Leçons de niveau 14

Intégration (mathématiques)/Exercices/Propriétés de l'intégrale

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Propriétés de l'intégrale
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Exercices no4
Leçon : Intégration (mathématiques)

Ces exercices sont de niveau 14.

Exo préc. :Calculs d'aires
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Intégration (mathématiques)/Exercices/Propriétés de l'intégrale
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Exercice 4-1[modifier | modifier le wikicode]

Soit continue telle que .

Montrer que est constante et égale à 0 ou 1.

Exercice 4-2[modifier | modifier le wikicode]

Soit continue telle que

Montrer qu’il existe tel que

Exercice 4-3[modifier | modifier le wikicode]

Montrer que la suite définie par converge et calculer sa limite.

Exercice 4-4[modifier | modifier le wikicode]

  • Soient une fonction continue, T-périodique sur , et dans . Montrer que
  • Soient une fonction impaire sur , et . Que dire de  ? Quid si est paire ?

Exercice 4-5[modifier | modifier le wikicode]

Soit et de classe telle que . Montrer que :

Exercice 4-6[modifier | modifier le wikicode]

Soit et de classe . Montrer que :

.

Exercice 4-7[modifier | modifier le wikicode]

Référence : Frédéric Paulin, « Topologie, analyse et calcul différentiel », 2008, p. 260, lemme 7.23

Soient , et une fonction continue telle que

.

Démontrer que .

Exercice 4-8[modifier | modifier le wikicode]

Soient et des fonctions continues sur un intervalle (avec ).

On suppose que est croissante et que prend ses valeurs dans . On pose :

.
  1. Étudier les variations de la fonction définie par :
    .
    Montrer que .
  2. Comparer les fonctions et définies par :
     ;
    .
  3. Démontrer que :
    .
    Dans quel cas a-t-on l'égalité ?

Exercice 4-9[modifier | modifier le wikicode]

Soient un nombre complexe de partie réelle strictement positive et une application de classe C1 telle que . Montrer que .