Espaces de Hilbert/Projection sur un convexe fermé

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Produit scalaire et norme

Définition

Un produit scalaire hermitien sur un $\mathbf {C}$-espace vectoriel $H$ est une forme sesquilinéaire hermitienne définie positive $\langle \cdot ,\cdot \rangle$. C'est-à-dire que pour tout $x,y,z$ de $V$ et $\lambda$ de $\mathbf {C}$ :

• $\langle y,x\rangle ={\overline {\langle x,y\rangle }}$.
• $\langle \lambda x+y,z\rangle =\lambda \langle x,z\rangle +\langle y,z\rangle$.
• $\langle x,x\rangle \geq 0$.
• $\langle x,x\rangle =0\Rightarrow x=0$.

Un produit scalaire hermitien vérifie l'inégalité de Cauchy-Schwarz.

Inégalité de Cauchy-Schwarz

$$|\langle u,v\rangle |\leq {\sqrt {\langle u,u\rangle }}{\sqrt {\langle u,u\rangle }}.$$

En conséquence produit scalaire hermitien induit une norme $\|u\|={\sqrt {\langle u,u\rangle }}$.

Proposition

Pour tous $u$ et $v$ de $H$, $\|u+v\|^{2}=\|u\|^{2}+2\Re (\langle u\mid v\rangle )+\|v\|^{2}$.

Identité du parallélogramme

Pour tous $u$ et $v$ de $H$, $\left\|{\frac {1}{2}}(u+v)\right\|^{2}+\left\|{\frac {1}{2}}(u-v)\right\|^{2}={\frac {1}{2}}(\|u\|^{2}+\|v\|^{2})$.

Définition

Un espace de Hilbert $H$ est un $\mathbf {C}$-espace vectoriel muni d'un produit scalaire hermitien, complet pour la norme induite.

Projection sur un convexe fermé

Début d’un théorème

Théorème de projection

Soit ${\textstyle C}$ un convexe fermé non vide de ${\textstyle H}$. Pour tout vecteur ${\textstyle u}$ de ${\textstyle H}$, il existe un unique ${\textstyle \pi _{C}(u)}$ de ${\textstyle C}$ tel que

$$\|u-\pi _{C}(u)\|=\inf _{v\in C}\|u-v\|$$.

De plus, ${\textstyle \pi _{C}(u)}$ est caractérisé pour tout ${\textstyle v}$ de ${\textstyle C}$ par

$$\langle u-\pi _{C}(u),v-\pi _{C}(u)\rangle \leq 0$$.

Fin du théorème

Le vecteur ${\textstyle \pi _{C}(u)}$ est alors appelé projection de ${\textstyle u}$ sur ${\textstyle C}$. Le théorème est reformulé lorsque nous projettons sur un espace vectoriel fermé.

Corollaire

Soit ${\textstyle F}$ un sous-espace vectoriel fermé, la projection est caractérisée pour tout ${\textstyle v}$ de ${\textstyle F}$ par $$\langle u-\pi _{C}(u),v\rangle =0$$.

Proposition

La projection est une application 1-lipschitzienne. pour tous ${\textstyle u,v}$ de ${\textstyle H}$, ${\textstyle \|\pi _{C}(u)-\pi _{C}(v)\|\leq \|u-v\|}$.

En particulier, la projection est une application continue et même uniformément continue.