Leçons de niveau 13

Combinatoire/Exercices/Arrangements (r)

Une page de Wikiversité.
Aller à : navigation, rechercher

30x-Tools.png

Les exercices sur cette page nécessitent parfois l'usage d'une calculatrice. Les nombres en jeu étant grands, certaines calculatrices pourraient ne pas être capables d'effectuer certains calculs. Cependant, nous nous sommes assurés que la calculatrice intégrée au moteur de recherche Google soit capable de les effectuer tous.

Arrangements (r)
Image logo représentative de la faculté
Exercices no2
Leçon : Combinatoire
Chapitre du cours : Arrangements sans répétition (r) et Arrangements avec répétition (r)

Ces exercices sont de niveau 13.

Exo préc. : Factorielles (r)
Exo suiv. : Permutations
Icon falscher Titel.svg
En raison de limitations techniques, la typographie souhaitable du titre, « Exercice : Arrangements (r)
Combinatoire/Exercices/Arrangements (r)
 », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.




Cette liste d'exercices porte sur les arrangements, à la fois avec et sans répétition.

Exercices introductifs[modifier | modifier le wikicode]

Ces exercices sont des exercices de dénombrement avec des petits nombres. Le but est de vous permettre de faire vous-même la démarche qui sera détaillée dans le cours. Comprendre comment faire pour énumérer et compter de manière systématique vous permettra, avec un peu de chance, de mieux saisir la démarche générale qui mènera à la formule générale.

Seules les réponses sont indiquées ici ; une résolution détaillée sera faite dans le cadre du cours (voir le chapitre 3 pour l'exercice 2.1 et le chapitre 4 pour l'exercice 2.2)

2.1. Vous êtes un amateur de courses de chevaux. Aujourd'hui, les chevaux Alpha, Bêta, Gamma et Delta concourent et vous tentez de deviner le podium dans l'ordre.

A. Énumérez et comptez le nombre de possibilités.
B. Avant le départ, on apprend que Delta est blessé et qu’il est donc hors course. Combien reste-t-il de possibilités maintenant ?
Le lendemain, Delta est rétabli et un nouveau concurrent – un étalon noir vigoureux du nom d'Oméga, qui a naturellement les faveurs des pronostics – se présente.
C. Refaites la même chose qu'en A.
D. Plutôt que de prédire les trois premiers dans l'ordre, vous préférez cette fois-ci parier sur les deux premiers (toujours dans l'ordre) uniquement.
Après avoir fait ces calculs, essayez de penser à une manière de généraliser votre démarche au cas général, où il s'agit de déterminer les k premiers chevaux parmi n chevaux.

2.2. Aujourd’hui se tient une remise des prix à l'école Sainte-Combinatoire. Quatre élèves (appelons les Alphonse, Berthe, Coco et Delphine) sont en lice pour les prix d'excellence en mathématiques, en littérature et en sciences. Chaque élève espère en recevoir le maximum, pourquoi pas tous.

A. Énumérez et comptez le nombre de remises de prix possibles.
B. Le comité de discipline a puni Delphine pour mauvais comportement : elle ne pourra pas gagner de prix, en dépit de ses bons résultats. Combien reste-t-il de possibilités maintenant ?
C. Le premier prix est annoncé : c’est Coco qui obtient le prix de mathématiques. Combien reste-t-il de possibilités pour les deux autres prix ? (Delphine revient dans la course pour cette question.)

Comme la dernière fois, essayez de généraliser vos calculs pour n candidats et k prix ; n'hésitez pas à dessiner des arbres comme dans le chapitre sur les arrangements sans répétition.

Arrangements sans répétition[modifier | modifier le wikicode]

2.3. Calculez les valeurs suivantes, éventuellement avec une calculatrice. Les grands nombres seront écrits en notation scientifique, avec 6 chiffres après la virgule.

2.4. Les affiliés d'un club doivent élire un président, un vice-président et un trésorier, parmi n candidats. Sachant que tous les candidats se présentent à tous les postes, et que les fonctions sont non-cumulables, combien y a-t-il de possibilités :

a. Pour n = 3 ?
b. Pour n = 6 ?
c. Pour n = 10 ?
d. Pour n = 101 ?

2.5. Pour un tour de magie, un prestidigitateur demande à un membre de son public de piocher, une par une, 3 cartes dans un paquet de cartes, et ensuite de les mélanger à nouveau. Le magicien doit alors deviner les 3 cartes dans l'ordre. En sachant que toutes les cartes du paquet sont différentes, combien de possibilités a le magicien, si :

a. Le paquet de cartes contient les 52 cartes habituelles ?
b. Le paquet de cartes ne contient que les trèfles ?
c. Le paquet ne contient que les cartes plus hautes que le 7 inclus (c'est-à-dire 32 cartes) ?
d. Le paquet ne contient que les 4 rois ?

Arrangements avec répétition[modifier | modifier le wikicode]

2.6. Calculez les valeurs suivantes, éventuellement avec une calculatrice. Les grands nombres seront écrits en notation scientifique, avec 6 chiffres après la virgule.

2.7. Dans un certain pays, on donne à chaque véhicule automobile un sigle d'immatriculation, qui doit être unique pour pouvoir l'identifier. Ce sigle est composé de chiffres et de lettres. Pour les différentes situations suivantes, déterminez combien de sigles d'immatriculation peuvent exister :

a. Une plaque d'immatriculation porte 6 chiffres.
b. Une plaque d'immatriculation porte 6 lettres de l'alphabet.
c. Une plaque d'immatriculation porte 6 caractères, pouvant être soit des chiffres, soit des lettres de l'alphabet.
d. Une plaque d'immatriculation porte 6 caractères, les 3 premiers étant des chiffres, les 3 derniers étant des lettres de l'alphabet.

2.8. Vous devez choisir un mot de passe de n caractères. Combien existe-t-il de mots de passe possibles si :

a. Le mot de passe ne comporte que des voyelles en minuscule et fait cinq lettres.
b. Idem mais avec un mot de passe de dix lettres.
c. Le mot de passe fait dix lettres et peut comporter chacune des 26 lettres de l'alphabet français.
d. Idem, mais on peut utiliser les 26 lettres minuscules, les 26 lettres majuscules, les 10 chiffres et 20 autres caractères.
e. 20 caractères, les 26 lettres minuscules.
f. 10 caractères, les 26 lettres minuscules, mais chaque lettre n'est utilisée qu'une fois au maximum.

Arrangements avec ou sans répétition[modifier | modifier le wikicode]

2.9. Parmi les situations suivantes, identifiez celles qui correspondent à un arrangement avec répétition, celles qui correspondent à un arrangement sans répétition, et celles qui ne sont ni l'une, ni l'autre. Si possible, calculez le nombre d'arrangements possibles.

a. De combien de manières peut-on composer un podium avec les 8 athlètes finalistes de la finale olympique du 100 mètres ?
b. 3 clubs de football français parmi les 20 clubs de Ligue 1 sont qualifiés pour la Ligue des Champions chaque année. Combien existe-t-il de trios possibles, les trois places étant considérées comme équivalentes ?
c. De combien de manières peut-on répartir 20 pommes identiques entre deux personnes ?
d. De combien de manières peut-on ranger 10 objets distincts dans 3 tiroirs ?
e. De combien de manières peut-on composer 2 équipes de 7 joueurs avec 14 joueurs ?
f. Un homme lègue sa maison, son bateau, sa collection de timbres et sa fortune. Chacune de ces choses étant considérée comme indivisible, de combien de manières peut-il répartir son héritage entre ses 8 petit-fils, en sachant qu’il ne veut pas en donner deux à la même personne ?
g. De combien de manières peut-on donner trois prix littéraires à 5 livres ?
h. De combien de manières peut-on classer (du meilleur au moins bon) 3 livres ?
i. De combien de manières peut-on répondre à un vrai ou faux de 20 questions (ne pas répondre à une question n’est pas une option) ?
j. De combien de manières peut-on choisir 5 députés parmi une liste de 30 candidats ?

2.10. L'ADN est constitué de triplets de quatre nucléotides, représentés par A, T, G et C. Les triplets peuvent comporter plusieurs fois la même base (comme AAA), et deux triplets comportant les mêmes bases mais dans un ordre différent sont différents (ATG n’est pas le même que GTA).

Sachant que chaque triplet amène à la synthèse d'un acide aminé, qu’il y a 20 acides aminés différents et qu’il faut que chaque acide aminé soit codé par au moins un triplet, tentez d'expliquer pourquoi l'unité codante de base est un triplet et non pas un doublet ou un quadruplet.

Exercice 2-11[modifier | modifier le wikicode]

Soient tels que . Démontrer que de deux façons : par un raisonnement combinatoire ou par le calcul.

Exercice 2-12[modifier | modifier le wikicode]

  1. Combien de mots sans répétition de lettre peut-on former avec un alphabet de n lettres ?
  2. Démontrer que ce nombre est égal à la partie entière de , sachant que est la somme infinie de tous les inverses des k!.

Exercice 2-13[modifier | modifier le wikicode]

Combien de mots peut-on former en utilisant uniquement des lettres de BAZAR ?