Leçons de niveau 14

Intégration (mathématiques)/Devoir/Fonction Gamma et formule de Stirling

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Fonction Gamma et formule de Stirling
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Devoir no3
Leçon : Intégration (mathématiques)

Ce devoir est de niveau 14.

Dev préc. :Intégrale de Gauss
Dev suiv. :Intégrale de Dirichlet
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Intégration (mathématiques)/Devoir/Fonction Gamma et formule de Stirling
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Wikipédia possède un article à propos de « Formule de Stirling ».
— Ⅰ —
  1. Démontrer que l'intégrale impropre
    converge si et seulement si le réel est strictement positif.
  2. Montrer que pour un tel , on a .
  3. En déduire la valeur de pour tout entier naturel .
— Ⅱ —
  1. En effectuant le changement de variable , vérifier que est égal à
    .
  2. Montrer que
    .
  3. En déduire que la bijection définie par :
    et est du même signe que
    vérifie :
    .
— Ⅲ —
  1. Déduire du Ⅱ que
    .
  2. En déduire que
    .
  3. En déduire les formules de Stirling :
.

Source[modifier | modifier le wikicode]

(anglais) Willi Freeden et Martin Gutting, Special Functions of Mathematical (Geo-)Physics, Springer, 2013 [lire en ligne], p. 34-36