Leçons de niveau 14

Intégration (mathématiques)/Devoir/Intégrale dépendant d'un paramètre

Une page de Wikiversité.
Aller à : navigation, rechercher
Intégrale dépendant d'un paramètre
Image logo représentative de la faculté
Devoir no1
Leçon : Intégration (mathématiques)

Ce devoir est de niveau 14.

Dev préc. : Sommaire
Dev suiv. : Intégrale de Gauss
Icon falscher Titel.svg
En raison de limitations techniques, la typographie souhaitable du titre, « Devoir : Intégrale dépendant d'un paramètre
Intégration (mathématiques)/Devoir/Intégrale dépendant d'un paramètre
 », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.




Soient :

  • l'ensemble des fonctions continues de dans  ;
  • l'ensemble des fonctions de dans .
— Ⅰ —

Soit définie par .

 Calculer (pour tout réel ).

2° a) Soit définie par (pour tout réel ).

Étudier le sens de variation de  ; en déduire que .
b) Étudier la variation de la fonction (on ne demande pas de tracer sa courbe représentative).


— Ⅱ —

 Soit l'application qui, à tout élément de , associe la fonction définie par :

(pour tout ).
Démontrer que l'application est linéaire.

 Pour toute fonction dérivable et de dérivée continue, on pose :

et .
Démontrer que (pour tout ) :
.


— Ⅲ —

Soient définies par :

.

Soit l'ensemble des fonctions :

pour tout triplet de nombres réels.

1° a) Déterminer les fonctions :

.
b) Soit un élément de . Calculer (pour tout ).
c) Démontrer que la restriction de à est injective.

2° a) Soit un élément de . Justifier le fait que est un intervalle fermé , avec .

b) Démontrer que .
c) En déduire que pour tout , il existe au moins un réel tel que .
Calculer dans le cas particulier :
et .