Leçons de niveau 15

Géométrie affine/Exercices/Thalès, Ménélaüs et Ceva

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Thalès, Ménélaüs et Ceva
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Exercices no3
Leçon : Géométrie affine

Exercices de niveau 15.

Exo préc. :Applications affines
Exo suiv. :Sommaire
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Géométrie affine/Exercices/Thalès, Ménélaüs et Ceva
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Wikipédia possède un article à propos de « Mesure algébrique ».

Étant donnés trois points alignés tels que , la notation désigne le scalaire tel que .

Exercice 3-1[modifier | modifier le wikicode]

Thales theorem 3.svg
Wikipédia possède un article à propos de « Théorème de Thalès ».

Dans un espace affine, on se donne deux droites et et trois hyperplans parallèles distincts intersectant et respectivement en et , en et et en et .

Démontrer que (théorème de Thalès).

Exercice 3-2[modifier | modifier le wikicode]

Triangle-menelaos-1.svg
Wikipédia possède un article à propos de « Théorème de Ménélaüs ».

Soit dans un plan affine un triangle , et trois points appartenant respectivement aux droites et distincts des sommets .

On veut démontrer que sont alignés si et seulement si

.
  1. On suppose alignés.
    Soient l'homothétie de centre telle que et l'homothétie de centre telle que . On note le rapport de .
    1. Montrer que les deux droites et sont stables par .
    2. En déduire que est une homothétie de centre .
    3. En explicitant et , en déduire la relation .
  2. Réciproquement, on suppose vérifiée.
    1. En remarquant que , montrer que et sont sécantes.
    2. En considérant le point d'intersection de et et les résultats de la première question, montrer que et en déduire que les points sont alignés.

Exercice 3-3[modifier | modifier le wikicode]

MP-Ceva.svg
Wikipédia possède un article à propos de « Théorème de Ceva ».

Soit dans un plan affine un triangle , et trois points appartenant respectivement aux droites et distincts des sommets .

On veut démontrer que les trois droites , et sont parallèles ou concourantes si et seulement si

.
  1. On suppose . En appliquant le théorème de Thalès, montrer que et . En déduire .
  2. On suppose et l'on note le point commun aux trois droites , et .
    1. En appliquant le théorème de Ménélaüs au triangle et à la droite , montrer que .
    2. Montrer qu'on a de même .
    3. En déduire .
  3. Réciproquement, on suppose .
    1. On suppose et concourantes en un point et l'on désigne par le point de concours de et . En appliquant la question 2, montrer que et en déduire que . En déduire que et finalement .
    2. En déduire que si et sont parallèles alors .