Leçons de niveau 14

Intégration (mathématiques)/Intégrales généralisées

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Intégrales généralisées
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Chapitre no 5
Leçon : Intégration (mathématiques)
Chap. préc. :Centre d'inertie
Chap. suiv. :Sommaire

Exercices :

Intégrales impropres
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Intégration (mathématiques)/Intégrales généralisées
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L'objectif de ce cours est d'apprendre à étudier la convergence (et éventuellement à faire le calcul) d'intégrales dont une borne est infinie comme :

ou encore avec au moins une borne où la fonction n’est pas définie et a une limite infinie comme :

.

Définitions et premières propriétés[modifier | modifier le wikicode]

Définition[modifier | modifier le wikicode]

On suppose dans la définition suivante (et même dans toute la suite) que le seul « problème » est sur la borne (on procéderait de même en cas de problème sur la borne d’en bas) :



Le symbole n'a de sens que si cette limite (éventuellement infinie) existe.

Début de l'exemple


Fin de l'exemple


Premières propriétés[modifier | modifier le wikicode]

Lorsqu’il y a un problème sur les deux bornes, on utilise la relation de Chasles sur les intégrales généralisées convergentes :



Il y a aussi linéarité des intégrales généralisées convergentes.

Cela se démontre en utilisant les propriétés des intégrales et en passant à la limite.

Remarque : Il faut « couper » pour connaître la nature d’une intégrale généralisée.

Par exemple, on a : converge et pourtant diverge ( est une primitive de et n'a pas de limite en l'infini).

Enfin, il y a les « fausses intégrales généralisées », celles où l’on règle le problème par prolongement par continuité de la fonction à intégrer :

Début de l'exemple


Fin de l'exemple

Calcul explicite[modifier | modifier le wikicode]

Comme dans le premier exemple ci-dessus, il est parfois possible, pour déterminer la nature d'une intégrale impropre en , d'expliciter la fonction par les techniques habituelles de calcul d'intégrales et de primitives (intégration par parties, changement de variable, etc. : voir la leçon Intégration en mathématiques et ses exercices), afin de calculer ensuite sa limite quand tend vers .

Exemple de Riemann[modifier | modifier le wikicode]

Le premier exemple de référence à connaître est :

Soit .

  • L'intégrale impropre
    converge si et seulement si .
  • L'intégrale (impropre en si )
    converge si et seulement si .

Autres exemples[modifier | modifier le wikicode]

Montrer que converge si et seulement si .

Montrer que .

Convergence absolue et théorème de comparaison[modifier | modifier le wikicode]

Théorème de comparaison pour les intégrales généralisées[modifier | modifier le wikicode]

On considère dans tout ce paragraphe des fonctions à valeurs positives.

Début d'un lemme


Fin du lemme

Voici maintenant le théorème central de ce paragraphe :

Début d’un théorème


Fin du théorème



Début de l'exemple


Fin de l'exemple

On rappelle que le « problème » est sur la borne d’en haut (c'est donc en que l’on effectue la comparaison de et ) :




Pour un rappel sur les relations de comparaison, voyez Fonctions d'une variable réelle/Relations de comparaison.


Début de l'exemple


Fin de l'exemple

Mais que faire pour des fonctions qui ne sont pas nécessairement positives ? Il faudra souvent tenter d’utiliser la convergence absolue :

Convergence absolue[modifier | modifier le wikicode]


Début d’un théorème


Fin du théorème


Début de l'exemple


Fin de l'exemple


Un exemple classique d'intégrale semi-convergente, c'est-à-dire convergente mais non absolument, est l'intégrale de Dirichlet .

Règle d'Abel[modifier | modifier le wikicode]

Début d’un théorème


Fin du théorème


Début de l'exemple


Fin de l'exemple


Note[modifier | modifier le wikicode]

  1. Avec un peu plus d'efforts, on peut aussi, comme dans le cas α = 1, faire une comparaison avec des intégrales de type Riemann : voir par exemple B. Beck, I. Selon et C. Feuillet, Maths MP Tout en un, Hachette Éducation, 2006 [lire en ligne], p. 305 .