Limites d'une fonction/Annexe/Limite en zéro : approche expérimentale

Limite d'une fonction naturellement définie en zéro

Soit la fonction ƒ définie sur $\mathbb {R}$ par pour tout $x\in \mathbb {R} ,~f(x)=x^{3}+2$

1. Remplir le tableau suivant :

${\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|}x&1&0,1&0,01&0,001&0,000\,1\\\hline f(x)&\cdots &\cdots &\cdots &\cdots &\cdots \end{array}}$

2. Si ƒ(x) s'approche de plus en plus près d'une valeur L quand x s'approche de zéro, on dit que ƒ tend vers L quand x tend vers zéro, ou que ƒ a pour limite L en zéro. Cela se note $\lim _{x\to 0}f(x)=L$

Quel est un bon candidat pour $\lim _{x\to 0}f(x)$ dans notre exemple ?

Solution

1. Remplir le tableau suivant :

${\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|}x&1&0,1&0,01&0,001&0,000\,1\\\hline f(x)&3&2,001&2,000\,001&2,000\,000\,001&2,000\,000\,000\,001\end{array}}$

2. On peut conjecturer que, dans notre cas, $\lim _{x\to 0}f(x)=2$

 

On pourrait croire que calculer la limite en zéro revient à remplacer x par 0 dans la formule qui donne $f(x)$, c'est-à-dire calculer $f(0)$.

Mais le problème de la limite d'une fonction en zéro se pose surtout lorsque cette fonction est bien définie « autour » de zéro par une formule algébrique, mais que cette formule n’est pas valable pour $x=0$.

Limite d'une fonction non définie en zéro

Soit la fonction ƒ définie par, pour $x>0,~f(x)={\frac {{\sqrt {x^{2}+1}}-1}{x}}$

1. Expliquer pourquoi ƒ n’est pas définie en 0.

2. Tracer la courbe de ƒ.

3. Remplir le tableau suivant :

${\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|}x&1&0,1&0,01&0,001&0,000\,1&0,000\,01\\\hline f(x)&\cdots &\cdots &\cdots &\cdots &\cdots &\cdots \end{array}}$

Quel est un bon candidat pour $\lim _{x\to 0}f(x)$ dans notre exemple ?

Solution

1. On ne peut pas diviser par 0 car x est au dénominateur.

2.

3. ${\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|}x&1&0,1&0,01&0,001&0,000\,1&0,000\,01\\\hline f(x)&0,414&0,050&0,005&4,99\cdot 10^{-4}&5\cdot 10{-5}&5\cdot 10^{-6}\end{array}}$

$\lim _{x\to 0}f(x)=0$

 

Exercice

Trouver $\lim _{x\to 0}f(x)$ dans les 3 cas suivants par expérimentation sur la calculatrice.

1. $f_{1}(x)={\frac {\sin(x)}{x}}$ $\lim _{x\to 0}f_{1}(x)=\cdots$

2. $f_{2}(x)={\frac {\sin(x)}{\sqrt {x}}}$ $\lim _{x\to 0}f_{2}(x)=\cdots$

3. $f_{3}(x)={\frac {(x+1)^{2}-1}{x^{3}}}$ $\lim _{x\to 0}f_{3}(x)=\cdots$

Solution

1. $\lim _{x\to 0}f_{1}(x)=1$

2. $\lim _{x\to 0}f_{2}(x)=0$

3. $\lim _{x\to 0}f_{3}(x)=+\infty$