Leçons de niveau 14

Intégration (mathématiques)/Intégrale et primitives

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Intégrale et primitives
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Chapitre no 3
Leçon : Intégration (mathématiques)
Chap. préc. :Propriétés de l'intégrale
Chap. suiv. :Centre d'inertie
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Intégration (mathématiques)/Intégrale et primitives
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Primitives d'une fonction[modifier | modifier le wikicode]

Le calcul de primitive est l'opération inverse du calcul de dérivée.



Début de l'exemple


Fin de l'exemple


On a les propriétés suivantes en utilisant les propriétés de la dérivation :


Panneau d’avertissement Attention ! n'est pas une primitive de , car sa dérivée est , qui n'a aucune raison d'être égale à .

Contre-exemple : Soient les fonctions et . On montre facilement que et sont des primitives respectivement de et mais pourtant :

1/ n’est pas une primitive de puisque

 ;

2/ est une primitive de car :

.



Primitives usuelles[modifier | modifier le wikicode]

Soient des constantes et un entier relatif.

Tableau des primitives simples
() si ; sinon

Le théorème fondamental de l'analyse : lien intégrale-primitives[modifier | modifier le wikicode]

Voici maintenant le lien entre l'intégration et les primitives :

Début d’un théorème


Fin du théorème


Remarques :

  • Dans la première partie du théorème, la variable est la « borne d’en haut » de l'intégrale : c’est pour cela qu'on parle parfois de « l'intégrale fonction de la borne d’en haut ».
  • Ce théorème montre que toute fonction continue admet des primitives.

Exemples :

Notion d'intégrale indéfinie (sans bornes) : Soit une fonction définie sur un intervalle admettant des primitives.

On note , l'ensemble de toutes les primitives de sur l'intervalle .

Donc, si est une primitive de sur  :

Par abus de langage, cette notation désigne aussi une primitive quelconque de  : il faut toutefois bien garder à l'esprit qu’il existe une infinité de primitives définies à une constante additive près.

Méthodes de calcul intégral[modifier | modifier le wikicode]

La principale méthode utilisée pour calculer des intégrales est d’abord l'usage du théorème fondamental de l'analyse.

Notez qu'on n'utilise (presque) jamais la définition théorique de l'intégrale pour calculer une intégrale.

Intégration par parties[modifier | modifier le wikicode]

Début d’un théorème


Fin du théorème


Exemples :

1/ Calculer .

On intègre par parties en posant :

On a donc :


2/ Une double intégration par parties :

Calculer .

On intègre par parties en posant :

On a donc :

Pour calculer la dernière intégrale, on intègre (encore) par parties en posant :

On a donc :

. On est revenu à l'intégrale qu'on voulait calculer : le serpent se mord la queue ! Est-on réellement bloqué pour autant ?

3/ Calculer

On ne connaît pas a priori de primitive de (et c’est bien ce qu'on cherche).

L'astuce dans ces cas-là (une fonction « seule » dont on ne connaît que la dérivée mais pas la primitive) consiste à intégrer par parties en posant :

.

(On a remarqué que , tout simplement !)

On a donc :

Donc (c'est un résultat à retenir) :


Changement de variables[modifier | modifier le wikicode]

Début d’un théorème


Fin du théorème


Remarque : Une fonction bijective de classe dont la réciproque est alors de classe est appelée un -difféomorphisme.

Pour utiliser cette formule en pratique :

  • poser et donc  ;
  • changer les bornes d'intégration : si , alors et si , alors .

Remarquez que cette formule s'utilise dans les deux sens, comme le montrent les exemples.

Exemples :

1/ .

On a fait le changement de variables et .

Pour les bornes : si , alors et si , alors .

2/ puisque .

On pose donc .
Alors à une constante près.

On a posé et donc .

Intégration des fractions rationnelles[modifier | modifier le wikicode]

Pour intégrer une fraction rationnelle (si la solution ne peut être trouvée directement avec les méthodes ci-dessus), il faut la décomposer en éléments simples . L'intégration devient ensuite relativement aisée sauf lorsqu'on rencontre des éléments simples de deuxième espèce de la forme :

et .

Pour calculer , il faut :

1/ Faire apparaître la dérivée du dénominateur au numérateur :

. La seule réelle difficulté qui est apparue est le calcul de . C'est ce calcul que l’on va chercher maintenant à effectuer.

2/ Remplacer par sa forme canonique :

On obtient .

On cherche à calculer .

3/ Calculer  :

  • Si , alors on obtient (voir « fonction arctan »).
  • Si , alors on pose et l'on a (tous calculs faits…) :

, qu'on calcule par linéarisation avec les formules d'Euler.

Règles de Bioche : intégration des fractions rationnelles en cos x et sin x[modifier | modifier le wikicode]


Voir Changement de variable en calcul intégral/Intégrales contenant des fonctions trigonométriques.