Leçons de niveau 14

Intégration (mathématiques)/Exercices/Intégrales impropres

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Intégrales impropres
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Exercices no5
Leçon : Intégration (mathématiques)
Chapitre du cours : Intégrales généralisées

Ces exercices sont de niveau 14.

Exo préc. :Propriétés de l'intégrale
Exo suiv. :Sommaire
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Intégration (mathématiques)/Exercices/Intégrales impropres
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Soient .

Exercice 5-1[modifier | modifier le wikicode]

Nature de :

  1.  ?
  2.  ?
  3.  ?
  4.  ?
  5.  ?
  6.  ?
  7.  ?
  8.  ?

Exercice 5-2[modifier | modifier le wikicode]

Nature de et de  ?

Nature de :

  1.  ?
  2.  ?

Exercice 5-3[modifier | modifier le wikicode]

Nature de et de  ?

Nature de :

  1.  ?
  2.  ?
  3.  ?
  4.  ?
  5.  ?

Exercice 5-4[modifier | modifier le wikicode]

Soient une fonction localement intégrable, et . On suppose que . Est-il vrai que sous cette hypothèse :

  1. Si l'intégrale converge alors  ?
  2. Si est positive alors l'intégrale converge ?
  3. Si est positive alors  ?
  4. Si admet en une limite (finie ou infinie), alors l'intégrale converge ?
  5. Si est dérivable et de dérivée bornée, alors l'intégrale converge ?

Exercice 5-5[modifier | modifier le wikicode]

En admettant, bien que vous soyez supposé(e) savoir le trouver par vous-même, que

avec ,

calculer :

  1.  ;
  2.  ;
  3. .

Exercice 5-6[modifier | modifier le wikicode]

Pour quelle valeur de l'intégrale

est-elle convergente ? La calculer dans ce cas.

Rappel : une primitive de est .

Exercice 5-7[modifier | modifier le wikicode]

Montrer la convergence et calculer :

  1.  ;
  2.  ;
  3.  ;
  4.  ;
  5.  ;
  6.  ;
  7.  ;
  8.  ;
  9.  ;
  10. ().

Exercice 5-8[modifier | modifier le wikicode]

Soit .

  1. Signification physique pour un toboggan  ?
  2. Convergence et calcul pour une planche  ?
  3. Et pour  ?

Exercice 5-9[modifier | modifier le wikicode]

Soit une fonction continue telle que converge et soient . Pour tout , on pose :

.
  1. Montrer que .
  2. Montrer que si une fonction est continue et nulle en , alors .
  3. Déduire des deux questions précédentes que
    .
  4. Application : montrer que .

Exercice 5-10[modifier | modifier le wikicode]

Soit une fonction de classe C1 telle que soit bornée. Montrer que existe.