Début de la boite de navigation du chapitre
fin de la boite de navigation du chapitre
En raison de limitations techniques, la typographie souhaitable du titre, «
Cinétique et dynamique d'un système de deux points matériels : Théorèmes de la dynamique newtonienne des systèmes de deux points matériels applicables sans modification dans le référentiel barycentrique (a priori non galiléen) du système
Cinétique et dynamique d'un système de deux points matériels/Théorèmes de la dynamique newtonienne des systèmes de deux points matériels applicables sans modification dans le référentiel barycentrique (a priori non galiléen) du système », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.
Dans le cas général d'un système de deux points matériels «», ce dernier n'étant ni isolé, ni pseudo-isolé, son C.D.I[1]. n'est pas en mouvement rectiligne uniforme relativement au référentiel d'étude galiléen et par suite le référentiel barycentrique [2] du système n'est pas galiléen ;
on en déduit qu'a priori les théorèmes de la dynamique newtonienne des systèmes de deux points matériels ne s'appliquent pas dans le référentiel barycentrique du système,
le fait que le référentiel barycentrique [2] soit en translation de vecteur vitesse dans le référentiel d'étude galiléen nécessite, a priori, l'ajout, aux systèmes de forces extérieures et intérieures appliqués au système, une pseudo-force d'inertie d'entraînement appliquée sur chaque point matériel du système «»[3] pour pouvoir appliquer les théorèmes de la dynamique newtonienne au système dans le référentiel barycentrique [2] dans la mesure où ce dernier est non galiléen[4], toutefois
Il existe un théorème applicable sans modification dans le référentiel barycentrique [2] d'un système de deux points matériels ni isolé, ni pseudo-isolé, c'est le théorème du moment cinétique vectoriel avec, pour origine d'évaluation des moments vectoriels, le C.D.I[1]. du système[5], voir ci-après.
Théorème du moment cinétique barycentrique vectoriel[modifier | modifier le wikicode]
Début d’un théorème
Théorème du moment cinétique barycentrique vectoriel appliqué à un système de deux points matériels avec son C.D.I. G pour origine d'évaluation des moments des forces dans son référentiel barycentrique a priori non galiléen
Dans le référentiel barycentrique
[2] du système de deux points matériels «
» avec un référentiel d'étude
galiléen et prenant pour
origine des vecteurs moments de forces le C.D.I
[1].
du système
, le vecteur moment résultant dynamique par rapport à
appliqué, à l'instant
, au système «
» «
» est égal à la dérivée temporelle du vecteur moment cinétique barycentrique de ce dernier au même instant
«
»
[6] soit
«»[6] dans le référentiel barycentrique[2] a priori non galiléen,
la seule condition d'applicabilité de ce théorème étant que le référentiel d'étude soit galiléen.
Fin du théorème
Démonstration : Le référentiel d'étude étant galiléen, on peut appliquer au système de deux points matériels «» le prolongement du théorème du moment cinétique vectoriel avec pour point origine d'évaluation des moments vectoriels le C.D.I[1]. du système soit
«» dans le référentiel d'étude galiléen[5], avec
Démonstration : «» le vecteur moment résultant dynamique par rapport à appliqué, à l'instant , au système et
Démonstration : «» le vecteur moment cinétique de par rapport à au même instant dans le référentiel d'étude puis,
Démonstration : on applique le 1er théorème de Kœnig[7] au système pour lier le vecteur moment cinétique barycentrique du système au vecteur moment cinétique de ce dernier dans le référentiel d'étude[8] «» soit, en prenant en , «» dont on déduit
Démonstration : «» la dérivée temporelle d'une grandeur vectorielle étant indépendante du référentiel dans lequel la dérivation est faite pourvu que les deux référentiels soient en translation l'un par rapport à l'autre d'où, par report dans la relation , «» ou simplement «» R.Q.F.D[9]. dans la mesure où les seuls référentiels utilisés sont en translation l'un par rapport à l'autre.
Il y a conservation du moment cinétique barycentrique vectoriel d'un système de deux points matériels à savoir «»[6]
si le vecteur moment résultant dynamique appliqué au système par rapport à , C.D.I[1]. du système, est nul à tout instant c'est-à-dire si «»,
cette propriété résultant de l'application du théorème du moment cinétique barycentrique vectoriel au système de deux points matériels dans le référentiel barycentrique [2] a priori non galiléen, le référentiel d'étude étant, quant à lui, galiléen soit «» dans lequel la nullité du 1er membre conduit à celle du 2ème membre c'est-à-dire à «» d'où, après intégration par rapport au temps, «».
Si le système de deux points matériels est en rotation autour de de direction fixe orientée par et passant par , on peut déduire
du théorème du moment cinétique barycentrique vectoriel appliqué au système étudié dans le référentiel barycentrique [2] a priori non galiléen, le référentiel d'étude étant, quant à lui, galiléen,
le théorème du moment cinétique barycentrique scalaire relativement à l'axe de direction fixe appliqué dans le référentiel barycentrique [2] a priori non galiléen,
en multipliant scalairement les deux membres du théorème du moment cinétique barycentrique vectoriel par soit «», étant un vecteur constant, soit finalement, par définition du moment scalaire de forces[10] et du moment cinétique scalaire[11],
«» avec fixe dans le référentiel barycentrique [2] du système,
étant a priori non galiléen, le référentiel d'étude étant, quant à lui, galiléen ;
le système étant en rotation autour de de direction fixe, on peut écrire «» avec « le moment d'inertie du système[12] » et « la vitesse angulaire instantanée de ce dernier autour de l'axe à l'instant »[13] «» étant une constante soit la réécriture du théorème du moment cinétique barycentrique scalaire pour un système de deux points matériels en rotation autour d'un axe fixe dans le référentiel barycentrique [2] du système,
«» avec
axe de rotation fixe dans le référentiel barycentrique a priori non galiléen,
le référentiel d'étude étant, quant à lui, galiléen ;
si le vecteur moment résultant dynamique du système en rotation par rapport fixe dans le référentiel barycentrique [2] du système, avec le C.D.I[1]. de ce dernier comme origine d'évaluation du moment vectoriel, est nul c-à-d «» «», on déduit de l'application du théorème du moment cinétique barycentrique scalaire au système en rotation autour de fixe dans ,
la conservation de la vitesse angulaire instantanée de rotation du système autour de l'axe fixe dans le référentiel barycentrique [2]
soit «», le système étant donc en rotation uniforme autour de fixe dans le référentiel barycentrique [2].
- ↑ 1,0 1,1 1,2 1,3 1,4 et 1,5 Erreur de référence : Balise
<ref>
incorrecte : aucun texte n’a été fourni pour les références nommées C.D.I.
- ↑ 2,00 2,01 2,02 2,03 2,04 2,05 2,06 2,07 2,08 2,09 2,10 2,11 2,12 et 2,13 Voir le paragraphe « définition (du référentiel barycentrique (ou du centre de masse) d'un système de deux points matériels) » plus haut dans ce chapitre.
- ↑ Voir le paragraphe « pseudo-force d'inertie d'entraînement dans le cas d'un référentiel d'entraînement en translation relativement au référentiel absolu galiléen » du chap. de la leçon « Mécanique du point en référentiel non galiléen ».
- ↑ La forme de tous ces théorèmes est exposée, dans le cas où le système est réduit à un point matériel mais la généralisation se devine aisément dans le chap. intitulé « Dynamique du point matériel dans un référentiel non galiléen » de la leçon « Mécanique du point en référentiel non galiléen ».
- ↑ 5,0 et 5,1 Voir le paragraphe « théorème du moment cinétique vectoriel en G (centre d'inertie du système de deux points matériels) dans le référentiel d'étude » plus haut dans ce chapitre.
- ↑ 6,0 6,1 et 6,2 On rappelle que le moment cinétique barycentrique vectoriel ne dépend pas de l'origine d'évaluation de ce moment voir le paragraphe « moment cinétique vectoriel barycentrique (propriété) » plus haut dans ce chapitre.
- ↑ Erreur de référence : Balise
<ref>
incorrecte : aucun texte n’a été fourni pour les références nommées Kœnig
- ↑ Voir le paragraphe « énoncé (du 1er théorème de Kœnig) » plus haut dans ce chapitre.
- ↑ Erreur de référence : Balise
<ref>
incorrecte : aucun texte n’a été fourni pour les références nommées R.Q.F.D.
- ↑ Voir le paragraphe « rappel de la définition d'un moment scalaire de force à partir du moment vectoriel de celle-ci » plus haut dans ce chapitre.
- ↑ Voir le paragraphe « définition (du moment cinétique scalaire d'un système de deux points matériels par rapport à un axe Δ) » plus haut dans ce chapitre.
- ↑ Erreur de référence : Balise
<ref>
incorrecte : aucun texte n’a été fourni pour les références nommées moment d'inertie par rapport à DeltaG
- ↑ Voir le paragraphe « moment cinétique scalaire d'un système de deux points matériels en rotation autour d'un axe fixe Δ de vecteur rotation instantanée fixé » plus haut dans ce chapitre.