Discussion Recherche:Raisonnement contradictoire et structure des nombres entiers/Démonstration canonique du DTF

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Dans son livre Un théorème de Fermat et ses lecteurs, C. Goldstein, donne un joli exemple (p.87) « qui illustre élégamment l’efficacité et la sobriété légendaire de Fermat »
Voir également la Conférence plénière de Catherine Goldstein. Rio de Janeiro 2018


« J’ay si peu de commodité d’écrire mes démonstrations… que je me contente d’avoir découvert la vérité et de sçavoir le moyen de la prouver lorsque j’auray le loisir de le faire. »


« On a en effet le sentiment d’une aspiration profonde de Fermat vers une métaphysique des nombres, une sorte de transcendance arithmétique aux reflets pythagoriciens, […] » (Ludivine Goupillaud).


« L’énoncé du grand théorème, aussi simple que l’énoncé du théorème de Pythagore, paraît compléter et confirmer ce légendaire théorème, être à la fois évident et d’une démonstration inaccessible, mettant en relation étroite mais en opposition radicale le nombre 2 et l’infinité des autres nombres, majorant encore la singularité de la pluralité de ce nombre, comme si tout commençait et finissait avec lui. » (Claude Mariotti)



Un minimum de connaissances est utile (et un minimum de réflexion également)[modifier le wikicode]

La divisibilité par 2 ou n’importe quel entier d’ailleurs est plus facilement discutée à l’aide des congruences. a est pair si et seulement si a ≈ 0 (mod 2) (la notation correcte n’est pas ≈ mais une triple barre , faute de la trouver ici, j’écris ainsi). La double parité correspond aux congruences modulo 4.

Notification Cgolds : exact ! ma première démonstration utilise les congruences. Ce n'est pas mon choix ici.

Il est facile de voir que la preuve donnée dans le texte n’aboutit pas à une contradiction. On divise a, b, c par la plus grande puissance de 2 divisant les trois nombres. Donc il reste a’, b’, c’, a’n +b’n =c’n et l’un au moins est impair (sinon on pourrait encore diviser par 2) ; c’est forcément a’ ou b’ (si tous les deux étaient pairs, c’ le serait aussi et on pourrait encore diviser par 2), peut-être les deux. Si a’ et b’ sont impairs, a’n et b’n le sont aussi, leur somme est simplement paire et ne peut être une puissance n-ième, donc l’un des a’ est pair, l’autre non et c’ est impair. On ne peut aller plus loin et rien n’est démontré, en particulier pas DTF. Notons qu’un raisonnement analogue, même plus poussé avec d’autres facteurs premiers que 2 ne marche pas non plus (c’était l’idée de Sophie Germain, dont elle a montré pourquoi cela bloquait et dont elle a quand même tiré un théorème important, mais partiel sur DTF).

ATTENTION (et la difficulté est là) si on divise a par 2 on n'obtient pas du tout a’n. Par exemple : 36 (6²) devient 18 ?. Merci tout de même pour votre remarque.
Mais non. Si on divise a par 2 dans votre exemple (a=6, n=2), on obtient 9 = 32, avec a’=3.--Cgolds (discussion) 11 janvier 2019 à 14:50 (UTC)

Le statut actuel de la conjecture d’Euler est discuté sur Wikipedia dans l’article correspondant. --Cgolds (discussion) 9 janvier 2019 à 23:28 (UTC)

Oui, merci Supreme assis (grain de sel) 10 janvier 2019 à 10:22 (UTC)
Supreme assis, ce que vous appelez une difficulté n'en est pas une. Si 2k désigne la plus grande puissance de 2 qui divise a, b et c, si on divise les deux membre de l'égalité an +bn =cn par 2kn, on obtient a’n +b’n =c’n, où un au moins des nombres a', b', c' est impair. Par parenthèse, si vous avez voulu dire que 63 = 36, je suppose que c'est une erreur. Marvoir (discussion) 11 janvier 2019 à 10:17 (UTC)
Oui, merci, j'ai corrigé Clin d'œil. Pour votre remarque, je vous dirai qu'elle est inopportune ici, puisque nous en sommes rendus à a, b, c premiers entre eux. Cette simplification est supposée faite. Mais merci de cette remarque. Supreme assis (grain de sel) 11 janvier 2019 à 11:21 (UTC)

Sur la relation ni = 2k[modifier le wikicode]

Une discussion est intervenue avec Anne Bauval (d · c · b · s) sur ce point, qui est LA difficulté fondamentale de la démonstration. Il faut bien se dire que cette difficulté a résisté à de nombreuses recherches approfondies à travers les siècles et qu'il est normal qu'elle achoppe encore. J'attendais, bien sûr que quelqu'un la fasse ressortir. Je remercie donc cette contributrice de l'avoir fait, même si les termes utilisés pour la contredire sont un peu (hum !) violents. En effet, tout repose dessus. La contradiction débutant par : « si k > 1 ... » est, bien sûr, fausse ... puisqu'on ne sait rien à propos de k AVANT D'AVOIR EFFECTUE LES SIMPLIFICATIONS. Autrement dit, k est le résultat d'un nombre de simplifications par 4 (et non par 2). Cette simplification par 4 caractérise les nombres multi-pairs comme il est dit dans les remarques préalables. Et les nombres multi-pairs vont de 4 en 4. Nous verrons d'ailleurs plus tard de quelle manière ils se forment : c'est remarquable. Il faut donc :

1- avoir fait cette remarque positionnelle des nombres pairs (je ne crois pas l'avoir vue par ailleurs, mais peut-être me trompè-je ?)

2- avoir bien différencié la multi-parité entre la valeur naturelle p et la valeur de la puissance n.

3- avoir bien compris que : pour tout n, IL EXISTE k ≤ np tel que le nombre soit divisible par 2k

exemple 67 = 279936 et 279936 = 64 * 4374. Ni 64, ni 4374 n'est une puissance septième.

4- la seule possibilité est offerte pour n = 2, en quel cas k = p. Alors n et p sont INDÉPENDANTS, ce qui est fondamental.

exemple 12² = 144 et 144 = 16 * 9, qui sont 2 carrés : k = p = 2
6² = 36 et 36 = 9 * 4, k = p = 1
32² = 1024 et 1024 = 1024 * 1, k = p = 5

C'est une «  constatation  » que l'on peut traiter par les congruences en disant que si k > p les nombres ne sont pas congrus [mod 4] (1ère démonstration) OU par la logique contradictoire (choix ici). Je suppose (mais ne l'ai pas encore fait) que l'on peut aussi traiter par la génération d'un nombre np-pair comme singularité dans son champ. Ce nombre np-pair faisant partie du triplet de nombre (a , b , c) à la position a OU b. Autrement dit, les deux autres sont à l'intersection de ce champ avec celui des nombres à la puissance n. Nous savons que le nombre intermédiaire existe grâce au TVIL. Mais est-il entier ?

Le champ des nombres pairs carrés est : {4, 16, 36, 64, ...} et tous sont susceptibles de fonder un triplet pythagoricien. A suivre, donc. Supreme assis (grain de sel) 11 janvier 2019 à 11:15 (UTC)

Pourquoi 2k doit-il être divisible par n ?[modifier le wikicode]

Dans la démonstration du théorème, sous "si n > 1", vous écrivez :
« il existe k tel que an = 22k * 2np-2k * qn, 2 ≤ 2k ≤ np Or, 2k doit être multiple de n. »
Pourquoi 2k doit-il être multiple de n ? Marvoir (discussion) 11 janvier 2019 à 13:04 (UTC)

C’est faux, bien sûr. Par exemple 63 =22 21 33, autrement dit k=1 et n=3. Et ici 2 n’est pas un multiple de 3. --Cgolds (discussion) 11 janvier 2019 à 14:46 (UTC)
Notification Marvoir et Cgolds : Voir supra. Et bravo à tous les deux, vous avez un pas dans la solution. Si 2k n'est pas multiple de n, la racine n-ième de an n'est pas a ! C'est aussi simple que çà. Et, bien sûr, cela ne marche pas pour n ≠ 2. Donc, 6³ = 216 ; 216/4 = 54 = 2 * 27, 2k = 2. Et 2 * 3³ n'est pas un cube. Alors que 6² = 36 et 36 = 4 * 9, k = 1 et 9 est un carré. De la même manière que anp est une puissance n-ième, au même titre que an après simplification par a(p-1)n
En fait, dans la démonstration par congruences, les deux nombres impairs ne sont plus congrus [mod4] à partir d'un certain rang : ils ne génèrent donc plus un multi-pair, mais un simplement pair qui rend impossible la division par 4. La difficulté, pour bien marquer la distinction entre n et p est justement de simplifier seulement sur p et de conserver n, c'est-à-dire passer de anp à an, comme on doit pouvoir normalement le faire. 48² = (24 * 3)² ; 2304/4 = 576 ; 576/4 = 144 ; 144/4 = 36 ; 36/4 = 9, k = p et 9 est un carré.
En fait, j'y ai passé des journées entières avant de publier Supreme assis (grain de sel) 11 janvier 2019 à 16:56 (UTC)
Je ne comprends toujours pas pourquoi 2k doit être divisible par n. La condition sur k (à savoir la condition an = 22k * 2np-2k * qn, 2 ≤ 2k ≤ np) est satisfaite par k = 1, or n'est pas divisible par n si n > 2. Marvoir (discussion) 11 janvier 2019 à 17:18 (UTC)
Notification Marvoir : Ce n'est pas une condition sur k, mais sur 2k (multi-pair). Au maximum 2k = np. Il faut donc identifier kmax, tel que la division par 22k, 1 ≤ k ≤ kmax conserve la puissance n-ième. Comme cela, on est sûr que k varie sur p, et non sur n. Et par chance (!) on tombe sur k = p pour n = 2 seulement. Cela ne marche pas pour n > 2. Inutile donc de me sortir des exemples avec ce dernier cas pour dire que ce que j'écris est faux : on est bien d'accord ! Je le redis une dernière fois : n et p doivent être indépendants. Ce qui exclut une solution du type : k = ni/2, dans laquelle k dépend de n. D'ailleurs k n'est pas une solution, mais une variable sur p. Inutile donc également de débuter une contradiction par : « si k = ... » ou « pour k = ... », mais « pour np = 7 (par exemple), on a p = 1 et n = 7, alors on peut diviser le nombre par 4 (k = 1) et on obtient ... une puissance de 2 qui n'est pas septième, donc, ...» Supreme assis (grain de sel) 12 janvier 2019 à 11:49 (UTC)


Comme les exemples de Marvoir et de moi-même le montrent, ce que vous dites est tout à fait inexact. Sur les entiers positifs, la racine n-ième de an est a. Vous mélangez parité (ou congruences mod les puissances de 2) et les entiers ordinaires (à clarifier, svp). Vous écrivez (très maladroitement) des choses tout à fait claires (nous avons parfaitement compris comment se ramener à une solution où les entiers seraient premiers entre eux, si une solution non nulle existait - c’est le point de départ de toutes les preuves élémentaires pour les cas n=3, 5, etc). Et après, ce que vous dites est faux. (Qu'est-ce-qui est faux, svp ?)--Cgolds (discussion) 11 janvier 2019 à 20:54 (UTC)

Notification Cgolds : Le pb n'est plus de ramener les nombres premiers entre eux ! Ceci est supposé acquis. Le problème est de supprimer la puissance p de 2 du nombre (différencier la puissance paire naturelle de la puissance paire par élévation). Il y a une différence entre 12 = 2²*3 (p=2,n=1) qui n'est pas un carré et 36 = 2²*3² qui est le carré de 6 (p=1,n=2). Pour faire cette différence, il faut trouver un moyen de « supprimer » p sans déformer le carré ! Mon écriture vous parait maladroite : merci de l'exprimer plus adroitement, je vous en serai reconnaissant. Quant au mélange présumé, hélas, il résulte de la confusion que vous faites entre p et n. Tout est là. La « distance » entre 2 nombres pairs est bien 2. Mais la « distance » entre deux nombres simplement pair est 4 (idem multi-pairs). La congruence intervient pour identifier la nature du nombre intermédiaire (mais je ne l'ai pas utilisée ici, cette démonstration n'est pas publiée, simplement protégée).
Encore une fois, l'important est de supprimer p en conservant n. la division par 2 n'a aucun intérêt : il faut l'oublier. Par contre, la division par 4 en a une : elle permet de savoir si on retrouve un nombre multi-pair (susceptible d'être une puissance n-ième) et si on a deux nombres impairs de même nature (même reste). Désolé mais cela ne marche que pour n = 2. Je vous incite à étudier le maillage au pas de 4 des nombres entiers comme je le précise en fin de page. Cordialement Supreme assis (grain de sel) 12 janvier 2019 à 11:49 (UTC)
Supreme assis, vous avez écrit un peu plus haut : « Au maximum 2k = np. Il faut donc identifier kmax, tel que la division par 22k, 1 ≤ k ≤ kmax conserve la puissance n-ième. » Cela signifie-t-il que vous cherchez le plus grand k possible tel que 2 ≤ 2k ≤ np et que le résultat de la division de an par 22k soit encore une n-ième puissance (ce qui revient à chercher le plus grand k possible tel que 2 ≤ 2k ≤ np et que 2k soit divisible par n) ? Marvoir (discussion) 12 janvier 2019 à 16:37 (UTC)

Modifications malheureuses ?[modifier le wikicode]

La démonstration contenait : « il existe k tel que an = 22k * 2np-2k * qn, 2 ≤ 2k ≤ np ». Anne Bauval (d · c · b · s) a remplacé cela par « il existe k tel que 2 ≤ 2k ≤ np (et l'on peut alors écrire : an = 22k2np–2qn). » Il me semble que cela ne correspond pas à la pensée de l'auteur (les membres droits ne sont pas les mêmes). Marvoir (discussion) 12 janvier 2019 à 17:25 (UTC)

Image logo Oui, merci, tu as forcément compris que ce n'était qu'une coquille. Je répare. Anne, 23 h 54
Notification Marvoir et Anne Bauval : Merci pour vos interventions. Mais le problème fondamental est évité : celui de différencier n et p, pour savoir jusqu'où on peut simplifier par 4 sans altérer la puissance n-ième. La modification est, bien sûr, correcte. Et l'on retrouve le même résultat en raisonnant sur les congruences et la valeur du reste (le nombre pair est dans un membre et s'écrit comme la différence de deux nombres impairs). Jusque là, nous sommes d'accord, donc.
J'insiste sur le fait que la simplification par 4 ne doit intervenir QUE sur p, sans affecter n. Ceci est LA SEULE GARANTIE que n et p soient INDEPENDANTS. Autrement dit : il faut être sûr que chaque division par 4 n'affecte pas la puissance n-ième, et se fait donc uniquement sur p. Ce qui revient à dire k varie sur p. En aucun cas on ne doit avoir k > p. La division par 4 pour k > p doit être impossible (voir la règle d'addition des nombres pairs).
Par conséquent la condition ni = 2k est bien fondée SI kmax reste inférieur ou égal à p. Nous pouvons clarifier ceci en considérant de quelle façon sont générés les nombres multi-pairs : je pense qu'il va falloir que je m'y attèle. Dans cette attente, je suis fondé d'utiliser la logique contradictoire qui impose k < p et n et p indépendants (conditions redondantes).
« ce plus grand k est simplement la partie entière de np/2 » : oui, mais alors k > p ! Ce qui invalide l'invalidation (64 = 1296 ; 1296 / 4 = 324 et 324 / 4 = 81 = 34 : parfait sauf k = 2 > p = 1). C'est pour cela que ce n'est pas le nombre pair que l'on divise, mais les nombres impairs - 1 ou - 3, jusqu'à ce que cela ne soit plus possible ! Supreme assis (grain de sel) 13 janvier 2019 à 10:29 (UTC)

Proposer la suppression ?[modifier le wikicode]

J'avais espéré dialoguer un peu avec l'auteur dans l'espoir d'arriver à un consensus sur la validité/invalidité de sa démonstration, mais j'y renonce : ou bien ses raisonnements sont d'une absurdité criante ou bien il est incapable de se faire comprendre (c'est pourtant clair : n et p sont indépendants, on ne peut pas contre-raisonner sur une éventuelle liaison. C'est absurde pour de vrai) . Je propose de supprimer la page pour ce motif. Si une proposition de suppression est faite, je voterai pour la suppression. Marvoir (discussion) 14 janvier 2019 à 15:31 (UTC)

Dommage ! J'ai cru, moi aussi, parvenir à une discussion raisonnable, c'est-à-dire contre-argumentée avec des arguments valables. Or, j'ai accepté les modifications de Marvoir (d · c · b · s) et Anne Bauval (d · c · b · s) tant qu'elles rentraient dans le raisonnement de fond. Particulièrement, la dernière intervention est fondée sur un contre-exemple sans aucune relation avec le fond du problème. Je l'ai donc annulée. En effet, nous devons raisonner SUR UNE EXPRESSION liée par une conjecture, et non pas sur UN NOMBRE PAIR ISOLÉ. Il s'agit du comportement lié d'une somme de deux termes. Il faut bien considérer l'extrême particularité des nombres pairs qui n'a jamais été étudiée auparavant et qui donne toute valeur à cette recherche. Je peux sur demande maintenant, proposer de nouvelles relations structurantes. Je souhaiterais également que toute contribution participative soit soumise à mon approbation AVANT pollution de la page principale. Je rappelle également que Fermat a certainement perçu ceci, mais n'a pas pu l'écrire ; et que nombre de chercheurs mathématiciens s'y sont cassés les dents. Il est normal que le débat fasse polémique, mais il serait bien, aussi, que les détracteurs potentiels lisent attentivement les propositions et fassent preuve d'une humilité curieuse et ne s'enferment pas dans une attitude dictatoriale. On se croirait revenu au Moyen-Âge ! Merci Supreme assis (grain de sel) 14 janvier 2019 à 16:44 (UTC)
Il est possible que j'aie mal compris votre pensée, mais c'est parce que vous l'aviez mal exprimée. Quand on dit "Il existe un k possédant la propriété P. Le nombre 2k doit être divisible par n", sans avoir dit au préalable qu'on cherche un k possédant telle autre propriété, cela veut dire que n'importe quel k possédant la propriété P est nécessairement divisible par n. Si vous vouliez dire "Pour que k possède telle autre propriété, il faut que 2k soit divisible par n", il fallait le dire. Marvoir (discussion) 15 janvier 2019 à 14:41 (UTC)
Notification Marvoir :Bon écoutez et je suis bien gentil de vous répondre encore (car au moins vous ne m'agressez pas, contrairement à d'autres intervenants). Je n'ai jamais dit « Il existe un k possédant la propriété P. Le nombre 2k doit être divisible par n », mais « Il existe k tel que 2 ≤ 2k ≤ np » ce qui signifie simplement que 22k est un diviseur de an. Pour a7 (par exemple) ces diviseurs seraient 22 pour k = 1, 24 pour k = 2, 26 pour k = 3. Pour trouver k sans que la puissance nième ne change, il DOIT varier sur p uniquement. Et pour trouver k variant sur p il faut diviser les nombres impairs à la puissance n par 4 autant de fois qu'on peut le faire (tant que le quotient est multi-pair donc). Le résultat doit être à la puissance n seulement (élimination de p). Cela ne marche que pour n = 2. Essayez de suivre pas à pas l'exemple détaillé en prenant simplement le basique 9 + 16 = 25 (n = 2 et p = 2) SVP Supreme assis (grain de sel) 15 janvier 2019 à 15:55 (UTC)

Notification Marvoir : La nuit portant conseil (!) j'ai apporté la modification que vous souhaitiez. Ce qui est évident pour moi, ne l'est effectivement pas pour tout le monde. j'espère que cela conviendra maintenant Supreme assis (grain de sel) 16 janvier 2019 à 09:34 (UTC)

Sur une condition nécessaire[modifier le wikicode]

Je précise également que les personnes qui interviennent sur cette page, ont oublié ou ignore le sens de condition nécessaire, ce qui n'est pas admissible ici et exclut automatiquement l'avis qu'ils peuvent donner. Si cette (ces) condition(s) ne sont pas remplie(s), il n'y a pas l'ombre d'une solution. Si ces conditions sont remplies, IL PEUT y avoir des solutions. Ce qui est bien le cas. Ah ! intelligence et logique ne font pas bon ménage. Supreme assis (grain de sel) 14 janvier 2019 à 16:54 (UTC)

modalités de contradictions : fondement de la logique contradictoire[modifier le wikicode]

Il s'agit bien ici de fonder la logique contradictoire comme mode de raisonnement formel propre à l’homo intuitus universalis, mélange savant de néandertalis (pragmatique) et sapiens (dogmatique), branche évoluée de l'homo sapiens sapiens, autorisé à voyager dans les espaces-temps, dont la faculté d'adaptation s'exprime par la vérité est dans le doute.

Ainsi donc, les modalités d'agrément ou de rejet d'une proposition font l'objet d'une éthique précise conforme au Théorème du Choix Contradictoire. En l'occurrence ici :

1-seront systématiquement rejetées les contradictions négatives du genre c'est faux (avec ou sans argument non fondé sur les conditions d'application) ou c'est incompréhensible (sans préciser ce qui l'est) et celles contenant une attaque ad hominem du genre c'est farfelu, l'auteur est un malade, c'est absurde. En qualité d'auteur de cette recherche fondamentale, je me réserve dorénavant le droit de le supprimer directement sans autre forme de procès.

2-ne seront prises en compte QUE les contradictions positives qui apportent une information contraire susceptible d'améliorer la proposition. En qualité d'auteur, je me réserve le droit de juger de leur pertinence et de les intégrer ou non au contenu initial (attaque ad rem).

Soit P la proposition : Un triplet de nombres entiers, premiers entre eux, dont la somme est un nombre impair, et qui sont tous les trois la puissance n-ième d'un autre nombre, n > 1, n'existe que si le nombre pair peut être décomposé en une double parité sur n et p. La parité p, dite naturelle, est identifiable par un algorithme de division par 4 des deux nombres impairs (et non de ce nombre pair) qui exprime : n et p sont indépendants.

Cette proposition est cohérente : il existe (au moins un) exemple.

Cette proposition est reproductible sur tous les cas identifiés.

En conclusion : P est non-FAUSSE. Conformément au théorème du Choix contradictoire, cela signifie qu'elle est soit VRAIE ; soit (ni-VRAIE ; ni-FAUSSE). C'est-à-dire a-priori VRAIE sauf démonstration du contraire.

Tout lecteur peut donc apporter démonstration du contraire. C'est-à-dire, qu'il peut :

1- Produire un triplet correspondant aux conditions requises par P pour lequel la division successive par 4 sur les nombres impairs ne permet pas une identification de p indépendamment de n, sur la parité du nombre pair.

2- Produire un triplet à une puissance > 2

Dans les deux cas ci-dessus, je m'engage à retirer moi-même cette recherche, en application du théorème de complétude, qui n'aura pas atteint son but ultime : décrire la réalité de l'espace universel et de l'inter-dimension, que tout le monde attend. Asseoir la suprématie de la logique contradictoire est l'unique chance d'évolution de notre Humanité. Supreme assis (grain de sel) 15 janvier 2019 à 10:37 (UTC)

Propos qualifiés de « hors sujet » par Supreme assis[modifier le wikicode]

La seule chose dont vous êtes capable de convaincre qui que se soit serait-elle donc votre incapacité complète à entrevoir ce qu'est une démonstration mathématique ?
Une preuve fausse d'un théorème juste ne peut pas être invalidée par un contre-exemple, mais par la mise en évidence d'une faille dans le raisonnement (ou d'une absence de raisonnement Clin d'œil).
Par ailleurs, vous n'êtes propriétaire d'aucune page de Wikiversité, donc ne pouvez y « rejeter » nos interventions. Donc pour conserver l'illusion que vos pseudo-recherches fondamentales Mort de rire sont (peut-être O_o) lues par des mathématiciens (ou même simplement des personnes sensées) et (malgré ça) non rectifiées ou effacées, transférez-les plutôt sur un blog perso.
Anne, 15/1/2019, 13 h 53
P.S. Une versatilité et incohérence de plus : croire pouvoir nous imposer une nouvelle contrainte « sur les nombres impairs » (que vous n'explicitez d'ailleurs pas, nous laissant le soin d'en deviner le sens) dans nos critiques de votre « division successive par 4 », alors que je vous ai fait remarquer hier que d'une part, cette division successive n'est pas utilisée ensuite dans votre pseudo-preuve et d'autre part, dès la première division par 4, les deux nombres issus de b et c ne sont pas forcément impairs.

Je rappelle que : Quand une discussion est ainsi mise en boîte, c'est que l'on ne veut plus y participer. Insister deviendrait du harcèlement. Supreme assis (grain de sel) 16 janvier 2019 à 10:05 (UTC)

La démonstration utilise-t-elle le fait que bn et cn sont des n-ièmes puissances ?[modifier le wikicode]

Il me semble que la démonstration du cas n > 1 (pour autant que j'arrive à la comprendre) n'utilise pas le fait que bn et cn sont des n-ièmes puissances(???). Donc si cette démonstration était correcte, elle prouverait l'impossibilité de l'égalité an + B = C avec a naturel pair non nul, B et C naturels impairs, a, B et C premiers entre eux deux à deux (et peut-être faut-il ajouter aux hypothèses que B et C sont au moins égaux à 5, je ne sais trop comment l'auteur raisonne). Or ce résultat est évidemment faux, donc la démonstration qui prétend le prouver est incorrecte. Marvoir (discussion) 15 janvier 2019 à 11:03 (UTC)

Notification Marvoir : Le texte initial, intempestivement modifié par une contributrice, précisait : « On divise l'expression ». Ceci a été remis depuis. Il semble clair que « l'expression » désigne la somme de deux termes obtenue par suppression des restes [mod4] de chaque membre. Il est limpide, pour toute personne sensée, que la division par 4 n'est possible QUE si tous les termes sont multi-pairs. Bien sûr, si un seul est simplement pair, cette division n'est pas possible. Cela suppose effectivement que B et C soient supérieurs à 5. Mais est-il VRAIMENT nécessaire de l'indiquer ?. En effet, le plus petit nombre multi-pair obtenu à partir du plus petit nombre impair à la puissance n > 1 est : 8 = 9 - 1 = 3² - 1. 1 étant exclu naturellement, car 1n - 1 = 0, et tout le monde sait que l'on ne peut pas diviser "0" par 4. Contrairement à votre affirmation : « ce résultat est évidemment faux », il faut dire : « ce résultat est naturellement vrai » et modifier votre conclusion « la démonstration qui prétend le prouver est incorrecte » en « la démonstration qui prétend le prouver n'est pas incorrecte »
Cette précision me semble inutile. Mais souhaitez-vous que je la fasse figurer ? Supreme assis (grain de sel) 16 janvier 2019 à 10:35 (UTC)
Peu importe la question de savoir si B et C sont au moins égaux à 5. Ce que vous feriez bien de faire, à mon avis, c'est montrer clairement en quoi vous utilisez le fait que le nombre B (c'est-à-dire bn) et le nombre C (c'est-à-dire cn) sont des n-ièmes puissances. Marvoir (discussion) 16 janvier 2019 à 14:41 (UTC)
Notification Marvoir : Là, je ne comprends pas le sens de cette proposition. S'agissant de l'hypothèse de départ, il faut bien démarrer en disant : « si an + bn = cn, on DOIT avoir telle propriété vérifiée». B et C sont par hypothèse des puissances n. Particulièrement ici, que les deux nombres impairs ont le même reste [mod4] (voir les règles d'addition des nombres pairs en préambule). Ces deux restes s'annulent naturellement en référence à ces règles. Ce que vous ne comprenez visiblement pas, ou ne cherchez pas à comprendre, c'est que l'addition de deux nombres pairs répond à une règle précise qui influe sur les restes [mod4] : pour que l'on puisse diviser par 4, il FAUT que les 3 nombres pairs du triplet initial réduit soient MULTI-PAIRS. C'est tout le fondement de la démonstration. 9 + 16 = 25 donne 8 + 16 = 24 (les 3 sont multi-pairs). On peut diviser par 4. Tandis que 27 + 64 = 91 donnerait 26 + 64 = 90. Outre le fait que 91 n'est pas une cube (ce qui est contraire à l'hypothèse), les trois nombres obtenus ne sont pas divisibles par 4. C'est une particularité pour n = 2 uniquement.
Vraiment désolé que vous ne parveniez pas à intégrer ceci. Comment puis-je l'indiquer mieux, svp ? Supreme assis (grain de sel) 16 janvier 2019 à 15:19 (UTC)
Je vous répondrai en détail demain. (Maintenant, ma soirée est prise.) Au fait, la boîte déroulante ne devrait-elle pas se trouver en dehors de la présente section ? Marvoir (discussion) 16 janvier 2019 à 16:04 (UTC)
Merci. Bonne soirée. Je crée une section spéciale Supreme assis (grain de sel) 16 janvier 2019 à 16:11 (UTC)

Comme je l'ai dit, je ne comprends pas votre démonstration, mais j'ai l'impression qu'elle n'utilise pas vraiment le fait que bn et cn sont des n-ièmes puissances. J'ai donc l'impression que si elle était correcte, elle prouverait l'énoncé que voici :

Soit n un nombre naturel > 2, soit a un nombre naturel pair, soient B et C des nombres naturels impairs ; on suppose que a, B et C sont premiers entre eux deux à deux; alors on ne peut pas avoir an + B = C.

Cet énoncé est évidemment faux, donc si votre démonstration le prouve, elle est incorrecte.

Je copie votre démonstration, en ne changeant que les hypothèses de départ et en essayant de rendre certaines de vos formulations plus claires.

si n > 1

Par hypothèse, nous avons trois nombres an, B et C qui sont premiers entre eux et dont le premier est multi-pair.

Ce nombre pair est de la forme : an = 2np*qn, q impair.

Puisque n > 1 et p ≥ 1, on sait déjà que 2 ≤ np, ce qui signifie que ce nombre est au moins divisible 1 fois par 4.
Ce qui s'écrirait an = 22*2np-2*qn. .

Puisque B est impair, il est de la forme 4b' + x avec x égal à 1 ou 3, et C = 4c' + y avec y = 1 ou 3. Puisque C - B est divisible par 4, on doit avoir x = y. La relation

an + B = C

peut donc s'écrire

an + 4b' + x = 4c' + x,

d'où

an + 4b' = 4c'.

En divisant par 4 et en tenant compte de l'expression 2np*qn trouvée plus haut pour an, on obtient

b'+ 2np-2*qn = c'.

Pour le cas np = 2, la seule possibilité offerte est p = 1 et n = 2.

Si np > 2, b' et c' sont de même parité et on peut réitérer l'opération de division par 4 tant que x = y, que le nombre pair est multi-pair et que b' et c' ne sont pas simplement pairs. Autrement dit Il existe k tel que 2 ≤ 2k ≤ np et l'on peut alors écrire :

an = 22k*2np–2k*qn.

ce qui suppose que bn > 22k + 3k

D'autre part, pour tout i dans {1, ... ,p}, 2i divise a, donc 2ni divise an. Plus explicitement :

an = 2ni * 2np-ni * qn.


Or, n et p doivent être indépendants puisqu'ils n'ont pas du tout la même fonction dans la parité du nombre. Il nous faut donc trouver une relation qui permette d'identifier p et de libérer k de la contrainte np. Soit de le faire uniquement varier sur {1, ... ,p} par un mécanisme qui mène à une impossibilité pour k > p. Autrement dit, par un tel mécanisme, le résultat obtenu ne doit plus correspondre à une puissance n-ième pour k > p. Nous proposons donc, sachant que n et i sont indépendants et que i ne varie que sur p, de confondre les deux écritures de an de telle sorte que :
Pour tout k tel que 2 ≤ 2k ≤ np nous ayons 2k divise a = 2p*q = 2i*2p-i*q. Soit :

ni = 2k, i dans {1, ... ,p}


Utilisons le théorème du choix contradictoire

Proposition n = 2
Proposition contradictoire : n = non-2 ; soit n > 2 OU n = 1 ; avec (ni-2 ; ni-non-2) vide.
Conditions de « vérité » : n > 1 ET 1 ≤ i ≤ p ET 2 ≤ 2k ≤ np ET n et p sont indépendants.
Pour n = 2, on a : k = i et donc 2 ≤ 2k ≤ 2p et donc n, i et k indépendants.
Pour n > 2, on a : n = 2 * k / i, donc dépendant de p, ce qui suffit pour réfuter.
pour n = 1, la première condition n'est pas remplie, ce qui suffit pour réfuter ce cas déjà traité.

Si la démonstration qui précède était correcte, nous aurions prouvé l'énoncé que voici :

Soit n un nombre naturel > 2, soit a un nombre naturel pair, soient B et C des nombres naturels impairs ; on suppose que a, B et C sont premiers entre eux deux à deux; alors on ne peut pas avoir an + B = C.

Comme dit plus haut, cet énoncé est évidemment faux, donc "ma" démonstration est fausse. Puis-je vous demander

1° à quel endroit il y a une faute dans "ma" démonstration ?
2° ce qui fait que la même faute ne se trouve pas dans votre démonstration ? Marvoir (discussion) 17 janvier 2019 à 11:55 (UTC)

Notification Marvoir : la faute est tout simplement dans : « Puisque B est impair, il est de la forme 4b' + x » cette écriture découle du fait que l'on n'a pas choisi 4 par hasard, mais simplement parce que B est une puissance n-ième quelconque. C'est le résultat d'un algorithme et non un choix aléatoire. D'ailleurs, le maillage au pas de 4 confirme ce choix. On trouve cette précision dans le §2.4. Autrement dit la déduction est fausse, il faudrait dire : « Puisque B impair, il est de la forme 4b' + x dans certaines conditions ». En logique contradictoire, votre proposition N'est PAS fausse, elle est {ni-Vraie ; ni-fausse}}. Elle peut être vraie OU fausse. Ce n'est donc pas une faute
J'en profite pour dire que parmi toutes les possibilités de la forme B = xb' + 1, une seule vaut pour tout x. Toutes les autres dépendent de n (2np) Supreme assis (grain de sel) 17 janvier 2019 à 12:52 (UTC)

Après une réponse pareille, je n'ai qu'une conclusion à tirer : votons sur la suppression de la page. Marvoir (discussion) 17 janvier 2019 à 13:06 (UTC)
Notification Marvoir, Crochet david, Lionel Scheepmans et Claude PIARD : Vous partez de « Par hypothèse, nous avons trois nombres an, B et C qui sont premiers entre eux et dont le premier (par exemple) est multi-pair. » O_o. çà y est, j'ai compris ce qui nous sépare !! Nos hypothèses sont différentes. La mienne est « Par hypothèse, nous avons trois nombres an, bn et cn qui sont premiers entre eux et dont le premier est multi-pair, qui vérifient : » Votre hypothèse et la mienne sont différentes = le résultat est donc différent (exemple « si le triangle est rectangle, on a » est différent de « si le triangle est isocèle, on n'a pas (le résultat précédent est faux, bien sûr) », C'est évident. Or, l'énoncé est clair : les trois nombres a, b, c sont des puissances n-ièmes. Ne soyez pas trop pressé de faire supprimer svp. Je suppose que la mission de AB était d'obtenir cette suppression, à voir avec quelle précipitation elle cherche à se réintroduire dans le fil Mort de rire. La discussion N'EST PAS terminée.
Non, les deux nombres impairs sont des puissances, et dans ces conditions, la division par 4 est intéressante car elle ne doit influer que sur p, tant que p le permet. C'est que j'en perdrai mon latin, moi. N'allez pas trop vite pour rapporter votre basse-oeuvre à votre maître SVP. Supreme assis (grain de sel) 18 janvier 2019 à 11:24 (UTC)

Partie réciproque ?[modifier le wikicode]

Je me demande si, génialement, Marvoir (d · c · b · s) n'aurait pas trouvé la réciproque qui manque à cette démonstration ?:

Partie directe : Si an + bn = cn dans les conditions requises et citées plus haut, alors la division successive par 4 des termes de l'expression permet d'identifier la puissance initiale p du nombre multi-pair.

Partie réciproque : Si l'expression an + B = C peut-être divisée par 4 autant de fois que le permet la puissance naturelle p du nombre pair a, alors B et C sont des puissances n-ièmes de deux nombres impairs b et c.

Et alors : corollaire : cela ne marche que pour n = 2

Il faut y réfléchir, voire méditer. Merci donc, aux éventuels lecteurs de ne pas stresser les chercheurs curieux, logiques et motivés, par des interventions intempestives, indignes de leur fonction et de leur prétendu niveau mathématique. En quel cas, la recherche communautaire aurait réussi à montrer l'intérêt d'une discussion plurale intelligente, fondée sur l'écoute des autres et non sur l'obéissance aveugle aux directives ou aux paralogismes de certains pseudo-experts.

Cette réflexion est motivée par le fait que, dans l'exemple détaillé sur la page, on peut remonter au triplet 48² + 55² = 73² à partir de 9 + 11 = 20 et 4 multiplications successives par 4 et l'ajout de restes appropriés. Supreme assis (grain de sel) 18 janvier 2019 à 13:12 (UTC)

Discussion intéressante[modifier le wikicode]

Bonjour. Si la page venait à être supprimée, je pense qu'il faudrait conserver celle-ci. Amicalement, EclairEnZ

Pas vraiment et je pense que les citations en début de page n’aident pas Image logo représentant un un smiley souriant. --Cgolds (discussion) 18 janvier 2019 à 17:58 (UTC)
Bonjour Cgolds Image logo représentant un un smiley souriant, dans le pire des cas, Suprême assis pourrait mettre tout ça dans une page "Essai personnel". Ah ! les citations en haut de page, Suprême assis m'a fait rigoler Smiley faisant un clin d'œil Bonne soirée ! --EclairEnZ (discussion) 18 janvier 2019 à 19:43 (UTC)