Espaces de Hilbert/Projection sur un convexe fermé

**Projection sur un convexe fermé**
Leçon : Espaces de Hilbert

Chapitre n^o 1

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Espaces de Hilbert/Projection sur un convexe fermé », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.

Produit scalaire et norme

Définition

Un produit scalaire hermitien sur un $𝐂$ -espace vectoriel $H$ est une forme sesquilinéaire hermitienne définie positive $⟨ \cdot, \cdot ⟩$ . C'est-à-dire que pour tout $x, y, z$ de $V$ et $λ$ de $𝐂$ :

$⟨ y, x ⟩ = \overline{⟨ x, y ⟩}$ .
$⟨ λ x + y, z ⟩ = λ ⟨ x, z ⟩ + ⟨ y, z ⟩$ .
$⟨ x, x ⟩ \geq 0$ .
$⟨ x, x ⟩ = 0 \Rightarrow x = 0$ .

Un produit scalaire hermitien vérifie l'inégalité de Cauchy-Schwarz.

Inégalité de Cauchy-Schwarz

$| ⟨ u, v ⟩ | \leq \sqrt{⟨ u, u ⟩} \sqrt{⟨ u, u ⟩} .$

En conséquence produit scalaire hermitien induit une norme $‖ u ‖ = \sqrt{⟨ u, u ⟩}$ .

Proposition

Pour tous $u$ et $v$ de $H$ , $‖ u + v ‖^{2} = ‖ u ‖^{2} + 2 ℜ (⟨ u ∣ v ⟩) + ‖ v ‖^{2}$ .

Identité du parallélogramme

Pour tous $u$ et $v$ de $H$ , ${‖ \frac{1}{2} (u + v) ‖}^{2} + {‖ \frac{1}{2} (u - v) ‖}^{2} = \frac{1}{2} (‖ u ‖^{2} + ‖ v ‖^{2})$ .

Définition

Un espace de Hilbert $H$ est un $𝐂$ -espace vectoriel muni d'un produit scalaire hermitien, complet pour la norme induite.

Projection sur un convexe fermé

Théorème de projection

Soit $C$ un convexe fermé non vide de $H$ . Pour tout vecteur $u$ de $H$ , il existe un unique $π_{C} (u)$ de $C$ tel que

$‖ u - π_{C} (u) ‖ = inf_{v \in C} ‖ u - v ‖$ .

De plus, $π_{C} (u)$ est caractérisé pour tout $v$ de $C$ par

$⟨ u - π_{C} (u), v - π_{C} (u) ⟩ \leq 0$ .

Le vecteur $π_{C} (u)$ est alors appelé projection de $u$ sur $C$ . Le théorème est reformulé lorsque nous projettons sur un espace vectoriel fermé.

Corollaire

Soit $F$ un sous-espace vectoriel fermé, la projection est caractérisée pour tout $v$ de $F$ par $⟨ u - π_{C} (u), v ⟩ = 0$ .

Proposition

La projection est une application 1-lipschitzienne. pour tous $u, v$ de $H$ , $‖ π_{C} (u) - π_{C} (v) ‖ \leq ‖ u - v ‖$ .

En particulier, la projection est une application continue et même uniformément continue.

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