Leçons de niveau 18

Géométrie riemannienne/Définitions élémentaires

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Définitions élémentaires
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Chapitre no 1
Leçon : Géométrie riemannienne
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Métriques riemanniennes[modifier | modifier le wikicode]

Sur une variété différentielle M de dimension n, une métrique riemannienne de classe est une collection de formes bilinéaires symétriques définies positives gx sur chaque espace tangent de sorte que, pour tous champs de vecteurs X et Y sur M de classe , la fonction g(X,Y) soit de classe .

Usuellement, l'espace cotangent de M est noté . Ses sections sont par définition les 1-formes différentielles de M. Le fibré est le fibré vectoriel de M dont la fibre en x est l'espace des formes bilinéaires symétriques sur TxM. Une métrique riemannienne peut donc se définir comme une section globale de , en tout point définie positive.

Dans une carte locale, une métrique riemannienne g s'écrit :

sont les coefficients d'une matrice symétrique définie positive.

Exemples[modifier | modifier le wikicode]