Leçons de niveau 16

Introduction à l'élasticité/Quelques déformations simples

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Quelques déformations simples
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Chapitre no 4
Leçon : Introduction à l'élasticité
Chap. préc. :Déformations
Chap. suiv. :Contraintes
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Introduction[modifier | modifier le wikicode]

Nous avons jusqu'ici détaillé les outils qui permettaient de décrire les déformations subies par un solide. Nous allons maintenant voir différentes grandes catégories de déformations, qui nous permettront d’établir des repères (des modèles et des critères) pour mieux analyser les cas réels.

Champs de déplacement homogènes[modifier | modifier le wikicode]



Tout champ de déplacement qui n’est pas homogène est dit inhomogène.

Déformation pure[modifier | modifier le wikicode]



Toute déformation pure peut être décomposée comme la somme de trois simples extensions selon trois coordonnées perpendiculaires : .

Toute déformation pure isochore est une somme de cisaillement simples.

Simple extension[modifier | modifier le wikicode]

Extension le long d'une direction e.



Dans le cas particulier où , dans le repère orthonormé (O, e1, e2, e3) le champ de déplacement s'écrit :

Dilatation uniforme[modifier | modifier le wikicode]



Cisaillement simple[modifier | modifier le wikicode]

Cisaillement simple dans le plan.



Il est intéressant d'observer comment se traduit le cisaillement sur le tenseur de Green-Lagrange infinitésimal, dans un cas particulier : , , . Dans la base cartésienne :

Tout cisaillement simple d'un facteur par rapport au doublet () peut être décomposée comme somme de deux extensions simples d'un facteur selon .

Déviateur des déformations[modifier | modifier le wikicode]

Toute déformation pure peut être décomposée comme l'association d'une dilatation uniforme et d'une déformation pure isochore :

Avec :


Déformation moyenne[modifier | modifier le wikicode]

La déformation moyenne est définie par :

avec le vecteur unitaire normal à la surface infinitésimale d²S.

Champs inhomogènes[modifier | modifier le wikicode]

TODO : détailler des exemples de champs inhomogènes.


Introduction[modifier | modifier le wikicode]

Un cas particulier, mais instructif, est celui d'un solide indéformable. Sans changer le formalisme, cette hypothèse permet de simplifier certaines expressions et de mieux comprendre les déformations dans le cadre général.

Rotation et translation[modifier | modifier le wikicode]

Pour un solide indéformable, toute opération peut se ramener à la composition d'une translation et d'une rotation. Ainsi, une « déformation » du solide indéformable prend la forme suivante :

est un tenseur orthogonal (une rotation) et où X1 décrit la translation.

Dans ce cas,

.

Le tenseur de déformation est ainsi nul :

Panneau d’avertissement Cependant, le tenseur infinitésimal ne l'est pas nécessairement :
.

D'où cette remarque importante : le tenseur de déformation infinitésimal ne prend pas toujours en compte la déformations réelle lorsqu'elle est importante, alors que le tenseur fini le fait.

Déplacement rigide[modifier | modifier le wikicode]

Nous prenons la caractérisation suivante comme définition :








Décomposition du tenseur des déformations[modifier | modifier le wikicode]

Décomposition du tenseur des déformations

Tout tenseur d'ordre deux peut se décomposer (voir Chapitre 2, « décomposition polaire ») comme produit d'un tenseur orthogonal et d'un tenseur symétrique défini positif, c'est-à-dire :

  • une rotation (R) ;
  • suivie d'une élongation simple dans chaque direction (U ou V).

On a ainsi :