Cinétique et dynamique d'un système de deux points matériels/Référentiel barycentrique d'un système de deux points matériels et cinétique associée

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Référentiel du centre de masse (ou barycentrique)

Définition

Référentiel barycentrique (ou du centre de masse) d'un système de deux points matériels

     Le référentiel barycentrique $\;{\big (}$ou du centre de masse${\big )}\;$ ${\mathcal {R}}^{*}\;$ du système de deux points matériels «$\;\left\lbrace M_{i}\;\left(m_{i}\right)\right\rbrace _{i\,\in \,\left[\left[1\,,\,2\right]\right]}\;$» est le référentiel lié au C.D.I. $\;G\;$ du système en translation par rapport au référentiel d'étude $\;{\mathcal {R}}$.

     Remarques : $\;G\;$ étant immobile dans $\;{\mathcal {R}}^{*}$, le vecteur vitesse de $\;G\;$ dans $\;{\mathcal {R}}^{*}\;$ y est nul soit «$\;{\vec {V}}_{/\,{\mathcal {R}}^{*}}(G,\,t)={\vec {0}},\;\;\forall \;t\;$» noté plus succinctement «$\;{\vec {V}}^{\,*}\!(G,\,t)={\vec {0}},\;\;\forall \;t\;$».

     Remarques : Bien que ce ne soit pas une obligation, on prend usuellement comme origine du repère associé à $\;{\mathcal {R}}^{*}\;$ le point $\;G$.

Intérêt de son introduction

     On peut décrire la cinématique d'un système de deux points matériels dans le référentiel d'étude $\;{\mathcal {R}}\;$ en la considérant comme composée de deux mouvements :

        $\;\succ \;$un mouvement de translation de vecteur vitesse égal, à l'instant $\;t$, à $\;{\vec {V}}_{/\,{\mathcal {R}}}\!(G,\,t)$, ce mouvement considérant le système à l'instant $\;t\;$ comme un solide $\;{\mathcal {S}}_{G}(t)\;$ et

        $\;\succ \;$un mouvement de rotation ou de déformation du système relativement au solide $\;{\mathcal {S}}_{G}(t)\;$ lié au C.D.I. $\;G$ ;

     le solide $\;{\mathcal {S}}_{G}(t)\;$ s'identifie au référentiel barycentrique $\;{\mathcal {R}}^{*}$, ce dernier étant lié à $\;G$, en translation de vecteur vitesse $\;{\vec {V}}_{/\,{\mathcal {R}}}\!(G,\,t)\;$ relativement au référentiel d'étude $\;{\mathcal {R}}$ ;

     la description de la cinématique du système se réduit donc à

        $\;\succ \;$celle du mouvement du C.D.I. $\;G\;$ dans le référentiel d’étude $\;{\mathcal {R}}\;$ et

        $\;\succ \;$celle du mouvement de chaque point dans le référentiel barycentrique $\;{\mathcal {R}}^{*}\;$ c'est-à-dire à celle du mouvement barycentrique de chaque point.

Grandeurs cinétiques barycentriques d'un système de deux points matériels

Résultante cinétique barycentrique

     Définition : La résultante cinétique barycentrique $\;{\vec {P}}^{\,*}\!(t)$, à l'instant $\;t$, du système de deux points matériels «$\;\left\lbrace M_{i}\;\left(m_{i}\right)\right\rbrace _{i\,\in \,\left[\left[1\,,\,2\right]\right]}\;$» est la somme des vecteurs quantité de mouvement barycentrique des deux points matériels du système soit

«$\;{\vec {P}}^{\,*}\!(t)=\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,2}{\vec {p}}_{M_{i}}^{\,*}\!(t)={\vec {p}}_{M_{1}}^{\,*}\!(t)+{\vec {p}}_{M_{2}}^{\,*}\!(t)\;$» ou encore «$\;{\vec {P}}^{\,*}\!(t)=\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,2}m_{i}\;{\vec {V}}_{M_{i}}^{\,*}\!(t)=m_{1}\;{\vec {V}}_{M_{1}}^{\,*}\!(t)+m_{2}\;{\vec {V}}_{M_{2}}^{\,*}\!(t)\;$».

     Propriété : «$\;{\vec {P}}^{\,*}\!(t)={\vec {0}},\;\;\forall \;t\;$» car «$\;{\vec {P}}^{\,*}\!(t)=m_{\text{syst}}\;{\vec {V}}_{G}^{\,*}\!(t)\;$» d'une part et «$\;{\vec {V}}_{G}^{\,*}\!(t)={\vec {0}},\;\;\forall \;t\;$» d'autre part ;
     Propriété : on en déduit «$\;\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,2}{\vec {p}}_{M_{i}}^{\,*}\!(t)={\vec {0}},\;\;\forall \;t\;$ $\Leftrightarrow$ $\;{\vec {p}}_{M_{1}}^{\,*}\!(t)+{\vec {p}}_{M_{2}}^{\,*}\!(t)={\vec {0}},\;\;\forall \;t\;$».

Moment cinétique vectoriel barycentrique

     Définition : Le moment cinétique barycentrique vectoriel, à l'instant $\;t$, du système de deux points matériels «$\;\left\lbrace M_{i}\;\left(m_{i}\right)\right\rbrace _{i\,\in \,\left[\left[1\,,\,2\right]\right]}\;$» évalué en un point $\;O\;$ quelconque «$\;{\vec {\sigma }}_{O}^{\,*}\!({\text{syst}},\,t)\;$» est la somme des vecteurs moment cinétique barycentrique des deux points matériels du système par rapport au même point $\;O\;$ au même instant $\;t\;$ soit

«$\;{\vec {\sigma }}_{O}^{\,*}\!({\text{syst}},\,t)=\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,2}{\vec {\sigma }}_{O}^{\,*}\!(M_{i},\,t)={\vec {\sigma }}_{O}^{\,*}\!(M_{1},\,t)+{\vec {\sigma }}_{O}^{\,*}\!(M_{2},\,t)\;$» ou encore
«$\;{\vec {\sigma }}_{O}^{\,*}\!({\text{syst}},\,t)=\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,2}{\overrightarrow {OM_{i}}}(t)\wedge m_{i}\;{\vec {V}}_{M_{i}}^{\,*}\!(t)={\overrightarrow {OM_{1}}}(t)\wedge m_{1}\;{\vec {V}}_{M_{1}}^{\,*}\!(t)+{\overrightarrow {OM_{2}}}(t)\wedge m_{2}\;{\vec {V}}_{M_{2}}^{\,*}\!(t)\;$».

     Propriété : «$\;{\vec {\sigma }}_{O}^{\,*}\!({\text{syst}},\,t)\;$» est indépendant du point origine $\;O\;$ et simplement noté «$\;{\vec {\sigma }}^{\,*}\!({\text{syst}},\,t)\;$» en effet, si on applique la formule de changement d'origine de calcul du moment cinétique barycentrique entre deux points $\;O\;$ et $\;O'\;$ distincts on obtient «$\;{\vec {\sigma }}_{O}^{\,*}\!({\text{syst}},\,t)={\vec {\sigma }}_{O'}^{\,*}\!({\text{syst}},\,t)+{\overrightarrow {OO'}}\wedge {\vec {P}}^{\,*}\!(t)\;$» avec $\;{\vec {P}}^{\,*}\!(t)={\vec {0}}\;$ d'où «$\;{\vec {\sigma }}_{O}^{\,*}\!({\text{syst}},\,t)={\vec {\sigma }}_{O'}^{\,*}\!({\text{syst}},\,t),\;\;\forall \;t,\;\;\forall \;\left\lbrace O\,,\,O'\right\rbrace \;$».

Énergie cinétique barycentrique

     Définition : L'énergie cinétique barycentrique, à l'instant $\;t$, du système de deux points matériels «$\;\left\lbrace M_{i}\;\left(m_{i}\right)\right\rbrace _{i\,\in \,\left[\left[1\,,\,2\right]\right]}\;$» est la somme des énergies cinétiques barycentriques des deux points matériels du système au même instant $\;t\;$ soit

«$\;K^{\,*}\!({\text{syst}},\,t)=\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,2}K^{\,*}\!(M_{i},\,t)=K^{\,*}\!(M_{1},\,t)+K^{\,*}\!(M_{2},\,t)\;$» ou encore
«$\;K^{\,*}\!({\text{syst}},\,t)=\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,2}{\dfrac {1}{2}}\;m_{i}\left[{\vec {V}}_{M_{i}}^{\,*}\right]^{2}\!(t)=\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,2}{\dfrac {\left[{\vec {p}}_{M_{i}}^{\,*}\right]^{2}}{2\;m_{i}}}\!(t)=\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,2}{\dfrac {{\vec {p}}_{M_{i}}^{\,*}\!(t)\cdot {\vec {V}}_{M_{i}}^{\,*}\!(t)}{2}}\;$
$\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \quad ={\dfrac {1}{2}}\;m_{1}\left[{\vec {V}}_{M_{1}}^{\,*}\right]^{2}\!(t)+{\dfrac {1}{2}}\;m_{2}\left[{\vec {V}}_{M_{2}}^{\,*}\right]^{2}\!(t)={\dfrac {\left[{\vec {p}}_{M_{1}}^{\,*}\right]^{2}}{2\;m_{1}}}\!(t)+{\dfrac {\left[{\vec {p}}_{M_{2}}^{\,*}\right]^{2}}{2\;m_{2}}}\!(t)={\dfrac {{\vec {p}}_{M_{1}}^{\,*}\!(t)\cdot {\vec {V}}_{M_{1}}^{\,*}\!(t)}{2}}+{\dfrac {{\vec {p}}_{M_{2}}^{\,*}\!(t)\cdot {\vec {V}}_{M_{2}}^{\,*}\!(t)}{2}}\;$».

Mouvement du référentiel barycentrique par rapport au référentiel d'étude et conséquence sur la dérivation temporelle d'une grandeur vectorielle

     A priori, il est nécessaire de préciser le référentiel $\;{\big (}{\mathcal {R}}\;$ ou $\;{\mathcal {R}}^{*}{\big )}\;$ dans lequel on calcule la dérivée temporelle d'une fonction vectorielle $\;{\big [}$en effet, a priori, même si la norme de la fonction vectorielle est constante, sa direction peut être constante dans un référentiel et variable dans un autre, entraînant la nullité de la dérivée temporelle dans le 1^er référentiel et la non nullité dans l’autre${\big ]}$ ;

     toutefois, quand les deux référentiels sont en translation l'un par rapport à l'autre, les dérivées temporelles de grandeurs vectorielles sont identiques $\;{\big [}$voir le paragraphe « introduction (au changement de référentiel en cinématique newtonienne dans le cas du référentiel d'entraînement en translation relativement au référentiel absolu) » du chap.$1$ de la leçon « Mécanique du point en référentiel non galiléen »${\big ]}$, cela résulte du fait que la direction de la fonction vectorielle est alors indépendante du référentiel d'où

     toutefois $\;{\mathcal {R}}^{*}\;$ étant en translation de vecteur vitesse $\;{\vec {V}}_{G}^{\,*}(t)\;$ relativement à $\;{\mathcal {R}}$, on aura «$\;\left[{\dfrac {d{\vec {A}}}{dt}}\right]_{{\mathcal {R}}^{*}}\!\!(t)=\left[{\dfrac {d{\vec {A}}}{dt}}\right]_{\mathcal {R}}\!\!(t)\;$» $\Rightarrow$
      toutefois il est inutile de préciser le référentiel $\;{\big (}{\mathcal {R}}\;$ ou $\;{\mathcal {R}}^{*}{\big )}\;$ dans lequel on fait la dérivation temporelle de la grandeur vectorielle $\;{\vec {A}}(t)$, la dérivée temporelle étant simplement notée «$\;{\dfrac {d{\vec {A}}}{dt}}(t)\;$».

Théorèmes de Kœnig (ou König)

     Les théorèmes de Kœnig $\;{\big (}$ou König${\big )}\;$ permettent d'expliciter le changement de référentiel faisant passer du référentiel barycentrique d'un système fermé de matière au référentiel d'étude pour les grandeurs cinétiques « moment cinétique vectoriel » et « énergie cinétique » du système de matière ; ci-dessous on ne s'intéresse qu'aux systèmes de deux points matériels.

Théorème de Kœnig relatif au moment cinétique vectoriel (ou 1^er théorème de Kœnig)

Énoncé

Début d’un théorème

1^er théorème de Kœnig (ou théorème de Kœnig relatif au moment cinétique)

     Le moment cinétique vectoriel du système de deux points matériels «$\;\left\lbrace M_{i}\;\left(m_{i}\right)\right\rbrace _{i\,\in \,\left[\left[1\,,\,2\right]\right]}\;$» évalué à l'instant $\;t\;$ dans le référentiel d'étude $\;{\mathcal {R}}\;$ relativement à un point $\;O\;$ quelconque «$\;{\vec {\sigma }}_{O}\!({\text{syst}},\,t)\;$» est la somme

• du moment cinétique barycentrique vectoriel du système «$\;{\vec {\sigma }}^{\,*}\!({\text{syst}},\,t)\;$» évalué à l'instant $\;t\;$ et
• du moment cinétique vectoriel du C.D.I. $\;G\;$ du système évalué au même instant $\;t\;$ dans le référentiel d'étude $\;{\mathcal {R}}\;$ par rapport au même point $\;O$ $\;{\big [}$en attribuant au point fictif $\;G\;$ la masse $\;m_{\text{syst}}{\big ]}\;$ «$\;{\vec {\sigma }}_{O}\!(G,\,t)={\overrightarrow {OG}}(t)\wedge m_{\text{syst}}\;{\vec {V}}_{G}(t)\;$» soit, mathématiquement «$\;{\vec {\sigma }}_{O}\!({\text{syst}},\,t)={\vec {\sigma }}^{\,*}\!({\text{syst}},\,t)+{\vec {\sigma }}_{O}\!(G,\,t)={\vec {\sigma }}^{\,*}\!({\text{syst}},\,t)+{\overrightarrow {OG}}(t)\wedge m_{\text{syst}}\;{\vec {V}}_{G}(t)\;$».

Fin du théorème

Démonstration

     Ayant établi la formule de changement d'origine du moment cinétique vectoriel d'un système de deux points matériels dans un référentiel d'étude et l'appliquant entre un point $\;O\;$ quelconque et le C.D.I. $\;G\;$ du système, on peut donc écrire «$\;{\vec {\sigma }}_{\!O}({\text{syst}},\,t)={\vec {\sigma }}_{\!G}({\text{syst}},\,t)+{\overrightarrow {OG}}(t)\wedge m_{\text{syst}}\;{\vec {V}}_{G}(t)\;$» dans laquelle toutes les grandeurs cinétiques ou cinématiques sont définies dans le même référentiel d'étude $\;{\mathcal {R}}$ ;

     il reste, pour terminer la démonstration du 1^er théorème de Kœnig, à établir que le moment cinétique vectoriel du système évalué par rapport au C.D.I. $\;G\;$ du système, à l'instant $\;t$, dans le référentiel d'étude $\;{\mathcal {R}}$, s'identifie au moment cinétique barycentrique vectoriel du système, au même instant $\;t$, c'est-à-dire au moment cinétique vectoriel du système, à l'instant $\;t$, dans le référentiel barycentrique $\;{\mathcal {R}}^{*}$, lequel moment, étant indépendant du point origine de calcul, peut être évalué au C.D.I. $\;G\;$ du système, soit encore à établir «$\;{\vec {\sigma }}_{\!G}({\text{syst}},\,t)\;{\overset {\text{?}}{=}}\;{\vec {\sigma }}_{\!G}^{*}({\text{syst}},\,t)\;$» ;

     pour cela on applique la loi de composition newtonienne des vitesses dans le cas où le référentiel d'entraînement est en translation relativement au référentiel absolu, « le référentiel absolu étant le référentiel d'étude $\;{\mathcal {R}}\;$ et le référentiel d'entraînement le référentiel barycentrique $\;{\mathcal {R}}^{*}\;$», le mouvement d'entraînement d'un point $\;M_{i}\;$ quelconque étant une translation de vecteur vitesse $\;{\vec {V}}_{G}(t)\;$ $\Rightarrow$ le vecteur vitesse d'entraînement du point $\;M_{i}\;$ vérifie «$\;{\vec {V}}_{e,\,M_{i}}(t)={\vec {V}}_{G}(t),\;\forall \;M_{i},\;\forall \;t\;$» et la loi de composition newtonienne des vitesses du point $\;M_{i}\;$ s'écrit «$\;{\vec {V}}_{M_{i}}(t)={\vec {V}}_{M_{i}}^{\,*}(t)+{\vec {V}}_{G}(t)\;$» puis,
     en multipliant vectoriellement à gauche les deux membres par $\;m_{i}\;{\overrightarrow {GM_{i}}}(t)\;$ et en utilisant la distributivité de la multiplication vectorielle relativement à l'addition vectorielle dans le membre de droite «$\,{\overrightarrow {GM_{i}}}(t)\wedge m_{i}\;{\vec {V}}_{M_{i}}(t)$ $={\overrightarrow {GM_{i}}}(t)\wedge m_{i}\;{\vec {V}}_{M_{i}}^{\,*}(t)+{\overrightarrow {GM_{i}}}(t)\wedge m_{i}\;{\vec {V}}_{G}(t)\,$», enfin
     en ajoutant ces $\;2\;$ relations «$\;\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,2}{\overrightarrow {GM_{i}}}(t)\wedge m_{i}\;{\vec {V}}_{M_{i}}(t)=\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,2}{\overrightarrow {GM_{i}}}(t)\wedge m_{i}\;{\vec {V}}_{M_{i}}^{\,*}(t)+\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,2}{\overrightarrow {GM_{i}}}(t)\wedge m_{i}\;{\vec {V}}_{G}(t)\;$», « 1^er membre dans lequel on reconnaît $\;{\vec {\sigma }}_{\!G}({\text{syst}},\,t)\;$» et 2^nd membre dans lequel « le 1^er terme s'identifie à $\;{\vec {\sigma }}_{\!G}^{*}({\text{syst}},\,t)$», le « 2^ème terme se réécrivant, en factorisant vectoriellement à droite par $\;{\vec {V}}_{G}(t)\;$ $\;\left[\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,2}m_{i}\;{\overrightarrow {GM_{i}}}(t)\right]\wedge {\vec {V}}_{G}(t)={\vec {0}}\;$» par définition du C.D.I. du système de deux points matériels d'où finalement «$\;{\vec {\sigma }}_{\!G}({\text{syst}},\,t)={\vec {\sigma }}_{\!G}^{*}({\text{syst}},\,t)\;$» R.Q.F.D..

Version projetée sur une direction fixée du 1^er théorème de Kœnig

Début d’un théorème

1^er théorème de Kœnig (ou théorème de Kœnig relatif au moment cinétique) en projection sur une direction fixée

     Le moment cinétique scalaire du système de deux points matériels «$\;\left\lbrace M_{i}\;\left(m_{i}\right)\right\rbrace _{i\,\in \,\left[\left[1\,,\,2\right]\right]}\;$» évalué à l'instant $\;t\;$ dans le référentiel d'étude $\;{\mathcal {R}}\;$ relativement à un axe $\;\Delta _{O}\;$ quelconque orienté par le vecteur unitaire $\;{\vec {u}}_{\Delta }\;$ «$\;\sigma _{\Delta _{O}}\!({\text{syst}},\,t)\;$» est la somme

• du moment cinétique barycentrique scalaire du système «$\;\sigma _{{\vec {u}}_{\Delta }}^{\,*}\!({\text{syst}},\,t)\;$» évalué à l'instant $\;t\;$ relativement à la direction $\;{\vec {u}}_{\Delta }\;$ et
• du moment cinétique scalaire du C.D.I. $\;G\;$ du système évalué au même instant $\;t\;$ dans le référentiel d'étude $\;{\mathcal {R}}\;$ par rapport au même axe $\;\Delta _{O}$ $\;{\big [}$en attribuant au point fictif $\;G\;$ la masse $\;m_{\text{syst}}{\big ]}\;$ «$\;\sigma _{\Delta _{O}}\!(G,\,t)=\left[{\overrightarrow {OG}}(t)\wedge m_{\text{syst}}\;{\vec {V}}_{G}(t)\right]\cdot {\vec {u}}_{\Delta }\;$» soit, mathématiquement «$\;\sigma _{\Delta _{O}}\!({\text{syst}},\,t)=\sigma _{{\vec {u}}_{\Delta }}^{\,*}\!({\text{syst}},\,t)+\sigma _{\Delta _{O}}\!(G,\,t)=\sigma _{{\vec {u}}_{\Delta }}^{\,*}\!({\text{syst}},\,t)+\left[{\overrightarrow {OG}}(t)\wedge m_{\text{syst}}\;{\vec {V}}_{G}(t)\right]\cdot {\vec {u}}_{\Delta }\;$».

Fin du théorème

     Démonstration : Il suffit d'appliquer, à l'instant $\;t$, au système de deux points matériels «$\;\left\lbrace M_{i}\;\left(m_{i}\right)\right\rbrace _{i\,\in \,\left[\left[1\,,\,2\right]\right]}\;$», le 1^er théorème de Kœnig, dans le référentiel d'étude $\;{\mathcal {R}}$, soit «$\;{\vec {\sigma }}_{O}\!({\text{syst}},\,t)=$ ${\vec {\sigma }}^{\,*}\!({\text{syst}},\,t)+{\vec {\sigma }}_{O}\!(G,\,t)={\vec {\sigma }}^{\,*}\!({\text{syst}},\,t)+{\overrightarrow {OG}}(t)\wedge m_{\text{syst}}\;{\vec {V}}_{G}(t)\;$» puis
     Démonstration : Il suffit de multiplier chaque membre par $\;{\vec {u}}_{\Delta }\;$ définissant la direction de projection du 1^er théorème de Kœnig, soit «$\;{\vec {\sigma }}_{O}\!({\text{syst}},\,t)\cdot {\vec {u}}_{\Delta }=\left[{\vec {\sigma }}^{\,*}\!({\text{syst}},\,t)+{\vec {\sigma }}_{O}\!(G,\,t)\right]\cdot {\vec {u}}_{\Delta }\;$» ou, en utilisant la distributivité de la multiplication scalaire relativement à l'addition vectorielle, «$\;{\vec {\sigma }}_{O}\!({\text{syst}},\,t)\cdot {\vec {u}}_{\Delta }={\vec {\sigma }}^{\,*}\!({\text{syst}},\,t)\cdot {\vec {u}}_{\Delta }+{\vec {\sigma }}_{O}\!(G,\,t)\cdot {\vec {u}}_{\Delta }={\vec {\sigma }}^{\,*}\!({\text{syst}},\,t)\cdot {\vec {u}}_{\Delta }+\left[{\overrightarrow {OG}}(t)\wedge m_{\text{syst}}\;{\vec {V}}_{G}(t)\right]\cdot {\vec {u}}_{\Delta }\;$» et enfin
     Démonstration : Il suffit de reconnaître dans «$\;{\vec {\sigma }}_{O}\!({\text{syst}},\,t)\cdot {\vec {u}}_{\Delta }\;$» le moment cinétique scalaire du système à l'instant $\;t\;$ dans le référentiel d'étude $\;{\mathcal {R}}\;$ relativement à un axe $\;\Delta _{O}\;$ passant par $\;O\;$ et orienté par $\;{\vec {u}}_{\Delta }\;$ «$\;\sigma _{\Delta _{O}}\!({\text{syst}},\,t)\;$»,
     Démonstration : Il suffit de reconnaître dans «$\;{\vec {\sigma }}^{\,*}\!({\text{syst}},\,t)\cdot {\vec {u}}_{\Delta }\;$» le moment cinétique barycentrique scalaire du système à l'instant $\;t\;$ relativement à la direction $\;{\vec {u}}_{\Delta }\;$ «$\;\sigma _{{\vec {u}}_{\Delta }}^{\,*}\!({\text{syst}},\,t)\;$» et
     Démonstration : Il suffit de reconnaître dans «$\;{\vec {\sigma }}_{O}\!(G,\,t)\cdot {\vec {u}}_{\Delta }\;$» le moment cinétique scalaire du C.D.I. $\;G\;$ du système au même instant $\;t\;$ dans le référentiel d'étude $\;{\mathcal {R}}\;$ par rapport au même axe $\;\Delta _{O}\;$ «$\;\sigma _{\Delta _{O}}\!(G,\,t)$ $=\left[{\overrightarrow {OG}}(t)\wedge m_{\text{syst}}\;{\vec {V}}_{G}(t)\right]\cdot {\vec {u}}_{\Delta }\;$»,
     Démonstration : soit finalement «$\;\sigma _{\Delta _{O}}\!({\text{syst}},\,t)=\sigma _{{\vec {u}}_{\Delta }}^{\,*}\!({\text{syst}},\,t)+\sigma _{\Delta _{O}}\!(G,\,t)=\sigma _{{\vec {u}}_{\Delta }}^{\,*}\!({\text{syst}},\,t)+\left[{\overrightarrow {OG}}(t)\wedge m_{\text{syst}}\;{\vec {V}}_{G}(t)\right]\cdot {\vec {u}}_{\Delta }\;$» R.Q.F.D..

Système de deux points matériels «$\;\left\lbrace M_{1}\left(m_{1}\right),\right.$ $\left.M_{2}\left(m_{2}\right)\right\rbrace \;$» en rotation autour d'un axe $\;\Delta _{O}\;$ fixe dans le référentiel d'étude $\;{\mathcal {R}}$, le C.D.I. $\;G\;$ du système étant hors de l'axe $\;\Delta _{O}$

     Cas particulier d'un système de deux points matériels en rotation autour d'un axe fixe dans le référentiel d'étude : Soit le système de deux points matériels «$\;\left\lbrace M_{i}\;\left(m_{i}\right)\right\rbrace _{i\,\in \,\left[\left[1\,,\,2\right]\right]}\;$» en rotation autour de l'axe $\;\Delta _{O}\;$ fixe dans le référentiel d'étude $\;{\mathcal {R}}$ $\;{\bigg [}$le repère cartésien associé à $\;{\mathcal {R}}\;$ étant $\;\left\lbrace {\overrightarrow {Ox}}\,,\,{\overrightarrow {Oy}}\,,\,{\overrightarrow {Oz}}\right\rbrace$, $\;{\vec {u}}_{z}\;$ orientant $\;\Delta _{O}{\bigg ]}\;$ avec un vecteur rotation instantanée $\;{\vec {\Omega }}_{/\,{\mathcal {R}}}(t)\;$ $\;{\big (}$voir figure ci-contre${\big )}$, le C.D.I. $\;G\;$ du système étant hors de l'axe $\;\Delta _{O}$,
     Cas particulier d'un système de deux points matériels en rotation autour d'un axe fixe dans le référentiel d'étude : le référentiel barycentrique $\;{\mathcal {R}}^{*}\;$ du système $\;{\bigg [}$le repère cartésien associé à $\;{\mathcal {R}}^{*}\;$ étant $\;\left\lbrace {\overrightarrow {Gx}}^{*}\,,\,{\overrightarrow {Gy}}^{*}\,,\,{\overrightarrow {Gz}}^{*}\right\rbrace \;$ choisis $\;\parallel \;$ aux axes du repère cartésien associé à $\;{\mathcal {R}}{\bigg ]}\;$ est en translation circulaire dans $\;{\mathcal {R}}\;$ avec un vecteur vitesse instantanée $\;{\vec {V}}_{/\,{\mathcal {R}}}(G,\,t)$ ;
     Cas particulier d'un système de deux points matériels en rotation autour d'un axe fixe dans le référentiel d'étude : $\;{\mathcal {R}}^{*}\;$ étant en translation relativement à $\;{\mathcal {R}}$, le mouvement barycentrique du système des deux points matériels «$\;\left\lbrace M_{1}\left(m_{1}\right),\right.$ $\left.M_{2}\left(m_{2}\right)\right\rbrace \;$» est en rotation autour de l'axe $\;\Delta _{G}\;$ fixe dans $\;{\mathcal {R}}^{*}\;$ avec un vecteur rotation instantanée $\;{\vec {\Omega }}_{/\,{\mathcal {R}}^{*}}(t)={\vec {\Omega }}_{/\,{\mathcal {R}}}(t)\;$ ;
     Cas particulier d'un système de deux points matériels en rotation autour d'un axe fixe dans le référentiel d'étude : l'application du 1^er théorème de Kœnig au système des deux points matériels «$\;\left\lbrace M_{i}\;\left(m_{i}\right)\right\rbrace _{i\,\in \,\left[\left[1\,,\,2\right]\right]}\;$» dans sa version projetée sur une direction orientée par $\;{\vec {u}}_{\Delta }\;$ nous conduit à «$\;\sigma _{\Delta _{O}}\!({\text{syst}},\,t)=$ $\sigma _{{\vec {u}}_{\Delta }}^{\,*}\!({\text{syst}},\,t)+\sigma _{\Delta _{O}}\!(G,\,t)\;$» avec

• «$\;\sigma _{{\vec {u}}_{\Delta }}^{\,*}\!({\text{syst}},\,t)=J_{\Delta _{G}}({\text{syst}})\;{\overline {\Omega }}_{/\,{\mathcal {R}}^{*}}(t)=J_{\Delta _{G}}({\text{syst}})\;{\overline {\Omega }}_{/\,{\mathcal {R}}}(t)\;$» dans lequel «$\;J_{\Delta _{G}}({\text{syst}})=\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,2}m_{i}\left[r_{i}^{*}\right]^{2}=m_{1}\left[r_{1}^{*}\right]^{2}+m_{2}\left[r_{2}^{*}\right]^{2}\;$ est le moment d'inertie du système par rapport à l'axe $\;\Delta _{G}\;$», avec $\;r_{i}^{*}\;$ la distance orthogonale séparant le point $\;M_{i}\;$ de l'axe $\;\Delta _{G}$, «$\;{\overline {\Omega }}_{/\,{\mathcal {R}}^{*}}(t)={\overline {\Omega }}_{/\,{\mathcal {R}}}(t)\;$ étant la vitesse angulaire instantanée de rotation du système définie selon $\;{\overrightarrow {\Omega }}_{/\,{\mathcal {R}}^{*}}(t)\cdot {\vec {u}}_{\Delta }={\overrightarrow {\Omega }}_{/\,{\mathcal {R}}}(t)\cdot {\vec {u}}_{\Delta }\;$» et
• «$\;\sigma _{\Delta _{O}}\!(G,\,t)=\left[{\overrightarrow {OG}}(t)\wedge m_{\text{syst}}\;{\vec {V}}_{/\,{\mathcal {R}}}(G,\,t)\right]\cdot {\vec {u}}_{\Delta }=J_{\Delta _{O}}(G)\;{\overline {\Omega }}_{/\,{\mathcal {R}}}(t)\;$» dans lequel «$\;J_{\Delta _{O}}(G)=m_{\text{syst}}\;r_{G}^{\,2}\;$ est le moment d'inertie du C.D.I. $\;G\left(m_{\text{syst}}\right)\;$ par rapport à l'axe $\;\Delta _{O}\;$», avec $\;r_{G}\;$ la distance orthogonale séparant le C.D.I. $\;G\;$ de l'axe $\;\Delta _{O}$, d'où

«$\;\sigma _{\Delta _{O}}\!({\text{syst}},\,t)=J_{\Delta _{G}}({\text{syst}})\;{\overline {\Omega }}_{/\,{\mathcal {R}}}(t)+J_{\Delta _{O}}(G)\;{\overline {\Omega }}_{/\,{\mathcal {R}}}(t)=\left[J_{\Delta _{G}}({\text{syst}})+J_{\Delta _{O}}(G)\right]{\overline {\Omega }}_{/\,{\mathcal {R}}}(t)\;$»,

     Cas particulier d'un système de deux points matériels en rotation autour d'un axe fixe dans le référentiel d'étude : soit, en évaluant directement le moment cinétique scalaire du système par rapport à l'axe $\;\Delta _{O}\;$ dans le référentiel d'étude $\;{\mathcal {R}}\;$ par «$\;\sigma _{\Delta _{O}}\!({\text{syst}},\,t)=J_{\Delta _{O}}({\text{syst}})\;{\overline {\Omega }}_{/\,{\mathcal {R}}}(t)\;$ dans lequel «$\;J_{\Delta _{O}}({\text{syst}})=\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,2}m_{i}\;r_{i}^{\,2}=m_{1}\;r_{1}^{\,2}+m_{2}\;r_{2}^{\,2}\;$ est le moment d'inertie du système par rapport à l'axe $\;\Delta _{O}\;$», avec $\;r_{i}\;$ la distance orthogonale séparant le point $\;M_{i}\;$ de l'axe $\;\Delta _{O}\;$ et
     Cas particulier d'un système de deux points matériels en rotation autour d'un axe fixe dans le référentiel d'étude : soit, en identifiant les deux expressions de $\;\sigma _{\Delta _{O}}\!({\text{syst}},\,t)\;$ déterminée directement et par 1^er théorème de Kœnig dans sa version projetée sur la direction $\;{\vec {u}}_{\Delta }$,

«$\;J_{\Delta _{O}}({\text{syst}})\;{\overline {\Omega }}_{/\,{\mathcal {R}}}(t)=\left[J_{\Delta _{G}}({\text{syst}})+J_{\Delta _{O}}(G)\right]{\overline {\Omega }}_{/\,{\mathcal {R}}}(t)\;$»
$\Downarrow$ $\;{\big \{}$après simplification par $\;{\overline {\Omega }}_{/\,{\mathcal {R}}}(t){\big \}}\;$
«$\;J_{\Delta _{O}}({\text{syst}})=J_{\Delta _{G}}({\text{syst}})+J_{\Delta _{O}}(G)=J_{\Delta _{G}}({\text{syst}})+m_{\text{syst}}\;r_{G}^{\,2}\;$» $\;{\big (}$théorème de Huygens${\big )}\;$,
$\;r_{G}\;$ étant aussi la distance orthogonale séparant $\;\Delta _{G}\;$ de $\;\Delta _{O}$.

Théorème de Kœnig relatif à l'énergie cinétique (ou 2^ème théorème de Kœnig)

Énoncé

Début d’un théorème

2^ème théorème de Kœnig (ou théorème de Kœnig relatif à l'énergie cinétique)

     L'énergie cinétique du système de deux points matériels «$\;\left\lbrace M_{i}\;\left(m_{i}\right)\right\rbrace _{i\,\in \,\left[\left[1\,,\,2\right]\right]}\;$» évalué à l'instant $\;t\;$ dans le référentiel d'étude $\;{\mathcal {R}}\;$ «$\;K({\text{syst}},\,t)\;$» est la somme

• de l'énergie cinétique barycentrique du système «$\;K^{\,*}\!({\text{syst}},\,t)\;$» évalué à l'instant $\;t\;$ et
• de l'énergie cinétique du C.D.I. $\;G\;$ du système évalué au même instant $\;t\;$ dans le référentiel d'étude $\;{\mathcal {R}}\;$ $\;{\big [}$en attribuant au point fictif $\;G\;$ la masse $\;m_{\text{syst}}{\big ]}\;$ «$\;K\!(G,\,t)={\dfrac {1}{2}}\;m_{\text{syst}}\;{\vec {V}}_{G}^{\,2}(t)\;$» soit, mathématiquement «$\;K({\text{syst}},\,t)=K^{\,*}\!({\text{syst}},\,t)+K\!(G,\,t)=K^{\,*}\!({\text{syst}},\,t)+{\dfrac {1}{2}}\;m_{\text{syst}}\;{\vec {V}}_{G}^{\,2}(t)\;$».

Fin du théorème

Démonstration

     L'énergie cinétique du système de deux points matériels «$\;\left\lbrace M_{i}\;\left(m_{i}\right)\right\rbrace _{i\,\in \,\left[\left[1\,,\,2\right]\right]}\;$» étant définie,

• à l'instant $\;t$, dans le référentiel d'étude $\;{\mathcal {R}}$, selon «$\;K({\text{syst}},\,t)=\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,2}{\dfrac {1}{2}}\;m_{i}\;{\vec {V}}_{M_{i}}^{\,2}\!(t)\;$» et,
• dans le référentiel barycentrique $\;{\mathcal {R}}^{*}$, au même instant $\;t$, selon «$\;K^{*}({\text{syst}},\,t)=\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,2}{\dfrac {1}{2}}\;m_{i}\,\left[{\vec {V}}_{M_{i}}^{\,*}\right]^{\!2}\!(t)\;$»,

     nous déterminons le lien entre les deux en appliquant la loi de composition newtonienne des vitesses dans le cas où le référentiel d'entraînement est en translation relativement au référentiel absolu, « le référentiel absolu étant le référentiel d'étude $\;{\mathcal {R}}\;$ et le référentiel d'entraînement le référentiel barycentrique $\;{\mathcal {R}}^{*}\;$», le mouvement d'entraînement d'un point $\;M_{i}\;$ quelconque étant une translation de vecteur vitesse $\;{\vec {V}}_{G}(t)\;$ $\Rightarrow$ le vecteur vitesse d'entraînement du point $\;M_{i}\;$ vérifie «$\;{\vec {V}}_{e,\,M_{i}}(t)={\vec {V}}_{G}(t),\;\forall \;M_{i},\;\forall \;t\;$» et la loi de composition newtonienne des vitesses du point $\;M_{i}\;$ s'écrit «$\;{\vec {V}}_{M_{i}}(t)=$ ${\vec {V}}_{M_{i}}^{\,*}(t)+{\vec {V}}_{G}(t)\;$» puis,
     en formant le carré scalaire multiplié par $\;{\dfrac {m_{i}}{2}}\;$ de chaque membre et en développant le membre de droite «$\;{\dfrac {1}{2}}\;m_{i}\;{\vec {V}}_{M_{i}}^{\,2}(t)={\dfrac {1}{2}}\;m_{i}\left[{\vec {V}}_{M_{i}}^{\,*}\right]^{2}\!(t)+m_{i}\;{\vec {V}}_{M_{i}}^{\,*}(t)\cdot {\vec {V}}_{G}(t)+{\dfrac {1}{2}}\;m_{i}\;{\vec {V}}_{G}^{\,2}(t)\;$», enfin
     en ajoutant ces $\;2\;$ relations «$\;\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,2}{\dfrac {1}{2}}\;m_{i}\;{\vec {V}}_{M_{i}}^{\,2}(t)=\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,2}{\dfrac {1}{2}}\;m_{i}\left[{\vec {V}}_{M_{i}}^{\,*}\right]^{2}\!(t)+\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,2}m_{i}\;{\vec {V}}_{M_{i}}^{\,*}(t)\cdot {\vec {V}}_{G}(t)+\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,2}{\dfrac {1}{2}}\;m_{i}\;{\vec {V}}_{G}^{\,2}(t)\;$», « 1^er membre dans lequel on reconnaît $\;K({\text{syst}},\,t)\;$» et 2^nd membre dans lequel « le 1^er terme s'identifie à $\;K^{*}({\text{syst}},\,t)\;$», le « 2^ème terme se réécrivant, en factorisant scalairement par $\;{\vec {V}}_{G}(t)\;$ $\;\left[\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,2}m_{i}\;{\vec {V}}_{M_{i}}^{\,*}(t)\right]\cdot {\vec {V}}_{G}(t)={\vec {P}}^{\,*}(t)\cdot {\vec {V}}_{G}(t)=0\;$» par nullité de la résultante cinétique barycentrique du système de deux points matériels et le « 3^ème terme, en factorisant par $\;{\dfrac {{\vec {V}}_{G}^{\,2}(t)}{2}}$, $\;\left[\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,2}m_{i}\right]{\dfrac {{\vec {V}}_{G}^{\,2}(t)}{2}}={\dfrac {1}{2}}\;m_{\text{syst}}\;{\vec {V}}_{G}^{\,2}(t)=K(G,\,t)\;$» d'où finalement «$\;K({\text{syst}},\,t)$ $=K^{*}({\text{syst}},\,t)+\;K(G,\,t)=K^{*}({\text{syst}},\,t)+{\dfrac {1}{2}}\;m_{\text{syst}}\;{\vec {V}}_{G}^{\,2}(t)\;$» R.Q.F.D..

Exemple d'un système de deux points matériels en rotation autour d'un axe fixe Δ_G de vecteur rotation instantanée barycentrique fixé

     Considérons un système de deux points matériels «$\;\left\lbrace M_{i}\;\left(m_{i}\right)\right\rbrace _{i\,\in \,\left[\left[1\,,\,2\right]\right]}\;$» en rotation autour d'un axe $\;\Delta _{G}\;$ passant par le C.D.I. $\;G\;$ du système et de direction fixe dans le référentiel barycentrique $\;{\mathcal {R}}^{*}\;$ du système, avec un vecteur rotation instantanée $\;{\vec {\Omega }}_{/\,{\mathcal {R}}^{*}}(t)\;$ à l'instant $\;t$,
     Considérons le C.D.I. $\;G\;$ du système se déplaçant dans le référentiel d'étude $\;{\mathcal {R}}\;$ et y ayant un vecteur vitesse instantanée $\;{\vec {V}}_{/\,{\mathcal {R}}}(G,\,t)\;$ au même instant $\;t$,
     l'application du 2^ème théorème de Kœnig au système des deux points matériels «$\;\left\lbrace M_{i}\;\left(m_{i}\right)\right\rbrace _{i\,\in \,\left[\left[1\,,\,2\right]\right]}\;$» nous conduit à «$\;K({\text{syst}},\,t)=K^{\,*}\!({\text{syst}},\,t)+K\!(G,\,t)\;$» avec

• «$\;K^{\,*}\!({\text{syst}},\,t)={\dfrac {1}{2}}\;J_{\Delta _{G}}({\text{syst}})\;{\overline {\Omega }}_{/\,{\mathcal {R}}^{*}}^{\,2}(t)\;$» dans lequel «$\;J_{\Delta _{G}}({\text{syst}})=\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,2}m_{i}\left[r_{i}^{*}\right]^{2}=m_{1}\left[r_{1}^{*}\right]^{2}+m_{2}\left[r_{2}^{*}\right]^{2}\;$ est le moment d'inertie du système par rapport à l'axe $\;\Delta _{G}\;$», avec $\;r_{i}^{*}\;$ la distance orthogonale entre le point $\;M_{i}\;$ et l'axe $\;\Delta _{G}$, «$\;{\overline {\Omega }}_{/\,{\mathcal {R}}^{*}}(t)\;$ étant la vitesse angulaire de rotation du système à l'instant $\;t\;$ dans le référentiel barycentrique $\;{\mathcal {R}}^{*}\;$ soit $\;{\overline {\Omega }}_{/\,{\mathcal {R}}^{*}}(t)={\overrightarrow {\Omega }}_{/\,{\mathcal {R}}^{*}}(t)\cdot {\vec {u}}_{\Delta }\;$» $\;{\big \{}{\vec {u}}_{\Delta }\;$ étant le vecteur unitaire orientant $\;\Delta _{G}{\big \}}$ $\;{\big [}$cette partie d’énergie cinétique correspondant à la rotation propre barycentrique du système des deux points${\big ]}\;$ et
• «$\;K\!(G,\,t)={\dfrac {1}{2}}\;m_{\text{syst}}\;{\vec {V}}_{/\,{\mathcal {R}}}^{\,2}(G,\,t)\;$» dans lequel «$\;m_{\text{syst}}=\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,2}m_{i}=m_{1}+m_{2}\;$ est la masse du système » $\;{\big [}$cette partie d’énergie cinétique correspondant à la translation d'ensemble du système des deux points dans le référentiel d'étude${\big ]}\;$ d'où

«$\;K({\text{syst}},\,t)=K^{\,*}\!({\text{syst}},\,t)+K\!(G,\,t)={\dfrac {1}{2}}\;J_{\Delta _{G}}({\text{syst}})\;{\overline {\Omega }}_{/\,{\mathcal {R}}^{*}}^{\,2}(t)+{\dfrac {1}{2}}\;m_{\text{syst}}\;{\vec {V}}_{/\,{\mathcal {R}}}^{\,2}(G,\,t)\;$».