des trois coordonnées cartésiennes, cylindro-polaires ou sphériques du point notées [7] est conservative si les dérivées croisées des fonctions cœfficients des éléments de coordonnées cartésiennes, cylindro-polaires ou sphériques notés [8] de son travail élémentaire sont égales ce qui s'écrit, suivant le type de repérage,

  • en repérage cartésien : ,
  • en repérage cylindro-polaire : [9] et
  • en repérage sphérique : [10] ;

......~C.N. ~pour qu'une force définie en un point d'un espace tridimensionnel soit conservative : ~le cas où le point se déplace dans un espace à deux dimensions étant un cas particulier de point se déplaçant dans un espace à trois dimensions avec un déplacement identiquement nul sur la 3ème dimension, la C.N.[6] (mais a priori non suffisante) pour que la force définie en un point d'un espace à deux dimensions soit conservative se déduit des C.N.[6] (mais a priori non suffisantes) pour que la force définie en un point d'un espace à trois dimensions soit conservative, le nombre de conditions passant alors de trois à une …

......C.N.[6] pour qu'une force définie en un point d'un espace unidimensionnel soit conservative : Dans le cas d'une force est le point générique d'une courbe continue repéré par sa coordonnée [11], le travail élémentaire de la force s'écrivant [12] ou est une différentielle exacte[5] si [13] (c'est-à-dire la fonction cœfficient de l'élément du travail élémentaire) ne dépend que de la variable [14].

Conditions suffisantes pour qu'une force soit conservative[modifier | modifier le wikicode]

......Rappel de préliminaire : Une force étant un cas particulier de champ vectoriel d'un espace au plus tridimensionnel, pour étudier les C.S.[15] pour qu'une force définie en un point d'un espace à deux ou trois dimensions soit conservative voir aussi le paragraphe « C.S. pour qu'un champ vectoriel de l'espace à deux ou trois dimensions soit à circulation conservative » du chapitre 28 de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » ;

......Rappel de préliminaire : quant au cas d'une force définie en un point d'un espace unidimensionnel correspondant au cas d'un champ vectoriel d'un espace à une dimension qui n'est pas abordé dans le chap. 28 de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) », il est traité à la fin du paragraphe ci-dessous.

......Ci-dessous le théorème de Poincaré[16] appliqué aux forces d'un espace à deux ou trois dimensions précisant les conditions suffisantes pour qu'une force soit conservative.

Début d’un théorème


Fin du théorème

......C.S.[15] pour qu'une force définie en un point d'un espace unidimensionnel soit conservative : Dans le cas d'une force est le point générique d'une courbe continue repéré par sa coordonnée [11] le travail élémentaire de la force s'écrivant [12] ou est une différentielle exacte[5] [c'est-à-dire la force est conservative pour à la courbe continue paramétré par si [13] (c'est-à-dire la fonction cœfficient de l'élément du travail élémentaire) ne dépend que de la variable [19] en y étant intégrable sur un intervalle ouvert du domaine de variation de cette variable[20].

......Remarque : Toutefois, en physique, les forces qui y sont introduites et pour lesquelles on vérifie la C.N.[6] pour qu'elles soient conservatives [à savoir l'égalité des dérivées croisées sur le travail élémentaire pour se déplaçant sur une surface ou dans une expansion tridimensionnelle continues ou encore pour se déplaçant sur une courbe continue paramétrée par la fonction cœfficient de ne dépendant que de ce qu'on peut résumer par le caractère fermé du travail élémentaire[18]] sont usuellement définies sur une partie étoilée[17] et par suite il est d'usage d'affirmer que les forces sont conservatives (c'est-à-dire que leur travail élémentaire est une différentielle exacte[5]) sans vérifier le caractère étoilé[17] de la partie sur laquelle elles sont définies.

Énergie potentielle d'un point matériel dans un champ de force conservative[modifier | modifier le wikicode]

1ère définition de l'« énergie potentielle d'un point matériel dans un champ de force conservative »[modifier | modifier le wikicode]



......dans le S.I.[23] des unités de mesures, l'énergie potentielle s'exprime en .

Propriétés de l'« énergie potentielle d'un point matériel dans un champ de force conservative »[modifier | modifier le wikicode]


...... : L'« énergie potentielle d'un point matériel dans un champ de force conservative » étant définie à une constante additive près, il faut donc toujours préciser la « référence de l'énergie potentielle dont dérive la force conservative » c'est-à-dire l'« endroit où l'énergie potentielle est choisie nulle ».


...... : Le travail d'une force conservative entre deux positions fixées est la différence de l'énergie potentielle du point matériel dans le champ de force conservative entre positions initiale et finale quelle que soit la courbe suivie soit

[3] indépendant de
se réécrit avec
.

2ème définition (équivalente) de l'« énergie potentielle d'un point matériel dans un champ de force conservative »[modifier | modifier le wikicode]



......Justification de l'équivalence[25] : La 1ère définition de l'énergie potentielle du point matériel dont dérive la force conservative étant

et

.......Justification de l'équivalence ~: ~ le gradient du champ scalaire étant défini de façon intrinsèque comme le champ vectoriel tel que sa circulation élémentaire[26] soit la différentielle du champ scalaire[24] c'est-à-dire

[24],

.......Justification de l'équivalence ~: ~ on en déduit, en faisant la somme de ces deux relations et par suite

 ;

.......Justification de l'équivalence ~: ~ réciproquement si on multiplie chaque membre de scalairement par , on obtient dans le membre de gauche le travail élémentaire de la force et dans le membre de droite l'opposé de la différentielle de l'énergie potentielle[24] c'est-à-dire la 1ère définition de l'énergie potentielle du point matériel dont dérive la force conservative.

1ère justification du signe « - » dans la définition de l'« énergie potentielle d'un point matériel dans un champ de force(s) conservative(s) » par réécriture du théorème de l'énergie cinétique[modifier | modifier le wikicode]

......Appliquons, entre un instant initial et un instant final , le théorème de l’énergie cinétique au point matériel dans un référentiel galiléen en distinguant

  • les « forces conservatives » dont on utilisent le caractère conservatif en introduisant une énergie potentielle dans le champ de chaque force conservative notée
  • des « forces non conservatives »[27] ,

......cela donne dans laquelle on remplace le travail de chaque force conservative en fonction de l'énergie potentielle dont elle dérive d'où la réécriture du théorème de l'énergie cinétique soit encore, en transposant les termes d'énergies potentielles (ce qui entraîne un changement de signe), c'est-à-dire une relation définissant une nouvelle grandeur énergétique, somme de l'énergie cinétique et des énergies potentielles, grandeur restant constante en absence de travail des forces non conservatives[27] ;

......on comprend donc l'importance du signe dans la définition de l’énergie potentielle associée à une force conservative, devenant, lors de son changement de membre, et ainsi « la nouvelle grandeur énergétique conservée en absence de travail des forces non conservatives[27] » est la « somme » (et non la différence) de deux termes ;

......la nouvelle grandeur énergétique est donc le résultat de deux contributions

  • l'une dépendant de la cinétique du point [28] et
  • l'autre dépendant de la position du point dans le champ de forces conservatives [29].

Exemples de forces « non conservatives »[modifier | modifier le wikicode]

La plupart des « forces de contact » pouvant s'exercer sur le point étudié sont des forces « non conservatives »[modifier | modifier le wikicode]

Forces de contact d'un solide, sans ou avec frottement solide[modifier | modifier le wikicode]

......La réaction d'un solide sur lequel repose ou se déplace un point matériel [30] est non conservative ;

......si le contact est sans frottement et s'il y a glissement de sur le solide avec n'importe quelle courbe continue que le point peut suivre sur la surface du solide pour aller de à , car étant à la surface du solide en est toujours au vecteur déplacement élémentaire  ; en conclusion

la réaction d'un solide sur un point y glissant sans frottement ne développe « aucun travail » ;

......si le contact est avec frottement et s'il y a glissement de sur le solide avec n'importe quelle courbe continue que le point peut suivre sur la surface du solide pour aller de à , car la composante tangentielle de la réaction [31] est toujours colinéaire et de sens opposé au vecteur déplacement élémentaire la courbe étant orientée par le vecteur unitaire tangentiel de Frenet[32] , on peut écrire le vecteur déplacement élémentaire selon [33] est l'abscisse curviligne de sur [34] mesurée à partir de l'origine choisie sur celle-ci et la force de frottement solide s'écrit avec [35] soit, en utilisant la loi empirique de Coulomb[36] du frottement solide avec glissement[37] avec le cœfficient de frottement dynamique et la composante normale de la réaction[38], d'où l'expression du travail de la force de frottement [3] [39] soit, dans l'hypothèse d'un glissement dans le sens de , [40] et, dans le cas assez fréquent où avec un glissement dans le sens de , [41], ce résultat montrant clairement (dans le cas où la composante normale de la réaction reste constante) que le travail de la force de frottement dépend effectivement du chemin suivi, ceci restant vrai même si n'est pas constante ; en conclusion

la réaction d'un solide sur un point y glissant avec frottement solide développe « un travail négatif »,
la force de frottement est donc toujours « résistive » (on la qualifie aussi de « dissipative »).

Forces de frottement au contact d'un fluide, frottement fluide (ou visqueux) linéaire ou non[modifier | modifier le wikicode]

......La résistance à l'avancement [42] d'un point matériel dans un fluide[43] est non conservative, que le frottement soit linéaire[44], quadratique[45] ou autres[46] ; son travail le long de la courbe suivie par pour aller de à , [3] est car, pour un solide assimilable à un point matériel, est toujours colinéaire et de sens contraire au vecteur déplacement élémentaire la courbe étant orientée par le vecteur unitaire tangentiel de Frenet name="Frenet" /> , on peut écrire le vecteur déplacement élémentaire selon [33] est l'abscisse curviligne de sur [34] mesurée à partir de l'origine choisie sur celle-ci et la force de frottement fluide s'écrit, quelle que soit sa forme, avec [47] avec fonction de [48], d'où l'expression du travail de la force de frottement fluide [3] [39] soit, dans l'hypothèse d'un déplacement dans le sens de , [49] et, dans le cas très fréquent de forme quadratique pour la force de frottement fluide où avec une constante positive caractéristique de la viscosité dynamique du fluide> La définition de la viscosité dynamique d'un fluide n'est pas au programme de P.C.S.I. mais on peut en donner une 1ère notion élémentaire en considérant une couche de fluide de faible épaisseur se déplaçant sur un plan immobile, le plan exercera sur la couche une force de frottement qui tendra à ralentir le déplacement de la couche et ceci d'autant plus que le fluide sera visqueux (c'est-à-dire qu'il « collera » au plan) ;
...on peut trouver plus de détails dans la note 26 du chapitre 6 de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) ».</ref> ainsi que de la densité de ce dernier[50], [51], ce résultat permettant (dans le cas d'une forme quadratique de la force de frottement fluide) d'établir, à condition de connaître la loi horaire de vitesse instantanée[48] ainsi que celle d'abscisse curviligne[34] du point, que le travail de la force de frottement fluide dépend effectivement du chemin suivi[52], ceci restant vrai quelle que soit la forme de la force de frottement fluide ; en conclusion

la résistance à l'avancement d'un fluide [42] sur un point développe « un travail négatif »,
est donc toujours « résistive » (on la qualifie aussi de « dissipative »).

......Remarque : On pouvait aussi dire qu'une force de frottement fluide dépendant explicitement de la vitesse et non de la position ne définit pas un champ de forces et qu'il est par conséquent inutile d'envisager son caractère conservatif, toutefois la justification ci-dessus a permis de souligner son caractère résistif simultanément à la vérification de son caractère non conservatif.

Forces de liaison par fil idéal tendu[modifier | modifier le wikicode]

......La force exercée par un fil idéal[53] tendu sur un point matériel [54] dont la norme définit la tension du fil idéal[53] est non conservative, son travail élémentaire n’étant en général pas une différentielle exacte[5],[55].

......Exemple de l'ascension verticale d'un point matériel à l'aide de la force exercée par une corde idéale[53] : on suspend un point matériel de masse à l'aide d'une corde idéale[53] dans le champ de pesanteur terrestre uniforme ; sur s'exercent

  • son poids qui fait que le point descendrait en absence d'autres forces et
  • la réaction exercée par la corde tendant à s'opposer au mouvement que le point suivrait s'il n'était soumis qu'à son poids d'où verticale ascendante ;

......Exemple de l'ascension verticale d'un point matériel à l'aide de la force exercée par une corde idéale ~ : ~ l'application de la r.f.d.n.[56] au point dans le référentiel terrestre supposé galiléen donne ou, en prenant vecteur unitaire vertical ascendant, c'est-à-dire que la tension de la corde est directement liée au mouvement que l'on veut imposer au point  ;

......Exemple de l'ascension verticale d'un point matériel à l'aide de la force exercée par une corde idéale ~ : ~ lorsqu'on veut hisser un objet d'une position à une autre position on peut régler le mouvement de montée [c'est-à-dire régler en modifiant la tension de la corde] et le travail de cette force exercée par la corde dépendant alors de la façon dont la montée est effectuée ne dépend pas uniquement des positions extrêmes d'où le caractère « non conservatif »[57] de cette force.

......Ascension ou descente freinée verticales d'un point matériel à l'aide de la force exercée par une corde idéale[53] : pour une montée il est nécessaire que soit , le travail élémentaire de la force exercée par la corde s’écrivant avec est tel que est , le travail de la force exercée par la corde pour montant de à le long de la verticale vaut [3] qui nécessite de connaître le mouvement le long de la trajectoire verticale pour terminer l'évaluation, cette dernière vérifiant que le travail de la force exercée par la corde ne dépend pas uniquement des positions extrêmes[58],[59] et par suite que la force exercée par la corde est d'une part effectivement « non conservative » et d'autre part, dans ce cas d'ascension, motrice ;

......Ascension ou descente freinée verticales d'un point matériel à l'aide de la force exercée par une corde idéale ~ : ~ pour une descente il est nécessaire que soit , le travail élémentaire de la force exercée par la corde s’écrivant avec et dans la mesure où la corde reste tendue est tel que est , le travail de la force exercée par la corde pour descendant de à le long de la verticale vaut [3] qui nécessite de connaître le mouvement le long de la trajectoire verticale pour terminer l'évaluation, cette dernière vérifiant que le travail de la force exercée par la corde ne dépend pas uniquement des positions extrêmes[58],[60] et par suite que la force exercée par la corde est d'une part effectivement « non conservative » et d'autre part, dans ce cas de descente, résistive ;

en conclusion la force exercée par une corde idéale[53] sur un point développe « un travail positif ou négatif »,
est donc « motrice ou résistive » (si elle est résistive on la qualifie aussi de « dissipative »).

Seule « force de contact » pouvant s'exercer sur le point étudié « conservative » : force exercée par un ressort idéal[modifier | modifier le wikicode]

......Parmi toutes les forces de contact [détaillées dans le chap. 6 de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) »] qu'un point peut subir c'est l'« unique force de contact conservative »[61], elle sera étudiée au paragraphe « 3ème exemple de force conservative : la tension d'un ressort idéal lié à un point matériel et l'énergie potentielle élastique du point » plus bas dans ce chapitre …

Définition de l'énergie mécanique d'un point matériel dans un champ de force(s) conservative(s)[modifier | modifier le wikicode]



......dans le S.I.[23] des unités, l'énergie mécanique s'exprime, comme l'énergie cinétique et l'énergie potentielle dans un champ de forces conservatives, en  ;

......l'énergie mécanique étant, par l'intermédiaire de l'énergie potentielle dans un champ de forces conservatives, définie à une constante additive près, il faut, lors de la définition de l'énergie mécanique, préciser la « référence de l'énergie potentielle dont dérive le champ de forces conservatives » c'est-à-dire l'« endroit où l'énergie potentielle est choisie nulle ».

Théorème de la variation de l'énergie mécanique d'un point matériel dans un champ de force(s) conservative(s)[modifier | modifier le wikicode]

......Les théorèmes de la variation de l'énergie mécanique d'un point matériel dans un champ de force(s) conservative(s) ne sont pas explicitement au programme de physique de P.C.S.I., seuls les cas de conservation introduits dans le paragraphe « Point matériel à mouvement conservatif » plus bas dans ce chapitre et qui seront détaillés au chap. 17 de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » sont explicitement au programme de physique de P.C.S.I..

Énoncé du « théorème de la variation de l'énergie mécanique » d'un point matériel dans un champ de force(s) conservative(s)[modifier | modifier le wikicode]


Début d’un théorème


Fin du théorème

......Selon ce théorème on peut affirmer que les causes de la variation de l’énergie mécanique d'un point matériel dans un champ de forces conservatives sur une durée finie sont les travaux (non nuls) des forces non conservatives[27] sur cette même durée.

Énoncé du « théorème de la variation de l'énergie mécanique » d'un point matériel « sur une durée élémentaire » dans un champ de force(s) conservative(s)[modifier | modifier le wikicode]


Début d’un théorème


Fin du théorème

......Selon ce théorème on peut affirmer que les causes de la variation élémentaire de l’énergie mécanique d'un point matériel dans un champ de forces conservatives sont les travaux élémentaires (non nuls) des forces non conservatives[27].

Démonstration du « théorème de la variation de l'énergie mécanique » d'un point matériel dans un champ de force(s) conservative(s)[modifier | modifier le wikicode]

......La démonstration du théorème de la variation de l'énergie mécanique d'un point matériel dans un champ de force(s) conservative(s) appliqué sur un intervalle de temps de durée finie a déjà été effectuée dans le paragraphe « 1ère justification du signe “-” dans la définition de l'énergie potentielle d'un point matériel dans un champ de force(s) conservative(s) » plus haut dans ce chapitre, la nouvelle grandeur énergétique qui y a été introduite étant en fait l'énergie mécanique du point ;

......le théorème de la variation de l'énergie mécanique d'un point matériel dans un champ de force(s) conservative(s) appliqué à une durée élémentaire découle du théorème de la variation de l'énergie mécanique d'un point matériel dans un champ de force(s) conservative(s) appliqué sur un intervalle de temps de durée finie, il suffit de poser et

Point matériel « à mouvement conservatif »[modifier | modifier le wikicode]



......Propriété d'un point matériel à mouvement conservatif dans un référentiel galiléen : d'après l'un ou l'autre des théorèmes de la variation de l'énergie mécanique d'un point matériel dans un champ de forces conservatives appliqué à un point matériel « à mouvement conservatif », on déduit la propriété suivante :

« Dans un référentiel galiléen, l'énergie mécanique d'un point matériel à mouvement conservatif est conservée »[64].

2ème justification du signe « - » dans la définition de l'« énergie potentielle d'un point matériel dans un champ de force conservative » par explication de la façon de créer la réserve d'énergie potentielle dans le champ de force conservative[modifier | modifier le wikicode]

Exposé de la méthode à utiliser pour constituer la réserve d'énergie potentielle dont dérive une force conservative[modifier | modifier le wikicode]

......Pour constituer la réserve d'énergie potentielle du point matériel dont dérive la force conservative qui lui est imposé dans un référentiel galiléen, on exerce sur

......une force motrice compensant à chaque instant la force conservative et

~......~une force motrice ~Fmot(M)~ permettant le déplacement du point d'une position initiale vers une position finale de façon « quasi-statique »[65],

......le travail développé dans par la force motrice constituant alors l'augmentation d'énergie potentielle du point matériel dans le champ de la force conservative en « absence de travail des éventuelles forces non conservatives[27] à déplacement quasi-statique[65] »[66] soit

Justification de la constitution de la réserve d'énergie potentielle dont dérive une force conservative[modifier | modifier le wikicode]

......Supposant l'absence de forces non conservatives[27] travaillant lors d'un déplacement quasi-statique[65],[66] c'est-à-dire l'absence de forces comme « la tension d'une corde ou une force de frottement solide »[67],[68], on exerce sur , dans le référentiel d'étude supposé galiléen, une force motrice compensant à chaque instant la force conservative , soit

[69] et

......on applique au point matériel dans galiléen, le théorème de la variation de l'énergie mécanique dans le champ de force conservative soit

avec
par déplacement quasi-statique[65]
soit finalement .

......Or la force motrice étant choisie telle que , on en déduit aisément d'où, par report dans l'expression précédemment obtenue par application du théorème de la variation de l'énergie mécanique du point dans le champ de la force conservative et en absence de forces non conservatives[27] travaillant lors d'un déplacement quasi-statique[65],

,
ce qui justifie la présence du signe «» dans la définition de l'énergie potentielle de dans le champ de la force conservative .

Définition de la « puissance mécanique d'un point matériel dans un champ de force conservative » et énoncé de la forme locale « théorème de la puissance mécanique » associée à la forme intégrale « théorème de la variation de l'énergie mécanique »[modifier | modifier le wikicode]

Définition de la « puissance mécanique d'un point matériel dans un champ de force(s) conservative(s) »[modifier | modifier le wikicode]

......La puissance mécanique d'un point matériel dans un champ de force(s) conservative(s) définie dans le référentiel d'étude à l'instant est la dérivée temporelle de l'énergie mécanique du point dans le champ de force(s) conservative(s) définie dans le même référentiel et au même instant c'est-à-dire [70] [comme il n'y a aucune notation particulière pour noter la puissance mécanique nous utiliserons la notation compacte .

Établissement de la forme locale associée à la forme intégrée « théorème de la variation de l'énergie mécanique »[modifier | modifier le wikicode]

......À partir du théorème de la variation d'énergie mécanique d'un point matériel dans un champ de force(s) conservative(s) appliqué dans un référentiel galiléen sur une durée élémentaire , on peut trouver la forme locale associée à cette forme intégrale[71] écrite sous forme élémentaire en divisant cette dernière par soit ou, en reconnaissant la puissance mécanique dans le membre de droite et enfin en reconnaissant la puissance des forces non conservatives[27] dans le membre de gauche .

Énoncé du « théorème de la puissance mécanique d'un point matériel dans un champ de force(s) conservative(s) »[modifier | modifier le wikicode]


Début d’un théorème


Fin du théorème

......Selon ce théorème on peut affirmer que les causes de la variation instantanée de l’énergie mécanique d'un point matériel dans un champ de forces conservatives sont les puissances (non nulles) des forces non conservatives[27].

Retour sur le cas d'un point matériel « à mouvement conservatif »[modifier | modifier le wikicode]

......On peut énoncer la définition d'un point matériel à mouvement conservatif d'une façon légèrement modifiée comme ci-dessous :

......Définition (équivalente) : Un point matériel est dit « à mouvement conservatif » dans un référentiel si toutes les forces appliquées y sont conservatives ou si les éventuelles forces non conservatives[27] ne développent aucune puissance c'est-à-dire si .

......Conséquence dans un référentiel galiléen : L'application du théorème de la « puissance mécanique » à un point matériel à mouvement conservatif dans un référentiel galiléen nous conduisant à une « puissance mécanique nulle » nous permet d'affirmer la « conservation de l'énergie mécanique du point matériel à mouvement conservatif dans le référentiel galiléen ».

1er exemple de force conservative : le « poids d'un point matériel » (dans le champ de pesanteur terrestre uniforme) et l'« énergie potentielle de pesanteur du point »[modifier | modifier le wikicode]

Établissement du caractère « conservatif » du poids d'un point matériel (dans le champ de pesanteur terrestre uniforme)[modifier | modifier le wikicode]

......Supposant le champ de pesanteur terrestre « uniforme »[72], le poids d'un point matériel de masse à savoir s'écrit, en cartésienne ou cylindro-polaire avec vertical ascendant, est l'intensité de la pesanteur terrestre ;

......pour prouver le caractère conservatif du poids du point matériel on forme son travail élémentaire et on vérifie qu'il s'agit d'une différentielle exacte[5] soit, en cartésien, [73] qui est effectivement une différentielle exacte[5] dans la mesure où « le cœfficient de ne dépend que de et est intégrable sur tout ouvert de »[74] (en effet le cœfficient de est une constante) d'où

le poids d'un point matériel dans le champ de pesanteur terrestre uniforme[72] est une force conservative.

« Énergie potentielle de pesanteur d'un point matériel » (dans le champ de pesanteur terrestre uniforme)[modifier | modifier le wikicode]

......L'énergie potentielle du point matériel dans le champ de pesanteur terrestre uniforme[72] encore appelée « énergie potentielle de pesanteur » et notée , se détermine par soit [75] ou [76]  ;

......en choisissant la référence de l'énergie potentielle de pesanteur en (niveau du sol) c'est-à-dire , on en déduit .

......À retenir : Si l'axe est vertical ascendant, « avec la référence en » [l'énergie potentielle de pesanteur est une fonction de l'altitude  ;

......À retenir : si on oriente l'axe vertical dans le sens descendant, on obtient, « avec la même référence, »[77] [l'énergie potentielle de pesanteur est une fonction de la profondeur .

Signification physique de l'« énergie potentielle de pesanteur d'un point matériel » (dans le champ de pesanteur terrestre uniforme)[modifier | modifier le wikicode]

......Toute énergie potentielle d'un point matériel est une « réserve d'énergie pour »

  • utilisable pour « être transformée spontanément en une autre forme d'énergie (par exemple de l'énergie cinétique) »[78] et
  • « dont on peut provoquer la reconstitution par apport énergétique » ;

......cela étant vrai pour toute énergie potentielle est donc applicable dans le cas particulier de l'énergie potentielle de pesanteur :

...... un point matériel au repos à une altitude , possède l’énergie potentielle de pesanteur si la référence de cette dernière est choisie au niveau du sol et possède la même énergie mécanique car initialement le point matériel est au repos ;
...... ">" abandonné à lui-même, il chute spontanément en acquérant de l’énergie cinétique à partir de 0 et parallèlement sa réserve d’énergie potentielle de pesanteur , la chute correspondant à une « conservation de l'énergie mécanique du point matériel en absence de frottements de l'air »[79]

...... si on veut reconstituer sa réserve d'énergie potentielle (c'est-à-dire le replacer à l'altitude initiale , il faut exercer sur lui une force motrice ascendante de manière « quasi-statique »[65], cela correspondant à une transformation d'une partie de notre énergie musculaire (énergie potentielle pour nous) en énergie potentielle de pesanteur du point sa réserve d’énergie potentielle de pesanteur selon le théorème de la variation d’énergie mécanique [80] ;
...... ">" la force motrice à exercer pour que le mouvement de se fasse de façon « quasi-statique »[65] est l'opposé de soit [81] et par suite ce qui permet une nouvelle fois de vérifier la justesse de l'introduction du signe «» dans la définition de l'énergie potentielle .

2ème exemple de force conservative : la « force de gravitation créée par un astre sur un point matériel » et l'« énergie potentielle gravitationnelle du point »[modifier | modifier le wikicode]

Le contenu de ce paragraphe s'applique à tout « astre à symétrie sphérique »[82], c'est une bonne approximation pour
le Soleil «  »[83] et les planètes qui gravitent autour de lui (dont la Terre «  »[83]) ainsi que
les plus gros satellites naturels de ces planètes (dont la Lune «  »[84],[85]).

Expression de la force de gravitation créée par un « astre à symétrie sphérique » sur un point matériel, cas particulier de la Terre[modifier | modifier le wikicode]

......On utilise le repérage sphérique de pôle, le centre de l'astre de masse et de rayon , les coordonnées sphériques du point matériel de masse sont et la base sphérique liée à , [86] ;

......la position de restant à l'extérieur de l'astre c'est-à-dire telle que , l'astre crée autour de lui un espace champ de gravitation de vecteur champ gravitationnel au point égal à dans lequel est la constante de gravitation universelle valant [87] et

......le point matériel de masse subit, de la part de l'astre, une force d'attraction gravitationnelle .

......La force de gravitation terrestre exercée sur un point matériel de masse s’écrit donc .

Établissement du caractère « conservatif » de la force de gravitation qu'un astre à symétrie sphérique exerce sur un point matériel, cas particulier de la Terre[modifier | modifier le wikicode]

......Pour prouver le caractère conservatif de la force d'attraction gravitationnelle que l'astre à symétrie sphérique[82] exerce sur le point matériel , on forme son travail élémentaire et on vérifie qu'il s'agit d'une différentielle exacte[5] soit, en sphérique, qui est effectivement une différentielle exacte[5] dans la mesure où « le cœfficient de ne dépend que de et est intégrable sur tout ouvert de »[74] en effet le cœfficient de est une fonction en qui s'intègre en d'où

la force d'attraction gravitationnelle que
l'astre à symétrie sphérique[82] exerce sur le point matériel est une force conservative.

......On en déduit donc que

la force de gravitation terrestre exercée sur un point matériel de masse à savoir
est une force conservative.

Énergie potentielle gravitationnelle d'un point matériel dans le champ d'un astre à symétrie sphérique, cas particulier de la Terre[modifier | modifier le wikicode]

......L'énergie potentielle gravitationnelle du point matériel dans le champ de gravitation créé par l'astre à symétrie sphérique[82] notée , se détermine par soit [88] ou [89] [90] ;

......en choisissant la référence de l'énergie gravitationnelle due à l'astre à symétrie sphérique[82] à l'infini de ce dernier soit , on en déduit d'où l'expression de l'énergie potentielle gravitationnelle du point matériel dans le champ de gravitation de l'astre à symétrie sphérique[82]

avec référence à l'infini[91],
[l'énergie potentielle gravitationnelle due à l'astre est une fonction de la distance du point au centre de l'astre].

......On en déduit donc que

l'énergie potentielle de gravitation terrestre d'un point matériel de masse s'écrit
avec référence à l'infini[91],
[l'énergie potentielle de gravitation terrestre est une fonction de la distance du point au centre de la Terre[92]].

......Autre choix de référence pour l'énergie potentielle gravitationnelle due à l'astre à symétrie sphérique[82] : référence au niveau du sol de l'astre soit dont on déduit soit et par suite l'expression de l'énergie potentielle gravitationnelle du point matériel dans le champ de gravitation de l'astre à symétrie sphérique[82]

avec référence à la surface de l'astre[93],
[l'énergie potentielle gravitationnelle due à l'astre est une fonction de la distance du point au centre de l'astre].

............Avec ce choix de référence, on en déduit que

l'énergie potentielle de gravitation terrestre d'un point matériel de masse s'écrit
avec référence à la surface terrestre[93],
[l'énergie potentielle de gravitation terrestre est une fonction de la distance du point au centre de la Terre].

Tracé de l'énergie potentielle de gravitation terrestre d'un point matériel en fonction de sa distance au centre de la Terre[modifier | modifier le wikicode]

Tracé du graphe de l'énergie potentielle gravitationnelle terrestre d'un point matériel de masse m en fonction de sa distance r au centre de la Terre, avec référence à l'infini, l'abscisse et l'ordonnée étant en grandeurs réduites

......Voir ci-contre, l'énergie potentielle gravitationnelle terrestre du point matériel de masse avec choix de la référence à l'infini s'écrivant , son graphe en fonction de est une portion de branche d'hyperbole équilatère partant du point et croissant jusqu'à l'asymptote horizontale confondue avec l'axe des .

......Le tracé avec choix de référence au niveau de la surface de la Terre se déduit du tracé ci-contre par translation dans le sens positif de de la quantité , on obtient ainsi une portion de branche d'hyperbole équilatère partant du point et croissant jusqu'à l'asymptote horizontale confondue avec la droite à l'axe des et d'ordonnée .

Comparaison de l'énergie potentielle de gravitation terrestre d'un point matériel et celle de pesanteur du même point matériel avec une même référence au niveau du sol[modifier | modifier le wikicode]

......Pour faire la comparaison nous allons considérer , ceci permettant de réécrire l’énergie potentielle de gravitation terrestre avec référence au niveau du sol selon [on vérifie qu'il s'agit d'une fonction de l'altitude  ;

......dans le cas où l'objet gravitant autour de la Terre reste à une altitude petite par rapport au rayon terrestre par exemple , on pourrait considérer comme un infiniment petit d'ordre un et réécrire l'énergie potentielle de gravitation terrestre de l'objet en faisant apparaître cet infiniment petit d'ordre un soit ou, en en prenant un D.L.[94] à l'ordre un [95] soit

avec
l'intensité du champ de gravitation terrestre sur la Terre.

......En 1ère approximation on peut confondre l'intensité du champ de gravitation terrestre sur la surface de la Terre avec l'intensité de la pesanteur terrestre au niveau du sol , on remarque alors l'identification de l'énergie potentielle gravitationnelle terrestre du point matériel dans l'hypothèse où avec son énergie potentielle de pesanteur terrestre à champ de pesanteur uniforme soit

si , si est uniforme.

3ème exemple de force conservative : la « tension d'un ressort idéal lié à un point matériel » et l'« énergie potentielle élastique du point »[modifier | modifier le wikicode]

Rappel de la « loi de Hooke » donnant l'expression de la tension d'un ressort idéal lié à un point matériel, cas où l'autre extrémité est fixe[modifier | modifier le wikicode]