Leçons de niveau 13

Fonction exponentielle/Annexe/Démonstration que la somme infinie de tous les inverses des k! est égale à e

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Démonstration que la somme infinie de tous les inverses des k! est égale à e
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Annexe 3
Leçon : Fonction exponentielle

Annexe de niveau 13.

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Introduction[modifier | modifier le wikicode]

Le nombre e est appelé nombre de Neper. C'est la valeur en 1 de la fonction exponentielle : e = exp 1.

On cherche à démontrer que et plus généralement, que pour tout réel ,

,

en utilisant que

Cette démonstration peut se faire avec des outils mathématique du niveau de Terminale scientifique.

Démonstration[modifier | modifier le wikicode]

On se place dans le cas , pour alléger l'écriture mais englober le cas particulier (la preuve dans le cas serait analogue).

Rappelons tout d’abord que par convention, et pour tout réel , .

On pose, pour tout réel et tout entier naturel  :

(donc et )

puis

.

Alors, et pour tout entier ,

donc

Or (par un théorème de comparaison)

donc

,

ce qu’il fallait démontrer.

Corollaire : irrationalité de e[modifier | modifier le wikicode]

Début d'un lemme


Fin du lemme

Remarquons que est entier, donc le lemme signifie que :

  • cet entier n'est autre que la partie entière de  ;
  • le réel n'est pas entier.



On peut même démontrer de façon élémentaire que n'est pas algébrique de degré ≤ 2 : Intégration en mathématiques/Devoir/e est-il un rationnel ?.

En fait, est même transcendant, mais cela ne sera démontré qu'au niveau 16 : Introduction à la théorie des nombres/Annexe/Démonstration de la transcendance de e et pi.