En raison de limitations techniques, la typographie souhaitable du titre, « Cinétique et dynamique d'un système de deux points matériels : Référentiel barycentrique d'un système de deux points matériels et cinétique associée Cinétique et dynamique d'un système de deux points matériels/Référentiel barycentrique d'un système de deux points matériels et cinétique associée », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.
Référentiel barycentrique (ou du centre de masse) d'un système de deux points matériels
Le référentiel barycentriqueou du centre de massedu système de deux points matériels «» est le référentiel lié au C.D.I.[1] du système en translation par rapport au référentiel d'étude.
Remarques : étant immobile dans , le vecteur vitesse de dans y est nul soit «» noté plus succinctement «».
Remarques : Bien que ce ne soit pas une obligation, on prend usuellement comme origine du repère associé à le point .
Définition : La résultante cinétique barycentrique , à l'instant , du système de deux points matériels «» est la somme des vecteurs quantité de mouvement barycentrique des deux points matériels du système soit
Définition : Le moment cinétique barycentrique vectoriel, à l'instant , du système de deux points matériels «» évalué en un point quelconque «» est la somme des vecteurs moment cinétique barycentrique des deux points matériels du système par rapport au même point au même instant soit
Propriété : «» est indépendant du point origine et simplement noté «»[3] en effet, si on applique la formule de changement d'origine de calcul du moment cinétique barycentrique entre deux points et distincts on obtient «»[2] avec [3] d'où «»[3].
Définition : L'énergie cinétique barycentrique, à l'instant , du système de deux points matériels «» est la somme des énergies cinétiques barycentriques des deux points matériels du système au même instant soit
Mouvement du référentiel barycentrique par rapport au référentiel d'étude et conséquence sur la dérivation temporelle d'une grandeur vectorielle[modifier | modifier le wikicode]
A priori, il est nécessaire de préciser le référentiel ou dans lequel on calcule la dérivée temporelle d'une fonction vectorielle en effet, a priori, même si la norme de la fonction vectorielle est constante, sa direction peut être constante dans un référentiel et variable dans un autre, entraînant la nullité de la dérivée temporelle dans le 1er référentiel et la non nullité dans l’autre ;
toutefois, quand les deux référentiels sont en translation l'un par rapport à l'autre, les dérivées temporelles de grandeurs vectorielles sont identiques voir le paragraphe « introduction (au changement de référentiel en cinématique newtonienne dans le cas du référentiel d'entraînement en translation relativement au référentiel absolu) » du chap. de la leçon « Mécanique du point en référentiel non galiléen », cela résulte du fait que la direction de la fonction vectorielle est alors indépendante du référentiel d'où
toutefois étant en translation de vecteur vitesse relativement à , on aura «» toutefois il est inutile de préciser le référentiel ou dans lequel on fait la dérivation temporelle de la grandeur vectorielle , la dérivée temporelle étant simplement notée «».
Les théorèmes de Kœnig ou König[4] permettent d'expliciter le changement de référentiel faisant passer du référentiel barycentrique d'un système fermé de matière au référentiel d'étude pour les grandeurs cinétiques « moment cinétique vectoriel » et « énergie cinétique » du système de matière ; ci-dessous on ne s'intéresse qu'aux systèmes de deux points matériels.
Théorème de Kœnig relatif au moment cinétique vectoriel (ou 1er théorème de Kœnig)[modifier | modifier le wikicode]
1er théorème de Kœnig (ou théorème de Kœnig relatif au moment cinétique)
Le moment cinétique vectoriel du système de deux points matériels «» évalué à l'instant dans le référentiel d'étude relativement à un point quelconque «» est la somme
du moment cinétique barycentrique vectoriel du système «»[5] évalué à l'instant et
du moment cinétique vectoriel du C.D.I[1]. du système évalué au même instant dans le référentiel d'étude par rapport au même point en attribuant au point fictif la masse «» soit, mathématiquement
Ayant établi la formule de changement d'origine du moment cinétique vectoriel d'un système de deux points matériels dans un référentiel d'étude[6] et l'appliquant entre un point quelconque et le C.D.I[1]. du système, on peut donc écrire «»[3] dans laquelle toutes les grandeurs cinétiques ou cinématiques sont définies dans le même référentiel d'étude ;
il reste, pour terminer la démonstration du 1er théorème de Kœnig[4], à établir que le moment cinétique vectoriel du système évalué par rapport au C.D.I.[1] du système, à l'instant , dans le référentiel d'étude, s'identifie au moment cinétique barycentrique vectoriel du système, au même instant , c'est-à-dire au moment cinétique vectoriel du système, à l'instant , dans le référentiel barycentrique , lequel moment, étant indépendant du point origine de calcul, peut être évalué au C.D.I[1]. du système, soit encore à établir «» ;
pour cela on applique la loi de composition newtonienne des vitesses dans le cas où le référentiel d'entraînement est en translation relativement au référentiel absolu[7], « le référentiel absolu étant le référentiel d'étude et le référentiel d'entraînement le référentiel barycentrique »[8], le mouvement d'entraînement d'un point quelconque étant une translation de vecteur vitesse le vecteur vitesse d'entraînement du point vérifie «» et la loi de composition newtonienne des vitesses du point s'écrit «»[7] puis, en multipliant vectoriellement à gauche les deux membres par et en utilisant la distributivité de la multiplication vectorielle relativement à l'addition vectorielle[9] dans le membre de droite «», enfin en ajoutant ces relations «», « 1er membre dans lequel on reconnaît » et 2nd membre dans lequel « le 1er terme s'identifie à », le « 2ème terme se réécrivant, en factorisant vectoriellement à droite par [10]» par définition du C.D.I[1]. du système de deux points matériels d'où finalement «» R.Q.F.D[11]..
1er théorème de Kœnig (ou théorème de Kœnig relatif au moment cinétique) en projection sur une direction fixée
Le moment cinétique scalaire du système de deux points matériels «» évalué à l'instant dans le référentiel d'étude relativement à un axe quelconque orienté par le vecteur unitaire «» est la somme
du moment cinétique barycentrique scalaire du système «» évalué à l'instant relativement à la direction [12] et
du moment cinétique scalaire du C.D.I[1]. du système évalué au même instant dans le référentiel d'étude par rapport au même axe en attribuant au point fictif la masse «» soit, mathématiquement
Démonstration : Il suffit d'appliquer, à l'instant , au système de deux points matériels «», le 1er théorème de Kœnig[4], dans le référentiel d'étude , soit «»[3] puis Démonstration : Il suffit de multiplier chaque membre par définissant la direction de projection du 1er théorème de Kœnig[4], soit «» ou, en utilisant la distributivité de la multiplication scalaire relativement à l'addition vectorielle[13], «» et enfin Démonstration : Il suffit de reconnaître dans «» le moment cinétique scalaire du système à l'instant dans le référentiel d'étude relativement à un axe passant par et orienté par «», Démonstration : Il suffit de reconnaître dans «» le moment cinétique barycentrique scalaire du système à l'instant relativement à la direction «»[12] et Démonstration : Il suffit de reconnaître dans «» le moment cinétique scalaire du C.D.I[1]. du système au même instant dans le référentiel d'étude par rapport au même axe «», Démonstration : soit finalement «» R.Q.F.D[11]..
Cas particulier d'un système de deux points matériels en rotation autour d'un axe fixe dans le référentiel d'étude : Soit le système de deux points matériels «» en rotation autour de l'axe fixe dans le référentiel d'étude le repère cartésien associé à étant , orientant avec un vecteur rotation instantanée [14]voir figure ci-contre, le C.D.I[1]. du système étant hors de l'axe , Cas particulier d'un système de deux points matériels en rotation autour d'un axe fixe dans le référentiel d'étude : le référentiel barycentrique du système le repère cartésien associé à étant choisis aux axes du repère cartésien associé à est en translation circulaire dans avec un vecteur vitesse instantanée ; Cas particulier d'un système de deux points matériels en rotation autour d'un axe fixe dans le référentiel d'étude : étant en translation relativement à , le mouvement barycentrique du système des deux points matériels «» est en rotation autour de l'axe fixe dans avec un vecteur rotation instantanée [14] ; Cas particulier d'un système de deux points matériels en rotation autour d'un axe fixe dans le référentiel d'étude : l'application du 1er théorème de Kœnig[4] au système des deux points matériels «» dans sa version projetée sur une direction orientée par nous conduit à «» avec
«» dans lequel « est le moment d'inertie du système par rapport à l'axe », avec la distance orthogonale séparant le point de l'axe , « étant la vitesse angulaire instantanée de rotation du système définie selon » et
«» dans lequel « est le moment d'inertie du C.D.I[1]. par rapport à l'axe », avec la distance orthogonale séparant le C.D.I[1]. de l'axe , d'où
«»,
Cas particulier d'un système de deux points matériels en rotation autour d'un axe fixe dans le référentiel d'étude : soit, en évaluant directement le moment cinétique scalaire du système par rapport à l'axe dans le référentiel d'étude par « dans lequel « est le moment d'inertie du système par rapport à l'axe », avec la distance orthogonale séparant le point de l'axe et Cas particulier d'un système de deux points matériels en rotation autour d'un axe fixe dans le référentiel d'étude : soit, en identifiant les deux expressions de déterminée directement et par 1er théorème de Kœnig[4] dans sa version projetée sur la direction ,
«» après simplification par «» théorème de Huygens[15][16], étant aussi la distance orthogonale séparant de .
2ème théorème de Kœnig (ou théorème de Kœnig relatif à l'énergie cinétique)
L'énergie cinétique du système de deux points matériels «» évalué à l'instant dans le référentiel d'étude «» est la somme
de l'énergie cinétique barycentrique du système «» évalué à l'instant et
de l'énergie cinétique du C.D.I[1]. du système évalué au même instant dans le référentiel d'étude en attribuant au point fictif la masse «» soit, mathématiquement
L'énergie cinétique du système de deux points matériels «» étant définie,
à l'instant , dans le référentiel d'étude , selon «»[3] et,
dans le référentiel barycentrique , au même instant , selon «»,
nous déterminons le lien entre les deux en appliquant la loi de composition newtonienne des vitesses dans le cas où le référentiel d'entraînement est en translation relativement au référentiel absolu[7], « le référentiel absolu étant le référentiel d'étude et le référentiel d'entraînement le référentiel barycentrique »[8], le mouvement d'entraînement d'un point quelconque étant une translation de vecteur vitesse le vecteur vitesse d'entraînement du point vérifie «» et la loi de composition newtonienne des vitesses du point s'écrit «»[7] puis, en formant le carré scalaire multiplié par de chaque membre et en développant le membre de droite «», enfin en ajoutant ces relations «», « 1er membre dans lequel on reconnaît » et 2nd membre dans lequel « le 1er terme s'identifie à », le « 2ème terme se réécrivant, en factorisant scalairement par [17]» par nullité de la résultante cinétique barycentrique du système de deux points matériels et le « 3ème terme, en factorisant par , » d'où finalement «» R.Q.F.D[11]..
Exemple d'un système de deux points matériels en rotation autour d'un axe fixe ΔG de vecteur rotation instantanée barycentrique fixé[modifier | modifier le wikicode]
Considérons un système de deux points matériels «» en rotation autour d'un axe passant par le C.D.I[1]. du système et de direction fixe dans le référentiel barycentrique du système, avec un vecteur rotation instantanée [14] à l'instant , Considérons le C.D.I[1]. du système se déplaçant dans le référentiel d'étude et y ayant un vecteur vitesse instantanée au même instant , l'application du 2ème théorème de Kœnig[4] au système des deux points matériels «» nous conduit à «» avec
«» dans lequel « est le moment d'inertie du système par rapport à l'axe », avec la distance orthogonale entre le point et l'axe , « étant la vitesse angulaire de rotation du système à l'instant dans le référentiel barycentrique soit » étant le vecteur unitaire orientant cette partie d’énergie cinétique correspondant à la rotation propre barycentrique du système des deux points et
«» dans lequel « est la masse du système » cette partie d’énergie cinétique correspondant à la translation d'ensemble du système des deux points dans le référentiel d'étude d'où
↑ 2,02,12,2 et 2,3Erreur de référence : Balise <ref> incorrecte : aucun texte n’a été fourni pour les références nommées encore applicable en cinétique relativiste
↑Erreur de référence : Balise <ref> incorrecte : aucun texte n’a été fourni pour les références nommées formule du changement d'origine du moment cinétique vectoriel d'un système de deux points matériels
↑Erreur de référence : Balise <ref> incorrecte : aucun texte n’a été fourni pour les références nommées distributivité de la multiplication vectorielle relativement à l'addition vectorielle
↑Erreur de référence : Balise <ref> incorrecte : aucun texte n’a été fourni pour les références nommées factorisation vectorielle
↑ 11,011,1 et 11,2Erreur de référence : Balise <ref> incorrecte : aucun texte n’a été fourni pour les références nommées R.Q.F.D.
↑ 12,0 et 12,1 Ayant établi au paragraphe « moment cinétique vectoriel barycentrique (propriété) » plus haut dans ce chapitre que le moment cinétique vectoriel barycentrique d'un système de deux points matériels est indépendant du point origine par rapport auquel on le définit et compte-tenu de la définition d'un moment cinétique scalaire relativement à un axe orienté par en fonction du moment cinétique vectoriel défini relativement à un point origine «», nous en déduisons, dans le cas des moments cinétiques barycentriques où peut être quelconque dans tout l'espace, que le moment cinétique scalaire barycentrique d'un système de deux points matériels est indépendant de l'axe servant à l'évaluer mais dépendant de la direction de ce dernier d'où la notation utilisée «».
↑Erreur de référence : Balise <ref> incorrecte : aucun texte n’a été fourni pour les références nommées distributivité de la multiplication scalaire relativement à l'addition vectorielle
↑ 14,014,1 et 14,2Erreur de référence : Balise <ref> incorrecte : aucun texte n’a été fourni pour les références nommées vecteur rotation instantanée
↑Christian Huygens (1629 – 1695)ou Huyghens mathématicien, astronome et physicien néerlandais est essentiellement connu pour sa théorie ondulatoire de la lumière.