Champ électrostatique, potentiel/Champ électrostatique

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Notion de champ

Pour bien saisir l’idée de ce qu'est un champ de vecteurs, on peut faire l'analogie avec une notion bien connue : l'interaction gravitationnelle.

Soit un corps A, de masse m_A, immobile dans l'espace. Si l’on place en un point B un corps de masse m_B, A va exercer sur B une force ${\overrightarrow {F}}_{A\rightarrow B}=-G{\frac {m_{A}m_{B}}{{\rm {AB}}^{2}}}{\overrightarrow {u}}_{\rm {AB}}$.

Si on pose pour tout point M ${\vec {\mathcal {G}}}_{A}(M)=-G{\frac {m_{A}}{r^{2}}}{\vec {u}}_{r}$, $r=AM$ et ${\vec {u}}_{r}={\vec {u}}_{\rm {AM}}$, le simple fait de placer un corps de masse m_B en B va soumettre ce corps à une force ${\vec {F}}=m_{B}{\vec {\mathcal {G}}}_{A}(B)$.

On dit que ${\vec {\mathcal {G}}}_{A}$ est le champ gravitationnel généré par A. Ce champ relie directement une propriété du corps B (ici sa masse) à la force à laquelle B est soumis dans un environnement donné (ici la présence de A).

De même, au niveau de la surface de la Terre, un corps de masse m est soumis à son poids ${\vec {P}}=m{\vec {g}}$ : ${\vec {g}}$ est le champ de pesanteur terrestre.

Un champ de vecteurs est ainsi une application qui associe un vecteur donné à chaque point de l'espace. Ce vecteur décrit la possibilité d'une action sur la particule.

Champ électrostatique généré par une distribution discrète de charges fixes dans le vide

Force de Coulomb

Force de Coulomb

Soient deux particules immobiles chargées A et B, de charges respectives q_A et q_B. La force électrostatique exercée par A sur B vaut ${\vec {F}}_{A\rightarrow B}={\frac {q_{A}q_{B}}{4\pi \varepsilon _{0}{\rm {AB}}^{2}}}{\overrightarrow {u_{\rm {AB}}}}$.

$\varepsilon _{0}=8,854\ 187\ 817\dots \times 10^{-12}{\textrm {F.m}}^{-1}$ s’appelle la permittivité du vide. C’est une constante fondamentale de la physique.

Remarque

La force exercée par B sur A vaut ${\vec {F}}_{B\rightarrow A}={\frac {q_{A}q_{B}}{4\pi \varepsilon _{0}{\rm {AB}}^{2}}}{\overrightarrow {u_{\rm {BA}}}}=-{\frac {q_{A}q_{B}}{4\pi \varepsilon _{0}{\rm {AB}}^{2}}}{\overrightarrow {u_{\rm {AB}}}}$.

Champ électrostatique généré par une particule chargée dans le vide

Définition

Soit une particule A immobile dans l'espace, de charge q_A. Le champ électrostatique généré par A en M, noté ${\vec {E}}_{A}(M)$, est défini par ${\vec {E}}_{A}(M)={\frac {q_{A}}{4\pi \varepsilon _{0}r^{2}}}{\vec {u}}_{r}$ où r=AM.

Propriété

Soit une particule B de charge q_B placée dans le champ généré par A. Alors B est soumise à la force ${\vec {F}}_{A\rightarrow B}={\frac {q_{A}q_{B}}{4\pi \varepsilon _{0}r^{2}}}{\vec {u}}_{r}=q_{B}{\vec {E}}_{A}(B)$ où r=AB.

Champ électrostatique généré par deux charges dans le vide

Force exercée par deux charges

Soient

• deux particules A et B, immobiles dans l'espace, de charges respectives q_A et q_B ;
• une particule M de charge q.

La force électrostatique exercée par A et B sur M est ${\vec {F}}={\frac {q_{A}q}{4\pi \varepsilon _{0}{\rm {AM}}^{2}}}{\vec {u}}_{\rm {AM}}+{\frac {q_{B}q}{4\pi \varepsilon _{0}{\rm {BM}}^{2}}}{\vec {u}}_{\rm {BM}}$.

Interprétation en termes de champ

Soient deux particules A et B, immobiles dans l'espace, de charges respectives q_A et q_B. Le champ engendré en M par :

• A est ${\vec {E}}_{A}(M)={\frac {q_{A}}{4\pi \varepsilon _{0}r^{2}}}{\vec {u}}_{r_{A}}$ où r = AM.
• B est ${\vec {E}}_{B}(M)={\frac {q_{B}}{4\pi \varepsilon _{0}r^{2}}}{\vec {u}}_{r_{B}}$ où r = BM.

Le champ électrostatique en M vaut ${\vec {E}}(M)={\vec {E}}_{A}(M)+{\vec {E}}_{B}(M)$. On a alors bien une force de Coulomb s'exerçant sur une particule de charge q placée en M qui vaut ${\vec {F}}=q{\vec {E}}(M)$.

Champ électrostatique généré par n charges dans le vide

Principe de superposition

Soient n particules A₁, A₂, ..., A_n, immobiles dans l'espace, de charges respectives q₁, q₂, ... q_n.

Le champ électrostatique généré par cette distribution est la somme des champs engendrés par chacune des particules : ${\vec {E}}(M)={\vec {E}}_{A_{1}}(M)+{\vec {E}}_{A_{2}}(M)+\cdots +{\vec {E}}_{A_{n}}(M)$.

Une particule de charge q placée en M est alors soumise à une force ${\vec {F}}=q{\vec {E}}(M)$.

Champ électrostatique généré par une distribution continue de charges fixes dans le vide

Le principe de superposition applicable à ^{${\vec {E}}$} permet également de calculer le champ électrostatique généré par une distribution continue.

Distribution linéique de charges

Propriété

Soit une distribution de charges réparties sur un arc $\Gamma$ telle qu'en un point courant M de $\Gamma$, la densité de charge linéique vale $\lambda (M)$. Le champ électrostatique en un point P vaut alors ${\vec {E}}(P)=\int _{\Gamma }{\frac {\lambda (M){\vec {u}}_{r}}{4\pi \varepsilon _{0}{\rm {MP}}^{2}}}\,\mathrm {d} l$ avec ${\vec {u}}_{r}$ vecteur unitaire de même sens et même direction que ${\overrightarrow {\rm {MP}}}$.

Distribution surfacique de charges

Propriété

Soit une distribution de charges réparties sur une surface $\Sigma$ telle qu'en un point courant M de $\Sigma$, la densité de charge surfacique vale $\sigma (M)$. Le champ électrostatique en un point P vaut alors ${\vec {E}}(P)=\iint _{\Sigma }{\frac {\sigma (M){\vec {u}}_{r}}{4\pi \varepsilon _{0}{\rm {MP}}^{2}}}\,\mathrm {d} ^{2}S$ avec ${\vec {u}}_{r}$ vecteur unitaire de même sens et même direction que ${\overrightarrow {\rm {MP}}}$.

Distribution volumique de charges

Propriété

Soit une distribution de charges réparties dans un volume V telle qu'en un point courant M de V, la densité de charge volumique vale $\rho (M)$. Le champ électrostatique en un point P vaut alors ${\vec {E}}(P)=\iiint _{V}{\frac {\rho (M){\vec {u}}_{r}}{4\pi \varepsilon _{0}{\rm {MP}}^{2}}}\,\mathrm {d} ^{3}\tau$ avec ${\vec {u}}_{r}$ vecteur unitaire de même sens et même direction que ${\overrightarrow {\rm {MP}}}$.

Champ électrostatique dans un isolant autre que le vide

Permittivité d'un isolant

Tous les isolants ne réagissent pas de la même façon lorsqu’ils sont soumis à un champ électrostatique dans le sens où ils le « laissent plus ou moins passer ». En effet, un isolant est composé de molécules parfois polarisées (par exemple H₂0). Lorsqu'on soumet ces particules à un champ électrostatique, elles « utilisent le champ » pour se déformer, ce qui atténue le champ plus vite que dans le vide.

C'est ainsi qu'on définit la permittivité d'un isolant : c’est une grandeur qui caractérise cette « absorption ». Elle est notée $\varepsilon$.

On rencontre plus souvent la permittivité relative $\varepsilon _{r}$ qui est définie par $\varepsilon _{r}={\frac {\varepsilon }{\varepsilon _{0}}}$.

Début d’un principe

Adaptation des équations de l'électrostatique du vide au cas d'un diélectrique quelconque

Toutes les équations de l'électrostatique du vide sont valables au sein d'un isolant linéaire homogène isotrope de permittivité $\varepsilon$, à condition de remplacer dans toutes les équations $\varepsilon _{0}$ par $\varepsilon$.

Fin du principe

Dans toute la suite du cours, on ne traitera que l'électrostatique du vide.