Leçons de niveau 14

Intégration (mathématiques)/Devoir/Un problème variationnel

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Un problème variationnel
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Devoir no5
Leçon : Intégration (mathématiques)

Ce devoir est de niveau 14.

Dev préc. :Intégrale de Dirichlet
Dev suiv. :Sommaire
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Intégration (mathématiques)/Devoir/Un problème variationnel
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Bulle caténoïde.png

Dans l'espace euclidien , on cherche la forme d'un film de savon qui s'appuie sur les deux cercles parallèles de rayon , d'axe , et centrés en . On admet que la surface cherchée, si elle existe, a une symétrie de révolution. Elle est alors décrite par sa trace dans le demi-plan . On admet de plus que est de classe C1. Le film a la propriété de minimiser son aire, égale à avec :

.
  1. Soit une fonction C1 sur qui s'annule aux extrémités. Pour , on note . Justifier que est dérivable en puis, que .
  2. Calculer . On pose . Montrer que .
  3. En déduire que .
  4. Vérifier que les fonctions de la forme sont solutions de l'équation différentielle sur qui traduit l'égalité précédente.
  5. Quelle condition doit satisfaire pour que soit effectivement solution du problème physique ?
  6. Quelle est l'allure du graphe de  ? (On pourra étudier le signe de .)
  7. On admet que si existe, elle est nécessairement de la forme . Existe-t-il toujours un film de savon qui s'appuie sur les deux cercles ?