Introduction à la logique mathématique/Quiz/Manipulation des opérateurs NON, ET et OU

Manipulation des opérateurs NON, ET et OU

Quiz no1
Leçon : Introduction à la logique mathématique
Chapitre du cours :	NON, ET, OU
Quiz de niveau 11.
Quiz préc. :	Sommaire
Quiz suiv. :	Composition des opérateurs NON, ET et OU

Exercices avec NON

1 Soit A la proposition suivante : « Tous les hommes sont barbus ». Cochez les formulations correctes de la proposition $\lnot A$

	« Tous les hommes ne sont pas barbus. »
	« Aucun homme n'est barbu. »
	« Il existe un homme qui n’est pas barbu. »
	« Il existe au moins un homme qui n’est pas barbu. »
	« Il n'existe qu'un seul homme qui n’est pas barbu. »

2 Soit A la proposition suivante : « $x=2$ ». Cochez les formulations correctes de la proposition $\lnot A$

	« $x<2$ »
	« $x>2$ »
	« $x\neq 2$ »
	« $(x>2)\wedge (x<2)$ »
	« $(x>2)\vee (x<2)$ »
	« $(x\geq 2)\wedge (x\leq 2)$ »
	« $(x\geq 2)\vee (x\leq 2)$ »

Exercice avec ET

3 Voici une liste de propositions A et B simples, dont vous connaissez la valeur de vérité. Dans chaque cas, exprimez la valeur de vérité de la proposition $A\wedge B$.

V	F
		A : « Paris est la capitale de la France. » et B : « 1 + 1 = 2 »
		A : « Un chat a cinq pattes. » et B : « Un carré a quatre côtés. »
		A : « Un triangle rectangle a un angle droit. » et B : « Deux droites parallèles se coupent en un point. »
		A : « 3 × 8 = 32 » et B : « Paris est la capitale de la France. »
		A : « Berlin est la capitale de l'Espagne. » et B : « Un triangle rectangle a trois côtés égaux. »
		A : « Une mouche sait voler. » et B : « Le Canada est un pays du continent américain. »

Exercice avec OU

4 Voici une liste de propositions A et B simples, dont vous connaissez la valeur de vérité. Dans chaque cas, exprimez la valeur de vérité de la proposition $A\vee B$.

V	F
		A : « Paris est la capitale de la France. » et B : « 1 + 1 = 2 »
		A : « Un chat a cinq pattes. » et B : « Un carré a quatre côtés. »
		A : « Un triangle rectangle a un angle droit. » et B : « Deux droites parallèles se coupent en un point. »
		A : « 3 × 8 = 32 » et B : « Paris est la capitale de la France. »
		A : « Berlin est la capitale de l'Espagne. » et B : « Un triangle rectangle a trois côtés égaux. »
		A : « Une mouche sait voler. » et B : « Le Canada est un pays du continent américain. »

Exercice : L'opérateur OU EXCLUSIF

Exercice

Soient A et B deux propositions logiques. Le but de l'exercice est de construire la table de vérité de la proposition logique $((\lnot A)\wedge B)\vee (A\wedge (\lnot B))$. On va procéder pour ce faire en plusieurs étapes.

5 On souhaite établir la table de vérité de la première proposition : $(\lnot A)\wedge B$

${\begin{array}{|c|c||c|c|}A&B&\lnot A&(\lnot A)\wedge B\\\hline F&F&\color {Red}{\cdots }&\color {Red}{\cdots }\\F&V&\color {Red}{\cdots }&\color {Red}{\cdots }\\V&F&\color {Red}{\cdots }&\color {Red}{\cdots }\\V&V&\color {Red}{\cdots }&\color {Red}{\cdots }\\\end{array}}$

Complétez d’abord la colonne des valeurs prises par $\lnot A$

VRAI	FAUX
		Première ligne
		Deuxième ligne
		Troisième ligne
		Quatrième ligne

6 Déduisez-en les valeurs prises par $(\lnot A)\wedge B$ :

VRAI	FAUX
		Première ligne
		Deuxième ligne
		Troisième ligne
		Quatrième ligne

7 On souhaite maintenant établir la table de vérité de la deuxième proposition : $A\wedge (\lnot B)$

${\begin{array}{|c|c||c|c|}A&B&\lnot B&A\wedge (\lnot B)\\\hline F&F&\color {Red}{\cdots }&\color {Red}{\cdots }\\F&V&\color {Red}{\cdots }&\color {Red}{\cdots }\\V&F&\color {Red}{\cdots }&\color {Red}{\cdots }\\V&V&\color {Red}{\cdots }&\color {Red}{\cdots }\\\end{array}}$

Complétez d’abord la colonne des valeurs prises par $\lnot B$

VRAI	FAUX
		Première ligne
		Deuxième ligne
		Troisième ligne
		Quatrième ligne

8 Déduisez-en les valeurs prises par $A\wedge (\lnot B)$ :

VRAI	FAUX
		Première ligne
		Deuxième ligne
		Troisième ligne
		Quatrième ligne

9 On peut maintenant s'intéresser à la table de vérité de l’expression totale $((\lnot A)\wedge B)\vee (A\wedge (\lnot B))$

${\begin{array}{|c|c||c|c||c|}A&B&(\lnot A)\wedge B&A\wedge (\lnot B)&((\lnot A)\wedge B)\vee (A\wedge (\lnot B))\\\hline F&F&\cdots &\cdots &\color {Red}{\cdots }\\F&V&\cdots &\cdots &\color {Red}{\cdots }\\V&F&\cdots &\cdots &\color {Red}{\cdots }\\V&V&\cdots &\cdots &\color {Red}{\cdots }\\\end{array}}$

Reportez dans la table de vérité ci-dessus les résultats obtenus aux questions 2 et 4. Déduisez-en la table de vérité finale de cette expression.

VRAI	FAUX
		Première ligne
		Deuxième ligne
		Troisième ligne
		Quatrième ligne

Justifier alors l'appellation « OU exclusif » pour cette expression.

Commentaire

L'opérateur qui, à deux propositions A et B, associe la proposition $((\lnot A)\wedge B)\vee (A\wedge (\lnot B))$, s’appelle l'opérateur OU EXCLUSIF.

En anglais, OU EXCLUSIF se dit XOR, contraction de EXCLUSIVE OR. Il existe un composant électronique, la porte logique XOR, qui reproduit cette fonction de manière électronique. On la rencontre dans des montages aussi importants que les boucles à verrouillage de phase.

→ Voir le cours sur les portes logiques pour plus d'information à ce sujet.