Leçons de niveau 14

Cinématique (Expert)/Géométrie des systèmes mécaniques

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Cinématique (Expert)/Géométrie des systèmes mécaniques
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Problème fondamental[modifier | modifier le wikicode]

Dans un problème de mécanique, on a souvent besoin de trouver :

  • Le positionnement d'un solide par rapport au solide de référence.
  • Le positionnement d'un solide S par rapport à un autre solide, car les deux solides appartiennent au système mécanique étudié.
  • Le positionnement d'un centre de liaison et de son axe de direction.

Mise en situation[modifier | modifier le wikicode]

Repère d'origine Repère solide 1

On connait la position du point A au sein d'un solide S₁ (elle ne change pas au cours du temps) :

On souhaite savoir la position du point A par rapport au repère de référence R₀ de centre O :

Pour parvenir à exprimer le vecteur , on va utiliser la relation de Chasles :

Outil mathématique : changement de base[modifier | modifier le wikicode]

Liberté entre deux solides :

  • 3 translations
  • 3 rotations

Le problème du changement de base intervient lors de rotations entre différentes bases (systèmes d'axes).




Déplacement d'un solide (cas général)[modifier | modifier le wikicode]

Déplacement d'un point d'un solide[modifier | modifier le wikicode]

À l'instant (t₀), nous observons un solide S₁ muni d'un repère qui à cet instant coïncide avec le repère de référence .

On considère un point et on observe le déplacement de ce point vers le point (déplacement du point A entre l'instant et ).

Le déplacement du point A appartenant au solide S₁ entre les instants et est défini par le vecteur :



Début d’un théorème


Fin du théorème


Position du point A à l'instant [modifier | modifier le wikicode]

La position du point A à l'instant nous pose un problème lorsqu'on utilise la relation de Chasles :

On peut remarquer que dans l'équation écrite un peu plus haut, on veut soustraire deux vecteurs appartenant à des bases différentes ( et ). Pour pouvoir utiliser l'opérateur soustraction entre deux vecteurs, il faut que ces deux vecteurs soient écrits dans la même base.

Pour résoudre ce problème on devra utiliser la matrice de passage entre et  :



On peut appliquer cette définition à notre vecteur pour le faire passer de à  :

Formule générale du déplacement du point A[modifier | modifier le wikicode]

On peut maintenant réécrire l’expression générale du déplacement du point A.




Je n'ai pas spécifié les repères de chaque vecteur car on a fait attention qu’ils appartiennent tous au repère . On peut maintenant développer les vecteurs par leur coordonnées cartésiens, on a :

Les deux repères sont coïncidents pour .

On peut maintenant remplacer les vecteurs par leurs composantes :

Début d’un théorème


Fin du théorème


Relation entre les déplacements de deux points d'un solide S₁[modifier | modifier le wikicode]

Considérons un point C tel que :

Si nous appliquons la relation générale du déplacement, le vecteur s'écrit :

Pour déterminer la relation qui existe entre les déplacements de deux points d'un solide, nous observons la différence des déplacements.


En écriture matricielle :

On a noté 1 la matrice identité:

Dans ce cas, on a :

Début d’un théorème


Fin du théorème


Déplacement d'un solide (système mécanique plan)[modifier | modifier le wikicode]

Paramétrage[modifier | modifier le wikicode]

La position du solide à l'instant :

La position angulaire est donnée par l'angle :




Matrice rotation[modifier | modifier le wikicode]

Dans le cas d'un système plan, il est intéressant de donner les formules ci-dessus en fonction de la matrice rotation :



Déplacement d'un point A d'un solide[modifier | modifier le wikicode]

  • x et y sont les coordonnées de
Début d’un théorème


Fin du théorème


Relation entre les déplacements de deux points d'un solide S₁[modifier | modifier le wikicode]

Début d’un théorème


Fin du théorème


Approximation des petits déplacements[modifier | modifier le wikicode]

  • Surtout valable pour de petites rotations.
  • Étude dans le cas d'un problème plan puis généralisation.

Présentation du problème[modifier | modifier le wikicode]

Nous considérons une rotation autour de l’axe , nous avons la configuration d'un problème plan. En considérant deux point A et C, nous avons observé :

Supposons que le déplacement soit un petit déplacement que nous noterons . En conséquence, nous avons deux petits déplacements et  :

On rappelle le développement limité d'une fonction de x, pour x autour de 0 :

En utilisant cette formule pour les fonctions sinus et cosinus, on obtient :

Si on approche aux dérivées de 1er ordre, on retrouve ainsi :

On a donc :

Début d’un théorème


Fin du théorème


Torseur des petits déplacements[modifier | modifier le wikicode]

Image logo représentative de la faculté Voir les exercices sur : Matrice de passage, vecteur déplacement.



Image logo représentative de la faculté Voir les exercices sur : Torseur des petits déplacements.



Soit un vecteur . On peut associer à ce vecteur une matrice : .

Posons maintenant un vecteur de petite rotation :

Sa matrice associée est :

En utilisant les nouvelles notations, on peut écrire :

Nous sommes en présence d'un torseur de petit déplacement :

Début d’un théorème


Fin du théorème


Pour appliquer les notions vues dans ce cours, il est vivement conseillé de vous entraîner sur les exercices proposés.