Leçons de niveau 14

Intégration (mathématiques)/Devoir/Intégrale de Dirichlet

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Intégrale de Dirichlet
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Devoir no4
Leçon : Intégration (mathématiques)

Ce devoir est de niveau 14.

Dev préc. :Fonction Gamma et formule de Stirling
Dev suiv. :Un problème variationnel
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Intégration (mathématiques)/Devoir/Intégrale de Dirichlet
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— Ⅰ —
  1. Démontrer que l'intégrale impropre est absolument convergente.
  2. À l'aide d'une intégration par parties, en déduire que l'intégrale de Dirichlet est convergente.
  3. Retrouver ce résultat à l'aide de la règle d'Abel pour les intégrales.
  4. Démontrer que .
— Ⅱ —
  1. Démontrer qu'en tout réel , le noyau de Dirichlet est égal à .
  2. En déduire que .
— Ⅲ —
  1. Soit . Démontrer que .
  2. D'après le lemme de Riemann-Lebesgue, on a donc :
    .
    En déduire, à l'aide du Ⅱ, que .
  3. Retrouver ainsi que l'intégrale de Dirichlet converge et préciser sa valeur.